Марковские модели систем с двумя типами заявок и различными политиками пополнения запасов
Предложены марковские модели систем обслуживания–запасания с двумя типами заявок, в которых используются две политики пополнения запасов: в одной политике объем поставляемых запасов является постоянной величиной, а в другой политике — переменной. Для доступа заявок высокого приоритета нет ограничени...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Datum: | 2018 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2018
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/161449 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Марковские модели систем с двумя типами заявок и различными политиками пополнения запасов / А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко, И.А. Алиев // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 6. — С. 56-74. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859583774110515200 |
|---|---|
| author | Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Алиев, И.А. |
| author_facet | Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Алиев, И.А. |
| citation_txt | Марковские модели систем с двумя типами заявок и различными политиками пополнения запасов / А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко, И.А. Алиев // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 6. — С. 56-74. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Предложены марковские модели систем обслуживания–запасания с двумя типами заявок, в которых используются две политики пополнения запасов: в одной политике объем поставляемых запасов является постоянной величиной, а в другой политике — переменной. Для доступа заявок высокого приоритета нет ограничений, заявки низкого приоритета принимаются лишь тогда, когда суммарное число заявок в системе меньше заданного порогового значения. Разработаны методы расчета характеристик изучаемых систем и решены задачи их оптимизации. Приведены результаты численных экспериментов.
Запропоновано марковські моделі систем обслуговування–запасання з двома типами вимог, в яких використовуються дві політики поповнення запасів: в одній політиці обсяг отримуваних запасів є постійною величиною, а в іншій політиці — змінною. Для доступу вимог високого пріоритету немає обмежень, вимоги нижчого пріоритету виконуються лише тоді, коли сумарна кількість вимог у системі є меншою від заданого порогового значення. Розроблено методи обчислення характеристик досліджуваних систем і розв’язано задачі їхньої оптимізації. Наведено результати числових експериментів.
Markov models of queuing-inventory systems with two types of customers are proposed. In these systems, two kinds of replenishment policies are used: policies with fixed and variable size of order. High-priority customers have no access constraints while low-priority customers are accepted if the total number of customers in the system is less than a given threshold. Methods are developed to calculate performance measures of the systems under study and problems of their optimization are solved. Results of the numerical experiments are shown
|
| first_indexed | 2025-11-27T08:44:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
À.Ç. ÌÅËÈÊÎÂ, Ë.À. ÏÎÍÎÌÀÐÅÍÊÎ, È.À. ÀËÈÅÂ
ÓÄÊ 519.21:658.7 ÌÀÐÊÎÂÑÊÈÅ ÌÎÄÅËÈ ÑÈÑÒÅÌ Ñ ÄÂÓÌß
ÒÈÏÀÌÈ ÇÀßÂÎÊ È ÐÀÇËÈ×ÍÛÌÈ
ÏÎËÈÒÈÊÀÌÈ ÏÎÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÏÀÑÎÂ
Àííîòàöèÿ. Ïðåäëîæåíû ìàðêîâñêèå ìîäåëè ñèñòåì îáñëóæèâàíèÿ–çàïàñà-
íèÿ ñ äâóìÿ òèïàìè çàÿâîê, â êîòîðûõ èñïîëüçóþòñÿ äâå ïîëèòèêè ïîïîëíå-
íèÿ çàïàñîâ: â îäíîé ïîëèòèêå îáúåì ïîñòàâëÿåìûõ çàïàñîâ ÿâëÿåòñÿ ïîñòî-
ÿííîé âåëè÷èíîé, à â äðóãîé ïîëèòèêå — ïåðåìåííîé. Äëÿ äîñòóïà çàÿâîê
âûñîêîãî ïðèîðèòåòà íåò îãðàíè÷åíèé, çàÿâêè íèçêîãî ïðèîðèòåòà ïðèíèìà-
þòñÿ ëèøü òîãäà, êîãäà ñóììàðíîå ÷èñëî çàÿâîê â ñèñòåìå ìåíüøå çàäàííî-
ãî ïîðîãîâîãî çíà÷åíèÿ. Ðàçðàáîòàíû ìåòîäû ðàñ÷åòà õàðàêòåðèñòèê èçó÷àå-
ìûõ ñèñòåì è ðåøåíû çàäà÷è èõ îïòèìèçàöèè. Ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ÷èñ-
ëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñèñòåìà îáñëóæèâàíèÿ–çàïàñàíèÿ, ïîëèòèêà ïîïîëíåíèÿ
çàïàñîâ, ðàçíîòèïíûå çàÿâêè, ìåòîä ðàñ÷åòà, îïòèìèçàöèÿ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ñèñòåìû çàïàñàíèÿ ñ ñåðâåðîì, â êîòîðûõ çàÿâêè äëÿ ïðèîáðåòåíèÿ çàïàñîâ ïî-
ñòóïàþò â ñëó÷àéíûå ìîìåíòû âðåìåíè, íàçûâàþòñÿ ñèñòåìàìè îáñëóæèâà-
íèÿ–çàïàñàíèÿ (Queuing-Inventory Systems, QIS). Âïåðâûå òåðìèí QIS èñïîëüçî-
âàí â ðàáîòå [1], õîòÿ îñíîâû èññëåäîâàíèé ïîäîáíûõ ñèñòåì çàëîæåíû ðàíåå
â ðàáîòàõ [2–4]. Îáçîð ïóáëèêàöèé, ïîñâÿùåííûõ ðàçëè÷íûì àñïåêòàì èçó÷åíèÿ
òàêèõ ñèñòåì, ïðèâåäåí â [5].
 ïîñëåäíèå ãîäû ýòè ñèñòåìû èíòåíñèâíî èññëåäóþòñÿ.  áîëüøèíñòâå ðàáîò
àâòîðû ñ÷èòàþò, ÷òî çàÿâêè èäåíòè÷íû ïî âñåì ïîêàçàòåëÿì: ðàçìåðó (ò.å. îáúåìó
òðåáóåìûõ èìè çàïàñîâ), âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ, âàæíîñòè è ò.ä. Îäíàêî íà ïðàêòè-
êå ïîñòàâùèêè òîâàðîâ ðàçëè÷àþò ñâîèõ êëèåíòîâ. Òàê, íàïðèìåð, êëèåíòû ìîãóò
èìåòü ðàçëè÷íûå ðàçìåðû, áûòü ïîñòîÿííûìè è ýïèçîäè÷åñêèìè, íåêîòîðûå èç íèõ
ìîãóò ïëàòèòü çà îäèí è òîò æå òîâàð áîëüøå, ÷åì äðóãèå êëèåíòû, è ò.ä.  òàêèõ
ñëó÷àÿõ ïîñòàâùèêè òîâàðîâ äëÿ ïîîùðåíèÿ âûãîäíûõ êëèåíòîâ èñïîëüçóþò ðàç-
ëè÷íûå ñõåìû äëÿ èõ ïðèîðèòåòíîãî îáñëóæèâàíèÿ.
Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî QIS ñ ðàçíîòèïíûìè çàÿâêàìè ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ, îíè
ìàëî èçó÷åíû. Òàê, â ðàáîòàõ [6–11] èññëåäîâàíû ìîäåëè QIS ñ ìãíîâåííûì îá-
ñëóæèâàíèåì è äâóìÿ òèïàìè çàÿâîê ïðè èñïîëüçîâàíèè ( , )S S�1 -ïîëèòèêè ïî-
ïîëíåíèÿ çàïàñîâ (ÏÏÇ). Ïîäîáíûå ìîäåëè ïðè èñïîëüçîâàíèè ( , )s S -ïîëèòèêè
èçó÷åíû â [12, 13].  ðàáîòå [14] èññëåäîâàíà ìîäåëü QIS ñ äâóìÿ òèïàìè çàÿâîê
è ( , )s S -ïîëèòèêîé, â êîòîðîé çàÿâêè íèçêîãî ïðèîðèòåòà óõîäÿò â îðáèòó áåñêî-
íå÷íîãî ðàçìåðà, åñëè â ìîìåíòû èõ ïîñòóïëåíèÿ óðîâåíü çàïàñîâ ñèñòåìû ìåíü-
øå s; çàÿâêè âûñîêîãî ïðèîðèòåòà ïðèíèìàþòñÿ, åñëè óðîâåíü çàïàñîâ ñèñòåìû
áîëüøå íóëÿ. (Ññûëêè íà ïóáëèêàöèè ýòîãî íàïðàâëåíèÿ èìåþòñÿ â ñïèñêàõ ëèòå-
ðàòóðû óêàçàííûõ ðàáîò). Ìîäåëü QIS ñ ðàçíîòèïíûìè çàÿâêàìè è ïîëîæèòåëü-
íûì âðåìåíåì îáñëóæèâàíèÿ èññëåäîâàíà â [15]. Â ñèñòåìå îáñëóæèâàåòñÿ K � 2
òèïîâ ïóàññîíîâñêèõ ïîòîêîâ çàÿâîê, è çàÿâêà i-ãî òèïà ñ âåðîÿòíîñòüþ � i ïîòðå-
56 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 6
© À.Ç. Ìåëèêîâ, Ë.À. Ïîíîìàðåíêî, È.À. Àëèåâ, 2018
áóåò çàïàñ ðàçìåðà bi , 1� �b Si , ãäå S — ìàêñèìàëüíûé ðàçìåð ñêëàäà ñèñòåìû,
ïðè ýòîì � � �1 2 1� � � �� K .  [15] ðàññìîòðåíà ðàíäîìèçèðîâàííàÿ ÏÏÇ è çàäà-
÷à íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíûõ ðàçìåðîâ çàêàçîâ ñôîðìóëèðîâàíà êàê çàäà÷à ìàðêîâ-
ñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Êðèòåðèåì çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ ìèíèìèçàöèÿ ñóììàðíûõ
óáûòêîâ, ñâÿçàííûõ ñ îæèäàíèåì çàÿâîê â î÷åðåäè, èõ ïîòåðÿìè, äîñòàâêîé è õðà-
íåíèåì çàïàñîâ. Ïðåäëîæåíû ìåòîäû ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è.
Àíàëèç óïîìÿíóòûõ ðàáîò ïîêàçàë, ÷òî â íèõ äèôôåðåíöèàöèÿ çàÿâîê îñó-
ùåñòâëÿåòñÿ ëèáî ñ ïîìîùüþ ââåäåíèÿ êðèòè÷åñêîãî óðîâíÿ çàïàñîâ [6–14],
ëèáî ïî èõ ðàçìåðó [15]. Â íàñòîÿùåé ñòàòüå ïðåäëîæåíà äðóãàÿ ñõåìà äèôôå-
ðåíöèàöèè: çàÿâêè âûñîêîãî ïðèîðèòåòà ïðèíèìàþòñÿ ïðè íàëè÷èè õîòÿ áû îä-
íîãî ñâîáîäíîãî ìåñòà â áóôåðå, à çàÿâêè íèçêîãî ïðèîðèòåòà — ëèøü òîãäà,
êîãäà îáùàÿ äëèíà î÷åðåäè çàÿâîê ìåíüøå çàäàííîãî ïîðîãîâîãî çíà÷åíèÿ. Ðàç-
ðàáîòàíû ìåòîäû ðàñ÷åòà è îïòèìèçàöèè õàðàêòåðèñòèê ýòèõ ñèñòåì ïðè èñïîëü-
çîâàíèè ïðåäëîæåííîé ñõåìû äèôôåðåíöèàöèè çàÿâîê. Èññëåäîâàíû ìîäåëè
äâóõ òèïîâ: â îäíîé èç íèõ èñïîëüçîâàíà ïîëèòèêà ïîñòîÿííîãî îáúåìà çàïàñîâ
(Fixed Order Size, FOS), à â äðóãîé — ïîëèòèêà ïåðåìåííîãî îáúåìà çàïàñîâ
(Variable Order Size, VOS) [16, 17].
ÎÏÈÑÀÍÈÅ ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÎÄÅËÅÉ È ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ñêëàä èçó÷àåìîé ñèñòåìû èìååò îãðàíè÷åííûé ðàçìåð S S, � � , è îíà îáñëóæè-
âàåò ïóàññîíîâñêèå ïîòîêè çàÿâîê äâóõ òèïîâ: èíòåíñèâíîñòü ïîòîêà çàÿâîê ïåð-
âîãî òèïà (îáû÷íûõ) ðàâíà �1, à âòîðîãî òèïà (ïðèîðèòåòíûõ) — � 2 . Ïîñëå îá-
ñëóæèâàíèÿ çàÿâêè ëþáîãî òèïà îíà ñ âåðîÿòíîñòüþ �1 0 íå ïîëó÷àåò çàïàñà
è ñ äîïîëíèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ � �2 11� � ïîëó÷àåò åãî. Åñëè çàÿâêà ëþáîãî
òèïà ïîëó÷àåò çàïàñ, òî óðîâåíü çàïàñîâ ñèñòåìû óìåíüøàåòñÿ íà åäèíèöó,
ò.å. ðàçìåðû çàÿâîê èäåíòè÷íû.
Âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ çàÿâîê îáîèõ òèïîâ çàâèñèò îò òîãî, ïîëó÷èëà ëè îíà
çàïàñ; â îáîèõ ñëó÷àÿõ ýòà âåëè÷èíà èìååò ïîêàçàòåëüíóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëå-
íèÿ (ô.ð.), ïðè ýòîì åñëè çàÿâêà íå ïîëó÷èëà çàïàñà, òî ñðåäíåå çíà÷åíèå âðåìåíè
îáñëóæèâàíèÿ ðàâíî �
1
1� , â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îíî ðàâíî �
2
1� (â ðåàëüíûõ ñèñòå-
ìàõ èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå � �1 2 , òàê êàê â ñëó÷àå ïðèîáðåòåíèÿ çàïàñà
âûïîëíÿþòñÿ îïðåäåëåííûå ïðîöåäóðû åãî îôîðìëåíèÿ).
Ðàññìàòðèâàþòñÿ ìîäåëè QIS ñ êîíå÷íîé è áåñêîíå÷íîé îáùåé î÷åðåäüþ ðàç-
íîòèïíûõ çàÿâîê.  ñëó÷àå êîíå÷íîé î÷åðåäè çàÿâêè îáîèõ òèïîâ îæèäàþò â î÷å-
ðåäè ìàêñèìàëüíîé äëèíû N N, � � .  îáîèõ ñëó÷àÿõ ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî åñëè
â ìîìåíò ïîñòóïëåíèÿ çàÿâêè óðîâåíü çàïàñîâ ïîëîæèòåëüíûé, òî çàÿâêà ïåðâîãî
òèïà ïðèíèìàåòñÿ ëèøü òîãäà, êîãäà â ìîìåíò åå ïîñòóïëåíèÿ ñóììàðíàÿ äëèíà
î÷åðåäè ìåíüøå çàäàííîãî ïîðîãîâîãî çíà÷åíèÿ r, 1 1� � �r N .  ìîäåëè ñ áåñêî-
íå÷íîé î÷åðåäüþ çàÿâêè âòîðîãî òèïà íå òåðÿþòñÿ, à â ìîäåëè ñ êîíå÷íîé î÷å-
ðåäüþ îíè òåðÿþòñÿ ëèøü òîãäà, êîãäà î÷åðåäü ïîëíîñòüþ çàïîëíåíà.
Åñëè â ìîìåíò ïîñòóïëåíèÿ çàÿâêè ëþáîãî òèïà óðîâåíü çàïàñîâ ðàâåí
íóëþ, òî îíà ñ âåðîÿòíîñòüþ �1 ïðèñîåäèíÿåòñÿ ê î÷åðåäè, à ñ äîïîëíèòåëüíîé
âåðîÿòíîñòüþ � �2 11� � îíà óõîäèò èç ñèñòåìû íåîáñëóæåííîé. Çàÿâêè îáîèõ
òèïîâ ÿâëÿþòñÿ íåòåðïåëèâûìè, åñëè âî âðåìÿ èõ îæèäàíèÿ â î÷åðåäè óðîâåíü
çàïàñîâ ñèñòåìû îïóñêàåòñÿ äî íóëåâîãî çíà÷åíèÿ, ò.å. â ýòîì ñëó÷àå çàÿâêà êàæ-
äîãî òèïà óõîäèò èç ñèñòåìû ïîñëå ñëó÷àéíîãî âðåìåíè, êîòîðîå èìååò
ïîêàçàòåëüíóþ ô.ð. ñ ïàðàìåòðîì � 0.
 êà÷åñòâå FOS èñïîëüçóåòñÿ èçâåñòíàÿ ( , )s S -ïîëèòèêà, à â êà÷åñòâå VOS —
ïîëèòèêà ïîïîëíåíèÿ çàïàñîâ äî S (up to S). Ïðè ( , )s S -ïîëèòèêå çàêàç äëÿ ïî-
ñòàâêè çàïàñîâ äåëàåòñÿ òîãäà, êîãäà èõ óðîâåíü îïóñêàåòñÿ äî âåëè÷èíû s,
s S� / 2, ïðè ýòîì îáúåì çàêàçà ðàâåí S s� . Äðóãàÿ ïîëèòèêà îïðåäåëÿåòñÿ òàê:
êîãäà óðîâåíü çàïàñîâ îïóñêàåòñÿ äî âåëè÷èíû m, m s� , äåëàåòñÿ çàêàç òàêîãî
îáúåìà, ÷òîáû ïîëíîñòüþ çàïîëíèòü ñêëàä ñèñòåìû, ò.å. âåëè÷èíà çàêàçûâàåìîãî
çàïàñà ðàâíà S m� . Ýòó ïîëèòèêó îáîçíà÷èì ( , )m S m� .
 îáåèõ ïîëèòèêàõ çàêàçû âûïîëíÿþòñÿ ñ íåêîòîðûìè ñëó÷àéíûìè çàäåðæ-
êàìè, êîòîðûå èìåþò ïîêàçàòåëüíóþ ô.ð. ñ ïàðàìåòðîì � 0.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 6 57
Çàäà÷à ñîñòîèò â íàõîæäåíèè ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ óðîâíÿ çàïàñîâ
ñèñòåìû è ÷èñëà çàÿâîê â íåé, òðåáóåòñÿ òàêæå íàéòè óñðåäíåííûå õàðàêòå-
ðèñòèêè ñèñòåìû: S a — ñðåäíèé óðîâåíü çàïàñîâ, RR — ñðåäíþþ èíòåíñèâ-
íîñòü çàêàçîâ, Va — ñðåäíèé îáúåì çàêàçîâ ïðè èñïîëüçîâàíèè ( , )m S m� -ïîëè-
òèêè è PB1, PB2 — âåðîÿòíîñòè ïîòåðè çàÿâîê êàæäîãî òèïà. Êðîìå òîãî, òðåáó-
åòñÿ ðåøèòü çàäà÷ó ìàêñèìèçàöèè ïðèáûëè ñèñòåìû.
ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÎÄÅËÅÉ ÈÇÓ×ÀÅÌÛÕ ÑÈÑÒÅÌ
Ïðè èñïîëüçîâàíèè îáåèõ ÏÏÇ ðàáîòà ñèñòåìû ñ êîíå÷íîé î÷åðåäüþ îïèñûâà-
åòñÿ äâóìåðíîé öåïüþ Ìàðêîâà (Two Dimensional Markov Chain, 2D MC) ñ ñî-
ñòîÿíèÿìè âèäà ( , )m n , ãäå m — óðîâåíü çàïàñîâ ñèñòåìû, n — îáùåå ÷èñëî
çàÿâîê â ñèñòåìå. Ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé (ÏÑ) îïðåäåëÿåòñÿ òàê:
E m n m S n N� � �{ }( , ): , ; ,0 0 . (1)
Èíòåíñèâíîñòü ïåðåõîäà îò ñîñòîÿíèÿ ( , )m n â ñîñòîÿíèå ( , )
m n îáîçíà÷àåò-
ñÿ q m n m n(( , ), ( , ))
. Ñîâîêóïíîñòü ýòèõ âåëè÷èí ñîñòàâëÿåò ïðîèçâîäÿùóþ ìàò-
ðèöó (ÏÌ) äàííîé öåïè. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ïîñòðîåíèÿ ÏÌ ïðè èñïîëüçîâàíèè
êàæäîé ïîëèòèêè.
Àíàëèçèðóÿ ìåõàíèçìû ïðèíÿòèÿ çàÿâîê, à òàêæå ñõåìó èõ îáñëóæèâàíèÿ
è ïîâåäåíèÿ â î÷åðåäè ïðè îòñóòñòâèè çàïàñîâ, ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè
( , )s S -ïîëèòèêè ïîëîæèòåëüíûå ýëåìåíòû ÏÌ äàííîé 2D MC îïðåäåëÿþòñÿ èç
ñëåäóþùèõ ñîîòíîøåíèé (ðèñ. 1):
q m n m n
m n r m m n n
(( , ), ( , ))
, , , , ,
,
�
�
�
� ��
�
åñëè
åñëè
0 1
2 m n r m m n n
m m n n
�
�
� �
�
�
� �
0 1
0 11
1 1
, , , ,
, , ,
,
��
� �
åñëè
åñëè
åñëè
åñë
m m m n n
m m m n n
n
�
� �
� �
� �
0 1
0 1 12 2
, , ,
, , , ,
,
� �
� è
åñëè
� �
� �
�
� � �
�
�
�
�
m m n n
m s m m S s n n
0 1, ,
, , , .�
(2)
Çäåñü è äàëåå � � �� �1 2 .
Èç ñîîòíîøåíèé (2) ïîëó÷àåì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ 2D MC ïðåäñòàâëÿåò ñî-
áîé êâàçèïðîöåññ ðàçìíîæåíèÿ–ãèáåëè ñ çàâèñÿùèìè îò óðîâíÿ çàïàñîâ èíòåí-
ñèâíîñòÿìè ïåðåõîäîâ (Level Dependent Quasi Birth Death, LDQBD) [18, 19].
Ïðè èñïîëüçîâàíèè ( , )m S m� -ïîëèòèêè ðàáîòà ñèñòåìû òàêæå îïèñûâàåòñÿ
2D MC â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé (1) è ýëåìåíòû åå ÏÌ îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷-
íî (2). Îäíàêî â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (2) â ïîñëåäíåé ñòðîêå íåîáõîäèìî ó÷è-
òûâàòü, ÷òî ïðè m s� ñ èíòåíñèâíîñòüþ � îñóùåñòâëÿåòñÿ ïåðåõîä èç ñîñòîÿíèÿ
( , )m n â ñîñòîÿíèå ( , )S n .
Èç ñîîòíîøåíèé (2) ïîëó÷àåì, ÷òî ñîñòîÿíèÿ èçó÷àåìîé êîíå÷íîìåðíîé
öåïè ñîîáùàþòñÿ îäèí ñ äðóãèì, ò.å. â íåé ñóùåñòâóåò ñòàöèîíàðíûé ðåæèì.
Ñòàöèîíàðíàÿ âåðîÿòíîñòü ñîñòîÿíèÿ ( , )m n E� îáîçíà÷àåòñÿ p m n( , ). Ýòè âåðî-
ÿòíîñòè óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìó óðàâíåíèé ðàâíîâåñèÿ (ÑÓÐ) ðàçìåðíîñòè
( )( )S N� �1 1 , êîòîðàÿ ñîñòàâëÿåòñÿ íà îñíîâå (2) (ââèäó î÷åâèäíîñòè ñîñòàâëåíèÿ
ÿâíûé âèä ýòîé ÑÓÐ íå ïðèâåäåí).
Íàõîæäåíèå âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü óñðåäíåííûå õà-
ðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû. Íà îñíîâå àíàëèçà ðàáîòû ñèñòåìû ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî
ïðè èñïîëüçîâàíèè îáåèõ ÏÏÇ èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:
S m p m na
n
N
m
S
�
��
�� ( , )
01
; (3)
RR p s n
n
N
� �
�
�� �2 2
1
1( , ); (4)
58 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 6
PB p m n p n
n
nn r
N
m
S
n
N
1
1
1
11
0� �
��� �
�� �( , ) ( , )�
�
�� �
; (5)
PB p m N p n
n
nm
S
n
N
2
0
2
11
0� �
�� �
� �( , ) ( , )�
�
�� �
. (6)
 ôîðìóëàõ (5), (6) è äàëåå ïàðàìåòðû �
1 1 1 2� �/ ( ) è � �2 11� � îöåíè-
âàþò âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ñîñòîÿíèÿõ òèïà ( , )m n , n 0, ñëó÷àéíî âûáðàííàÿ
çàÿâêà ÿâëÿåòñÿ çàÿâêîé ïåðâîãî è âòîðîãî òèïà ñîîòâåòñòâåííî,
1 è
2 îáîçíà-
÷àþò èíòåíñèâíîñòè ïðèíÿòûõ â ñèñòåìó çàÿâîê ïåðâîãî è âòîðîãî òèïà ñîîòâåò-
ñòâåííî.  ÷àñòíîñòè, âåëè÷èíû �1 è �2 îöåíèâàþò âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî çàÿâêà,
ïîêèäàþùàÿ î÷åðåäü âñëåäñòâèå íåòåðïåëèâîñòè, ÿâëÿåòñÿ çàÿâêîé ïåðâîãî
è âòîðîãî òèïà ñîîòâåòñòâåííî. Î÷åâèäíî, ÷òî èíòåíñèâíîñòü çàÿâîê âòîðîãî
òèïà
�2 2� , à ïîñêîëüêó èìååòñÿ îãðàíè÷åíèå äëÿ çàÿâîê ïåðâîãî òèïà, òî âå-
ëè÷èíà
1 âû÷èñëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
� � �� � �
1
1
1
1
1
11 1 1
1
� � �
�
�
� � �
�
� �� �k
k
e r
k
e e
k
k
k
r k
k r
k
! ! ( )!k
r k
k
r
r e
k�
�
�
� �� �
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1
0
1 1� �
!
.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 6 59
(0,0) (1,0) (s,0) (S � s,0) (S,0)
�
�
�
… … …
� ��1 �
(0,1) (1,1) (s,1) (S � s,1) (S,1)… … …
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
N�
(0,r) (1,r)
�2
(s,r) (S � s,r) (S,r)… … …
(0,N � 1) (1,N � 1) (s,N � 1) (S � s,N � 1) (S,N � 1)… … …
�1�1
�2�2
�2�2
(0,N) (1,N) (s,N) (S � s,N) (S,N)… … …
� N� �1�1 ��1 �2�
Ðèñ. 1. Ãðàô ïåðåõîäîâ ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè â ìîäåëè ñ êîíå÷íîé î÷åðåäüþ
Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ïðè èñïîëüçîâàíèè ( , )m S m� -ïîëèòèêè èìååòñÿ äîïîë-
íèòåëüíàÿ õàðàêòåðèñòèêà — ñðåäíèé îáúåì çàêàçàVa . Îíà îïðåäåëÿåòñÿ òàê:
V m p S m na
m S s
S
n
N
� �
� � �
� � ( , )
0
. (7)
Äëÿ ìîäåëåé óìåðåííîé ðàçìåðíîñòè âû÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé èç
ñîîòâåòñòâóþùåé ÑÓÐ ìîæíî îñóùåñòâèòü ñ ïîìîùüþ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ëèíåé-
íîé àëãåáðû. Îäíàêî ýòè ìåòîäû îêàçûâàþòñÿ ìàëîýôôåêòèâíûìè, èíîãäà äàæå íå-
ïðèåìëåìûìè äëÿ ìîäåëåé áîëüøîé ðàçìåðíîñòè. Çàäà÷à åùå áîëüøå óñëîæíÿåòñÿ
äëÿ ìîäåëåé QIS ñ áåñêîíå÷íîé î÷åðåäüþ, ò.å. êîãäà N � � . Èñõîäÿ èç ýòîãî, äàëåå
äëÿ ðåøåíèÿ óêàçàííîé ïðîáëåìû äëÿ ìîäåëåé áîëüøîé è áåñêîíå÷íîé ðàçìåðíîñòè
èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäû ôàçîâîãî óêðóïíåíèÿ ñîñòîÿíèé (Space Merging Method,
SMM) [16] è ñïåêòðàëüíîãî ðàñøèðåíèÿ (Spectral Expansion Method, SEM) [18, 19].
ÌÅÒÎÄÛ ÍÀÕÎÆÄÅÍÈß ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊ ÑÈÑÒÅÌÛ
Âíà÷àëå ðàññìîòðèì SMM äëÿ ðåøåíèÿ äàííîé çàäà÷è. Åãî ìîæíî êîððåêòíî
èñïîëüçîâàòü äëÿ èçó÷åíèÿ ñèñòåì, â êîòîðûõ èíòåíñèâíîñòü ïîñòóïëåíèÿ çàÿ-
âîê íàìíîãî ïðåâîñõîäèò èíòåíñèâíîñòü ïîïîëíåíèÿ çàïàñîâ, ò.å. � � . Âàæ-
íî îòìåòèòü, ÷òî ýòî óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ â ðåàëüíûõ QIS.
Ïîñêîëüêó SMM ïîäðîáíî èçëîæåí â [16], âêðàòöå îïèøåì ïðèìåíåíèå ýòîãî
ìåòîäà ê ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå. Òàê, èìååòñÿ ñëåäóþùåå ðàñùåïëåíèå ÏÑ (1):
E E E Em
m
S
m m� ��
�0
1 2� �, , (8)
ãäå E m n E n Nm � � �{ }( , ) : ,0 , m S� 0, .
Äàëåå íà îñíîâå ðàñùåïëåíèÿ (8) â èñõîäíîì ÏÑ (1) îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèÿ
óêðóïíåíèÿ U m n m(( , )) � � � , ãäå � �m — óêðóïíåííîå ñîñòîÿíèå, êîòîðîå îáúåäè-
íÿåò â ñåáå êëàññ ñîñòîÿíèé Em , m S� 0, . Îáîçíà÷èì � � � � �{ }m m S: ,0 .
Ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé ~( , )p m n , ( , )m n E� , èñõîä-
íîé ìîäåëè îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
~( , ) ( ) ( )p m n n mm� � �� � , (9)
ãäå � m n( ) — âåðîÿòíîñòü ñîñòîÿíèÿ ( , )m n âíóòðè ðàñùåïëåííîé ìîäåëè
ñ ïðîñòðàíñòâîì ñîñòîÿíèé Em , à �( )� �m — âåðîÿòíîñòü óêðóïíåííîãî ñîñòîÿ-
íèÿ � � �m � .
Èç ñîîòíîøåíèé (2) ïîëó÷àåì, ÷òî âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé âíóòðè ðàñùåï-
ëåííûõ ìîäåëåé ñ ÏÑ E m Sm , , ...,�1 , ñîâïàäàþò ñ âåðîÿòíîñòÿìè ñîñòîÿíèé ìî-
äåëè M M N/ / /1 ñ çàâèñÿùåé îò ñîñòîÿíèÿ èíòåíñèâíîñòüþ ïîñòóïëåíèÿ,
ò.å. ïîñëåäíÿÿ ðàâíà � , åñëè ÷èñëî çàÿâîê ìåíüøå r, èíà÷å îíà ðàâíà � 2 . Îòñþäà
íàõîäèì, ÷òî èñêîìûå âåëè÷èíû
�
�
� �
�
�
�
�
m
n
m
r
n
n r
( )
( ), ,
�
�
�
��
�
�
�� � �
�
�
��
�
�
��
1 1
2
2
0 0åñëè
� �
�
1 1
0 1
�
�
��
�
�
�� � � �
�
�
�
n
m r n N( ), ,åñëè
(10)
ãäå � m ( )0 íàõîäèòñÿ èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè, ò.å. � m
n
N
n( )
�
� �
0
1.
Çàìå÷àíèå 1. Ïîñêîëüêó âåëè÷èíû � m n( ) íå çàâèñÿò îò èíäåêñà m, m S�1, ,
äàëåå îí íå èñïîëüçóåòñÿ.
Âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé âíóòðè ðàñùåïëåííîé ìîäåëè ñ ÏÑ E0 ñîâïàäàþò
ñ âåðîÿòíîñòÿìè ñîñòîÿíèé êëàññè÷åñêîé ìîäåëè Ýðëàíãà M M N N/ / / ñ íà-
ãðóçêîé a � �� �1 / erl (ñì. (2)), ò.å.
� 0
0
0 1( )
! !
, , ,/n
a
n
a
i
n
n i
i
N
� �
�
� � (11)
60 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 6
Ñ ó÷åòîì (2), (10) è (11) ïîñëå îïðåäåëåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé íàõîäèì, ÷òî
èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäîâ ìåæäó óêðóïíåííûìè ñîñòîÿíèÿìè âû÷èñëÿþòñÿ òàê:
q m m
m s m m S s
( , )
, , ,
( ( )),� � � � �
� � � � �
�1 2
1 2 1
2 2
0
1 0
�
� � �
åñëè
åñëè
â îñòàëüíûõ ñëó àÿõ.
1 1
0
1 2 1� � � �
�
�
�
m S m m, ,
�
(12)
Òîãäà èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ðàáîòû [16], èç ñîîòíîøåíèé (12) óäàåòñÿ âûðà-
çèòü âñå âåðîÿòíîñòè óêðóïíåííûõ ñîñòîÿíèé ÷åðåç âåðîÿòíîñòü �( )� � �s 1 ñëå-
äóþùèì îáðàçîì:
�
�
�( )
( ), ,
( ),� � �
� � � � �
� � � � � � �m
s m s
s s m S s
m 1 0
1 1
åñëè
åñëè ,
( ), ,� �m s S s m S� � � � � � �
�
�
�
1 1åñëè
(13)
ãäå
� � �
� � � �
�
�
� �
m
s m
m�
�
� �
�
�
��
�
�
�� �
� �
2 2
2 2
1
2
1 0
1 0
( ( ))
( ( ))
;
2 1 0( ( ))� � � �
�
�
i m S s
s
i .
Âåðîÿòíîñòü �( )s�1 íàõîäèòñÿ èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè �( )� � �
�
� m
m
S
0
1,
ò.å. �
�( )� � � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � �
�
� �s S s m
m
s
m S s
S
m1 2
0 1
1
.
Ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (10)–(13) èç (9) íàõîäÿòñÿ ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ
âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé ~( , )p m n , ( , )m n E� . Äàëåå ïîñëå îïðåäåëåííûõ ïðåîáðà-
çîâàíèé èç (3)–(6) ïîëó÷àåì ôîðìóëû äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðàñ÷åòà õàðàêòåðèñòèê
èçó÷àåìîé ñèñòåìû:
S m ma
m
S
�� � �
�
� ( )
1
; (14)
RR s� � � � �� � � �2 2 1 1 0( )( ( )) ; (15)
PB n N n
n
nn r
N
1 0 1 0
1
1 0 0� � � � � � � �
��
�( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � �
�
�� �n
N
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
; (16)
PB N N n
n
nn
N
2 0 2 0
11
1 0 0� � � � � � � �
��
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � �
�
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
. (17)
Îïèñàííûé ìåòîä ìîæíî èñïîëüçîâàòü è äëÿ èçó÷åíèÿ ìîäåëè, â êîòîðîé ïðè-
ìåíÿåòñÿ ïîëèòèêà ïîïîëíåíèÿ çàïàñîâ VOS. Â ýòîé ìîäåëè âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé
âíóòðè âñåõ ðàñùåïëåííûõ ìîäåëåé ñ ÏÑ Em , m S�1, , è E0 òàêæå âû÷èñëÿþòñÿ ïî
ôîðìóëàì (10) è (11) ñîîòâåòñòâåííî. Îòëè÷èå ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè èíòåíñèâíîñ-
òåé ïåðåõîäîâ ìåæäó óêðóïíåííûìè ñîñòîÿíèÿìè. Ýòè âåëè÷èíû âû÷èñëÿþòñÿ òàê:
q m m
m s m S
( , )
, , ,
( ( )),� � � � �
� � �
� �1 2
1 2
2 2
0
1 0 1
�
� � �
åñëè
åñëè m S m m1 2 1 1
0
� � �
�
�
�
, ,
â îñòàëüíûõ ñëó àÿõ.�
Îòñþäà èìååì, ÷òî âåðîÿòíîñòè óêðóïíåííûõ ñîñòîÿíèé
�
� �
�
( )
( ), ,
( ), ,
� � �
� � � � �
� � � � �
�
�m
m s
s m S
m 0 0 1
0 1
åñëè
åñëè�
(18)
ãäå �
�
� � �
m
m
�
�
�
�
��
�
�
��
2 2 1 0( ( ))
;
�
� � �
�
�
�
�
��
�
�
��
�
2 2
1
1 0( ( ))
s
; � �
( ) ( )� � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�0 1
0
1
1
m
m
s
S s .
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 6 61
Äàëåå ñ ó÷åòîì (10), (11) è (18) èç (14)–(17) âû÷èñëÿþòñÿ ïðèáëèæåííûå
çíà÷åíèÿ õàðàêòåðèñòèê (3)–(6), à äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ õà-
ðàêòåðèñòèêè (7) ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ôîðìóëó:
V S m ma
m
s
�� � � �
�
� ( ) ( )
0
. (19)
Ðàññìîòðèì ìîäåëü ñ áåñêîíå÷íîé îáùåé î÷åðåäüþ ðàçíîòèïíûõ çàÿâîê,
ò.å. ïðåäïîëîæèì, ÷òî N � � . Äëÿ îáåèõ ÏÏÇ âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé âíóòðè ðàñ-
ùåïëåííûõ ìîäåëåé ñ ÏÑ Em , m S�1, , âû÷èñëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî (10), íî â ïðà-
âîé ÷àñòè óêàçàííîé ôîðìóëû âî âòîðîé ñòðîêå óñëîâèå r n N� � �1 çàìåíÿåòñÿ
óñëîâèåì n r . Òîãäà èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü �( )0 îïðåäåëÿåòñÿ òàê:
�
�
� �
�
� �
�
� � �
( )0
1 1 1 1
2
1 1 20
�
�
�
��
�
�
�� �
�
�
��
�
�
�� �
�
� �
�
n r
n
r
�
��
�
�
�
��
�1
. (20)
Çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå ýðãîäè÷íîñòè ìîäåëè,
ò.å. � � �2 1 1� .
Âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé âíóòðè ðàñùåïëåííîé ìîäåëè ñ ÏÑ E0 ñîâïàäàþò ñ âå-
ðîÿòíîñòÿìè ñîñòîÿíèé ìîäåëè Ýðëàíãà M M/ / � ñ íàãðóçêîé a � �� �1 / erl, ò.å.
� 0 ( )
!
n
a
n
e
n
a� � , n � 0 1, ,� (21)
Äàëåå ñ ó÷åòîì ôîðìóë (20) è (21) âåðîÿòíîñòè óêðóïíåííûõ ñîñòîÿíèé
�( )� �m , m S� 0, , äëÿ ( , )s S -ïîëèòèêè âû÷èñëÿþòñÿ èç ñîîòíîøåíèé (13), à äëÿ
( , )m S m� -ïîëèòèêè — èç ñîîòíîøåíèé (18).
Ñðåäíèé óðîâåíü çàïàñîâ è ñðåäíÿÿ èíòåíñèâíîñòü çàêàçîâ ïðè èñïîëüçîâà-
íèè ( , )s S -ïîëèòèêè, à òàêæå ñðåäíèé îáúåì çàêàçîâ ïðè èñïîëüçîâàíèè
( , )m S m� -ïîëèòèêè âû÷èñëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé (14), (15) è (19) ñîîò-
âåòñòâåííî. Âåðîÿòíîñòè ïîòåðè ðàçíîòèïíûõ çàÿâîê äëÿ äàííîé ìîäåëè
âû÷èñëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
PB n
n
r
n
1
0
1
1
1
1 0 1 0� � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
� �( ( )) ( ) ( )� � � � � 0
1
( )n
n
n
�
�� ��
; (22)
PB n
n
nn
2 2 0
11
0� � �
��
�
�� � �
�
�� �
( ) ( ) . (23)
Çàìå÷àíèå 2.  ôîðìóëû (22) è (23) âõîäèò áåñêîíå÷íûé ðÿä, äëÿ êîòîðîãî íå
óäàåòñÿ íàéòè ÿâíóþ ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ åãî ñóììû. Ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ, òàê
êàê ñîîòâåòñòâóþùèé ìàæîðàíòíûé ðÿä � 0
1
( )n
n�
�
� ñõîäèòñÿ. Ïîýòîìó ïðè ïðèìåíå-
íèè ýòèõ ôîðìóë èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùèé ïîäõîä: âåðõíÿÿ ãðàíèöà ñóììû çàìåíÿ-
åòñÿ áîëüøîé âåëè÷èíîé, äàëåå îíà ïîñòåïåííî óâåëè÷èâàåòñÿ, è ýòà ïðîöåäóðà ïðî-
äîëæàåòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà çíà÷åíèå ñóììû ïðàêòè÷åñêè ïåðåñòàåò èçìåíÿòüñÿ.
Òåïåðü ðàññìîòðèì ïðèìåíåíèå ìåòîäà ñïåêòðàëüíîãî ðàñøèðåíèÿ
(SEM) [18, 19]. Åãî ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ðàñ÷åòà ìîäåëåé QIS, â êîòîðûõ èí-
òåíñèâíîñòü ïîòåðè çàÿâîê èç î÷åðåäè âñëåäñòâèå èõ íåòåðïåëèâîñòè íå çàâèñèò
îò ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû. Ïðèìåì ñëåäóþùåå äîïóùåíèå: èíòåíñèâíîñòü ïîòåðè çà-
ÿâîê â ñîñòîÿíèÿõ òèïà ( , )0 n ðàâíà n�, åñëè n M� , à ïðè n M ýòà âåëè÷èíà ðàâ-
íà M�, ãäå M — äîñòàòî÷íî áîëüøàÿ (ïîñòîÿííàÿ) âåëè÷èíà. Ïðåäïîëàãàåòñÿ,
÷òî M r . Îòìåòèì, ÷òî ýòî äîïóùåíèå íåîáõîäèìî äëÿ ïîëó÷åíèÿ êâàçèïðî-
öåññà ðàçìíîæåíèÿ–ãèáåëè ñ íåçàâèñÿùèìè îò óðîâíÿ èíòåíñèâíîñòÿìè ïåðåõî-
äîâ (Level Independent Quasi Birth Death, LIQBD), òàê êàê ýòîò ìåòîä ìîæíî ïðè-
ìåíÿòü èìåííî äëÿ èçó÷åíèÿ ýòîãî êëàññà QBD.
Çàìå÷àíèå 3.  SMM ïðè èñïîëüçîâàíèè äàííîãî äîïóùåíèÿ âñå ôîðìóëû
íå èçìåíÿþòñÿ, ëèøü âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé âíóòðè ðàñùåïëåííîé ìîäåëè ñ ÏÑ
62 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 6
E0 îïðåäåëÿþòñÿ òàê:
�
�
�
0
0
0
0 0
0
( )
!
( ), ,
!
( ),
n
a
n
n M
M
M
a
M
n
n
M n�
� �
�
�
�
�
�
�
åñëè
åñëè � �
�
�
�
M 1,
ãäå � 0
0
1
1
0
1
( )
! !
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� a
n
a
M M a
n
n
M M
. Çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ
óñëîâèå ýðãîäè÷íîñòè ìîäåëè, ò.å. a M� .
Äëÿ êðàòêîñòè èçëîæåíèÿ ïðèìåíåíèå SEM îïèøåì ëèøü äëÿ ìîäåëè ñ áåñêî-
íå÷íîé î÷åðåäüþ ïðè èñïîëüçîâàíèè ( , )s S -ïîëèòèêè ïîïîëíåíèÿ çàïàñîâ.
Äëÿ êàæäîãî n � �0 1 2, , , îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèå ìàòðèöû ðàçìåðà
( ) ( )S S� � �1 1 :
— ìàòðèöû áîêîâûõ (èëè ãîðèçîíòàëüíûõ) ïåðåõîäîâ (lateral or horizontal
transitions) An , ýëåìåíòû êîòîðûõ îïðåäåëÿþò èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäîâ òèïà
( , ) ( , )m n m n�
(ñì. ðèñ. 1)
A m m
m s m m S s
n ( , )
, , ,
�
�
� � ��
�
�
� åñëè
â îñòàëüíûõ ñëó àÿõ;0 �
— ìàòðèöû âîñõîäÿùèõ ïåðåõîäîâ (upward transitions) Bn , ýëåìåíòû êîòî-
ðûõ îïðåäåëÿþò èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäîâ òèïà ( , ) ( ' , )m n m n� �1 (ñì. ðèñ. 1)
B m m
m n r m m
m n r m m
n ( , )
, , , ,
, , , ,
�
�
�
�
�
�
�
��
åñëè
åñëè
0
02
q m m, ,åñëè
â îñòàëüíûõ ñëó àÿõ;
�
�
�
�
�
0
0 �
— ìàòðèöû íèñõîäÿùèõ ïåðåõîäîâ (downward transitions) Cn , ýëåìåíòû êî-
òîðûõ îïðåäåëÿþò èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäîâ òèïà ( , ) ( , )m n m n�
�1 (ñì. ðèñ. 1)
C m m
m m m
m m m
nn ( , )
, , ,
, , ,
,
�
�
� �
� �
� �
�
1 1
2 2
0
0 1
åñëè
åñëè
åñëè
åñëè
â îñòàëüíûõ ñëó àÿ
m m n M
M m m n M
�
� �
�
� �
0
0
0
, ,
, , ,�
� õ.
�
�
�
Çàìåòèì, ÷òî A m m An ( , )
� äëÿ ëþáîãî n � 0 1 2, , , ..., B m m Bn ( , )
� ïðè
n M� �1 è C m m Cn ( , )
� ïðè n M� .
Îïðåäåëÿþòñÿ òàêæå äèàãîíàëüíûå ìàòðèöû Dn
A , Dn
B è Dn
C ðàçìåðà
( ) ( )S S� � �1 1 , â êîòîðûõ ýëåìåíòû ãëàâíîé äèàãîíàëè ( , )m m , m S� 0 1, , ,� ,
îïðåäåëÿþòñÿ òàê:
D m m A m kn
A
n
k
S
( , ) ( , )�
�
�
0
; D m m B m kn
B
n
k
S
( , ) ( , )�
�
�
0
; D m m C m kn
C
n
k
S
( , ) ( , )�
�
�
0
.
Àíàëîãè÷íî ñòðîÿòñÿ ìàòðèöû D A , D B è DC ðàçìåðà ( ) ( )S S� � �1 1 .
Ââîäÿòñÿ âåêòîðû-ñòðîêè �n p n p n p S n� ( ( , ), ( , ), , ( , ))0 1 � , n � 0 1 2, , ,�
Òîãäà ñ ó÷åòîì îïðåäåëåííûõ ðàíåå ìàòðèö ïîëó÷àåì, ÷òî ÑÓÐ äëÿ âåðîÿòíîñòåé
ñîñòîÿíèé ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ìàòðè÷íîì âèäå äëÿ ñëó÷àÿ 0 � �n M
� � � �n n
A
n
B
n
C
n n n n n nD D D B A C( )� � � � �� � � �1 1 1 1
(24)
è äëÿ ñëó÷àÿ n M�
� � � �n
A B C
n n nD D D B A C( )� � � � �
� �1 1 . (25)
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 6 63
 óðàâíåíèÿõ (24) ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî �� �1 0. Ê óðàâíåíèÿì (24) è (25) äîáàâëÿ-
åòñÿ óñëîâèå íîðìèðîâêè
�n
n
e
�
�
� �
0
1, (26)
ãäå e � ( , , , )1 1 1�
T ÿâëÿåòñÿ âåêòîðîì-ñòîëáöîì ðàçìåðíîñòè S �1.
Èç (25) ïîëó÷àåì âåêòîðíî-ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòî-
ÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè (ìàòðèöàìè)
� � �n n nQ Q Q n M0 1 1 2 2 0 1� � � � �� � , , (27)
ãäå Q B0 � , Q A D D DA B C
1 � � � � , Q C2 � . Çäåñü ó÷èòûâàåòñÿ, ÷òî ìàòðèöû
Q0 è Q2 èìåþò ïîëíûé ðàíã è ñóùåñòâóþò èõ îáðàòíûå ìàòðèöû.
Íà îñíîâå (27) ñîñòàâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ìàòðèöà-ïîëèíîì âòîðîãî
ïîðÿäêà
Q Q Q Q( )
� � �0 1 2
2 . (28)
Ñîãëàñíî SEM [18, 19] ïîëàãàåì, ÷òî âåêòîð-ñòðîêó �n , n M M� �1, , ... ,
ìîæíî ïðåäñòàâèòü:
�n k k k
n M
k
S
a� � �
�
� �
1
0
(29)
èëè â ñêàëÿðíîé ôîðìå äëÿ âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé
p m n a mk k k
n M
k
S
( , ) ( )� � �
�
� �
1
0
, (30)
ãäå
k è � k — ñîîòâåòñòâåííî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû
ìàòðèöû Q( )
. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî | |
k � 1 è ak — íåèçâåñòíûå âåëè÷èíû.
Ñ ïîìîùüþ (29), (30) íåèçâåñòíûå �n , n M� �1, ñ èñïîëüçîâàíèåì (24) ðå-
êóðñèâíî âûðàæàþòñÿ â òåðìèíàõ ak , k S� 0 1, , ,� , è ðåøàåòñÿ ñèñòåìà S �1 ëè-
íåéíûõ óðàâíåíèé (24), (26). Íàõîæäåíèåì íåèçâåñòíûõ ak çàâåðøàåòñÿ ïðîöåññ
âû÷èñëåíèÿ âñåõ âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé èçó÷àåìîé ñèñòåìû.
Ïîñëå âûïîëíåíèÿ îïðåäåëåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé íàõîäèì ñëåäóþùèå ôîð-
ìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû:
S m p m n
a m
a
n
M
k k
kk
S
m
S
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
� �� ( , )
( )
0
2
01 1
; (31)
RR p s n
a s
n
M
k k
kk
S
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� �
�
2 2
0
2
0
1
1
1
( , )
( )
; (32)
PB p m n
a m
n r
M
k k
kk
S
m
S
1
2
0
1
1 1
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
� �( , )
( )�
��� ; (33)
PB p m N
m
S
2
0
2� �
�
� ( , ) �� . (34)
 ôîðìóëàõ (33) è (34) èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå
� �
�
�
� �
�
�
�
�
� �p n
n
n
M
M
a
p
n
M
k k
kk
S
( , )
( )
0
0
110
1
1 0
�
�� �
�
�� �
�
( , )0 1
1
M
M
M
�
�
�
�� �
.
×ÈÑËÅÍÍÛÅ ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ
Ðàçðàáîòàííûå àëãîðèòìû ïîçâîëÿþò âû÷èñëèòü òî÷íûå è ïðèáëèæåííûå çíà-
÷åíèÿ âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé è õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû ïðè èñïîëüçîâàíèè
îáåèõ ÏÏÇ. Ïðîâåäåííûå âû÷èñëèòåëüíûå ýêñïåðèìåíòû ïîêàçàëè, ÷òî òî÷-
íîñòü ðàçðàáîòàííûõ ïðèáëèæåííûõ àëãîðèòìîâ ðàñ÷åòà âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿ-
64 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 6
íèé è õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû îêàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íî âûñîêîé, ïðè ýòîì ïî
âðåìåíè âûïîëíåíèÿ ïðèáëèæåííûå àëãîðèòìû ñóùåñòâåííî ïðåâîñõîäÿò èõ
òî÷íûå àíàëîãè. Òî÷íîñòü ïðèáëèæåííûõ àëãîðèòìîâ îöåíèâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ
äâóõ íîðì áëèçîñòè: ìàêñèìóìà ðàçíîñòåé
| | | | max | ( ) ~ ( ) |N 1 � �
�n
n n
E
p p (35)
è ïîäîáèÿ êîñèíóñà [20]
| | | |
( )~ ( )
( ( )) (~ ( ))
/
N 2
2
1 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
p p
p p
E
E
n n
n n
n
n
2
1 2
n�
� �
�
�
E
/
. (36)
Ðåçóëüòàòû íåáîëüøîé ÷àñòè ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ, â êîòîðûõ îöåíèâà-
ëàñü òî÷íîñòü âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé äëÿ ( , )s S - è ( , )m S m� -ïîëèòèê,
ïîêàçàíû â òàáë. 1. Çäåñü òî÷íûå çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé âû÷èñëåíû ñ èñ-
ïîëüçîâàíèåì ñîîòâåòñòâóþùåé ÑÓÐ, òàê êàê ðàçìåðíîñòü ñèñòåìû ïîçâîëÿåò ðå-
øèòü ýòè óðàâíåíèÿ. Èç òàáë. 1 âèäíî, ÷òî çíà÷åíèÿ íîðìû (36) ïî÷òè ðàâíû åäèíè-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 6 65
Ò à á ë è ö à 1. Îöåíêà òî÷íîñòè âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé îòíîñè-
òåëüíî ðàçëè÷íûõ íîðì ïîäîáèÿ äëÿ ( , )s S - è ( , )m S m� -ïîëèòèê ïîïîëíåíèÿ
çàïàñîâ â ìîäåëè ñ îãðàíè÷åííîé î÷åðåäüþ
( , )s S -ïîëèòèêà ( , )m S m� -ïîëèòèêà
�1 50� , �2 5� , �1 � 0.3, �1 � 0.4, � � 3, � � 1 �1 55� , �2 4� , �1 � 0.3, �1 � 0.4, � � 3, � � 2
( , )S N ( , )� �1 2 ( , )s r
Çíà÷åíèÿ íîðì
ïîäîáèÿ ( , )S N ( , )� �1 2 ( , )s r
Çíà÷åíèÿ íîðì
ïîäîáèÿ
(36) (35) (36) (35)
(30, 50)
(45, 4) (1, 20) 0.993869 0.002948
(30, 50)
(50, 4) (1, 20) 0.986247 0.007842
(50, 5) (6, 30) 0.995162 0.001437 (55, 5) (5, 30) 0.969910 0.008854
(55, 6) (12, 45) 0.994368 0.001926 (60, 6) (10, 45) 0.944990 0.011450
(30, 60)
(45, 4) (1, 35) 0.992940 0.003950
(30, 60)
(50, 4) (1, 35) 0.982799 0.009373
(50, 5) (6, 45) 0.995158 0.001464 (55, 5) (5, 45) 0.965743 0.010987
(55, 6) (12, 55) 0.994368 0.001926 (60, 6) (10, 55) 0.941539 0.012747
(30, 70)
(45, 4) (1, 40) 0.992788 0.004465
(30, 70)
(50, 4) (1, 40) 0.981439 0.010279
(50, 5) (6, 50) 0.995158 0.001470 (55, 5) (5, 50) 0.964206 0.011676
(55, 6) (12, 65) 0.994368 0.001926 (60, 6) (10, 65) 0.937918 0.013774
(40, 50)
(45, 4) (5, 20) 0.995300 0.000943
(35, 50)
(50, 4) (2, 20) 0.984786 0.006992
(50, 5) (10, 30) 0.995171 0.001129 (55, 5) (7, 30) 0.966998 0.008127
(55, 6) (19, 45) 0.994358 0.001651 (60, 6) (12, 45) 0.943591 0.009947
(40, 60)
(45, 4) (5, 35) 0.995286 0.000984
(35, 60)
(50, 4) (2, 35) 0.981718 0.008195
(50, 5) (10, 45) 0.995171 0.001131 (55, 5) (7, 45) 0.963242 0.009713
(55, 6) (19, 55) 0.994358 0.001651 (60, 6) (12, 55) 0.940596 0.011063
(40, 70)
(45, 4) (5, 40) 0.995284 0.000994
(35, 70)
(50, 4) (2, 40) 0.980507 0.008975
(50, 5) (10, 50) 0.995171 0.001131 (55, 5) (7, 50) 0.961859 0.010306
(55, 6) (19, 65) 0.994358 0.001651 (60, 6) (12, 65) 0.937455 0.011948
(50, 50)
(45, 4) (5, 20) 0.995301 0.000733
(40, 50)
(50, 4) (3, 20) 0.983665 0.006366
(50, 5) (15, 30) 0.995167 0.000966 (55, 5) (8, 30) 0.967591 0.007414
(55, 6) (20, 45) 0.994339 0.001156 (60, 6) (15, 45) 0.936781 0.009111
(50 ,60)
(45, 4) (5, 35) 0.995290 0.000765
(40, 60)
(50, 4) (3, 35) 0.980912 0.007279
(50, 5) (15, 45) 0.995167 0.000966 (55, 5) (8, 45) 0.964324 0.008489
(55, 6) (20, 55) 0.994339 0.001156 (60, 6) (15, 55) 0.934013 0.010091
(50, 70)
(45, 4) (5, 40) 0.995288 0.000772
(40, 70)
(50, 4) (3, 40) 0.979823 0.007965
(50, 5) (15, 50) 0.995167 0.000966 (55, 5) (8, 50) 0.963120 0.009009
(55, 6) (20, 65) 0.994339 0.001156 (60, 6) (15, 65) 0.931114 0.010867
öå è çíà÷åíèÿ íîðìû (35) òàêæå ÿâëÿþòñÿ âïîëíå ïðèåìëåìûìè äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ
ïðèëîæåíèé. ×èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû âûïîëíÿëèñü íà ïåðñîíàëüíîì êîìïüþòåðå
ñ ÷åòû- ðåõúÿäåðíûì ïðîöåññîðîì Core i7 2.40 ÃÃö ñ îïåðàòèâíîé ïàìÿòüþ 8 Ãá,
ïðè ýòîì ïðîöåññîðíîå âðåìÿ âûïîëíåíèÿ ïðèáëèæåííûõ àëãîðèòìîâ ïî÷òè ðàâíî
íóëþ, â òî âðåìÿ êàê ñîîòâåòñòâóþùèé ïîêàçàòåëü äëÿ òî÷íûõ àëãîðèòìîâ ñîñòàâëÿ-
åò íåñêîëüêî ÷àñîâ äëÿ ìîäåëåé áîëüøîé è ñâåðõáîëüøîé ðàçìåðíîñòè.
Íàðÿäó ñ âû÷èñëåíèåì âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé ïðîâåäåí òàêæå àíàëèç òî÷íîñ-
òè âû÷èñëåíèÿ õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû. Ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ äëÿ ðàçëè÷íûõ
ïîëèòèê ïîïîëíåíèÿ çàïàñîâ ïðèâåäåíû â òàáë. 2 è 3, â êîòîðûõ EV — òî÷íûå çíà-
÷åíèÿ, à AV — ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ õàðàêòåðèñòèê. Èç ýòèõ
òàáëèö âèäíî, ÷òî ïðè âû÷èñëåíèè õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû âûñîêà òî÷íîñòü ðàçðà-
áîòàííûõ ïðèáëèæåííûõ àëãîðèòìîâ. Îòìåòèì, ÷òî èäåàëüíîå ñõîäñòâî íàáëþäàåò-
ñÿ äëÿ õàðàêòåðèñòèê S a è RR , ò.å. õàðàêòåðèñòèê, îöåíèâàþùèõ ðàáîòó ÷àñòè
«óïðàâëåíèå çàïàñàìè», íåáîëüøèå îòêëîíåíèÿ èìåþò ìåñòî äëÿ õàðàêòåðèñòèê PB1
è PB2 , îöåíèâàþùèõ ðàáîòó ÷àñòè «ñèñòåìà îáñëóæèâàíèÿ».
Õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû çàâèñÿò îò ìíîãèõ íàãðóçî÷íûõ è ñòðóêòóðíûõ ïàðà-
ìåòðîâ ñèñòåìû, à òàêæå îò ïàðàìåòðîâ èñïîëüçóåìûõ ñõåì äèôôåðåíöèàöèè çàÿ-
âîê è ïîëèòèê ïîïîëíåíèÿ çàïàñîâ. Ïîýòîìó èçó÷åíèå èõ çàâèñèìîñòè îò âñåõ ïà-
ðàìåòðîâ â ðàìêàõ îäíîãî ÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà íåâîçìîæíî. Âìåñòå ñ òåì
ðàçðàáîòàííûå àëãîðèòìû ïðèáëèæåííîãî ðàñ÷åòà èñêîìûõ õàðàêòåðèñòèê ïîçâî-
66 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 6
Ò à á ë è ö à 2 . Îöåíêà òî÷íîñòè âû÷èñëåíèÿ õàðàêòåðèñòèê äëÿ ( , )s S -ïîëèòè-
êè ïîïîëíåíèÿ çàïàñîâ â ìîäåëè ñ îãðàíè÷åííîé î÷åðåäüþ (�1 50� , �2 5� ,
�1 � 0.3, �1 � 0.4, � � 3, � �1)
( , )S N ( , )� �1 2 ( , )s r
Sa RR PB1 PB2
EV AV EV AV EV AV EV AV
(30, 50)
(45, 4) (1, 20) 15.13371 15.30848 3.53375 3.53414 0.67161 0.75213 0.00956 0.00405
(50, 5) (6, 30) 17.34122 17.35228 3.54162 3.54164 0.72953 0.79979 0.00061 0.00023
(55, 6) (12, 45) 20.33324 20.33367 3.55555 3.55555 0.77250 0.83579 0.00190 0.00516
(30, 60)
(45, 4) (1, 35) 15.13371 15.30848 3.53375 3.53414 0.66926 0.75244 0.01251 0.00436
(50, 5) (6, 45) 17.34122 17.35228 3.54162 3.54164 0.72938 0.79980 0.00073 0.00024
(55, 6) (12, 55) 20.33324 20.33367 3.55555 3.55555 0.77250 0.83579 0.00190 0.00516
(30, 70)
(45, 4) (1, 40) 15.13371 15.30848 3.53375 3.53414 0.66814 0.75249 0.01316 0.00441
(50, 5) (6, 50) 17.34122 17.35228 3.54162 3.54164 0.72932 0.79981 0.00076 0.00024
(55, 6) (12, 65) 20.33324 20.33367 3.55555 3.55555 0.77249 0.83579 0.00190 0.00516
(40, 50)
(45, 4) (5, 20) 21.85317 21.87091 3.52853 3.52855 0.67734 0.75531 0.00068 0.00029
(50, 5) (10, 30) 24.33378 24.33483 3.53333 3.53333 0.72997 0.79999 0.00004 0.00002
(55, 6) (19, 45) 28.83333 28.83334 3.54762 3.54762 0.77252 0.83580 0.00188 0.00516
(40, 60)
(45, 4) (5, 35) 21.85317 21.87091 3.52853 3.52855 0.67717 0.75534 0.00089 0.00031
(50, 5) (10, 45) 24.33378 24.33483 3.53333 3.53333 0.72996 0.79999 0.00005 0.00002
(55, 6) (19, 55) 28.83333 28.83334 3.54762 3.54762 0.77252 0.83580 0.00188 0.00516
(40, 70)
(45, 4) (5, 40) 21.85317 21.87091 3.52853 3.52855 0.67709 0.75534 0.00093 0.00031
(50, 5) (10, 50) 24.33378 24.33483 3.53333 3.53333 0.72995 0.79999 0.00005 0.00002
(55, 6) (19, 65) 28.83333 28.83334 3.54762 3.54762 0.77252 0.83580 0.00188 0.00516
(50, 50)
(45, 4) (5, 20) 26.85463 26.87159 3.52220 3.52221 0.67744 0.75537 0.00053 0.00022
(50, 5) (15, 30) 31.83334 31.83340 3.52857 3.52857 0.73000 0.80000 0.00000 0.00000
(55, 6) (20, 45) 34.33333 34.33334 3.53333 3.53333 0.77252 0.83580 0.00188 0.00516
(50, 60)
(45, 4) (5, 35) 26.85463 26.87159 3.52220 3.52221 0.67731 0.75539 0.00069 0.00024
(50, 5) (15, 45) 31.83334 31.83340 3.52857 3.52857 0.73000 0.80000 0.00000 0.00000
(55, 6) (20, 55) 34.33333 34.33334 3.53333 3.53333 0.77252 0.83580 0.00188 0.00516
(50, 70)
(45, 4) (5, 40) 26.85463 26.87159 3.52220 3.52221 0.67725 0.75539 0.00073 0.00024
(50, 5) (15, 50) 31.83334 31.83340 3.52857 3.52857 0.73000 0.80000 0.00000 0.00000
(55, 6) (20, 65) 34.33333 34.33334 3.53333 3.53333 0.77252 0.83580 0.00188 0.00516
ëÿþò îñóùåñòâèòü àíàëèç âñåõ æåëàåìûõ çàâèñèìîñòåé. Ââèäó îãðàíè÷åííîãî îáú-
åìà ñòàòüè ïðèâîäÿòñÿ ëèøü ãðàôèêè, ïîêàçûâàþùèå ïîâåäåíèå õàðàêòåðèñòèê
ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ s è r.
Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ äëÿ ìîäåëè ñ îãðàíè÷åííîé î÷åðåäüþ
ïîêàçàíû íà ðèñ. 2 è 3.
Íà ðèñ. 2 ïîêàçàíû çàâèñèìîñòè õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû îò çíà÷åíèÿ òî÷êè
çàêàçà s ïðè èñïîëüçîâàíèè ( , )s S -ïîëèòèêè ïîïîëíåíèÿ çàïàñîâ. Óâåëè÷åíèå çíà-
÷åíèÿ ïàðàìåòðà r ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ âåðîÿòíîñòè ïîòåðè çàÿâîê íèçêîãî
ïðèîðèòåòà (ñì. ðèñ. 2, à), ïðè ýòîì óâåëè÷èâàåòñÿ âåðîÿòíîñòü ïîòåðè çàÿâîê âû-
ñîêîãî ïðèîðèòåòà (ñì. ðèñ. 2, á). Ýòîãî ñëåäîâàëî îæèäàòü, òàê êàê ñ ðîñòîì çíà-
÷åíèÿ ïàðàìåòðà r óìåíüøàþòñÿ øàíñû áûòü ïðèíÿòûìè â î÷åðåäü äëÿ çàÿâîê
íèçêîãî ïðèîðèòåòà, è ñëåäîâàòåëüíî, ýòè øàíñû óâåëè÷èâàþòñÿ äëÿ çàÿâîê âû-
ñîêîãî ïðèîðèòåòà. Óâåëè÷åíèå âåðîÿòíîñòè ïîòåðè çàÿâîê íèçêîãî ïðèîðèòåòà è
óìåíüøåíèå âåðîÿòíîñòè ïîòåðè çàÿâîê âûñîêîãî ïðèîðèòåòà îòíîñèòåëüíî ðîñ-
òà ïàðàìåòðà s (ñì. ðèñ. 2, à, á) îáúÿñíÿþòñÿ òåì, ÷òî äëÿ âûáðàííûõ èñõîäíûõ
äàííûõ ñðåäíèé óðîâåíü çàïàñîâ (ñì. ðèñ. 2, ã) — âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ (åãî
ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå íå ìåíüøå 14), ò.å. âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé òèïà ( , )0 n E�
ÿâëÿþòñÿ î÷åíü ìàëûìè âåëè÷èíàìè, è ïîýòîìó óêàçàííûå õàðàêòåðèñòèêè ãëàâ-
íûì îáðàçîì îïðåäåëÿþòñÿ ïåðâûìè ñëàãàåìûìè â ôîðìóëàõ (5) è (6) ñîîòâåò-
ñòâåííî. Ïîñêîëüêó íàãðóçêà ïîòîêà çàÿâîê íèçêîãî ïðèîðèòåòà äîñòàòî÷íî âû-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 6 67
Ò à á ë è ö à 3. Îöåíêà òî÷íîñòè âû÷èñëåíèÿ õàðàêòåðèñòèê äëÿ ( , )m S m� -ïî-
ëèòèêè ïîïîëíåíèÿ çàïàñîâ â ìîäåëè ñ îãðàíè÷åííîé î÷åðåäüþ (�1 55� ,
�2 4� , �1 � 0.3, �1 � 0.4, � � 3, � � 2)
( , )S N ( , )� �1 2 ( , )s r
Sa RR PB1 PB2
EV AV EV AV EV AV EV AV
(30, 50)
(50, 4) (1, 20) 15.032 15.687 2.832 2.819 0.681 0.744 0.016 0.007
(55, 5) (5, 30) 15.032 16.512 2.832 2.823 0.722 0.785 0.018 0.006
(60, 6) (10, 45) 15.032 17.463 2.832 2.829 0.754 0.819 0.021 0.009
(30, 60)
(50, 4) (1, 35) 15.032 15.687 2.832 2.819 0.674 0.745 0.020 0.007
(55, 5) (5, 45) 15.032 16.512 2.832 2.823 0.715 0.786 0.020 0.007
(60, 6) (10, 55) 15.032 17.463 2.832 2.829 0.749 0.820 0.022 0.009
(30, 70)
(50, 4) (1, 40) 15.032 15.687 2.832 2.819 0.671 0.745 0.020 0.007
(55, 5) (5, 50) 15.032 16.512 2.832 2.823 0.712 0.786 0.021 0.007
(60, 6) (10, 65) 15.032 17.463 2.832 2.829 0.744 0.820 0.023 0.009
(35, 50)
(50, 4) (2, 20) 17.532 18.411 2.828 2.817 0.683 0.745 0.014 0.006
(55, 5) (7, 30) 17.532 19.447 2.828 2.821 0.725 0.786 0.015 0.005
(60, 6) (12, 45) 17.532 20.454 2.828 2.826 0.757 0.821 0.018 0.008
(35, 60)
(50, 4) (2, 35) 17.532 18.411 2.828 2.817 0.677 0.746 0.017 0.006
(55, 5) (7, 45) 17.532 19.447 2.828 2.821 0.719 0.787 0.018 0.005
(60, 6) (12, 55) 17.532 20.454 2.828 2.826 0.753 0.821 0.019 0.008
(35, 70)
(50, 4) (2, 40) 17.532 18.411 2.828 2.817 0.675 0.746 0.018 0.006
(55, 5) (7, 50) 17.532 19.447 2.828 2.821 0.716 0.787 0.018 0.005
(60, 6) (12, 65) 17.532 20.454 2.828 2.826 0.748 0.821 0.020 0.008
(40, 50)
(50, 4) (3, 20) 20.033 21.135 2.824 2.815 0.684 0.746 0.012 0.005
(55, 5) (8, 30) 20.033 22.192 2.824 2.819 0.727 0.787 0.013 0.004
(60, 6) (15, 45) 20.033 23.697 2.824 2.825 0.760 0.821 0.016 0.007
(40, 60)
(50, 4) (3, 35) 20.033 21.135 2.824 2.815 0.679 0.746 0.015 0.005
(55, 5) (8, 45) 20.033 22.192 2.824 2.819 0.721 0.787 0.015 0.004
(60, 6) (15, 55) 20.033 23.697 2.824 2.825 0.756 0.822 0.017 0.007
(40, 70)
(50, 4) (3, 40) 20.033 21.135 2.824 2.815 0.677 0.746 0.015 0.005
(55, 5) (8, 50) 20.033 22.192 2.824 2.819 0.719 0.787 0.016 0.004
(60, 6) (15, 65) 20.033 23.697 2.824 2.825 0.752 0.822 0.018 0.007
ñîêà, âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé òèïà ( , )m n E� , n r , òàêæå ðàñòóò, è ïîýòîìó ãðà-
ôèê ôóíêöèè PB1 èìååò âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 2, à; ïî òåì æå ïðè÷èíàì
ãðàôèê ôóíêöèè PB2 èìååò âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 2, á. Îòìåòèì, ÷òî, íåñìîòðÿ íà
òî, ÷òî èíòåíñèâíîñòü çàêàçîâ è ñðåäíèé óðîâåíü çàïàñîâ çàâèñÿò îò ïàðàìåòðà r
(ñì. ôîðìóëû (10), (13)–(15)), äëÿ âûáðàííûõ èñõîäíûõ äàííûõ ýòîò ïàðàìåòð
ìàëî âëèÿåò íà çíà÷åíèÿ ýòèõ õàðàêòåðèñòèê, â ðåçóëüòàòå ÷åãî èõ ãðàôèêè ïî÷òè
ñîâïàäàþò ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ óêàçàííîãî ïàðàìåòðà (ñì. ðèñ. 2, â, ã).
Çàâèñèìîñòè õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû îò çíà÷åíèÿ òî÷êè çàêàçà s ïðè èñïîëüçî-
âàíèè ( , )m S m� -ïîëèòèêè ïîïîëíåíèÿ çàïàñîâ ïîêàçàíû íà ðèñ. 3. Îòìåòèì, ÷òî
â îòëè÷èå îò ( , )s S -ïîëèòèêè äëÿ ( , )m S m� -ïîëèòèêè âñå õàðàêòåðèñòèêè (3)–(6) ïî-
ñòîÿííûå îòíîñèòåëüíî èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà s (ñì. ðèñ. 3, à–ã); òîëüêî õàðàêòåðèñ-
òèêà (7) ÿâëÿåòñÿ âîçðàñòàþùåé îòíîñèòåëüíî èçìåíåíèÿ óêàçàííîãî ïàðàìåòðà
(ñì. ðèñ. 3, ä). Ïðè ýòîì âåëè÷èíà ïàðàìåòðà r íå âëèÿåò íà âåðîÿòíîñòü ïîòåðè çàÿ-
âîê íèçêîãî ïðèîðèòåòà, ò.å. åå çíà÷åíèå ïðèáëèæåííî ðàâíî 0.665, ÷òî ñîîòâåòñòâó-
åò ìèíèìàëüíîìó çíà÷åíèþ ýòîé õàðàêòåðèñòèêè ïðè èñïîëüçîâàíèè ( , )s S -ïîëèòè-
êè (çíà÷åíèÿ èñõîäíûõ äàííûõ ïî÷òè îäèíàêîâûå); çäåñü âåðîÿòíîñòè ïîòåðè çàÿâîê
âûñîêîãî ïðèîðèòåòà î÷åíü ìàëî îòëè÷àþòñÿ îò èõ ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèé ïðè
èñïîëüçîâàíèè ( , )s S -ïîëèòèêè, ïðè ýòîì íà çíà÷åíèÿ ýòîé âåëè÷èíû ñóùåñòâåííî
âëèÿåò ïàðàìåòð r (ñì. ðèñ. 3, à, á). Äëÿ ( , )m S m� -ïîëèòèêè çíà÷åíèå èíòåíñèâíîñ-
òè çàêàçîâ ïî÷òè â äâà ðàçà ìåíüøå, ÷åì ïðè èñïîëüçîâàíèè ( , )s S -ïîëèòèêè
(ñì. ðèñ. 3, â), à ñðåäíèé óðîâåíü çàïàñîâ ðàâåí ìèíèìàëüíîìó çíà÷åíèþ ýòîé õàðàê-
òåðèñòèêè ïðè èñïîëüçîâàíèè ( , )s S -ïîëèòèêè (ñì. ðèñ. 3, ã). Ñðåäíèé îáúåì çàêàçà
äëÿ ( , )m S m� -ïîëèòèêè ðàñòåò ïî÷òè ëèíåéíî îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðà s, ïðè ýòîì
åãî çíà÷åíèå ïî÷òè íå çàâèñèò îò ïàðàìåòðà r.
Òåïåðü ðàññìîòðèì ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ äëÿ ìîäåëè ñ íå-
îãðàíè÷åííîé î÷åðåäüþ, ïðè ýòîì äëÿ íàõîæäåíèÿ òî÷íûõ çíà÷åíèé âåðîÿòíîñ-
òåé ñîñòîÿíèé èñïîëüçóåòñÿ SEM, ò.å. õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû âû÷èñëÿþòñÿ
èç (31)–(34). Ñîîòâåòñòâóþùèå ðåçóëüòàòû, ïîäòâåðæäàþùèå âûñîêóþ òî÷íîñòü
ðàçðàáîòàííûõ ïðèáëèæåííûõ ôîðìóë ðàñ÷åòà õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû äëÿ
( , )s S -ïîëèòèêè, ïîêàçàíû â òàáë. 4 (àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû ïîëó÷åíû è äëÿ
( , )m S m� -ïîëèòèêè, îäíàêî ââèäó îãðàíè÷åííîãî îáúåìà ñòàòüè îíè íå ïðèâî-
äÿòñÿ). Êàê è äëÿ ìîäåëè ñ îãðàíè÷åííîé î÷åðåäüþ (ñì. òàáë. 2 è 3), èäåàëüíîå
ñõîäñòâî òàêæå íàáëþäàåòñÿ äëÿ õàðàêòåðèñòèê, îöåíèâàþùèõ ðàáîòó ÷àñòè
68 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 6
Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòè õàðàêòåðèñòèê PB1 (a), PB2 (á), RR (â) è S a (ã) îò ïàðàìåòðà s â ìîäåëè
ñ îãðàíè÷åííîé î÷åðåäüþ ïðè èñïîëüçîâàíèè ( , )s S -ïîëèòèêè ïîïîëíåíèÿ çàïàñîâ (S � 30,
N � 40, �1 55� , �2 5� , �1 50� , �2 10� , �1 � 0.3, �1 � 0.4, � � 2, � � 1)
à á
ãâ
«óïðàâëåíèå çàïàñàìè», è íåáîëüøèå îòêëîíåíèÿ èìåþò ìåñòî äëÿ õàðàêòåðèñ-
òèê PB1 è PB2 , îöåíèâàþùèå ðàáîòó ÷àñòè «ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ».
Âèä çàâèñèìîñòåé õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû ñ íåîãðàíè÷åííîé î÷åðåäüþ îòíî-
ñèòåëüíî èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ s è r ïðè ( , )s S - è ( , )m S m� -ïîëèòèêàõ ïîêàçàíû
íà ðèñ. 4 è 5 ñîîòâåòñòâåííî. Ïðåæäå âñåãî îòìåòèì, ÷òî ñíÿòèå îãðàíè÷åíèÿ íà
äëèíó î÷åðåäè çàÿâîê ñóùåñòâåííî âëèÿåò íà õàðàêòåð èçìåíåíèÿ èçó÷àåìûõ âå-
ëè÷èí. Òàê, èç ðèñ. 4, à âèäíî, ÷òî â îòëè÷èå îò ìîäåëè ñ îãðàíè÷åííîé î÷åðåäüþ
(ñì. ðèñ. 2, à) âèä çàâèñèìîñòåé ôóíêöèè PB1 ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåò-
ðà r îòëè÷àåòñÿ, ò.å. ïðè r � 5 îíà óáûâàåò, à ïðè r � 25 íàîáîðîò âîçðàñòàåò; ïðè
ýòîì, êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, çíà÷åíèÿ ýòîé ôóíêöèè ïðè r � 25 îêàçûâàþòñÿ
ìåíüøå, ÷åì åå ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ïðè r � 5. Âèäû êðèâûõ äëÿ ôóíêöèè
PB2 ïîëíîñòüþ ñîîòâåòñòâóþò ìîäåëè ñ îãðàíè÷åííîé î÷åðåäüþ (ñì. ðèñ. 2, á),
õîòÿ àáñîëþòíûå çíà÷åíèÿ â ðàçëè÷íûõ ìîäåëÿõ îòëè÷àþòñÿ ïî÷òè íà ïîðÿäîê
(ñì. ðèñ. 4, á). Íåñêîëüêî íåîæèäàííûì ÿâëÿåòñÿ ðàñïîëîæåíèå êðèâûõ äëÿ
ôóíêöèè PB2 ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà r, ò.å. çíà÷åíèÿ ýòîé ôóíêöèè
ïðè r � 25 îêàçûâàþòñÿ ìåíüøå, ÷åì åå ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ïðè r � 5.
Âìåñòå ñ òåì ñ ðîñòîì ïàðàìåòðà s âëèÿíèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà r íà çíà÷åíèÿ
ôóíêöèè PB2 èñ÷åçàåò (ñì. ðèñ. 4, á). Ïîëíîå ñîîòâåòñòâèå èìååò ìåñòî äëÿ ãðà-
ôèêîâ ôóíêöèé RR è S a â ìîäåëÿõ ñ îãðàíè÷åííîé è íåîãðàíè÷åííîé î÷åðåäÿ-
ìè, ïðè ýòîì ïî÷òè ñîâïàäàþò àáñîëþòíûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè S a â ðàçëè÷íûõ
ìîäåëÿõ (ñì. ðèñ. 2, ã è ðèñ. 4, ã). Íî àáñîëþòíûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè RR â ìîäåëè
ñ íåîãðàíè÷åííîé î÷åðåäüþ ïî÷òè â 20 ðàç ìåíüøå, ÷åì åå ñîîòâåòñòâóþùèå çíà-
÷åíèÿ â ìîäåëè ñ îãðàíè÷åííîé î÷åðåäüþ (ñì. ðèñ. 2, â è ðèñ. 4, â).
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 6 69
Ðèñ. 3. Çàâèñèìîñòè õàðàêòåðèñòèê PB1 (a), PB2 (á), RR (â), S a (ã) è Va (ä) îò ïàðàìåòðà s
â ìîäåëè ñ îãðàíè÷åííîé î÷åðåäüþ ïðè èñïîëüçîâàíèè ( , )m S m� -ïîëèòèêè ïîïîëíåíèÿ çàïàñîâ
(S � 30, N � 40, �1 55� , �2 5� , �1 60� , �2 6� , �1 � 0.3, �1 � 0.4, � � 2, � � 1)
à á
ãâ
ä
Ïðîàíàëèçèðóåì çàâèñèìîñòè õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû ñ íåîãðàíè÷åííîé î÷å-
ðåäüþ îòíîñèòåëüíî èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ s è r ïðè ( , )m S m� -ïîëèòèêå
(ñì. ðèñ. 5). Çäåñü ïîâåäåíèå ôóíêöèè PB1 î÷åíü ïîõîæå íà åå ïîâåäåíèå ïðè èñ-
ïîëüçîâàíèè ( , )s S -ïîëèòèêè (ñì. ðèñ. 4, à è ðèñ. 5, à), íî â îòëè÷èå îò ïîñëåäíåé
â ( , )m S m� -ïîëèòèêå ïðè s 5 çíà÷åíèÿ ýòîé ôóíêöèè ïðè r � 30 îêàçûâàþòñÿ
á�ëüøèìè, ÷åì åå ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ïðè r � 5. Íà ïåðâûé âçãëÿä ýòîò ðå-
çóëüòàò êàæåòñÿ íåîæèäàííûì, íî äåòàëüíîå èçó÷åíèå ñîñòàâëÿþùèõ ýòîé ôóíê-
öèè (ñì. (5)) ïîêàçûâàåò, ÷òî åå çíà÷åíèÿ ñóùåñòâåííî çàâèñÿò îò ñîîòíîøåíèÿ
ìíîãèõ ïàðàìåòðîâ, èíûìè ñëîâàìè, äî ïðîâåäåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷èñëåííûõ
ýêñïåðèìåíòîâ íåâîçìîæíî ñ óâåðåííîñòüþ îïðåäåëèòü âèä ãðàôèêîâ ýòîé ôóíê-
öèé. Àíàëîãè÷íûå êîììåíòàðèè ñïðàâåäëèâû äëÿ âèäà ôóíêöèè PB2 , òàê êàê ïðè
s� 3 çíà÷åíèÿ ýòîé ôóíêöèè ïðè r � 30 òàêæå îêàçûâàþòñÿ ìåíüøèìè, ÷åì åå ñî-
îòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ïðè r � 5 (ñì. ðèñ. 5, á). Ïðè ýòîì ïîâåäåíèå ôóíêöèè
PB2 òàêæå î÷åíü ïîõîæå íà åå ïîâåäåíèå ïðè èñïîëüçîâàíèè ( , )s S -ïîëèòèêè
(ñì. ðèñ. 4, á è ðèñ. 5, á). Ïîëíîå ñîîòâåòñòâèå èìååò ìåñòî äëÿ ãðàôèêîâ ôóíêöèé
RR è S a ïðè èñïîëüçîâàíèè ðàçëè÷íûõ ïîëèòèê, ïðè ýòîì äàæå ïî÷òè ñîâïàäàþò
èõ àáñîëþòíûå çíà÷åíèÿ (ñì. ðèñ. 4, â, ã è ðèñ. 5, â, ã). Îòìåòèì, ÷òî çíà÷åíèÿ ïàðà-
ìåòðà r ïî÷òè íå âëèÿþò íà ñðåäíèé îáúåì çàêàçîâ ïðè ( , )m S m� -ïîëèòèêå
(ñì. ðèñ. 5, ä), ïðè ýòîì ýòà âåëè÷èíà ñ î÷åíü ìàëîé ñêîðîñòüþ ðàñòåò îòíîñèòåëü-
íî ïàðàìåòðà s, ÷òî òàêæå ÿâëÿåòñÿ íåîæèäàííûì ðåçóëüòàòîì.
70 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 6
Ò à á ë è ö à 4. Îöåíêà òî÷íîñòè âû÷èñëåíèÿ õàðàêòåðèñòèê äëÿ ( , )s S -ïîëèòè-
êè ïîïîëíåíèÿ çàïàñîâ â ìîäåëè ñ íåîãðàíè÷åííîé î÷åðåäüþ (�1 60� , �2 5� ,
�1 � 0.3, �1 � 0.3, � � 4, � � 3)
S ( , )� �1 2 ( , )s r
Sa RR PB1 PB2
EV AV EV AV EV AV EV AV
30
(55, 5) (1, 15) 15.317698 15.417554 0.11901 0.11979 0.69437 0.76062 0.00214 0.00089
(60, 7) (12, 15) 20.624986 20.625036 0.19444 0.19444 0.75833 0.81667 0.00000 0.00000
(65, 10) (14, 15) 21.624993 21.625006 0.21875 0.21875 0.82308 0.87692 0.00000 0.00000
30
(55, 5) (1, 20) 15.317679 15.417554 0.11901 0.11979 0.69277 0.76080 0.00186 0.00071
(60, 7) (12, 20) 20.624986 20.625036 0.19444 0.19444 0.75833 0.81667 0.00000 0.00000
(65, 10) (14, 20) 21.624993 21.625006 0.21875 0.21875 0.82310 0.87692 0.00001 0.00000
30
(55, 5) (1, 25) 15.317670 15.417554 0.11901 0.11979 0.69122 0.76092 0.00164 0.00059
(60, 7) (12, 25) 20.624985 20.625036 0.19444 0.19444 0.75863 0.81667 0.00009 0.00000
(65, 10) (14, 25) 21.624993 21.625006 0.21875 0.21875 0.82445 0.87692 0.00055 0.00000
40
(55, 5) (1, 15) 20.320621 20.419311 0.08881 0.08925 0.69580 0.76139 0.00160 0.00066
(60, 7) (15, 15) 27.124999 27.125004 0.14000 0.14000 0.75833 0.81667 0.00000 0.00000
(65, 10) (19, 15) 29.125000 29.125000 0.16667 0.16667 0.82308 0.87692 0.00000 0.00000
40
(55, 5) (1, 20) 20.320601 20.419311 0.08881 0.08925 0.69460 0.76152 0.00139 0.00053
(60, 7) (15, 20) 27.124983 27.125004 0.14000 0.14000 0.75833 0.81667 0.00000 0.00000
(65, 10) (19, 20) 29.125000 29.125000 0.16667 0.16667 0.82308 0.87692 0.00000 0.00000
40
(55, 5) (1, 25) 20.320593 20.419311 0.08881 0.08925 0.69341 0.76161 0.00122 0.00044
(60, 7) (15, 25) 27.139440 27.125004 0.13989 0.14000 0.75857 0.81667 0.00000 0.00000
(65, 10) (19, 25) 29.125000 29.125000 0.16667 0.16667 0.82308 0.87692 0.00000 0.00000
45
(55, 5) (1, 15) 22.821588 22.919891 0.07881 0.07915 0.69627 0.76164 0.00142 0.00059
(60, 7) (19, 15) 31.625000 31.625000 0.13462 0.13462 0.75833 0.81667 0.00000 0.00000
(65, 10) (22, 15) 33.125000 33.125000 0.15217 0.15217 0.82308 0.87692 0.00000 0.00000
45
(55, 5) (1, 20) 22.821569 22.919891 0.07881 0.07915 0.69521 0.76176 0.00123 0.00047
(60, 7) (19, 20) 31.625000 31.625000 0.13462 0.13462 0.75833 0.81667 0.00000 0.00000
(65, 10) (22, 20) 33.125000 33.125000 0.15217 0.15217 0.82308 0.87692 0.00000 0.00000
45
(55, 5) (1, 25) 22.821564 22.919891 0.07881 0.07915 0.69415 0.76184 0.00108 0.00039
(60, 7) (19, 25) 31.624314 31.625000 0.13464 0.13462 0.75833 0.81667 0.00000 0.00000
(65, 10) (22, 25) 33.125001 33.125000 0.15217 0.15217 0.82308 0.87692 0.00000 0.00000
Àêòóàëüíû çàäà÷è îïòèìèçàöèè õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû, ïðè ýòîì âîçìîæíû èõ
ðàçëè÷íûå ïîñòàíîâêè. Äàëåå ââèäó îãðàíè÷åííîãî îáúåìà ñòàòüè ðàññìàòðèâàåòñÿ
ëèøü çàäà÷à ìàêñèìèçàöèè ïðèáûëè ñèñòåìû ñ êîíå÷íîé î÷åðåäüþ çà ñ÷åò âûáîðà
íàäëåæàùèõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ s è r.
Äîõîäû RV ñèñòåìû îïðåäåëÿþòñÿ òàê:
RV s r PB s r C PB s r C Pre re( , ) ( ( ( , )) ( ( , )) )� � � �� � 1 1
1
2 2
21 1 S s r( , ), (37)
ãäå PS s r( , ) ( ( ))( ( ))�
� �
� � � �
� �
� � � � �
� �2 2
1 1 2 2
1 0 1 0 îöåíèâàåò âåðîÿòíîñòü òîãî,
÷òî îáñëóæåííàÿ çàÿâêà ïîêóïàåò çàïàñ; Cre
k
— äîõîäû ñèñòåìû âñëåäñòâèå
ïðîäàæè åäèíèöû çàïàñà ïî çàÿâêàì k-ãî òèïà, k �1 2, . Ñëåäóåò îæèäàòü, ÷òî
äîõîäû îò îáñëóæèâàíèÿ ïðèîðèòåòíûõ çàÿâîê íàìíîãî áîëüøå, ÷åì îò îáñëó-
æèâàíèÿ îáû÷íûõ, ò.å. C Cre re
2 1 .
Çàìå÷àíèå 4. Çäåñü è äàëåå â îáîçíà÷åíèÿõ õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû è ôóíê-
öèîíàëîâ â ñêîáêàõ óêàçàíû îïòèìèçèðóåìûå ïàðàìåòðû s è r.
Ñóììàðíûå øòðàôû TC â ñèñòåìå îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
TC s r K c V s r RR s r c S s r c PBr a h a l( , ) ( ( , )) ( , ) ( , ) (� � � � �1
1 1 s r c PB s rl, ) ( , )� 2
2 2� , (38)
ãäå K — ôèêñèðîâàííàÿ öåíà îäíîãî çàêàçà; cr — öåíà åäèíèöû îáúåìà çàêà-
çà; ch — öåíà õðàíåíèÿ åäèíèöû îáúåìà çàïàñîâ çà åäèíèöó âðåìåíè; c
l
k —
øòðàô çà ïîòåðþ îäíîé çàÿâêè k-ãî òèïà, k �1 2, . Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî øòðàôû çà
ïîòåðè ïðèîðèòåòíûõ çàÿâîê íàìíîãî áîëüøå, ÷åì îáû÷íûõ, ò.å. c c
l l
2 1 .
Çàìå÷àíèå 5. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ( , )s S -ïîëèòèêè ñóììàðíûå øòðàôû â ñèñ-
òåìå îïðåäåëÿþòñÿ ñîãëàñíî (38), ãäå Va çàìåíÿåòñÿ S s� .
Çàäà÷à îïòèìèçàöèè ñòàâèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: òðåáóåòñÿ ìàêñèìèçèðî-
âàòü ïðèáûëü PT ñèñòåìû çà ñ÷åò âûáîðà íàäëåæàùèõ çíà÷åíèé êðèòè÷åñêîãî
óðîâíÿ çàïàñîâ s è ïîðîãîâîãî ïàðàìåòðà r, ðåãóëèðóþùåãî äîñòóï çàÿâîê íèçêî-
ãî ïðèîðèòåòà, ò.å. òðåáóåòñÿ ðåøèòü ñëåäóþùóþ çàäà÷ó:
( , ) max ( , )
( , )
s r PT s r
s r
� arg , (39)
ãäå PT s r RV s r TC s r( , ) ( , ) ( , )� � .
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 6 71
Ðèñ. 4. Çàâèñèìîñòè õàðàêòåðèñòèê PB1 (a), PB2 (á), RR (â) è S a (ã) îò ïàðàìåòðà s â ìîäåëè
ñ íåîãðàíè÷åííîé î÷åðåäüþ ïðè èñïîëüçîâàíèè ( , )s S -ïîëèòèêè ïîïîëíåíèÿ çàïàñîâ (S � 30,
�1 60� , �2 5� , �1 55� , �2 10� , �1 � 0.3, �1 � 0.4, � � 3, � � 2)
à á
ãâ
Çàäà÷à (39) âñåãäà èìååò ðåøå-
íèå, òàê êàê ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ
ðåøåíèé { } { }0 2 1 1� � � � � �s S r N/
ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íûì è äèñêðåòíûì.
 òàáë. 5 ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòà-
òû ðåøåíèÿ çàäà÷è (39) äëÿ ìîäåëè
ñ ( , )s S - è ( , )m S m� -ïîëèòèêàìè ïî-
ïîëíåíèÿ çàïàñîâ, çäåñü PT — ìàê-
ñèìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà
PT s r( , ). Êîýôôèöèåíòû â ôóíêöèî-
íàëàõ (37) è (38) îïðåäåëÿþòñÿ ñëå-
äóþùèì îáðàçîì: Cre
1 5� , Cre
2 10� ,
K � 0.2, cr � 0.01, ch � 0.2, c
l
1 � 0.2,
c
l
2 � 0.6.
Èç òàáë. 5 âèäíî, ÷òî, íåñìîòðÿ
íà òî, ÷òî ïðè îäèíàêîâûõ èñõîäíûõ
äàííûõ îïòèìàëüíûå ðåøåíèÿ çàäà-
÷è (39) ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ
â ðàçëè÷íûõ ïîëèòèêàõ ïîïîëíåíèÿ
72 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 6
Ðèñ. 5. Çàâèñèìîñòè õàðàêòåðèñòèê PB1 (a), PB2 (á), RR (â), S a (ã) è Va (ä) îò ïàðàìåòðà s
â ìîäåëè ñ íåîãðàíè÷åííîé î÷åðåäüþ ïðè èñïîëüçîâàíèè ( , )m S m� -ïîëèòèêè ïîïîëíåíèÿ
çàïàñîâ (S � 30, �1 55� , �2 5� , �1 60� , �2 7� , �1 � 0.3, �1 � 0.4, � � 2, � � 1)
à á
ãâ
ä
Ò à á ë è ö à 5. Ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ çà-
äà÷è (39) (�1 55� , �2 15� , �1 � 0.2,
�1 � 0.3, � � 3, � � 2)
( , )S N ( , )� �1 2
( , )s S -ïîëè-
òèêà
( , )m S m� -ïîëè-
òèêà
( , )s r
PT ( , )s r
PT
(30, 45)
(45, 8) (14, 39) 10.45 (1, 41) 9.59
(55, 12) (14, 35) 6.52 (1, 39) 5.97
(60, 15) (14, 7) 4.87 (1, 4) 4.49
(30, 50)
(45, 8) (14, 44) 10.50 (1, 46) 10.00
(55, 12) (14, 41) 6.55 (1, 44) 6.24
(60, 15) (14, 36) 4.88 (1, 41) 4.63
(40, 45)
(45, 8) (19, 38) 8.34 (1, 41) 8.52
(55, 12) (19, 33) 4.40 (1, 38) 4.87
(60, 15) (19, 8) 2.74 (1, 4) 3.36
(40, 50)
(45, 8) (19, 43) 8.35 (1, 46) 8.84
(55, 12) (19, 38) 4.41 (1, 43) 5.08
(60, 15) (19, 32) 2.74 (1, 40) 3.46
çàïàñîâ, ìàêñèìàëüíûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèîíàëà PT s r( , ) î÷åíü áëèçêè, ò.å. èõ ðàç-
íîñòü ëåæèò â ïðåäåëàõ âû÷èñëèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè. Îòìåòèì, ÷òî â îáåèõ ïî-
ëèòèêàõ ïîïîëíåíèÿ çàïàñîâ îïòèìàëüíûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ s è r èçìåíÿþòñÿ
î÷åíü ïëàâíî, à ïðè èñïîëüçîâàíèè ( , )m S m� -ïîëèòèêè îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå ïà-
ðàìåòðà s �1 ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ èñïîëüçóåìûõ èñõîäíûõ äàííûõ ñèñòåìû. Ýòè
ñâîéñòâà îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé îáëåã÷àþò èõ ðåàëèçàöèþ â ðåàëüíûõ ñèñòåìàõ.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ðàáîòå ïðåäëîæåíû ìàðêîâñêèå ìîäåëè ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ–çàïàñàíèÿ
ñ äâóìÿ òèïàìè çàÿâîê, ãäå ÷àñòü çàÿâîê ïîñëå çàâåðøåíèÿ îáñëóæèâàíèÿ íå ïî-
ëó÷àåò çàïàñîâ. Ðàçíîòèïíûå çàÿâêè îáðàçóþò îáùóþ î÷åðåäü êîíå÷íîé äëèíû,
è âðåìÿ èõ îáñëóæèâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. Åñëè
îáùåå ÷èñëî çàÿâîê âûøå ïîðîãîâîãî çíà÷åíèÿ, òî ëèøü çàÿâêè âûñîêîãî ïðè-
îðèòåòà ïðèíèìàþòñÿ â ñèñòåìó.  ñëó÷àÿõ îòñóòñòâèÿ çàïàñîâ çàÿâêè îáîèõ òè-
ïîâ ïðèíèìàþòñÿ â ñèñòåìó áåç îãðàíè÷åíèé, ïðè ýòîì îíè â î÷åðåäè ÿâëÿþòñÿ
íåòåðïåëèâûìè. Èçó÷àþòñÿ ìîäåëè äâóõ òèïîâ: â îäíîé èç íèõ â ñèñòåìå èñ-
ïîëüçóåòñÿ ( , )s S -ïîëèòèêà, à â äðóãîé — ïîëèòèêà ïåðåìåííîãî îáúåìà çàïàñîâ
VOS.  îáîèõ ñëó÷àÿõ âðåìÿ âûïîëíåíèÿ çàêàçîâ èìååò ïîêàçàòåëüíûå ô.ð.
ñ êîíå÷íûìè ñðåäíèìè çíà÷åíèÿìè. Ïîñòðîåíà äâóìåðíàÿ öåïü Ìàðêîâà, êîòî-
ðàÿ îïèñûâàåò ðàáîòó èçó÷àåìûõ ñèñòåì, è ðàçðàáîòàíû ìåòîäû ðàñ÷åòà âåðîÿò-
íîñòåé ñîñòîÿíèé ýòîé öåïè. Ïîëó÷åíû ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ õàðàêòåðèñòèê
èññëåäóåìûõ ñèñòåì è ðåøåíà çàäà÷à ìàêñèìèçàöèè èõ ïðèáûëè.
Ïðåäëîæåííûå ìîäåëè ìîæíî îáîáùèòü äëÿ ñëó÷àÿ ïðîèçâîëüíîãî êîëè÷åñ-
òâà ðàçíîòèïíûõ çàÿâîê, à ðàçðàáîòàííûå ìåòîäû èñïîëüçîâàòü äëÿ àíàëèçà ñèñòåì
ñ ïîðòÿùèìèñÿ çàïàñàìè, à òàêæå ñèñòåì ñ íåèäåíòè÷íûìè ïî ðàçìåðàì çàÿâêàìè
è ò.ä. Ïîäîáíûå çàäà÷è ÿâëÿþòñÿ ïðåäìåòîì äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Schwarz M., Sauer C., Daduna H., Kulik R., Szekli R. M M/ / 1 queuing systems with inventory.
Queuing Systems. 2006. Vol. 54, Iss. 1. P. 55–78.
2. Êåðáàëèåâ À.È., Ìåëèêîâ À.Ç., Âëàäèìèðñêèé À.È. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïðîöåññà îòïóñêà
íåôòåïðîäóêòîâ íà àâòîçàïðàâî÷íûõ ñòàíöèÿõ. Èçâ. âóçîâ ÑÑÑÐ. Íåôòü è ãàç. 1988. ¹ 11.
Ñ. 70–74.
3. Sigman K., Simchi-Levi D. Light traffic heuristic for an M G/ / 1 queue with limited inventory.
Annals of Operations Research. 1992. Vol. 40. P. 371–380.
4. Melikov A.Z., Molchanov A.A. Stock optimization in transport/storage systems. Cybernetics. 1992.
Vol. 27, N 3. P. 484–487.
5. Krishnamoorthy A., Lakshmy B., Manikandan R. A survey on inventory models with positive
service time. OPSEARCH. 2011. Vol. 48. P. 153–169.
6. Ha A.Y. Stock rationing policy for a make-to-stock production system with two priority classes and
backordering. Naval Research Logistics. 1997. Vol. 44, Iss. 5. P. 457–472.
7. Ha A.Y. Inventory rationing in a make-to-stock production system with two priority classes and
backordering. Management Science. 1997. Vol. 43, Iss. 8. P. 1093–1103.
8. Ha A.Y. Stock rationing in an M Ek/ / 1 make-to-stock queue. Management Science. 2000. Vol. 46,
Iss. 1. P. 77–87.
9. Dekker R., Hill R.M., Kleijn M.J. On the ( , )S S� 1 lost sales inventory model with priority demand
classes. Naval Research Logistics. 2002. Vol. 49, Iss. 6. P. 593–610.
10. Kranenburg A.A., van Houtum G.J. Cost optimization in the ( , )S S� 1 lost sales inventory model
with multiple demand classes. Operations Research Letters. 2007. Vol. 35, Iss. 4. P. 493–502.
11. Isotupa K.P.S. Cost analysis of an ( , )S S� 1 inventory system with two demand classes and
rationing. Annals of Operations Research. 2015. Vol. 233. P. 411–421.
12. Isotupa K.P.S. An ( , )S Q inventory system with two demand classes of customers. International
Journal of Operational Research. 2011. Vol. 12, Iss. 1. P. 12–19.
13. Isotupa K.P.S. An ( , )S Q Markovian inventory system with lost sales and two demand classes.
Mathematical and Computer Modeling. 2006. Vol. 43. P. 687–694.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 6 73
14. Karthick T., Sivakumar B., Arivarignan G. An inventory system with two types of customers and
retrial demands. International Journal of Systems Science: Operations & Logistics. 2015. Vol. 2,
Iss. 2. P. 90–112.
15. Melikov A.Z., Fatalieva M.R. Situational inventory in counter–stream serving systems.
Engineering Simulation. 1998. Vol. 15. P. 839–848.
16. Melikov A.Z., Ponomarenko L.A., Bagirova S.A. Markov models of queuing-inventory systems with
variable order size. Cybernetics and Systems Analysis. 2017. Vol. 53, N 3. P. 373–386.
17. Krishnamoorthy A., Manikandan R., Lakshmy B. Revisit to queuing-inventory system with positive
service time. Annals of Operations Research. 2015. Vol. 233. P. 221–236.
18. Chakka R. Spectral expansion solution for some finite capacity queues. Annals of Operations
Research. 1998. Vol. 79. P. 27–44.
19. Mitrani I., Chakka R. Spectral expansion solution for a class of Markov models: Application and
comparison with the matrix-geometric method. Performance Evaluation. 1995. Vol. 23, Iss. 3.
P. 241–260.
20. Melikov A.Z., Ponomarenko L.A., Shahmaliyev M.O. Analysis of perishable queuing-inventory
systems with different types of requests. Journal of Automation and Information Sciences. 2017.
Vol. 49, Iss. 9. P. 42–60.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 05.02.2018
À.Ç. Ìåë³êîâ, Ë.À. Ïîíîìàðåíêî, ².À. À볺â
ÌÀÐÊÎÂÑÜʲ ÌÎÄÅ˲ ÑÈÑÒÅÌ Ç ÄÂÎÌÀ ÒÈÏÀÌÈ ÂÈÌÎà ² вÇÍÈÌÈ ÏÎ˲ÒÈÊÀÌÈ
ÏÎÏÎÂÍÅÍÍß ÇÀÏÀѲÂ
Àíîòàö³ÿ. Çàïðîïîíîâàíî ìàðêîâñüê³ ìîäåë³ ñèñòåì îáñëóãîâóâàííÿ–çàïà-
ñàííÿ ç äâîìà òèïàìè âèìîã, â ÿêèõ âèêîðèñòîâóþòüñÿ äâ³ ïîë³òèêè ïîïîâ-
íåííÿ çàïàñ³â: â îäí³é ïîë³òèö³ îáñÿã îòðèìóâàíèõ çàïàñ³â º ïîñò³éíîþ âå-
ëè÷èíîþ, à â ³íø³é ïîë³òèö³ — çì³ííîþ. Äëÿ äîñòóïó âèìîã âèñîêîãî
ïð³îðèòåòó íåìຠîáìåæåíü, âèìîãè íèæ÷îãî ïð³îðèòåòó âèêîíóþòüñÿ ëèøå
òîä³, êîëè ñóìàðíà ê³ëüê³ñòü âèìîã ó ñèñòåì³ º ìåíøîþ â³ä çàäàíîãî ïîðî-
ãîâîãî çíà÷åííÿ. Ðîçðîáëåíî ìåòîäè îá÷èñëåííÿ õàðàêòåðèñòèê äîñë³äæóâà-
íèõ ñèñòåì ³ ðîçâ’ÿçàíî çàäà÷³ ¿õíüî¿ îïòèì³çàö³¿. Íàâåäåíî ðåçóëüòàòè ÷èñ-
ëîâèõ åêñïåðèìåíò³â.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ñèñòåìà îáñëóãîâóâàííÿ–çàïàñàííÿ, ïîë³òèêà ïîïîâíåííÿ
çàïàñ³â, ð³çíîòèïí³ âèìîãè, ìåòîä ðîçðàõóíêó, îïòèì³çàö³ÿ.
A.Z. Melikov, L.A. Ponomarenko, I.A. Aliyev
MARKOV MODELS OF SYSTEMS WITH TWO TYPES OF CUSTOMERS AND DIFFERENT
REPLENISHMENT POLICIES
Abstract. Markov models of queuing-inventory systems with two types of
customers are proposed. In these systems, two kinds of replenishment policies
are used: policies with fixed and variable size of order. High-priority customers
have no access constraints while low-priority customers are accepted if the total
number of customers in the system is less than a given threshold. Methods are
developed to calculate performance measures of the systems under study and
problems of their optimization are solved. Results of the numerical experiments
are shown.
Keywords: conveyor, queuing-inventory system, replenishment policy, customers
of different types, calculation method, optimization.
Ìåëèêîâ Àãàñè Çàðáàëè îãëû,
÷ë.-êîð. ÍÀÍ Àçåðáàéäæàíà, äîêòîð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð, çàâåäóþùèé ëàáîðàòîðèåé Èíñòèòóòà
ñèñòåì óïðàâëåíèÿ ÍÀÍ Àçåðáàéäæàíà, Áàêó, e-mail: agassi.melikov@rambler.ru.
Ïîíîìàðåíêî Ëåîíèä Àíàòîëüåâè÷,
äîêòîð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð, ãëàâíûé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Ìåæäóíàðîäíîãî íàó÷íî-ó÷åáíîãî öåíòðà
èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé è ñèñòåì ÍÀÍ Óêðàèíû è ÌÎÍ Óêðàèíû, Êèåâ,
e-mail: laponomarenko@ukr.net.
Àëèåâ Èñìàèëü Àëàêïåð îãëû,
äîêòîðàíò Áàêèíñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà (Àçåðáàéäæàí), e-mail: isiko94@gmail.com.
74 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 6
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-161449 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1019-5262 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T08:44:13Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Алиев, И.А. 2019-12-09T19:18:57Z 2019-12-09T19:18:57Z 2018 Марковские модели систем с двумя типами заявок и различными политиками пополнения запасов / А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко, И.А. Алиев // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 6. — С. 56-74. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/161449 519.21:658.7 Предложены марковские модели систем обслуживания–запасания с двумя типами заявок, в которых используются две политики пополнения запасов: в одной политике объем поставляемых запасов является постоянной величиной, а в другой политике — переменной. Для доступа заявок высокого приоритета нет ограничений, заявки низкого приоритета принимаются лишь тогда, когда суммарное число заявок в системе меньше заданного порогового значения. Разработаны методы расчета характеристик изучаемых систем и решены задачи их оптимизации. Приведены результаты численных экспериментов. Запропоновано марковські моделі систем обслуговування–запасання з двома типами вимог, в яких використовуються дві політики поповнення запасів: в одній політиці обсяг отримуваних запасів є постійною величиною, а в іншій політиці — змінною. Для доступу вимог високого пріоритету немає обмежень, вимоги нижчого пріоритету виконуються лише тоді, коли сумарна кількість вимог у системі є меншою від заданого порогового значення. Розроблено методи обчислення характеристик досліджуваних систем і розв’язано задачі їхньої оптимізації. Наведено результати числових експериментів. Markov models of queuing-inventory systems with two types of customers are proposed. In these systems, two kinds of replenishment policies are used: policies with fixed and variable size of order. High-priority customers have no access constraints while low-priority customers are accepted if the total number of customers in the system is less than a given threshold. Methods are developed to calculate performance measures of the systems under study and problems of their optimization are solved. Results of the numerical experiments are shown ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системний аналіз Марковские модели систем с двумя типами заявок и различными политиками пополнения запасов Марковські моделі систем з двома типами вимог і різними політиками поповнення запасів Markov models of systems with two types of customers and different replenishment policies Article published earlier |
| spellingShingle | Марковские модели систем с двумя типами заявок и различными политиками пополнения запасов Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Алиев, И.А. Системний аналіз |
| title | Марковские модели систем с двумя типами заявок и различными политиками пополнения запасов |
| title_alt | Марковські моделі систем з двома типами вимог і різними політиками поповнення запасів Markov models of systems with two types of customers and different replenishment policies |
| title_full | Марковские модели систем с двумя типами заявок и различными политиками пополнения запасов |
| title_fullStr | Марковские модели систем с двумя типами заявок и различными политиками пополнения запасов |
| title_full_unstemmed | Марковские модели систем с двумя типами заявок и различными политиками пополнения запасов |
| title_short | Марковские модели систем с двумя типами заявок и различными политиками пополнения запасов |
| title_sort | марковские модели систем с двумя типами заявок и различными политиками пополнения запасов |
| topic | Системний аналіз |
| topic_facet | Системний аналіз |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/161449 |
| work_keys_str_mv | AT melikovaz markovskiemodelisistemsdvumâtipamizaâvokirazličnymipolitikamipopolneniâzapasov AT ponomarenkola markovskiemodelisistemsdvumâtipamizaâvokirazličnymipolitikamipopolneniâzapasov AT alievia markovskiemodelisistemsdvumâtipamizaâvokirazličnymipolitikamipopolneniâzapasov AT melikovaz markovsʹkímodelísistemzdvomatipamivimogíríznimipolítikamipopovnennâzapasív AT ponomarenkola markovsʹkímodelísistemzdvomatipamivimogíríznimipolítikamipopovnennâzapasív AT alievia markovsʹkímodelísistemzdvomatipamivimogíríznimipolítikamipopovnennâzapasív AT melikovaz markovmodelsofsystemswithtwotypesofcustomersanddifferentreplenishmentpolicies AT ponomarenkola markovmodelsofsystemswithtwotypesofcustomersanddifferentreplenishmentpolicies AT alievia markovmodelsofsystemswithtwotypesofcustomersanddifferentreplenishmentpolicies |