Про обмеженість l-індексу цілих розв'язків одного диференціального рівняння
Estimates of the l-index for entire solutions of the differential equation z2w′′ + (β0 z2 + β1 z)w′ + (γ0 z2 + γ1z + γ2)w = 0 are obtained.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
"Доповіді НАН України"
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1603 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про обмеженість l-індексу цілих розв'язків одного диференціального рівняння / З.М. Шеремета, М.М. Шеремета // Доп. НАН України. — 2007. — N 2. — С. 31-36. — назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859718350811168768 |
|---|---|
| author | Шеремета, З.М. Шеремета, М.М. |
| author_facet | Шеремета, З.М. Шеремета, М.М. |
| citation_txt | Про обмеженість l-індексу цілих розв'язків одного диференціального рівняння / З.М. Шеремета, М.М. Шеремета // Доп. НАН України. — 2007. — N 2. — С. 31-36. — назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Estimates of the l-index for entire solutions of the differential equation z2w′′ + (β0 z2 + β1 z)w′ + (γ0 z2 + γ1z + γ2)w = 0 are obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-01T08:46:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.925.4
© 2007
З. М. Шеремета, М. М. Шеремета
Про обмеженiсть l-iндексу цiлих розв’язкiв одного
диференцiального рiвняння
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Б. Й. Пташником)
Estimates of the l-index for entire solutions of the differential equation z2w′′+(β0z
2+β1z)w′+
+ (γ0z
2 + γ1z + γ2)w = 0 are obtained.
Однолиста аналiтична в D = {z : |z| < 1} функцiя f називається опуклою, якщо f(D) —
опукла область. Добре вiдомо [1, c. 203], що умова Re{1 + zf ′′(z)/f ′(z)} > 0 (z ∈ D) є
необхiдною i достатньою для опуклостi f . Функцiя f називається [1, c. 583] близькою до
опуклої в D, якщо iснує опукла в D функцiя Φ така, що Re(f ′(z)/Φ′(z)) > 0 (z ∈ D). Кожна
близька до опуклої функцiя є однолистою в D, i тому f ′(0) 6= 0.
Для додатної неперервної на [0,+∞) функцiї l цiла функцiя f називається функцiєю
обмеженого l-iндексу [2, c. 5], якщо iснує N ∈ Z+ таке, що для всiх n ∈ Z+ i z ∈ C
|f (n)(z)|
n!ln(|z|) 6 max
{ |f (k)(z)|
k!lk(|z|) : 0 6 k 6 N
}
. (1)
Найменше з таких чисел N називається l-iндексом i позначається через N(f, l). Якщо G ⊂
⊂ C та iснує N ∈ Z+ таке, що нерiвнiсть (1) правильна для всiх n ∈ Z+ i z ∈ G, то
f називатимемо функцiєю обмеженого l-iндексу на (або в) G, а l-iндекс позначатимемо
через N(f, l;G). Зауважимо, що якщо l(x) ≡ 1, то з (1) отримуємо означення цiлої функцiї
обмеженого iндексу, введене Б. Лепсоном [3] для вивчення властивостей цiлих розв’язкiв
лiнiйних диференцiальних рiвнянь зi сталими коефiцiєнтами i використане У. Хейманом [4]
для дослiдження розподiлу значень таких розв’язкiв.
Ще у 1940 р. Р. Боас [5] довiв, що якщо щонайбiльше скiнченна кiлькiсть похiдних цiлої
функцiї f експоненцiального типу 6 ln 2 є однолистими в D, то f — многочлен. C. Шах
i С. Трiмбле [6] поширили цей результат на цiлi функцiї з усiма однолистими в D похiд-
ними, або з деякою послiдовнiстю однолистих в D похiдних. Їх дослiдження продовжено
в працях [7–9].
Проблемi близькостi до опуклостi всiх похiдних цiлої функцiї присвячено значно мен-
ше праць, а добре вiдомою є тiльки стаття С. Шаха [10], в якiй вказано умови на дiйснi
коефiцiєнти β0, β1, γ0, γ1, γ2 диференцiального рiвняння
z2w′′ + (β0z
2 + β1z)w′ + (γ0z
2 + γ1z + γ2)w = 0, (2)
за яких iснує такий цiлий розв’язок f , що всi його похiднi є близькими до опуклих у D
функцiями. Дослiдження С. Шаха продовжено в статтях [11, 12], i у випадку комплексних
параметрiв β0, β1, γ0, γ1, γ2 доведено [12] такi твердження.
Теорема А. Якщо γ0 = 0, β0 6= 0, β1 + γ2 = 0, |β1| < 2 i 2(|β0| + |γ1|)/(2 − |β1|) < ln 2,
то iснує цiлий розв’язок
f(z) = z +
∞
∑
n=2
fnzn (3)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 31
диференцiального рiвняння (2) такий, що f , f ′, f ′′, . . . є близькими до опуклих у D функцi-
ями i ln Mf (r) = (1 + o(1))|β0|r, r → ∞, де Mf (r) = max{|f(z)| : |z| = r}.
Теорема Б. Нехай β0 6= 0, γ0 6= 0, β1 + γ2 = 0, |β1| < 2 i
2|β0| + 2|γ1|
2 − |β1|
+
6|β0| + 3|γ1| + 3|γ0|
2(3 − |β1|)
+
2|γ0|
3(4 − |β1|)
< 1.
Тодi iснує цiлий розв’язок (3) рiвняння (2) такий, що f , f ′, f ′′, . . . є близькими до опуклих
у D функцiями i lnMf (r) = (1 + o(1))|σ|r, r → ∞, де або σ =
1
2
∣
∣
∣
−β0 +
√
β2
0 − 4γ0
∣
∣
∣
, або
σ =
1
2
∣
∣
∣
−β0 −
√
β2
0 − 4γ0
∣
∣
∣
.
Теорема В. Нехай β0 = γ0 = 0, β1 + γ2 = 0, |β1| < 2, γ1 6= 0 i 2|γ1|/(2 − |β1|) < 4/5.
Тодi iснує цiлий розв’язок (3) рiвняння (2) такий, що f , f ′, f ′′, . . . є близькими до опуклих
у D функцiями i ln Mf (r) = (1 + o(1))
√
|γ1|r, r → +∞.
У даному повiдомленнi ми доповнимо цi результати оцiнками l-iндексу функцiї (3).
Теорема 1. Кожна з похiдних f (ν) (ν > 0) цiлого розв’язку (3) рiвняння (2) є обме-
женого l-iндексу, причому
а) l(x) ≡ 3ν + 5 i N(f (ν), l) 6 max{2,m}, а
m =
exp
{
2(|β0| + |γ1|)
2 − |β1|
}
− 1
1 − 1
2
exp
{
2(|β0| + |γ1|)
2 − |β1|
}
+ 1
за умов теореми А;
б) l(x) ≡ 3ν + 5 i N(f (ν), l) 6 max{2,m}, а
m =
4|β0| + 4|γ1|
2 − |β1|
+
6|γ0|
2(3 − |β1|)
1 − 2|β0| + 2|γ1|
2 − |β1|
− 6|β0| + 3|γ1| + 3|γ0|
2(3 − |β1|)
− 2|γ0|
3(4 − |β1|)
+ 1
за умов теореми Б;
в) l(x) = (2ν + 5)min
{√
2, 1/
√
x
}
i N(f (ν), l) 6 m = 134 за умов теореми В.
1. Оцiнки N (f (ν), l ;D1/2). Для оцiнок l-iндексу функцiї (3) та її похiдних в D1/2 =
= {z : |z| 6 1/2} будемо використовувати деякi оцiнки з [12] i таку лему.
Лема. Якщо
∞
∑
n=2
n|an| 6 α < 1, то функцiя a(z) = z +
∞
∑
n=2
anzn є обмеженого l-iндексу
в D1/2 з l(x) ≡ 2 i N(a, 2; D1/2) 6 [2α/(1 − α)] + 1.
Справдi, 0 < 1 − α 6 |a′(z)| 6 1 + α для |z| 6 1, а за нерiвнiстю Кошi для |z| 6 1/2
i m > 1 маємо |a(m+1)(z)| 6 m!2m max{|a′(z)| : |z| 6 1}. Тому для z ∈ D1/2 i m > 2α/(1 − α)
|a(m+1)(z)|
(m + 1)!2m+1
6
1 + α
(m + 1)(1 − α)
|a′(z)|
2
6
|a′(z)|
2
6 max
{ |a′(z)|
2
, |a(z)|
}
,
тобто функцiя a є обмеженого l-iндексу в D1/2 з l(x) ≡ 2 i N(a, 2; D1/2) 6 [2α/(1 − α)] + 1.
Зробимо ще два зауваження, якi випливають з означення обмеженостi l-iндексу.
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №2
Зауваження 1. Якщо f — цiла функцiя обмеженого l-iндексу в G i a = const 6= 0, то
функцiя F (z) = af(z) обмеженого l-iндексу в G i N(F, l;G) = N(f, l;G).
Зауваження 2. Якщо l1(x) 6 l2(x) i f є обмеженого l1-iндексу N в G, то f є обмеженого
l2-iндексу 6 N в G.
Позначимо F0 = f (0) = f i F0,n = fn, тобто F0(z) = z +
∞
∑
n=2
F0,nzn. Далi, для ν >
> 1 маємо f (ν)(z) =
∞
∑
n=0
f
(ν)
n zn, де f (ν)
n =
(n + ν)!
n!
fn+ν > 0. Тому згiдно iз зауваженням 1
N(f (ν), l; D1/2) = N(Fν , l; D1/2), де Fν(z) = (f (ν)(z) − f
(ν)
0 )/f
(ν)
1 = z +
∞
∑
n=2
Fn,νzn, F0,ν = 0,
F1,ν = 1 i Fn,ν = f (ν)
n /f
(ν)
1 . У [12] показано, що для кожного ν > 0 за умов теореми А
∞
∑
n=2
n|Fn,ν | 6 exp
{
2(|β0| + |γ1|)
2 − |β1|
}
− 1,
за умов теореми Б
∞
∑
n=2
n|Fn,ν | 6
2(|β0| + |γ1|)
2 − |β1|
+
3|γ0|
2(3 − |β1|)
1 − 3(2|β0| + |γ1|)
2(3 − |β1|)
− 2|γ0|
3(4 − |β0|)
i за умов теореми В
∞
∑
n=2
n|Fn,ν | 6
∞
∑
n=1
1
(n!)2
(
2|γ1|
2 − |β1|
)n
6
∞
∑
n=1
1
(n!)2
(
4
5
)n
< 0,985.
Тому за лемою N(f (ν), 2; D1/2) = N(Fν , 2; D1/2) 6 m, де m визначено так, як у формулюваннi
теореми 1.
2. Оцiнки N (f (ν), l;C \ D1/2). Припустимо, що виконуються умови теореми А. Тодi
з умови 2(|β0| + |γ1|)/(2 − |β1|) < ln 2 випливає, що |β0| 6 1, |γ1| 6 1, а диференцiальне
рiвняння (2) має вигляд
z2w′′ + (β0z
2 + β1z)w′ + (γ1z − β1)w = 0. (4)
Пiдставивши сюди w = f(z), для |z| > 1/2 неважко отримати
|f ′′(z)|
2!52
6 max
{ |f ′(z)|
1!5
, |f(z)|
}
. (5)
Пiдставивши в (4) w = f(z) i продиференцiювавши m > 1 раз, дiстанемо
z2f (m+2)(z) + (β0z
2 + (2m + β1)z)f (m+1)(z) +
+ ((2mβ0 + γ1)z + (m + β1)(m−1))f (m)(z) + (β0m(m−1) + γ1)f
(m−1)(z) ≡ 0, (6)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 33
звiдки для |z| > 1/2 отримуємо
|f (m+2)(z)|
(m + 2)!5m+2
6
|β0| + 4m + 2|β1|
5(m + 2)
|f (m+1)(z)|
(m + 1)!5m+1
+
+
4m|β0| + 4m + 2|γ1| + 4(m + β1)(m − 1)
52(m + 2)(m + 1)
|f (m)(z)|
m!5m
+
+
4m(m − 1)|β0| + 4|γ1|
53(m + 2)(m + 1)m
|f (m−1)(z)|
(m − 1)!5m−1
6
6
124m2 + 261m + 109
125m2 + 375m + 250
max
{ |f (k)(z)|
k!5k
: m − 1 6 k 6 m + 1
}
<
< max
{ |f (k)(z)|
k!5k
: m − 1 6 k 6 m + 1
}
. (7)
З нерiвностей (7) i (5) випливає нерiвнiсть N(f, 5; C \ D1/2) 6 1. Для ν > 1 i n > 0 тотож-
нiсть (6) можна записати у виглядi
z2f (ν+n+3)(z) + (β0z
2 + (2ν + 2n + 2 + β1)z)f (m+1)(z) + ((2ν + 2n + 2)β0 + γ1)z +
+ (ν + n + 1 + β1)(ν + n))f (m)(z) + (β0(ν + n + 1)(ν + n) + γ1)f
(ν+n)(z) ≡ 0,
звiдки для |z| > 1/2
|f (ν+n+3)(z)|
(n + 3)!(3ν + 5)n+3
6
1 + 2(2ν + 2n + 4)
(n + 3)(3ν + 5)
|f (ν+n+2)(z)|
(n + 2)!(3ν + 5)n+2
+
+
2(2ν + 2n + 3) + 4(ν + n + 3)(ν + n)
(n + 3)(n + 2)(3ν + 5)2
|f (ν+n+1)(z)|
(n + 1)!(3ν + 5)n+1
+
+
4(ν + n + 1)(ν + n) + 4
(n + 3)(n + 2)(n + 1)(3ν + 5)3
|f (ν+n)(z)|
(ν + n)!(3ν + 5)n
6
6 Q(ν, n)max
{
|f (ν+k)(z)|
k!(3ν + 5)k
: n 6 k 6 n + 2
}
,
де
Q(ν, n) =
4ν + 4n + 9
(n + 3)(3ν + 5)
+
8ν2 + 16nν + 8n2 + 20ν + 20n + 10
(n + 3)(n + 2)(3ν + 5)2
< 1.
Отже, для |z| > 1/2
|f (ν+n+3)(z)|
(n + 3)!(3ν + 5)n+3
6 max
{ |f (ν+k)(z)|
k!(3ν + 5)k
: n 6 k 6 n + 2
}
,
звiдки випливає, що
N(f (ν), 3ν + 5; C \ D1/2) 6 2.
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №2
Подiбно доводиться, що за умов теореми Б N(f, 5; C\D1/2) 6 1 i N(f (ν), 3ν+5; C\D1/2) 6
6 3 (ν > 1).
Нарештi, нехай виконуються умови теореми В. Тодi з умови 2|γ1|/(2 − |β1|) < 4/5 ви-
пливає, що |γ1| < 1, i оскiльки β0 = 0, то з (4) замiсть (5) для |z| > 1/2 тепер маємо
|f ′′(z)|(
√
|z|)2
2!52
6
|β1|
10
√
|z|
|f ′(z)|
√
|z|
1!5
+
|γ1||z| + |β1|
50|z|2 |f(z)| 6
6
13
25
max
{ |f ′(z)|
√
|z|
1!5
, |f(z)|
}
6 max
{ |f ′(z)|
√
|z|
1!5
, |f(z)|
}
. (8)
З цих же причин з (6) для m > 1 i |z| > 1/2 подiбно отримуємо
|f (m+2)(z)|(
√
|z|)m+2
(m + 2)!5m+2
6
2m + |β1|
5
√
|z|(m + 2)
|f (m+1)(z)|(
√
|z|)m+1
(m + 1)!5m+1
+
+
(
(m + |β1|)(m − 1)
|z|2 +
|γ1|
|z|
) |z|
25(m + 2)(m + 1)
|f (m)(z)|(
√
|z|)m
m!5m
+
+
|γ1|
|z|2
|z|
√
|z|
125(m + 2)(m + 1)m
|f (m−1)(z)|(
√
|z|)m−1
(m − 1)!5m−1
6
< max
{ |f (j)(z)|(
√
|z|)j
j!5j
: m − 1 6 j 6 m + 1
}
. (9)
З (9) i (8) випливає нерiвнiсть
N
(
f,
5
√
|z|
; C \ D1/2
)
6 1.
Нарештi, з (6) для ν > 1 i m > 0 маємо
|f (ν+n+3)(z)|(
√
|z|)n+3
(n + 3)!(2ν + 5)n+3
6
2(ν + n + 1)
√
2
(n + 3)(2ν + 5)
|f (ν+n+2)(z)|(
√
|z|)n+2
(n + 2)!(2ν + 5)n+2
+
+
1 + 4(ν + n + 2)(ν + n)
(n + 3)(n + 2)(2ν + 5)2
|f (ν+n+1)(z)|(
√
|z|)n+1
(n + 1)!(2ν + 5)n+1
+
+
√
2
(n + 3)(n + 2)(n + 1)(2ν + 5)3
|f (ν+n)(z)|(
√
|z|)n
n!(2ν + 5)n
6
6 Q(ν, n)max
{ |f (ν+j)(z)|(
√
|z|)j
j!5j
: n 6 j 6 n + 2
}
,
де
Q(ν, n) =
4(ν + n + 1)
(n + 3)(2ν + 5)
+
4(ν + n + 2)(ν + n) + 3
(n + 3)(n + 2)(2ν + 5)2
< 1,
звiдки одержуємо нерiвнiсть
N
(
f (ν),
2ν + 5
√
|z|
; C \ D1/2
)
6 2.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 35
3. Доведення теореми 1. У п. 1 доведено, що N(f (ν), 2; D1/2) 6 m для всiх ν > 0.
З iншого боку, як показано в п. 2, за умов теореми А N(f, 3ν +5; C \D1/2) 6 1 i N(f (ν), 3ν +
+ 5; C \ D1/2) 6 2, ν > 1. Тому згiдно iз зауваженням 2 N(f (ν), 3ν + 5) 6 max{2,m}.
За умов теореми Б доведення теореми 1 таке ж.
Нарештi, за умов теореми В маємо N(f (ν), 2; D1/2) 6 134 (ν > 0), N(f, 5/
√
|z|; C\D1/2) 6
6 1 i N(f (ν), (2ν + 5)/
√
|z|; C \ D1/2) 6 2 (ν > 1). Тому, якщо приймемо l(x) = (2ν +
+ 5)min{
√
2, 1/
√
x}, то l(|z|) > 2 для |z| 6 1/2, l(|z|) = (2ν + 5)/
√
|z|} для |z| > 1/2 i згiдно
iз зауваженням 2 N(f (ν), l) 6 134.
1. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – Москва: Наука, 1966. –
628 с.
2. Sheremeta M.M. Analytic functions of bounded index. – Lviv: VNTL Publishers, 1999. – 141 p.
3. Lepson B. Differential equations of infinite order, hyperdirichlet series and entire functions of bounded
index // Proc. Symp. Pure Math. Vol. 2. Amer. Math. Soc., Providence, Phode Island. – 1968. – P. 298–307.
4. Hayman W.K. Differential inequalities and local valency // Pacific J. Math. – 1973. – 44. – P. 117–137.
5. Boas R. P. Univalent derivatives of entire functions // Duke Math. J. – 1940. – 6. – P. 719–721.
6. Shah S.M., Trimble S. Y. Entire functions with some derivatives univalent // Canad. J. Math. – 1974. –
24. – P. 207–213.
7. Шеремета М.Н. О целых функциях с однолистными в круге производными // Укр. мат. журн. –
1991. – 43, № 3. – С. 400–406.
8. Шеремета М.М. Спростування однiєї гiпотези Шаха про однолистi функцiї // Мат. студiї. – 1993. –
2. – С. 46–48.
9. Шеремета М.М. Про аналiтичнi в крузi функцiї з однолистими похiдними // Мат. методи та фiз.-мех.
поля. – 1997. – 40, № 4. – С. 58–65.
10. Shah S.M. Univalence of a function f and its successive derivatives when f satisfies a differential equation,
II // J. Math. Anal. and Appl. – 1989. – 142. – P. 422–430.
11. Шеремета З.М. О свойствах целых решений одного дифференциального уравнения // Дифференц.
уравнения. – 2000. – 36, № 8. – С. 1–6.
12. Шеремета З.М., Шеремета М.Н. Близость к выпуклости целых решений одного дифференциаль-
ного уравнения // Там же. – 2002. – 38, № 4. – С. 477–481.
Надiйшло до редакцiї 04.07.2006Iнститут прикладних проблем
математики i механiки НАН України, Львiв
Львiвський нацiональний унiверситет
iм. Iвана Франка
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1603 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T08:46:34Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | "Доповіді НАН України" |
| record_format | dspace |
| spelling | Шеремета, З.М. Шеремета, М.М. 2008-08-28T13:41:55Z 2008-08-28T13:41:55Z 2007 Про обмеженість l-індексу цілих розв'язків одного диференціального рівняння / З.М. Шеремета, М.М. Шеремета // Доп. НАН України. — 2007. — N 2. — С. 31-36. — назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1603 517.925.4 Estimates of the l-index for entire solutions of the differential equation z2w′′ + (β0 z2 + β1 z)w′ + (γ0 z2 + γ1z + γ2)w = 0 are obtained. uk "Доповіді НАН України" Математика Про обмеженість l-індексу цілих розв'язків одного диференціального рівняння Article published earlier |
| spellingShingle | Про обмеженість l-індексу цілих розв'язків одного диференціального рівняння Шеремета, З.М. Шеремета, М.М. Математика |
| title | Про обмеженість l-індексу цілих розв'язків одного диференціального рівняння |
| title_full | Про обмеженість l-індексу цілих розв'язків одного диференціального рівняння |
| title_fullStr | Про обмеженість l-індексу цілих розв'язків одного диференціального рівняння |
| title_full_unstemmed | Про обмеженість l-індексу цілих розв'язків одного диференціального рівняння |
| title_short | Про обмеженість l-індексу цілих розв'язків одного диференціального рівняння |
| title_sort | про обмеженість l-індексу цілих розв'язків одного диференціального рівняння |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1603 |
| work_keys_str_mv | AT šeremetazm proobmeženístʹlíndeksucílihrozvâzkívodnogodiferencíalʹnogorívnânnâ AT šeremetamm proobmeženístʹlíndeksucílihrozvâzkívodnogodiferencíalʹnogorívnânnâ |