Обчислення стаціонарних характеристик одноканальних систем обслуговування з використанням розподілів фазового типу
Здійснено аналіз результатів застосування гіперекспоненціальної і ерлангівської апроксимацій з параметрами парадоксального і комплексного типу для обчислення методом фіктивних фаз стаціонарних характеристик систем обслуговування типу G / G / m / 1. Результати верифіковано за допомогою імітаційних мо...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2018 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2018
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/161439 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Обчислення стаціонарних характеристик одноканальних систем обслуговування з використанням розподілів фазового тип / Ю.В. Жерновий // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 5. — С. 160-169. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859761286669139968 |
|---|---|
| author | Жерновий, Ю.В. |
| author_facet | Жерновий, Ю.В. |
| citation_txt | Обчислення стаціонарних характеристик одноканальних систем обслуговування з використанням розподілів фазового тип / Ю.В. Жерновий // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 5. — С. 160-169. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Здійснено аналіз результатів застосування гіперекспоненціальної і ерлангівської апроксимацій з параметрами парадоксального і комплексного типу для обчислення методом фіктивних фаз стаціонарних характеристик систем обслуговування типу G / G / m / 1. Результати верифіковано за допомогою імітаційних моделей.
Осуществлен анализ результатов применения гиперэкспоненциальной и эрланговой аппроксимаций с параметрами парадоксального и комплексного типа для расчета методом фиктивных фаз стационарных характеристик систем обслуживания типа G / G / m / 1. Результаты верифицированы с помощью имитационных моделей.
The paper analyzes the results of application of hyper-exponential and Erlang approximations with parameters of paradoxical and complex type for calculating the steady-state characteristics of G / G / m / 1 queueing systems by the fictitious phase method. The results are verified using simulation models.
|
| first_indexed | 2025-12-02T03:32:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
Þ.Â. ÆÅÐÍÎÂÈÉ
ÎÁ×ÈÑËÅÍÍß ÑÒÀÖ²ÎÍÀÐÍÈÕ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊ
ÎÄÍÎÊÀÍÀËÜÍÈÕ ÑÈÑÒÅÌ ÎÁÑËÓÃÎÂÓÂÀÍÍß
Ç ÂÈÊÎÐÈÑÒÀÍÍßÌ ÐÎÇÏÎIJ˲ ÔÀÇÎÂÎÃÎ ÒÈÏÓ
Àíîòàö³ÿ. Çä³éñíåíî àíàë³ç ðåçóëüòàò³â çàñòîñóâàííÿ ã³ïåðåêñïîíåíö³àëüíî¿
³ åðëàíã³âñüêî¿ àïðîêñèìàö³é ç ïàðàìåòðàìè ïàðàäîêñàëüíîãî ³ êîìïëåêñíî-
ãî òèïó äëÿ îá÷èñëåííÿ ìåòîäîì ô³êòèâíèõ ôàç ñòàö³îíàðíèõ õàðàêòåðèñòèê
ñèñòåì îáñëóãîâóâàííÿ òèïó G G m/ / /1 . Ðåçóëüòàòè âåðèô³êîâàíî çà äîïî-
ìîãîþ ³ì³òàö³éíèõ ìîäåëåé.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: íåìàðêîâñüêà ñèñòåìà îáñëóãîâóâàííÿ, ã³ïåðåêñïîíåíö³àëü-
íèé ðîçïîä³ë, óçàãàëüíåíèé ðîçïîä³ë Åðëàíãà, êîìïëåêñí³ ³ ïàðàäîêñàëüí³
ïàðàìåòðè ðîçïîä³ëó, àïðîêñèìàö³ÿ.
ÂÑÒÓÏ
Äëÿ äîñë³äæåííÿ íåìàðêîâñüêèõ ïðîöåñ³â íàäõîäæåííÿ ³ îáñëóãîâóâàííÿ çà-
ìîâëåíü â ñèñòåìàõ ìàñîâîãî îáñëóãîâóâàííÿ ÷àñòî çàñòîñîâóþòü ðîçïîä³ëè
ôàçîâîãî òèïó ó âèãëÿä³ âçàºìîçâ’ÿçàíèõ ïàðàëåëüíî-ïîñë³äîâíèõ êîìá³íàö³é
ôàç ïðîõîäæåííÿ çàìîâëåíü ç ïîêàçíèêîâî ðîçïîä³ëåíèìè òðèâàëîñòÿìè çàòðè-
ìîê ó íèõ. Ó ðàç³ ô³êñàö³¿ íîìåðà ôàçè íàäõîäæåííÿ àáî îáñëóãîâóâàííÿ çà-
ìîâëåíü ñòàíè ñèñòåìè âîëîä³þòü ìàðêîâñüêîþ âëàñòèâ³ñòþ, ùî äຠçìîãó
çîáðàçèòè ïåðåõîäè ì³æ íèìè ó âèãëÿä³ äèñêðåòíîãî ìàðêîâñüêîãî ïðîöåñó
ç íåïåðåðâíèì ÷àñîì. ²äåÿ ìåòîäó ô³êòèâíèõ ôàç áóëà âèñóíóòà ùå
À.Ê. Åðëàíãîì. Ïîðÿäêîì àïðîêñèìàö³¿ ïðèðîäíî ââàæàòè ê³ëüê³ñòü çáåðåæå-
íèõ ïî÷àòêîâèõ ìîìåíò³â âèõ³äíîãî ðîçïîä³ëó.
Íàéçàãàëüí³øîþ ôîðìîþ çîáðàæåííÿ ôàçîâèõ ðîçïîä³ë³â º ñõåìà Í’þòñà
[1], â ÿê³é òðèâàë³ñòü êîæíî¿ ðåàë³çàö³¿ ïðîöåñó â³äïîâ³äຠâèïàäêîâîìó ÷àñó
áëóêàííÿ â ìåðåæ³ ç ïîêàçíèêîâîþ çàòðèìêîþ â êîæíîìó âóçë³ òà îäíèì ïîãëè-
íàþ÷èì ñòàíîì. Ó ðàç³ çàñòîñóâàííÿ ñõåìè Í’þòñà îá÷èñëåííÿ ñòàö³îíàðíèõ õà-
ðàêòåðèñòèê ñèñòåìè îáñëóãîâóâàííÿ çä³éñíþºòüñÿ â òåðì³íàõ êðîíåêåðîâèõ ìàò-
ðè÷íèõ îïåðàö³é, ÷èñëîâà ðåàë³çàö³ÿ ÿêèõ º âêðàé íååôåêòèâíîþ [2]. Òîìó äëÿ àï-
ðîêñèìàö³¿ ðîçïîä³ë³â ç êîåô³ö³ºíòîì âàð³àö³¿ V �1 çàçâè÷àé âèêîðèñòîâóþòü
ã³ïåðåêñïîíåíö³àëüíó ( )H k àïðîêñèìàö³þ, à ó âñ³õ ³íøèõ âèïàäêàõ — åð-
ëàíã³âñüêó ( )Ek . Ïàðàìåòðè àïðîêñèìàö³¿ ââàæàþòü ä³éñíèìè.
Îñòàíí³ì ÷àñîì çðîñòຠ³íòåðåñ äî ã³ïåðåêñïîíåíö³àëüíîãî ðîçïîä³ëó, çàñòî-
ñóâàííÿ ÿêîãî ïîêàçàëî âèñîêó åôåêòèâí³ñòü äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷ ï³äñóìîâó-
âàííÿ ðåêóðåíòíèõ ïîòîê³â [3], îá÷èñëåííÿ õàðàêòåðèñòèê ñèñòåì îáñëóãîâóâàí-
íÿ ç «íåòåðïëÿ÷èìè» çàìîâëåííÿìè [4], äæåêñîí³âñüêèõ ìåðåæ ìàñîâîãî îáñëó-
ãîâóâàííÿ [5], à òàêîæ äëÿ àíàë³çó ñèñòåì êåðóâàííÿ çàïàñàìè [6].
Ó ñòàòò³ [2] íàâåäåíî ðåçóëüòàòè çàñòîñóâàííÿ ã³ïåðåêñïîíåíö³àëüíîãî ðîç-
ïîä³ëó äðóãîãî ïîðÿäêó ( )H 2 äëÿ îá÷èñëåííÿ ñòàö³îíàðíèõ õàðàêòåðèñòèê ñèñ-
òåì îáñëóãîâóâàííÿ òèïó M G/ / /1 � ìåòîäîì ô³êòèâíèõ ôàç. Àâòîðè äîïóñêà-
þòü âèêîðèñòàííÿ H 2-ðîçïîä³ë³â ç ïàðàìåòðàìè ïàðàäîêñàëüíîãî àáî êîìïëåê-
ñíîãî òèïó, ùî äຠçìîãó àïðîêñèìóâàòè ÷àñ îáñëóãîâóâàííÿ ç äîâ³ëüíèì
(çîêðåìà, ìåíøèì çà îäèíèöþ) êîåô³ö³ºíòîì âàð³àö³¿. Ó ñòàòò³ â³äçíà÷åíî, ùî ï³ä
÷àñ ðîçðàõóíêó ñèñòåì îáñëóãîâóâàííÿ ³ç çàñòîñóâàííÿì H 2-àïðîêñèìàö³¿ â îá-
ëàñò³ êîìïëåêñíèõ çíà÷åíü ¿¿ ïàðàìåòð³â ïîòåíö³éíà ïàòîëîã³ÿ ïðîÿâëÿºòüñÿ
ëèøå â ïðîì³æíèõ ðåçóëüòàòàõ — ³ìîâ³ðíîñòÿõ «ô³êòèâíèõ» ì³êðîñòàí³â ä³àãðà-
160 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5
© Þ.Â. Æåðíîâèé, 2018
ìè ïåðåõîä³â, íà ÿê³ ðîçùåïëþþòüñÿ «ô³çè÷í³» ñòàíè ñèñòåìè. Íà åòàï³ ï³äñóìî-
âóâàííÿ éìîâ³ðíîñòåé ì³êðîñòàí³â ¿õí³ êîìïëåêñí³ ÷àñòèíè àí³ã³ëþþòüñÿ ³ êîì-
ïîíåíòè ðåçóëüòàòó îá÷èñëåíü — ³ìîâ³ðíîñò³ ê³ëüêîñò³ çàìîâëåíü ó ñèñòåì³ —
ñòàþòü ä³éñíèìè. Îäíàê îñîáëèâîñò³ àïðîêñèìàö³¿ ç âèêîðèñòàííÿì H k -ðîç-
ïîä³ë³â ïîðÿäêó k � 2 , à òàêîæ óçàãàëüíåíèõ ðîçïîä³ë³â Åðëàíãà ( )Ek ç ïàðàäîê-
ñàëüíèìè òà êîìïëåêñíèìè ïàðàìåòðàìè äëÿ ðîçðàõóíêó ñèñòåì òèïó
G G n m/ / / ç ê³ëüê³ñòþ êàíàë³â n � 1 çàëèøàþòüñÿ íåäîñë³äæåíèìè.
Êîìïëåêñíèé àáî ïàðàäîêñàëüíèé òèï ïàðàìåòð³â H k - ³ Ek -ðîçïîä³ë³â
ï³äêðåñëþº ô³êòèâíèé õàðàêòåð ðîçùåïëåííÿ ïðîöåñó íà ôàçè. Äîïóñòèì³ñòü êîì-
ïëåêñíèõ ïàðàìåòð³â äëÿ äîñë³äæåííÿ âèïàäêîâèõ ïðîöåñ³â áóëà âïåðøå â³äçíà÷å-
íà Ä. Êîêñîì ó 1955 ð. [7]. Ó ðîáîò³ [8] àâòîðè ñïðîáóâàëè äàòè éìîâ³ðí³ñíó ³íòåð-
ïðåòàö³þ êîìïëåêñíèõ ³íòåíñèâíîñòåé ïåðåõîä³â ì³æ ñòàíàìè ëàíöþãà Ìàðêîâà.
Ó ñòàòò³ íàâåäåíî àíàë³ç ðåçóëüòàò³â çàñòîñóâàííÿ H k - ³ Ek -ðîçïîä³ë³â ïî-
ðÿäêó k k( )2 6� � ç ïàðàäîêñàëüíèìè òà êîìïëåêñíèìè ïàðàìåòðàìè äëÿ îá÷èñ-
ëåííÿ ìåòîäîì ô³êòèâíèõ ôàç ñòàö³îíàðíèõ õàðàêòåðèñòèê ñèñòåì îáñëóãîâóâàí-
íÿ òèïó G G m/ / /1 .
ÎÑÎÁËÈÂÎÑÒ² ÇÀÑÒÎÑÓÂÀÍÍß H k - ÒÀ Ek -ÐÎÇÏÎIJ˲Â
óïåðåêñïîíåíö³àëüíèé ðîçïîä³ë ïîðÿäêó k º ðîçïîä³ëîì ôàçîâîãî òèïó ³ ïå-
ðåäáà÷ຠâèá³ð âèïàäêîâèì ïðîöåñîì îäí³º¿ ç k àëüòåðíàòèâíèõ ôàç. Ç ³ìîâ³ð-
í³ñòþ yi ïðîöåñ ïîòðàïëÿº â i-ó ôàçó ³ ïåðåáóâຠó í³é ïðîòÿãîì ÷àñó, ðîç-
ïîä³ëåíîãî çà ïîêàçíèêîâèì çàêîíîì ç ïàðàìåòðîì � i . Äëÿ óçàãàëüíåíîãî åð-
ëàíã³âñüêîãî ðîçïîä³ëó ïîðÿäêó k ïðîöåñ ïîñë³äîâíî ïðîõîäèòü k ôàç,
òðèâàëîñò³ ÿêèõ ðîçïîä³ëåí³ çà ïîêàçíèêîâèìè çàêîíàìè ç ïàðàìåòðàìè
� � �1 2, , ,� k â³äïîâ³äíî.
Âðàõîâóþ÷è, ùî äëÿ îáîõ ðîçïîä³ë³â ôóíêö³ÿ ðîçïîä³ëó º ë³í³éíîþ
êîìá³íàö³ºþ åêñïîíåíò
F t
e
tE
k
i
i
k t
j j s
s j
k
j
k
k
j
( ) ( )
( )
,� � �
�
��
�
�
�
�
1 1 1
1 1
�
� � �
�
0 ,
F t y e tH j
t
j
k
k
j( ) ,� � �
�
�
1 0
1
�
,
ìîæíà îòðèìàòè çîáðàæåííÿ áóäü-ÿêîãî Ek -ðîçïîä³ëó ç ïàðàìåòðàìè (³íòåí-
ñèâíîñòÿìè) � � �1 2, , ,� k ç âèêîðèñòàííÿì H k -ðîçïîä³ëó ç òèìè ñàìèìè
³íòåíñèâíîñòÿìè ³ ïñåâäîéìîâ³ðíîñòÿìè (ïàðàäîêñàëüíèìè éìîâ³ðíîñòÿìè), ÿê³
âèçíà÷àþòüñÿ ó âèãëÿä³
y j kj
k
i
i
k
j j s
s j
k
� �
�
� ��
�
�
( )
( )
,1
1
11
1
�
� � �
. (1)
Ñòàë³ y j ìè íàçèâàºìî «ïñåâäîéìîâ³ðíîñòÿìè», îñê³ëüêè âîíè çàäîâîëüíÿþòü
óìîâó íîðìóâàííÿ y j
j
k
�
�
1
1 , àëå íå âñ³ âîíè íàëåæàòü ïðîì³æêó [ , ]0 1 . Îá÷èñ-
ëåííÿ ïîêàçóþòü, ùî â çàäà÷³ âèçíà÷åííÿ ñòàö³îíàðíèõ õàðàêòåðèñòèê
áóäü-ÿêî¿ ñèñòåìè îáñëóãîâóâàííÿ ç Ek -ðîçïîä³ëàìè ÷àñó îáñëóãîâóâàííÿ òà
(àáî) ³íòåðâàë³â ì³æ ìîìåíòàìè íàäõîäæåííÿ çàìîâëåíü çàì³íà Ek -ðîçïîä³ëó
íà H k -ðîçïîä³ë ç òèìè ñàìèìè ïàðàìåòðàìè ³ ïñåâäîéìîâ³ðíîñòÿìè âèãëÿ-
äó (1) íå âïëèâຠíà îòðèìàí³ ðåçóëüòàòè.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 161
Àïðîêñèìàö³ÿ äîâ³ëüíîãî ðîçïîä³ëó äëÿ íåìàðêîâñüêî¿ ñèñòåìè îáñëóãîâó-
âàííÿ ðîçïîä³ëîì ôàçîâîãî òèïó çà äîïîìîãîþ ìåòîäó ìîìåíò³â ó á³ëüøîñò³ âè-
ïàäê³â ïðèçâîäèòü äî òîãî, ùî ïàðàìåòðè àïðîêñèìóâàëüíîãî ðîçïîä³ëó º ïàðà-
äîêñàëüíèìè (òîáòî â³ä’ºìíèìè àáî ç ³ìîâ³ðíîñòÿìè, ÿê³ âèõîäÿòü çà ìåæ³
ïðîì³æêó [0; 1]) àáî êîìïëåêñíèìè.
Ñèñòåìà ð³âíÿíü ìåòîäó ìîìåíò³â äëÿ H k -àïðîêñèìàö³¿ ìຠâèãëÿä
y
f i k
j
j
i
j
k
i
��
� � � �
1
0 2 1, , (2)
äå f f ii i�
~
/ ! ,
~
f i — ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ïîðÿäêó i âèõ³äíîãî ðîçïîä³ëó. Äëÿ
ç’ÿñóâàííÿ ñòðóêòóðè ñèñòåìè ð³âíÿíü ìåòîäó ìîìåíò³â ó âèïàäêó Ek -àïðîêñè-
ìàö³¿ íàâåäåìî ð³âíÿííÿ äëÿ k � 2
1 1 1 1 1
1 2
1
1
2
2
2
1 2
2
� � � � � �
� � � � �f f, (3)
³ k � 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3
1
1
2
2
2
3
2
1 2 1 3 2 3
2
� � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � �f f, ,
1 1 1 1 1 1 1 1
1
3
2
3
3
3
1 2 3
1
2
2 1
2
3 2
2
3 2
2
1� � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � �
1 1
3
2
1 3
2
2
3
� � � �
f .
Îòæå, ïî÷àòêîâ³ ìîìåíòè H k -ðîçïîä³ëó îá÷èñëþþòüñÿ çà ïðîñò³øèìè ôîðìó-
ëàìè, í³æ ìîìåíòè Ek -ðîçïîä³ëó, ³ äàþòü çìîãó âèð³âíþâàòè 2 1k � ìîìåíò³â ï³ä
÷àñ àïðîêñèìàö³¿ äîâ³ëüíîãî ðîçïîä³ëó (äëÿ Ek -ðîçïîä³ëó ìîæíà âèð³âíÿòè ëèøå k
ìîìåíò³â), òîìó àïðîêñèìàö³ÿ çà äîïîìîãîþ H k -ðîçïîä³ëó çíà÷íî åôåêòèâí³øà.
Ðîçâ’ÿçêè ñèñòåìè ð³âíÿíü (3) ìîæíà âèðàçèòè ÷åðåç êîåô³ö³ºíò âàð³àö³¿ V
âèõ³äíîãî ðîçïîä³ëó:
�1 2
1
2
21
1
1 2 1, ~
( )
�
�
� � �
�
�
�
�
�
f V
V .
Îòæå, ïàðàìåòðè � �1 2, E2-àïðîêñèìàö³¿ º êîìïëåêñíèìè äëÿ 0 1 2� �V / ,
äîäàòíèìè äëÿ 1 2 1/ � �V ³ ìàþòü ð³çí³ çíàêè äëÿ V �1. Ðîçâ’ÿçóâàííÿ ñèñòå-
ìè ð³âíÿíü ìåòîäó ìîìåíò³â ó âèïàäêó Ek -àïðîêñèìàö³¿ äëÿ çíà÷åíü k � 3 íà
ïðèêëàäàõ âèõ³äíèõ äâîïàðàìåòðè÷íèõ ãàììà-ðîçïîä³ë³â ³ ðîçïîä³ë³â Âåéáóëëà
ç ð³çíèìè êîåô³ö³ºíòàìè âàð³àö³¿ íå âèÿâèëî òàêèõ çíà÷åíü V , äëÿ ÿêèõ âñ³
ïàðàìåòðè � i º äîäàòíèìè.
Ðîçâ’ÿçóâàííÿ ñèñòåìè ð³âíÿíü (2) äëÿ k � 2 íà ïðèêëàäàõ âèõ³äíèõ ãàì-
ìà-ðîçïîä³ë³â ³ ðîçïîä³ë³â Âåéáóëëà ç ð³çíèìè êîåô³ö³ºíòàìè âàð³àö³¿ äàëî çìîãó
ç’ÿñóâàòè, ùî ïàðàìåòðè H k -àïðîêñèìàö³¿ º êîìïëåêñíèìè äëÿ 0 1� � �V ak , äî-
äàòíèìè ç ïàðàäîêñàëüíèìè éìîâ³ðíîñòÿìè yi äëÿ a Vk � � 1 ³ äîäàòíèìè ç ðåàëü-
íèìè éìîâ³ðíîñòÿìè yi äëÿ V �1. Äëÿ ãàììà-ðîçïîä³ë³â ak �1 2/ , à äëÿ ðîç-
ïîä³ë³â Âåéáóëëà ñòàë³ ak º áëèçüêèìè äî îäèíèö³, ¿õí³ çíà÷åííÿ çàëåæàòü â³ä
~
f1,
³ ³íòåðâàë ( , )ak 1 çâóæóºòüñÿ ç³ çðîñòàííÿì k .
Äëÿ ç’ÿñóâàííÿ îñîáëèâîñòåé çàñòîñóâàííÿ H k - ³ Ek -ðîçïîä³ë³â ï³ä ÷àñ îá-
÷èñëåííÿ ñòàö³îíàðíèõ õàðàêòåðèñòèê ñèñòåì îáñëóãîâóâàííÿ òèïó G/G/1/m ìå-
òîäîì ô³êòèâíèõ ôàç âèêîðèñòîâóâàòèìåìî òàê³ ðîçïîä³ëè:
1) äëÿ ³íòåðâàë³â ì³æ çàìîâëåííÿìè ó âõ³äíîìó ïîòîö³ (ñåðåäíº çíà÷åí-
íÿ 1,25):U 1 — ð³âíîì³ðíèé íà ïðîì³æêó [ , ; , ]0 25 2 25 (êîåô³ö³ºíò âàð³àö³¿V � 0 462, );
�1 15( , ) — ãàììà ç ïàðàìåòðîì ôîðìè 1,5 ( , );V � 0 816 �1 0 5( , ) — ãàììà ç ïàðàìåòðîì
ôîðìè 0,5 ( , );V �1 414 D 1 — âèðîäæåíèé ç³ ñòàëèì çíà÷åííÿì 1,25 ( )V � 0 ;
162 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5
2) äëÿ ÷àñó îáñëóãîâóâàííÿ (ñåðåäíº çíà÷åííÿ 1): U 2 — ð³âíîì³ðíèé íà
ïðîì³æêó [ ; ]0 2 (êîåô³ö³ºíò âàð³àö³¿V � 0 577, ); �2 15( , ) — ãàììà ç ïàðàìåòðîì ôîð-
ìè 1,5 ( , );V � 0 816 �2 0 5( , ) — ãàììà ç ïàðàìåòðîì ôîðìè 0,5 ( , );V �1 414 D2 — âè-
ðîäæåíèé ç³ ñòàëèì çíà÷åííÿì 1 ( )V � 0 .
Äëÿ ïàðàìåòð³â H k - ³ Ek -ðîçïîä³ë³â, ÿê³ âèêîðèñòîâóâàòèìåìî äëÿ àïðîêñè-
ìàö³¿ ðîçïîä³ë³â ³íòåðâàë³â ì³æ çàìîâëåííÿìè òà ÷àñó îáñëóãîâóâàííÿ, ââåäåìî
ïîçíà÷åííÿ: � � �i i i iy� �, ³ � � �i i i iy� �, â³äïîâ³äíî.
Íèæ÷å íàâåäåìî çíà÷åííÿ ïàðàìåòð³â H k - ³ Ek -ðîçïîä³ë³â, îòðèìàí³ â ðå-
çóëüòàò³ ðîçâ’ÿçàííÿ ñèñòåìè ð³âíÿíü ìåòîäó ìîìåíò³â ï³ä ÷àñ àïðîêñèìàö³¿
âèõ³äíèõ ðîçïîä³ë³â:
ðîçïîä³ë U 1:
E i
E i
2 1 2
4 1 2 3
1017 0 770
1348 1390 17 3
: , , ;
: , , , ,
,
,
�
� �
� �
� � � � 62 1 700
1582 1601 2179 6 45
4
5 1 2 3 4
, , ;
: , , , , , ,,
�
� � �
�
� � � � �E i 0 3109
1 408 0 822 0 5 1164
5
2 1 2 1 2
3
, , ;
: , , , , , ;, ,
�
� �
�
� � � �H i i
H : , , , , , , , ,, ,� � � �1 2 3 1 2 31618 1506 2 005 0 819 0 774� � � � � � �i i 2 638
1839 2 357 2 565 0 7774 1 2 3 4 1 2
, ;
: , , , , , ,, , ,H i i� � �� � � � � �
� �
� �
0 629 0 943
1129 5 548
2107 3 22
3 4
5 1 2
, , ,
, , ;
: , ,
,
,
� i
i
H
�
� 5 3 026 1567 3 286
1310 0 458
3 4 5
1 2 3
i i
i
, , , , , ,
, , ,
,
,
� �
� �
� � �
� � , , , , , ;4 510118 2 541 18 616� � � �i �
ðîçïîä³ë �1 15( , ) :
E i
E
4 1 2 3 4
5 1 2
3145 5 512 1110 1979
0
: , , , , , , ;
:
,
,
� � �
�
� � � � �
� � , , , , , , , , ;
: ,
062 4 521 1 777 1128 5181
12 3
3 4 5
5 1
� � � � �
�
i
H
� � �
� 16 3 404 1 797 1300 1183
0 022
2 3 4 5
1
, , , , , , , , ,
, ,
� � � �
� �
� � � �
� � 2 3 4 50111 0 414 2 721 4 268� � � � � � �, , , , , , , ;� � �
ðîçïîä³ë �1 0 5( , ) :
E
E i
2 1 2
4 1 2 3
2186 0 586
0 028 1063 11
: , , , ;
: , , , ,,
� �
� �
� � �
� � � � 85 0 489
0 8 1941 0 504 16 345
4
5 1 2 3 4
, , ;
: , , , , , , , ,
�
� � � �
�
� � � �H � �5 0 410 0 2 1 5� � � �, ; , , ;i i
ðîçïîä³ë D1:
E i i
E
4 1 2 3 4
5 1 2
0 216 2 004 1384 0 711
13
: , , , , , ;
: ,
, ,
,
� �
�
� � � �
� 20 1355 0192 2 503 1 744
2 92
3 4 5
5 1 2
� � � � �
�
, , , , , , ;
: ,
,
,
i i
H
� �
� 5 5 235 4 561 2 568 5 029
3 840 0 2
3 4 5
1 2
� � � �
�
, , , , , , ,
, ,
,
,
i i� �
� � 74 25 079 2187 43 480
3 231 6
3 4 5
6 1 2
i i
H
, , , , , ;
: , ,
,
,
� �
�
� � � �
� � 676 5176 3 920 5 992 1297
0 6
3 4 5 6
1 2
i i i, , , , , , ,
,
, ,
,
� �
�
� � � �
� � 84 4 883 0 491 46 781 1674 1221633 4 5 6� � � � �, , , , , , , ;, ,i i i� ��
ðîçïîä³ë U 2 :
E i
E i
2 1 2
4 1 2 3
15 0 866
1562 1 464 1939
: , , ;
: , , , , ,
,
,
�
� � �
� �
� � � 4
2 1 2 1 2
3 1
5 064
15 0 866 0 5 0 866
� �
� � � �
, ;
: , , , , , ;
:
, ,
,
H i i
H
� �
� 2 3 1 2 31839 1 754 2 322 0 826 0 604 2 65� � � � � � �, , , , , , , , ,,i i� � � 2;
H i i4 1 2 3 4 1 22104 2 657 2 896 0 867 0 589: , , , , , , ,, , ,� � �� � � � � � � 0 897
1089 4 956
2 325 3 571
3 4
5 1 2 3
, ,
, , ;
: , , ,
,
, ,
i
i
H i
�
� �
� �
� � 4 5
1 2 3 4
3 352 1 743 3 647
1028 0 494 8
� � �
� � �
, , , , ,
, , , ,, ,
i
i
�
� �� 151 2 371 15 2455� �, , , ;i �
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 163
ðîçïîä³ë �2 15( , ) :
E i
H
5 1 2 3 4 50 078 5 651 2 221 1410 6 476: , , , , , , , , ;,� � � �� � � � � �
5 1 2 3 4 5
1
15 396 4 255 2 246 1625 1478: , , , , , , , , , ,� � � � �
�
� � � � �
� � � � � � � � �0 022 0111 0 414 2 721 4 2682 3 4 5
6
, , , , , , , , , ;
:
� � � �
H � � � � � �1 2 3 4 5 65 917 2 958 1972 1585 1� � � � � �22,082, , , , , , , , , , ,
, , , , , , , ,
485
0 012 0 057 0174 0 545 31 2 3 4 5� � � � �� � � � � � � � � � , ,
, ;
323
51116� �
ðîçïîä³ë �2 0 5( , ) :
E
E i
2 1 2
4 1 2 3
2 732 0 732
0 035 1329 1 4
: , , , ;
: , , , ,,
� �
� �
� � �
� � � � 81 0 611
1 2 426 0 630 20 432
4
5 1 2 3 4 5
, , ;
: , , , , , , ,
�
� � � � �
�
� � � �H �
� � �
� � �
0 513
0 2 1 5
3 414 0 586 13496 1 2 3
, ,
, , ;
: , , , , , ,
�
� � �
i i
H � �
� �
4 5
6
0 794 29 348
0 509 1 6 1 6
� �
� � � �
, , , ,
, , / , ;i i
ðîçïîä³ë D2 :
E i
E i
2 1 2
4 1 2 3 4
0 5 1
0 271 2 505 1 729 0
: , ( );
: , , , ,
,
, ,
�
� �
� �
� � � � , ;
: , , , , , , ,, ,
889
3 656 6 544 5 701 3 210 65 1 2 3 4 5
i
H i i� � �� � � � � 287
3 840 0 274 25 079 2187 43 481 2 3 4 5
,
, , , , , , ,, ,� � �� � � � �� i i 0
4 039 8 346 6 471 4 900 7 496 1 2 3 4 5 6
;
: , , , , , , ,, , ,H i i� � �� � � � � 1 1622
0 684 4 883 0 491 46 7811 2 3 4 5
�
� � � � �
, ,
, , , , , ,, ,
i
i i� � �� , , , .6 1674 122163� � i
164 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5
Ò à á ë è ö ÿ 1 . Ñòàö³îíàðí³ õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìè U U1 2 1 15/ / /
Còàö³î-
íàðíà
õàðàêòå-
ðèñòèêà
Çíà÷åííÿ ñòàö³îíàðíèõ õàðàêòåðèñòèê, îá÷èñëåíèõ âêàçàíèìè ñïîñîáàìè
E E2 2/ H H2 2/ E E4 4/ E E5 4/ H H3 3/ H H4 4/ H H5 5/
GPSS,
ñåðåäíº
çíà÷åííÿ
p0 0,2000 0,2000 0,2000 0,2000 0,2000 0,2000 0,2000 0,2000
p1 0,3565 0,3730 0,3776 0,3799 0,3793 0,3789 0,3789 0,3789
p2 0,2251 0,2354 0,2362 0,2347 0,2359 0,2360 0,2360 0,2360
p3 0,1164 0,1127 0,1079 0,1072 0,1066 0,1067 0,1067 0,1067
p4 0,0556 0,0480 0,0455 0,0453 0,0451 0,0452 0,0452 0,0452
p5 0,0256 0,0192 0,0190 0,0190 0,0191 0,0191 0,0191 0,0191
p6 0,0116 0,0073 0,0080 0,0080 0,0081 0,0081 0,0081 0,0081
p7 0,0052 0,0027 0,0034 0,0034 0,0034 0,0034 0,0034 0,0034
p8 0,0023 0,0010 0,0014 0,0015 0,0015 0,0015 0,0015 0,0015
p9 0,0010 0,0004 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006
p10 0,0004 0,0001 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003
p11 0,0002 0,0000 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
p12 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
p13 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
p14 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
p15 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
p16 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
N 1,6459 1,5464 1,5440 1,5409 1,5411 1,5421 1,5421 1,5423
� p, � p
sim( )
0,0666 0,0178 0,0033 0,0031 0,0008 0,0002 0,0002 0,0011
Ìè íàâåëè ïàðàìåòðè ëèøå òèõ H k - ³ Ek -ðîçïîä³ë³â, ç âèêîðèñòàííÿì ÿêèõ
îòðèìàíî ðåçóëüòàòè, ïðåäñòàâëåí³ â òàáë. 1 ³ 2.
Ç ìåòîþ îö³íêè ÿêîñò³ H k -àïðîêñèìàö³¿ ðîçãëÿíåìî âåëè÷èíè
� �ki
j
j
i
j
k
i kn ki
i
n
i
i
ny
f f� �
�
�
��
�
�
�� �
�
�
�
� � �
�
�
1 1 1
, /
�
�
�
�
100%.
Î÷åâèäíî, ùî � ki � 0 äëÿ 0 2 1� � �i k , à çà äîïîìîãîþ �kn ìîæíà îö³íèòè ó
â³äñîòêàõ â³äíîñíó ïîõèáêó H k -àïðîêñèìàö³¿, ÿêùî ðîçãëÿäàòè ïåðø³ n ïî÷àòêî-
âèõ ìîìåíò³â âèõ³äíîãî ðîçïîä³ëó. Çíà÷åííÿ �kn äëÿ k n� �2 3 4 5 10 100; ; ; ; ;
íàâåäåíî ó òàáë. 3.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 165
Ò à á ë è ö ÿ 2 . Ðåçóëüòàòè îá÷èñëåííÿ ñòàö³îíàðíèõ õàðàêòåðèñòèê ñèñòåì
ç ð³çíèìè ðîçïîä³ëàìè
Íàéìåíó-
âàííÿ
õàðàêòå-
ðèñòèêè
Íàéìåíóâàííÿ ñèñòåìè, ñïîñ³á îá÷èñëåííÿ
U1 2 1 5 1 15/ ( , ) / /� U1 2 0 5 1 15/ ( , ) / /�
E E5 5/ H H5 5/ GPSS E E2 2/ H H5 5/ GPSS
N 2,0545 2,0550 2,0529 3,8882 3,6646 3,6634
� p, � p
sim( )
0,0009 0,0005 0,0015 0,0570 0,0008 0,0022
�1 21 5 1 15( , ) / / /U � �1 21 5 1 5 1 15( , ) / ( , ) / /
E E4 4/ H H5 5/ GPSS E E5 5/ H H5 5/ GPSS
N 2,3159 2,3155 2,3131 2,7865 2,7877 2,7873
� p, � p
sim( )
0,0020 0,0009 0,0012 0,0014 0,0004 0,0015
� �1 20 5 0 5 1 15( , ) / ( , ) / / U D1 2 1 15/ / /
E E4 4/ H H5 5/ GPSS H H5 5/ H H6 6/ GPSS
N 4,8348 4,8516 4,8490 1,1258 1,1250 1,1236
� p, � p
sim( )
0,0417 0,0009 0,0021 0,0040 0,0028 0,0006
�1 21 5 1 15( , ) / / /D �1 20 5 1 15( , ) / / /D
E E5 4/ H H5 5/ GPSS E E2 2/ H H5 5/ GPSS
N 1,8107 1,8100 1,8099 4,9606 3,7329 3,7304
� p, � p
sim( )
0,0091 0,0001 0,0008 0,4275 0,0007 0,0016
� �1 21 5 0 5 1 15( , ) / ( , ) / / D U1 2 1 15/ / /
H H5 5/ GPSS E E5 4/ H H5 5/ H H6 6/ GPSS
N 4,0928 4,0920 1,1185 1,1216 1,1232 1,1237
� p, � p
sim( )
0,0004 0,0020 0,0208 0,0058 0,0034 0,0007
�1 20 5 1 15( , ) / / /U D1 2 1 5 1 15/ ( , ) / /�
H H5 5/ GPSS E E5 5/ H H5 5/ H H6 6/ GPSS
N 4,0213 4,0249 1,6512 1,6504 1,6505 1,6510
� p, � p
sim( )
0,0008 0,0015 0,0027 0,0035 0,0034 0,0010
� �1 20 5 1 5 1 15( , ) / ( , ) / / D1 2 0 5 1 15/ ( , ) / /�
H H5 5/ GPSS E E4 2/ H H5 5/ H H6 6/ GPSS
N 4,2401 4,2388 3,3713 3,4054 3,4053 3,4061
� p, � p
sim( )
0,0006 0,0020 0,0424 0,0104 0,0104 0,0016
Âèäíî, ùî çíà÷åííÿ â³äíîñíî¿ ïîõèáêè �5 100, çíà÷íî ìåíø³ â³ä 1% äëÿ âñ³õ
ðîçïîä³ë³â, êð³ì �1 0 5( , ) ³ �2 0 5( , ) , äëÿ ÿêèõ �5 100 70, %� . Ïðè÷èíà â òîìó, ùî
äëÿ öèõ ðîçïîä³ë³â çíà÷åííÿ f100 äîñÿãຠ1038 ³ 1028 â³äïîâ³äíî, àëå öÿ îñîá-
ëèâ³ñòü íå âïëèâຠíà ìîæëèâ³ñòü îá÷èñëåííÿ ç äîñòàòíüîþ òî÷í³ñòþ ñòàö³îíàð-
íèõ õàðàêòåðèñòèê ñèñòåì îáñëóãîâóâàííÿ ç òàêèìè ðîçïîä³ëàìè.
ÎÁ×ÈÑËÅÍÍß ÑÒÀÖ²ÎÍÀÐÍÈÕ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊ
Âèâ÷èìî îñîáëèâîñò³ H k - ³ Ek -àïðîêñèìàö³¿ ç äîâ³ëüíèì òèïîì ïàðàìåòð³â íà
ïðèêëàä³ îäíîêàíàëüíèõ ñèñòåì îáñëóãîâóâàííÿ G G m/ / /1 ç îáìåæåííÿì íà
äîâæèíó ÷åðãè m �15 . ³äïîâ³äíî äî ïîçíà÷åíü, ââåäåíèõ äëÿ ðîçïîä³ë³â, ðîç-
ãëÿíåìî òàê³ ñèñòåìè:
U U1 2 1 15/ / / , U 1 2 15 1 15/ ( , ) / /� , U 1 2 0 5 1 15/ ( , ) / /� , �1 215 1 15( , ) / / /U ,
�1 20 5 1 15( , ) / / /U , � �1 215 15 1 15( , ) / ( , ) / / , � �1 215 0 5 1 15( , ) / ( , ) / / ,
� �1 20 5 15 1 15( , ) / ( , ) / / , � �1 20 5 0 5 1 15( , ) / ( , ) / / , D1 2 15 1 15/ ( , ) / /� ,
D1 2 0 5 1 15/ ( , ) / /� , �1 215 1 15( , ) / / /D , �1 20 5 1 15( , ) / / /D , D U1 2 1 15/ / / ,
U D1 2 1 15/ / / .
Ó òàáë. 1 íàâåäåíî çíà÷åííÿ ñòàö³îíàðíèõ õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìè
U U1 2 1 15/ / / , îòðèìàí³ ìåòîäîì ô³êòèâíèõ ôàç â ðåçóëüòàò³ çàñòîñóâàííÿ ð³çíèõ
âàð³àíò³â ïîºäíàíü H k - ³ Ek -àïðîêñèìàö³é äëÿ ðîçïîä³ë³â ³íòåðâàë³â ì³æ çàìîâ-
ëåííÿìè òà ÷àñó îáñëóãîâóâàííÿ. Óñ³ ö³ àïðîêñèìàö³¿ ì³ñòÿòü êîìïëåêñí³ ïàðà-
ìåòðè. Çàçíà÷èìî, ùî E3- ³ E5-àïðîêñèìàö³¿ íå ³ñíóþòü äëÿ ðîçïîä³ëó U 2 ,
îñê³ëüêè â³äïîâ³äí³ ñèñòåìè ð³âíÿíü ìåòîäó ìîìåíò³â íå ìàþòü äîñòàòíüî¿
ê³ëüêîñò³ (â³äïîâ³äíî òðè òà ï’ÿòü) ñê³í÷åííèõ ðîçâ’ÿçê³â.
Îòðèìàí³ çíà÷åííÿ òóò âåðèô³êóþòüñÿ çà äîïîìîãîþ ³ì³òàö³éíèõ ìîäåëåé
ñèñòåìè U U1 2 1 15/ / / , ïîáóäîâàíèõ øëÿõîì âèêîðèñòàííÿ ³íñòðóìåíòàëüíèõ çà-
ñîá³â GPSS World [9]. Ðåçóëüòàòè, îäåðæàí³ çà äîïîìîãîþ GPSS World, íàâ³òü
äëÿ âåëèêèõ çíà÷åíü ÷àñó ìîäåëþâàííÿ ( )t �107 íåçíà÷íî â³äð³çíÿþòüñÿ îäèí â³ä
îäíîãî äëÿ ð³çíèõ íîìåð³â á³áë³îòå÷íèõ ãåíåðàòîð³â âèïàäêîâèõ ÷èñåë, ÿê³ çàñòî-
166 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5
Ò à á ë è ö ÿ 3 . ³äíîñíà ïîõèáêà àïðîêñèìàö³¿ ìåòîäîì ìîìåíò³â äëÿ ð³çíèõ
ðîçïîä³ë³â
n
�kn (%) äëÿ U 2 �kn (%) äëÿ U 1
k � 2 k � 3 k � 4 k � 5 k � 2 k � 3 k � 4 k � 5
10 9,05 0,23 2,3 � �10 3 4,6 � �10 6 11,45 0,53 6,0 � �10 3 1,0 � �10 5
100 8,86 0,25 3,8 � �10 3 3,8 � �10 5 11,11 0,63 0,01 1,1 � �10 4
n
�kn (%) äëÿ D2 �kn (%) äëÿ D1
k � 2 k � 3 k � 4 k � 5 k � 2 k � 3 k � 4 k � 5
10 3,02 0,03 1,2 � �10 4 1,3 � �10 7 7,07 0,10 5,9 � �10 4 8,2 � �10 7
100 3,00 0,03 1,3 � �10 4 3,9 � �10 7 6,96 0,10 7,3 � �10 4 3,4 � �10 6
n
�kn (%) äëÿ �2 (1,5) �kn (%) äëÿ �2 (0,5)
k � 2 k � 3 k � 4 k � 5 k � 2 k � 3 k � 4 k � 5
10 1,78 0,04 4,8 � �10 4 1,0 � �10 6 34,22 3,60 0,12 5,1 � �10 4
100 3,27 0,17 0,01 6,7 � �10 4 100,00 99,38 90,51 69,59
n
�kn (%) äëÿ �1 (1,5) �kn (%) äëÿ �1 (0,5)
k � 2 k � 3 k � 4 k � 5 k � 2 k � 3 k � 4 k � 5
10 4,28 0,12 1,7 � �10 3 3,8 � �10 6 36,80 4,07 0,14 6,2 � �10 4
100 31,96 2,85 0,39 0,06 100,00 99,40 90,62 69,80
ñîâóþòüñÿ äëÿ ìîäåëþâàííÿ âèïàäêîâèõ âåëè÷èí — ³íòåðâàë³â ì³æ çàìîâëåííÿ-
ìè òà ÷àñó îáñëóãîâóâàííÿ. Òîìó â îñòàííüîìó ñòîâïö³ òàáë. 1 íàâåäåíî ñåðåäí³
çíà÷åííÿ êîæíî¿ õàðàêòåðèñòèêè, îòðèìàí³ çà äîïîìîãîþ äåñÿòè ³ì³òàö³éíèõ ìî-
äåëåé ç ð³çíèìè çíà÷åííÿìè íîìåð³â ãåíåðàòîð³â âèïàäêîâèõ ÷èñåë, ÿê³ íàáóâà-
þòü çíà÷åíü íàòóðàëüíèõ ÷èñåë â³ä îäèíèö³ äî äåñÿòè.
Ââåäåìî ïîçíà÷åííÿ äëÿ ñòàö³îíàðíèõ õàðàêòåðèñòèê ñèñòåì îáñëóãîâóâàí-
íÿ, ÿê³ âèêîðèñòîâóþòüñÿ â òàáë. 1 ³ 2: p j — éìîâ³ðí³ñòü íàÿâíîñò³ ó ñèñòåì³ j çà-
ìîâëåíü, N — ñåðåäíÿ ê³ëüê³ñòü çàìîâëåíü ó ñèñòåì³,
� p j j
sim
j
p p� �
�
| ~ |( )
0
16
, � �p
sim
p
sim i
i
( ) ( ( ))�
�
1
10 1
10
;
� p
sim i
j
sim i
j
sim
j
p p( ( )) ( ( )) ( )| |� �
�
0
16
, 1 10� �i ;
p p jj
sim
j
sim i
i
( ) ( ( )) ,� � �
�
1
10
0 16
1
10
.
Òóò p j
sim i( ( )) ³ ~p j — öå çíà÷åííÿ éìîâ³ðíîñòåé p j , îòðèìàí³ çà äîïîìîãîþ
³ì³òàö³éíî¿ ìîäåë³ ç âèêîðèñòàííÿì ãåíåðàòîðà âèïàäêîâèõ ÷èñåë íîìåð i òà
H k - àáî Ek -àïðîêñèìàö³é â³äïîâ³äíî, p j
sim( ) — ñåðåäíº çíà÷åííÿ éìîâ³ðíîñòåé
p j
sim i( ( )) äëÿ 1 10� �i . Îòæå, âåëè÷èíè � p ³ � p
sim i( ( )) º ì³ðàìè â³äõèëåííÿ ðîç-
ïîä³ë³â ~p j ³ p j
sim i( ( )) â³äïîâ³äíî â³ä óñåðåäíåíîãî ðîçïîä³ëó p j
sim( ) , ÿêèé ââà-
æàºìî åòàëîííèì, à � p
sim( ) — öå ñåðåäíº çíà÷åííÿ â³äõèëåíü � p
sim i( ( )) äëÿ
1 10� �i .
Ó òàáë. 1 íàéìåíøîãî çíà÷åííÿ 0,002 âåëè÷èíà � p íàáóâຠäëÿ àïðîêñè-
ìàö³é âèãëÿäó H H4 4/ ³ H H5 5/ , ïðè÷îìó â öèõ âèïàäêàõ � �p p
sim� ( ) .
Ç òî÷í³ñòþ äî10 4� , ÿêó ìè ðîçãëÿäàºìî â òàáë. 1, çíà÷åííÿ ñòàö³îíàðíèõ õàðàêòå-
ðèñòèê, îäåðæàí³ çà äîïîìîãîþ öèõ àïðîêñèìàö³é ³ GPSS World, çá³ãàþòüñÿ.
Äëÿ âñ³õ ³íøèõ ñèñòåì îáñëóãîâóâàííÿ, ÿê³ ìè ðîçãëÿäàºìî, â òàáë. 2 ïîäàíî
çíà÷åííÿ ñòàö³îíàðíî¿ õàðàêòåðèñòèêè N ³ âåëè÷èí � �p p
sim, ( ) , îòðèìàí³ ó ðå-
çóëüòàò³ âèêîðèñòàííÿ òèõ ïîºäíàíü àïðîêñèìàö³é E Ek k/ ³ H Hk k/ , äëÿ ÿêèõ
âäàºòüñÿ äîñÿãòè íàéìåíøèõ çíà÷åíü � p . Çàãàëîì ìè îáìåæóºìîñü àïðîêñè-
ìàö³ÿìè 5-ãî ïîðÿäêó, àëå äëÿ òèõ ñèñòåì, äëÿ ÿêèõ � p � 0 001, ³ � �p p
sim� ( ) (ñèñ-
òåì D U1 2 1 15/ / / , U D1 2 1 15/ / / , D1 2 15 1 15/ ( , ) / /� ³ D1 2 0 5 1 15/ ( , ) / /� , â ÿêèõ ïðè-
ñóòí³ âèðîäæåí³ ðîçïîä³ëè ç êîåô³ö³ºíòîì âàð³àö³¿ V � 0) âèêîðèñòîâóºìî òàêîæ
àïðîêñèìàö³¿ âèãëÿäó H H6 6/ . Äëÿ ñèñòåì D1 2 15 1 15/ ( , ) / /� ³ D1 2 0 5 1 15/ ( , ) / /�
çàñòîñóâàííÿ àïðîêñèìàö³é H H6 6/ íå ïðèçâîäèòü äî çìåíøåííÿ âåëè÷èíè � p
ó ïîð³âíÿíí³ ç âèïàäêîì çàñòîñóâàííÿ àïðîêñèìàö³é H H5 5/ .
Äëÿ âñ³õ ñèñòåì êð³ì D U U D D1 2 1 2 1 21 15 1 15 15 1 15/ / / , / / / , / ( , ) / /� ³
D1 2 0 5 1 15/ ( , ) / /� , âèêîíóþòüñÿ íåð³âíîñò³ � p � 0 001, ³ � �p p
sim� ( ) . Îòæå, â³äõè-
ëåííÿ ñòàö³îíàðíîãî ðîçïîä³ëó ~p j ( )0 16� �j â³ä åòàëîííîãî º ìåíøèì, í³æ ñå-
ðåäíº â³äõèëåííÿ â³ä åòàëîííîãî äëÿ ðîçïîä³ë³â p j
sim i( ( )) ( )0 16� �j äëÿ1 10� �i .
Äëÿ ñèñòåì U 1 2 15 1 15/ ( , ) / /� , � �1 215 15 1 15( , ) / ( , ) / / , � �1 20 5 15 1 15( , ) / ( , ) / / ,
D1 2 15 1 15/ ( , ) / /� , �1 215 1 15( , ) / / /D ³ �1 20 5 1 15( , ) / / /D çàñòîñóâàííÿ äåÿêèõ
ïîºäíàíü àïðîêñèìàö³é òèïó H Hk k/ (k � 5) ïðèçâîäèòü äî ïàðàäîêñàëüíèõ àáî
êîìïëåêñíèõ çíà÷åíü õàðàêòåðèñòèê, àëå â ðåçóëüòàò³ çàñòîñóâàííÿ àïðîêñèìàö³é
H H5 5/ äëÿ âñ³õ ñèñòåì îòðèìóºìî ðåàëüí³ çíà÷åííÿ ñòàö³îíàðíèõ ³ìîâ³ðíîñòåé.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 167
Äëÿ ñèñòåì òèïó Ì G/ / /1 � ç íàéïðîñò³øèì âõ³äíèì ïîòîêîì ³ñíóþòü â³äîì³
ôîðìóëè äëÿ ñòàö³îíàðíèõ çíà÷åíü ñåðåäíüî¿ äîâæèíè ÷åðãè ³ ñåðåäíüî¿ ê³ëüêîñò³ çà-
ìîâëåíü ó ñèñòåì³. Îäåðæàí³ çà äîïîìîãîþ öèõ ôîðìóë çíà÷åííÿ ìîæíà âèêîðèñòàòè
äëÿ âåðèô³êàö³¿ íàáëèæåíèõ îá÷èñëåíü. Çàñòîñóâàííÿ ìåòîäó ô³êòèâíèõ ôàç äëÿ îá-
÷èñëåííÿ ñòàö³îíàðíèõ õàðàêòåðèñòèê ñèñòåì M U/ / /2 1 �, M / ( , ) / /�2 15 1 �,
M / ( , ) / /�2 0 5 1 � ³ M D/ / /2 1 � ïîêàçàëî, ùî äîñòàòíüî âèêîðèñòàòè H 2-àïðîêñè-
ìàö³þ äëÿ äîñÿãíåííÿ âèñîêî¿ òî÷íîñò³ âèçíà÷åííÿ óñåðåäíåíî¿ õàðàêòåðèñòèêè
N , íà â³äì³íó â³ä ñèñòåì òèïó G G m/ / /1 , äëÿ ÿêèõ, ÿê ìè ç’ÿñóâàëè, ïîòð³áíî âè-
êîðèñòîâóâàòè H k -àïðîêñèìàö³¿ ÿê ì³í³ìóì ï’ÿòîãî àáî øîñòîãî ïîðÿäêó.
ÂÈÑÍÎÂÊÈ
Çàñòîñóâàííÿ ã³ïåðåêñïîíåíö³àëüíî¿ àïðîêñèìàö³¿, à â îêðåìèõ âèïàäêàõ ³ àï-
ðîêñèìàö³¿ çà äîïîìîãîþ óçàãàëüíåíîãî çàêîíó Åðëàíãà, äຠçìîãó ç âèñîêîþ
òî÷í³ñòþ âèçíà÷àòè ñòàö³îíàðí³ õàðàêòåðèñòèêè íåìàðêîâñüêèõ ñèñòåì îáñëóãî-
âóâàííÿ ç äîâ³ëüíèìè êîåô³ö³ºíòàìè âàð³àö³¿ ÷àñó îáñëóãîâóâàííÿ òà ³íòåðâàë³â
ì³æ çàìîâëåííÿìè âõ³äíîãî ïîòîêó. Çà óìîâè çàñòîñóâàííÿ H k -àïðîêñèìàö³¿ ïî-
ðÿäêó k � 5 , à â á³ëüøîñò³ âèïàäê³â ³ H k - òà Ek -àïðîêñèìàö³é íèæ÷èõ ïîðÿäê³â,
êîìïëåêñí³ ³ ïàðàäîêñàëüí³ çíà÷åííÿ ïàðàìåòð³â ðîçïîä³ë³â H k òà Ek íå âïëè-
âàþòü íà ê³íöåâèé ðåçóëüòàò, îñê³ëüêè ï³ä ÷àñ ï³äñóìîâóâàííÿ éìîâ³ðíîñòåé
ì³êðîñòàí³â ùàáë³â ä³àãðàìè àïðîêñèìóâàëüíî¿ ñèñòåìè ¿õí³ êîìïëåêñí³ ³ ïàðà-
äîêñàëüí³ ÷àñòèíè àí³ã³ëþþòüñÿ. Äëÿ ïåðåâ³ðêè äîñòîâ³ðíîñò³ îòðèìàíîãî â ðå-
çóëüòàò³ çàñòîñóâàííÿ àïðîêñèìàö³¿ ñòàö³îíàðíîãî ðîçïîä³ëó ê³ëüêîñò³ çàìîâëåíü
ó ñèñòåì³ ïîòð³áíî éîãî ç³ñòàâèòè ç ðåçóëüòàòàìè, îäåðæàíèìè àëüòåðíàòèâíèìè
ìåòîäàìè, çîêðåìà çà äîïîìîãîþ ³ì³òàö³éíîãî ìîäåëþâàííÿ. Ó á³ëüøîñò³ âè-
ïàäê³â (êð³ì ñèñòåì ç âèðîäæåíèìè ðîçïîä³ëàìè) º ï³äñòàâè ââàæàòè íàáëèæåí³
ðåçóëüòàòè, îäåðæàí³ øëÿõîì çàñòîñóâàííÿ H k -àïðîêñèìàö³¿, á³ëüø òî÷íèìè,
í³æ ðåçóëüòàòè çàñòîñóâàííÿ îêðåìî¿ ³ì³òàö³éíî¿ ìîäåë³ ç êîíêðåòíèìè çíà÷åí-
íÿìè íîìåð³â ãåíåðàòîð³â âèïàäêîâèõ ÷èñåë.
Îñê³ëüêè áóäü-ÿêèé ðîçïîä³ë Ek ìîæíà çîáðàçèòè ÿê ðîçïîä³ë H k ç ïñåâäîé-
ìîâ³ðíîñòÿìè ³ òèìè ñàìèìè ïàðàìåòðàìè-³íòåíñèâíîñòÿìè, âèçíà÷åííÿ
ñòàö³îíàðíèõ õàðàêòåðèñòèê ñèñòåì îáñëóãîâóâàííÿ òèï³â E E n mr s/ / / ,
G E n ms/ / / ³ E G n mr / / / ìîæíà çâåñòè äî ðîçãëÿäó ñèñòåì H H n mr s/ / / ,
G H n ms/ / / ³ H G n mr / / / â³äïîâ³äíî.
ÑÏÈÑÎÊ Ë²ÒÅÐÀÒÓÐÈ
1. Neuts M.F. Matrix-geometric solutions in stochastic models. Baltimore: The John’s Hopkins University
Press, 1981. 390 p.
2. Ðûæèêîâ Þ.È., Óëàíîâ À.Â. Ïðèìåíåíèå ãèïåðýêñïîíåíöèàëüíîé àïïðîêñèìàöèè â çàäà÷àõ ðàñ÷åòà
íåìàðêîâñêèõ ñèñòåì ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ. Âåñòíèê Òîìñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà.
Óïðàâëåíèå, âû÷èñëèòåëüíàÿ òåõíèêà è èíôîðìàòèêà. 2016. ¹ 3 (36). Ñ. 60–65.
3. Ðûæèêîâ Þ.È., Óëàíîâ À.Â. Ïðèìåíåíèå ãèïåðýêñïîíåíöèàëüíîé àïïðîêñèìàöèè â çàäà÷àõ ñóììè-
ðîâàíèÿ ïîòîêîâ. Èíòåëëåêòóàëüíûå òåõíîëîãèè íà òðàíñïîðòå. 2015. ¹ 4. Ñ. 34–39.
4. Ðûæèêîâ Þ.È., Óëàíîâ À.Â. Ðàñ÷åò ãèïåðýêñïîíåíöèàëüíîé ñèñòåìû M H n H/ /2 2� c çàÿâêàìè, íå-
òåðïåëèâûìè â î÷åðåäè. Âåñòíèê Òîìñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà. Óïðàâëåíèå, âû÷èñëè-
òåëüíàÿ òåõíèêà è èíôîðìàòèêà. 2014. ¹ 2 (27). Ñ. 47–53.
5. Öèöèàøâèëè Ã.Ø. Ñèíåðãåòè÷åñêèé ýôôåêò â ñåòè ñ ãèïåðýêñïîíåíöèàëüíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè âðå-
ìåí îáñëóæèâàíèÿ. Âåñòíèê Òîìñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà. Óïðàâëåíèå, âû÷èñëèòåëü-
íàÿ òåõíèêà è èíôîðìàòèêà. 2016. ¹ 1 (34). C. 65–68.
6. Íàçàðîâ À.À., Áðîíåð Â.È. Ñèñòåìà óïðàâëåíèÿ çàïàñàìè ñ ãèïåðýêñïîíåíöèàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì
îáúåìîâ ïîòðåáëåíèÿ ðåñóðñîâ. Âåñòíèê Òîìñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà. Óïðàâëåíèå, âû-
÷èñëèòåëüíàÿ òåõíèêà è èíôîðìàòèêà. 2016. ¹ 1(34). Ñ. 43–49.
7. Cox D.R. A use of complex probabilities in the theory of stochastic process. Proc. of the Cambridge Phil.
Soc. 1955. P. 313–323.
168 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5
8. Bidabad B., Bidabad B. Complex probability and Markov stochastic process. Proc. of the First Iranian
Statistics Conference (Isfahan University of Technology, 1992). Isfahan, 1992. P. 1–8.
9. Zhernovyi Yu. Creating models of queueing systems using GPSS World: Programs, detailed explanations
and analysis of results. Saarbr��ucken: LAP Lambert Academic Publishing, 2015. 220 p.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 05.09.2017
Þ.Â. Æåðíîâûé
ÐÀÑ×ÅÒ ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÕ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊ ÎÄÍÎÊÀÍÀËÜÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ
ÎÁÑËÓÆÈÂÀÍÈß Ñ ÈÑÏÎËÜÇÎÂÀÍÈÅÌ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈÉ ÔÀÇÎÂÎÃÎ ÒÈÏÀ
Àííîòàöèÿ. Îñóùåñòâëåí àíàëèç ðåçóëüòàòîâ ïðèìåíåíèÿ ãèïåðýêñïîíåíöè-
àëüíîé è ýðëàíãîâîé àïïðîêñèìàöèé ñ ïàðàìåòðàìè ïàðàäîêñàëüíîãî è êîì-
ïëåêñíîãî òèïà äëÿ ðàñ÷åòà ìåòîäîì ôèêòèâíûõ ôàç ñòàöèîíàðíûõ õàðàêòå-
ðèñòèê ñèñòåì îáñëóæèâàíèÿ òèïà G/G/1/m. Ðåçóëüòàòû âåðèôèöèðîâàíû
ñ ïîìîùüþ èìèòàöèîííûõ ìîäåëåé.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: íåìàðêîâñêàÿ ñèñòåìà îáñëóæèâàíèÿ, ãèïåðýêñïîíåíöè-
àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, îáîáùåííîå ðàñïðåäåëåíèå Ýðëàíãà, êîìïëåêñíûå è
ïàðàäîêñàëüíûå ïàðàìåòðû ðàñïðåäåëåíèÿ, àïïðîêñèìàöèÿ.
Yu.V. Zhernovyi
CALCULATION OF STEADY-STATE CHARACTERISTICS OF SINGLE-CHANNEL
QUEUEING SYSTEMS USING PHASE-TYPE DISTRIBUTIONS
Abstract. The paper analyzes the results of application of hyper-exponential and
Erlang approximations with parameters of paradoxical and complex type for
calculating the steady-state characteristics of G/G/1/m queueing systems by the
fictitious phase method. The results are verified using simulation models.
Keywords: non-Markovian queueing system, hyper-exponential distribution,
generalized Erlang distribution, complex and paradoxical parameters of
distribution, approximation.
Æåðíîâèé Þð³é Âàñèëüîâè÷,
êàíäèäàò ô³ç.-ìàò. íàóê, äîöåíò êàôåäðè Ëüâ³âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ ²âàíà Ôðàíêà,
e-mail: yu.zhernovyi@lnu.edu.ua.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 169
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-161439 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1019-5262 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-02T03:32:43Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Жерновий, Ю.В. 2019-12-08T17:56:35Z 2019-12-08T17:56:35Z 2018 Обчислення стаціонарних характеристик одноканальних систем обслуговування з використанням розподілів фазового тип / Ю.В. Жерновий // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 5. — С. 160-169. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/161439 519.21 Здійснено аналіз результатів застосування гіперекспоненціальної і ерлангівської апроксимацій з параметрами парадоксального і комплексного типу для обчислення методом фіктивних фаз стаціонарних характеристик систем обслуговування типу G / G / m / 1. Результати верифіковано за допомогою імітаційних моделей. Осуществлен анализ результатов применения гиперэкспоненциальной и эрланговой аппроксимаций с параметрами парадоксального и комплексного типа для расчета методом фиктивных фаз стационарных характеристик систем обслуживания типа G / G / m / 1. Результаты верифицированы с помощью имитационных моделей. The paper analyzes the results of application of hyper-exponential and Erlang approximations with parameters of paradoxical and complex type for calculating the steady-state characteristics of G / G / m / 1 queueing systems by the fictitious phase method. The results are verified using simulation models. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системний аналіз Обчислення стаціонарних характеристик одноканальних систем обслуговування з використанням розподілів фазового типу Расчет стационарных характеристик одноканальных систем обслуживания с использованием распределений фазового типа Calculation of steady-state characteristics of single-channel queueing systems using phase-type distributions Article published earlier |
| spellingShingle | Обчислення стаціонарних характеристик одноканальних систем обслуговування з використанням розподілів фазового типу Жерновий, Ю.В. Системний аналіз |
| title | Обчислення стаціонарних характеристик одноканальних систем обслуговування з використанням розподілів фазового типу |
| title_alt | Расчет стационарных характеристик одноканальных систем обслуживания с использованием распределений фазового типа Calculation of steady-state characteristics of single-channel queueing systems using phase-type distributions |
| title_full | Обчислення стаціонарних характеристик одноканальних систем обслуговування з використанням розподілів фазового типу |
| title_fullStr | Обчислення стаціонарних характеристик одноканальних систем обслуговування з використанням розподілів фазового типу |
| title_full_unstemmed | Обчислення стаціонарних характеристик одноканальних систем обслуговування з використанням розподілів фазового типу |
| title_short | Обчислення стаціонарних характеристик одноканальних систем обслуговування з використанням розподілів фазового типу |
| title_sort | обчислення стаціонарних характеристик одноканальних систем обслуговування з використанням розподілів фазового типу |
| topic | Системний аналіз |
| topic_facet | Системний аналіз |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/161439 |
| work_keys_str_mv | AT žernoviiûv občislennâstacíonarnihharakteristikodnokanalʹnihsistemobslugovuvannâzvikoristannâmrozpodílívfazovogotipu AT žernoviiûv rasčetstacionarnyhharakteristikodnokanalʹnyhsistemobsluživaniâsispolʹzovaniemraspredeleniifazovogotipa AT žernoviiûv calculationofsteadystatecharacteristicsofsinglechannelqueueingsystemsusingphasetypedistributions |