О стабилизации движения неточных аффинных систем
В статье рассматриваются аффинные системы с неточными значениями параметров для стабилизации которых применяется линейное управление. Исследование устойчивости и ограниченности движения проводится прямым методом Ляпунова. Вводится понятие пары нелинейно стабилизируемой системы и устанавливаются дос...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2019 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2019
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/160234 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О стабилизации движения неточных аффинных систем / А.А. Мартынюк, Л.Н. Чернецкая, Ю.А. Мартынюк-Черниенко // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 9. — С. 3-11. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-160234 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Мартынюк, А.А. Чернецкая, Л.Н. Мартынюк-Черниенко, Ю.А. 2019-10-28T16:17:09Z 2019-10-28T16:17:09Z 2019 О стабилизации движения неточных аффинных систем / А.А. Мартынюк, Л.Н. Чернецкая, Ю.А. Мартынюк-Черниенко // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 9. — С. 3-11. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2019.09.003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/160234 531.01 В статье рассматриваются аффинные системы с неточными значениями параметров для стабилизации которых применяется линейное управление. Исследование устойчивости и ограниченности движения проводится прямым методом Ляпунова. Вводится понятие пары нелинейно стабилизируемой системы и устанавливаются достаточные условия устойчивости и ограниченности движения, включая случай устойчивости на конечном интервале времени. Розглядаються афінні системи з неточними значеннями параметрів, для стабілізації яких застосовується лінійне керування. Дослідження стійкості і обмеженості руху проводиться прямим методом Ляпунова. Вводиться поняття пари нелінійно стабілізованої системи і встановлюються достатні умови стійкості та обмеженості руху, включаючи випадок стійкості на скінченному інтервалі часу. The article discusses affine systems with uncertain parameter values, for the stabilization of which the linear control is applied. The study of the stability and boundedness of the motion is carried out by the direct Lyapunov method. The concept of a pair of nonlinearly stabilized systems is introduced, and the sufficient conditions for the stability and boundedness of the motion are established, including the case of stability over a finite time in terval. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика О стабилизации движения неточных аффинных систем Про стабілізацію руху неточних аффінних систем On the stabilization of the motion of uncertain affine systems Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О стабилизации движения неточных аффинных систем |
| spellingShingle |
О стабилизации движения неточных аффинных систем Мартынюк, А.А. Чернецкая, Л.Н. Мартынюк-Черниенко, Ю.А. Математика |
| title_short |
О стабилизации движения неточных аффинных систем |
| title_full |
О стабилизации движения неточных аффинных систем |
| title_fullStr |
О стабилизации движения неточных аффинных систем |
| title_full_unstemmed |
О стабилизации движения неточных аффинных систем |
| title_sort |
о стабилизации движения неточных аффинных систем |
| author |
Мартынюк, А.А. Чернецкая, Л.Н. Мартынюк-Черниенко, Ю.А. |
| author_facet |
Мартынюк, А.А. Чернецкая, Л.Н. Мартынюк-Черниенко, Ю.А. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2019 |
| language |
Russian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про стабілізацію руху неточних аффінних систем On the stabilization of the motion of uncertain affine systems |
| description |
В статье рассматриваются аффинные системы с неточными значениями параметров для стабилизации
которых применяется линейное управление. Исследование устойчивости и ограниченности движения проводится прямым методом Ляпунова. Вводится понятие пары нелинейно стабилизируемой системы и устанавливаются достаточные условия устойчивости и ограниченности движения, включая случай устойчивости на конечном интервале времени.
Розглядаються афінні системи з неточними значеннями параметрів, для стабілізації яких застосовується
лінійне керування. Дослідження стійкості і обмеженості руху проводиться прямим методом Ляпунова.
Вводиться поняття пари нелінійно стабілізованої системи і встановлюються достатні умови стійкості та
обмеженості руху, включаючи випадок стійкості на скінченному інтервалі часу.
The article discusses affine systems with uncertain parameter values, for the stabilization of which the linear
control is applied. The study of the stability and boundedness of the motion is carried out by the direct Lyapunov
method. The concept of a pair of nonlinearly stabilized systems is introduced, and the sufficient conditions
for the stability and boundedness of the motion are established, including the case of stability over a finite
time in terval.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/160234 |
| citation_txt |
О стабилизации движения неточных аффинных систем / А.А. Мартынюк, Л.Н. Чернецкая, Ю.А. Мартынюк-Черниенко // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 9. — С. 3-11. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT martynûkaa ostabilizaciidviženiânetočnyhaffinnyhsistem AT černeckaâln ostabilizaciidviženiânetočnyhaffinnyhsistem AT martynûkčernienkoûa ostabilizaciidviženiânetočnyhaffinnyhsistem AT martynûkaa prostabílízacíûruhunetočnihaffínnihsistem AT černeckaâln prostabílízacíûruhunetočnihaffínnihsistem AT martynûkčernienkoûa prostabílízacíûruhunetočnihaffínnihsistem AT martynûkaa onthestabilizationofthemotionofuncertainaffinesystems AT černeckaâln onthestabilizationofthemotionofuncertainaffinesystems AT martynûkčernienkoûa onthestabilizationofthemotionofuncertainaffinesystems |
| first_indexed |
2025-11-26T01:43:57Z |
| last_indexed |
2025-11-26T01:43:57Z |
| _version_ |
1850605766073909248 |
| fulltext |
3
МАТЕМАТИКА
ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 9: 3—11
© А.А. Мартынюк, Л.Н. Чернецкая, Ю.А. Мартынюк-Черниенко, 2019
https://doi.org/10.15407/dopovidi2019.09.003
УДК 531.01
А.А. Мартынюк, Л.Н. Чернецкая, Ю.А. Мартынюк-Черниенко
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев
E-mail: center@inmech.kiev.ua
О стабилизации движения неточных аффинных систем
Представлено академиком НАН Украины А.А. Мартынюком
В статье рассматриваются аффинные системы с неточными значениями параметров для стабилизации
которых применяется линейное управление. Исследование устойчивости и ограниченности движения про-
водится прямым методом Ляпунова. Вводится понятие пары нелинейно стабилизируемой системы и ус-
танавливаются достаточные условия устойчивости и ограниченности движения, включая случай устой-
чивости на конечном интервале времени.
Ключевые слова: афинная система, нелинейная стабилизируемость, устойчивость, метод функций
Ля пунова.
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
МАТЕМАТИКА
В настоящей работе приведены некоторые подходы к проблеме стабилизации движения не-
точных аффинных систем (НАФ), основанные на идеях прямого метода Ляпунова. Ука зано,
что при различных предположениях о динамических свойствах решений номинальной си-
стемы, метод функций Ляпунова остается эффективным инструментом решения проблемы
устойчивости рассматриваемой аффинной системы.
Постановка задачи. Рассматривается система уравнений управляемого движения аф-
финной системы с неточными значениями параметров
/ ( , ) ( ( ) ( , , ))dx dt F t x B u t g t x= + + α (1)
при начальных условиях
0 0( )x t x= . (2)
Состояние системы (1) представлено вектором ( ) nx t R∈ при всех t +∈ , вектор-
функция ( , )n nF C R R R+∈ × , B — n m× -постоянная матрица, u U∈ — вектор управления,
( , )n ng C R R R+∈ × ×ℑ — вектор-функция нелинейных составляющих системы (1) с не точ-
ными значениями параметров, dRα∈ℑ⊂ , 1d � , — компактное множество в dR . Пред по ла-
гается, что движение системы (1) происходит под действием управления
( ) ( )u t Kx t= − , (3)
4 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 9
А.А. Мартынюк, Л.Н. Чернецкая, Ю.А. Мартынюк-Черниенко
где K — постоянная матрица соответствующей размерности.
Далее будем рассматривать уравнения движения (1) при начальных условиях (2)
/ ( , ( )) ( ) ( , ( ), )dx dt F t x t BKx t Bg t x t= − + α (4)
при некоторых предположениях о паре ( , )F K и функциях ( , , )g t x α , представляющих не-
линейные члены и ''неточности'' в системе (4).
Установим условия устойчивости и ограниченности движения в системе (4).
Условия устойчивости и ограниченности. Напомним следующие понятия (см. [1]).
Определение 1. Аффинную систему (4) будем называть устойчивой, если ее нулевое
ре шение асимптотически устойчиво по Ляпунову при любом значении параметра α∈ℑ .
Определение 2. Решение 0 0( ) ( , , )x t x t t x= , НАФ системы является ограниченным,
если существует постоянная 0β > такая, что ( )x t < β при всех 0t t� при любом значении
параметра α∈ℑ , где β может зависеть от каждого решения системы (4) и параметра α∈ℑ .
Определение 3. Пара ( , )F K является нелинейно стабилизируемой если для системы
уравнений
/ ( , )dx dt F t x BKx= − (5)
существует локально большая определенно положительная и убывающая функция ( , )V t x ,
локально липшицева по x с постоянной 0M > такая, что
2
(5) 1( , ( )) | ,D V t x t a x+ −� (6)
где 1 0a > и 0 0( ) ( , , )x t x t t x= .
Замечание 1. Если ( , )F t x Ax= , где A — n n× -постоянная матрица, то пара ( , )A K
является стабилизируемой в обычном смысле (см. [2]), так как условие (6) эквивалентно
следующему:
( ) ,A BK t te Me− −β� (7)
где 0M > и 0β < — некоторые постоянные.
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 1. Предположим, что для системы (4) выполняются следующие условия:
1) управление (3) образует с вектор-функцией ( , )F t x нелинейную управляемую пару
( , )F K ;
2) существуют постоянные 2 0a > , 3 0a � такие, что
2
2 3( , , )g t x a x a xα +� (8)
при всех ( , , ) nt x R R+α ∈ × ×ℑ ;
3) выполняется неравенство 1 2 0a M B a− > .
Тогда
а) если 3 0a = , то НАФ система (4) устойчива;
б) если 3 0a ≠ и оценка (8) выполняется при всех ( , ) nt x R R+∈ × , то движение НАФ (4)
ограничено.
5ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 9
О стабилизации движения неточных аффинных систем
Доказательство. Поскольку функция V(t, x) определенно положительная и убываю-
щая, найдутся постоянные 1 2( , ) 0c c > такие, что
2 2
1 2( , )c x V t x c x� � (9)
при всех ( , )t x R D+∈ × , nD R⊆ . Вдоль решений системы (4) верна оценка
2
(4) 1( , ( )) | ( , , )D V t x t a x M B g t x+ − + α� � 2
1 2 3( )a M B a x M B a x− − +
при всех ( , )t x R D+∈ × . Если 3 0a = и выполняется условие (3) теоремы 1, то
2
(4) 1 2( , ( )) | ( )D V t x t a M B a x+ − −� (10)
и, согласно теореме Ляпунова, состояние 0x = асимптотически устойчиво. Поскольку оцен-
ка (10) выполняется при любом значении α∈ℑ , система (4) устойчива.
Если 3 0a ≠ , то
(4)( , ( )) | 0D V t x t+ � (11)
в области значений nx ∈ : 3
1 2
M B a
x
a M B a
>
−
. Согласно теореме 10.1 из монографии [1] ре-
шения 0 0( , , )x t t x НАФ системы (4) равномерно ограничены и поскольку неравенство (11)
выполняется при любом значении α∈ℑ , НАФ система (4) ограничена. Теорема 1 доказана.
Определение 4. Пара ( , )F K является нелинейно стабилизируемой относительно
функции ( , )V t x , указанной в определении 3, если выполняется условие
(4) 1( , ( )) | ( ) ( , ( )),D V t x t f t V t x t+ −� (12)
где функция 1( ) > 0f t непрерывна на любом конечном интервале.
Замечание 2. Условие (12) эквивалентно условию (6) при выполнении оценки (9) для
функции ( , )V t x .
Рассмотрим систему (4) при следующем предположении о вектор-функции неточностей:
1H . Существуют постоянные 4 0a > и 5 0a � такие, что
4 5( , , )g t x a x aα +� (13)
при всех ( , , )t x R D+α ∈ × ×ℑ .
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть для системы (4) построена функция ( , )V t x такая, что:
1) выполняются оценки (9) и (12);
2) вектор-функция ( , , )g t x α удовлетворяет оценке (13) при всех ( , , )t x R D+α ∈ × ×ℑ .
Тогда
а) если 5 0a = , то система (4) ограничена в области значений
nx R∈ : 4
1 2( )
M B a
x
f t c
> ;
6 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 9
А.А. Мартынюк, Л.Н. Чернецкая, Ю.А. Мартынюк-Черниенко
б) если 5 0a ≠ , то система (4) ограничена в области значений nx R∈ :
22 2 1/2
4 4 1 2 5
1 2
( 4 ( ) )
2 ( )
M B a M B a f t c M B a
x
f t c
+ +
> .
Доказательство. Для функции ( , )V t x вдоль решений 0 0( , , )x t t x системы (4) верна
оценка
2
(1. 4) 1 1 2( , ( )) | ( ) ( , ( )) ( , , ) ( )D V t x t f t V t x t M B g t x f t c x+ − + α −� � +
2
4 5 1 2( ) ( )M B a x a f t c x+ + = − + 4 5M B a x M B a+ . (14)
Если 5 0a = , то оценка (14) приводится к виду
(4) 1 2 4( , ( )) | ( ( ) )D V t x t f t c x M B a x+ − −� .
Отсюда следует
(4)( , ( )) | 0D V t x t+ �
при всех t R+∈ и 4
1 2( )
M B a
x
f t c
> . В этом случае, согласно теореме 10.1 из монографии [1],
движение НАФ (4) ограничено.
Если 5 0a ≠ , то при выполнении условия (б) теоремы 2 (4)( , ( )) | 0D V t x t+ � и, следо-
вательно, вместе с условием (9) получаем условия ограниченности движения системы (4).
Теорема 2 доказана.
Определение 5. Пара ( , )F K является асимптотически нелинейно стабилизируемой,
если существуют функция ( , )V t x , указанная в определении 3, и непрерывная функция
1( )tϕ такие, что
(4) 1( , ( )) | ( ) ( , ( ))D V t x t t V t x t+ ϕ� (15)
при всех ( , ) nt x R R+∈ × и
0
1( )
t
t
s dsϕ → −∞∫ при t → +∞ .
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть для системы (4) выполняются следующие условия:
1) пара ( , )F K асимптотически нелинейно стабилизируемая;
2) существует интегрируемая функция 2( )tϕ такая, что
2( , , ) ( ) ( , ( )), 1kg t x t V t x t kα ϕ >� , 16)
при всех ( , , ) nt x R R+α ∈ × ×ℑ ;
7ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 9
О стабилизации движения неточных аффинных систем
3) при всех 0t t� выполняется неравенство
0
1
1
1
0 2 11 ( 1) ( )exp ( 1) ( ) 0
t t k
k
t s
k V M B s k d ds
−
−
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟− − ϕ − ϕ τ τ >⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∫ ∫ .
Тогда нулевое решение НАФ системы (4) устойчиво.
Доказательство. Для функции ( , )V t x при выполнении условий (1), (2) теоремы 3 имеем
(4) 1( , ( )) | ( ) ( , ( )) ( , , )D V t x t t V t x t M B g t x+ ϕ + α� �
1 2( ) ( , ( )) ( ) ( , ( ))kt V t x t M B t V t x tϕ + ϕ� . (17)
Обозначим ( ) ( , ( ))z t V t x t= , где 0 0( ) ( , , )x t x t t x= — решение НАФ системы (4). Оцен-
ку (17) представим в виде
1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )kD z t t z t M B t z t+ ϕ + ϕ� , (18)
откуда получим интегральное неравенство
0
0 1 2( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ))
t
k
t
z t z t s z s M B s z s ds+ ϕ + ϕ∫� . (19)
Вычислим 0 0 0max { ( , ) : }IV V t x x D= ∈ и перепишем неравенство (19) в псевдолиней-
ной форме
0
1
1 2( ) ( ( ) ( ) ( )) ( )
t
k
I
t
z t V s M B s z s z s ds−+ ϕ + ϕ∫� .
Применяя к этому неравенству технику оценивания из работ [3, 4], получим оценку
0
0
1
1
1
1
2 1
exp ( )
( , ( )) .
1 ( 1) ( )exp ( 1) ( )
t
I
t
t t k
k
I
t s
V s ds
V t x t
k V M B s k d ds
−
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟ϕ
⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟− − ϕ − ϕ τ τ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∫
∫ ∫
� (20)
При выполнении условия (3) теоремы 3 оценка (20) верна при всех 0[ , )t t∈ ∞ . Не-
трудно показать, что движение системы (4) асимптотически устойчиво. Поскольку оценка
(20) верна при всех α∈ℑ , имеет место устойчивость движения НАФ системы. Теорема 3
доказана.
Определение 6. Пара ( , )F K является практически стабилизируемой, если существуют
две функции: ( , )V t x , указанная в определении 3, и функция ( , )W t V , ( , )W C R R R+ +∈ × ,
неубывающая по V такие, что
8 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 9
А.А. Мартынюк, Л.Н. Чернецкая, Ю.А. Мартынюк-Черниенко
(4)( , ( )) | ( , ( , ))D V t x t W t V t x+ � , (21)
а решение уравнения сравнения
0 0/ ( , ( )), ( )dr dt W t r t r t r= +σ = ,
удовлетворяет определенному типу ограничений. Здесь ( ) :t R R+ +σ → — ограниченная
функция на любом конечном интервале J R+⊆ .
Лемма 1. Если
0
0( ) ( ) ( , ( )) ( )
t
t
u t t W s u s ds r tσ + +∫� ,
где ( )tσ и ( )u t — непрерывные функции на J R+⊂ , то
0 0( ) ( , , ) ( )u t r t t r t+σ� ,
где 0 0( , , )r t t r — максимальное решение уравнения.
Доказательство этого утверждения имеется в работе [5].
Далее понадобятся следующие обозначения:
( ) { : }, ( ) { : };n nB a x R x a B a x R x a= ∈ < = ∈ �
( ) inf { ( , ) : }, ( ) { ( , ) : },m MV t V t x x V t V t x xββ = = β = = β
( ) sup{ ( , ) : }, ( ) sup{ ( , ) : ( ) \ ( )},V t V t x x V t V t x x B Bββ
δ= < β = ∈ β δ δ < β .
Будем предполагать, что функция ( , )V t x является локально липшицевой и для лю-
бой пары чисел 0 < β < γ выполняется оценка
| ( , ) ( , ) | , 0V t x V t y M x y M− − >� ,
при всех t J∈ и ( , ) ( ) \ ( )x y B B∈ γ β . Как и выше, 0 0( ) ( , , )x t x t t x= — семейство решений
управляемой системы (4), начинающееся в множестве 00 0 0( , [ , ])t x x x∈ .
Определение 7. Аффинная система (4) устойчива относительно величин 0( , , , )t Tβ γ ,
0 < β γ� , если для любой траектории ( )x t с начальными условиями 0( )x t < β следует, что
( )x t < γ при всех 0t t� , 0 0[ , )t J t t T∈ = + , и при любом α∈ℑ .
Лемма 2 (см. [6]). Пусть
1) пара ( , )F K является практически стабилизируемой и оценка (15) выполняется для
значений ( , ) ( ( ) \ ( ))t x J B B∈ × γ β ;
2) существует интегрируемая на любом конечном интервале функция ( )tξ такая, что
( , , ) ( )g t x tα ξ� (22)
при всех ( , , ) ( ( ) \ ( ))t x J B Bα ∈ × γ β ×ℑ ;
3) существует максимальное решение уравнения сравнения
1 1/ ( , ( )), ( ) ,dr dt W t r t r t r= +σ = (23)
9ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 9
О стабилизации движения неточных аффинных систем
где 1
1 1 1( ) ( )
x
Mr V t t= −σ , а
1
( ) ( )
t
t
t M B s dsσ = ξ∫ , t J∈ , 1 ( ) \ ( )x B B∈ γ β .
Тогда при всех 1t t� верна оценка
1 1( , ( )) ( , , ) ( )V t x t r t t r t+σ� (24)
вдоль множества решений ( ) ( ) \ ( )x t B B∈ γ β .
Доказательство. Для функции ( , )V t x в области значений ( , ) ( ( ) \ ( ))t x J B B∈ × γ β имеем
(4)( , ( )) | ( , ( , ( ))) ( , , )D V t x t W t V t x t M B g t x+ + α� �
( , ( , ( ))) ( ).W t V t x t M B t+ ξ� (25)
Интегрируя неравенство (25) от 1t до t , получим
1
1 1 1( , ( )) ( , ( )) ( ) ( ) ( , ( , ( )))
t
t
V t x t V t x t t t W s V s x s ds−σ +σ + ∫� . (26)
Применяя к неравенству (26) лемму 1, получим оценку (24) при всех 1t t� .
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть выполняются все условия леммы 2 и максимальное решение уравнения
(23) с начальным условием 0 0 0 0( ) ( ) ( )r t r V t tβ= = −σ удовлетворяет оценке
0 0( , , ) ( ) ( )mr t t r V t tγ< −σ (27)
при всех 0t t� .
Тогда управляемая система (4) робастно устойчива относительно величин 0( , , , )t Tβ γ .
Доказательство. Пусть ( )x t — любое решение системы (4), начинающееся в множест-
ве начальных значений 0 0( , )t x . Предположим, что существует момент 1t J∈ такой, что
1( )x t = γ . Согласно лемме 2 имеем оценку
0 0( , ( )) ( , , ) ( )V t x t r t t r t+σ� при всех 0t t� .
Отсюда, учитывая условие (27), получаем
1 1 1 1 0 0 1 1( ) ( , ( )) ( , , ) ( ) < ( )m mV t V t x t t t r t V tγ γ+ σ� � .
Это неравенство противоречит существованию 1t J∈ такого, что 1( )x t = γ . Учи-
тывая, что условия теоремы 4 выполняются при всех α∈ℑ , приходим к заключению об
устойчи вости движения НАФ системы (4) относительно величин 0( , , , )t Tβ γ . Теорема 4
доказана.
Заключительные замечания. Для системы уравнений (1) предложены достаточные
условия устойчивости и ограниченности движения на основе метода функций Ляпунова в
сочетании с методом интегральных неравенств и принципом сравнения. Ограничения “не-
точных нелинейностей” вида (8), (13), (16), (22) дополняют известные ограничения неточ-
10 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 9
А.А. Мартынюк, Л.Н. Чернецкая, Ю.А. Мартынюк-Черниенко
ностей, которые рассмотрены в работах [7— 9] и др. Из их вида следует, что метод функ-
ций Ляпунова является универсальным методом анализа устойчивости движения рас-
сматриваемого класса НАФ систем.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Yoshizava T. Stability Theory by Liapunov's Second Method. Tokyo: Math. Soc. Japan, 1966.
2. Zak S.H. On the stabilization and observation of non-linear uncertain dynamic systems. IEEE Trans. Automat.
Control. 1990. AC 35. P. 604—607.
3. Louartassi Y., El Houssine El Mazoudi, Noureddine E. A new generalization of lemma Gronwall–Bellman.
Appl. Math. Sci. 2012. № 6(13). Р. 621—628.
4. Martynyuk A. A. Novel Bounds for Solutions of Nonlinear Differential Equations. Appl. Math. 2015. № 6.
Р. 182—194.
5. Rao M.R.M. Upper and lower bounds of the norm of solutions of nonlinear Volterra integral equations. Proc.
Not. Acad. Sci. (India). 1963. № 33. Р. 263—266.
6. Tsokos C.P., Rao M.R.M. Finite time stability of control systems and integral inequalities. Bul. Inst. Politech.
Lasi. 1969. 15(19). № 1—2. Р. 105—112.
7. Corless U., Leitmann G. Deterministic Control of Uncertain Systems via a Constructive Use of Lyapunov
Stability Theory. Berlin: Springer, 1989.
8. Martynyuk A.A., Martynyuk-Chernienko Yu. A. Uncertain Dynamical Systems: Stability and Motion Cont-
rol. Boca Raton: CRC Press, 2012. 296 p.
9. Blancini F. Lyapunov methods in robustness – an overview. Univ. di Udine, Italy (manuscript). 2016. 73 p.
Поступило в редакцию 19.06.2019
REFERENCES
1. Yoshizava, T. (1966). Stability Theory by Liapunov’s Second Method. Tokyo: Math. Soc. Japan.
2. Zak, S. H. (1990). On the stabilization and observation of non-linear uncertain dynamic systems. IEEE Trans.
Automat. Control. AC 35. pp. 604-607.
3. Louartassi, Y., El Houssine El Mazoudi & Noureddine, E. (2012). A new generalization of lemma Gronwall–
Bellman. Appl. Math. Sci., No. 6(13), pp. 621-628.
4. Martynyuk, A. A. (2015). Novel bounds for solutions of nonlinear differential equations. Appl. Math., No. 6,
pp. 182-194.
5. Rao, M. R. M. (1963). Upper and lower bounds of the norm of solutions of nonlinear Volterra integral equations.
Proc. Not. Acad. Sci. (India), No. 33, pp. 263-266.
6. Tsokos, C. P. &Rao, M. R. M. (1969). Finite time stability of control systems and integral inequalities. Bul.
Inst. Politech. Lasi., 15(19). No. 1-2, pp. 105-112.
7. Corless, U. & Leitmann, G. (1989). Deterministic Control of Uncertain Systems via a Constructive Use of
Lyapunov Stability Theory. Berlin: Springer.
8. Martynyuk, A. A. & Martynyuk-Chernienko, Yu. A. (2012). Uncertain Dynamical Systems: Stability and
Motion Control. Boca Raton: CRC Press.
9. Blancin,i F. (2016). Lyapunov methods in robustness — an overview. Univ. di Udine, Italy (manuscript). 73 p.
Received 19.06.2019
А.А.Мартинюк, Л.М.Чернецька,
Ю.А.Мартинюк-Чернієнко
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенко НАН України, Київ
E-mail: center@inmech.kiev.ua
ПРО СТАБІЛІЗАЦІЮ РУХУ НЕТОЧНИХ АФФІННИХ СИСТЕМ
Розглядаються афінні системи з неточними значеннями параметрів, для стабілізації яких застосовується
лінійне керування. Дослідження стійкості і обмеженості руху проводиться прямим методом Ляпунова.
11
О стабилизации движения неточных аффинных систем
ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 9
Вводиться поняття пари нелінійно стабілізованої системи і встановлюються достатні умови стійкості та
обмеженості руху, включаючи випадок стійкості на скінченному інтервалі часу.
Ключові слова: афінна система, нелінійна стабілізованість, стійкість, метод функцій Ляпунова.
A.A. Martynyuk, L.N. Chernetskaya,
Yu.A. Martynyuk-Chernienko
S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kyiv
E-mail: center@inmech.kiev.ua
ON THE STABILIZATION OF THE MOTION
OF UNCERTAIN AFFINE SYSTEMS
The article discusses affine systems with uncertain parameter values, for the stabilization of which the linear
control is applied. The study of the stability and boundedness of the motion is carried out by the direct Lya-
punov method. The concept of a pair of nonlinearly stabilized systems is introduced, and the sufficient con-
ditions for the stability and boundedness of the motion are established, including the case of stability over a finite
time in terval.
Keywords: affine system, nonlinear stabilizability, stability, Lyapunov function method.
|