Предельные возможности метода псевдообращения для управления линейными много связными объектами без памяти: гарантированные результаты
Статья касается дискретного управления линейными многосвязными объектами без памяти с использованием подхода, основанного на псевдообращении моделей. Она отвечает на вопросы, относящиеся к областям
 применимости этого подхода. Цель статьи состоит в том, чтобы выявить некоторые асимптотически...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2019 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2019
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/160127 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Предельные возможности метода псевдообращения для управления линейными много связными объектами без памяти: гарантированные результаты / В.И. Гриценко, Л.С. Житецкий, К.Ю. Соловчук // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 8. — С. 16-24. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860183030257156096 |
|---|---|
| author | Гриценко, В.И. Житецкий, Л.С. Соловчук, К.Ю. |
| author_facet | Гриценко, В.И. Житецкий, Л.С. Соловчук, К.Ю. |
| citation_txt | Предельные возможности метода псевдообращения для управления линейными много связными объектами без памяти: гарантированные результаты / В.И. Гриценко, Л.С. Житецкий, К.Ю. Соловчук // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 8. — С. 16-24. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Статья касается дискретного управления линейными многосвязными объектами без памяти с использованием подхода, основанного на псевдообращении моделей. Она отвечает на вопросы, относящиеся к областям
применимости этого подхода. Цель статьи состоит в том, чтобы выявить некоторые асимптотические
особенности замкнутых систем управления, содержащих псевдообратные модели в их петлях обратной
связи. Рассматриваются объекты без памяти, имеющие любые ненулевые матрицы коэффициентов усиления, а именно, анализируются классы квадратных невырожденных и вырожденных матриц, а также
прямоугольных матриц произвольного ранга. Отдельно изучается случай, когда эти матрицы известны,
и случай, когда нет полной информации об их элементах. Вводится предположение, что имеются неизмеряемые произвольные, но ограниченные внешние возмущения, границы которых могут быть, вообще говоря,
неизвестны. Получены три важных результата об асимптотическом поведении систем управления с псевдообратными моделями. Во-первых, показано, что при отсутствии неопределенности всегда существует
положение равновесия этих систем и гарантируется их устойчивость и оптимальность. Во-вторых, предложен новый эффективный закон управления для стабилизации плохо обусловленных объектов с известными матрицами коэффициентов усиления. В-третьих, установлено несколько условий, гарантирующих
существование положения равновесия и дисипативность системы управления с неопределенностями. Даны
также асимптотические оценки верхних границ норм вектора управляющих воздействий и вектора выходных переменных.
Стаття стосується дискретного керування лінійними багатозв’язними об'єктами без пам'яті з використанням підходу, основаного на псевдооберненій моделі. Вона відповідає на питання, що відносяться до
областей застосовності цього підходу. Мета статті полягає в тому, щоб виявити деякі асимптотичні особливості замкнених систем керування, що містять псевдообернені моделі в їх петлях зворотного зв’язку.
Розглядаються об’єкти без пам’яті, що мають будь-які ненульові матриці коефіцієнтів підсилення, а саме,
аналізуються класи квадратних невироджених і вироджених матриць, а також прямокутних матриць довільного рангу. Окремо вивчається випадок, коли ці матриці відомі, і випадок, коли немає повної інформації про їхні елементи. Вводиться припущення, що є невимірювальні довільні, але обмежені зовнішні збурення, межі яких можуть бути, взагалі кажучи, невідомі. Отримано три важливих результати про асимптотичну поведінку систем керування з псевдооберненими моделями. По-перше, показано, що за відсутності
невизначеності завжди існує положення рівноваги цих систем та гарантуються їхні стійкість і оптимальність. По-друге, запропоновано новий ефективний закон керування для стабілізації погано обумовлених
об’єктів з відомими матрицями коефіцієнтів підсилення. По-третє, встановлено кілька умов, що гарантують існування положення рівноваги і дисипативність системи керування з невизначеностями. Дано також
асимптотичні оцінки верхніх меж норм вектора керуючих впливів і вектора вихідних змінних.
The paper deals with the discrete-time control of the linear interconnected memoryless plants using the pseudoinverse
model-based approach. It answers the questions related to applicability areas for this approach. The objective
of the paper is to derive some asymptotic features of the closed-loop control systems containing the
pseudoinverse models in their feedback loops. To this end, the memoryless plants having any nonzero gain matrices
are considered. Namely, the classes of square non-singular and singular matrices and nonsquare matrices with
arbitrary rank are analyzed. The case where these matrices are known and the case where there is no full information
on their elements are separately studied. The assumption that there are the unmeasurable arbitrary, but
bounded external disturbances whose bounds may be unknown, in general, is introduced. Three important results
about the asymptotic behavior of the control systems with the pseudoinverse models are obtained. First, it
is shown that, in the absence of uncertainties, the equilibrium state of these systems always exists, and their stability
and optimality are guaranteed. Second, a new effective control law for the stabilization of the ill-conditioned
plants with the known gain matrices is proposed. Third, the several conditions guaranteeing the existence
of the equilibrium state and the dissipativeness of the control system in the presence of uncertainties
are established. Asymptotic estimates of upper bounds on the norms of the control input and output vectors
are given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:02:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
16
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 8: 16—24
Эффективным инструментом для управления многосвязными объектами без памяти
(ста тическими объектами) с квадратной невырожденной матрицей коэффициентов уси-
ления выступает, как известно, метод обратного оператора, восходящий к пионерным
работам отечественных исследователей первой половины 60-х годов ХХ века. Сравнительно
недавно в рамках теории псевдообращения матриц [1] удалось решить задачу оптимального
© В.И. Гриценко, Л.С. Житецкий, К.Ю. Соловчук, 2019
https://doi.org/10.15407/dopovidi2019.08.016
УДК 681.5
В.И. Гриценко, Л.С. Житецкий, К.Ю. Соловчук
Международный научно-учебный центр информационных технологий и систем
НАН Украины и МОН Украины, Киев
E-mail: vig@irtc.org.ua, leonid_zhiteckii@i.ua, solovchuk.ok@gmail.com
Предельные возможности метода псевдообращения
для управления линейными многосвязными объектами
без памяти: гарантированные результаты
Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.И. Гриценко
Статья касается дискретного управления линейными многосвязными объектами без памяти с использова-
нием подхода, основанного на псевдообращении моделей. Она отвечает на вопросы, относящиеся к областям
применимости этого подхода. Цель статьи состоит в том, чтобы выявить некоторые асимптотические
особенности замкнутых систем управления, содержащих псевдообратные модели в их петлях обратной
связи. Рассматриваются объекты без памяти, имеющие любые ненулевые матрицы коэффициентов уси-
ления, а именно, анализируются классы квадратных невырожденных и вырожденных матриц, а также
прямоугольных матриц произвольного ранга. Отдельно изучается случай, когда эти матрицы известны,
и случай, когда нет полной информации об их элементах. Вводится предположение, что имеются неизме-
ряемые произвольные, но ограниченные внешние возмущения, границы которых могут быть, вообще говоря,
неизвестны. Получены три важных результата об асимптотическом поведении систем управления с псев-
дообратными моделями. Во-первых, показано, что при отсутствии неопределенности всегда существует
положение равновесия этих систем и гарантируется их устойчивость и оптимальность. Во-вторых, пред-
ложен новый эффективный закон управления для стабилизации плохо обусловленных объектов с извест-
ными матрицами коэффициентов усиления. В-третьих, установлено несколько условий, гарантирующих
существование положения равновесия и дисипативность системы управления с неопределенностями. Даны
также асимптотические оценки верхних границ норм вектора управляющих воздействий и вектора вы-
ходных переменных.
Ключевые слова: многосвязный объект без памяти, замкнутая система управления, псевдообратная мо-
дель, положение равновесия, устойчивость, оптимальность, диссипативность.
ІНФОРМАТИКА ТА КІБЕРНЕТИКА
17ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 8
Предельные возможности метода псевдообращения для управления линейными многосвязными объектами
уп рав ления линейными многосвязными объектами с произвольными, но известными
квадрат ными и прямоугольными матрицами коэффициентов усиления при отсутствии
внешних возмущений [2]. Позже в [3] на основе метода псевдообращения была формально
решена задача синтеза оптимальных систем управления тем же классом объектов с ог ра-
ниченными возмущениями. Достаточные условия устойчивости и диссипативности систем
управления многосвязными линейными и нелинейными объектами по линейным псевдо-
обратным моделям при наличии параметрических неопределенностей установлены в [4, 5].
Настоящая работа отвечает на вопросы: какова область применимости метода
псевдообращения для управления линейными многосвязными объектами без памяти при
полной и неполной информации о матрицах коэффициентов усиления?
1. Постановка задачи. Рассматривается многосвязный объект без памяти, который
функционирует в дискретном времени 0,1, 2,n = и описывается линейным разностным
уравнением
1 .n n ny Bu v−= + (1)
В этом уравнении (1) ( ) T[ , , ]m m
n n ny y y= ∈ R — вектор выходных переменных, доступных для
измерения в каждый дискретный момент времени n ( 1, 2, )n = … ; (1) ( ) T[ , , ]r r
n n nu u u= … ∈R —
вектор управляющих воздействий, отнесенный к тому же n -му моменту времени; nv =
(1) ( ) T[ , , ]m m
n nv v= … ∈R — вектор аддитивных неконтролируемых возмущений в момент n ;
( )( )ij m rB b ×= ∈R — матрица коэффициентов усиления объекта, представляющая собой
фиксированную (ненулевую) матрицу с элементами ( )ijb ( 1, ,i m= … ; 1, , )j r= … и рангом
rank min{ , }B r m� ( T — символ транспонирования). Считается далее, что число выходных
переменных не меньше числа управляющих воздействий: r m� (1 rank )B r� � .
Вводится предположение, что ( ) ( ): { } ( 1, , )i i
nv v i m∞= ∈ = … — скалярные после дова тель-
ности, ограниченные в ∞ -норме: ( ) ( )
1|| || : sup | |i i
n nv v∞ < ∞= < ∞� (в обозначениях простран-
ства ∞ и ∞ -нормы ( )|| ||ix ∞ бесконечной последовательности ( ) ( ){ } :i i
n nx x ∈R , активно ис-
пользуемых в современной теории управления; см., например, [6, с. 29]). Более определен-
но предполагается, что ( ) ( )|| || , 1, ,i iv i m∞ ε < ∞ = …� ; при этом числа (1) ( ), , mε … ε в принципе
не обязательно должны быть известны конструктору системы управления. Итак,
2|| ||nv ε� [0, )n∀ ∈ ∞ ⇒ : { } m
nv v ∞= ∈ ⇒ || ||v ∞ ε� , (2)
где (1) 2 ( ) 2[ ] [ ]mε = + ε +…+ ε , T
2|| || :x x x= + — евклидова норма вектора x, а m
m
∞ ∞ ∞= ×…× .
В рамках такого предположения можно вообразить, что при каждом 0,1, 2,n = … вектор
nv зависит от своеобразного параметра “случая” :ω ( ),n nv v= ω при этом ( )nv ω ∈Ω , где
(1) (1) ( ) ( )[ , ] [ , ]m mΩ⊆ −ε ε ×…× −ε ε .
Пусть 0 0(1) 0( ) T[ , , ]m my y y= … ∈R — вектор заданных (желаемых) значений соот вет-
ствующих выходных переменных. Рассматривается случай, когда 00 || ||y< < ∞ . В этом
случае, по крайней мере, одно из m заданных значений 0( )iy должно быть ненулевым:
0(1) 0( )| | | | 0my y+…+ ≠ .
Обозначим 0B некоторую фиксированную m r× -матрицу, имеющую смысл матрицы
коэффициентов усиления опорной (номинальной) линейной модели объекта. В соответ-
18 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 8
В.И. Гриценко, Л.С. Житецкий, К.Ю. Соловчук
ствии с методом псевдообращения [3] закон управления, ориентированного на стабилиза-
цию выхода yn объекта (1) в некоторой окрестности точки y0, строится в форме универ-
саль ной итерационной процедуры
1 0 .n n nu u B e+−= + (3)
Здесь
0
n ne y y= − (4)
— вектор текущих ошибок замкнутой системы управления объектом (1), а 0
r mB+ ×∈R —
матрица, псевдообратная матрице 0B .
Замечание 1. Согласно [1, теорема 3.4] общая формула
T 2 1 T
0 0 0 0
0
lim ( ) ,rB B B I B+ −
δ→
= +δ
в которой NI — заимствованное из [7, с. 9] обозначение единичной матрицы порядка N ,
позволяет найти ( )
0 0( )jiB+ = β при любой матрице 0
r mB ×∈R .
Требуется исследовать предельные возможности управления объектами (1) методом
псевдообращения, а именно формально установить условия, при выполнении которых
гарантируется, что в рамках предположений (2) система управления (1), (3), (4) будет иметь
определенные свойства: устойчивость, диссипативность (предельную ограниченность всех
сигналов) и оптимальность.
2. Решение задачи управления при полной информации о статической характерис-
ти ке объекта. В случае, когда априорная неопределенность относительно элементов ( )ijb
мат рицы B , описывающей статическую характеристику объекта (1), отсутствует, опорную
модель естественным образом можно сделать адекватной объекту, полагая 0B B= . При та-
ком выборе матрицы 0B процедура (3) приобретает вид
1 .n n nu u B e+−= + (5)
При этом если r m= , а det 0B ≠ , то согласно (5) она принимает форму
1
1 ,n n nu u B e−
−= + (6)
поскольку в этом случае 1B B+ −= ; см., например, [1, упражнение 3.5.1].
Предельные возможности метода псевдообращения для управления объектом (1) с пол-
ной информацией о матрице В определяют следующие фундаментальные результаты [3, 5].
1. Положение равновесия системы управления (1), (4), (5) всегда существует (незави-
си мо от ранга матрицы B ) и определяется парой векторов e 0
0uu Q u B y+= + , e ey Bu= , где
:u rQ I B B+= − ; при этом в единственном случае, когда rank B r= , множество равновес-
ных точек e: { }uE u= — одноточечное множество, содержащие вектор e 0u B y+= , а во всех
остальных случаях uE — связное неодноточечное множество, представляющее собой ли-
нейное многообразие в rR размерности dim rank uE r B= − .
2. В условиях (2) эта система диссипативна по состоянию ( , ) :n nu y
19ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 8
Предельные возможности метода псевдообращения для управления линейными многосвязными объектами
0
2 2 2 2
e
2 2
lim sup || || || || || || || || 2 ,
lim sup || || || || ,
n e
n
n
n
y BB y Q
u u B
+
→∞
+
→∞
+ ε+ ε < ∞
− ε < ∞
�
�
(7)
где : ,e mQ I BB+= − а 2|| ||P — спектральная норма матрицы P , определяемая как 2|| || :P =
1/2 T
1: max ( )i N i P P= λ� � [6, приложение 5] (здесь и далее ( )iλ ⋅ обозначает i-е собствен ное
значение N N× -матрицы, заключенной в скобках).
3. В условиях (2) управление по закону (5), (4) минимизирует верхнюю грань функцио нала
1 2
( ): ( )
( ) : sup || ||
n n
n n n n
v v
J J u e−
ω ω ∈Ω
= = (8)
на множестве r
∞ всех допустимых векторов 1nu − , от которых зависит nJ , и дает
2 2
1 2 2 1 2|| || (diam ) || || || || diame n n e nQ e J Q e− −+ + Ω + Ω� � .
4. В двух случаях, а именно при (1) ( ) 0m
n nv v=…= ≡ , а также при выполнении условий
(1) ( )| | | | 0m
n nv v+…+ ≡/ , 2sup || ||nvω = ε для любого [0, )n∈ ∞ и nv ∈Ω , где Ω — шар в mR с
диаметром diam 2Ω = ε , процедура (5), (4) приводит к решению оптимизационной задачи
2
( ): ( )
sup || || inf
r
nn n
n
uv v
e
∞∈ω ω ∈Ω
→
,
причем значение функционала (8) на оптимальном управлении определяется выраже-
нием 2 0 2 2|| || || || (1 || || )diam n e eJ Q e Q= + + Ω .
5. Если r m= , det 0B ≠ , то в условиях (2) итеративная процедура (6) совместно с (4)
определяет закон оптимального управления объектом (1), при котором как функционал
(8), так и функционал 0
2lim sup || ||n nJ y y→∞= − , характеризующий асимптотический по-
казатель качества замкнутой системы (1), (4), (6), достигает своего минимума, равного
{ }
min 2r
nu
J
∞∈ = ε .
Вводя принятое в [7, с. 9] обозначение 0 [0, , 0]N
N
= … строки из N нулей и обозначение
im P образа матрицы P , принятое в [8, п. 6.24], сформулируем один важный в практи-
ческом плане результат.
Теорема 1. При T0n mv ≡ система управления (1), (4), (5) становится астатической в
двух отдельных случаях: 1) при любом 0 my ∈R , если В — квадратная невырожденная
матрица; 2) в специальном случае, когда 0 im y B∈ , независимо от матрицы B . Более того,
0
ny y≡ для всех [1, )n∈ ∞ .
Справедливость теоремы 1 следует из того, что по определению eQ — идемпотентная
матрица [1, упражнение 3.7.6], а PP x x+ = при im x P∈ [1, следствие 3.5].
Замечание 2. В обоих случаях, фигурирующих в теореме 1, e 0y y= , т.е. e{ }yE y= —
одноточечное множество, тогда как в случае 1) множество e{ }uE u= остается одноточечным
множеством, а в случае 2) оно становится неодноточечным. Без умаления общности будем
далее полагать, что 0 im y B∉ .
Согласно (7) при 0B B= , когда det 0B ≠ , а T0n mv ≡/ , получаем
20 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 8
В.И. Гриценко, Л.С. Житецкий, К.Ю. Соловчук
0
2 2lim sup || || || || 2n
n
y y
→∞
+ ε� , (9)
1
2 2lim sup || || || || .e
n
n
u u B−
→∞
− ε� (10)
Оценки (9), (10) показывают, что если B — плохо обусловленная матрица, то хотя
управление (6) и гарантирует минимально возможное отклонение ny от 0y при n →∞ , но
такая минимизация будет достигаться ценой слишком большого размаха возмож ных ко ле-
баний вектора nu относительно равновесной точки eu при T0n mv ≡/ . В самом деле, при до ста-
то чно большом числе обусловленности матрицы B , определяемом как 1cond || || || ||B B B−=
[8, п. 16], а именно при cond 1B >> множитель 1
2|| ||B− , фигурирующий в правой части
(10), принимает достаточно большое значение: 1
2 2|| || 1/ || ||B B− >> .
Для управления объектом (3) при 1 cond B<< < ∞ методом псевдообращения вместо
матрицы 0B B= , рекомендуется теперь брать ближайшую к B (в определенном смысле)
вырожденную матрицу 0B B≠ и формировать { }nu , модифицируя процедуру (6) так:
1 0 1 0[ (1 ) ]n n m nu u d I d B e+
−= + + − , (11)
где 0d и 1d — некоторые достаточно малые положительные числа. В качестве меры бли-
зос ти 0B к B предлагается использовать фробениусову норму
1/2
( ) 2
1 1
|| || : | |
r r
ij
F
i j= =
⎛ ⎞
⎜ ⎟Δ = δ
⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑ (12)
матрицы ( )
0( )ij B BΔ = δ = − с элементами ( )( ) ( )
0
ijij ijb bδ = − (определение || ||F⋅ можно найти,
например, в [6, приложение 5]).
В силу (12) задача отыскания минимума нормы || ||FΔ сводится, очевидно, к стандартной
задаче условной оптимизации в следующей форме:
0
2
2
0 2ˆvec
ˆmin || vec vec || :
B R R
r
B B
∈ ×…×
−
0
ˆdet 0B = . (13)
Здесь (11) ( ) Tvec : [ , , ]NNP p p= … — взятое из [6, с. 220] обозначение 2N -мерного вектора,
который образуется вытягиванием в столбец N N× -матрицы ( )( )ijP p= . В свою очередь,
задача (13) решается, как известно, классическим методом множителей Лагранжа [9, гл. 8]
путем минимизации зависящей от составляющих вектора 0
ˆvec B и множителя Лагранжа
Λ функции
(11) ( )(11) 2 ( ) 2
0 00 0
ˆ ˆˆ ˆ(vec , ) ( ) ( ) detrr rrB b b b b BΦ Λ = − +…+ − +Λ
из условий ( )
0
ˆ( , ) / 0, ( , ) / 0ijb∂Φ ⋅ ⋅ ∂ = ∂Φ ⋅ ⋅ ∂Λ = , которые в конечном счете приводят к системе
алгебраических уравнений
21ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 8
Предельные возможности метода псевдообращения для управления линейными многосвязными объектами
( ) ( )
00 ( )
0
0
ˆ ˆ2( ) det 0, , 1, , ,
ˆ
ˆdet 0
ij ij
ij
b b B i j r
b
B
∂ ⎫− +Λ = = … ⎪∂ ⎬
⎪= ⎭
относительно неизвестных ( )
0
ˆ ijb и Λ. А это в итоге позволяет вычислять 0vec B =
0
ˆarg min (vec , )B= Φ Λ .
Теорема 2. При выполнении условия 0|| || 1B+Δ < найдутся числа 0 1, 0d d > такие, что
система (1), (4), (11) становится астатической, когда T0n mv ≡ , и диссипативной, когда
T0n mv ≡/ ; при этом если 2|| || 1mI BA− < , то
2
2
2
lim sup || ||
1 || ||n
n m
e
I BA→∞
ε < ∞
− −
� ,
где 0 1 0: (1 )mA d I d B+= + − .
Доказательство этой теоремы существенно использует приведенное в [7, п. 2.15.3] свой-
ство 0 1 0 1( ) ( )i N iI P Pλ α +α = α +α λ любого собственного значения iλ матрицы N NP ×∈R и
тот замечательный факт, что если
1
max | ( ) | 1i
i m
Pλ <
� �
, то 0|| ||n nP K nρ ∀� и некоторых
0 0, : 0 , 0 1K Kρ < < ∞ < ρ < при любой матричной норме (детали доказательства опуска-
ют ся из-за ограниченного объема статьи).
3. Решение задачи управления в условиях параметрической неопределенности. Пред-
положим теперь, что матрица m rB ×∈R неизвестна, но априори известно некоторое замкнутое
ограниченное множество ˆ{ }BΞ = матриц B̂ , к которому она принадлежит. Как и в [5, с. 62],
будем исходить из того, что Ξ — интервальное семейство матриц ( )ˆˆ ( )ijB b= , заданное в форме
( )( ) ( ) ( )ˆ ˆ{( ) : }ijij ij ijb b b bΞ = � � , 1, , , 1, ,i m j r= … = … ,
считая границы интервалов ( ) ( )[ , ]ij ijb b известными; при этом ( )( ) ( )[ , ]ijij ijb b b∈ .
Зафиксируем некоторую матрицу 0B и рассмотрим систему управления (1), (3), (4).
Воспользуемся обозначением ,0m r нулевой m r× -матрицы, принятым в [7, с. 9]. Справед-
ливы следующие вспомогательные результаты.
Лемма 1. Необходимым условием того, что положение равновесия системы (1), (3), (4)
существует, является требование
,
0 ˆ
ˆ 0
ˆrank min rank
m r
B
B
B B
∈Ξ
≠
� .
Лемма 2. Предположим, что Ξ — множество матриц полного ранга, а 0rank B r= . Для
существования положения равновесия системы (1), (3), (4) достаточно, чтобы было вы пол-
нено условие
0
0
: ( )
max || || 1
B
B+
Δ −Δ ∈Ξ
Δ < .
Лемма 3. Пусть 0 ,0m rB B+ ≠ . Тогда если 0rank 1B = , то положение равновесия системы (1),
(3), (4) существует и определяется как решение eu u= системы алгебраических урав нений
22 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 8
В.И. Гриценко, Л.С. Житецкий, К.Ю. Соловчук
0
0 0B Bu B y+ += . (14)
Доказательство лемм 1 и 2 основано на использовании известного из [8, п.4.47] свой-
ства 1 2 1 2rank min{rank , rank }P P P P� . Основу доказательства леммы 3 составляет ус та нов-
ление свойства ортогональности 0 ker ( ) ,T TB y B B+ +⊥ которое согласно [8, п.6.34] не обхо ди-
мо и достаточно для обеспечения совместности системы уравнений (14) (здесь ker Р —
принятое в [8, п.6.24] обозначение ядра матрицы Р).
Следуя [4], введем вспомогательные переменные
( )( ) ( )
0
1
, , 1, ,
m
kjki ji
j
k i r
=
σ = β δ = …∑ ,
представляющие собой линейные формы относительно составляющих векторов ( )iΔ =
(1 ) ( ) T[ , , ] ,i mi= δ … δ и рассмотрим следующие пары задач линейного программирования:
( ) ( )min , maxki kiσ σ при ( ) ( ) ( )( ) ( )
0 0
ij ij ijij ijb b b b− δ −� � . (15)
Используя принятые в [6, приложение 5] обозначения 1-нормы 1 1|| || : max i NP = � �
( 1) ( ){| | | |}i iNP P+…+ матрицы N NP ×∈R и обозначения согласованной с ней ∞ -нормы
(1) ( )|| || max{| |, , | |}Nx x x∞= … вектора ,Nx∈R представим один гарантированный результат,
касающийся асимптотического поведения рассматриваемой системы.
Теорема 3. Предположим, что положение равновесия системы (1), (3), (4) существует.
Если
( ) ( )
1 1
: max max{| min |, | max |} 1
r
ki ki
k r i
q
=
= σ σ <∑
� �
, (16)
где ( )min kiσ и ( )max kiσ — решения задач (15), то эта система устойчива (при T0n mv ≡ ) и
диссипативна (при T0n mv ≡/ ); при этом справедливы асимптотические оценки
1
0 0 1 0 0 1
1
1 0 0 1 0 0 1
lim sup || || (1 ) [|| || || || || || ]
lim sup || || || || (|| || (1 ) [|| || || || || || ]) ,
e e
n r
n
e e
n r
n
u u q I B B u u B
y B u q I B B u u B
− + +
∞ ∞
→∞
− + +
∞ ∞ ∞
→∞
− − − − + ε < ∞
+ − − − + ε + ε < ∞
�
�
(17)
где (1) ( )max{ , , }mε = ε … ε .
Эта теорема — переформулировка в терминах задач линейного программирования
утверждения 2, доказанного в [5], с уточненными оценками (17).
Замечание 3. Поскольку Ξ — компакт, то в силу (16) правые части неравенств (17) —
непрерывные функции от 0B на Ξ Поэтому если 0B ∈Ξ , а Ξ не содержит матриц B̂
ранга, меньшего r , то существует наилучшая (в смысле минимума верхней грани || ||ne ∞
при n →∞ ) матрица 0 0B B= ,
0
1
0 0 0 1 0arg min{|| || [|| || 2 ] 2 (1 ) }m
B
B I B B e q+ −
∞∈Ξ
= − + ε + ε − .
23ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 8
Предельные возможности метода псевдообращения для управления линейными многосвязными объектами
При выполнении же требования (16) в этих условиях положение равновесия системы
(1), (3), (4) заведомо существует (согласно лемме 2). А если к тому же r m= , но T0n mv ≡ ,
то эта система становится астатической: lim || || 0n ne→∞ = при любой матрице 0B ∈Ξ .
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Albert А. Regression and the Moore-Penrose pseudoinverse. New York: Academic Press. 1972. 224 p.
2. Скурихин В. И., Житецкий Л. С., Соловчук К. Ю. Управление многосвязными объектами с вырожден-
ными и плохо обусловленными передаточными матрицами на основе метода псевдообратного опера-
тора. Управляющие системы и машины. 2013. № 3. С. 14—20, 29.
3. Скурихин В. И., Гриценко В. И., Житецкий Л. С., Соловчук К. Ю. Метод обобщенного обратного
оператора в задаче оптимального управления линейными многосвязными статическими объектами.
Допов. Нац. акад. наук Укр. 2014. № 8. С. 57—66.
4. Zhiteckii L. S., Skurikhin V. I., Solovchuk K. Y. Stabilization of a nonlinear multivariable discrete-time ti me-
invariant plant with uncertainty on a linear pseudoinverse model. J. Computer and Systems Sciences Interna-
tional. 2017. № 5. Р. 12—26.
5. Zhiteckii L. S., Solovchuk K. Yu. Pseudoinversion in the problems of robust stabilizing multivariable discrete-
time control systems of linear and nonlinear static objects under bounded disturbances. J. Automation and
Information Sciences. 2017. № 3. Р. 57—70.
6. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. Москва: Наука. 2002. 303 с.
7. Marcus M., Minc H. A survey of matrix theory and matrix inequalities. Boston: Allyn & Bacon, Inc. 1964. 232 p.
8. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. Москва: Наука. 1984. 320 с.
9. Polyak B. T. Introduction to optimization. New York: Optimization Software Inc. 2010. 384 p.
Поступило в редакцию 22.05.2019
REFERENCES
1. Albert, А. (1972). Regression and the Moore-Penrose pseudoinverse. New York: Academic Press.
2. Skurikhin, V. I., Zhiteckii, L. S. & Solovchuk, K. Y. (2013). Control of interconnected plants with singular and
ill-conditioned transfer matrices based on pseudo-inverse operator method. Control Systems and Computers,
No. 3, pp. 14-20, 29 (in Russian).
3. Skurikhin, V. I., Gritsenko, V. I., Zhiteckii, L. S. & Solovchuk, K. Y. (2014). Generalized inverse operator
method in the problem of optimal controlling linear interconnected static plants. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr.,
No. 8, pp. 57-66 (in Russian).
4. Zhiteckii, L. S., Skurikhin, V. I. & Solovchuk, K. Y. (2017). Stabilization of a nonlinear multivariable discrete-
time time-invariant plant with uncertainty on a linear pseudoinverse model. J. Computer and Systems Sciences
International, No. 5, pp. 12-26.
5. Zhiteckii, L. S. & Solovchuk, K. Yu. (2017). Pseudoinversion in the problems of robust stabilizing multivari-
able discrete-time control systems of linear and nonlinear static objects under bounded disturbances. J.
Automation and Information Sciences, No. 3, pp. 57-70.
6. Polyak, B. T. & Shcherbakov, P. S. (2002). Robust stability and control. Moscow: Nauka (in Russian).
7. Marcus, M. & Minc, H. (1964). A survey of matrix theory and matrix inequalities. Boston: Allyn & Bacon, Inc.
8. Voevodin, V. V. & Kuznetsov, Yu. A. (1984). Matrices and computations. Moscow: Nauka (in Russian).
9. Polyak, B. T. (2010). Introduction to optimization. New York: Optimization Software Inc.
Received22.05.2019
24 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 8
В.И. Гриценко, Л.С. Житецкий, К.Ю. Соловчук
В.І. Гриценко, Л.С. Житецький, К.Ю. Соловчук
Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій та систем
НАН України та МОН України, Київ
E-mail: vig@irtc.org.ua, leonid_zhiteckii@i.ua, solovchuk.ok@gmail.com
ГРАНИЧНІ МОЖЛИВОСТІ МЕТОДУ ПСЕВДООБЕРНЕННЯ
ДЛЯ КЕРУВАННЯ ЛІНІЙНИМИ БАГАТОЗВ'ЯЗНИМИ ОБ'ЄКТАМИ
БЕЗ ПАМ'ЯТІ: ГАРАНТОВАНІ РЕЗУЛЬТАТИ
Стаття стосується дискретного керування лінійними багатозв’язними об'єктами без пам’яті з викорис-
тан ням підходу, основаного на псевдооберненій моделі. Вона відповідає на питання, що відносяться до
областей застосовності цього підходу. Мета статті полягає в тому, щоб виявити деякі асимптотичні осо-
бливості замкнених систем керування, що містять псевдообернені моделі в їх петлях зворотного зв’яз ку.
Розглядаються об’єкти без пам’яті, що мають будь-які ненульові матриці коефіцієнтів підсилення, а саме,
аналізуються класи квадратних невироджених і вироджених матриць, а також прямокутних матриць до-
вільного рангу. Окремо вивчається випадок, коли ці матриці відомі, і випадок, коли немає повної інформа-
ції про їхні елементи. Вводиться припущення, що є невимірювальні довільні, але обмежені зовнішні збу-
рення, межі яких можуть бути, взагалі кажучи, невідомі. Отримано три важливих результати про асимпто-
тичну поведінку систем керування з псевдооберненими моделями. По-перше, показано, що за відсутності
невизначеності завжди існує положення рівноваги цих систем та гарантуються їхні стійкість і оптималь-
ність. По-друге, запропоновано новий ефективний закон керування для стабілізації погано обумовлених
об’єктів з відомими матрицями коефіцієнтів підсилення. По-третє, встановлено кілька умов, що гаранту-
ють існування положення рівноваги і дисипативність системи керування з невизначеностями. Дано також
асимптотичні оцінки верхніх меж норм вектора керуючих впливів і вектора вихідних змінних.
Ключові слова: багатозв’язний об'єкт без пам’яті, замкнена система керування, псевдообернена модель, по-
ложення рівноваги, стійкість, оптимальність, дисипативність.
V.I. Gritsenko, L.S. Zhiteckii, K.Yu. Solovchuk
International Research and Training Center for Information Technologies and Systems
of the NAS of Ukraine and the Ministry of Education and Science of Ukraine, Kyiv
E-mail: vig@irtc.org.ua, leonid_zhiteckii@i.ua, solovchuk.ok@gmail.com
LIMITATIONS OF PSEUDOINVERSE METHOD
FOR CONTROL OF LINEAR INTERCONNECTED
MEMORYLESS PLANTS: GUARANTEED RESULTS
The paper deals with the discrete-time control of the linear interconnected memoryless plants using the pseudo-
inverse model-based approach. It answers the questions related to applicability areas for this approach. The ob-
jective of the paper is to derive some asymptotic features of the closed-loop control systems containing the
pseudoinverse models in their feedback loops. To this end, the memoryless plants having any nonzero gain matri-
ces are considered. Namely, the classes of square non-singular and singular matrices and nonsquare matrices with
arbitrary rank are analyzed. The case where these matrices are known and the case where there is no full informa-
tion on their elements are separately studied. The assumption that there are the unmeasurable arbitrary, but
bounded external disturbances whose bounds may be unknown, in general, is introduced. Three important re-
sults about the asymptotic behavior of the control systems with the pseudoinverse models are obtained. First, it
is shown that, in the absence of uncertainties, the equilibrium state of these systems always exists, and their sta-
bility and optimality are guaranteed. Second, a new effective control law for the stabilization of the ill-con-
ditioned plants with the known gain matrices is proposed. Third, the several conditions guaranteeing the exis-
tence of the equilibrium state and the dissipativeness of the control system in the presence of uncertainties
are established. Asymptotic estimates of upper bounds on the norms of the control input and output vectors
are given.
Keywords: interconnected memoryless plants, closed-loop control system, pseudoinverse model, equilibrium state,
stability, optimality, dissipativeness.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-160127 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:02:45Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гриценко, В.И. Житецкий, Л.С. Соловчук, К.Ю. 2019-10-24T14:28:31Z 2019-10-24T14:28:31Z 2019 Предельные возможности метода псевдообращения для управления линейными много связными объектами без памяти: гарантированные результаты / В.И. Гриценко, Л.С. Житецкий, К.Ю. Соловчук // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 8. — С. 16-24. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2019.08.016 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/160127 681.5 Статья касается дискретного управления линейными многосвязными объектами без памяти с использованием подхода, основанного на псевдообращении моделей. Она отвечает на вопросы, относящиеся к областям
 применимости этого подхода. Цель статьи состоит в том, чтобы выявить некоторые асимптотические
 особенности замкнутых систем управления, содержащих псевдообратные модели в их петлях обратной
 связи. Рассматриваются объекты без памяти, имеющие любые ненулевые матрицы коэффициентов усиления, а именно, анализируются классы квадратных невырожденных и вырожденных матриц, а также
 прямоугольных матриц произвольного ранга. Отдельно изучается случай, когда эти матрицы известны,
 и случай, когда нет полной информации об их элементах. Вводится предположение, что имеются неизмеряемые произвольные, но ограниченные внешние возмущения, границы которых могут быть, вообще говоря,
 неизвестны. Получены три важных результата об асимптотическом поведении систем управления с псевдообратными моделями. Во-первых, показано, что при отсутствии неопределенности всегда существует
 положение равновесия этих систем и гарантируется их устойчивость и оптимальность. Во-вторых, предложен новый эффективный закон управления для стабилизации плохо обусловленных объектов с известными матрицами коэффициентов усиления. В-третьих, установлено несколько условий, гарантирующих
 существование положения равновесия и дисипативность системы управления с неопределенностями. Даны
 также асимптотические оценки верхних границ норм вектора управляющих воздействий и вектора выходных переменных. Стаття стосується дискретного керування лінійними багатозв’язними об'єктами без пам'яті з використанням підходу, основаного на псевдооберненій моделі. Вона відповідає на питання, що відносяться до
 областей застосовності цього підходу. Мета статті полягає в тому, щоб виявити деякі асимптотичні особливості замкнених систем керування, що містять псевдообернені моделі в їх петлях зворотного зв’язку.
 Розглядаються об’єкти без пам’яті, що мають будь-які ненульові матриці коефіцієнтів підсилення, а саме,
 аналізуються класи квадратних невироджених і вироджених матриць, а також прямокутних матриць довільного рангу. Окремо вивчається випадок, коли ці матриці відомі, і випадок, коли немає повної інформації про їхні елементи. Вводиться припущення, що є невимірювальні довільні, але обмежені зовнішні збурення, межі яких можуть бути, взагалі кажучи, невідомі. Отримано три важливих результати про асимптотичну поведінку систем керування з псевдооберненими моделями. По-перше, показано, що за відсутності
 невизначеності завжди існує положення рівноваги цих систем та гарантуються їхні стійкість і оптимальність. По-друге, запропоновано новий ефективний закон керування для стабілізації погано обумовлених
 об’єктів з відомими матрицями коефіцієнтів підсилення. По-третє, встановлено кілька умов, що гарантують існування положення рівноваги і дисипативність системи керування з невизначеностями. Дано також
 асимптотичні оцінки верхніх меж норм вектора керуючих впливів і вектора вихідних змінних. The paper deals with the discrete-time control of the linear interconnected memoryless plants using the pseudoinverse
 model-based approach. It answers the questions related to applicability areas for this approach. The objective
 of the paper is to derive some asymptotic features of the closed-loop control systems containing the
 pseudoinverse models in their feedback loops. To this end, the memoryless plants having any nonzero gain matrices
 are considered. Namely, the classes of square non-singular and singular matrices and nonsquare matrices with
 arbitrary rank are analyzed. The case where these matrices are known and the case where there is no full information
 on their elements are separately studied. The assumption that there are the unmeasurable arbitrary, but
 bounded external disturbances whose bounds may be unknown, in general, is introduced. Three important results
 about the asymptotic behavior of the control systems with the pseudoinverse models are obtained. First, it
 is shown that, in the absence of uncertainties, the equilibrium state of these systems always exists, and their stability
 and optimality are guaranteed. Second, a new effective control law for the stabilization of the ill-conditioned
 plants with the known gain matrices is proposed. Third, the several conditions guaranteeing the existence
 of the equilibrium state and the dissipativeness of the control system in the presence of uncertainties
 are established. Asymptotic estimates of upper bounds on the norms of the control input and output vectors
 are given. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Предельные возможности метода псевдообращения для управления линейными много связными объектами без памяти: гарантированные результаты Граничні можливості методу псевдообернення для керування лінійними багатозв'язними об'єктами без пам'яті: гарантовані результати Limitations of the pseudoinverse method for the control over linear connected memoryless plants: guaranteed results Article published earlier |
| spellingShingle | Предельные возможности метода псевдообращения для управления линейными много связными объектами без памяти: гарантированные результаты Гриценко, В.И. Житецкий, Л.С. Соловчук, К.Ю. Інформатика та кібернетика |
| title | Предельные возможности метода псевдообращения для управления линейными много связными объектами без памяти: гарантированные результаты |
| title_alt | Граничні можливості методу псевдообернення для керування лінійними багатозв'язними об'єктами без пам'яті: гарантовані результати Limitations of the pseudoinverse method for the control over linear connected memoryless plants: guaranteed results |
| title_full | Предельные возможности метода псевдообращения для управления линейными много связными объектами без памяти: гарантированные результаты |
| title_fullStr | Предельные возможности метода псевдообращения для управления линейными много связными объектами без памяти: гарантированные результаты |
| title_full_unstemmed | Предельные возможности метода псевдообращения для управления линейными много связными объектами без памяти: гарантированные результаты |
| title_short | Предельные возможности метода псевдообращения для управления линейными много связными объектами без памяти: гарантированные результаты |
| title_sort | предельные возможности метода псевдообращения для управления линейными много связными объектами без памяти: гарантированные результаты |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/160127 |
| work_keys_str_mv | AT gricenkovi predelʹnyevozmožnostimetodapsevdoobraŝeniâdlâupravleniâlineinymimnogosvâznymiobʺektamibezpamâtigarantirovannyerezulʹtaty AT žiteckiils predelʹnyevozmožnostimetodapsevdoobraŝeniâdlâupravleniâlineinymimnogosvâznymiobʺektamibezpamâtigarantirovannyerezulʹtaty AT solovčukkû predelʹnyevozmožnostimetodapsevdoobraŝeniâdlâupravleniâlineinymimnogosvâznymiobʺektamibezpamâtigarantirovannyerezulʹtaty AT gricenkovi graničnímožlivostímetodupsevdoobernennâdlâkeruvannâlíníinimibagatozvâznimiobêktamibezpamâtígarantovanírezulʹtati AT žiteckiils graničnímožlivostímetodupsevdoobernennâdlâkeruvannâlíníinimibagatozvâznimiobêktamibezpamâtígarantovanírezulʹtati AT solovčukkû graničnímožlivostímetodupsevdoobernennâdlâkeruvannâlíníinimibagatozvâznimiobêktamibezpamâtígarantovanírezulʹtati AT gricenkovi limitationsofthepseudoinversemethodforthecontroloverlinearconnectedmemorylessplantsguaranteedresults AT žiteckiils limitationsofthepseudoinversemethodforthecontroloverlinearconnectedmemorylessplantsguaranteedresults AT solovčukkû limitationsofthepseudoinversemethodforthecontroloverlinearconnectedmemorylessplantsguaranteedresults |