Об оценивании функционалов от решения линеаризованной задачи Навье-Стокса по неполным данным
We investigate the problem of minimax estimation of an unknown solution to the linearized Navier-Stokes problem under the assumption that unknown deterministic data of this problem, as well as the statistical characteristics of noises in observations, are subjected to certain quadratic restrictions....
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
"Доповіді НАН України"
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1605 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об оценивании функционалов от решения линеаризованной задачи Навье - Стокса по неполным данным / Ю.К. Подлипенко, В.Н. Головач // Доп. НАН України. — 2007. — N 2. — С. 43-47. — Библиогр.: 1 назв. — рус. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859612869796036608 |
|---|---|
| author | Головач, В.Н. Подлипенко, Ю.К. |
| author_facet | Головач, В.Н. Подлипенко, Ю.К. |
| citation_txt | Об оценивании функционалов от решения линеаризованной задачи Навье - Стокса по неполным данным / Ю.К. Подлипенко, В.Н. Головач // Доп. НАН України. — 2007. — N 2. — С. 43-47. — Библиогр.: 1 назв. — рус. |
| collection | DSpace DC |
| description | We investigate the problem of minimax estimation of an unknown solution to the linearized Navier-Stokes problem under the assumption that unknown deterministic data of this problem, as well as the statistical characteristics of noises in observations, are subjected to certain quadratic restrictions.
|
| first_indexed | 2025-11-28T14:07:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.977
© 2007
Ю.К. Подлипенко, В.Н. Головач
Об оценивании функционалов от решения
линеаризованной задачи Навье–Стокса по неполным
данным
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.С. Мельником)
We investigate the problem of minimax estimation of an unknown solution to the linearized
Navier-Stokes problem under the assumption that unknown deterministic data of this problem,
as well as the statistical characteristics of noises in observations, are subjected to certain
quadratic restrictions.
Если H — гильбертово пространство над R со скалярным произведением (·, ·)H и нормой
‖·‖H , то через JH ∈ L(H,H ′) будем обозначать оператор, называемый изометрическим изо-
морфизмом, действующий из H на его сопряженное пространство H ′ и определяемый ра-
венством1 (v, u)H = 〈v, JHu〉H×H′ ∀u, v ∈ H, где 〈x, f〉H×H′ := f(x) для x ∈ H, f ∈ H ′. Oбо-
значим через L2(Ω,H) пространство Бохнера, состоящее из случайных элементов ξ = ξ(ω),
определенных на некотором вероятностном пространстве (Ω,B, P ) со значениями в H та-
ких, что ‖ξ‖2
L2(Ω,H) =
∫
Ω
‖ξ(ω)‖2
HdP (ω) < ∞. В этом случае существует интеграл Бохнера
∫
Ω
ξ(ω) dP (ω) ∈ H, называемый математическим ожиданием, или средним случайного эле-
мента ξ(ω).
Введем также следующие обозначения: x = (x1, . . . , xn) — пpостранственная переменная,
принадлежащая ограниченной открытой области D ⊂ R
n с липшицевой гpаницей; dx =
= dx1 . . . dxn — мeра Лебега в R
n; L2(D) — пространство функций, суммируемых с квад-
ратом в области D;
H1(D) =
{
ϕ ∈ L2(D) :
∂ϕ
∂xi
∈ L2(D) ∀ i = 1, n
}
—
пространство Соболева поpядка 1 в области D c нормой
‖ϕ‖H1(D) =
(
‖ϕ‖2
L2(D) +
n∑
i=1
∥∥∥∥
∂ϕ
∂xi
∥∥∥∥
2
L2(D)
)1/2
, (1)
где производные понимаются в смысле распределений вD; D(D) — пространство бесконечно
дифференцируемых функций с компактным носителем в D; H1
0 (D) — замыкание D(D)
в топологии, порожденной нормой (1); H−1(D) — пространство, двойственное к H1
0 (D)
с соответствующей нормой.
Пусть
a(v,w) =
∫
D
n∑
i,j=1
∂vi(x)
∂xj
∂wi(x)
∂xj
dx (2)
1Этот оператор существует в силу теоремы Рисса.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 43
и
b(w, p) = −
∫
D
p(x)
n∑
i=1
∂wi
∂xi
dx — (3)
ограниченные билинейные формы на H1
0 (D)n ×H1
0 (D)n и H1
0 (D)n ×L2(D) соответственно,
первая из которых определяет линейный непрерывный оператор ∆ : H1
0 (D)n → H−1(D)n,
а вторая — линейный непрерывный оператор − div : H1
0 (D)n → L2(D), а также транспони-
рованный к нему оператор grad: L2(D) → H−1(D)n равенствами2
〈∆v,w〉H−1(D)n×H1
0 (D)n = a(v,w) ∀v = (v1, . . . , vn), ∀w = (w1, . . . , wn) ∈ H1
0 (D)n
и
(− divw, p)L2(D) = 〈w, grad p〉H1
0 (D)n×H−1(D)n = b(w, p),
∀w = (w1, . . . , wn) ∈ H1
0 (D)n, ∀p ∈ L2(D).
Пусть состояние системы характеризуется функциями v = (v1, . . . , vn) ∈ H1
0 (D)n и p ∈
∈ L2(D), удовлетворяющими линеаризованной задаче Навье–Стокса3:
−ν∆v + grad p = f в D, (4)
divv = q в D. (5)
Здесь ν = const > 0, f(x) = (f1(x), . . . , fn(x)) и q(x) — неизвестные функции, принадле-
жащие множеству
G0 :=
{
(f̃ , q̃) ∈ L2(D)n × L2(D) : (Q1(f̃ − f0), f̃ − f0)L2(D)n +
+ (Q2(q̃ − q0), q − q0)L2(D) 6 1,
∫
D
q̃(x) dx = 0
}
,
a f0 ∈ L2(D)n и q0 ∈ L2(D) — заданные функции, причем
∫
D
q0(x) dx = 0, Q1 и Q2 — непре-
рывные, неотрицательно определенные самосопряженные операторы, заданные в L2(D)n
и L2(D) соответственно, обратные для которых ограничены.
Задача состоит в том, чтобы по наблюдениям элементов вида
y1(v; η1) = C1v + η1, y2(p; η2) = C2p+ η2, (6)
2Очевидно, оператор ∆ действует по формуле ∆v = (∆v1, . . . ,∆vn) ∀v = (v1, . . . , vn) ∈ H
1
0 (D)n, в ко-
торой оператор Лапласа ∆ определяется соотношением 〈∆ϕ,ψ〉H−1(D)×H1
0
(D) =
∫
D
n∑
j=1
∂ϕ(x)
∂xj
∂ψ(x)
∂xj
dx, ∀ϕ,
∀ψ ∈ H
1
0 (D), а операторы div и grad определяются формулами divw =
n∑
i=1
∂wi
∂xi
и grad p =
(
∂p
∂x1
, . . . ,
∂p
∂xn
)
∀w = (w1, . . . , wn) ∈ H
1
0 (D)n и ∀p ∈ L
2(D), в которых производные понимаются в смысле распределений
в D.
3Отметим, что если (v1, p1) и (v2, p2) — два решения задачи (4), (5), то v1 = v2 и p1 − p2 = c = const.
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №2
принадлежащих сепарабельным гильбертовым пространствам H1 и H2 над R соответствен-
но, оценить значение линейного функционала
l(v, p) :=
∫
D
(l1(x),v(x))Rn dx+
∫
D
l2(x)p(x) dx (7)
в классе оценок вида
l̂(v, p) := (y1(v; η1), u1)H1 + (y2(p; η2), u2)H2 + c, (8)
где (v, p) — неизвестное решение задачи (4), (5); l1 и l2 — заданные элементы из L2(D)n
и L2(D), u1 ∈ H1, u2 ∈ H2, c ∈ R, C1 ∈ L(L2(D)n,H1) и C2 ∈ L(L2(D),H2) — линейные не-
прерывные операторы, причем ограничение оператора C2 на подпространство Ker(grad) =
= {t : t = const в D} предполагается инъективным, (η1, η2) ∈ G1, a через G1 обозначено
множество случайных элементов η̃1 ∈ L2(Ω,H1) и η̃2 ∈ L2(Ω,H2) c нулевыми средними,
удовлетворяющих условию E(Q̃1η̃1, η̃1)H1 + E(Q̃2η̃2, η̃2)H2 6 1, в котором Q̃1 и Q̃2 — задан-
ные в H1 и H2 ограниченные самосопряженные положительно определенные операторы,
имеющие ограниченные обратные, и символом Eξ обозначено математическое ожидание
случайной величины ξ = ξ(ω).
Определение 1. Оценку вида
̂̂
l(v, p) = (y1(v; η1), û1)H1 + (y2(p; η2), û2)H2 + ĉ (9)
будем называть минимаксной оценкой l(v, p), если элементы û1 ∈ H1, û2 ∈ H2 и число ĉ
определятся из условия
σ(u1, u2, c) : = sup
(f̃ ,q̃)∈G0,(η̃1,η̃2)∈G1
sup
a∈R
E|l(ṽ, p̃+ a) − ̂l(ṽ, p̃+ a)|2 → inf
u1∈H1,u2∈H2,c∈R
, (10)
гдe
̂l(ṽ, p̃+ a) = (y1(ṽ; η̃1), u1)H1 + (y2(p̃+ a; η̃2), u2)H2 + c,
a (ṽ, p̃) — некоторое решение задачи (4), (5) при f(x) = f̃(x), q(x) = q̃(x). Величину r(v, p) =
=
{
E|l(v, p) −
̂̂
l(v, p)|2
}1/2
будем называть ошибкой минимаксного оценивания выражения
l(v, p).
Представления для минимаксных оценок и ошибок оценивания. Введем в рас-
смотрение при фиксированных (u1, u2) ∈ U :=
{
(u1, u2) ∈ H1×H2 :
∫
D
(l2(x)−C
t
2JH2u2(x)) dx =
= 0
}
, пару функций (z1(·;u1, u2), z2(·;u1, u2)) ∈ H1
0 (D)n × L2(D) как pешение cледующей
краевой задачи4:
−ν∆z1(·;u1, u2) + grad z2(·;u1, u2) = l1 −Ct
1JH1u1 в D, (11)
div z1(·;u1, u2) = −l2 + Ct
2JH2u2 в D, (12)
4Легко видеть, что в силу предположения об инъективности ограничения оператора C2 на подпространс-
тво Ker(grad) = {t : t = const в D}, множество U непусто.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 45
∫
D
Q−1
2 z2(x;u1, u2) dx = 0, (13)
где Ct
1 : H ′
1 → L2(D)n и Ct
2 : H ′
2 → L2(D) — операторы, транспонированные к C1 и C2
и определяемые соотношениями
∫
D
(v(x), Ct
1w(x))Rndx = 〈Cv,w〉H1×H′
1
для всех v ∈ L2(D)n,
w ∈ H ′
1,
∫
D
v(x)Ct
2w(x) dx = 〈Cv,w〉H2×H′
2
для всех v ∈ L2(D), w ∈ H ′
2. Функции z1(x;u1, u2),
z2(x;u1, u2) определяются из уравнений (11)–(13) единственным образом. В самом деле,
условие (u1, u2) ∈ U совпадает с необходимым и достаточным условием разрешимости кра-
евой задачи (11)–(12). Пусть (z1(·;u), z
(0)
2 (·;u)) ∈ H1(D)n × L2(D) — некоторое решение
задачи (11)–(12). Положим
c = −
(Q−1
2 z
(0)
2 (·;u1, u2), 1)L2(D)
(Q−1
2 1, 1)L2(D)
.
Тогда пара (z1(x;u), z2(x;u)), где z2(x;u) = z
(0)
2 (x;u) + c — единственное решение зада-
чи (11)–(13).
Пользуясь смешанными вариационными формулировками, эквивалентными, соответ-
ственно, операторным уравнениям (4), (5) и (11), (12) (см. [1], c. 42, 202, 203), докажем
следующее утверждение.
Лемма 1. Задача нахождения минимаксной оценки выражения l(v, p) эквивалентна
задаче оптимального управления системой, описываемой краевой задачей (11)–(13) с функ-
цией стоимости вида
I(u1, u2)=(Q−1
1 z1(·;u1, u2), z1(·;u1, u2))L2(D)n +(Q−1
2 z2(·;u1, u2), z2(·;u1, u2))L2(D)+
+ (Q̃−1
1 u1, u1)H1 + (Q̃−1
2 u2, u2)H2 → inf
(u1,u2)∈U
. (14)
В результате решения задачи оптимального управления (11)–(14) приходим к следую-
щему результату.
Теорема 1. Существует единственная минимакснaя оценка значения l(v, p), которая
имеет вид
̂̂
l(v, p) = (y1(v; η1), û1)H1 + (y2(p; η2), û2)H2 + ĉ,
где
ĉ =
∫
D
(ẑ1(x), f0(x))Rndx−
∫
D
ẑ2(x)q0(x) dx, û1 = Q̃1C1p̃1, û2 = Q̃2C2p̃2,
а функции ẑ1, p̃1 ∈ H1
0 (D)n и ẑ2, p̃2 ∈ L2(D) находятся из решения следующей системы
вариационных уравнений:
a(ϕ1, ẑ1) + b(ϕ1, ẑ2) = (l1 − Ct
1JH1Q̃1C1p̃1,ϕ1)L2(D)n ∀ϕ1 ∈ L2(D)n, (15)
b(ẑ1, ϕ2) = −(l2 − Ct
2JH2Q̃2C2p̃2, ϕ2)L2(D) ∀ϕ2 ∈ L2(D), (16)
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №2
(Q−1
2 ẑ2, 1)L2(D) = 0, (17)
a(p̃1,ψ1) + b(ψ1, p̃2) = (Q−1
1 ẑ1,ψ1)L2(D)n ∀ψ1 ∈ H1
0 (D)n, (18)
b(p̃1, ψ2) = −(Q−1
2 ẑ2, ψ2)L2(D) ∀ψ2 ∈ L2(D), (19)
(l2 − Ct
2JH2Q̃2C2p̃2, 1)L2(D) = 0. (20)
Задача (15)–(20) однозначно разрешима. Погрешность минимаксного оценивания r(v, p)
удовлетворяет неравенству r(v, p) 6 σ(û1, û2, ĉ) = l(p̃1, p̃2)
1/2.
Используя теорему 1, получаем представление для минимаксной оценки выражения (7),
не зависящее от конкретного вида функционала l.
Теорема 2. Минимаксная оценка выражения l(v, p) имеет вид
̂̂
l(v, p) = l(v̂, p̂),
где случайные элементы v̂, p̂1 ∈ L2(Ω,H1
0 (D)n) и p̂, p̂1 ∈ L2(Ω, L2(D)) находятся из реше-
ния системы вариационных уравнений:
a(ϕ1, p̂1(·, ω)) + b(ϕ1, p̂2(·, ω)) =
= (Ct
1JH1Q̃1(y1(v, η1(ω)) − C1v̂(·, ω)),ϕ1)L2(D)n ∀ϕ1 ∈ H1
0 (D)n, (21)
b(p̂1(·, ω), ϕ2) = −(Ct
2JH2Q̃2(y2(p, η2(ω)) − C2p̂(·, ω)), ϕ2)L2(D) ∀ϕ2 ∈ L2(D), (22)
(Q̂−1
2 p̂2(·, ω), 1)L2(D) = 0, (23)
a(v̂(·, ω),ψ1)+(ψ1, p̂(·, ω)) = (Q−1
1 p̂1(·, ω)+f
(0)
1 ,ψ1)L2(D)n ∀ψ1 ∈ H1
0 (D)n, (24)
b(v̂(·, ω), ψ2) = −(Q−1
2 p̂2(·, ω) + f
(0)
2 , ψ2)L2(D) ∀ψ2 ∈ L2(D), (25)
(Ct
2JH2Q̃2(y2(p, η2(ω)) −C2p̂(·, ω)), 1)L2(D) = 0, (26)
в которых равенства (21)–(26) выполняются с вероятностью 1. Задача (21)–(26) имеет
единственное решение.
Следствие 1. Пара (v̂, p̂) может быть взята в качестве хорошей оценки неизвестного
решения (v, p) задачи (4), (5).
1. Brezzi F., Fortin M. Mixed and hybrid finite element methods. – New York: Springer, 1991. – 350 p.
Поступило в редакцию 17.07.2006Киевский национальный университет
им. Тараса Шевченко
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 47
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1605 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T14:07:18Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | "Доповіді НАН України" |
| record_format | dspace |
| spelling | Головач, В.Н. Подлипенко, Ю.К. 2008-08-28T13:42:27Z 2008-08-28T13:42:27Z 2007 Об оценивании функционалов от решения линеаризованной задачи Навье - Стокса по неполным данным / Ю.К. Подлипенко, В.Н. Головач // Доп. НАН України. — 2007. — N 2. — С. 43-47. — Библиогр.: 1 назв. — рус. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1605 517.977 We investigate the problem of minimax estimation of an unknown solution to the linearized Navier-Stokes problem under the assumption that unknown deterministic data of this problem, as well as the statistical characteristics of noises in observations, are subjected to certain quadratic restrictions. ru "Доповіді НАН України" Інформатика та кібернетика Об оценивании функционалов от решения линеаризованной задачи Навье-Стокса по неполным данным Article published earlier |
| spellingShingle | Об оценивании функционалов от решения линеаризованной задачи Навье-Стокса по неполным данным Головач, В.Н. Подлипенко, Ю.К. Інформатика та кібернетика |
| title | Об оценивании функционалов от решения линеаризованной задачи Навье-Стокса по неполным данным |
| title_full | Об оценивании функционалов от решения линеаризованной задачи Навье-Стокса по неполным данным |
| title_fullStr | Об оценивании функционалов от решения линеаризованной задачи Навье-Стокса по неполным данным |
| title_full_unstemmed | Об оценивании функционалов от решения линеаризованной задачи Навье-Стокса по неполным данным |
| title_short | Об оценивании функционалов от решения линеаризованной задачи Навье-Стокса по неполным данным |
| title_sort | об оценивании функционалов от решения линеаризованной задачи навье-стокса по неполным данным |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1605 |
| work_keys_str_mv | AT golovačvn obocenivaniifunkcionalovotrešeniâlinearizovannoizadačinavʹestoksaponepolnymdannym AT podlipenkoûk obocenivaniifunkcionalovotrešeniâlinearizovannoizadačinavʹestoksaponepolnymdannym |