Метод разрешающих функций для игровых задач управления с интегральными ограничениями
Исследован метод разрешающих функций относительно игровых задач управления с интегральными ограничениями. Предложена схема метода, которая обеспечивает окончание игры за определенное гарантированное время в классе стробоскопических стратегий. Показаны результаты сравнения гарантированных времен этой...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2018
|
| Schriftenreihe: | Кибернетика и системный анализ |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/161435 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Метод разрешающих функций для игровых задач управления с интегральными ограничениями / И.С. Раппопорт // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 5. — С. 109-127. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-161435 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1614352025-02-09T14:52:33Z Метод разрешающих функций для игровых задач управления с интегральными ограничениями Метод розв’язувальних функцій для ігрових задач керування з інтегральними обмеженнями Resolving-functions method for game theory control problems with integral constraints Раппопорт, И.С. Системний аналіз Исследован метод разрешающих функций относительно игровых задач управления с интегральными ограничениями. Предложена схема метода, которая обеспечивает окончание игры за определенное гарантированное время в классе стробоскопических стратегий. Показаны результаты сравнения гарантированных времен этой схемы метода разрешающих функций с первым прямым методом Понтрягина для интегральных ограничений. Досліджено метод розв’язувальних функцій стосовно ігрових задач керування з інтегральними обмеженнями. Запропоновано схему методу, що забезпечує закінчення гри за певний гарантований час в класі стробоскопічних стратегій. Показано результати порівняння гарантованих часів цієї схеми методу розв’язувальних функцій з першим прямим методом Понтрягіна для інтегральних обмежень. The author analyzed the method of resolving functions with regard to game theory control problems with integral constraint. A scheme of the method is proposed. This scheme ensures the end of the game within a guaranteed time in the class of stroboscopic strategies. The guaranteed times for this scheme of the resolving-functions method are compared with the results of the fiirst Pontryagin method for integral constraints. 2018 Article Метод разрешающих функций для игровых задач управления с интегральными ограничениями / И.С. Раппопорт // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 5. — С. 109-127. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/161435 517.977 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системний аналіз Системний аналіз |
| spellingShingle |
Системний аналіз Системний аналіз Раппопорт, И.С. Метод разрешающих функций для игровых задач управления с интегральными ограничениями Кибернетика и системный анализ |
| description |
Исследован метод разрешающих функций относительно игровых задач управления с интегральными ограничениями. Предложена схема метода, которая обеспечивает окончание игры за определенное гарантированное время в классе стробоскопических стратегий. Показаны результаты сравнения гарантированных времен этой схемы метода разрешающих функций с первым прямым методом Понтрягина для интегральных ограничений. |
| format |
Article |
| author |
Раппопорт, И.С. |
| author_facet |
Раппопорт, И.С. |
| author_sort |
Раппопорт, И.С. |
| title |
Метод разрешающих функций для игровых задач управления с интегральными ограничениями |
| title_short |
Метод разрешающих функций для игровых задач управления с интегральными ограничениями |
| title_full |
Метод разрешающих функций для игровых задач управления с интегральными ограничениями |
| title_fullStr |
Метод разрешающих функций для игровых задач управления с интегральными ограничениями |
| title_full_unstemmed |
Метод разрешающих функций для игровых задач управления с интегральными ограничениями |
| title_sort |
метод разрешающих функций для игровых задач управления с интегральными ограничениями |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2018 |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/161435 |
| citation_txt |
Метод разрешающих функций для игровых задач управления с интегральными ограничениями / И.С. Раппопорт // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 5. — С. 109-127. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT rappoportis metodrazrešaûŝihfunkcijdlâigrovyhzadačupravleniâsintegralʹnymiograničeniâmi AT rappoportis metodrozvâzuvalʹnihfunkcíjdlâígrovihzadačkeruvannâzíntegralʹnimiobmežennâmi AT rappoportis resolvingfunctionsmethodforgametheorycontrolproblemswithintegralconstraints |
| first_indexed |
2025-11-27T01:41:52Z |
| last_indexed |
2025-11-27T01:41:52Z |
| _version_ |
1849905869214449664 |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.977
È.Ñ. ÐÀÏÏÎÏÎÐÒ
ÌÅÒÎÄ ÐÀÇÐÅØÀÞÙÈÕ ÔÓÍÊÖÈÉ ÄËß ÈÃÐÎÂÛÕ ÇÀÄÀ×
ÓÏÐÀÂËÅÍÈß Ñ ÈÍÒÅÃÐÀËÜÍÛÌÈ ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÈßÌÈ
Àííîòàöèÿ. Èññëåäîâàí ìåòîä ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé îòíîñèòåëüíî èãðî-
âûõ çàäà÷ óïðàâëåíèÿ ñ èíòåãðàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè. Ïðåäëîæåíà ñõåìà
ìåòîäà, êîòîðàÿ îáåñïå÷èâàåò îêîí÷àíèå èãðû çà îïðåäåëåííîå ãàðàíòèðî-
âàííîå âðåìÿ â êëàññå ñòðîáîñêîïè÷åñêèõ ñòðàòåãèé. Ïîêàçàíû ðåçóëüòàòû
ñðàâíåíèÿ ãàðàíòèðîâàííûõ âðåìåí ýòîé ñõåìû ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíê-
öèé ñ ïåðâûì ïðÿìûì ìåòîäîì Ïîíòðÿãèíà äëÿ èíòåãðàëüíûõ îãðàíè÷åíèé.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ëèíåéíàÿ äèôôåðåíöèàëüíàÿ èãðà, èíòåãðàëüíûå îãðàíè-
÷åíèÿ, ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå, èçìåðèìûé ñåëåêòîð, ñòðîáîñêîïè÷åñêàÿ
ñòðàòåãèÿ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Èññëåäîâàí ïîäõîä ê ðåøåíèþ èãðîâûõ çàäà÷ óïðàâëåíèÿ äèíàìè÷åñêèìè
ïðîöåññàìè ñ èíòåãðàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè [1–4] ïðèìåíèòåëüíî ê îáùåé
ñõåìå ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé [5, 6]. Ñîãëàñíî ìåòîäèêå [7, 8] ââåäåíû
ïîíÿòèÿ âåðõíåé è íèæíåé ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé äâóõ òèïîâ è ïîëó÷åíû
äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ãàðàíòèðîâàííîãî ðåçóëüòàòà â ëèíåéíîé äèôôåðåíöè-
àëüíîé èãðå ñ èíòåãðàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè â ñëó÷àå, êîãäà óñëîâèå
Ì.Ñ. Íèêîëüñêîãî [1] íå èìååò ìåñòà. Ïðåäëîæåíû äâå ñõåìû ìåòîäà ðàçðå-
øàþùèõ ôóíêöèé, ïîñòðîåíû ñîîòâåòñòâóþùèå ñòðàòåãèè óïðàâëåíèÿ è äàíî
ñðàâíåíèå ãàðàíòèðîâàííûõ âðåìåí.
Âàæíîé îñîáåííîñòüþ îáùåé ñõåìû ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé ÿâëÿåò-
ñÿ èñïîëüçîâàíèå ïðè ïîñòðîåíèè óïðàâëÿþùåãî âîçäåéñòâèÿ èíôîðìàöèè î ïî-
âåäåíèè ïðîòèâíèêà â ïðîøëîì. Ïðè÷åì ýòà èíôîðìàöèÿ íåîáõîäèìà ëèøü äëÿ
îïðåäåëåíèÿ íåêîòîðîãî ìîìåíòà ïåðåêëþ÷åíèÿ, ðàçäåëÿþùåãî àêòèâíûé è ïàñ-
ñèâíûé èíòåðâàëû ðàçâèòèÿ èãðû. Íà ñàìèõ èíòåðâàëàõ ïðåñëåäîâàòåëü ïðèìå-
íÿåò êîíòðóïðàâëåíèå, îïðåäåëÿåìîå ñòðîáîñêîïè÷åñêîé ñòðàòåãèåé Õàéåêà [9].
Óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ èíôîðìàöèÿ î ïðåäûñòîðèè ïðîòèâíèêà íå èñïîëüçóåòñÿ,
íàéäåíû â [6, 10].
Îäíèì èç îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ íàñòîÿùåé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî äëÿ ðåà-
ëèçàöèè ãàðàíòèðîâàííîãî âðåìåíè îêîí÷àíèÿ ëèíåéíîé äèôôåðåíöèàëüíîé
èãðû ñ èíòåãðàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ëèøü êîíòðóïðàâëå-
íèåì áåç äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé.
 äàííîé ðàáîòå ðàçâèòû èäåè [1–11] è èññëåäîâàíèé [12–23], à òàêæå ïðè-
âåäåíû íîâûå âîçìîæíîñòè ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé ê ðåøå-
íèþ èãðîâûõ çàäà÷ óïðàâëåíèÿ.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È, ÑÕÅÌÀ ÌÅÒÎÄÀ
Ðàññìîòðèì êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûé ïðîöåññ, ýâîëþöèÿ êîòîðîãî îïèñûâàåò-
ñÿ ëèíåéíûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì
�z Az Bu C� � � � . (1)
Çäåñü z R n� , u R m� , � �R k , n � 1, m � 1, k � 1; A B C, , — ïîñòîÿííûå ïðÿìîó-
ãîëüíûå ìàòðèöû ïîðÿäêà n n� , n m� , n k� ñîîòâåòñòâåííî; u — óïðàâëÿþùèé
ïàðàìåòð ïåðâîãî èãðîêà; � — óïðàâëÿþùèé ïàðàìåòð âòîðîãî èãðîêà. Ïàðà-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 109
� È.Ñ. Ðàïïîïîðò, 2018
ìåòðû u è � âûáèðàþòñÿ â âèäå èçìåðèìûõ ôóíêöèé u u� ( ) è � �� ( ) èç
êëàññà Lp [ , )0 �
, p�1, è óäîâëåòâîðÿþò îãðàíè÷åíèÿì
| | ( )| |u dp p� � ��
0
, �� 0, (2)
| | ( )| |� � � �p pd �
0
, � � 0. (3)
Òàêèå óïðàâëåíèÿ áóäåì íàçûâàòü äîïóñòèìûìè.
Êðîìå ïðîöåññà (1), çàäàíî òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî M * , èìåþùåå öèëèíäðè-
÷åñêèé âèä
M M M* � �0 , (4)
ãäå M 0 — ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî èç R n , à M — êîìïàêò èç îðòîãîíàëü-
íîãî äîïîëíåíèÿ L ê ïîäïðîñòðàíñòâó M 0 â R n .
Òðàåêòîðèþ ïðîöåññà (1)–(3) èç íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ z R n
0 � ìîæíî ïðè-
âåñòè íà òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî (4) â ìîìåíò T T z� ( )0 , åñëè ïî ëþáîé äîïóñ-
òèìîé ôóíêöèè �( )t , t T�[ , ]0 , ïîñòðîèòü äîïóñòèìóþ ôóíêöèþ
u t u t z t( ) ( , , ( ))� 0 � , t T�[ , ]0 , (5)
ãäå � � � �t t( ) ( ), [ , ] � �{ }0 , èëè äîïóñòèìîå êîíòðóïðàâëåíèå
u t u t z( ) ( , , ( ))� 0 � , t T�[ , ]0 , (6)
òàêèå, ÷òî àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðåøåíèå z t( ) çàäà÷è Êîøè � ( )z Az Bu t� � �
�C t�( ), z z( )0 0� , ïîïàäàåò íà òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî M * â ìîìåíò T T z� ( )0 .
Ïóñòü � — îïåðàòîð îðòîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ èç R n íà ïîäïðîñòðà-
íñòâî L. Ðàññìîòðèì ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ �e B R LtA m
1 � , �e CR LtA k � , t � 0,
ãäå B1 — ïîñòîÿííàÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n m� .
Óñëîâèå 1. Ïóñòü ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ íåîñîáàÿ ìàòðèöà D R k( ): �
� R m , êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ � �e B X e CtA tA
1 � , ãäå
X — èñêîìàÿ ìàòðèöà, B1 — ïîñòîÿííàÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n m� .
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ [1]
� � � � �
� � �
p
d
p
t
t D t d
p
t
( ) | | ( ) ( )| |
|| ( )||
�
�
�
sup
1 0
0
,
ãäå �( ) — ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ èç ïðîñòðàíñòâà Lp
k [ , )0
ñ óêàçàííûì îãðà-
íè÷åíèåì, à D R Rk m( ) : � — íåêîòîðàÿ íåïðåðûâíàÿ íåîñîáàÿ ìàòðèöà,
óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ 1.
Ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè � p t( ) îïðåäåëèì âåëè÷èíó [1] X supp
t
p t�
� �
0
� ( ).
Óñëîâèå 2. Ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî � � �� � �p p pX 0.
Ïóñòü ñïðàâåäëèâû óñëîâèÿ 1, 2 è �( ) — èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ èç êëàññà
Lp
m [ , )0 �
, p�1, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò îãðàíè÷åíèþ || ( )| | � � � p d �
0
. Ñëåäóÿ
[7, 8], áóäåì åå íàçûâàòü ôóíêöèåé ñäâèãà. Çàôèêñèðóåì íåêîòîðóþ ôóíêöèþ
110 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5
ñäâèãà �( ) è ïîëîæèì
� � � ��( ) ( , , ( )) ( )( )t t z e z e B dtA t A
t
� � � �
0 0
0
.
Îáîçíà÷èì
U t u R u D tm p p( , , , ) :| | | | (| | ( ) | | � )� � � � � � � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
1
�
�
,
ãäå ( , ) ( , ) :t t t� � �� � � � �
� { }0 , � �R k , � � 0. Îòîáðàæåíèå U t( , , , )� � � ÿâëÿ-
åòñÿ âûïóêëîçíà÷íûì êîìïàêòíîçíà÷íûì ìíîãîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì [24].
Ðàññìîòðèì äëÿ ( , )t � ��, � �R k , z R n
0 � ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
A ( , , , ) :[ [ ( , , , ) ( )]( )t z e B U tt A� � � � � � � ��
0 0� � � ��{
� � ���� � �
�e C M tt A( ) ] [ ( ]� }. (7)
Óñëîâèå 3. Äëÿ íåêîòîðîãî íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ z R n
0 � è ôóíêöèè ñäâè-
ãà ( ) ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A ( , , , )t z� � 0 ïðèíèìàåò íåïóñòûå çíà÷åíèÿ íà
ìíîæåñòâå � � R k .
Åñëè ýòî óñëîâèå âûïîëíåíî, òî ïî àíàëîãèè ñ [7, 8] ââåäåì âåðõíþþ è íè-
æíþþ ðàçðåøàþùèå ôóíêöèè
� � � � � � �* ( , , , ) { : ( , , , )}t z t z0 0� �sup A , � � � � � � �
*
( , , , ) : ( , , , )}t z t z0 0� �inf { A ,
ãäå � �[ , ]0 t , � �R k , z R n
0 � . Ìîæíî ïîêàçàòü [6], ÷òî ìíîãîçíà÷íîå îòîáðà-
æåíèå A ( , , , )t z� � 0 çàìêíóòîçíà÷íîå, L B� -èçìåðèìîå ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� � ,
� �[ , ]0 t , � �R k , à âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ðàçðåøàþùèå ôóíêöèè L B� -èçìåðèìûå
ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� � , � �[ , ]0 t , � �R k . Ïîýòîìó îíè ñóïåðïîçèöèîííî èçìå-
ðèìû [6], ò.å. � � � �* ( , , ( ), )t z0 è � � � �
*
( , , ( ), )t z0 èçìåðèìû ïî �, � �[ , ]0 t , ïðè
ëþáîé äîïóñòèìîé ôóíêöèè �( ) , äëÿ êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ îãðàíè÷åíèå (3).
Îòìåòèì òàêæå, ÷òî âåðõíÿÿ ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ ïîëóíåïðåðûâíà ñâåðõó,
à íèæíÿÿ — ïîëóíåïðåðûâíà ñíèçó ïî ïåðåìåííîé �.
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
T z t t z
p p
t
d
( , ( )) : ( , , ( ), )
|| ( )||
*
0 00
0
� � � �
� � � �
� �
�
inf
0
1
t
d
�
�
�
��
�
�
�
� ,
sup
|| ( )||
*
( , , ( ), )
� � � �
� � � � �
p p
t
d
t
t z d
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0
0
0
1 . (8)
Åñëè ïðè íåêîòîðîì t � 0 âåðõíÿÿ ðàðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ � � �* ( , , , )t z0 � �
äëÿ � �[ , ]0 t , � �R k , òî çíà÷åíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî èíòåãðàëà â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ
ñîîòíîøåíèÿ (8) åñòåñòâåííî ïîëîæèòü ðàâíûì �
è t T z� ( , ( ))0 , åñëè äëÿ ýòî-
ãî t ñïðàâåäëèâî äðóãîå íåðàâåíñòâî â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ ñîîòíîøåíèÿ (8) .
 ñëó÷àå, êîãäà íåðàâåíñòâà â ñîîòíîøåíèè (8) íå âûïîëíÿþòñÿ ïðè âñåõ t � 0,
ïîëîæèì T z( , ( ))0 ��.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 111
Òåîðåìà 1. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1–3 è äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé ôóíêöèè
ñäâèãà ( ) ìíîæåñòâî T z( , ( ))0 íå ïóñòî, à T T z� ( , ( ))0 . Òîãäà òðàåêòîðèþ
ïðîöåññà (1)–(3) èç íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ z R n
0 � ìîæíî ïðèâåñòè íà òåðìèíàëü-
íîå ìíîæåñòâî (4) â ìîìåíò T ñ èñïîëüçîâàíèåì äîïóñòèìîãî óïðàâëåíèÿ âèäà (5).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü �( ) — ïðîèçâîëüíîå äîïóñòèìîå óïðàâëåíèå óáå-
ãàþùåãî, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ îãðàíè÷åíèå (3).
Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé
( , , ( ))T z M0 � è ââåäåì êîíòðîëüíóþ ôóíêöèþ
h t T z d T z d
t
t
T
( ) ( , , ( ), ) ( , , ( ), )*
*
� � �
1 0
0
0� � � � � � � � � �, t T�[ , ]0 .
Ôóíêöèè � � �* ( , , , )T z0 è � � �
*
( , , , )T z0 L B� -èçìåðèìû ïî ñîâîêóïíîñòè
( , )� � , � �[ , ]0 T , � �R k , è ïîýòîìó îíè ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìû, ò.å. ôóíêöèè
� � � �* ( , , ( ), )T z0 è � � � �
*
( , , ( ), )T z0 èçìåðèìû ïî �, � �[ , ]0 T .
Ïî îïðåäåëåíèþ T èìååì
h T z d
T
d
p p
T
( ) ( , , ( ), )
*
|| ( )||
0 1 10
0
0
� � � �
�
� � � � �
� � � �
sup � � � � �
*
( , , ( ), )T z d
T
0
0
0
� ,
h T T z d
T
d
p p
T
( ) ( , , ( ), )*
|| ( )||
� � � �
�
1 10
0
0
� � � � �
� � � �
inf � � � � �* ( , , ( ), )T z d
T
0
0
0
� .
Ïîýòîìó â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè h t( ) ñóùåñòâóåò òàêîé ìîìåíò âðå-
ìåíè t
*
, t T
*
( , ]� 0 , ÷òî h t( )
*
� 0. Îòìåòèì, ÷òî ìîìåíò ïåðåêëþ÷åíèÿ t
*
çàâèñèò
îò ïðåäûñòîðèè óïðàâëåíèÿ âòîðîãî èãðîêà � �t s s t
*
( ) ( ) : [ , ]
*
� �{ }0 .
Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå ïðè � �R k , � �[ , ]0 T
U u U T T z( , ) ( , , , ( , , , )) :� � � � � � �� �{ 0
� � � � � � �
� �e B u e C T z M TT A T A( ) ( )[ ( )] ( , , , )[ ( )]� �� � � �0 }, (9)
ãäå
� � �
� � � �
� � � �
( , , , )
( , , , ), ,
( , , , ),
*
*
* *
T z
T z t
T z t
0
0
0
0
�
� �
� � T .
�
�
�
��
 ñèëó ñâîéñòâ ïàðàìåòðîâ ïðîöåññà (1), âåðõíåé � � �* ( , , , )T z0 è íèæíåé
� � �
*
( , , , )T z0 ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé îòîáðàæåíèå U ( , )� � L B� -èçìåðèìî [6]
è êîìïàêòíîçíà÷íî ïðè � �R k , � �[ , ]0 T .
 ðàáîòå [25] À.Ô. Ôèëèïïîâ âïåðâûå ââåë ïîíÿòèå ëåêñèêîãðàôè÷åñêîãî
ìàêñèìóìà ïî îðòîãîíàëüíîìó áàçèñó e en1, ..., îò êîìïàêòà A K R n� ( ) ïî
ñëåäóþùåé ôîðìóëå:
lex max
, ,e e k
n
k
n
A A
1
0�
��
�
,
ãäå A A0 � , A x A x e c Ak k k k� � �� �{ }1 1: ( , ) ( , )� , c Ak( , )�1 � — îïîðíàÿ ôóíêöèÿ
ìíîæåñòâà A
k�1
[24], k n�1, ,� . Ìíîæåñòâî lex max
, ,e en
A
1 �
ñîñòîèò èç îäíîé òî÷-
êè, ïðèíàäëåæàùåé ìíîæåñòâó êðàéíèõ òî÷åê âûïóêëîé îáîëî÷êè ìíîæåñòâà A.
112 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5
Ïðè ýòîì åñëè âûáðàòü ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå U ( , )� � è îðòîãîíàëüíûé
áàçèñ, òàêîé ÷òî e1 � �, � �R m , � � 0, òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
( max ( , ), ) ( ( , ), )
, ,
lex
e em
U c U
1 �
� � � � � �� [26]. Ïîýòîìó â ñèëó òåîðåìû îá îïîðíîé
ôóíêöèè [27] ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå U ( , )� � ñîäåðæèò L B� -èçìåðèìûé ñå-
ëåêòîð u U
e em
( , ) max ( , )
, ,
� � � �� lex
1 �
, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìîé
ôóíêöèåé [6] è | | ( , )| | (| | ( ) | | ( , , , ) � )u D T T zp p� � � � � � � � � � 0
1
, � �[ , ]0 T , � �R k . Ïî-
ëîæèì óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà u u( ) ( , ( ))� � � �� , � �[ , ]0 T .
Èç ôîðìóëû Êîøè äëÿ ïðîöåññà (1) ïðè âûáðàííûõ óïðàâëåíèÿõ èìååì
�
� � � � ��z T T z e B u CT A
T
( ) ( , , ( )) [ [ ( ) ( )] ( )]( )� � � ��
0
0
d�.
Òîãäà ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ (9) ïîëó÷èì
�
� � � �
� � � �z T T T z M T d T
t
( ) ( ) ( , , ( ), )[ ( )] ( , , (*
*
*
� � � �
0
0
�
�), )[ ( )]
*
z M T d
t
T
0 � �
� � �
� � � � � � � � � �( ) ( , , ( ), ) ( , , ( ), )*
*
*
*
T T z d T z d
t
t
T
1 0
0
0
�
�
�
�
!
"
"
�
� � �
� � � � � � � � � �*
*
( , , ( ), ) ( , , ( ), )
*
*
T z Md T z M d
t
t
T
0
0
0
� �
�
�
�
�
!
� � � � � � � � � �*
*
( , , ( ), ) ( , , ( ), )
*
*
T z d T z d
t
t
T
0
0
0
"
"
�M M .
Òàêèì îáðàçîì, z T M( ) *� è îñòàëîñü ïîêàçàòü äîïóñòèìîñòü óïðàâëåíèÿ
u u( ) ( , ( ))� � � �� , � �[ , ]0 T . Ïî ïîñòðîåíèþ ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ
| | ( )| | | | ( ) ( )| | � ( , , ( ),*u d D T d Tp
T
p
T
� � � � � � � � � �
0 0
� � � z d
t
0
0
)
*
�
�
�
�
�
�
�
!
"
"
� � �
� � � � � � �
*
( , , ( ), ) �
*
T z d
t
T
p p p
0 X .
Äëÿ ñëó÷àÿ
( , , ( ))T z M0 � óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà âñåì ïðîìåæóò-
êå [ , ]0 T âûáåðåì â âèäå èçìåðèìîé ôóíêöèè u u( ) ( , ( ))
*
� � � �� , � �[ , ]0 T , ãäå
u U
e em
#
�( , ) max ( , )
, ,
� � � �lex
1 �
ÿâëÿåòñÿ L B� -èçìåðèìûì ñåëåêòîðîì îòîáðàæåíèÿ
U ( , )� � ñîîòíîøåíèÿ (9) ñ ðàçðåøàþùåé ôóíêöèåé � � � � � �( , , , ) ( , , , )
*
T z T z0 0�
íà âñåì ïðîìåæóòêå [ , ]0 T . Òîãäà ñ ó÷åòîì àïïàðàòà îïîðíûõ ôóíêöèé [24] ñîîò-
íîøåíèÿ (9) äàþò
�
� � � �
�z T T T z M T d M
T
( ) ( ) ( , , ( ), )[ ( )]
*
� � � $
0
0
,
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 113
ïîñêîëüêó ïî ïðåäïîëîæåíèþ c M T( ( ))� �
0, à
� � � � � � � �
� � � �
#
�
�
( , , ( ), ) ( , , (
|| ( )||
*
T z d T
T
d
p p
T
0
0
0
sup � �), )z d
T
0
0
1
� .
Ïîýòîìó �z T M( ) � è, ñëåäîâàòåëüíî, z T M( ) *� .
Ïîêàæåì äîïóñòèìîñòü ñîîòâåòñòâóþùåãî óïðàâëåíèÿ ïðåñëåäîâàòåëÿ. Ïðè-
íèìàÿ âî âíèìàíèå ñîîòíîøåíèÿ (8) è (9), èìååì
| | ( )| | | | ( ) ( )| | � ( , , ( ),
*
u d D T d Tp
T
p
T
� � � � � � � � � �
0 0
� � � z d
T
0
0
)
��
� �
�
�
� � � � � � �
� � � �
p p
d
T
p p
t
T z dX sup� ( , , ( ), )
|| ( )||
*
0
0
0
p p pX � �� � .
Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.
ÑÕÅÌÀ ÌÅÒÎÄÀ ÄËß ÊËÀÑÑÀ ÑÒÐÎÁÎÑÊÎÏÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÒÐÀÒÅÃÈÉ
Èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 1 âèäíî, ÷òî ïðåñëåäîâàòåëü â ìîìåíò t èñïîëüçóåò
èíôîðìàöèþ î � t ( ) , ïðè÷åì îíà íåîáõîäèìà ëèøü äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòà
ïåðåêëþ÷åíèÿ t# , êîòîðûé ðàçäåëÿåò àêòèâíûé è ïàññèâíûé èíòåðâàëû. Íà ñà-
ìèõ èíòåðâàëàõ ïðåñëåäîâàòåëü ïðèìåíÿåò êîíòðóïðàâëåíèå, êîòîðîå îïðåäå-
ëÿåòñÿ ñòðîáîñêîïè÷åñêîé ñòðàòåãèåé.  ïðèâåäåííîé äàëåå òåîðåìå 2 ïîêàçà-
íî, ÷òî äëÿ ðåàëèçàöèè ãàðàíòèðîâàííîãî âðåìåíè òåîðåìû 1 ìîæíî îãðàíè-
÷èòüñÿ êîíòðóïðàâëåíèåì.
Ïîëîæèì � � � � �
�
* *( , , ) ( , , , )t z t z
R k
0 0�
�
inf , � � � � �
�
* *
( , , ) ( , , , )t z t z
R k
0 0�
�
sup ,
� �[ , ]0 t , z R n
0 � .
Ëåììà 1. Ôóíêöèè � �* ( , , )t z0 è � �
*
( , , )t z0 ÿâëÿþòñÿ èçìåðèìûìè ïî �,
� �[ , ]0 t .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì äëÿ êàæäîãî
�R 1 è � �[ , ]0 t ìíîãîçíà÷íîå
îòîáðàæåíèå G R t zk
� � � � �
* *( ) : ( , , , )� � �{ }0 , êîòîðîå èìååò îòêðûòûå çíà÷å-
íèÿ â ñèëó ïîëóíåïðåðûâíîñòè ñâåðõó ïî � �R k ôóíêöèè � � �* ( , , , )t z0 ïðè ëþ-
áîì � �[ , ]0 t . Ãðàôèê ýòîãî îòîáðàæåíèÿ gr {G G
� � � � �* *( ) ( , ): ( )� � , � �[ , ]0 t } áó-
äåò L B� -èçìåðèìûì ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� � , � �R k , � �[ , ]0 t , äëÿ ëþáîãî t, ïî-
ñêîëüêó ôóíêöèÿ � � �* ( , , , )t z0 L B� -èçìåðèìà ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� � [6]. Òîãäà
ïî òåîðåìå îá èçìåðèìîñòè ïðîåêöèè [27] ìíîæåñòâî { gr� � � �
� �[ , ]:( , ) ( )*0 t G
äëÿ íåêîòîðîãî � �
�G * ( )} áóäåò L-èçìåðèìî.
Ïóñòü Q — ñ÷åòíîå ïëîòíîå ìíîæåñòâî â R k [28]. Äëÿ ëþáîãî
�R 1 èìååì
{ } { }� � �
� �
� � � � �� �[ , ]: ( , , ) [ , ]: ( )* *0 00t t z t G
� � �{ gr� � � �
[ , ]:( , ) ( )*0 t G äëÿ íåêîòîðîãî � �
� �G * ( )}
� � �{ gr� � �
[ , ]:( , ) ( )*0 t q G äëÿ íåêîòîðîãî q G Q� % �
�* ( ) }
� � �
�
{ gr }� � �
�
[ , ] :( , ) ( )*
( )*
0 t q G
q G Q�
� .
114 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5
Îäíàêî, êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, ìíîæåñòâî { gr� � �
� �[ , ]:( , ) ( )*0 t q G äëÿ íå-
êîòîðîãî q G Q� %
�* ( ) } èçìåðèìî è ïîýòîìó ôóíêöèÿ � �* ( , , )t z0 �
�
�
inf
�
� � �
R k
t z* ( , , , )0 ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìîé ïî � ôóíêöèåé. Àíàëîãè÷íî ìîæíî äîêà-
çàòü èçìåðèìîñòü ôóíêöèè � � � � �
�
* *
( , , ) ( , , , )t z t z
R k
0 0�
�
sup .
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
�
T z t t z d t z d
t t
( , ( )) : ( , , ) , ( , , )*
*0 0
0
0
0
0 1 � � � � � � � � � �
1
�
�
�
��
�
�
�
��
. (10)
 ñèëó ëåììû 1 ôóíêöèè � �* ( , , )t z0 è � �
*
( , , )t z0 ÿâëÿþòñÿ èçìåðèìûìè ïî
�, � �[ , ]0 t . Åñëè ïðè íåêîòîðîì t � 0 ôóíêöèÿ � �* ( , , )t z0 � �
äëÿ � �[ , ]0 t , òî
çíà÷åíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî èíòåãðàëà â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ ñîîòíîøåíèÿ (10) åñ-
òåñòâåííî ïîëîæèòü ðàâíûì �
è t T z�
�
( , ( ))0 , åñëè äëÿ ýòîãî t ñïðàâåäëèâî
äðóãîå íåðàâåíñòâî â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ ñîîòíîøåíèÿ (10).  ñëó÷àå, êîãäà
íåðàâåíñòâà â ñîîòíîøåíèè (10) íå âûïîëíÿþòñÿ ïðè âñåõ t � 0, ïîëîæèì
�
T z( , ( ))0 ��.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1–3 è äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé ôóíêöèè
ñäâèãà ( ) ìíîæåñòâî
�
T z( , ( ))0 íå ïóñòî, à
� �
T T z� ( , ( ))0 . Òîãäà òðàåêòîðèþ
ïðîöåññà (1)–(3) èç íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ z R n
0 � ìîæíî ïðèâåñòè íà òåðìè-
íàëüíîå ìíîæåñòâî (4) â ìîìåíò
�
T ñ èñïîëüçîâàíèåì äîïóñòèìîãî óïðàâëåíèÿ
âèäà (6).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü �( ) — ïðîèçâîëüíîå äîïóñòèìîå óïðàâëåíèå óáå-
ãàþùåãî, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ îãðàíè÷åíèå (3).
Ïîëîæèì � � � � �
�
* *( , , ) ( , , , )
� �
T z T z
R k
0 0�
�
inf , � � � � �
�
* *
( , , ) ( , , , )
� �
T z T z
R k
0 0�
�
sup ,
� �[ , ]0
�
T , z R n
0 � , è ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé
( , , ( ))
�
T z M0 � .
Ââåäåì êîíòðîëüíóþ ôóíêöèþ
h t T z d T z d
t
t
T
( ) ( , , ) ( , , )*
*
� � �
1 0
0
0� � � � � �
� �
�
, t T�[ , ]0
�
.
Ïî îïðåäåëåíèþ
�
T èìååì
h T z d
T
( ) ( , , )
*
0 1 00
0
� � �
� � �
�
�
, h T T z d
T
( ) ( , , )*
� �
�
� � �
1 00
0
� � � .
Ïîýòîìó â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè h t( ) ñóùåñòâóåò òàêîé ìîìåíò âðå-
ìåíè t
*
, t T
*
( , ]� 0
�
, ÷òî h t( )# � 0. Îòìåòèì, ÷òî ìîìåíò ïåðåêëþ÷åíèÿ t
#
íå çàâè-
ñèò îò ïðåäûñòîðèè óïðàâëåíèÿ âòîðîãî èãðîêà � �t s s t
*
( ) ( ): [ , ] � �
#
{ }0 .
Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå ïðè � �R k , � �[ , ]0
�
T
� � �
U u U T T z( , ) ( , , , ( , , )):� � � � � �� �{ 0
� � � � � �
� �e B u e C T z M TT A T A( ) ( )[ ( )] ( , , )[ ( )]
� � � �� �� � � �0 }, (11)
ãäå
� �
� � �
� � �
( , , )
( , , ), ,
( , , ), .
*
*
* *
�
�
� �T z
T z t
T z t T
0
0
0
0
�
� �
� �
�
�
�
��
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 115
 ñèëó ñâîéñòâ ïàðàìåòðîâ ïðîöåññà (1), âåðõíåé � �* ( , , )
�
T z0 è íèæíåé
� �
*
( , , )
�
T z0 ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé îòîáðàæåíèå
�
U ( , )� � L B� -èçìåðèìî [6] ïðè
� �R k , � �[ , ]0
�
T .  ñèëó òåîðåìû îá îïîðíîé ôóíêöèè [27] ìíîãîçíà÷íîå îòîáðà-
æåíèå
�
U ( , )� � ñîäåðæèò L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð
� �
�
u U
e em
( , ) max ( , )
, ,
� � � �� lex
1
, êîòî-
ðûé ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìîé ôóíêöèåé [6] è | | ( , )| |
�
u � � �
� � �&
'
(
)
*
+| | ( ) | | ( , , ) �D T T zp p
� �
� � � � �� 0
1
, � �[ , ]0
�
T , � �R k . Ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïåð-
âîãî èãðîêà
� �
u u( ) ( , ( ))� � � �� , � �[ , ]0
�
T .
Èç ôîðìóëû Êîøè äëÿ ïðîöåññà (1) ïðè âûáðàííûõ óïðàâëåíèÿõ èìååì
�
� � ��z T T z e B u CT A
T
( ) ( , , ( )) [ [ ( ) ( )]( )
� � �
�
�
� � � ��
0
0
� � �( )]d .
Òîãäà ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ (11) ïîëó÷èì
�
� �
� � �z T T T z M T d T z
t
( ) ( ) ( , , )[ ( )] ( , ,*
*
*� � � � �
� � � �
0
0
0 )[ ( )]
*
M T d
t
T
� �
�
�
�
� � �
�
�
�
�
!
#
� � � � � �( ) ( , , ) ( , , )
*
*
*
� � �
�
T T z d T z d
t
t
T
1 0
0
0
"
"
� �
� � �* ( , , )
* �
T z Md
t
0
0
� � �
� � � � � � � �
*
*
*
( , , ) ( , , ) ( , , )
*
*� � �
�
T z Md T z d T z
t
T t
0 0
0
0
t
T
d M M
*
�
�
�
�
�
!
"
"
�� .
Òàêèì îáðàçîì, z T M( ) *
�
� è îñòàëîñü ïîêàçàòü äîïóñòèìîñòü óïðàâëåíèÿ
� �
u u( ) ( , ( ))� � � �� , � �[ , ]0
�
T . Ïî ïîñòðîåíèþ ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ
| | ( )| | | | ( ) ( )| |
� �
� �
u d D T d
T
p p
T
� � � � � �
0 0
� � �
� �
�
�
�
�
!
"
"
�
� ( , , ) ( , , )*
*
*
*
� � � � � � �
� �
�
T z d T z d
t
t
T
p
0
0
0 X p p� �� � .
Äëÿ ñëó÷àÿ
( , , ( ))
�
T z M0 � óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà âñåì ïðîìåæóò-
êå [ , ]0
�
T âûáåðåì â âèäå èçìåðèìîé ôóíêöèè
� �
u u( ) ( , ( ))� � � �� # , � �[ , ]0
�
T , ãäå
� �
�
u U
e en
*
, ,
( , ) max ( , )� � � �� lex
1
ÿâëÿåòñÿ L B� -èçìåðèìûì ñåëåêòîðîì îòîáðàæåíèÿ
�
U ( , )� � ñîîòíîøåíèÿ (11) ñ ðàçðåøàþùåé ôóíêöèåé � � � �( , , ) ( , , )
*
� �
T z T z0 0� íà
âñåì ïðîìåæóòêå [ , ]0
�
T . Òîãäà ñîîòíîøåíèÿ (11) äàþò
�
� �
�z T T T z M T d
T
( ) ( ) ( , , )[ ( )]
*
� � � �
�
� � �
0
0
.
116 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5
Ïîñêîëüêó ïî ïðåäïîëîæåíèþ c M T( ( ), )� �
�
�
0, à ïî îïðåäåëåíèþ ìîìåí-
òà
�
T � � �
*
( , , )
�
�
T z d
T
0
0
1
� , ïðèìåíèâ àïïàðàò îïîðíûõ ôóíêöèé, ïîëó÷èì
� �
�( ) ( , , )[ ( )]
*
� � �
�
T T z M T d M
T
� � $
0
0
. Ïîýòîìó �z T M( )
�
� è, ñëåäîâàòåëüíî,
z T M( ) *
�
� .
Ïîêàæåì äîïóñòèìîñòü ñîîòâåòñòâóþùåãî óïðàâëåíèÿ ïðåñëåäîâàòåëÿ. Ïðè-
íèìàÿ âî âíèìàíèå ñîîòíîøåíèÿ (10) è (11), èìååì
| | ( )| | | | ( ) ( )| | � ( , ,
*
u d D T d T zp
T
p
T
� � � � � � � �
0 0
� �
� �
� � � 0
0
) �
�
T
p p pd
� � �� � �X ,
÷òî è çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.
Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
A A( , , ) ( , , , )t z t z
R k
� � �
�
0 0�
�
� , ( , )t � ��, z R n
0 � .
Óñëîâèå 4. Äëÿ íåêîòîðîãî íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ z R n
0 � è ôóíêöèè ñäâè-
ãà ( ) ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A ( , , )t z� 0 ïðèíèìàåò íåïóñòûå çíà÷åíèÿ íà
ìíîæåñòâå �.
Åñëè ýòî óñëîâèå âûïîëíåíî, òî, ñëåäóÿ [7, 8] , ââåäåì âåðõíþþ è íèæíþþ
ðàçðåøàþùèå ôóíêöèè âòîðîãî òèïà
� � � � �* ( , , ) : ( , , )t z t z0 0� �sup{ }A ,
� � � � �
*
( , , ) : ( , , )t z t z0 0� �inf { }A , ( , )t � ��, z R n
0 � .
Ìîæíî ïîêàçàòü [6], ÷òî ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A ( , , )t z� 0 ÿâëÿåòñÿ
çàìêíóòîçíà÷íûì, èçìåðèìûì ïî �, à âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ðàçðåøàþùèå ôóíêöèè
èçìåðèìû ïî ïåðåìåííîé � ïðè ôèêñèðîâàííîì t.
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
,( , ( )) : ( , , ) , ( , , )*
*
z t t z d t z d
t t
0 0
0
0
0
0 1 1 � � � � � � � � � �
�
�
�
��
�
�
�
��
.
Åñëè ïðè íåêîòîðîì t � 0 âåðõíÿÿ ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ � �* ( , , )t z0 � �
äëÿ � �[ , ]0 t , òî çíà÷åíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî èíòåãðàëà â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ åñ-
òåñòâåííî ïîëîæèòü ðàâíûì �
è t z� ,( , ( ))0 , åñëè äëÿ ýòîãî t ñïðàâåäëèâî
äðóãîå íåðàâåíñòâî â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ.  ñëó÷àå, êîãäà íåðàâåíñòâà â ôèãóðíûõ
ñêîáêàõ íå âûïîëíÿþòñÿ ïðè âñåõ t � 0, ïîëîæèì ,( , ( ))z0 ��.
Òåîðåìà 3. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1, 2, 4 è äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé ôóíê-
öèè ñäâèãà ( ) ìíîæåñòâî ,( , ( ))z0 íå ïóñòî, à , ,� ( , ( ))z0 . Òîãäà òðàåêòî-
ðèþ ïðîöåññà (1)–(3) èç íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ z R n
0 � ìîæíî ïðèâåñòè íà òåð-
ìèíàëüíîå ìíîæåñòâî (4) â ìîìåíò , ñ èñïîëüçîâàíèåì äîïóñòèìîãî óïðàâëåíèÿ
âèäà (6).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü �( ) — ïðîèçâîëüíîå äîïóñòèìîå óïðàâëåíèå óáå-
ãàþùåãî, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ îãðàíè÷åíèå (3).
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 117
Ïîëîæèì � �
� � �
� �( , , )
( , , )
( , , )
*
*,
,
,
,
z
z d
z0
0
0
0
1
�
, � �[ , ]0 , , z R n
0 � , è ðàñ-
ñìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé
(,, z M0 , ( )) � .
Ïîñêîëüêó � � �* ( , , ),
,
z d0
0
1
� , òî � � � �( , , ) ( , , )*, ,z z0 0� , � �[ , ]0 , , z R n
0 � .
 ñèëó óñëîâèÿ � � �
*
( , , ),
,
z d0
0
1
� ïîëó÷èì � � � �( , , ) ( , , )
*
, ,z z0 0� ,
� �[ , ]0 , , z R n
0 � . Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî � � � �( , , ) ( , , )*, ,z z0 0� .
Òîãäà èìååì1 0
0
0
0
� �
� � � � � �( , , ) ( , , )
*
, ,
, ,
z d z d , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò îïðåäåëåíèþ
ìîìåíòà âðåìåíè ,.
Òàêèì îáðàçîì, � � �( , , ) ( , , ), ,z z0 0�A , � �[ , ]0 , , z R n
0 � .
Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå � �R k , � �[ , ]0 ,
U u U z
�
( , ) ( , , , ( , , )) :� � � � � �� �{ , , 0
� � � � � �
� �e B u e C z M TA A( ) ( )[ ( )] ( , , )[ ( )], , ,� �� � � �0
�
}. (12)
Êàê è ðàíåå, îòîáðàæåíèå U
�
( , )� � êîìïàêòíîçíà÷íî è L B� -èçìåðèìî [6] ïðè
� �R k , � �[ , ]0 , .  ñèëó òåîðåìû îá îïîðíîé ôóíêöèè [27] ìíîãîçíà÷íîå îòîáðà-
æåíèå U
�
( , )� � ñîäåðæèò L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð u U
e em
� �
( , ) max ( , ),
, ,
� � � �� lex
1 �
êî-
òîðûé ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìîé ôóíêöèåé [6] è
| | ( , )| | | | ( ) | | ( , , , ) �u D zp p
�
� � � � � � � � � �&
'
(
)
*
+, , 0
1
, � �[ , ]0 , , � �R k .
Ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà ðàâíûì u u
� �
( ) ( , ( ))� � � �� , � �[ , ]0 , .
Èç ôîðìóëû Êîøè äëÿ ïðîöåññà (1) ïðè âûáðàííûõ óïðàâëåíèÿõ èìååì
�
� � � � ��z z e B u CA( ) ( , , ( )) [ [ ( ) ( )] ( )( ), , ,
,
� � � ��
0
0
�
]d�.
Òîãäà ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ (12) ïîëó÷èì
�
� � � � �z z z d z( ) ( , , ( ) ( , , ) ( , ,, , , ,
,
� �
�
�
�
�
!
"
"
�
0 0
0
01 )Md
0
,
�.
Òàê êàê M — âûïóêëûé êîìàïàêò, à � �( , , ), z0 0� , � �[ , ]0 , , è
� � �( , , ),
,
z d0
0
1�
, òî � � �( , , ),
,
z Md M0
0
� . Ïîýòîìó �z M( ), � , z M( ) *, �
è îñòàëîñü ïîêàçàòü äîïóñòèìîñòü óïðàâëåíèÿ u u
� �
( ) ( , ( ))� � � �� , � �[ , ]0 , .
118 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5
Ïî ïîñòðîåíèþ ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ
| | ( )| | | | ( ) ( )| | � ( , , )u d D d zp p
�
� � � � � � � �
0 0
0
0
, , ,
, ,
� � �
� � �d p p p� � �X � .
Äëÿ ñëó÷àÿ
( , , ( )), z M0 � óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà âñåì ïðîìå-
æóòêå [ , ]0 , âûáåðåì â âèäå èçìåðèìîé ôóíêöèè u u
� �
( ) ( , ( ))� � � �� # , � �[ , ]0 , , ãäå
u U
e em
# �
� �
( , ) max ( , )
, ,
� � � �lex
1 �
ÿâëÿåòñÿ L B� -èçìåðèìûì ñåëåêòîðîì îòîáðàæåíèÿ
U
�
( , )� � ñîîòíîøåíèÿ (12) ñ ðàçðåøàþùåé ôóíêöèåé � � � �( , , ) ( , , )
*
, ,z z0 0� íà
âñåì ïðîìåæóòêå [ , ]0 , . Òîãäà ñîîòíîøåíèÿ (12) äàþò
�
� �
�z z z M z d( ) ( , , ( )) ( , , )[ ( , , ( ))]
*
, , , ,
,
� � �
0 0 0
0
.
Ïîñêîëüêó ïî ïðåäïîëîæåíèþ c M( ( ), )� �
�, 0, à ïî îïðåäåëåíèþ ìîìåí-
òà , � � �
*
( , , ),
,
z d0
0
1
� , ïðèìåíèâ àïïàðàò îïîðíûõ ôóíêöèé, ïîëó÷èì
� �
�( ) ( , , )[ ( )]*, , ,
,
� � $
z M d M0
0
. Ïîýòîìó �z M( ), � è, ñëåäîâàòåëüíî,
z M( ) *, � .
Ïîêàæåì äîïóñòèìîñòü ñîîòâåòñòâóþùåãî óïðàâëåíèÿ ïðåñëåäîâàòåëÿ.
Èìååì
| | ( )| | | | ( ) ( )| | � ( , , )u d D d zp p� � � � � � � �
0 0
0
0
, , ,
, ,
� � � #
� � �d p p p� � �X � ,
÷òî è çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.
Çàìåòèì, ÷òî åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1, 2, 4, òî äëÿ íåêîòîðîãî íà÷àëüíîãî
ïîëîæåíèÿ z R n
0 � ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A ( , , )t z� 0 ïðèíèìàåò íåïóñòûå
âûïóêëûå çíà÷åíèÿ íà ìíîæåñòâå � è � � � �# �( , , ) ( , , )
*
t z t z0 0 . Åñëè ê òîìó æå
ïðè íåêîòîðîì t � 0
( , , ( )), z M0 � , òî � � � �* *( , , ) ( , , )t z t z0 0� . Ïîýòîìó, åñëè
ìíîæåñòâî
�
T z( , ( ))0 íå ïóñòî, ìíîæåñòâî ,( , ( ))z0 íå ïóñòî è îíè ñîâïàäàþò.
ÐÅÃÓËßÐÈÇÀÖÈß ÐÀÇÐÅØÀÞÙÈÕ ÔÓÍÊÖÈÉ
Îáîçíà÷èì epi { }� � � � � � � � �# � � � �( , , , ) ( , ) [ , ] : ( , , , )*t z t R t z0
1
00 íàäãðàôèê
ôóíêöèè � � �* ( , , , )t z0 [28]. Ôóíêöèÿ co � � �* ( , , , )t z0 íàçûâàåòñÿ çàìûêà-
íèåì îâûïóêëåíèÿ ôóíêöèè � � �* ( , , , )t z0 , åñëè epico � � �* ( , , , )t z0 �
� co epi � � �* ( , , , )t z0 [24, 27, 28]. Ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
� � � � � �* *( , , , ) ( , , , )t z t z0 0� co ïðè âñåõ t � �� 0, � �V . Çàìåòèì, ÷òî ïîñêîëü-
êó ôóíêöèÿ � � �* ( , , , )t z0 ÿâëÿåòñÿ ïðè êàæäîì � �[ , ]0 t ïî � �R k ïîëóíåïðå-
ðûâíîé ñâåðõó [5], òàêîé æå áóäåò è ôóíêöèÿ co � � �* ( , , , )t z0 . Ïî îïðåäåëå-
íèþ ôóíêöèÿ co � � �* ( , , , )t z0 ïðè êàæäîì � �[ , ]0 t ïî � �R k ÿâëÿåòñÿ ïîëóíåï-
ðåðûâíîé ñíèçó [28] è ïîýòîìó ôóíêöèÿ co � � �* ( , , , )t z0 ïî � �R k áóäåò
íåïðåðûâíîé. Òàêèå ôóíêöèè íàçûâàþò ôóíêöèÿìè Êàðàòåîäîðè [27] è îíè
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 119
èìåþò ðÿä ïîëåçíûõ ñâîéñòâ. Òàêèì îáðàçîì, ñ êàæäîé ðàçðåøàþùåé ôóíêöè-
åé ìîæíî ñâÿçàòü íåêîòîðóþ ôóíêöèþ Êàðàòåîäîðè è ïðîâåñòè ñ íåé ñîîòâå-
òñòâóþùèå âûêëàäêè ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé. Ïðè ýòîì, êàê ïîêàçûâàåò
ñëåäóþùàÿ ëåììà, ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ îêîí÷àíèÿ èãðû íå èçìåíèòñÿ.
Áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî èçìåðèìûõ ïî Ëåáåãó îòîáðàæåíèé �( ) îòðåçêà
[ , ]0 t â R k , äëÿ êîòîðûõ èíòåãðàë | | ( )| |� � �p
t
d
0
êîíå÷åí, ïðè 1� �
p îáîçíà÷à-
åòñÿ L tp
k [ , ]0 . Ïîëîæèì � � � � � �
�
�
�
inf
( ) [ , ]
* ( , , ( ), )
L t
t
p
k
t z d
0
0
0
.
Ëåììà 2. Åñëè � � � � �* ( , , ( ), )t z d
t
1 0
0
� �
ïî êðàéíåé ìåðå äëÿ îäíîé
ôóíêöèè �1 0( ) [ , ] �L tp
k , òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
� � � � � �
�
�
�
inf co
( ) [ , ]
* ( , , ( ), )
L t
t
p
k
t z d
0
0
0
. (13)
Äîêàçàòåëüñòâî. ßñíî, ÷òî èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
� � � � � �
�
�
�
inf co
( ) [ , ]
* ( , , ( ), )
L t
t
p
k
t z d
0
0
0
. (14)
Ïóñòü â ñîîòíîøåíèè (14) èìååò ìåñòî ñòðîãîå íåðàâåíñòâî. Òîãäà ñóùåñ-
òâóåò ñóììèðóåìàÿ ôóíêöèÿ � �0 ( ) òàêàÿ, ÷òî
� � � ��
0
0
( )
t
d , (15)
è äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè � 0 ( ) , � 0 0( ) [ , ] �L tp
k , ïðè ïî÷òè âñåõ � �[ , ]0 t
èìååì
� � � � � �0 0 0( ) ( , , ( ), )*� co t z . (16)
Çàìåòèì, ÷òî
co inf co inf� � � � � � � �
� �
* * *( , , ( ), ) ( , , , )t z t z
R Rk k
0 0 0� �
� �
( , , , )t z� � 0 . (17)
Ïîýòîìó ñîîòíîøåíèÿ (16), (17) ïðè ïî÷òè âñåõ � �[ , ]0 t äàþò
� � � � �
�
0 0( ) ( , , , )*�
�
inf
R k
t z . (18)
Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
G t R t zk
� � � � � � � � �
0 0 0( )
* *( , ) : ( , , , ) ( )� � �{ }.
Ñîîòíîøåíèå (18) ãàðàíòèðóåò, ÷òî G t� � �
0( )
* ( , ) ��. Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðà-
æåíèå G t R t zk
� � � � � � �
0 0( )
* *( , ) : ( , , , )� � �{ }, � �[ , ]0 t , èìååò îòêðûòûå çíà÷å-
íèÿ â ñèëó ïîëóíåïðåðûâíîñòè ñâåðõó ïî � �R k ôóíêöèè � � �* ( , , , )t z0 ïðè
120 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5
ëþáîì � �[ , ]0 t . Ãðàôèê ýòîãî îòîáðàæåíèÿ gr G t� � �
0( )
* ( , ) áóäåò L B� -èçìåðèìûì
ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� � , � �R k , � �[ , ]0 t , äëÿ ëþáîãî t, ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ
� � �* ( , , , )t z0 L B� -èçìåðèìà ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� � [6]. Òîãäà ïî òåîðåìå îá èç-
ìåðèìîñòè ïðîåêöèè [27] äëÿ êàæäîãî � �R k ìíîæåñòâî
{ gr }� � � �� �� �[ , ]:( , ) ( , )( )
*0
0
t G t áóäåò L-èçìåðèìî. Â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 4 [28, � 8.1]
ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå G t� � �
0( )
* ( , ) èçìåðèìî è ïî òåîðåìå èçìåðèìîãî âûáî-
ðà [28, � 8.1] èìååò èçìåðèìûé ñåëåêòîð. Ïóñòü � �2 ( ) — ïðîèçâîëüíûé èçìåðè-
ìûé ñåëåêòîð ìíîãîçíà÷íîãî îòîáîðàæåíèÿ G t� � �
0( )
* ( , ). Òîãäà ïîëó÷èì
� � � � � �* ( , , ( ), ) ( )t z2 0 0� , � �[ , ]0 t . (19)
Äëÿ ëþáîãî
� 0 ìîæíî âûáðàòü ÷èñëî N � 0 ñòîëü áîëüøèì, ÷òî ìåðà ìíî-
æåñòâà T t NN � � �{ }� � �[ , ]:| | ( )| |0 2 ìåíüøå
. Ïîëîæèì
� �
� � � �
� � � � � �
( )
( ), [ , ], ,
max ( ), ( , , ( )*
�
� �0
0 1
0åñëè
{
t T
t
N
, ) , .z TN0 } åñëè � �
�
�
�
Ñóììèðóåìàÿ ôóíêöèÿ � �( ) â ñèëó (15) óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó
� � � ��
( )
0
t
d . (20)
Ïîëàãàÿ
� �
� � � �
� � �
( )
( ), [ , ], ,
( ), ,
�
� �
�
�
�
�
2
1
0åñëè
åñëè
t T
T
N
N
èìååì �( ) [ , ] �L tp
k 0 , è ñîãëàñíî (19)
� � � � � � � �* ( , , ( ), ) ( )t z d d
t t
0
0 0
� . (21)
Íåðàâåíñòâà (20) è (21) äàþò
� � � � � � � � � �� � �
( ) ( , , ( ), )*
0
0
0
t t
d t z d .
Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå ïîêàçûâàåò, ÷òî â ñîîòíîøåíèè (14) èìååò ìåñòî
ðàâåíñòâî.
Ñëåäñòâèå 1. Åñëè � � � � �* ( , , ( ), )t z d
t
1 0
0
� �
ïî êðàéíåé ìåðå äëÿ îäíîé
ôóíêöèè �1 0( ) [ , ] �L tp
k , òî èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
� � � � �
�
�
�
inf
R
t
k
t z d* ( , , , )0
0
.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó co � � �* ( , , , )t z0 ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé Êàðàòåîäî-
ðè, åå íàäãàôèê epico � � �* ( , , , )t z0 ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìûì çàìêíóòîçíà÷íûì ìíî-
ãîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì è ïîýòîìó â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 2 [28, � 8.3] ñïðàâåäëè-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 121
âî ðàâåíñòâî
inf co inf co
� �
� � � � �
� �
�
R
t
L tk
p
k
t z d t*
( ) [ , ]
*( , , , ) ( ,0
0
0
� � � �, ( ), )z d
t
0
0
.
Òåïåðü ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ inf co inf
�
� � � � �
� �
�
R v Rk k
t z t v z* *( , , , ) ( , , , )0 0 ðà-
âåíñòâî (13) äàåò òðåáóåìûé ðåçóëüòàò.
Ñëåäñòâèå 1 ëåììû 2 ïîêàçûâàåò, ÷òî ìíîæåñòâà T z( , ( ))0 è
�
T z( , ( ))0
ñîâïàäàþò. Ïîýòîìó â ñèëó òåîðåìû 2 ìîæíî óñèëèòü òåîðåìó 1 è âìåñòî êâàçè-
ñòðàòåãèè (5) ïðèìåíèòü ñòðîáîñêîïè÷åñêóþ ñòðàòåãèþ (6).
ÑÐÀÂÍÅÍÈÅ ÃÀÐÀÍÒÈÐÎÂÀÍÍÛÕ ÂÐÅÌÅÍ
Ðàññìîòðèì ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ �e BR LtA m � , �e CR LtA k � , t � 0.
Óñëîâèå 5. Ïóñòü ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ íåîñîáàÿ ìàòðèöà -( ) : �R k
� R m , ÿâëÿþùàÿñÿ ðåøåíèåì ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ � �e BX e CtA tA� , ãäå X —
èñêîìàÿ ìàòðèöà.
Êàê è ðàíåå, ðàññìîòðèì ôóíêöèþ [1]
� � � � �
� � �
p
d
p
t
t t d
p
t
( ) | | ( ) ( )| |
|| ( )||
�
�
�
sup
1 0
0
- ,
ãäå �( ) — ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ èç ïðîñòðàíñòâà L tp
k [ , )0 ñ óêàçàííûì îãðà-
íè÷åíèåì, è îïðåäåëèì âåëè÷èíó X supp
t
p t�
� �
0
� ( ).
Óñëîâèå 6. Ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî � � �� � �p p pX 0.
Ïóñòü ñïðàâåäëèâû óñëîâèÿ 5, 6. Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
W t u R u
t
m p
( ) :| | | | �� � �
&
'
(
)
*
+
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1
, t � 0. Îáîçíà÷èì .t t W t� �{ ( ) : ( ) ( )} ñîâîêóï-
íîñòü èçìåðèìûõ ñåëåêòîðîâ îòîáðàæåíèÿ W t( ). Åñëè ( ) �.t , òî ( ) — èçìåðè-
ìàÿ ôóíêöèÿ èç êëàññà L tp
m [ , )0 , p�1, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò îãðàíè÷åíèþ
|| ( )| | � � � p
t
d �
0
, t � 0.
Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ ( ) �.t ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå
0
1
�
&
'
(
)
*
+� �� � �� � � � � � �� � �e BU t
t
e C e Bt A t A t A( ) ( ) ( ), , , ( ), (22)
ãäå U t
t
u R u t
t
m p, , , : | | | | | | ( ) | | �� � � �
1 1&
'
(
)
*
+ � � � � �
&
'
(
)
*
+-
1
p
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, ( , {( , :t t�� ��� � �� 0
� � �
� t }, � �R k .
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
/ � � � �
�
�
�
��
�
�
�
��
�
( ) : ( )( )z t e z M e BW dtA t A
t
0 0
0
0 � � �� . (23)
122 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5
Åñëè âêëþ÷åíèå â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ íå âûïîëíÿåòñÿ íè äëÿ êàêèõ t � 0, òî
ïîëîæèì / ��( )z0 .
Òåîðåìà 4. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 5, 6, ìíîæåñòâî /( )z0 íå ïóñòî è
/�/( )z0 . Òîãäà òðàåêòîðèþ ïðîöåññà (1)–(3) èç íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ z R n
0 �
ìîæíî ïðèâåñòè íà òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî (4) â ìîìåíò / ñ èñïîëüçîâàíèåì
äîïóñòèìîãî óïðàâëåíèÿ âèäà (6).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü �( ) — ïðîèçâîëüíîå äîïóñòèìîå óïðàâëåíèå óáå-
ãàþùåãî, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ îãðàíè÷åíèå (3). Èç óñëîâèÿ òåîðåìû è ñîîò-
íîøåíèÿ (23) ñëåäóåò, ÷òî e z M e BW dA A/ /
/
0
0
� � �
� � ��( ) ( ) . Òîãäà ñóùåñòâóåò òà-
êàÿ òî÷êà m M� è èçìåðèìûé ñåëåêòîð ( ) �./ , ÷òî
e z m e B dA A/ /
/
0
0
� � �
� � ��( ) ( ) .
(24)
Ñ ó÷åòîì âêëþ÷åíèÿ (22) ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
U u U e Bu e CA A
0
1
( , , , , : ( ) ( )� �� � � � � �� �� �
&
'
(
)
*
+ � �
�
�
� �/
/
/ /
�
� �
�
�
�
�� ���e BA( ) (/ 0 , � �[ , ]0 / , � �R k .
 ñèëó òåîðåìû îá îïîðíîé ôóíêöèè [27] ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
U 0 ( , )� � ñîäåðæèò L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð u U
e em
0 0
1
( , ) max ( , )
, ,
� � � �� lex
�
, êîòî-
ðûé ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìîé ôóíêöèåé [6] è | | ( , )| |u0 � � �
� / � �
/
&
'
(
)
*
+/| | ( ) | | �- � �
1
1
p
, � � /[ , ]0 , � �R k . Ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà
u u0 0( ) ( , ( ))� � � �� , � � /[ , ]0 . Èç ôîðìóëû Êîøè äëÿ ïðîöåññà (1) ïðè âûáðàííûõ
óïðàâëåíèÿõ c ó÷åòîì (24) èìååì
� � � � � ��z e z e Bu C d m MA A( ) [ ( ) ( )]( )/ � � � � �/ /�
/
0
0
0
è, ñëåäîâàòåëüíî, z M( ) */ � .
Ïîêàæåì äîïóñòèìîñòü ñîîòâåòñòâóþùåãî óïðàâëåíèÿ ïðåñëåäîâàòåëÿ. Èìååì
| | ( )| | | | ( ) ( )| | �u d d
P
dp p p
0
0 0 0
1
� � � � � � � �
/ /
� / � � �-
/
X p p� �� � ,
÷òî è çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.
Ïðèâåäåííóþ ñõåìó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê àíàëîã ïåðâîãî ïðÿìîãî ìåòî-
äà Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèíà [13, 14] äëÿ ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ èãð ñ èíòåãðàëüíû-
ìè îãðàíè÷åíèÿìè. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4 èñïîëüçóåò óñëîâèÿ Ì.Ñ. Íèêîëü-
ñêîãî [1] è ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì åãî ðåçóëüòàòîâ.
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâà
/ � � �
�
*
|| ( )||
( , ( )) : ( , , ( )) ,z t t z M
p p
t
d
0 00
0
� � � �
sup
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � � �
*
( , , ( ), ) ,t z d
t
0
0
1 (25)
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 123
�
/ � � � �
�
#
( , ( )) : ( , , ( )) , ( , , )
*
z t t z M t z d
t
0 0 0
0
0 1
� � ��
�
��
�
�
�
��
,
/ � � � �
�
#
�
( , ( )) : ( , , ( )) , ( , , )*z t t z M t z d
t
0 0 0
0
0 1
� � ��
�
��
�
�
�
��
.
Åñëè ñîîòíîøåíèÿ â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ íå âûïîëíÿþòñÿ íè äëÿ êàêèõ t � 0,
òî ïîëîæèì / ��
*
( , ( ))z0 ,
�
/ ��
*
( , ( ))z0 , / ��#
�
( , ( ))z0 ñîîòâåòñòâåííî.
Òåîðåìà 5. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1–3, ìíîæåñòâî / # ( , ( ))z0 íå ïóñòî
è / �/ # # ( , ( ))z0 . Òîãäà / � / � / #* *
( , ( )) ( , ( )) ( , ( ))z z z0 0 0
�
�
è òðàåêòî-
ðèþ ïðîöåññà (1)–(3) èç íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ z R n
0 � ìîæíî ïðèâåñòè íà òåð-
ìèíàëüíîå ìíîæåñòâî (4) â ìîìåíò /
*
ñ èñïîëüçîâàíèåì äîïóñòèìîãî óïðàâëå-
íèÿ âèäà (6).
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1–3, òî
ñïðàâåäëèâî óñëîâèå 4. Ïðè ýòîì èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ( , )t � ��,
z R n
0 � ,
sup
|| ( )||
* *
( , , ( ), ) ( , ,
� � � �
� � � � � � �
p p
t
d
t
t z d t z
�
�
0
0
0
0 )
0
t
d
�, � � � �
* *
( , , ) ( , , )t z t z0 0� .
Ïîýòîìó ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà / � / � / # ( , ( )) ( , ( )) ( , ( ))
* *
z z z0 0 0
�
�
.
Ïóñòü �( ) — ïðîèçâîëüíîå äîïóñòèìîå óïðàâëåíèå óáåãàþùåãî, äëÿ êîòî-
ðîãî âûïîëíÿåòñÿ îãðàíè÷åíèå (3).
Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå ïðè � �R k , � � /[ , ]*0
U u U z# # # #� � / /( , ) ( , , , ( , , , )) :� � � � � � �{ 0
� � � � � � �
� �
e B u e C z M
A A( ) ( )
[ ( )] ( , , , )[ (
/ � / �
# #
# #� � � / � /0 # , , ( ))]z0 }. .(26)
 ñèëó òåîðåìû îá îïîðíîé ôóíêöèè [27] ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
U
*
( , )� � ñîäåðæèò L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð u U
e en
# #�( , ) max ( , )
, ,
� � � �lex
1 �
, êîòî-
ðûé ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìîé ôóíêöèåé [6] è | | ( , )| |u# �� �
� / � � /&
'
(
)
*
+# # #| | ( ) | | ( , , , ) �- � � � � � p pz0
1
, � � /#[ , ]0 , � �R k . Ïîëîæèì óïðàâëåíèå
ïåðâîãî èãðîêà u u# #�( ) ( , ( ))� � � � , � � /#[ , ]0 . Òîãäà ñ ó÷åòîì àïïàðàòà îïîðíûõ
ôóíêöèé [24] ñîîòíîøåíèÿ (25), (26) äàþò
�
� � � �
�z z M d M( ) ( ) ( , , ( ), )[ ( )]/ � / � / � / $# # # # #
/#
0
0
,
ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ c M( ( ), )� / �#
� 0, à
� � � � � �
� � � �
# #
/
�
# #/ �
/
#
/#
( , , ( ), ) ( ,
|| ( )||
z d
p p
d
0
0
0
sup � � � �, ( ), )z d0
0
1
/#
� .
124 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5
Ïîýòîìó �z M( )/ �# è, ñëåäîâàòåëüíî, z M( ) */ �# . Ïîêàæåì äîïóñòèìîñòü
ñîîòâåòñòâóþùåãî óïðàâëåíèÿ ïðåñëåäîâàòåëÿ. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ñîîòíî-
øåíèÿ (25) è (26), èìååì
| | ( )| | | | ( ) ( )| | � ( , ,u d dp p� � � � � � � � �
0 0
/
#
/
# #
# #
� / � � /- ( ), )� �z d0
0
/#
�
� �
/
�
# #
/
/#
#
� � � � �
� � � �
p p
d
p p
z dX sup� ( , , ( ), )
|| ( )||
0
0
0
� � �� � �p p pX � .
Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 5, 6, ìíîæåñòâî /( )z0 íå ïóñòî è
/�/( )z0 . Òîãäà / � / � / � /# # #( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( )z z z z0 0 0 0
�
�
è òðàåêòîðèþ
ïðîöåññà (1)–(3) èç íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ z R n
0 � ìîæíî ïðèâåñòè íà òåðìè-
íàëüíîå ìíîæåñòâî (4) â ìîìåíò / ñ èñïîëüçîâàíèåì äîïóñòèìîãî óïðàâëåíèÿ
âèäà (6).
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ 5, 6, òî ñ ó÷åòîì ñîîòíîøå-
íèÿ (22) ïîëó÷èì 0 0�A ( , , , )/ � � z , � � /[ , ]0 , � �R k . Ïîýòîìó 0 0�A ( , , )/ � z , ñïðà-
âåäëèâû óñëîâèÿ 3 è 4, ïðè÷åì äëÿ � � /[ , ]0 , � �R k ,
� � � � � � �
*
( , , , ) inf : ( , , , )/ � � /z z0 0{ } = 0A ,
sup
|| ( )||
* *
( , , ( ), ) ( , ,
� � � �
� � � � � � �
p p
d
z d z
�
/
/
/ � /
0
0
0
0 ) ( , , )
*
0
0
0
0
/ /
� / �d z d� � � � .
Òåîðåìà 6. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 5, 6, ìíîæåñòâî T z( , ( ))0 íå ïóñòî è
T T z� ( , ( ))0 . Òîãäà T z T z z( , ( )) ( , ( )) ( , ( ))0 0 0 � �
�
, è òðàåêòîðèþ ïðî-
öåññà (1)–(3) èç íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ z R n
0 � ìîæíî ïðèâåñòè íà òåðìèíàëüíîå
ìíîæåñòâî (4) â ìîìåíò T ñ èñïîëüçîâàíèåì äîïóñòèìîãî óïðàâëåíèÿ âèäà (6).
Äîêàçàòåëüñòâî íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç êîíñòðóêöèé ñîîòâåòñòâóþ-
ùèõ îïðåäåëåíèé è òåîðåì.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ðàáîòå ðàññìàòðèâàþòñÿ ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû ñ èíòåãðàëüíû-
ìè îãðàíè÷åíèÿìè. Ñôîðìóëèðîâàíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ îêîí÷àíèÿ èãðû çà
êîíå÷íîå ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ â ñëó÷àå, êîãäà óñëîâèå Ì.Ñ. Íèêîëüñêîãî
[1] íå âûïîëíÿåòñÿ. Ïðåäëîæåíû äâå ñõåìû ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé,
îáåñïå÷èâàþùèõ çàâåðøåíèå èãðû çà êîíå÷íîå ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ â êëàñ-
ñå ñòðîáîñêîïè÷åñêèõ ñòðàòåãèé Õàéåêà [9]. Ïîêàçàíî, ÷òî áåç äîïîëíèòåëü-
íûõ ïðåäïîëîæåíèé ýòî âðåìÿ ñîâïàäàåò ñ ãàðàíòèðîâàííûì âðåìåíåì â êëàñ-
ñå êâàçèñòðàòåãèé. Ïðåäëîæåíà ñõåìà ðåãóëÿðèçàöèè ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé,
êîòîðàÿ ïðåâðàùàåò èõ â ôóíêöèè Êàðàòåîäîðè [27] è ñóùåñòâåííî óïðîùàåò
îáùóþ ñõåìó ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé áåç èçìåíåíèÿ ãàðàíòèðîâàííîãî
âðåìåíè çàâåðøåíèÿ èãðû. Äàíî ñðàâíåíèå ãàðàíòèðîâàííûõ âðåìåí.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 125
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Íèêîëüñêèé Ì.Ñ. Ïðÿìîé ìåòîä â ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ ñ èíòåãðàëüíûìè îãðà-
íè÷åíèÿìè. Óïðàâëÿåìûå ñèñòåìû. 1969. Âûï. 2. Ñ. 49–59.
2. ×èêðèé À.À., Áåçìàãîðû÷íûé Â.Â. Ìåòîä ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé â ëèíåéíûõ äèôôåðåíöè-
àëüíûõ èãðàõ ñ èíòåãðàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè. Àâòîìàòèêà. 1993. ¹ 4. Ñ. 26–36.
3. ×èêðèé À.À., Áåëîóñîâ À.À. Î ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ ñ èíòåãðàëüíûìè îãðàíè-
÷åíèÿìè ñáëèæåíèÿ. Òðóäû ÈÌÌ ÓðÎ ÐÀÍ. 2009. Ò. 15, ¹ 4. Ñ. 290–301.
4. Ñàìàòîâ Á.Ò. Î çàäà÷àõ ãðóïïîâîãî ïðåñëåäîâàíèÿ ïðè èíòåãðàëüíûõ îãðàíè÷åíèÿõ íà óïðàâ-
ëåíèÿ èãðîêîâ. I. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2013. ¹ 5. Ñ. 132–145.
5. Chikrii A.A. Conflict controlled processes. Springer Science and Business Media, 2013. 424 p.
6. ×èêðèé À.À., Ðàïïîïîðò È.Ñ. Ìåòîä ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé â òåîðèè êîíôëèêòíî-óïðàâëÿå-
ìûõ ïðîöåññîâ. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2012. Ò. 48, ¹ 4. Ñ. 40–64.
7. ×èêðèé À.À., ×èêðèé Â.Ê. Ñòðóêòóðà îáðàçîâ ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé â èãðîâûõ çàäà÷àõ
óïðàâëåíèÿ äâèæåíèåì. Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. 2016. ¹ 3. Ñ. 65–78.
8. Ðàïïîïîðò È.Ñ. Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ãàðàíòèðîâàííîãî ðåçóëüòàòà â äèôôåðåíöèàëüíîé èãðå
ñ òåðìèíàëüíîé ôóíêöèåé ïëàòû. Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. 2018. ¹ 1. Ñ. 72–84.
9. Hajek O. Pursuit games. New York: Academic Press, 1975. Vol. 12. 266 p.
10. Ðàïïîïîðò È.Ñ. Î ñòðîáîñêîïè÷åñêîé ñòðàòåãèè â ìåòîäå ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé äëÿ èãðîâûõ
çàäà÷ óïðàâëåíèÿ ñ òåðìèíàëüíîé ôóíêöèåé ïëàòû. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2016.
Ò. 52, ¹ 4. Ñ. 90–102.
11. Ðàïïîïîðò È.Ñ. Ìåòîä ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé â òåîðèè êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûõ ïðîöåññîâ
ñ òåðìèíàëüíîé ôóíêöèåé ïëàòû. Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. 2016. ¹ 2. Ñ. 1–10.
12. Êðàñîâñêèé Í.Í., Ñóááîòèí À.È. Ïîçèöèîííûå äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû. Ìîñêâà: Íàóêà,
1974. 455 ñ.
13. Ïîíòðÿãèí Ë.Ñ. Èçáðàííûå íàó÷íûå òðóäû. Ìîñêâà: Íàóêà, 1988. T. 2. 576 ñ.
14. Íèêîëüñêèé Ì.Ñ. Ïåðâûé ïðÿìîé ìåòîä Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèíà â äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ.
Ìîñêâà: Èçä-âî ÌÃÓ, 1984. 65 ñ.
15. Pittsyk M.V., Chikrii A.A. On a droup pursuit problem. Journal of Applied Mathematics and
Mechanics. 1982. Vol. 46, N 5. P. 584–589.
16. Ïèëèïåíêî Þ.Â., ×èêðèé À.À. Êîëåáàòåëüíûå êîôëèêòíî-óïðàâëÿåìûå ïðîöåññû. Ïðèêë. ìà-
òåìàòèêà è ìåõàíèêà. 1993. T. 57, ¹ 3. Ñ. 3–14.
17. Chikrii A.A. Multivalued mappings and their selections in game control problems. Journal of
Automation and Information Sciences. 1995. Vol. 27, N 1. P. 27–38.
18. Chikrii A.A. Quasilinear controlled processes under conflict. Journal of Mathematical sciences.
1996. Vol. 80, N 3. P. 1489–1518.
19. ×èêðèé À.À., Ýéäåëüìàí Ñ.Ä. Îáîáùåííûå ìàòðè÷íûå ôóíêöèè Ìèòòàã-Ëåôôëåðà â èãðîâûõ
çàäà÷àõ äëÿ ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé äðîáíîãî ïîðÿäêà. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç.
2000. ¹ 3. Ñ. 3–32.
20. ×èêðèé À.À., Ýéäåëüìàí Ñ.Ä. Èãðîâûå çàäà÷è óïðàâëåíèÿ äëÿ êâàçèëèíåéíûõ ñèñòåì ñ äðîá-
íûìè ïðîèçâîäíûìè Ðèìàíà–Ëèóâèëëÿ. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2001. ¹ 6.
Ñ. 66–99.
21. Chikrii A.A. Optimization of game interaction of fractional-order controlled systems. Optimization
Methods and Software. 2008. Vol. 23, N 1. P. 39–72.
22. Chikrii A.A. An analytical method in dynamic pursuit games. Proc. of the Steklov Institute of
Mathematics. 2010. Vol. 271. P. 69–85.
23. Chikrii A.A. Game dynamic problems for systems with fractional derivatives. Springer Optimization
and its Applications. 2008. Vol. 17. P. 349–387.
24. Ðîêàôåëëàð Ð. Âûïóêëûé àíàëèç. Ìîñêâà: Ìèð, 1973. 470 ñ.
25. Ôèëèïïîâ À.Ô. Î íåêîòîðûõ âîïðîñàõ òåîðèè îïòèìàëüíîãî ðåãóëèðîâàíèÿ. Âåñòí. ÌÃÓ.
Ñåð. ìàòåìàòèêà, ìåõàíêà, àñòðîíîìÿ, ôèçèêà, õèìèèÿ. 1959. ¹ 2. Ñ. 25–32.
126 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5
26. Ïîëîâèíêèí Å.Ñ. Ýëåìåíòû òåîðèè ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé. Ìîñêâà: Èç-âî ÌÔÒÈ, 1982. 127 ñ.
27. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued analysis. Boston; Basel; Berlin: Birkhauser, 1990. 461 p.
28. Èîôôå À.Ä., Òèõîìèðîâ Â.Ì. Òåîðèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. Ìîñêâà: Íàóêà, 1974. 480 ñ.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 28.01.2018
É.Ñ. Ðàïïîïîðò
ÌÅÒÎÄ ÐÎÇÂ’ßÇÓÂÀËÜÍÈÕ ÔÓÍÊÖ²É ÄËß ²ÃÐÎÂÈÕ ÇÀÄÀ× ÊÅÐÓÂÀÍÍß Ç ²ÍÒÅÃÐÀËÜÍÈÌÈ
ÎÁÌÅÆÅÍÍßÌÈ
Àíîòàö³ÿ. Äîñë³äæåíî ìåòîä ðîçâ’ÿçóâàëüíèõ ôóíêö³é ñòîñîâíî ³ãðîâèõ çà-
äà÷ êåðóâàííÿ ç ³íòåãðàëüíèìè îáìåæåííÿìè. Çàïðîïîíîâàíî ñõåìó ìåòîäó,
ùî çàáåçïå÷óº çàê³í÷åííÿ ãðè çà ïåâíèé ãàðàíòîâàíèé ÷àñ â êëàñ³ ñòðî-
áîñêîï³÷íèõ ñòðàòåã³é. Ïîêàçàíî ðåçóëüòàòè ïîð³âíÿííÿ ãàðàíòîâàíèõ ÷àñ³â
ö³º¿ ñõåìè ìåòîäó ðîçâ’ÿçóâàëüíèõ ôóíêö³é ç ïåðøèì ïðÿìèì ìåòîäîì
Ïîíòðÿã³íà äëÿ ³íòåãðàëüíèõ îáìåæåíü.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ë³í³éíà äèôåðåíö³éíà ãðà, ³íòåãðàëüí³ îáìåæåííÿ, áàãàòî-
çíà÷íå â³äîáðàæåííÿ, âèì³ðíèé ñåëåêòîð, ñòðîáîñêîï³÷íà ñòðàòåã³ÿ.
J.S. Rappoport
RESOLVING-FUNCTIONS METHOD FOR GAME THEORY CONTROL PROBLEMS
WITH INTEGRAL CONSTRAINTS
Abstract. The author analyzed the method of resolving functions with regard to
game theory control problems with integral constraint. A scheme of the method
is proposed. This scheme ensures the end of the game within a guaranteed time
in the class of stroboscopic strategies. The guaranteed times for this scheme of
the resolving-functions method are compared with the results of the fiirst
Pontryagin method for integral constraints.
Keywords: linear differential game, integral constraint, multi-valued mapping,
measurable selector, stroboscopic strategy.
Ðàïïîïîðò Èîñèô Ñèìîâè÷,
êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà
ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: jeffrappoport@gmail.com.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 127
|