Структуры данных в задачах с неопределенностью
Рассмотрены нечеткие условно-линейные отношения – структуру данных, которая делает возможным нечеткую трансформацию существующих точечных методов вычислений при наличии взаимодействующих переменных и линейных зависимостей между ними. В качестве примера использования предложенного подхода рассмотрены...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Компьютерная математика |
|---|---|
| Datum: | 2019 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2019
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/161930 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Структуры данных в задачах с неопределенностью / О.В. Верёвка // Компьютерная математика. — 2019. — № 1. — С. 28-37. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-161930 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Веревка, О.В. 2019-12-27T20:41:03Z 2019-12-27T20:41:03Z 2019 Структуры данных в задачах с неопределенностью / О.В. Верёвка // Компьютерная математика. — 2019. — № 1. — С. 28-37. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 2616-938Х https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/161930 681.3: 06.51 Рассмотрены нечеткие условно-линейные отношения – структуру данных, которая делает возможным нечеткую трансформацию существующих точечных методов вычислений при наличии взаимодействующих переменных и линейных зависимостей между ними. В качестве примера использования предложенного подхода рассмотрены нечеткие оценки вероятностей. Привлечение условных нечетких отношений является эффективным способом обеспечения корректности результатов, в частности выполнения четких условий при использовании нечеткой информации. Розглянуто нечіткі умовно-лінійні відношення – структуру даних, що уможливлює нечітку трансформацію існуючих точкових методів обчислень при наявності взаємодіючих змінних та лінійних залежностей між ними. Як приклад застосування наведеного підходу розглянуто нечіткі оцінки ймовірностей. Використання умовних нечітких відношень є потужним засобом забезпечення коректності результатів, зокрема виконання чітких умов при застосуванні нечіткої інформації. Fuzzy conditionally-linear relations are considered. This data structure provides fuzzy transformation possibility for existing point methods of calculations in the presence of fuzzy interactive variables and linear dependences between them. As an example of the approach, fuzzy probability estimates are considered. The use of conditional fuzzy relationships is a powerful mean for providing the correctness of results. In particular, it provides implementation of non-fuzzy conditions when using fuzzy information. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Инструментальные средства информационных технологий Структуры данных в задачах с неопределенностью Структури даних у задачах iз невизначеністю Data structures in problems with uncertainty Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Структуры данных в задачах с неопределенностью |
| spellingShingle |
Структуры данных в задачах с неопределенностью Веревка, О.В. Инструментальные средства информационных технологий |
| title_short |
Структуры данных в задачах с неопределенностью |
| title_full |
Структуры данных в задачах с неопределенностью |
| title_fullStr |
Структуры данных в задачах с неопределенностью |
| title_full_unstemmed |
Структуры данных в задачах с неопределенностью |
| title_sort |
структуры данных в задачах с неопределенностью |
| author |
Веревка, О.В. |
| author_facet |
Веревка, О.В. |
| topic |
Инструментальные средства информационных технологий |
| topic_facet |
Инструментальные средства информационных технологий |
| publishDate |
2019 |
| language |
Russian |
| container_title |
Компьютерная математика |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Структури даних у задачах iз невизначеністю Data structures in problems with uncertainty |
| description |
Рассмотрены нечеткие условно-линейные отношения – структуру данных, которая делает возможным нечеткую трансформацию существующих точечных методов вычислений при наличии взаимодействующих переменных и линейных зависимостей между ними. В качестве примера использования предложенного подхода рассмотрены нечеткие оценки вероятностей. Привлечение условных нечетких отношений является эффективным способом обеспечения корректности результатов, в частности выполнения четких условий при использовании нечеткой информации.
Розглянуто нечіткі умовно-лінійні відношення – структуру даних, що уможливлює нечітку трансформацію існуючих точкових методів обчислень при наявності взаємодіючих змінних та лінійних залежностей між ними. Як приклад застосування наведеного підходу розглянуто нечіткі оцінки ймовірностей. Використання умовних нечітких відношень є потужним засобом забезпечення коректності результатів, зокрема виконання чітких умов при застосуванні нечіткої інформації.
Fuzzy conditionally-linear relations are considered. This data structure provides fuzzy transformation possibility for existing point methods of calculations in the presence of fuzzy interactive variables and linear dependences between them. As an example of the approach, fuzzy probability estimates are considered. The use of conditional fuzzy relationships is a powerful mean for providing the correctness of results. In particular, it provides implementation of non-fuzzy conditions when using fuzzy information.
|
| issn |
2616-938Х |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/161930 |
| citation_txt |
Структуры данных в задачах с неопределенностью / О.В. Верёвка // Компьютерная математика. — 2019. — № 1. — С. 28-37. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT verevkaov strukturydannyhvzadačahsneopredelennostʹû AT verevkaov strukturidanihuzadačahizneviznačenístû AT verevkaov datastructuresinproblemswithuncertainty |
| first_indexed |
2025-11-27T08:44:37Z |
| last_indexed |
2025-11-27T08:44:37Z |
| _version_ |
1850806593024688128 |
| fulltext |
28 ISSN 2616-938X. Компьютерная математика. 2019, № 1
Инструментальные
средства
информационных
технологий
Рассмотрены нечеткие условно-
линейные отношения – структуру
данных, которая делает возмож-
ным нечеткую трансформацию
существующих точечных мето-
дов вычислений при наличии вза-
имодействующих переменных и
линейных зависимостей между
ними. В качестве примера исполь-
зования предложенного подхода
рассмотрены нечеткие оценки
вероятностей. Привлечение услов-
ных нечетких отношений являет-
ся эффективным способом обе-
спечения корректности результа-
тов, в частности выполнения
четких условий при использовании
нечеткой информации.
О.В. Верёвка, 2019
УДК 681.3: 06.51
О.В. ВЕРЁВКА
СТРУКТУРЫ ДАННЫХ В ЗАДАЧАХ
С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ
Введение. Математические методы и про-
граммное обеспечение для решения боль-
шинства задач созданы в предположении на-
личия достаточного количества идеальных
данных в стабильных условиях совершенно-
го мира. Однако часто реальная информация
весьма приблизительна, выводы, полученные
на её основе, – жизненно важны, а последст-
вия принятых на её основе решений – необ-
ратимы. Полученная оценка, например, мо-
жет рассматриваться как показатель безопас-
ности, а достижение ею критического значе-
ния – основанием для активизации форс-
мажорных мероприятий. Специальные мето-
ды теории неопределенности, направленно
разработанные для создания гипотетической
модели текущей ситуации, построенной на
основе реальных, обычно зашумленных не-
четких данных, могут предоставить более
приемлемые результаты с аргументирован-
ной и понятной интерпретацией; они суще-
ственно расширяют возможности и снижают
риски практического использования резуль-
татов. Исследуемые проблемы могут быть
настолько сложными, что их решение требу-
ет привлечения многошаговой процедуры с
нечеткостью второго порядка. Примером яв-
ляется задача прогнозирования на основе
анализов крови возможности рецидива выле-
ченного онкозаболевания с привлечением
моделей случайного блуждания.
Для создания нечеткой версии математи-
ческих методов необходимо выбрать множе-
ство данных и их представление, т. е. опре-
делить, что является существенным и ин-
формативным в текущих неопределенных
СТРУКТУРЫ ДАННЫХ В ЗАДАЧАХ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ
ISSN 2616-938X. Компьютерная математика. 2019, № 1 29
обстоятельствах, как это следует учитывать и в какой форме представлять,
исследовать внутренние зависимости и определить математические операции
с избранными структурами данных, аргументировать сделанный выбор. Конст-
руктивным подходом к разработке нечетких методов является модификация
существующих программно реализованных точечных версий. Задачи формули-
руются таким образом, чтобы сберечь математическую корректность и понят-
ность интерпретации входных данных, результатов и самого процесса решения
задачи, причем стартовые методы для точечного случая должны быть гранич-
ными вариантами случая нечеткого.
В предлагаемой статье рассмотрены нечеткие условно-линейные отношения
– структура данных для нечетких вычислений при наличии линейных ограниче-
ний. В качестве примера нечетких условно-линейных отношений рассмотрены
нечеткие оценки вероятностей, используемые, в частности, при создании нечет-
ких байесовских сетей и экспертных систем. Условные нечеткие отношения яв-
ляются эффективным средством обеспечения выполнения четких условий при
использовании нечетких методов.
Основные обозначения и предположения. Далее используются базовые
определения нечеткого числа и нечеткого отношения согласно [1]. Нечеткое
число A – нормальное выпуклое нечеткое множество, определенное на действи-
тельной оси, с функцией принадлежности (ф.п.) RxA :)(μ [0,1]. [0, 1]
-сечение )α(AS – непрерывный закрытый или открытый интервал действи-
тельной прямой, )α(AS ={ L
As (), R
As ()}; 12 )α( 1AS )α( 2AS . Соответст-
венно нечеткое N-арное отношение A на множестве UR – нечеткое нормальное
выпуклое множество с ф.п. 1][0,:)..,.,,(μ 21 N
NA Uxxx ; [0, 1] -сечение
)α(AS – выпуклое множество. Отношение A называется бинарным при 2N и
тернарным, когда 3.N N-арное нечеткое отношение A назовем условным не-
четким отношением, если N
AN RSxxx )0()..,.,,( 21 выполняются заданные
зависимости RESTRICT )..,.,,( 21 Nxxx . Нечеткое отношение A назовем условно-
линейным, или просто линейным, если множество RESTRICT )..,.,,( 21 Nxxx со-
стоит из линейных неравенств и равенств. Нечеткое линейное отношение
)},,...,,(μ,,...,,{ 2121 NN xxxxxxA [0,1][0,1]:),...,,(μ 21 N
Nxxx
назовем вероятностным, если ),...,,( 21 Nxxx N
AS [0,1])0( множество огра-
ничений RESTRICT )..,.,,( 21 Nxxx содержит условие
1
1.
N
n
n
x
(1)
О.В. ВЕРЁВКА
ISSN 2616-938X. Компьютерная математика. 2019, № 130
В основе соотношений для нечетких расчетов лежит принцип обобщения,
согласно которому функция Y ),...,,( 21 MZZZF с ф.п. Y(y) от M нечетких
чисел M
mmZ 1}{ с ф.п. M
mZ z
m 1)}({μ задается соотношением
),...,,( 21 MZZZF
α
1 )α)(...,α),((α MSSF ,
где )}α(),α({)α( R
m
L
mm ssS – множество -уровня, 01, нечеткого числа mZ
(носитель при 0, ядро при 1; использован индекс L (left) для левой
границы сечений ф.п. и R (right) для правой) [1–3]. Такое определение делает
возможным выполнение любых вычислений с многомерными нечеткими вели-
чинами.
Выбор структуры данных. Математические методы и программное обес-
печение для решения задач в нечетком информационном пространстве сущест-
венно сложнее, чем в точечном случае, в том числе из-за специфичных, порож-
денных нечеткостью проблем, которые в четком или интервальном случаях про-
сто не возникают. Вследствие этого нечеткие системы имеют сложную отлич-
ную от систем точечных архитектуру и требуют на этапе создания тщательного
анализа возможных стандартных и внештатных ситуаций. Вид привлеченных
для анализа данных является определяющим. Наиболее распространенными
данными являются числа (точки в пространстве RN, N 1), интервалы (соответст-
венно параллелепипеды) и нечеткие числа. Корректность правил нечетких вы-
числений существенно опирается на жесткое предположение, что нечеткие ар-
гументы соотношений являются невзаимодействующими. Это требование дела-
ет невозможным создание нечетких версий большинства известных методов
простой подстановкой нечетких чисел в соответствующие соотношения, проек-
ции результатов операций с нечеткими множествами отличаются от результатов
тех же операций с проекциями этих множеств без учета взаимодействия компо-
нент нечетких отношений [1]. Решением проблемы часто является использова-
ние в качестве структуры данных условных нечетких отношений: имеющиеся N
взаимодействующих величин рассматриваются как компоненты одного нечетко-
го отношения. Ф.п. N-мерного нечеткого отношения является функцией на де-
картовом произведении 1NR , 2N , от N аргументов на множестве специфич-
ной структуры в пространстве .NR Носитель в NR определяется так, чтобы ка-
ждая его точка удовлетворяла условиям RESTRICT )..,.,( 1 Nxx .
Представление данных, соответствующих условным небинарным отноше-
ниям, нетривиально и сильно влияет на результат. Рассмотрим два способа
представления таких данных, условно назовем их эпюрным и топографическим.
Эпюрное представление нечетких отношений. Пусть { nA } N
n 1 – взаимо-
действующие компоненты нечеткого условного отношения А с ф.п.
)..,.,,(μ 21 NA xxx , и )(μ nA x
n
– проекция )..,.,,(μ 21 NA xxx на плоскость yxn0 ,
}(0)),...,,(),,...,,({μ
,,1,
sup)(μ 2121 ANNA
k
nnA Sxxxxxx
nkNkx
x
. (2)
СТРУКТУРЫ ДАННЫХ В ЗАДАЧАХ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ
ISSN 2616-938X. Компьютерная математика. 2019, № 1 31
Обратное представление нечеткой оценки А по ортогональным проекциям
на координатные плоскости базируется на чрезвычайно сильном предположе-
нии, что поверхность )..,.,,(μ 21 NA xxx образуется пересечением цилиндриче-
ских продолжений N своих теней N
nnA x
n 1)}({μ (рис. 1). Будем называть пред-
ставление нечеткого отношения А множеством }{ nА N
n 1 ортогональных проек-
ций на координатные плоскости yxn0 эпюрным [4, 5]. )..,.,(μ 1 NA xx монотонно
убывает от ядра, -сечения [0, 1] – выпуклые множества (рис. 2).
РИС. 1. Эпюрный подход: а – -сечение S( ), 0 1, тернарного вероятностного
отношения по проекциям 3
1{ , }L R
n n nS S на оси 3
1{0 } ;n nx б – на координатной
плоскости 1 20x x тени (шестиугольник) -сечения S( ), тернарного
вероятностного отношения по концам { L
ns , R
ns } 3
1n проекций S( )
Предположим, что избран базовый точечный метод для разработки нечеткой
версии для модели на основе линейных уравнений, неравенств и монотонных
функций без особых точек. При эпюрном представлении данных полезными
являются следующие действия: условия в форме равенств, например (1), исполь-
зовать для замены переменных, уменьшив таким образом размерность простран-
ства задачи. Соотношения RESTRICT ,,( 21 xx ..., xN) использовать для форми-
рования пространственных в NR представлений носителя и ядра нечетких
отношений, с учетом математических требований и условий корректности,
x3 x2
1– Ls3
Rs2
1– Rs3
Ls2
0 Ls1 1– Rs3
Rs1 1– Ls3 1 x1
x2
б
x1 а
О.В. ВЕРЁВКА
ISSN 2616-938X. Компьютерная математика. 2019, № 132
РИС. 2. Пример – ф.п. 1 2μ ( , )A x x
нечеткого бинарного отношения,
не являющегося вероятностным,
или – проекции ф.п. 1 2 3μ ( , , )A x x x
нечеткого тернарного вероятностно-
го отношения в пространство 3R
по оси 30x
обусловленных нечеткостью взаимодействующих переменных. Исследовать на
возрастание/убывание полученное выражение искомой оценки. Монотонность
оценочных соотношений на основе полилинейных моделей позволяет свести
сложную (по многомерному объёму) оптимизационную задачу к поиску экстре-
мальных значений в конечном дискретном множестве определяющих точек,
и окончательное значение можно представить в виде ортогональных проекций
на координатные плоскости N
nn yx 1}0{ , используя операции типа (2). С воз-
растанием N стремительно возрастает сложность гарантирования корректности,
для чего уже при 3N необходимо создание специального программного
обеспечения. Данный подход имеет непреодолимый дефект: экстремумы дости-
гаются в вершинах многоугольников (усеченных параллелепипедов) -сечений
соответствующих оценок [4, 5]. Тени (шестиугольник) на координатной плоско-
сти 210xx -сечения S(), 0 1, тернарного вероятностного отношения с
концами { L
ns , R
ns } 3
1n на оси 3
1}{0 nnx могут соответствовать разные конфигу-
рации S(), например, темный овал на рис. 1, б. Экстремальные значения моно-
тонной целевой функции без особенностей достигаются в определяющих точках
– вершинах описанного вокруг овала шестиугольника (на рисунке обозначены
жирными точками), в частности, возможно, в точках { Ls1 , Rs2 1–( Ls1 + Rs2 )}
и { Rs1 , Ls2 , 1–( Rs! + Ls2 )} в 3R , далеких от реального -сечения S(). Увеличе-
ние N не способствует улучшению ситуации, и может существенно ухудшить её.
Топографическое представление нечетких отношений. Мониторинг
сложной системы может опираться на анализ N взаимодействующих нечетко
оцененных показателей функционирования системы. Экспертно, с соблюдением
RESTRICT, для [0, 1] (всегда для {0, 1} и часто для = определены
множества B()= α
1)}α({ J
jjx J точек ))α(),...,α(),α(()α( 21 jNjjj xxxx , при-
надлежащих – сечениям априорных оценок. Представление -сечений нечет-
ких условно-линейных отношений множествами B() принадлежащих им точек
назовем топографическим или табличным. По топографическому представле-
нию легко получить эпюрное,
x1
x2
y
СТРУКТУРЫ ДАННЫХ В ЗАДАЧАХ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ
ISSN 2616-938X. Компьютерная математика. 2019, № 1 33
)},α()α(),α({
,1
max)α(s)},α()α(),α({
,1
min)α(s
αα
Bxx
Jj
Bxx
Jj
jjn
R
njjn
L
n
так, что результат при вероятностном оценивании в бинарном случае не зависит
от представления данных.
Рассмотрим возможную последовательность оценивания при топографиче-
ском представлении данных на примере тернарного ( 3N ) вероятностного
условно-линейного отношения (рис. 3).
а
РИС. 3. Топографическое представление α -сечения для нечеткой оценки вероятности
в тернарном случае: а – построение аппроксимирующего многоугольника для S();
б – пример устранения некорректности априорной информации
1. Вследствие (1) точки B() можно спроецировать на плоскость x10x2, не
исказив их взаимного расположения (крупные точки на рис. 3, а). Соединив ка-
ждую из точек B() с каждой из остальных отрезками прямых, сгруппировать
вершины B() в два множества – внутренние (на рис. 3, а их 2, они белые)
и внешние – множество BВНЕШНИЕ() (6 черных крупных точек). В дальнейшем
многоугольник (шестиугольник) рассматривать как вписанный в контур
-сечения S() и являющийся его приближением.
2. Все вершины множества BВНЕШНИЕ() использовать как определяющие
точки. Искомые оценки получить как экстремумы по всем возможным комбина-
циям координат, определяющих точек каждой из входящих в соответствующие
математические соотношения величин.
Последовательность действий при N ≥4 аналогична. При N = 4, например,
точки B() можно спроецировать в пространство 0x1x2x3, каждую тройку вершин
соединить фрагментом плоскости, определить внешние вершины и т. д., однако
целесообразность вариантов с N ≥ 4 весьма проблематична.
Для обеспечения корректности нечетких вычислений в программных сред-
ствах должен содержаться активный контролирующий блок. На рис. 3, б показан
пример некорректности исходных данных, представленных топографически,
в тернарном случае на этапе ввода информации. Пятиугольник с номерами
вершин от 1 до 5 соответствует S(), ядро S() представлено треугольником
(вершины с номерами от 6 до 8). Вершины ядра с номерами 6 и 8 выходят
1 2
A 6 C
7
5 3
8 D
B
4 б
О.В. ВЕРЁВКА
ISSN 2616-938X. Компьютерная математика. 2019, № 134
за ребра носителя 1÷5 и 4÷5. Контролирующая программа предлагает эксперту
простейшие варианты коррекции: либо ребро 6÷8 ядра переносится вовнутрь
носителя (C÷D), либо ребра носителя 1÷5 и 4÷5 заменяются парами 1÷A и A÷5,
4÷B и B÷5.
Нечеткая оценка вероятности. В качестве примера рассмотрим оценива-
ние вероятности в нечетких экспертных системах и байесовских сетях [4]. Пусть
система может пребывать в одном из допустимых состояний N
nnA 1}{ , обра-
зующих полную группу. Нечеткая оценка вероятности N
nnAP 1)}(~{ – нечеткая
N -арная вероятность отношения. Точка носителя ),...,,( 21 Nxxx – оценка для
N
nnn xAP 1})(~{ , ф.п. :),...,,(μ 21 Nxxx [0,1][0,1] N задает её «рейтинг»,
принимающий значения от 0 до 1, так что нечеткая оценка вероятности вполне
органично относится к байесовскому направлению вероятностных исследова-
ний. В бинарном варианте носитель 2)0( RS – отрезок диагонали 121 xx
квадрата 2[0,1] , расположенный между точками (1,0) и (0,1)
(рис. 4, а; ф.п. ),(μ 21 xx удобно рассматривать как функцию одной переменной,
(x) (x, 1 – x), соответствующий носитель [0,1])0(1 S – отрезок на оси 0x1
между 0 и 1 (рис. 4, б). В бинарном случае каких-либо усложнений не возникает.
Условия корректности точечных значений легко видоизменяются для носителей
нечетких оценок. Например, для исследования взаимозависимости пары объек-
тов A и B, которые могут пребывать в состояниях A и ,A B и ,B одним из
требований информативности точечных данных является выполнение со-
отношения P(A/B)P(A/ B ) для оценок условных вероятностей. Для нечеткой
версии это требование просто трансформируется в support{ P~ (A/B)}
support{ P~ (A/ B )} . Учет (1) обеспечивает математическую корректность
нечетких модификаций точечных алгоритмов и интерпретируемость промежу-
точных и окончательных результатов. Основные формулы для пересчета полу-
чаются элементарными заменами типа A 1–A.
При 2N определить ф.п. нечеткой оценки вероятности как оригиналь-
ную функцию N переменных в пространстве 1[0,1] N достаточно сложно [4,
5]. Нужно, во-первых, корректно оценить в N -мерном пространстве область
носителя, каждая из точек ),...,,( 21 Nxxx которого должна удовлетворять
основному условию (1) и, во-вторых, задать функцию N аргументов
y [0,1]),...,,(μ 21 Nxxx на точках носителя таким образом, чтобы её проек-
ции на координатные плоскости были нечеткими числами. Рассмотрим необхо-
димые дополнительные действия, которые не гарантируют качества результата,
а лишь очерчивают зону его пребывания, в простейшем варианте N = 3.
СТРУКТУРЫ ДАННЫХ В ЗАДАЧАХ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ
ISSN 2616-938X. Компьютерная математика. 2019, № 1 35
Пусть необходимо учесть вероятностное отношение P~ , заданное проекция-
ми { np~ } 3
1n . Каждой точке одного из интервалов с границами L
ns (), R
ns (),
3,1n должна соответствовать хотя бы одна точка каждой из остальных проек-
ций, что определяет необходимость выполнения условий: [0,1]α,1, Nn ,
1)α()(
,1
R
n
nkNk
L
k sαs ; 1)α()α(
,1
L
n
nkNk
R
k ss . L
ns (0) L
ns (1) R
ns (1) R
ns (0).
Если { np~ } 3
1n – трапециевидные или треугольные нечеткие числа, достаточно
выполнения приведенных неравенств для границ носителя и ядра. Информаци-
онное наполнение системы выполняется экспертом с помощью специальной
компоненты, вычисляющей и предоставляющей границы допустимых интерва-
лов, в пределах которых должна располагаться задаваемая оценка [6]:
Ls3 (0) [max{0, 1– [ Rs1 (0) + Rs2 (0)]};
min{1–[ Ls1 (0)+ Rs2 (0)], 1–[ Rs1 (0)+ Ls2 (0)], 1–[ Ls1 (1)+ Rs2 (1)], 1–[ Rs1 (1)+ Ls2 (1)]}];
Ls3 (1)[max{ Ls3 (0),1–[ Rs1 (1)+ Rs2 (1)]}; min{1–[ Ls1 (1)+ Rs2 (1)],1–[ Rs1 (1)+ Ls2 (1)]}];
Rs3 (1)[max{ Ls3 (1), 1–[ Rs1 (1)+ Ls2 (1)], 1–[ Ls1 (1)+ Rs2 (1)]}; 1–[ Ls1 (1)+ Ls2 (1)] ];
Rs3 (0) [max{ Rs3 (1), 1– [ Rs1 (0)+ Ls2 (0)], 1– [ Ls1 (0)+ Rs2 (0)].
1– [ Ls1 (1)+ Rs2 (1)], 1– [ Rs1 (1)+ Ls2 (1)] },
1– [ Ls1 (0) + Ls2 (0)] ].
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
1–(х) для
P( A )
(х) для
P(A)
РИС. 4. Пример ф.п. нечеткой оценки бинарной вероятности
Вероятностные системы базируются на полилинейных формуле полной ве-
роятности и цепной формуле, и на формуле Байеса, дробно-линейной по каждо-
му из аргументов, причем на носителях отсутствуют стационарные или особен-
ные точки. Вследствие этого вычисление оценок по функциям ),...,,( 21 MzzzF
указанного типа, использующих информацию P~ о mz , достаточно выполнять
лишь на 6 точках множества )α(mW вершин α -сечения 3[0,1])α( mS , и даль-
нейший поиск -сечения )]α(),α([ RL ff оценки { ),...,,( 21 MzzzF } по множест-
вам -уровня )α(mS нечетких оценок вероятностей mZ , Mm 1 , сводится
к определению экстремумов конечного дискретного множества.
0 , 2
0 , 4
0 , 6
0 , 8
1
1 , 2
1 , 4
1 , 6
1 , 8
2
2 , 2
2 , 4
0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8 1 1 , 2 1 , 4 1 , 6 1 , 8 2 2 , 2 2 , 4
0 s L
2 s R
2 1 x2
1
x1
y
s L
1
s R
1
4, б)
4, a)
О.В. ВЕРЁВКА
ISSN 2616-938X. Компьютерная математика. 2019, № 136
При каждом > 3N вышепредставленные условия и ограничения имеют
свои конкретные выражения, их количество и сложность проверок на коррект-
ность стремительно возрастает [4, 5]. Таким образом, чисто технически вычис-
ления можно выполнить для произвольного > 2,N но представить общую кар-
тину для содержательной интерпретации полученных значений сложно, а их
пригодность для дальнейшего анализа и выводов проблематична [7, 8]. Из изло-
женного вытекают следующие утверждения:
1) вычисления, базирующиеся на нечетких оценках вероятностей, коррект-
ны и математически обоснованы лишь в чисто бинарных случаях;
2) значение количества взаимодействующих компонент N в нечетком отно-
шении должно быть минимальным, желательно манипулировать бинарными
отношениями, для чего, возможно, придется переформулировать постановку
задачи или пересмотреть выбор и тип используемых данных. Так, мультиаль-
тернативные ситуации (выбор лучшего из нескольких вариантов при одновре-
менном взаимном сравнении их оценок) целесообразно свести к нескольким за-
дачам парного выбора (каждая альтернативная ситуация против совместного
объединения остальных вариантов, с дальнейшим выбором согласно со всеми
индивидуальными оценками). Это упрощает начальное оценивание, улучшает
интерпретацию результатов и позволяет провести корректную нечеткую моди-
фикацию исходных математических методов;
3) при эпюрном представлении только для оценок бинарных вероятностей
ф.п. выбирается в форме любого нечеткого числа на [0, 1]. В остальных случаях
достаточным является сплайн, линейно соединяющий экстремумы проекций но-
сителя и ядра. Выбор более сложной формы результата не улучшает.
Выводы. При разработке программных систем важнейшую роль имеет че-
ловеческий фактор, и наиболее сложным этапом является создание базы данных.
Помимо квалификации экспертов, у каждого из которых есть свой уникальный
опыт, необходима их готовность пойти на компромисс с коллегами и поделиться
своими знаниями. Может понадобиться цикл диалогов математиков с эксперта-
ми, в ходе которых обе стороны уточняют, что именно они хотят и как могут
получить желаемое. В случае правильного выбора входных данных приемлемые
результаты могут быть получены даже при использовании простых схем зави-
симостей информационных потоков (в идеале – дерево [9]). Запоминающимся
примером нечеткого экспертного оценивания является консилиум, приведенный
в [10]. Состояние пациента эксперты позиционируют вербально, и информатив-
ность U(e)[–1, 1] их высказываний может быть оценена лишь нечетко, причем
высказывания являются как корректными («пациент скорее жив, чем мертв»,
левая граница ядра равна 0), так и бесполезными («одно из двух, либо пациент
жив, либо он умер», 0 в центре ядра). Перспективы развития ситуации также не-
определенны («если он жив – он останется живим или не останется живим»).
Несмотря на зыбкость ситуации, выбранный консилиумом лечебный препарат
оказался эффективным.
СТРУКТУРЫ ДАННЫХ В ЗАДАЧАХ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ
ISSN 2616-938X. Компьютерная математика. 2019, № 1 37
О.В. Верьовка
СТРУКТУРИ ДАНИХ У ЗАДАЧАХ IЗ НЕВИЗНАЧЕНІСТЮ
Розглянуто нечіткі умовно-лінійні відношення – структуру даних, що уможливлює нечітку
трансформацію існуючих точкових методів обчислень при наявності взаємодіючих змінних
та лінійних залежностей між ними. Як приклад застосування наведеного підходу розглянуто
нечіткі оцінки ймовірностей. Використання умовних нечітких відношень є потужним засо-
бом забезпечення коректності результатів, зокрема виконання чітких умов при застосуванні
нечіткої інформації.
О.V. Verovka
DATA STRUCTURES IN PROBLEMS WITH UNCERTAINTY
Fuzzy conditionally-linear relations are considered. This data structure provides fuzzy transforma-
tion possibility for existing point methods of calculations in the presence of fuzzy interactive vari-
ables and linear dependences between them. As an example of the approach, fuzzy probability esti-
mates are considered. The use of conditional fuzzy relationships is a powerful mean for providing
the correctness of results. In particular, it provides implementation of non-fuzzy conditions when
using fuzzy information.
Список литературы
1. Мациевский С.В. Нечеткие множества. Калининград: Изд-во Калинингр. ун-та, 2004. 176 с.
2. Борисов А.Н., Алексеев А.В., Меркурьева Г.В. и др. Обработка нечеткой информации
в системах принятия решений. М.: Радио и связь, 1989. 304 с.
3. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию прибли-
женных решений. М.: Мир, 1976. 165 с.
4. Парасюк И.Н., Верёвка О.В. Математические основы вероятностного оценивания в не-
четких байесовских сетях доверия. Кибернетика и системный анализ. 2016. Т. 52, № 2.
С. 37 – 50.
5. Верёвка О.В. Эпюрное представление информации в нечетких байесовских сетях. Ком-
пьютерная математика. 2013. № 1. С. 52 – 60.
6. Верёвка О.В., Карпинка Е.С. Информационное наполнение нечеткой байесовской сети.
Компьютерная математика. 2014. № 2. С. 57 – 63.
7. Верёвка О.В., Карпинка Е.С. Априорное оценивание в байесовских сетях при ярусном
подходе. Часть 1. Компьютерная математика. 2017. № 1. С. 55 – 62.
8. Верёвка О.В. Априорное оценивание в байесовских сетях при ярусном подходе. Часть 2.
Компьютерная математика. 2017. № 2. С. 54 – 61.
9. Верёвка О.В. Распространение вероятностей в нечетких древовидных байесовских сетях.
Компьютерная математика. 2012. № 2. С. 10 – 17.
10. Толстой А. Золотой ключик или приключения Буратино. Вильнюс: Витурис, 1988. 126 с.
Получено 15.02.2019
Об авторе:
Верёвка Ольга Викторовна,
кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник
Института кибернетики имени В.М.Глушкова НАН Украины.
E-mail: verovka.olga@gmail.com
|