Про наближений аналіз еволюції плоскої поздовжньої гіперпружної хвилі
Описано та прокоментовано деcять варіантів (відомих і нових) наближеного аналізу еволюції плоскої поздовжньої хвилі, яка поширюється в нелінійно гіперпружному середовищі. Показано, що кожен варіант дає відповідь на певний аспект в студії еволюції хвилі. Акцентовано увагу на подібності і відмінності...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2019 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2019
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/160129 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про наближений аналіз еволюції плоскої поздовжньої гіперпружної хвилі / Я.Я. Рущицький // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 8. — С. 34-45. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859976942210514944 |
|---|---|
| author | Рущицький, Я.Я. |
| author_facet | Рущицький, Я.Я. |
| citation_txt | Про наближений аналіз еволюції плоскої поздовжньої гіперпружної хвилі / Я.Я. Рущицький // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 8. — С. 34-45. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Описано та прокоментовано деcять варіантів (відомих і нових) наближеного аналізу еволюції плоскої поздовжньої хвилі, яка поширюється в нелінійно гіперпружному середовищі. Показано, що кожен варіант дає
відповідь на певний аспект в студії еволюції хвилі. Акцентовано увагу на подібності і відмінності в отриманих результатах.
Three approaches (methods) are used to analyze the evolution of a plane longitudinal wave that propagates in a
nonlinear hyperelastic medium — method of successive approximations, method of slowly varying amplitudes,
and method of restriction on the displacement gradient. The evolution is understood as changing the initial wave
profile during the propagation of a wave in the nonlinear elastic medium. Ten variants (known and new) of an
approximate analysis of the evolution of a plane longitudinal wave propagating in an hyperelastic medium are
described and commented. It is shown that each variant gives answer on some aspect in studying the wave evolution.
An attention is drawn to the similarity and the difference in the results of analysis.
Описаны и прокомментированы деcять вариантов (известных и новых) приближенного анализа эволюции плоской продольной волны, распространяющейся в нелинейно гиперупругой среде. Показано, що
каждый вариант дает ответ на некоторый аспект в изучении эволюции волны. Акцентировано внимание на
подобии и отличии в полученных результатах.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:24:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
34 ISSN 10256415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 8: 34—45
Плоскі хвилі (у тому числі пружні) вивчені найбільш повно [1—3]. Аналіз таких хвиль в
рамках лінійного підходу можна вважати закінченим. Однак нелінійний аналіз ще в стані
розвитку і розвивається в різних напрямах. Фрагмент досліджень в одному з таких напря
мів описано в даному повідомленні.
Модель лінійного пружного деформування не описує еволюцію поздовжньої хвилі [1, 2].
Тому для аналізу еволюції застосовується одна з найбільш розвинених моделей нелінійної
теорії пружності — модель Мурнагана [1]. В рамках цієї моделі поширення плоскої поздо
вжньо поляризованої хвилі (Рхвилі) за умови, що лише ця хвиля початково збуджується і
рухається в напрямку осі абсцис, описується наближено квадратично нелінійним хвильо
вим рівнянням [1]
2
1, 1,11 1 1,11 1,1 1, 1,11 1 1,11 1,1( 2 ) ( ) ( )tt tt Lu u N u u u c u N u uρ − λ + µ = → − = ρ , (1)
де 1 [3( 2 ) 2( 3 )]N A B C= λ + µ + + + ; ρ — густина; ku — зміщення; , , , ,A B Cλ µ — пружні сталі
моделі Мурнагана; ( 2 )Lc = λ + µ ρ — швидкість Рхвилі в лінійній моделі. Далі викладено
порівняльний аналіз багатьох (існуючих і нових) варіантів описання еволюції початкового
профілю хвилі. Слід одразу зазначити, що кожен варіант дає відповідь на певний аспект в
студії еволюції хвилі.
Варіант 1 (класичний гармонічний профіль, метод послідовних наближень, перші два на
ближення). Початковий гармонічний профіль хвилі визначається формулою 1 1 1( , 0)u x t k xu= =
© Я.Я. Рущицький, 2019
https://doi.org/10.15407/dopovidi2019.08.034
УДК 539.3
Я.Я. Рущицький, членкореспондент НАН України
Інститут механіки НАН України ім. С.П.Тимошенка, Київ
Email: rushch@inmech.kiev.ua
Про наближений аналіз еволюції
плоскої поздовжньої гіперпружної хвилі
Описано та прокоментовано деcять варіантів (відомих і нових) наближеного аналізу еволюції плоскої поз
довжньої хвилі, яка поширюється в нелінійно гіперпружному середовищі. Показано, що кожен варіант дає
відповідь на певний аспект в студії еволюції хвилі. Акцентовано увагу на подібності і відмінності в отри
маних результатах.
Ключові слова: поздовжня гіперпружна хвиля, спотворення початкового профіля хвилі, варіанти набли
женого аналізу еволюції хвилі.
35ISSN 10256415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 8
Про наближений аналіз еволюції плоскої поздовжньої гіперпружної хвилі
1 1 11( , 0) cos Lou x t k xu= = ( 1ou — початкова амплітуда хвилі; Lk — хвильове число). Вважається, що
відповідна хвиля має вигляд
1 1 11( , ) cos( )Lou x t k x tu= − ω ( ω — частота хвилі). (2)
Стосовно рівняння (1) за методом послідовних наближень перше наближення відпові
дає розв’язку відповідного лінійного хвильового рівняння і збігається з (2). Друге наближен
ня знаходиться як розв’язок неоднорідного лінійного хвильового рівняння (2) (2) (1) (1)
1, 1,11 1,11 1,1
2( ) ( )Ltt v Nu u u u− =
(2) (2) (1) (1)
11, 1,11 1,11 1,1( ) ( )v Nu u u uρ− = і характеризується другою гармонікою
(2) 2 21
1 1 1 11 ( , ) ( ) cos2( )
8( 2 ) o L L
N
u x t x u k k x t
= − ω λ + µ
.
Отже, наближений розв’язок, що відповідає варіанту 1, складається з суми двох гармонік
(2)1
1 1 1 1 11
2 21
1 1 1 1 1
( , ) ( , ) ( , )
cos( ) ( ) cos2( )
8( 2 )
V
o L o L L
u x t u x t u x t
N
u k x t x u k k x t
= + =
= − ω + − ω λ + µ
.
(3)
Розв’язок (3) підтверджує теоретично генерацію другої гармоніки. Цей хвильовий
ефект формується у три етапи. Спочатку хвиля слабко відрізняється від лінійної гармоніч
ної хвилі. Далі зі збільшенням відстані, яку пройшла хвиля, чи часу її поширення, перша
гармоніка сумується з другою, амплітуда якої повільно зростає, і вони утворюють моду
льовану хвилю. Крок за кроком вплив другої гармоніки зростає і вона стає домінантною.
Таким чином, варіант 1 описує еволюцію хвилі як поступовий перехід від профіля у
вигляді першої гармоніки до профілю у вигляді другої гармоніки. Характерну залежність
амплітуди хвилі від часу та відстані поширення хвилі показано на рис. 1.
Розглянемо далі ще варіанти 2 та 3 і порівняємо три перші варіанти з тієї причини, що
вони можуть бути дуже близькими за описом еволюції хвилі.
Варіант 2 (класичний гармонічний профіль, метод обмеження на градієнт зміщення, пер
ші два наближення). Метод обмеження на градієнт зміщення застостосовується до неліній
ного рівняння (1), яке трансформується до вигляду лінійного рівняння зі змінною швидкіс
тю поширення хвилі
2
1, 1,11 0ttu v u− = , 1,11Lv v u= + α , 1[ / ( 2 )]Nα = λ + µ . (4)
Далі початковий профіль хвилі вважається довільною функцією, яка може описувати
гармонічну і поодиноку хвилі 1 1( , 0) ( )u x t F ax= = , де a — довільний параметр, що харак
теризує довжину хвилі. Тоді вводиться фазова змінна 1( )a x vtσ = − і припускається, що
поодинока хвиля поширюється у вигляді
1( , ) ( )u x t F= σ . (5)
Корінь у представленні швидкості записується у вигляді ряду при обмеженні 1,1 1uα = .
Це обмеження дає право наближено представити швидкість двома членами ряду і записати
36 ISSN 10256415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 8
Я.Я. Рущицький
розв’язок у вигляді 1 1 1 1,1( , ) [ ( (1 2) )]Lu x t F a x v t u t≅ − − α . Фазу можна наближено пред ста
вити 1 1,1[ ( ) (1 2) )]L La x v t av u tσ ≈ − − α . Як випливає з останньої формули, фаза складена з
двох частин — класичної фази з постійною фазовою швидкістю 1( )La x v tσ = − і можливо
малого додаткового параметра 1,1(1 2) Lav u tδ = − α . Тоді розв’язок можна розкласти в ряд
Тейлора за малим параметром δ в околі класичного постійного значення фази σ і зберегти
перші два доданки, враховуючи умову
1,1(1 2) 1Lav u tδ = α = . (6)
Оскільки малість 1,1au вже припущена, то це фактично умова на Lav t .
Після певних перетворень наближеному розв’язку можна надати вигляд
2 2
1 1 1,1( , ) ( ) ( ) [ (1 2) ] ( ) (1 2) [ ( )]L Lu x t F F a av u t F a v t F≈ σ + σ δ = − α = σ − α σ′ ′ . (7)
Отримане наближене представлення розв’язку (7) має загальний характер і для різних
конкретно вибраних функцій F описує один і той же нелінійний хвильовий ефект — ви
никнення (окрім першої гармоніки) другої гармоніки чи подібних до неї нових доданків і
збільшення амплітуди другого доданку з часом поширення хвилі.
Рис. 1
37ISSN 10256415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 8
Про наближений аналіз еволюції плоскої поздовжньої гіперпружної хвилі
Нехай початковий профіль хвилі є гармонічним у просторі і описується функцією
1
1( ) Lik xF x e−= . Тоді формула (7) набуває конкретного вигляду
1 1( ) 2 ( )2 2
1 1( , ) (1 2) ( ) ( )L L L Lik x c t ik x c to o
L Lu x t a e c t k a e− − − −= − α . (8)
Характерну залежність амплітуди хвилі (8) від часу та відстані поширення хвилі пока
зано на рис. 2.
Варіант 3 (класичний гармонічний профіль, метод повільно змінних амплітуд). Основним
припущенням методу, як і методу послідовних наближень, є припущення, що слабко
нелінійнe хвильове рівняння є близьким до лінійного рівняння. Термін “повільно змінна
амплітуда” означає, що амплітуда хвилі змінюється мало (не змінюється) на відстані, рівній
одній довжині хвилі. Нелінійний розв’язок рівняння (1) шукають у вигляді [1, 3]
1( )
1 1 1 1 1( , ) Re{ ( ) } ( )cos[ ( )]i k x tu x t A x e a x k x t x−ω= = − ω + ϕ ,
або 1( )
1 1( , ) ( ) i k x tu x t A x e −ω= . (9)
Далі вважається, що задача полягає у вивченні взаємодії трьох хвиль і розв’язок нелі
нійного рівняння (1) має вигляд суми хвиль зі змінною амплітудою
Рис. 2
38 ISSN 10256415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 8
Я.Я. Рущицький
3
1 1 1
1
( , ) ( ) ,mi
m m m m
m
u x t A x e k x tσ
=
= σ = − ω∑ . (10)
При певних обмеженнях отримуються так звані вкорочені рівняння
3 3 3
21
1 1 ,1 1 1 1 1
1 1 1
( )
( )
2( 2 )
n pm
m m n p n p
m n p
iNi
k A e k k A A e
= = =
σ +σσ = −
λ + µ∑ ∑ ∑ . (11)
Далі вводяться умови частотного синхронізму 1 2 3ω ± ω = ω . У цьому випадку вкорочені
рівняння розпадаються на три еволюційні рівняння
13 12 11
11 ,1 1 12 13
( )( ) k k ki xF A A A e − −= σ , 13 12 11
12 ,1 2 11 13
( )( ) k k ki xF A A A e − −= σ ,
13 12 11
13 ,1 3 11 12
( )( ) k k ki xF A A A e − −= σ . (12)
1 1 13 1 13 1 11 12
1
( )
; ; ( 3)
2( 2 ) 2( 2 )
N k k k k N k k
k
δ δ
α α
α
+
σ = − σ = − α + δ =
λ + µ λ + µ
.
Наступним кроком вводять умову синхронізації хвильових чисел 11 12 13k k k± = , яка
умож ливлює аналіз різних задач про взаємодію хвиль. Найпростішою є задача про генера
цію другої гармоніки поздовжньої хвилі. Тут припускається, що третя хвиля початково не
збуджується, тобто, 3 (0) 0A = . Також вважається, що перша і друга хвилі ідентичні (рівні за
амплітудою 1 constA = , хвильовим числом і частотою). Тоді розв’язувати треба лише третє
рівняння системи (12). Відповідний розв’язок має вигляд
1 1
2
1 1
3 1
( )
( ) ( )
2( 2 )
Lx A
N k
A = −
λ + µ
. (13)
Таким чином, при прийнятих спрощеннях третя хвиля має на виході з середовища час
тоту 12ω і хвильове число 12 Lk , тобто, вона є другою гармонікою для першої хвилі. Але при
цьому амплітуда третьої хвилі зростає прямо пропорційно шляху 1x , який пройшла хвиля.
Також вона залежить від квадрату амплітуди 2
1( )A і квадрату хвильового числа 2
1Lk першої
хвилі. Така задача часто використовується як приклад у нелінійній оптиці як така, що адек
ватно описує експерименти про генерацію другої гармоніки. Класичний дослід з оптичною
хвилею є таким: червоне світло рубінового лазера перетворюється на фіолетове при поши
ренні в кристалі амонія дігідрогенфосфату.
Отже, у цьому варіанті отримується такий факт, що через певний час після початку руху
хвилі у вигляді першої гармоніки додатково до першої гармоніки приєднується друга гар
моніка з амплітудою, що виникає через механізм самогенерації хвилі і зростає з часом по
ширення хвилі. Тому спільним для варіантів 1—3 є поява у розв’язку другої гармоніки, яка
поступово накладається на першу і через якийсь час стає домінуючою. Відмінність цих ва
ріантів полягає в різній швидкості еволюції з причини різних обмежень на малість парамет
рів хвилі.
Варіант 4 (дзвіноподібний профіль, метод послідовних наближень, перші два наближен
ня). Дзвіноподібним називають профіль у вигляді функції Гаусса і тому хвиля з таким про
39ISSN 10256415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 8
Про наближений аналіз еволюції плоскої поздовжньої гіперпружної хвилі
філем має згідно з представленням (6) вигляд
2 2
1 1( , ) ou x t eu −σ= . (14)
За методом, перше наближення є розв’язком лінійного рівняння і має вигляд (14). Друге
наближення можна шукати як розв’язок неоднорідного рівняння
(2) (2) (1) (1)2
11, 1,11 1,11 1,1( ) ( )Lttu v u N u u− = ρ , (15)
або
2(2) (2)2 2 3 2
11, 1,11 1( ) ( ) ( ) (1 )Ltt ou v u N a eu −σ− = ρ σ − σ . (16)
Спроба знайти розв’язок рівняння (16) у вигляді
2(2)
1 ( )u A e−σ= σ показує, що цей роз в’я зок
є розв’язком відповідного однорідного рівняння (хвилею Д’Алямбера). Тоді роз в’я зок слід
ускладнити у такий спосіб:
2(2)
1 ( )u tA e−σ= σ . (17)
При підстановці (17) в ліву частину рівняння (16) і заміні
2 /2( ) ( )A B e−σσ = σ отри муємо
диференціальне рівняння щодо функції ( )B σ
22 2 2 /2
1[ ( ) 3( 1) ( )] ( ) (1 )oB B a eu σσ + σ − σ = α σ − σ′′ , 1[ ( 2 )]Nα = λ + µ .
Однорідне рівняння 2( ) 3( 1) ( ) 0B Bσ + σ − σ =′′ відповідає рівнянню (11) (2.173) [5] при
0, 3, 3a b c= = = і може бути зведене до рівняння Уіттекера.
Таким чином, друге наближення матиме складний математичний запис, який ще слід знай
ти і відповідно проаналізувати чисельно еволюцію хвилі в рамках двох перших наближень.
Варіант 5 (дзвіноподібний профіль, метод обмеження на градієнт зміщення, перші два
наближення). Метод описано у варіанті 2, профіль — у варіанті 4. Тому досить записати кін
цеву формулу для перших двох наближень [4]
2 22 2 2 2
1 1( , ) (1 2) ( )o o
Lu x t A e u t c a A e−σ −σ= − α σ . (18)
Перш за все, хвиля еволюціонує і профіль спотворюється симетрично через появу “дру
гої гармоніки”, амплітуда якої нелінійно зростає з часом поширення хвилі. Математична
простота отримання другої гармоніки пов’язана з можливістю використання лише першої
похідної функції Гаусса.
Характерну залежність амплітуди хвилі від часу і відстані поширення хвилі показано на
рис. 3. На верхньому графіку початковий профіль накладено на спотворений. Нижній гра
фік є тривимірним, на якому видно еволюцію як у часі, так і в просторі.
Порівняння зі зміною профіля гармонічної хвилі показує, що дзвіноподібна хвиля змі
нює свій профіль дещо поіншому. “Друга гармоніка” завжди дає від’ємну добавку. Отже,
схили “дзвону” стають крутішими. Верхня частина “дзвону” западається і утворюються два
“дзвони”. Оскільки хвиля пружна і втрат енергії не може бути, то зміна профілю узгоджу
ється з законом про збереження енергії хвилі при її поширенні.
40 ISSN 10256415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 8
Я.Я. Рущицький
Варіант 6 (профіль у вигляді функції Уіттекера, метод обмеження на градієнт зміщен
ня, перші два наближення). Функція Уіттекера , ( )k mW z означена для всіх значень ,k m і для
всіх невід’ємних дійсних z . Вона може бути представлена через вироджену гіпергеоме т
ричну функцію ( , , )a c zΦ
1
2 2
,
1
( ) , 2 1,
2
z
m
k mW z e z m k m z
− + = Φ − + +
.
Метод описано у варіанті 2, початковий профіль хвилі має наступний вигляд:
1/4;1/4( ) ( )oF x a W x= . (19)
Тоді формула (7) набуває конкретної форми
2 2 / 2
0 1/4;1/4 0 1/4;1/4( , ) ( ) (1 2) ( ) [ ( )]Lu x t a W t c a a W= σ − α σ =
2
2 2
0 1/4;1/4 0 1/4;1/4
1 1
( ) (1 2) ( ) ( )
4 2La W t c a a aW
= σ − α − σ σ
. (20)
З вигляду розв’язку (20) випливає, що він описує зміну початкового профілю одинич
ної хвилі через присутність нелінійної складової і прямої залежності нелінійної складової
від часу і, більш конкретно, описує “ розпливання” початкового профілю.
Рис. 3
41ISSN 10256415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 8
Про наближений аналіз еволюції плоскої поздовжньої гіперпружної хвилі
Отримана формула (20) може бути використана для числового моделювання ево
люції хвилі. Характерну залежність амплітуди хвилі від часу і відстані поширення хвилі
показано на рис. 4. На верхньому рисунку початковий профіль (верхня крива) накладено
на спотворений. Нижній рисунок є тривимірним, на якому видно еволюцію як у часі, так
і в просторі.
Отже, поодинока хвиля з несиметричним профілем у вигляді функції Уіттекера ево
люціонує у трьох напрямах: зменшується початкова амплітуда, ліва та права частини горба
поступово стають крутішими, сам профіль поступово стає більш симетричним, що нагадує
двіноподібний профіль. Підошва хвилі у всіх випадках залишається незмінною.
Варіант 7 (класичний гармонічний профіль, метод послідовних наближень, перші три
наближення). Профіль і метод описані в варіанті 1. Далі зручно представити розв’язок в
рамках двох перших наближень у вигляді [1]
(1 2)
1 1 11 ( , ) cos cos2o ou x t u u Mx+ = σ + σ ,
2 2
21
1 1 1 1 12 4
1 1
( )
8( 2 ) 8 8
L
o L o o
L L
N k
M u k N u N u
v v
ω
= = =
λ + µ ρ ρ
.
Рис. 4
42 ISSN 10256415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 8
Я.Я. Рущицький
Згідно з методом, третє наближення знаходиться як розв’язок рівняння
(3) (3) (2) (2)2
11, 1,11 1,11 1,1( ) ( )Lttu v u N u u− = ρ . (21)
Цей розв’язок є таким [1]:
(3) 3 3
1 11 2 2
1 1
8 5 4 11
( ) ( ) sin 4 cos4
3 2 3 8( ) ( )
o L
L L
u u M x
k x k x
= − + σ + − + σ
. (22)
Отже, третє наближення вводить у розв’язок четверту гармоніку. Відповідно четверте
наближення буде вводити восьму гармоніку (на кожному кроці гармоніки подвоюються [1]).
Розв’язок у рамках перших трьох наближень має вигляд
(1 2 3) (0) (1) (2)
1 1 1 1 1 1 12 1 1 1
3 3
1 1 2 2
1 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) cos cos2
8 5 4 11
( ) ( ) sin 4 cos4 .
3 2 3 8( ) ( )
o o L
o L
L L
u x t u x t u x t u x t u u M x
u M x
k x k x
+ + = + + = σ + σ +
+ − + σ + − + σ
(23)
Основний хвильовий ефект полягає у тому, що початково профіль хвилі слабко від
різняється від першої гармоніки, хоча друга і четверта гармоніки вже впливають на форму
профілю. Зі збільшенням відстані, яку пройшла хвиля, зростає вплив другої гармоніки і
вона стає домінуючою, однак далі домінуючою стає четверта гармоніка. Це змінює розу
міння другої гармоніки як основної, що відповідає теоретичним результатам варіантів
1—3 і експериментам на оптичних хвилях. Можна припустити, що експеримент на більш
довгій дистанції покаже в певних випадках домінування четвертої гармоніки.
Варіант 8 (поодинокий профіль 1( )F x , метод обмеження на градієнт зміщення, перші
три наближення). Метод описано у варіанті 2. Припускається, що початковий профіль по
ширюється у вигляді
1( , ) ( )u x t F= σ , (24)
де 1,11Lv v u= + α — змінна швидкість нелінійної хвилі. Далі корінь 1,11 u+ α розкла да
ється в ряд за малим параметром 1,1uα зі збереженням не двох перших членів, а трьох
2 2
1,1 1,1 1,11 1 (1 2) (1 8) ( )u u u+ α = + α − α . (25)
Наближене представлення (25) може бути потрактоване як збереження перших трьох
апроксимацій в аналізі нелінійного хвильового рівняння (1). Оскільки швидкість хвилі те
пер записується у вигляді 2 2
1,1 1,1[1 (1 2) (1 8) ( ) ]Lv v u u= + α − α , то наближений розв’язок
можна представити у формі, яка узагальнює відповідне представлення з варіанта 2
1 1 1 1,1 1,1( , ) { ( ) (1 2) [1 (1 4) ]}L L Lu x t F a x v t t v u v u≅ − − α − α . (26)
Припущення щодо малості величини 1,1 1,1(1 2) [1 (1 4) ]L Lt v u v u∗δ = − α − α дозводяє роз
класти функцію (26) у ряд Тейлора за малим параметром ∗δ в околі класичного постійно
43ISSN 10256415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 8
Про наближений аналіз еволюції плоскої поздовжньої гіперпружної хвилі
го значення 1( )La x v tσ = − і зберегти лише перші два члени
/ / /2
1 1 ,1 ,1 ,1
/ /2 2
,1 ,1
( , ) ( ) ( ) {(1 2) ( )[1 (1 4) ( )]}
( ) (1 2) [ ( )] [1 (1 4) ( )].
L L
L L
u x t F F a t v F av F
F a v t F av F
≈ σ − σ α σ − α σ =
= σ − α σ − α σ
(27)
Таким чином, розв’язок в рамках трьох апроксимацій (27) включає додатковий множ
ник /
,1[1 (1 4) ( )]Lav F− α σ у порівняння з (7), що вносить антисиметричні зміни в форму
початкового профілю в характерну для (7) симетричну форму дисторсії профілю хвилі.
Величину антисиметричної дисторсії можна виявити провівши чисельні розрахунки, для
чого потрібні значення фізичних постійних інженерних матеріалів, які можна знайти в
ряді наукових публікацій (зокрема, в [6]).
Слід зазначити, що представлення (27) містить у третьому наближенні кубічну нелі
нійність, що у випадку гармонічного профілю означає наявність третьої гармоніки на від
міну від ефекту з варіанта 7, де після другої гармоніки генерується четверта.
Варіант 9 (профіль у вигляді функції Гаусса, метод обмеження на градієнт зміщень, пер ші
три наближення). Профіль описано у варіанті 6, метод — у варіанті 2. Підстановка виразу
2 2/ 2 2
,1,1( ) ( )o oF A e a A e−σ −σσ = = − σ в формулу (27) дає розв‘язок у вигляді трьох доданків
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
1 1
2 2 2 2 2 3 2 3 3 3 /2
( , ) (1 2) ( ) [1 (1 4) ]
(1 2) ( ) (1 8) ( ) ( ) .
o o o
L L
o o o
L L
u x t A e t c a A e av A e
A e t c a A e t a v A e
−σ −σ −σ
−σ −σ − σ
= − α σ + α σ =
= − α σ + α σ
(28)
Якщо умовно вважати вираз
2 2e−σ першою гармонікою, то розв’язок (28) включає пер
ші три гармоніки. Еволюція профілю хвилі описується тепер більш складно і вона приско
рюється у порівнянні з підходом з варіанта 5.
Варіант 10 (профіль у вигляді функції Уіттекера, метод обмеження на градієнт змі
щень, перші три наближення). Профіль описано у варіанті 6, метод — у варіанті 2. Фор
малізм отримання розв’язку такий самий, як і у варіанті 9. Підстановка виразу /
,1( ) ( ( )) ( )F a W a a aWσ = σ = − σ
0 1/4;1/4 ,1 0 1/4;1/4
1 1
( ) ( ( )) ( )
4 2
F a W a a aW
σ = σ = − σ σ
в формулу (27) дає розв’язок у вигляді трьох
доданків
2 2 / 2
0 1/4;1/4 0 1/4;1/4
2
4 2
0 1/4;1/4 0 1/4;1/4
3
5 3
2 0 1/4;1/4
( , ) ( ) (1 2) ( )( ) [ ( )]
1 1
( ) ( ) 1 ( )
3 2
1 1
( ) ( ) 1 ( ) .
16 2
L
L
L
u x t a W x t c a a W x
a W t c a a W
t c a W
= − α =
= σ − α − σ − σ
− α − σ σ
(29)
Якщо умовно вважати вираз 1/4;1/4( )W σ першою гармонікою, то розв’язок (29) включає
перші три гармоніки. Еволюція профілю хвилі описується тепер складніше і вона приско
рюється у порівнянні з підходом з варіанту 6.
44 ISSN 10256415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 8
Я.Я. Рущицький
Таким чином, всі три застосовані методи (послідовних наближень, повільно змінних
амплітуд, обмеження на градієнт зміщення) добре пристосовані до аналізу еволюції хвилі з
гармонічним профілем. Спотворення більш складних профілів у вигляді функцій Гаусса і
Уіттекера аналізуються успішно методом обмеження на градієнт зміщення. Представлення
хвилі в рамках двох і трьох перших наближень і відповідно еволюція хвилі істотно відріз
няються в рамках методів послідовних наближень і обмеження на градієнт зміщення. При
цьому метод послідовних наближень описує генерацію першої, другої, четвертої, восьмої і
т.д. гармонік, тоді як метод обмеження на градієнт зміщення описує всі гармоніки послі
довно — першу, другу, третю і т.д. Наслідком цього маємо різні сценарії еволюції хвилі.
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Rushchitsky J.J. Nonlinear Elastic Waves in Materials. Series: Foundations of engineering mechanics.
Heidelberg: Springer, 2014. 454 p. https://doi.org/10.1007/9783319004648
2. Rabinovich M.I., Trubetskov D.I. Oscillations and Waves in Linear Systems. New York: Kluwer Academic
Publishers, 1989. 586 p.
3. Rushchitsky J.J. Theory of waves in materials. Copenhagen: Ventus Publishing ApS, 2012. 270 p.
4. Yurchuk V.N., Rushchitsky J.J. Numerical Analysis of Evolution of the Plane Longitudinal Nonlinear Elastic
Waves with Different Initial Profiles. Int. App. Mech. 2017. 53, № 1. P. 104—110. https://doi.org/10.1007/
s1077801707946
5. Kamke E. Differentialgleichungen. Lösungmethoden und Lösungen. Wiesbaden: Vieweg+Teubner, Springer
Fachmedien Wiesbaden GmbH, 1977. 636 p. https://doi.org/10.1007/9783663059257
6. Rushchitsky J.J., Cattani C., Sinchilo S.V. Physical constants for one type of nonlinearly elastic fibrous micro
and nanocomposites with hard and soft nonlinearities. Int. Appl. Mech. 2005. 41, № 12. P. 1368–1377. https://
doi.org/10.1007/s1077800600449
Надійшло до редакції 01.05.2019
REFERENCES
1. Rushchitsky, J. J. (2014). Nonlinear Elastic Waves in Materials. Series: Foundations of engineering mechanics.
Heidelberg: Springer. https://doi.org/10.1007/9783319004648
2. Rabinovich, M. I. & Trubetskov, D. I. (1989). Oscillations and Waves in Linear Systems. New York: Kluwer
Academic Publishers.
3. Rushchitsky, J. J. (2012). Theory of waves in materials. Copenhagen: Ventus Publishing ApS.
4. Yurchuk, V. N. & Rushchitsky, J. J. (2017). Numerical Analysis of Evolution of the Plane Longitudinal Nonlinear
Elastic Waves with Different Initial Profiles. Int. App. Mech., 53, No. 1, pp. 104110. https://doi.org/10.1007/
s1077801707946
5. Kamke, E. (1977). Differentialgleichungen. Lösungmethoden und Lösungen. Wiesbaden: Vieweg+Teubner,
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH. https://doi.org/10.1007/9783663059257
6. Rushchitsky, J. J., Cattani, C. & Sinchilo, S. V. (2005). Physical constants for one type of nonlinearly elastic
fib rous micro and nanocomposites with hard and soft nonlinearities. Int. Appl. Mech., 41, No. 12, pp. 1368
1377. https://doi.org/10.1007/s1077800600449
Received 01.05.2019
45ISSN 10256415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 8
Про наближений аналіз еволюції плоскої поздовжньої гіперпружної хвилі
Я.Я. Рущицкий
Институт механики НАН Украины им. С.П. Тимошенко, Киев
Email: rushch@inmech.kiev.ua
О ПРИБЛИЖЕННОМ АНАЛИЗЕ ЭВОЛЮЦИИ
ПЛОСКОЙ ПРОДОЛЬНОЙ ГИПЕРУПРУГОЙ ВОЛНЫ
Описаны и прокомментированы деcять вариантов (известных и новых) приближенного анализа эволю
ции плоской продольной волны, распространяющейся в нелинейно гиперупругой среде. Показано, що
каждый вариант дает ответ на некоторый аспект в изучении эволюции волны. Акцентировано внимание на
подобии и отличии в полученных результатах.
Ключевые слова: продольная гиперупругая волна, искажение начального профиля волны, варианты при
ближенного анализа эволюции волны.
J.J. Rushchitsky
S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kyiv
Email: rushch@inmech.kiev.ua
ON THE APPROXIMATE ANALYSIS OF THE EVOLUTION
OF A PLANE LONGITUDINAL HYPERELASTIC WAVE
Three approaches (methods) are used to analyze the evolution of a plane longitudinal wave that propagates in a
nonlinear hyperelastic medium — method of successive approximations, method of slowly varying amplitudes,
and method of restriction on the displacement gradient. The evolution is understood as changing the initial wave
profile during the propagation of a wave in the nonlinear elastic medium. Ten variants (known and new) of an
approximate analysis of the evolution of a plane longitudinal wave propagating in an hyperelastic medium are
described and commented. It is shown that each variant gives answer on some aspect in studying the wave evo
lution. An attention is drawn to the similarity and the difference in the results of analysis.
Keywords: longitudinal hyperelastic wave, distortion of a wave initial profile, variants of approximate analysis of
the wave evolution.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-160129 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:24:03Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Рущицький, Я.Я. 2019-10-24T14:29:04Z 2019-10-24T14:29:04Z 2019 Про наближений аналіз еволюції плоскої поздовжньої гіперпружної хвилі / Я.Я. Рущицький // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 8. — С. 34-45. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2019.08.034 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/160129 539.3 Описано та прокоментовано деcять варіантів (відомих і нових) наближеного аналізу еволюції плоскої поздовжньої хвилі, яка поширюється в нелінійно гіперпружному середовищі. Показано, що кожен варіант дає відповідь на певний аспект в студії еволюції хвилі. Акцентовано увагу на подібності і відмінності в отриманих результатах. Three approaches (methods) are used to analyze the evolution of a plane longitudinal wave that propagates in a nonlinear hyperelastic medium — method of successive approximations, method of slowly varying amplitudes, and method of restriction on the displacement gradient. The evolution is understood as changing the initial wave profile during the propagation of a wave in the nonlinear elastic medium. Ten variants (known and new) of an approximate analysis of the evolution of a plane longitudinal wave propagating in an hyperelastic medium are described and commented. It is shown that each variant gives answer on some aspect in studying the wave evolution. An attention is drawn to the similarity and the difference in the results of analysis. Описаны и прокомментированы деcять вариантов (известных и новых) приближенного анализа эволюции плоской продольной волны, распространяющейся в нелинейно гиперупругой среде. Показано, що каждый вариант дает ответ на некоторый аспект в изучении эволюции волны. Акцентировано внимание на подобии и отличии в полученных результатах. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Про наближений аналіз еволюції плоскої поздовжньої гіперпружної хвилі On the approximate analysis of the evolution of a plane longitudinal hyperelastic wave О приближенном анализе эволюции плоской продольной гиперупругой волны Article published earlier |
| spellingShingle | Про наближений аналіз еволюції плоскої поздовжньої гіперпружної хвилі Рущицький, Я.Я. Механіка |
| title | Про наближений аналіз еволюції плоскої поздовжньої гіперпружної хвилі |
| title_alt | On the approximate analysis of the evolution of a plane longitudinal hyperelastic wave О приближенном анализе эволюции плоской продольной гиперупругой волны |
| title_full | Про наближений аналіз еволюції плоскої поздовжньої гіперпружної хвилі |
| title_fullStr | Про наближений аналіз еволюції плоскої поздовжньої гіперпружної хвилі |
| title_full_unstemmed | Про наближений аналіз еволюції плоскої поздовжньої гіперпружної хвилі |
| title_short | Про наближений аналіз еволюції плоскої поздовжньої гіперпружної хвилі |
| title_sort | про наближений аналіз еволюції плоскої поздовжньої гіперпружної хвилі |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/160129 |
| work_keys_str_mv | AT ruŝicʹkiiââ pronabliženiianalízevolûcííploskoípozdovžnʹoígíperpružnoíhvilí AT ruŝicʹkiiââ ontheapproximateanalysisoftheevolutionofaplanelongitudinalhyperelasticwave AT ruŝicʹkiiââ opribližennomanalizeévolûciiploskoiprodolʹnoigiperuprugoivolny |