Схема повышенного порядка точности для двумерного уравнения Пуассона в прямоугольнике с учетом влияния краевого условия Дирихле
Изучена конечно-разностная схема повышенного порядка аппроксимации на девятиточечном шаблоне для уравнения Пуассона в прямоугольнике с краевым условием Дирихле. Получены оценки точности приближенного решения, учитывающие влияние краевого условия. Показано, что точность схемы выше в приграничных узла...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Datum: | 2018 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2018
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/161375 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Схема повышенного порядка точности для двумерного уравнения Пуассона в прямоугольнике с учетом влияния краевого условия Дирихле / Н.В. Майко // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 4. — С. 122–134. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-161375 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Майко, Н.В. 2019-12-07T16:02:56Z 2019-12-07T16:02:56Z 2018 Схема повышенного порядка точности для двумерного уравнения Пуассона в прямоугольнике с учетом влияния краевого условия Дирихле / Н.В. Майко // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 4. — С. 122–134. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/161375 519.6 Изучена конечно-разностная схема повышенного порядка аппроксимации на девятиточечном шаблоне для уравнения Пуассона в прямоугольнике с краевым условием Дирихле. Получены оценки точности приближенного решения, учитывающие влияние краевого условия. Показано, что точность схемы выше в приграничных узлах сеточного множества и повышение порядка аппроксимации не влияет на эффект от краевого условия. Досліджено скінченно-різницеву схему підвищеного порядку апроксимації на дев'ятиточковому шаблоні для рівняння Пуассона в прямокутнику з крайовою умовою Діріхле. Отримано оцінки точності наближеного розв'язку, які враховують вплив крайової умови. Доведено, що точність схеми вища в примежових вузлах сіткової множини і підвищення порядку апроксимації не впливає на ефект від крайової умови. We investigate the finite-difference scheme of higher order of accuracy on a nine-point template for Poisson’s equation in a rectangle with the Dirichlet boundary condition. We substantiate the error estimate taking into account the influence of the boundary condition. We prove that the accuracy order is higher near the sides of the rectangle than at the inner nodes of the mesh set and increase in the approximation order has no impact on the boundary effect. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системний аналіз Схема повышенного порядка точности для двумерного уравнения Пуассона в прямоугольнике с учетом влияния краевого условия Дирихле Схема підвищеного порядку точності для двовимірного рівняння Пуассона в прямокутнику з урахуванням впливу крайової умови Діріхле The finite-difference scheme of higher order of accuracy for the two-dimensional Poisson equation in a rectangle with allowance for the effect of the Dirichlet boundary condition Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Схема повышенного порядка точности для двумерного уравнения Пуассона в прямоугольнике с учетом влияния краевого условия Дирихле |
| spellingShingle |
Схема повышенного порядка точности для двумерного уравнения Пуассона в прямоугольнике с учетом влияния краевого условия Дирихле Майко, Н.В. Системний аналіз |
| title_short |
Схема повышенного порядка точности для двумерного уравнения Пуассона в прямоугольнике с учетом влияния краевого условия Дирихле |
| title_full |
Схема повышенного порядка точности для двумерного уравнения Пуассона в прямоугольнике с учетом влияния краевого условия Дирихле |
| title_fullStr |
Схема повышенного порядка точности для двумерного уравнения Пуассона в прямоугольнике с учетом влияния краевого условия Дирихле |
| title_full_unstemmed |
Схема повышенного порядка точности для двумерного уравнения Пуассона в прямоугольнике с учетом влияния краевого условия Дирихле |
| title_sort |
схема повышенного порядка точности для двумерного уравнения пуассона в прямоугольнике с учетом влияния краевого условия дирихле |
| author |
Майко, Н.В. |
| author_facet |
Майко, Н.В. |
| topic |
Системний аналіз |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| publishDate |
2018 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Схема підвищеного порядку точності для двовимірного рівняння Пуассона в прямокутнику з урахуванням впливу крайової умови Діріхле The finite-difference scheme of higher order of accuracy for the two-dimensional Poisson equation in a rectangle with allowance for the effect of the Dirichlet boundary condition |
| description |
Изучена конечно-разностная схема повышенного порядка аппроксимации на девятиточечном шаблоне для уравнения Пуассона в прямоугольнике с краевым условием Дирихле. Получены оценки точности приближенного решения, учитывающие влияние краевого условия. Показано, что точность схемы выше в приграничных узлах сеточного множества и повышение порядка аппроксимации не влияет на эффект от краевого условия.
Досліджено скінченно-різницеву схему підвищеного порядку апроксимації на дев'ятиточковому шаблоні для рівняння Пуассона в прямокутнику з крайовою умовою Діріхле. Отримано оцінки точності наближеного розв'язку, які враховують вплив крайової умови. Доведено, що точність схеми вища в примежових вузлах сіткової множини і підвищення порядку апроксимації не впливає на ефект від крайової умови.
We investigate the finite-difference scheme of higher order of accuracy on a nine-point template for Poisson’s equation in a rectangle with the Dirichlet boundary condition. We substantiate the error estimate taking into account the influence of the boundary condition. We prove that the accuracy order is higher near the sides of the rectangle than at the inner nodes of the mesh set and increase in the approximation order has no impact on the boundary effect.
|
| issn |
1019-5262 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/161375 |
| citation_txt |
Схема повышенного порядка точности для двумерного уравнения Пуассона в прямоугольнике с учетом влияния краевого условия Дирихле / Н.В. Майко // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 4. — С. 122–134. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT maikonv shemapovyšennogoporâdkatočnostidlâdvumernogouravneniâpuassonavprâmougolʹnikesučetomvliâniâkraevogousloviâdirihle AT maikonv shemapídviŝenogoporâdkutočnostídlâdvovimírnogorívnânnâpuassonavprâmokutnikuzurahuvannâmvplivukraiovoíumovidíríhle AT maikonv thefinitedifferenceschemeofhigherorderofaccuracyforthetwodimensionalpoissonequationinarectanglewithallowancefortheeffectofthedirichletboundarycondition |
| first_indexed |
2025-11-26T16:42:55Z |
| last_indexed |
2025-11-26T16:42:55Z |
| _version_ |
1850628729052594176 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.6
Í.Â. ÌÀÉÊÎ
ÑÕÅÌÀ ÏÎÂÛØÅÍÍÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ ÒÎ×ÍÎÑÒÈ
ÄËß ÄÂÓÌÅÐÍÎÃÎ ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÏÓÀÑÑÎÍÀ  ÏÐßÌÎÓÃÎËÜÍÈÊÅ
Ñ Ó×ÅÒÎÌ ÂËÈßÍÈß ÊÐÀÅÂÎÃÎ ÓÑËÎÂÈß ÄÈÐÈÕËÅ
Àííîòàöèÿ. Èçó÷åíà êîíå÷íî-ðàçíîñòíàÿ ñõåìà ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà àï-
ïðîêñèìàöèè íà äåâÿòèòî÷å÷íîì øàáëîíå äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà â ïðÿìî-
óãîëüíèêå ñ êðàåâûì óñëîâèåì Äèðèõëå. Ïîëó÷åíû îöåíêè òî÷íîñòè ïðè-
áëèæåííîãî ðåøåíèÿ, ó÷èòûâàþùèå âëèÿíèå êðàåâîãî óñëîâèÿ. Ïîêàçàíî,
÷òî òî÷íîñòü ñõåìû âûøå â ïðèãðàíè÷íûõ óçëàõ ñåòî÷íîãî ìíîæåñòâà è ïî-
âûøåíèå ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè íå âëèÿåò íà ýôôåêò îò êðàåâîãî óñëîâèÿ.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: óðàâíåíèå Ïóàññîíà, êðàåâîå óñëîâèå Äèðèõëå, ðàç-
íîñòíàÿ ñõåìà, äåâÿòèòî÷å÷íûé øàáëîí, ðàçíîñòíûé îïåðàòîð, îöåíêà òî÷-
íîñòè, êðàåâîé ýôôåêò.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ïðè ðåøåíèè êðàåâûõ è íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ êîíå÷íî-ðàçíîñòíûì ìåòîäîì
çàìå÷åíî [1], ÷òî òî÷íîñòü ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ âûøå âáëèçè òîé ÷àñòè
ãðàíèöû îáëàñòè, ãäå çàäàíî êðàåâîå óñëîâèå Äèðèõëå. Êîëè÷åñòâåííîé õàðàê-
òåðèñòèêîé óêàçàííîãî íàáëþäåíèÿ ÿâëÿþòñÿ îöåíêè ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè
ñõåìû, êîòîðûå ó÷èòûâàþò âëèÿíèå êðàåâîãî óñëîâèÿ. Òàêèå îöåíêè ïîëó÷åíû
â ðÿäå ïóáëèêàöèé (íàïðèìåð, [2–5]).
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàññìîòðåíà ñòàíäàðòíàÿ ñõåìà ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà
àïïðîêñèìàöèè íà äåâÿòèòî÷å÷íîì øàáëîíå äëÿ äâóìåðíîãî óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà
ñ êðàåâûì óñëîâèåì Äèðèõëå íà ñòîðîíàõ ïðÿìîóãîëüíèêà. Ê ðåøåíèþ óðàâíå-
íèÿ Ïóàññîíà ñâîäÿòñÿ, êàê èçâåñòíî, âàæíûå êëàññû ïðèêëàäíûõ çàäà÷, îäíîé
èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à î êðó÷åíèè ïðèçìàòè÷åñêîãî ñòåðæíÿ ñ ïðÿìîóãîëü-
íûì ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì. Ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàçíîñòíîãî àíàëîãà ýòîé çàäà÷è è
òåîðåìû ñðàâíåíèÿ ïîëó÷åíà àïðèîðíàÿ îöåíêà òî÷íîñòè ìåòîäà ñ ó÷åòîì
êðàåâîãî ýôôåêòà.
Àíàëîãè÷íàÿ ñõåìà ðàññìîòðåíà â [6], ãäå ñ ïðèìåíåíèåì èíîãî ïîäõîäà ïî-
ëó÷åíà îöåíêà äëÿ ïîãðåøíîñòè â íîðìå ñ âåñîì.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÊÐÀÅÂÎÉ ÇÀÄÀ×È È ÅÅ ÊÎÍÅ×ÍÎ-ÐÀÇÍÎÑÒÍÀß ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈß
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó �
�
u f x x D
u x x
� � �
� �
( ), ,
( ) , ,0
(1)
ãäå x x x� ( , )1 2 , � �
�
�
�
�
�
2
1
2
2
2
2x x
, D x x x x l� � �{ }( , ) : , ,1 2 0 1 2� � � — ïðÿ-
ìîóãîëüíèê, � � �D — ãðàíèöà ïðÿìîóãîëüíèêà D.
Ââåäåì ñåòî÷íûå ìíîæåñòâà
� � � � � � �� � � �{ }x i h i N, , ,1 1� ,
h l N� � �� / , N �
2 — öåëîå,
� �� � �
� � �{ }l , � �� �
� � �{ }0 , � �� � �� � �{ } { }0 l , � �1 2, ,
� � �� �1 2 , � � �� �1 2 , � � �� \
è èñïîëüçóåì ñòàíäàðòíûå îáîçíà÷åíèÿ èç ðàáîòû [7].
122 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 4
� Í.Â. Ìàéêî, 2018
Àïïðîêñèìèðóåì çàäà÷ó (1) ðàçíîñòíîé ñõåìîé
y x
h h
y x T T f x x
y x x
( ) ( ) ( ), ,
( ) , ,
�
�
� � �
� �
1
2
2
2
1 2 1 2
12
0
�
�
(2)
ãäå
� �1 2 ,
� � �
�y y xx x� �, , � �1 2, , T T T� 1 2 — óñðåäíÿþùèé îïåðà-
òîð [8],
T v x
h
h x v x d x
x h
x h
1
1
2 1 1 2
1
1 1
1 1
( ) ( | | ) ( , ) ,� � � �
�
�
� � � � �,
T v x
h
h x v x d x
x h
x h
2
2
2 2 2 1
1
2 2
2 2
( ) ( | | ) ( , ) ,� � � �
�
�
� � � � �.
Äëÿ ïîãðåøíîñòè z x y x u x( ) ( ) ( )� � èìååì çàäà÷ó
z x
h h
z x x x
z x x
( ) ( ) ( ), ,
( ) ,
�
�
� � �
� �
1
2
2
2
1 2
12
0
� �
��
(3)
ãäå �( )x — ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè:
� � �
�
� �
u
h h
u T T f1
2
2
2
1 2 1 2
12
� � �
�
� � �
1 2
1
2
2
2
1 2 1 2 2 1
12
u u
h h
u T u T u( ) ( )
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
1 2
2
2
2 2 1
1
2
1
12 12
u T u
h
u u T u
h
u � �
1 1 2 2� � ,
� �� �
�
�( ) ( ) ( ) ( ),x u x T u x
h
u x x� � � ��
�
�3
3
2
3
12
( , )� �1 2 .
Çäåñü èñïîëüçóåòñÿ ñîîòíîøåíèå
1 2 2 1( ) ( ) ( )T u T u Tf x� � � , ïîëó÷åííîå â ðå-
çóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ îïåðàòîðà T T T� 1 2 ê óðàâíåíèþ çàäà÷è (1) â óçëàõ x ��
ñ ó÷åòîì ôîðìóëû T
u
x
x ux x�
�
� �
�
�
�
2
2
( ) , x �� (� �1 2, ).
Íà ìíîæåñòâå H h
0
ñåòî÷íûõ ôóíêöèé, çàäàííûõ íà � è îáðàùàþùèõñÿ
â íóëü íà �, îïðåäåëèì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
( , ) ( ) ( )y v h h y x v x
x
�
�
� 1 2
�
è íîðìó
| | | | | | | | ( , ) ( )( )
/
v v v v h h v xL
x
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�2 1 2
2
1 2
�
�
.
Èñïîëüçóåì òàêæå îáîçíà÷åíèå
| | | | max | ( )|( )v v xC
x
�
�
�
�
.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 4 123
ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÄÈÑÊÐÅÒÍÎÉ ÇÀÄÀ×È
Èçâåñòíî (ñì., íàïðèìåð, [7]), ÷òî îäíîìåðíàÿ ñïåêòðàëüíàÿ çàäà÷à
�
�
�
� �
� � �
� �
�
�w x w x x
w w l
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) , ,
( ) ( )
� � �
� �
0
0 0
(4)
èìååò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
�
�
�
� �
�
k
h
k h
l
( ) sin�
4
22
2 , k N� �� �1 1, ,� ,
è ñîîòâåòñòâóþùèå èì ñîáñòâåííûå ôóíêöèè
w w x
l
k x
lk k� �
� �
�
�
� �
�
( ) ( ) ( ) sin� �
2
, h w x
k
x
�
�
�
�
�
� �
( ( ))( ) 2 1
�
� � ,
k N� �� �1 1, ,� , � �1 2, .
Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
�
�
k
( ) óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì
� � �
�1 2 1
( ) ( ) ( )
�
�
N
,
�
�
�
� �
1 2
2
2
4
2
8( ) sin�
h
h
l l
,
�
�
�
� �
� �
�
� �
N
h
N h
l h
h
l h
�
�
�
� �
1 2
2
2
2
2
4 1
2
4
2
4( ) sin
( )
cos ,
4 4
2
2 2
k
l h
k
�
�
�
�
�
� �( ) , k N� �� �1 1, ,� , � �1 2, .
Íàïîìíèì, ÷òî äâóìåðíàÿ ñïåêòðàëüíàÿ çàäà÷à
w x w x x( ) ( ) ,� � � �0 ,
w x x( ) , ,� �0 � (5)
èìååò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
k k k k
h
k h
l h
k h
1 2 1 2
1 2
1
2
2 1 1
1
2
2
2 2 24
2
4
� � � �( ) ( ) sin sin
2 2l
è ñîîòâåòñòâóþùèå èì ñîáñòâåííûå ôóíêöèè
w x w x w x
l l
k x
l
k
k k k k1 2 1 2
1
1
2
2
1 2
1 1
1
22
( ) ( ) ( ) sin sin( ) ( )� �
x
l
2
2
, | | | |wk k1 2
1� ,
k N� � �� � �1 1 1 2, , , ,� .
Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ôóíêöèé wk k1 2
âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ
� �
� � �
�
�
� � � �
w w w w wk k k k k k1 2 3 3
3 3� � �
� �
� �( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
� � � �
�
�w w w
k k k k k k
3 1 2
3
� � � �
� � � � ( ) ( ) ( ) ( )( ) , � �1 2, ;
1 2 1 2
1 2
1
1 2 2
1 2 1 2 1 2 2
w w w w wk k k k k k k
� � �( ) (( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) �
� �
k k k k k k k kw w w
1 1 2 2 1 2 1 2
1 1 2 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
124 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 4
Ðàññìîòðèì òåïåðü âñïîìîãàòåëüíóþ çàäà÷ó
v x
h h
v x x
v x x
( ) ( ) , ;
( ) ,
�
�
� � �
� �
1
2
2
2
1 2
12
1
0
�
��
(6)
Ââåäåì ðàçíîñòíûé îïåðàòîð
A A A
h h
A A� � �
�
1 2
1
2
2
2
1 2
12
, ãäå A y y� �� �
, A H Hh h� :
0 0
� , � �1 2, .
Ëåììà 1. Îïåðàòîð A ñàìîñîïðÿæåí è ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåí â H h
0
. Äëÿ
íåãî âûïîëíÿþòñÿ îöåíêè
2
3
1 2 1 2( )A A A A A� � � � .
Äîêàçàòåëüñòâî. Îïåðàòîðû A1 è A2 ñàìîñîïðÿæåíû: A A� �
* � , ïîñêîëüêó
( , ) ( , ) ( , ) ( , )A y v y v y v y A vx x x x� �� � � �
� � � � � � �y v H h,
0
( , )� �1 2 ;
ïåðåñòàíîâî÷íû: A A A A1 2 2 1� , ïîñêîëüêó
A A y y y A A yx x x x x x x x1 2 2 12 2 1 1 1 1 2 2
� � �( ) ( ) � �y H h
0
;
óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì [7]
( , ) | | | | cos | | | | | |( )A y y y
h
h
l
y
h
N�
�
�
�
� �
�
� � �
�1
2
2
2 2
2
4
2
4
y| | 2 � �y H h
0
,
( , ) | | | | sin | | | | | | | |( )A y y y
h
h
l
y
l
y�
�
�
�
� �
�
1
2
2
2 2
2
4
2
8 2 � �y H h
0
,
ò.å.
8 4
2 2l
I A
h
I
�
�
�
� � (� �1 2, ), I — òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð. Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè,
ñëåäóåò ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòü îïåðàòîðîâ A A1 2, .
Òîãäà îïåðàòîð A A1 2 ñàìîñîïðÿæåí: ( )*A A A A1 2 1 2� , ïîñêîëüêó
( )* * *A A A A A A A A1 2 2 1 2 1 1 2� � � ;
ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåí: A A
l l
E1 2
1
2
2
2
64
, ïîñêîëüêó
( , ) ( , ) ( , ) (/ / / /A A y y A A A y y A A A y y A A1 2 1 2
1 2
2
1 2
2
1 2
1 2
1 2
1� � �
2
1 2
2
1 2/ /, )y A y
�
�
8 8 8 8
1
2 2
1 2
2
1 2
1
2 2
1
2
2
2
2
l
A y A y
l
A y y
l l
y( , ) ( , ) | | | |/ / � �y H h
0
.
Îòñþäà ñëåäóåò ñàìîñîïðÿæåííîñòü è ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòü îïåðàòî-
ðîâ A A1 2� è A, à òàêæå íåðàâåíñòâî A A A� �1 2 .
Äîêàæåì òåïåðü îöåíêó
2
3
1 2( )A A A� � :
A A A
h h
A A A E
h
A A E
h
� � �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �1 2
1
2
2
2
1 2 1
2
2
2 2
1
2
12 12 12
1A
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�A E
h
h
E A E
h
h
E1
2
2
2
2 2
1
2
1
212
4
12
4 2
3
(A A1 2� ).
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 4 125
Îòñþäà ñëåäóåò ñàìîñîïðÿæåííîñòü è ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòü îïåðàòî-
ðà A. �
Èç äîêàçàííîé ëåììû 1 ñëåäóåò îäíîçíà÷íàÿ ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è (2).
Ðåøåíèå v x( ) çàäà÷è (6) èùåì â âèäå
v x v w xk k k k
k
N
k
N
( ) ( )�
�
�
�
�
�� 1 2 1 2
2
2
1
1
1
1
1
1
. (7)
Î÷åâèäíî, ÷òî v x( ) � 0 ïðè x ��. Èç ïðèíöèïà ìàêñèìóìà [7] ñëåäóåò, ÷òî
v x( )
0 � �x �. Äëÿ îòûñêàíèÿ êîýôôèöèåíòîâ vk k1 2
èñïîëüçóåì ïðåäñòàâëåíèå
1
1 2 1 2
2
2
1
1
1
1
1
1
�
�
�
�
�
�� c w xk k k k
k
N
k
N
( ), (8)
ãäå
c w h h w x h h
l l
k x
k k k k k k
x
1 2 1 2 1 2
1
2
1 2 1 2
1 2
1 1� � �
�
�( , ) ( ) sin
�
l
k x
lx 1
2 2
2
sin
��
� �
� �
�
�
�
�
� �
2 1 2
1 2
1 1
11
1
2 2
21
11 2h h
l l
k ih
l
k jh
li
N
j
N
sin sin
�
�
2
1
2 2
2
1 2
1 2
1 1 1
1
1 1 1
1
1 1
h h
l l
N k h
l
N k h
l
k h
l
sin
( )
sin
sin
1
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2
2
1
2 2
2
sin
( )
sin
sin
N k h
l
N k h
l
k h
l
�
�
�
� �
�
�
��
�
�
�
2 2 21 2
1 2
1 1
1
1 1 1
1
1 1
1h h
l l
k h
l
N k h
l
k h
l
cos cos
� � �
�
�
��
2
2
2 2
1 1
1
2 2
2
2 2 2
2
2 2
2
sin
cos cos
k h
l
k h
l
N k h
l
k h
l
�
�
��
�
2
2
2 2
2
sin
k h
l
�
� �
2 2
1
21 2
1 2
1 1
1
1 1
1
1
1
1
1
h h
l l
k h
l
k h
l
h
k
k
cos ( ) cos cos
( )
k h
l
k h
l
h
k
k
2 2
2
2 2
2
2
2
2
1
2
2
2
� �
�
( ) cos
( )
�
� � � �
2
1 1 1 1
2 2
1 2
1 1
1
2 2
2
1 2
l l
k h
l
k h
l
k k
k
( ( ) )( ( ) )cos cos
1 2
1 2( ) ( )
k
(èñïîëüçîâàíà ôîðìóëà sin
sin sin
( )
sin
, , ,k
n n
m m n
k
n
�
� �
�
�
�
� �
�
� � �
1
2
1
2
2
2{ }� �).
Ïîäñòàâëÿÿ ñóììû (7) è (8) â óðàâíåíèå çàäà÷è (6), èìååì
� �
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� k k k k k k k k
h h
v c
1 2 1 2 1 2 1 2
1
2
2
2
1 2
12
( ) ( )
�
�
�
� �
�
�
�
�
�� w x xk k
k
N
k
N
1 2
2
2
1
1
1
1
1
1
0( ) , �.
126 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 4
Îòñþäà ïîëó÷àåì
v
c
h h
k k
k k
k k k k
1 2
1 2
1 2 1 2
1
2
2
2
1 2
12
�
�
�
( ) ( )
, k N� � �� � �1 1 1 2, , , ,� ,
ïîñêîëüêó
k k k k k k
h h h
1 2 1 2 1 2
1
2
2
2
1 2 1 2
2
2
12
1
12
�
�
� �
�
�
�( ) ( ) ( ) ( )
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
k k
h
2 1
2 1
2
11
12
( ) ( )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
k k
h
h
h
h1 2
1 2
2
2
2
2 1
2
2
2
1
12
4
1
12
4( ) ( ) �
�
� � !
2
3
0
1 2
1 2( )( ) ( )
k k
.
Òàêèì îáðàçîì,
v x
c
h h
w x
k k
k k k k
k k
k
N
( ) ( )
( ) ( )
�
�
��
1 2
1 2 1 2
1 2
2 1
2
2
2
1 21
12
2
1
1 1
1
1 �
�
�
��
k
N
, x ��, (9)
ãäå
k1
1( ) ,
k2
2( ) , w xk k k k1 2 1 2
( ), , ck k1 2
îïðåäåëåíû â (4), (5) è (8).
Èññëåäóåì ñâîéñòâà ôóíêöèè v x( ).
Ëåììà 2. Äëÿ ôóíêöèè v x( ) âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà
v x
l l
( ) � �1 2
4
48
const, x ��;
v x x M h( , ) | | ,1 2 1� x h� ��{ , l h� �� }, x3 3� ��� �� ( , )� �1 2 ; (10)
v x x M h
M
h
( , ) | | ln
| |
1 2 2
2 3� , x h� ��{ , l h� �� } ( , )� �1 2 ,
ãäå ïîñòîÿííûå M M1 2, , M 3 íå çàâèñÿò îò | |h h h� �
1
2
2
2 . Îöåíêà (10) íå
óëó÷øàåìà ïî | |h .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ó÷èòûâàÿ íåðàâåíñòâî
k k k k1 2 1 2
1 2 1 22( ) ( ) ( ) ( )�
è îöåíêè
k k k k k k
h h
1 2 1 2 1 2
1
2
2
2
1 2 1 2
12
2
3
�
�
�( ) ( ) ( ) ( )( ),
�
� �
�
k
k
l
( )
4 2
2
, k N� �� �1 1, ,� , � �1 2, ,
äëÿ âñåõ x �� èìååì
v x
l l
k h
l
k hk k
( )
( ( ) )( ( ) )cos cos
�
� � � �
2
1 1 1 1
2 2
1 2
1 1
1
2 21 2
l
h h
k k k k k k
2
1 2 1
2
2
2
1 2
1 2 1 2 1 212
( ) ( ) ( ) ( )�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
k
N
k
N
2
2
1
1
1
1
1
1
�
�
�
�
��
� �
2
1 2
1 1
1
2 2
2l l
k x
l
k x
l
sin sin
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 4 127
�
� �
��
2
2 2
2
3
21 2
1 2 1 2 1 21
1 2 1 2
2
2 l l
l l
k k k k
k
N
( ) ( ) ( ) ( )( )
�
�
�
�
�� �
�
1
1
1
1 2 1 2 1 2
1
1
1 2 1 2
2
24 1
k
N
k k k k
kl l ( ) ( ) ( ) ( )( )1
1
1
1 2
1
1 N
k
N �
�
�
�� �
�
�
�
�
�
�24 1
21 2 1 2 1 21
1
1
1
1 2 1 2
2
2
1
1
l l
k k k k
k
N
k
N
( ) ( ) ( ) ( )
� �
� �
�
�
�
�
��12 1 12 1
41 2
1 2
1
1
1
1
1 2
1
2
1 2
2
2
1
1
l l l l k
k k
k
N
k
N
( ) ( )
l
k
l
k
N
k
N
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
4
2
2
1
1
�
�
�
�
�� �
� �
�
�
�
�
�
"
� � �
3
4
1 1 3
4
11 2
1
2
1
1
2
2
1
1
1 2
1
2
11
1
2
2
1
l l
k k
l l
kk
N
k
N
k
1 3
4 6 48
2
2
1
1 2
2
2
1 2
4
2
k
l l l l
k �
"
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
const.
Ðàññìîòðèì òåïåðü v x( ) â ïðèãðàíè÷íûõ óçëàõ âáëèçè ñòîðîí ïðÿìîóãîëüíèêà D:
( , )h x1 2 , ( , )l h x1 1 2� , x2 2�� ; ( , )x h1 2 , ( , )x l h1 2 2� , x1 1�� .
Íàïðèìåð, äëÿ ( , )h x1 2 , x2 2�� , èìååì
v h x
l l
k h
l
kk k
( , )
( ( ) )( ( ) )cos cos
1 2
1 2
1 1
1
22
1 1 1 1
2
1 2
�
� � � �
h
l
h h
k k k k k k
2
2
1 2 1
2
2
2
1 2
2
121 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
k
N
k
N
2
2
1
1
1
1
1
1
� �
2
1 2
1 1
1
2 2
2l l
k h
l
k x
l
sin sin
�
��
16 1
2
3
1 2 1 2 1 2
1 1
1
1 2 1 2
2
l l
k h
l
k k k k
k
( ) ( ) ( ) ( )( )
sin
1
1
1
1 2
1
1 N
k
N �
�
�
�� �
�
16
2
2 2
2
2
21 2
1 1
1
1 1
1
1
1 1
1 2
l l
k h
l
k h
l
h
k h
l h
sin cos
sin sin
k h
l h
k h
l h
k h
l
2 2
2
1
2
2 1 1
1
2
2
2 2 2
22
2
3
4
2
4
2
sin sin�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
k
N
k
N
2
2
1
1
1
1
1
1
�
�
h
l l
h
k h
l h
k h
l h
k
1
1 2
2
2 2
2
1
2
2 1 1
1
2
2
2
24 1
2
2
4
2
4
sin sin sin
2 2
2
1
1
1
1
2
2
2
1
1
h
l
k
N
k
N
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�h
l l
k
l
k
l
k
l
k
N
k
1
1 2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
24 1
2 4 42
2
1 1
1
1 1
21
1
1
2 2 1
2
2
1
1
2
2
1
3
1 1
N
k
N
k
h l
k
k
k l
l
�
�
�
�
"
� �
�
�
�
��
�
�
��
��
128 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 4
�
�
�
�
��
�
�
��
�
h l
k
k l
l
k l
l
k l
l
k
N
1 1
2
2 1
2
2 1
2
2 1
2
2
1
3
1
1
2
2
2
cth�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1
2
2
1
1
2
2 1
2
2
2
2
3
3
2
1
2
h
l
l
l
l
k l
l
k kk
cth
�
�
�
1
12N
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
"
�h
l
l
l
l
l
l
k kk
1
2
2
1
1
2
1
2
2
2
2
3
1
3
2
1
2
cth
� �
�
�
�
�
�
��
"
�
"
� �h
l
l
l
l
l
l k kk k
1
2
2
1
1
2
1
2
2
2
1 2
3
1
3
2
1 1
2 2
cth �
�
� M h M h1 1 1| | ,
ãäå M
l
l
l
l
l
l
1
2
2
1
1
2
1
2
33
2 6
3� �
�
�
�
�
�
�
�
�
cth
( ) ,
— äçåòà-ôóíêöèÿ Ðèìàíà.
Óñòàíîâèì òåïåðü îöåíêó äëÿ v x( ) âáëèçè óãëîâûõ òî÷åê ïðÿìîóãîëüíèêà D.
Íàïðèìåð, â óçëå ( , )h h1 2 èìååì
v h h
l l
k h
l
kk k
( , )
( ( ) )( ( ) )cos cos
1 2
1 2
1 1
1
22
1 1 1 1
2
1 2
�
� � � �
h
l
h h
k k k k k k
2
2
1 2 1
2
2
2
1 2
2
121 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
k
N
k
N
2
2
1
1
1
1
1
1
� �
2
1 2
1 1
1
2 2
2l l
k h
l
k h
l
sin sin
�
�
16 1
2
3
1 2 1 2 1 2
1 1
1
1 2 1 2
l l
k h
l
k k k k
( ) ( ) ( ) ( )( )
sin sin
k h
lk
N
k
N
2 2
21
1
1
1
2
2
1
1
�
�
�
�
�� �
�
16
2
2 2
2
2
1 2
1 1
1
1 1
1
2 2
2
2 2
l l
k h
l
k h
l
k h
l
k h
sin cos sin cos
2
2
2
2
2
2
3
4
2
2
1
1 1
1 2
2 2
2
1
2
2 1 1
1
l
h
k h
l h
k h
l h
k h
l
sin sin sin
�
4
2
2
2
2 2 2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
h
k h
l
k
N
k
N
sin
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
��
h h
l l
h
k h
l h
k h
l
k
N
1 2
1 2
1
2
2 1 1
1
2
2
2 2 2
2
1
24 1
4
2
4
2
2 sin sin
2
1
1 1
1
1 �
�
�
�� �
k
N
�
�
�
�
�
�
��h h
l l k
l
k
l
h h
k
N
k
N
1 2
1 2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1 2
24 1
4 4
2
2
1
1 6 11
2
1
2 2 1
2
2
11
1
12
2l
l
k
k l
l
kk
N
�
�
�
��
�
�
��
�
�
"
�
�
��
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 4 129
�
�
�
�
��
�
�
��
�
h h
l
l
k l
l
k l
l
k l
l
k
N
1 2
1
2
2 1
2
2 1
2
2 1
2
2
1
6
1
2
2
cth
2
2
21
1 2
1
2 21
1
3
1
�
�
�
� � �h h
l
l kk
N
cth
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��h h
l
l
dx
x
h h
l
l
N
1 2
1
2 1
1 2
1
2
3 1 3 1
2
cth cth ( ln ) lnN h h
l
l
el
h
2 1 2
1
2
2
2
3� �
cth
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�h h
l
l
el
h
h
h h
1 2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
3
1
cth ln
� �
�
�( ) ln | | ln
| |
h h
l
l
el
h h
M h
M
h1
2
2
2 1
2
2
1
2
2
2
2
2 33
2
6
cth ,
ãäå M
l
l
2
1
2
3
2
�
cth , M el3 26� .
Èññëåäóåì òåïåðü íåóëó÷øàåìîñòü îöåíêè äëÿ v x( ) â óãëîâûõ óçëàõ ñåòêè �.
Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, óçåë ( , )h h1 2 . Îáîçíà÷èì U x( ) ðåøåíèå çàäà÷è ïðè
f x( ) #1 (çàäà÷à î êðó÷åíèè ïðèçìàòè÷åñêîãî ñòåðæíÿ ñ ïðÿìîóãîëüíûì
ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì D):
�U x x D( ) ,� � �1 ,
U x x( ) ,� �0 �.
Èçâåñòíî [9, ñ. 683], ÷òî â îêðåñòíîñòè âåðøèíû ( , )0 0 ôóíêöèþ U x( ) ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå
U x x
x x x x
x x
x x
( , ) ln ( )1 2
1
2
2
2
1 2
1
2
2
2 1
2
2
2
4 2
� �
�
� � �
�
arctg
x x
x x
w x x1
2
2
2
1 2
1 2
2
�
� ( , ), (11)
ãäå w x x( , )1 2 –– ðåãóëÿðíàÿ ôóíêöèè â îêðåñòíîñòè òî÷êè ( , )0 0 .
Ïðèìåíèâ òåîðåìû 3.1 è 8.1 èç [10], ïîëó÷èì, ÷òî ôóíêöèÿ w x( ) íå âëèÿåò íà
ïîâåäåíèå ôóíêöèè U x( ) â îêðåñòíîñòè âåðøèíû ( , )0 0 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îöåíêà
äëÿ ôóíêöèè v x( ) â îêðåñòíîñòè òî÷êè ( , )0 0 íå óëó÷øàåìà è îïðåäåëÿåòñÿ ïåðâû-
ìè äâóìÿ ñëàãàåìûìè ôîðìóëû (11).
Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ìîæíî ïðèìåíèòü äëÿ êàæäîé èç òðåõ äðóãèõ
âåðøèí ïðÿìîóãîëüíèêà D, ïðèíèìàÿ åå çà íà÷àëî êîîðäèíàò è âûïîëíÿÿ íàäëå-
æàùóþ ëèíåéíóþ çàìåíó ïåðåìåííûõ. �
Ëåììà 3. Ïóñòü F x( ) — ïðîèçâîëüíàÿ ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ íà �,
à øàãè h1 è h2 óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ
1
5
51
2
� �
h
h
.
(12)
Òîãäà äëÿ ðåøåíèÿ Y x( ) çàäà÷è
Y x
h h
Y x F x x( ) ( ) ( ),�
�
� � �1
2
2
2
1 2
12
�,
(13)
Y x x( ) ,� �0 �,
130 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 4
ñïðàâåäëèâà îöåíêà
| ( )| ( ) | | | | ,( )Y x v x F C� � x ��, (14)
ãäå ôóíêöèÿ v x( ) îïðåäåëåíà â (9).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðåïèøåì çàäà÷ó (13) â âèäå
5
3
1 1 1
6
5 1
1
2
2
2
1
2
2
2 1
h h
Y x
h h
Y x h�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�( ) ( ( 1 2 1 1 2, ) ( , ))x Y x h x� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � �
1
6
5 1
2
2
1
2 1 2 2 1 2 2
h h
Y x x h Y x x h( ( , ) ( , ))
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � � �
1
12
1 1
1
2
2
2 1 1 2 2 1 1 2 2
h h
Y x h x h Y x h x h( ( , ) ( , ) �
� � � � � � �Y x h x h Y x h x h F x( , ) ( , )) ( )1 1 2 2 1 1 2 2 , x ��,
Y x x( ) ,� �0 �.
Îòñþäà ïðè óñëîâèè
1
5
51
2
� �
h
h
ïî òåîðåìå ñðàâíåíèÿ [7] ïîëó÷èì îöåíêó (14). �
Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå êâàäðàòíîé ñåòêè (h h1 2� ) óñëîâèå (12) âûïîëíÿåòñÿ.
ÀÏÐÈÎÐÍÀß ÎÖÅÍÊÀ ÄËß ÏÎÃÐÅØÍÎÑÒÈ ÌÅÒÎÄÀ
Èññëåäóåì ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ïîñòðîåííîé ðàçíîñòíîé ñõåìû â ñåòî÷íîé
ìåòðèêå C ( )� â ñëó÷àå ïðèíàäëåæíîñòè ðåøåíèÿ èñõîäíîé äèôôåðåíöèàëüíîé
çàäà÷è êëàññà W Dm
" ( ), 2 6 �m .
Òåîðåìà 1. Ïóñòü ðåøåíèå u x x( , )1 2 çàäà÷è (1) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
�
� �
6
1
4
2
2
u
x x
,
�
� �
� "
6
1
2
2
4
u
x x
L D( ). Òîãäà ïðè
1
5
51
2
� �
h
h
òî÷íîñòü ðàçíîñòíîé ñõå-
ìû (2) õàðàêòåðèçóåòñÿ îöåíêîé
| ( )| ( ) | | | | | | ,
( )
z x Mv x u h
W D
�
"
6
4 x ��, (15)
ãäå Ì — ïîñòîÿííàÿ, íå çàâèñÿùàÿ îò | |h h h� �
1
2
2
2 , à äëÿ ôóíêöèè v x( ) âû-
ïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ v x O h( ) (| | )� è v x O h
h
( ) | | ln
| |
�
�
�
�
�
�
�2 1
âáëèçè ñòîðîí è
âåðøèí ïðÿìîóãîëüíèêà D ñîîòâåòñòâåííî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíÿÿ ëåììó 3 ê çàäà÷å (3) ïðè F � �, ïîëó÷àåì îöåíêó
| ( )| ( ) | | | | ( )z x v x C� � � , x ��. (16)
Ðàññìîòðèì ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè �( )x . Cëàãàåìîå �1 ( )x èìååò ïðåä-
ñòàâëåíèå:
�1 2
2
2
2
12
( ) ( ) ( ) ( )x u x T u x
h
u x� � � �
� � � � �
�
�
1
12
2
2 2 2 1 2 1
2
2 2
1
2h
h x u x x u x
h u x
( | | ) ( , ) ( , )
( , )
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� d
x h
x h
�
2 2
2 2
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 4 131
� � � �
�
�
� �
�
�
1 1
2
2
2 2 2
1 2
2
2
2
1 2
h
h x
u x x
x
x
u x x
( | | )
( , )
( )
!
( , )
� �
x
x
x h
x h
2
2 2
2
2 2
2 2
( )� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
1
3
1
3
3
1 2
2
3 2
3
1
3
4
1 1
1
4!
( , )
( )
!
( )
( , )u x x
x
x
u x
� � �
�
�
d
x
�
�
1
2
� �
�
�
�
�
�
�
� � �
�h u x x
x
u x x
x
x2
2 2
1 2
2
2
3
1 2
2
3 2 1
4
12
( , ) ( , )
( ) ( )� � �
u x
d d
x
( , )1 1
1
4 1
2
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
� .
Ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèÿ
1
0
2
2 2 2 2
2 2
2 2
h
h x x d
x h
x h
( | | )( )� � � �
�
�
� � � � ,
1
0
2
2 2 2 2
3
2 2
2 2
h
h x x d
x h
x h
( | | )( )� � � �
�
�
� � � � ,
1
6
2
2 2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
h
h x x d
h
x h
x h
( | | )( )� � � �
�
�
� � � � ,
ïîëó÷àåì
� � � � �
�
�
�1
2
2 2 2 1
3
4
1 1
1
4 1
1
6
( ) ( | | ) ( )
( , )
x
h
h x d
u x
d
x
� � � � �
�
�
22 2
2 2 �
��
�
�
�
x h
x h
� � � �
�
�
�
�
1
12
2
2 2 2 1
4
1 1
1
4 1
22
h
h x d
u x
d
xx
( | | ) ( )
( , )
� � � �
�
�
�
�
h
x h
2
2 2�
� .
Îòñþäà ñëåäóåò ïðåäñòàâëåíèå
1 1� ( )x �
� � � � � �
�
�
�
1
6
1
2
2
2 1 1 2 2 2 2
1 1
1 1
h h
h x d h x d
x h
x h
( | | ) ( | | ) (� � � � � �
� �
� �
�
�
�
�
� �
���
�
�
1
3
6
2 1
2
2
1
4 1
22 2
2 2
)
( , )u
d
xx h
x h
� � � � � �
�
�
�
1
12
1
2 1 1 2 2 2 2
1 1
1 1
h
h x d h x d
x h
x h
( | | ) ( | | ) (� � � � � �1
6
2 1
2
2
1
4 1
22 2
2 2
)
( , )�
� �
��
�
�
u
d
xx h
x h
� �
� �
�
�
, x ��.
Òîãäà
| ( )| ( | | ) ( )
1 1
1
2
2
2 1
2
2 2 1
3
1
1
6
2
� � � � � �
�
x
h h
h h x d d
x
� � � �
$
$
�$$
$
$
$$�
�
�
�
�� �
�
�
x h
x h
2 2
2 2
� � � �
$
$
$
�
�
� �
1
12
1
2 1
2
2 2 1 1
2 2
2 2
2
h
h h x d d
x h
x h
x
( | | ) ( )� � � � �
�
$
$
$
$$
�
�
�
��
�
� �
�
"
6
1
2
2
4
u
x x
L D( )
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
6 4
1
2
2
2 1
2
2 2
2
4
2 2
2 2
h h
h h x
x
d
x h
x h
( | | )
( )
�
�
� (17)
132 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 4
� � �
� �
�
�
�
�
��
�
�
1
12 2
1
2 1
2
2 2
2
2 6
2 2
2 2
h
h h x
x
d
u
x h
x h
( | | )
( )
�
�
�
x x
L D1
2
2
4�
�
" ( )
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
1
6 60
1
12 12
1
2
2
2 1
2 2
6
1
2 1
2 2
4 6
1
2
2
h h
h
h
h
h
h u
x x 4 2
4
6
1
2
2
4
7
720
L D L D
h
u
x x
" "
�
�
� �
( ) ( )
, x ��.
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì îöåíêó
| ( )| ,
( )
2 2 1
4
6
1
4
2
2
7
720
� �x h
u
x x
x
L D
�
�
� �
�
"
. (18)
Ñ ó÷åòîì íåðàâåíñòâ (17) è (18) îöåíêà (16) ïðèíèìàåò âèä
| ( )| ( ) | |
( ) (
z x v x h
u
x x
u
x x
L D L
�
�
� �
�
�
� �
" "
7
720
4
6
1
4
2
2
6
1
2
2
4
D )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, x ��, (19)
ãäå | |h h h� �
1
2
2
2 .
Èç íåðàâåíñòâà (19) è ëåììû 2 ñëåäóåò îöåíêà (15). �
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ïðèìåíÿÿ ïðèåìû èç ðàáîòû [8], ìîæíî äîêàçàòü îöåíêó
| ( )| ( ) | | | | | | ,
( )
z x Mv x u h
W D
m
m�
"
�2 x �� ( )2 6 �m ,
ãäå
1
5
51
2
� �
h
h
, à ïîñòîÿííàÿ Ì íå çàâèñèò îò | |h h h� �
1
2
2
2 è âûïîëíÿþòñÿ
ñîîòíîøåíèÿ v x O h( ) (| | )� è v x O h
h
( ) | | ln
| |
�
�
�
�
�
�
�2 1
âáëèçè ñòîðîí è âåðøèí ïðÿ-
ìîóãîëüíèêà D ñîîòâåòñòâåííî.
Òåîðåìà 1 ñâèäåòåëüñòâóåò î ïîâûøåíèè òî÷íîñòè ñõåìû (2) â ïðèãðàíè÷-
íûõ óçëàõ ñåòî÷íîãî ìíîæåñòâà �, ÷òî îòðàæàåò âëèÿíèå êðàåâîãî óñëîâèÿ Äè-
ðèõëå. Èç èçëîæåííîãî òàêæå ñëåäóåò, ÷òî ïîâûøåíèå ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè
íå âëèÿåò íà ýôôåêò îò êðàåâîãî óñëîâèÿ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Makarov V. On a priori estimate of difference schemes giving an account of the boundary effect.
C. R. Acad. Bulg. Sci. (Proc. of the Bulgarian Academy of Sciences). 1989. V. 42, N 5. P. 41–44.
2. Ãàëáà Å.Ô. Î ïîðÿäêå òî÷íîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà ñî ñìåøàííûì
ãðàíè÷íûì óñëîâèåì. Îïòèìèçàöèÿ àëãîðèòìîâ ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ ÝÂÌ. Êèåâ: Èí-ò
êèáåðíåòèêè èì. Â. Ì. Ãëóøêîâà ÀÍ ÓÑÑÐ, 1985. C. 30–34.
3. Makarov V.L., Demkiv L.I. Accuracy estimates of difference schemes for quasi-linear elliptic
equations with variable coefficients taking into account boundary effect. Lecture Notes in Computer
Science. 2005. Vol. 3401. P. 80–90.
4. Makarov V.L., Demkiv L.I. Weight uniform accuracy estimate of finite-difference method for
Poisson equation taking into account boundary effect. Numerical Analysis and Its Application.
4th International Conference. Lozentz, Bulgaria, June 16–20, 2008. P. 92–103.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 4 133
5. Ìàéêî Í.Â., Ðÿáè÷åâ Â.Ë. Îöåíêà òî÷íîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû äëÿ äâóìåðíîãî óðàâíåíèÿ
Ïóàññîíà ñ ó÷åòîì ýôôåêòà îò êðàåâûõ óñëîâèé. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2016.
Ò. 52, ¹ 5. Ñ. 113–124.
6. Ìàéêî Í.Â. Îöåíêà ñ âåñîì òî÷íîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà àïïðîêñè-
ìàöèè äëÿ äâóìåðíîãî óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà ñ ó÷åòîì ýôôåêòà îò êðàåâîãî óñëîâèÿ Äèðèõëå.
Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2018. Ò. 54, ¹ 1. Ñ. 145–153.
7. Samarskii A.A. The theory of difference schemes. New York: Marcel Dekker, Inc., 2001. 762 p.
8. Ñàìàðñêèé A.A., Ëàçàðîâ Ð.Ä., Ìàêàðîâ Â.Ë. Ðàçíîñòíûå ñõåìû äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâ-
íåíèé ñ îáîáùåííûìè ðåøåíèÿìè. Mîñêâà: Âûñøàÿ øêîëà, 1987. 296 ñ.
9. Áàáåíêî Ê.È. Îñíîâû ÷èñëåííîãî àíàëèçà. Ìîñêâà; Èæåâñê: ÍÈÖ “Ðåãóëÿðíàÿ è õàîòè÷åñêàÿ
äèíàìèêà”, 2002. 848 ñ.
10. Âîëêîâ Å.À. Î äèôôåðåíöèàëüíûõ ñâîéñòâàõ ðåøåíèé êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà
è Ïóàññîíà íà ïðÿìîóãîëüíèêå. Òðóäû ÌÈÀÍ ÑÑÑÐ. 1965. Ò. 77. Ñ. 89–112.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 19.10.2017
Í.Â. Ìàéêî
ÑÕÅÌÀ ϲÄÂÈÙÅÍÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÓ ÒÎ×ÍÎÑÒ² ÄËß ÄÂÎÂÈ̲ÐÍÎÃΠвÂÍßÍÍß
ÏÓÀÑÑÎÍÀ  ÏÐßÌÎÊÓÒÍÈÊÓ Ç ÓÐÀÕÓÂÀÍÍßÌ ÂÏËÈÂÓ ÊÐÀÉÎÂί ÓÌÎÂÈ Ä²Ð²ÕËÅ
Àíîòàö³ÿ. Äîñë³äæåíî ñê³í÷åííî-ð³çíèöåâó ñõåìó ï³äâèùåíîãî ïîðÿäêó àï-
ðîêñèìàö³¿ íà äåâ’ÿòèòî÷êîâîìó øàáëîí³ äëÿ ð³âíÿííÿ Ïóàññîíà â ïðÿìî-
êóòíèêó ç êðàéîâîþ óìîâîþ ijð³õëå. Îòðèìàíî îö³íêè òî÷íîñò³ íàáëèæåíî-
ãî ðîçâ’ÿçêó, ÿê³ âðàõîâóþòü âïëèâ êðàéîâî¿ óìîâè. Äîâåäåíî, ùî òî÷í³ñòü
ñõåìè âèùà â ïðèìåæîâèõ âóçëàõ ñ³òêîâî¿ ìíîæèíè ³ ï³äâèùåííÿ ïîðÿäêó
àïðîêñèìàö³¿ íå âïëèâຠíà åôåêò â³ä êðàéîâî¿ óìîâè.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ð³âíÿííÿ Ïóàññîíà, êðàéîâà óìîâà ijð³õëå, ð³çíèöåâà ñõå-
ìà, äåâ’ÿòèòî÷êîâèé øàáëîí, ð³çíèöåâèé îïåðàòîð, îö³íêà òî÷íîñò³, êðàéî-
âèé åôåêò.
N.V. Mayko
THE FINITE-DIFFERENCE SCHEME OF HIGHER ORDER OF ACCURACY
FOR THE TWO-DIMENSIONAL POISSON EQUATION IN A RECTANGLE
WITH ALLOWANCE FOR THE EFFECT OF THE DIRICHLET BOUNDARY CONDITION
Abstracts. We investigate the finite-difference scheme of higher order of accuracy
on a nine-point template for Poisson’s equation in a rectangle with the Dirichlet
boundary condition. We substantiate the error estimate taking into account the
influence of the boundary condition. We prove that the accuracy order is higher
near the sides of the rectangle than at the inner nodes of the mesh set and
increase in the approximation order has no impact on the boundary effect.
Keywords: Poisson’s equation, Dirichlet boundary condition, finite-difference
scheme, nine-point template, discrete operator, error estimate, boundary effect.
Ìàéêî Íàòàëèÿ Âàëåíòèíîâíà,
êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò êàôåäðû Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà
èìåíè Òàðàñà Øåâ÷åíêî, e-mail: mayko@knu.ua.
134 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 4
|