О построении математических моделей объемного напряженно-деформированного состояния конических колес с круговой формой зубьев
A theory of the structure of an approximate solution of the problem of determination of the fields of bending stresses in circular gears of conic wheels is developed.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
"Доповіді НАН України"
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1611 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О построении математических моделей объемного напряженно-деформированного состояния конических колес с круговой формой зубьев / А.Е. Божко, Е.М. Иванов, З.А. Иванова // Доп. НАН України. — 2007. — N 2. — С. 48-56. — Библиогр.: 10 назв. — рус. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860022429683810304 |
|---|---|
| author | Иванова, З.А. Иванов, Е.М. Божко, А.Е. |
| author_facet | Иванова, З.А. Иванов, Е.М. Божко, А.Е. |
| citation_txt | О построении математических моделей объемного напряженно-деформированного состояния конических колес с круговой формой зубьев / А.Е. Божко, Е.М. Иванов, З.А. Иванова // Доп. НАН України. — 2007. — N 2. — С. 48-56. — Библиогр.: 10 назв. — рус. |
| collection | DSpace DC |
| description | A theory of the structure of an approximate solution of the problem of determination of the fields of bending stresses in circular gears of conic wheels is developed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:48:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
2 • 2007
МЕХАНIКА
УДК 539.3:621.333
© 2007
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко, Е.М. Иванов,
З. А. Иванова
О построении математических моделей объемного
напряженно-деформированного состояния конических
колес с круговой формой зубьев
A theory of the structure of an approximate solution of the problem of determination of the
fields of bending stresses in circular gears of conic wheels is developed.
Одной из важных проблем повышения надежности конических зубчатых передач при усло-
вии снижения металлоемкости и улучшения качества их эксплуатационных показателей
является совершенствование методов расчета напряженно-деформированного состояния
(НДС) зубчатых зацеплений с учетом геометрии зубьев и зубчатых колес в целом. При
зацеплении пары зубьев конических колес имеют место силовые взаимодействия, дефор-
мирующие как зуб, так и венец зубчатого конического колеса. Возникающие при этом
изгибные напряжения у корня зуба в значительной мере зависят от радиальных разме-
ров конического колеса, от толщины зубчатого венца и соединительного диска. Существу-
ющие методы исследования изгибных напряжений [1, 2] основаны на ряде грубых допу-
щений: зуб аппроксимируется упругим гребнем трапециедального сечения; гантель у кор-
ня зуба, а также влияние угла наклона, конусность зуба и конструкция зубчатого колеса
учитываются весьма приближенно. Более точный учет этих параметров сопряжен с уста-
новлением краевых условий при использовании вариационных методов теории упругости,
что, в свою очередь, обусловлено геометрией исследуемых конических зубчатых колес.
Поскольку конические зубчатые колеса в условиях эксплуатации находятся в объемном
НДС, то и соответствующее решение необходимо строить в трехмерной постановке. В ка-
честве модели деформируемого тела в данной работе принимается идеально упругое те-
ло [3, 4]. Заметим, что технологические операции (механическая, химико-термическая об-
работки зубьев), хотя и влияют на механические характеристики материала, из которого
они изготовлены, но не оказывают влияния на НДС, а влияют на допускаемое напряже-
ние [5, 6].
При построении модели предположим, что упругая область и граничная поверхность
конического зубчатого колеса с круговыми зубьями представлена в неявном виде как не-
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №2
прерывная функция непрерывного аргумента D = ω(x, y, z) > 0, в состав которой входят
отдельные участки всей области D, заданные своими уравнениями
fn1 = ω1(x, y, z) = 0,
fn2 = ω2(x, y, z) = 0,
fn3 = ω3(x, y, z) = 0,
fn4 = ω4(x, y, z) = 0,
(1)
где ω1 — уравнение поверхности жесткой заделки зубчатого колеса; ω2 — поверхность пятна
контакта; ω3 — поверхность всей упругой области без заделки и пятна контакта; ω4 —
поверхность всей упругой области без заделки. Эти функции нормированы на границе fn1
и удовлетворяют следующим условиям [7]:
ωi(x, y, z) > 0 в (D), ωi(x, y, z)
∣
∣
fi
= 0,
∂ωi(x, y, z)
∂r
∣
∣
∣
∣
fi
= −1,
где r — нормаль к поверхности области.
Такие уравнения для сложных областей могут быть построены с использованием
R-функций [7] в виде суперпозиции опорных областей, представляющих собой отдельные
участки зуба и зубчатого колеса. Так как в структуру упругой области D входят участки (1)
и в частности fn2, то возможно сформулировать краевое условие, вытекающее из необходи-
мости учета внешних сил, действующих на упругую область D. В общем случае задача об
определении НДС круговых зубьев конических колес является смешанной пространствен-
ной задачей теории упругости. Нахождение соответствующих перемещений точек упругого
тела при этом сводится к определению вектора упругих перемещений [8, 9]
U(x, y, z) = iU(x, y, z) + jυ(x, y, z) + kw(x, y, z), (2)
удовлетворяющего в упругой области D уравнениям равновесия Ламе
(λ + µ)
∂Θ
∂x
+ µ∇2U = 0,
(λ + µ)
∂Θ
∂y
+ µ∇2υ = 0,
(λ + µ)
∂Θ
∂z
+ µ∇2w = 0.
(3)
Здесь U , υ, w, Θ — геометрические характеристики деформации; λ, µ — физические ха-
рактеристики материала (упругие постоянные Ламе), λ =
Eυ
(1 + υ)(1 − 2υ)
, µ =
E
2(1 + υ)
,
где E — модуль упругости первого рода; υ — коэффициент Пуассона. Вектор U (2) должен
удовлетворять следующим краевым условиям:
U(x, y, z)
∣
∣
ω1
= 0;
TG(U)
∣
∣
ω3
= 0, TG · n;
TG(U)
∣
∣
ω2
= −P · n,
(4)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 49
где TG — тензор напряжений; n — единичная внешняя нормаль; P — интенсивность рас-
пределения нагрузки по пятну контакта.
Применение вариационно-структурного метода позволяет на аналитическом уровне точ-
но учесть содержащую в постановке краевой задачи геометрическую информацию не толь-
ко отдельных зубьев, но и всего зубчатого колеса. В задаче о НДС зубьев (см. (3), (4))
структура решения может быть представлена в виде [7]
U = ω1Φ. (5)
Независимо от выбора вектора Φ, с учетом (1), условие жесткой заделки упругой области
удовлетворяется автоматически. Так как вектор U (5) должен удовлетворять дифференци-
альным уравнениям (3) и граничным условиям (4), то необходимо вектор Φ представить
в виде Φ = Φ0 + ωΦ1. Тогда структуру (5) запишем
U = ω1Φ0 + ωω1Φ1, (6)
где Φ0, Φ1 — произвольные векторы.
Оператор напряжения в (4), примененный к вектору U , дает вектор напряжений на
площадке с внешней нормалью r. Воспользовавшись его векторной записью с учетом (6),
напряжение на площадке с внешней нормалью r в любой точке упругой области может
быть определим таким образом:
T (U) = T (ω1Φ0) + T (ωω1Φ10) = 2µΦ0 + λ∇ω1(Φ0∇ω1) − µ∇ω1 × (Φ0 ×∇ω1) +
+ 2µF1 + λ∇ω(F∇ω) − µ∇ω × (F1 ×∇ω),
F1 = ω1Φ1.
(7)
Из (7) видно, что вследствие выбора структуры решения в виде (6) через алгеброло-
гические функции ωi(x, y, z) [7], обращающиеся в нуль на границе, напряжение заделки
описывается выражением
−T (U) = 2µΦ0 + λ∇ω1(Φ0∇ω1) − µ∇ω1 × (Φ0 ×∇ω1).
Выберем теперь вектор Φ1 так, чтобы выполнялось второе и третье условие (4),
т. е. T (U)
∣
∣
∣
∣
ω4
=
Pω3
ω2 + ω3
r или в развернутом виде с учетом структуры (6)
2µF1 + λ∇ω1(F1∇ω) − µ∇ω × (F1 ×∇ω) = B, (8)
где B = −2µ(∇ω∇)(ω1Φ0) − λ∇ω div (ω1Φ0) − µ[∇ωr0t(ω1Φ0)] −
Pω3
ω2 + ω3
r.
Выполняя в (8) тождественные преобразования и решая его относительно вектора F1,
получим F1 =
∇ω
λ + 2µ
(B∇ω) +
1
µ
∇ω × (B × ∇ω), откуда
Φ1 =
1
ω1 + ω4
[
∇ω
λ + 2µ
(B∇ω) +
1
µ
∇ω × (B ×∇ω)
]
. (9)
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №2
Структура решения задачи с учетом (9) окончательно имеет вид
U = ω1Φ0 + ω
{
ω1
ω1 + ω4
[
∇ω
λ + 2µ
(B∇ω) +
1
µ
∇ω × (B ×∇ω)
]}
. (10)
В структуре (10) вектор Φ0 пока произвольный, а все граничные условия удовлетворены.
Выбор вектора Φ0 можно осуществить путем наилучшего удовлетворения системе (3). Для
этого приведем структуру решения к линейному виду относительно системы координатных
функций. В выражении (10) положим
Φ0 = Φ0xI + Φ0yI + Φ0zK;
B = BxI + ByI + BzK.
(11)
Раскрывая операции скалярного и двойного векторного произведения в выражении
структуры и приведя подобные члены относительно единичных векторов i, j, k, получим
выражение вектора упругих перемещений U через его компоненты
U = ui + υj + wk, (12)
где
u = ω1
{
Φ0x + ω1
[
1
µ
Bx grad2 ω −
λ + µ
µ(λ + 2µ)
·
∂ω
∂x
(B, grad ω)
]}
;
υ = ω1
{
Φ0y + ω1
[
1
µ
By grad2 ω −
λ + µ
µ(λ + 2µ)
·
∂ω
∂y
(B, grad ω)
]}
;
w = ω1
{
Φ0z + ω1
[
1
µ
Bz grad2 ω −
λ + µ
µ(λ + 2µ)
·
∂ω
∂z
(B, grad ω)
]}
.
Выберем далее функции Φ0τ (τ = x, y, z) в виде разложения по некоторой системе функ-
ций fijk. Тогда вектор Φ из (11) можно представить в виде
Φ0n =
n
∑
i+j+k=0
Cijkfijk, Cijk = CijkiC
2
ijkj + C3
ijkk,
где
Φ0nx =
n
∑
i+j+k=0
C1
ijkfijk; Φ0ny =
n
∑
i+j+k=0
C2
ijkfijk; Φ0nz =
n
∑
i+j+k=0
C3
ijkfijk.
Так как компоненты вектора (12) выражены через компоненты векторов Φ0 и B, то для
линейного представления n-го приближения вектора Un найдем выражения компонент век-
тора B через компоненты вектора Φ0 в виде (8). Учитывая линейность операторных сла-
гаемых вектора B (см. (8)), после подстановки в него Φ0n и выполнения ряда векторных
преобразований, получим выражения для компонент Bnτ (τ = x, y, z) в разложении (11)
в виде
Bnx = −
n
∑
i+j+k=0
C1
ijk
[
µ(∇ω1∇ω1fijk) + (λ + µ)
∂ω
∂x
∂ω1∂fijk
∂x
]
+
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 51
+
n
∑
i+j+k=0
C2
ijk
[
λ
∂ω
∂x
∂ω1fijk
∂y
+ µ
∂ω
∂y
∂ω1fijk
∂x
]
+
+
n
∑
i+j+k=0
C3
ijk
[
λ
∂ω
∂x
∂ω1fijk
∂z
+ µ
∂ω
∂z
∂ω1fijk
∂x
]
−
Pω3
ω2 + ω3
∂ω
∂x
;
Bny = −
n
∑
i+j+k=0
C1
ijk
[
λ
∂ω
∂y
∂ω1fijk
∂x
+ µ
∂ω
∂x
∂ω1fijk
∂y
]
+
+
n
∑
i+j+k=0
C2
ijk
[
µ(∇ω1∇ω1fijk) + (λ + µ)
∂ω
∂y
∂ω1∂fijk
∂y
]
+
+
n
∑
i+j+k=0
C3
ijk
[
λ
∂ω
∂y
∂ω1fijk
∂z
+ µ
∂ω
∂z
∂ω1fijk
∂y
]
−
Pω3
ω2 + ω3
∂ω
∂y
;
Bnz = −
n
∑
i+j+k=0
C1
ijk
[
λ
∂ω
∂z
∂ω1fijk
∂x
+ µ
∂ω
∂x
∂ω1fijk
∂z
]
+
+
n
∑
i+j+k=0
C2
ijk
[
λ
∂ω
∂z
∂ω1fijk
∂y
+ µ
∂ω
∂y
∂ω1fijk
∂z
]
+
+
n
∑
i+j+k=0
C3
ijk
[
µ(∇ω1∇ω1fijk) + (λ + µ)
∂ω
∂z
∂ω1∂fijk
∂y
]
−
Pω3
ω2 + ω3
∂ω
∂z
. (13)
Подставляя (13) в (12) после некоторых преобразований, получим выражения для ком-
понент вектора U в любой точке зубчатого колеса
Un = U0 +
n
∑
i+j+k=0
(C1
ijkU
1
ijk + C2
ijkU
2
ijk + C3
ijkU
3
ijk);
Vn = V0 +
n
∑
i+j+k=0
(C1
ijkV
1
ijk + C2
ijkV
2
ijk + C3
ijkU
3
ijk);
Wn = W0 +
n
∑
i+j+k=0
(C1
ijkW
1
ijk + C2
ijkW
2
ijk + C3
ijkW
3
ijk)
и вектор упругих перемещений запишем
Un = U0 +
n
∑
i+j+k=0
(C1
ijkU
1
ijk + C2
ijkU
2
ijk + C3
ijkU
3
ijk),
где
U0 = U0i + V0j + W0k; U1
ijk = U1
ijki + V 1
ijkj + W 1
ijkk;
U2
ijk = U2
ijki + V 2
ijkj + W 2
ijkk; U3
ijk = U3
ijki + V 3
ijkj + W 3
ijkk.
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №2
Заметим, что в величинах C1
ijk, C2
ijk, C3
ijk, а также в U τ
ijk, V τ
ijk, W τ
ijk, U τ
ijk, τ = 1, 2, 3,
вверху справа проставлены индексы, а не показатели степени. Векторы U0, U τ
ijk, τ = 1, 3,
удовлетворяют следующим краевым условиям:
U0
∣
∣
ω
= 0; T (U0)
∣
∣
∣
∣
ω
=
Pω3
ω2 + ω3
; T (U0)
∣
∣
ω1
= 0; T (U τ
ijk)
∣
∣
ω4
= 0; U τ
ijk
∣
∣
ω1
= 0; τ = 1, 3.
Постоянные параметры Cτ
ijk, τ = 1, 3, определяются из условия наилучшего прибли-
жения структуры к вектору реальных перемещений. Этому условию отвечают решения,
использующие методы Ритца, Бубнова–Галеркина и другие, так как структура Un удовле-
творяет геометрическим и статическим граничным условиям.
По методу Ритца [10], решение дифференциальных уравнений (3) при краевых усло-
виях (4) эквивалентно задаче вариационного исчисления и минимизации потенциальной
энергии внешних и внутренних сил системы, действующих на упругую область D, для ко-
торой дифференциальные уравнения (3) являются уравнениями Эйлера–Лагранжа. В этом
случае приближенное значение вектора упругих перемещений, выбранное в виде семейства
функций (см. (2))
Un(x, y, z) = iUn + jυn + kWn,
где
Un = −P
n
∑
i+j+k=0
C1
ijkfijk,
υn = −P
n
∑
i+j+k=0
C2
ijkfijk,
Wn = −P
n
∑
i+j+k=0
C3
ijkfijk,
(14)
(fijk — координационные функции; Cτ
ijk, τ = 1, 3, — постоянные величины, подлежащие
определению и удовлетворяющие краевым условиям (4)), должно удовлетворять вариаци-
онному уравнению Лагранжа δЭ = δΩ−δA = 0, где δΩ — работа внутренних сил, представ-
ляющая собой приращение потенциальной энергии на каком-либо возможном перемещении
системы; δA — работа внешних сил на том же возможном перемещении.
Выражение потенциальной энергии имеет вид
Э =
∫∫∫
W dxdydz −
∫∫
(xnu + ynυ + znw) ds, (15)
где
W =
{
1
2
(
λ
∂u
∂x
+
∂υ
∂y
+
∂w
∂z
)2
+ µ
(
∂u
∂y
+
∂v
∂x
)2
+
(
∂u
∂z
+
∂w
∂x
)2
+
(
∂v
∂z
+
∂w
∂y
)2
+
+ 2µ
[(
∂u
∂x
)2
+
(
∂υ
∂y
)2
+
(
∂w
∂z
)2]}
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 53
Работа внешних сил при учете краевых условий (4) записывается соотношением
∫∫
(xnu + ynυ + znw) ds = −
∫∫
P [U cos(n, x) + υ cos(n, y) + w cos(n, z)] dω, (16)
где cos(n, l), l = x, y, z, — направляющие косинусы внешней нормали на пятне контакта.
На поверхности, свободной от пятна контакта, нормали напряжения равны нулю. В выра-
жении (16) интенсивность распределенной по пятну контакта нагрузки P входит входной
составной частью в подынтегральную функцию.
Для определения значений параметров Cτ
ijk, τ = 1, 2, 3, в (14), соответствующих мини-
муму потенциальной энергии системы, необходимо решить задачу на экстремум в виде
∂Э
∂C1
αβγ
= 0,
∂Э
∂C2
αβγ
= 0,
∂Э
∂C3
αβγ
= 0, (17)
где α + β + γ = 0, 1, . . . , n.
Если в (17) подставить (14) и выполнить некоторые преобразования, получим систему
Ритца в развернутом виде, удобном для алгоритмизации процесса вычисления. Компоненты
вектора Un = iUn+jυn+kWn для любой точки области D определяются путем подстановки
в (14) коэффициентов Cτ
ijk, τ = 1, 3, полученных в результате решения системы Ритца
в развернутом виде,
n
∑
i+j+k=0
{
C1
ijk
∫∫∫
D
[(
λ
µ
+ 2
)
∂fijk
∂x
∂fαβγ
∂x
+
∂fijk
∂y
∂fαβγ
∂y
+
∂fijk
∂z
∂fαβγ
∂z
]
dxdydz +
+ C2
ijk
∫∫∫
D
(
λ
µ
∂fijk
∂y
∂fαβγ
∂x
+
∂fijk
∂x
∂fαβγ
∂y
)
dxdydz +
+ C3
ijk
∫∫∫
D
(
λ
µ
∂fijk
∂z
∂fαβγ
∂x
+
∂fijk
∂x
∂fαβγ
∂z
)
dxdydz
}
=
1
µ
∫∫
ω2
fαβγ cos(υ, x)dω;
n
∑
i+j+k=0
{
C1
ijk
∫∫∫
D
(
λ
µ
∂fijk
∂x
∂fαβγ
∂y
+
∂fijk
∂y
∂fαβγ
∂x
)
dxdydz +
+ C2
ijk
∫∫∫
D
[
∂fijk
∂x
∂fαβγ
∂x
+
(
λ
µ
+ 2
)
∂fijk
∂y
∂fαβγ
∂y
+
∂fijk
∂z
∂fαβγ
∂z
]
dxdydz +
+ C3
ijk
∫∫∫
D
(
λ
µ
∂fijk
∂z
∂fαβγ
∂y
+
∂fijk
∂y
∂fαβγ
∂z
)
dxdydz
}
=
1
µ
∫∫
ω2
fαβγ cos(υ, y)dω;
n
∑
i+j+k=0
{
C1
ijk
∫∫∫
D
(
λ
µ
∂fijk
∂x
∂fαβγ
∂z
+
∂fijk
∂z
∂fαβγ
∂x
)
dxdydz +
+C2
ijk
∫∫∫
D
(
λ
µ
∂fijk
∂y
∂fαβγ
∂z
+
∂fijk
∂z
∂fαβγ
∂y
)
dxdydz +
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №2
+ C3
ijk
∫∫∫
D
(
∂fijk
∂x
∂fαβγ
∂x
+
∂fijk
∂y
∂fαβγ
∂y
+
(
λ
µ
+ 2
)
∂fijk
∂z
∂fαβγ
∂z
)
dxdydz
}
=
=
1
µ
∫∫
ω2
fαβγ cos(υ, z)dω; α + β + γ = 0, 1, . . . , n.
Модуль вектора упругих перемещений определяется из выражения Un =
√
u2
n + υ2
n + w2
n.
Определение напряжений в любой точке области базируется на обобщенном законе Гука
в тензорной форме [3, 4]
TG = λΘE1 + 2µTε =
Gx τxy τxz
τyx Gy τyz
τxz τzy Gz
,
где Tε — тензор деформаций; Tε =
εx (1/2)γxy (1/2)γxz
(1/2)γxy εy (1/2)γyz
(1/2)γzx (1/2)γzy εz
, E1 — единичный тензор
E1 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
Компоненты тензора деформаций выражаются через геометрические характеристики
деформаций в виде
εx =
∂u
∂x
, γxy =
1
2
(
∂u
∂y
+
∂υ
∂x
)
, εy =
∂υ
∂y
,
γyz =
1
2
(
∂w
∂y
+
∂υ
∂z
)
, εz =
∂w
∂z
, γxz =
1
2
(
∂u
∂z
+
∂w
∂x
)
.
Если l = {lx, ly, lz} — направляющие косинусы некоторой площадки с нормалью r в точке
M(x, y, z), принадлежащей области D, то для вычисления составляющей напряжения в этой
точке необходимо воспользоваться зависимостями Коши в тензорной форме [3, 4] в виде
Pυ = {lx, ly, lz} =
Gx τxy τxz
τyx Gy τyz
τxz τzy Gz
.
Полное напряжение на этой площадке определяется как геометрическая сумма состав-
ляющей, т. е. Pυ =
√
x2
υ + y2
υ + z2
υ, где xυ = Gxlx + τxyly + τxzlz, yυ = τyxlx + Gyly + τyzlz,
zυ = τzxlx + τzyly + Gzlz.
Таким образом, в данной работе разработана теория получения структуры приближен-
ного решения задачи определения полей изгибных напряжений в галтели кругового зуба
конического колеса, в основу которой положены методы классической теории упругости
в трехмерной постановке с использованием дифференциальных зависимостей Коши и обоб-
щенного закона Гука при смешанных граничных условиях для области со сложной грани-
чной поверхностью.
1. Громан М.Б., Шлейфер М.А. Конические передачи с круговыми зубьями. – Москва: Машинострое-
ние, 1964. – 176 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 55
2. Часовников Л.Д., Громак А.В. Расчет круговых зубьев конических колес // Изв. вузов. Машино-
строение. – 1976. – № 2. – С. 60–65.
3. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. – Киев: Наук. думка, 1972. – 501 с.
4. Гастев В.А. Курс теории упругости и основ теории пластинчатости. – Ленинград: Университет,
1973. – 180 с.
5. Берштейн Л.Л., Займовский В.А. Структура и механические свойства металлов. – Москва: Метал-
лургия, 1970. – 472 с.
6. Решетов В.А. Детали машин. – Москва: Машиностроение, 1975. – 655 с.
7. Рвачев В.Л., Проценко В.С. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. –
Киев: Наук. думка, 1977. – 235 с.
8. Кириченко А.Ф. Использование вариационных методов с применением ЭЦВМ для определения из-
гибных напряжений в зубьях цилиндрических зубчатых колес // Вестн. машиностроения. – 1980. –
№ 11. – С. 15–17.
9. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. – Москва: Высш. шк., 1982. – 263 с.
10. Михлин С. Г. Прямые методы в математической физике. – Москва; Ленинград: ГИТТЛ, 1950. – 428 с.
Поступило в редакцию 31.03.2006Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
Харьковский национальный
автодорожный университет
Украинская государственная академия
железнодорожного транспорта, Харьков
УДК 539.3
© 2007
Я.О. Жук, I. К. Сенченков, О. В. Бойчук
Динамiчнi процеси в тонкому цилiндрi при тепловому
опромiненнi торця
(Представлено академiком НАН України Я.М. Григоренком)
The processes of generation and propagation of a stress pulse and temperature variations caused
by a thermal impact at the face of a long thin steel cylinder are investigated. The statement
of the dynamic coupled problem of thermomechanics is used along with the thermodynamically
consistent theory of the inelastic behavior of a material. It is solved numerically by the finite
element method. Main properties of a thermomechanical state in the vicinity of the irradiated
end and the stress pulse propagation accompanied with the temperature variation are studied.
Relations between the parameters of a thermal pulse and a stress wave are established.
Опромiнення поверхонь металевих деталей лазерними iмпульсами або електронними пучка-
ми є сучасним технологiчним засобом змiцнення i пiдвищення стiйкостi до зношування та
втомної довговiчностi елементiв конструкцiй [1–3]. На стадiї мiнiатюризацiї, енерго- i ре-
сурсозбереження, яку зараз переживають машинобудування i приладобудування, дозоване
i направлене пiдведення енергiї до об’єкта технологiї є надзвичайно перспективним ме-
тодом виготовлення мiкрообладнання [3]. Лазернi i пучковi технологiї внаслiдок надзви-
чайно точної локалiзацiї впливу дозволяють вийти на мiкро- i нанорiвень обробки мате-
рiалiв [3].
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1611 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:48:24Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | "Доповіді НАН України" |
| record_format | dspace |
| spelling | Иванова, З.А. Иванов, Е.М. Божко, А.Е. 2008-08-28T13:44:24Z 2008-08-28T13:44:24Z 2007 О построении математических моделей объемного напряженно-деформированного состояния конических колес с круговой формой зубьев / А.Е. Божко, Е.М. Иванов, З.А. Иванова // Доп. НАН України. — 2007. — N 2. — С. 48-56. — Библиогр.: 10 назв. — рус. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1611 539.3:621.333 A theory of the structure of an approximate solution of the problem of determination of the fields of bending stresses in circular gears of conic wheels is developed. ru "Доповіді НАН України" Механіка О построении математических моделей объемного напряженно-деформированного состояния конических колес с круговой формой зубьев Article published earlier |
| spellingShingle | О построении математических моделей объемного напряженно-деформированного состояния конических колес с круговой формой зубьев Иванова, З.А. Иванов, Е.М. Божко, А.Е. Механіка |
| title | О построении математических моделей объемного напряженно-деформированного состояния конических колес с круговой формой зубьев |
| title_full | О построении математических моделей объемного напряженно-деформированного состояния конических колес с круговой формой зубьев |
| title_fullStr | О построении математических моделей объемного напряженно-деформированного состояния конических колес с круговой формой зубьев |
| title_full_unstemmed | О построении математических моделей объемного напряженно-деформированного состояния конических колес с круговой формой зубьев |
| title_short | О построении математических моделей объемного напряженно-деформированного состояния конических колес с круговой формой зубьев |
| title_sort | о построении математических моделей объемного напряженно-деформированного состояния конических колес с круговой формой зубьев |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1611 |
| work_keys_str_mv | AT ivanovaza opostroeniimatematičeskihmodeleiobʺemnogonaprâžennodeformirovannogosostoâniâkoničeskihkolesskrugovoiformoizubʹev AT ivanovem opostroeniimatematičeskihmodeleiobʺemnogonaprâžennodeformirovannogosostoâniâkoničeskihkolesskrugovoiformoizubʹev AT božkoae opostroeniimatematičeskihmodeleiobʺemnogonaprâžennodeformirovannogosostoâniâkoničeskihkolesskrugovoiformoizubʹev |