О методе сеток при решении обратных задач гравиметрии
The problem is reduced to solving the Fredholm integral equation. It is replaced by the system of linear equations and then by a specially constructed functional. Its minimization allows one to specify the position of bodies and their excessive density.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1618 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О методе сеток при решении обратных задач гравиметрии / Е.Г. Булах // Доп. НАН України. — 2007. — N 2. — С. 108-110. — Библиогр.: 8 назв. — рус. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860236349714464768 |
|---|---|
| author | Булах, Е.Г. |
| author_facet | Булах, Е.Г. |
| citation_txt | О методе сеток при решении обратных задач гравиметрии / Е.Г. Булах // Доп. НАН України. — 2007. — N 2. — С. 108-110. — Библиогр.: 8 назв. — рус. |
| collection | DSpace DC |
| description | The problem is reduced to solving the Fredholm integral equation. It is replaced by the system of linear equations and then by a specially constructed functional. Its minimization allows one to specify the position of bodies and their excessive density.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:24:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
2 • 2007
НАУКИ ПРО ЗЕМЛЮ
УДК 550.8
© 2007
Член-корреспондент НАН Украины Е.Г. Булах
О методе сеток при решении обратных задач
гравиметрии
The problem is reduced to solving the Fredholm integral equation. It is replaced by the system
of linear equations and then by a specially constructed functional. Its minimization allows one
to specify the position of bodies and their excessive density.
Идея метода сеток для решения обратных задач гравиметрии была изложена давно. По-
лагаю, она принадлежит А.А. Юнькову, который поставил эту задачу перед автором на-
стоящей публикации в 1950 г.
Численная реализация метода была связана с большими трудностями. В практике вы-
числительного эксперимента еще не было компьютерной техники, все расчеты могли быть
выполнены только на механических арифмометрах [1, 2].
В настоящее время имеется достаточная база вычислительной техники, следовательно
можно вернуться к этому вопросу и по–новому рассмотреть его. Толчок к данному направ-
лению дали работы В.Н. Страхова [3, 4 и др.].
1. Постановка задачи. Выберем систему координат. Ее начало размещено в точке
на дневной поверхности. Ось аппликат направлена вертикально вниз, если координатная
плоскость XOY , или ξoη, будет горизонтальной. Она может совпадать с дневной поверх-
ностью, если последняя — горизонтальная плоскость. Здесь и далее введем такое правило:
точка расположена вне гравитирующих масс, тогда запишем M(x, y, z); точка размещается
внутри этих масс — M(ξ, η, ζ).
Пусть в точках дневной поверхности известно поле аномалии силы тяжести. Это по-
ле может быть аппроксимировано аналитической функцией, тогда исследователь имеет
возможность построить некоторую совокупность аномальных полей:
∆gn(xi, yi, zi) → {∆gn(xi, yi); δ∆gn(xi, yi); Vzz(xi, yi); Vzzz(xi, yi)}, i = 1, 2, . . . , n. (1)
Здесь записано, что исходное поле аномалии силы тяжести может быть приведено к точ-
кам горизонтальной плоскости z = 0. Дополнительно введем поле вариации аномалии силы
тяжести относительно этого поля в фиксированной точке. Исходное поле продифференци-
ровано и получены вторая или третья производные гравитационного потенциала.
108 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №2
Будем решать задачу для случая, когда из совокупности функции (1) взято начальное
исходное поле аномалии силы тяжести. Примем гипотезу о том, что массы с избыточной
плотностью σ = σ(ξ, η, ζ) размещены внутри некоторой области D. Запишем такую зави-
симость:
∆gn(x, y, z) = k
∫∫∫
D
σ(ξ, η, ζ)(ζ − z)
[(ξ − x)2 + (η − y)2 + (ζ − z)2]3/2
dτ. (2)
В этом выражении dτ = dξ · dη · dζ — элемент объема гравитирующих масс.
Обратимся к формуле (2), левая часть которой задана и определена в фиксированных
точках вне области интегрирования. Область интегрирования еще не определена и подле-
жит определению. Под знаком интеграла записана искомая функция σ = σ(ξ, η, ζ). Опре-
делено только ядро интегрального уравнения (2). В такой постановке задача не имеет ре-
шения. Необходимо наложить некоторые ограничения на искомые величины. Обратимся
к аппроксимационным построениям. Искомую функцию σ = σ(ξ, η, ζ) представим в виде
ступенчатой. Для этого область интегрирования D должна быть разделена на элементы
{dj}, j = 1, 2, . . . ,m. Внутри каждого элемента искомая функция не меняется
σ(ξj , ηj , ζj) = Cj = const; j = 1, 2, . . . ,m. (2.1)
Таким образом нами аппроксимирована и область интегрирования, и искомая функция.
Пусть исходная функция — левая часть уравнения (2) — известна в n точках. Перепишем
зависимость (2):
k
m
∑
j=1
σj
∫∫∫
dj
(ζ − zj) dτ
[(ξ − xi)2 + (η − yi)2 + (ζ − zi)2]3/2
= ∆gn(i), i = 1, 2, . . . , n. (3)
Области интегрирования хорошо известны. Последнее соотношение запишем так:
m
∑
j=1
σjTij = ∆gn(i), i = 1, 2, . . . , n. (3.1)
Интегральное уравнение (2) сведено к системе линейных уравнений. Если n > m, то ра-
венство (3.1) — переопределенная система. Метод наименьших квадратов может дать ре-
шение поставленной задачи.
Однако хорошо известно, что это не такая простая задача. В 1958 г. она решалась
А.А. Юньковым, Е. Г. Булахом [1, 2]. Определитель системы нормальных уравнений за-
висит от способа разбиения области интегрирования и может быть меньше единицы. Тогда
элементы обратной матрицы становятся достаточно большими числами. Даже небольшие
погрешности правой части системы (3.1) искажают результативную часть. Здесь следует
обратиться к работам В.Н. Страхова [4 и др.] и это дает надежду на удовлетворительное
решение задачи. Пока еще программное решение такой задачи только отлаживается.
Пусть априорные геологические данные позволяют построить первое приближение для
решения системы (3). Запишем такую последовательность:
P
(0) =
{
σ
(0)
1 , σ
(0)
2 , . . . , σ(0)
m
}
. (4)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 109
Систему (3), или (3.1), преобразуем к функционалу
F = F (P) =
n
∑
i=1
[
∆gn(i) −
m
∑
j=1
σjTij
]2
. (5)
Требуется найти такие составляющие вектора P, которые минимизируют функционал (5).
Обратимся к градиентному методу скорейшего спуска. Его идея была предложена еще
Коши (Cauchy 1789–1857). Далее метод совершенствовался и получил значительное разви-
тие в работах Л.В. Канторовича [5–7 и др.].
Для решения задачи выберем геологическую модель. Каждому параметру модели при-
сваивается численное решение. В итерационном процессе последовательность P, запись (4),
меняет свои составляющие. Получаем: P
(0),P(1), . . . ,P(k), . . . ,P(∗). Этот процесс неизбежно
сходится: точка сходимости всецело зависит от начального приближения. Что же касается
устойчивости решения, то можно уверенно сказать, что градиентный метод устойчив. До-
статочно, как мы полагаем, сослаться на работу [8].
При практическом использовании метода нужно учитывать ряд методических вопросов.
1. Для решения задач качественного анализа целесообразно преобразовать исходное
аномальное поле к аналитическому виду. Отсюда несложно получить последовательность
функций (1).
2. Качественный анализ исходного поля и все априорные сведения должны дать основа-
ние в выборе размещения области D. Внутри этой области распределена искомая функция
σ = σ(ξ, η, ζ).
3. Необходимо удачно найти разбивку области D на элементы {dj}. Это разделение
должно быть такое, чтобы без особых затруднений был возможен переход от общей запи-
си (3) к вполне определенной системе (3.1).
Теперь обратную задачу можно решить по какому–либо элементу гравитационного поля.
Проверка алгоритма решения задачи на модельных примерах позволяет говорить, что
описанный метод найдет применение при решении практических задач.
1. Юньков А.А., Булах Е. Г. Возможности использования метода сеток для интерпретации аномалий
горизонтального градиента силы тяжести // Тр. ин-та геол. наук АН УССР. Сер. геофиз. – 1958. –
№ 2. – С. 94–97.
2. Юньков А.А., Булах Е. Г. О точности определения плотности аномальных масс методом сеток //
Докл. АН УССР. – 1958. – № 11. – С. 1234–1237.
3. Страхов В.Н. Алгебраические методы в решении обратных задач гравиметрии (решение обратных
задач без решения прямых задач) // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гра-
витационных, магнитных и электрических полей: В 2-х ч. Ч. 2. – Москва: Изд-во ОИФЗ РАН, 2002. –
С. 15–18.
4. Страхов В.Н., Страхов А. В. О решении систем линейных алгебраических уравнений, возникающих
в гравиметрии и магнитометрии // Докл. РАН. – 1999. – 368, № 4. – С. 545–548; № 5. – С. 683–686.
5. Канторович Л.В. Об одном эффективном методе решения экстремальных задач для квадратичных
функционалов // Докл. АН СССР. – 1945. – 48, № 7. – С. 483–487.
6. Канторович Л.В. О методе наискорейшего спуска // Там же. – 1947. – 56, № 3. – С. 233–236.
7. Канторович Л.В. Функциональный анализ и прикладная математика. – Москва: УМН, 1948. – 3,
вып. 6(28). – С. 89–185.
8. Старостенко В.И., Оганесян С.М. Некорректно поставленные задачи по Адамару и их прибли-
женное решение методом регуляризации по А.Н. Тихонову // Геофиз. журн. – 2001. – 23, № 6. –
С. 3–20.
Поступило в редакцию 27.09.2006Институт геофизики им. С.И. Субботина
НАН Украины, Киев
110 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1618 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:24:45Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Булах, Е.Г. 2008-08-29T09:34:16Z 2008-08-29T09:34:16Z 2007 О методе сеток при решении обратных задач гравиметрии / Е.Г. Булах // Доп. НАН України. — 2007. — N 2. — С. 108-110. — Библиогр.: 8 назв. — рус. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1618 550.8 The problem is reduced to solving the Fredholm integral equation. It is replaced by the system of linear equations and then by a specially constructed functional. Its minimization allows one to specify the position of bodies and their excessive density. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Науки про Землю О методе сеток при решении обратных задач гравиметрии Article published earlier |
| spellingShingle | О методе сеток при решении обратных задач гравиметрии Булах, Е.Г. Науки про Землю |
| title | О методе сеток при решении обратных задач гравиметрии |
| title_full | О методе сеток при решении обратных задач гравиметрии |
| title_fullStr | О методе сеток при решении обратных задач гравиметрии |
| title_full_unstemmed | О методе сеток при решении обратных задач гравиметрии |
| title_short | О методе сеток при решении обратных задач гравиметрии |
| title_sort | о методе сеток при решении обратных задач гравиметрии |
| topic | Науки про Землю |
| topic_facet | Науки про Землю |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1618 |
| work_keys_str_mv | AT bulaheg ometodesetokprirešeniiobratnyhzadačgravimetrii |