Нетерова краевая задача в особом критическом случае
We study the problem of finding the existence conditions and the construction of solutions of weakly nonlinear Noetherian boundary-value problems for systems of ordinary differential equations. We consider the particular critical case where the equation for generating amplitudes is satisfied identic...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
"Доповіді НАН України"
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1610 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Нетерова краевая задача в особом критическом случае / С.М. Чуйко // Доп. НАН України. — 2007. — N 2. — С. 26-30. — Библиогр.: 9 назв. — рус. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859502922394501120 |
|---|---|
| author | Чуйко, С.М. |
| author_facet | Чуйко, С.М. |
| citation_txt | Нетерова краевая задача в особом критическом случае / С.М. Чуйко // Доп. НАН України. — 2007. — N 2. — С. 26-30. — Библиогр.: 9 назв. — рус. |
| collection | DSpace DC |
| description | We study the problem of finding the existence conditions and the construction of solutions of weakly nonlinear Noetherian boundary-value problems for systems of ordinary differential equations. We consider the particular critical case where the equation for generating amplitudes is satisfied identically. We give a new classification of the critical cases and an iterative algorithm for the construction of the solutions of Noetherian weakly nonlinear boundary-value problems in a particular critical case.
|
| first_indexed | 2025-11-25T07:23:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
© 2007
С.М. Чуйко
Нетерова краевая задача в особом критическом случае
(Представлено академиком НАН Украины А.М. Самойленко)
We study the problem of finding the existence conditions and the construction of solutions
of weakly nonlinear Noetherian boundary-value problems for systems of ordinary differential
equations. We consider the particular critical case where the equation for generating ampli-
tudes is satisfied identically. We give a new classification of the critical cases and an iterative
algorithm for the construction of the solutions of Noetherian weakly nonlinear boundary-value
problems in a particular critical case.
Исследуем задачу о построении решения
z(t, ε) = col(z1(t, ε), . . . , zn(t, ε)),
zi(·, ε) ∈ C1[a, b], zi(t, ·) ∈ C[0, ε0], i = 1, 2, . . . , n,
системы обыкновенных дифференциальных уравнений [1, 2]
dz
dt
= A(t)z + f(t) + εZ(z, t, ε), (1)
удовлетворяющих краевому условию
ℓz(·, ε) = α + εJ(z(·, ε), ε). (2)
Решение нетеровой (m 6= n) задачи (1), (2) ищем в малой окрестности решения порожда-
ющей задачи
dz0
dt
= A(t)z0 + f(t), (3)
ℓz0(·) = α, α ∈ R
m. (4)
Здесь A(t) — (n × n)-мерная матрица и f(t) — n-мерный вектор-столбец, элементы кото-
рых — непрерывные на отрезке [a, b] действительные функции, ℓz(·) — линейный ограни-
ченный векторный функционал вида ℓz(·) = col(ℓ1z(·), . . . , ℓmz(·)), где ℓ1z(·), . . . , ℓmz(·) :
C[a, b] → R
1 — линейные ограниченные функционалы. Нелинейности Z(z, t, ε) и J(z(·, ε), ε)
задачи (1), (2) предполагаем дважды непрерывно дифференцируемыми по неизвестной z
в малой окрестности порождающего решения и по малому параметру ε в малой положи-
тельной окрестности нуля. Кроме того, считаем вектор-функцию Z(z, t, ε) непрерывной по
независимой переменной t на отрезке [a, b]. Исследован критический случай (PQ∗ 6= 0),
причем предполагается выполненным условие
PQ∗
d
{α − ℓK[f(s)](·)} = 0; (5)
в этом случае порождающая задача (3), (4) имеет (r = n − n1)-параметрическое семейство
решений z0(t, cr) = Xr(t)cr + G[f(s);α](t), cr ∈ R
r. Здесь X(t) — нормальная (X(0) = In)
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №2
фундаментальная матрица однородной части системы (3), Q = ℓX(·) — (m × n)-матрица,
rankQ = n1, Xr(t) = X(t)PQr
, PQr
— (n × r)-матрица, составленная из r линейно незави-
симых столбцов (n × n)-матрицы-ортопроектора PQ : R
n → N(Q), PQ∗
r
— (r × n)-матрица,
составленная из r линейно независимых строк (n × n)-матрицы-ортопроектора PQ∗ : R
n →
→ N(Q∗), G[f(s);α](t) = K[f(s)](t) − X(t)Q+ℓK[f(s)](·) — обобщенный оператор Грина
краевой задачи (3), (4),
K[f(s)](t) = X(t)
t
∫
a
X−1(s)f(s) ds —
оператор Грина задачи Коши для системы (3), Q+ — псевдообратная матрица по Муру–
Пенроузу [1]. Необходимое и достаточное условие разрешимости задачи (3), (4) имеет вид
PQ∗
d
{J(z0(·, cr) + x(·, ε), ε) − ℓK[Z(z0(s, cr) + x(s, ε), s, ε)](·)} = 0. (6)
Искомое решение задачи (1), (2) z(t, ε) = z0(t, cr) + x(t, ε) ищем в окрестности решения
порождающей задачи (3), (4), известного с точностью до вектора cr ∈ R
r, для нахождения
которого переходим к пределу при ε → 0 в равенстве (6)
F0(cr) = PQ∗
d
{J(z0(·, cr), 0) − ℓK[Z(z0(s, cr), s, 0)](·)} = 0. (7)
Традиционно это условие используют для нахождения параметра c∗r ∈ R
r, отвечающего
за амплитуду порождающего решения, однако это не всегда возможно, поскольку в ряде
случаев [3, 4] последнее равенство выполняется тождественно:
F0(cr) = PQ∗
d
{J(z0(·, cr), 0) − ℓK[Z(z0(s, cr), s, 0)](·)} ≡ 0. (8)
Краевые задачи (1), (2) при условии (8) по классификации И. Г. Малкина [3, c. 139] пред-
ставляют особый критический случай, поскольку традиционная схема анализа и построения
решения [1, 2] для таких задач не применима в силу невозможности нахождения параметра
c∗r, отвечающего за амплитуду порождающего решения, непосредственно из уравнения (7).
Для нахождения возмущения
x(t, ε) = col(x1(t, ε), . . . , xn(t, ε)),
xj(·, ε) ∈ C1[a, b], xj(t, ·) ∈ C[0, ε0], x(t, 0) ≡ 0, j = 1, 2, . . . , n,
порождающего решения z0(t, cr) получаем задачу
dx
dt
= A(t)x + εZ(z0 + x, t, ε), (9)
ℓx(·, ε) = εJ(z0(·, cr) + x(·, ε), ε). (10)
Формально, решение задачи (9), (10) представимо в виде
x(t, ε) = Xr(t)cr(ε) + x(1)(t, ε), (11)
где
x(1)(t, ε) = εG[Z(z0(s, cr) + x(s, ε), s, ε);J(z0(·, cr) + x(·, ε), ε)](t).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 27
Произвольный вектор
cr(ε) = col(c(1)
r (ε), . . . , c(r)
r (ε)),
c(j)
r (·) ∈ C1[0, ε0], cr(0) = 0, j = 1, 2, . . . , r.
В окрестности порождающего решения имеет место разложение
Z(z0(t, cr) + x(t, ε), t, ε) =
= Z(z0(t, cr), t, 0) + dZ(z0(t, cr), t, 0) + εR3(z0(t, cr) + x(t, ε), t, ε). (12)
Дифференциал вектор-функции dZ(z0(t, cr), t, 0) = A1(t)x + εA3(t) выражается через
производные
A1(t) =
∂Z(z, t, ε)
∂z
∣
∣
∣
∣
z=z0(t,cr)
ε=0
, A3(t) =
∂Z(z, t, ε)
∂ε
∣
∣
∣
∣
z=z0(t,cr)
ε=0
.
Аналогично выделяем первый дифференциал этого функционала и член J(z0(·, cr), 0) =
= J(z(·, 0), 0) нулевого порядка по ε в окрестности точек x = 0 и ε = 0:
J(z0(·, c) + x(·, ε), ε) = J(z0(·, cr), 0) + dJ(z0(·, cr), 0) + εJ3(z0(·, cr) + x(·, ε), ε). (13)
Дифференциал векторного функционала dJ(z0(·, cr), 0) = ℓ1x(·, ε) + εℓ3(z0(·, cr), 0) выража-
ется через производные (по Фреше)
ℓ1x(·, ε) =
∂J(z(·, ε), ε)
∂z
∣
∣
∣
∣
z=z0(t,cr)
ε=0
и ℓ3(z0(·, cr), 0) =
∂J(z(·, ε), ε)
∂ε
∣
∣
∣
∣
z=z0(t,cr)
ε=0
.
С учетом представления (11) и разложений (12), (13) в особом критическом случае не-
обходимое и достаточное условие (6) разрешимости задачи (1), (2) принимает вид
PQ∗
d
{ℓ1[Xr(·)cr + x(1)(·, ε)] + εℓ3(z0(·, cr), 0) + εJ3(z0(·, cr) + x(·, ε), ε) −
− ℓK[A1(s)[Xr(s)cr+x(1)(s, ε)]+εA3(s)+εR3(z0(s, cr)+x(s, ε), s, ε)](·)} = 0. (14)
Поскольку в особом критическом случае равенство (8) удовлетворяется тождественно, по-
стольку ключевая в традиционной схеме анализа и построения решений матрица
B0 =
∂F0(cr)
∂cr
= PQ∗
d
{ℓ1Xr(·) − ℓK[A1(s)Xr(s)](·)} ≡ 0.
Полученное равенство упрощает условие (14)
PQ∗
d
{
ℓ1G[Z(z0, s, 0) + dZ(z0, s, 0) + εR3(z0 + x, s, ε);J(z0(·, cr), 0) + dJ(z0, 0) +
+ εJ3(z0 + x, ε)](·) + ℓ3(z0(·, cr), 0) + J3(z0(·, cr) + x(·, ε), ε) −
− ℓK[A1(s)G[Z(z0, τ, 0) + dZ(z0, τ, 0) + εR3(z0 + x, τ, ε);J(z0(·, cr), 0) +
+ dJ(z0(·, cr), 0) + εJ3(z0 + x, ε)](s) + A3(s) + R3(z0(s, cr) + x(s, ε), s, ε)](·)
}
= 0.
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №2
Переходя в последнем равенстве к пределу при ε → 0, приходим к необходимому условию
существования искомого решения
F1(cr) = PQ∗
d
{ℓ1G[Z(z0(s, cr), s, 0);J(z0(·, cr), 0)](·) + ℓ3(z0(·, cr), 0) −
− ℓK[A1(s)G[Z(z0(τ, cr), τ, 0);J(z0(·, cr), 0)](s) + A3(s)](·)} = 0. (15)
В особом критическом случае данное требование представляет уравнение относительно век-
тор-столбца cr ∈ R
r, таким образом, доказано следующее утверждение.
Лемма. Пусть выполнено условие (5) разрешимости порождающей задачи (3), (4)
и краевая задача (1), (2) представляет особый критический случай
PQ∗ 6= 0, F0(cr) ≡ 0.
Предположим также, что задача (1), (2) имеет решение
z(t, ε) = col(z1(t, ε), . . . , zn(t, ε)), zi(·, ε) ∈ C1[a, b],
zi(t, ·) ∈ C[0, ε0], i = 1, 2, . . . , n,
при ε = 0 обращающееся в порождающее z(t, 0) = z0(t, c
∗
r). Тогда вектор c∗r ∈ R
r удовлет-
воряет уравнению (15).
Корни уравнения (15) определяют амплитуду порождающего решения, в малой окрест-
ности которого в особом критическом случае могут существовать искомые решения исход-
ной задачи (1), (2). Если же уравнение (15) не имеет действительных корней, то исходная
задача (1), (2) в особом критическом случае не имеет искомых решений. Предположим,
что уравнение (15) не вырождается в тождество и имеет действительный корень c∗r ∈ R
r.
Искомое решение исходной задачи (1), (2) ищем в окрестности порождающего решения
z0(t, c
∗
r) = Xr(t)c
∗
r + G[f(s);α](t).
Достаточным условием существования искомого решения в особом критическом случае
является простота корней (PΞ∗
0
= 0) уравнения для порождающих амплитуд (15), где
Ξ0 =
∂F1(c
∗
r)
∂cr
= PQ∗
d
{ℓ1G[A1(s)Xr(s); ℓ1Xr(·)](·) + ℓ4Xr(·) + 2ℓ5(·, G[Z(z0(τ, c
∗
r), τ, 0);
J(z0(·, c
∗
r), 0)](·))Xr(·) − ℓK[A1(s)G[A1(τ)Xr(τ); ℓ1Xr(·)](s) + A4(s)Xr(s) +
+ 2A5(s,G[Z(z0(τ, c
∗
r), τ, 0);J(z0(·, c
∗
r), 0)](s))Xr(s)](·)} —
(d × r)-матрица,
A4(t) =
∂2Z(z, t, ε)
∂z∂ε
∣
∣
∣
∣
z=z0(t,c∗r)
ε=0
, A5(t, x(t, ε)) =
1
2
∂
∂z
[
∂Z(z, t, ε)
∂z
x
] ∣
∣
∣
∣
z=z0(t,c∗r)
ε=0
—
(n × n)-матрицы,
ℓ4x(·, ε) =
∂2J(z(·, ε), ε)
∂z∂ε
∣
∣
∣
∣
z=z0(t,c∗r)
ε=0
,
ℓ5(·, x(·, ε))x(·, ε) =
1
2
·
∂
∂z
[
∂J(z(·, ε), ε)
∂z
x(·, ε)
]
∣
∣
∣
∣
z=z0(t,c∗r)
ε=0
—
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 29
линейные функционалы, представляющие собой производные по Фреше, PΞ∗
0
— ортопро-
ектор матрицы Ξ∗
0 : PΞ∗
0
: R
d → N(Ξ∗
0). Пусть rankPΞ0
= ρ2; здесь PΞ0
: R
r → N(Ξ0) —
(r×r)-матрица-ортопроектор. Обозначим Pρ2
(r×ρ2)-матрицу, составленную из ρ2 линейно
независимых столбцов матрицы-ортопроектора PΞ0
.
Теорема. Пусть выполнено условие (5) разрешимости порождающей задачи (3), (4)
и краевая задача (1), (2) представляет особый критический случай PQ∗ 6= 0, F0(cr) ≡ 0.
Тогда для каждого корня c∗r ∈ R
r уравнения (15) для порождающих амплитуд (F1(c
∗
r) = 0)
при условии PΞ∗
0
= 0 задача (1), (2) имеет ρ2-параметрическое семейство решений, при
ε = 0 обращающееся в порождающее z(t, 0) = z0(t, c
∗
r). Решение краевой задачи (1), (2)
z(t, ε) = z0(t, c
∗
r) + x(t, ε) может быть найдено при помощи итерационной процедуры ти-
па [5].
В случае периодической задачи матрица Ξ0 совпадает с производной уравнения для
порождающих амплитуд (15), использованной И. Г. Малкиным [3] для доказательства ана-
логичной теоремы. В случае задач фредгольмова типа m = n, следовательно, d = r и тре-
бование PΞ∗
0
= 0 становится равносильным условию невырожденности матрицы Ξ0. В свою
очередь, невырожденность матрицы Ξ0 эквивалентна простоте корня c∗r уравнения (15) для
порождающих амплитуд.
Длина отрезка [0, ε∗], на котором сохраняется сходимость этой итерационной процедуры,
может быть оценена как посредством мажорирующих уравнений Ляпунова, так и анало-
гично [6], из условия сжимаемости оператора, определяющего итерационную процедуру.
В качестве иллюстрации анализа краевой задачи (1), (2) в особом критическом слу-
чае может служить исследование периодической задачи для известного уравнения [3, 7],
описывающее движение маятника, точка подвеса которого совершает вертикальные гармо-
нические колебания большой частоты, приведенное в [5].
Утверждение доказанной теоремы является естественным дополнением к традицион-
ной [1, 3] классификации краевых задач и может быть перенесено на нелинейные автоном-
ные краевые задачи и краевые задачи с импульсным воздействием в особом критическом
случае [8, 9].
1. Boichuk A.A., Samoilenko A.M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. –
Utrecht; Boston: VSP, 2004. – XIV + 317 p.
2. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. – Москва: Наука,
1979. – 432 с.
3. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. – Москва: Гостехиздат, 1956. – 491 с.
4. Мерман Г.А. Новый класс периодических решений в ограниченной задаче трех тел и в задаче Хил-
ла // Тр. Ин-та теорет. астрономии АН СССР. – 1952. – Вып. 1. – С. 5–86.
5. Бойчук А.А., Чуйко С.М., Чуйко А.С. Неавтономные периодические краевые задачи в особом кри-
тическом случае // Нелiнiйнi коливання. – 2004. – 7, № 1. – С. 53–66.
6. Чуйко А.С. Область сходимости итерационной процедуры для слабонелинейной краевой задачи //
Нелинейные колебания. – 2005. – 8, № 2. – С. 278–288.
7. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // Журн. экс-
перим. и теорет. физики. – 1951. – 21, № 5. – С. 499–597.
8. Бойчук А.А., Чуйко С.М. Автономные слабонелинейные краевые задачи // Дифференц. уравнения. –
1992. – № 10. – С. 1668–1674.
9. Чуйко С.М. Оператор Грина краевой задачи с импульсным воздействием // Там же. – 2001. – 37,
№ 8. – С. 1132–1135.
Поступило в редакцию 14.07.2006Славянский государственный
педагогический университет
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1610 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-25T07:23:30Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | "Доповіді НАН України" |
| record_format | dspace |
| spelling | Чуйко, С.М. 2008-08-28T13:43:59Z 2008-08-28T13:43:59Z 2007 Нетерова краевая задача в особом критическом случае / С.М. Чуйко // Доп. НАН України. — 2007. — N 2. — С. 26-30. — Библиогр.: 9 назв. — рус. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1610 517.9 We study the problem of finding the existence conditions and the construction of solutions of weakly nonlinear Noetherian boundary-value problems for systems of ordinary differential equations. We consider the particular critical case where the equation for generating amplitudes is satisfied identically. We give a new classification of the critical cases and an iterative algorithm for the construction of the solutions of Noetherian weakly nonlinear boundary-value problems in a particular critical case. ru "Доповіді НАН України" Математика Нетерова краевая задача в особом критическом случае Article published earlier |
| spellingShingle | Нетерова краевая задача в особом критическом случае Чуйко, С.М. Математика |
| title | Нетерова краевая задача в особом критическом случае |
| title_full | Нетерова краевая задача в особом критическом случае |
| title_fullStr | Нетерова краевая задача в особом критическом случае |
| title_full_unstemmed | Нетерова краевая задача в особом критическом случае |
| title_short | Нетерова краевая задача в особом критическом случае |
| title_sort | нетерова краевая задача в особом критическом случае |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1610 |
| work_keys_str_mv | AT čuikosm neterovakraevaâzadačavosobomkritičeskomslučae |