Виділення детермінованої складової періодично нестаціонарних випадкових процесів методом найменших квадратів
The investigation results of mean least square estimate for periodically nonstationary processes – mathematical model of stochastic oscillations – are considered. The formulas for estimate statistical characteristics are analyzed. The examples of typical processes analysis are shown.
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/16197 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Виділення детермінованої складової періодично нестаціонарних випадкових процесів методом найменших квадратів / І.М. Яворський, Р.М. Юзефович, І.Б. Кравець // Відбір і оброб. інформації: Міжвід. зб. наук. пр. — 2010. — Вип. 32(108). — С. 16-25. — Бібліогр.: 9 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860086140495724544 |
|---|---|
| author | Яворський, І.М. Юзефович, Р.М. Кравець, І.Б. |
| author_facet | Яворський, І.М. Юзефович, Р.М. Кравець, І.Б. |
| citation_txt | Виділення детермінованої складової періодично нестаціонарних випадкових процесів методом найменших квадратів / І.М. Яворський, Р.М. Юзефович, І.Б. Кравець // Відбір і оброб. інформації: Міжвід. зб. наук. пр. — 2010. — Вип. 32(108). — С. 16-25. — Бібліогр.: 9 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | The investigation results of mean least square estimate for periodically nonstationary processes – mathematical model of stochastic oscillations – are considered. The formulas for estimate statistical characteristics are analyzed. The examples of typical processes analysis are shown.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:19:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0474-8662. Information Extraction and Proces. 2010. Issue 32 (108)16
621.391:519.22
. . , . . , . .
The investigation results of mean least square estimate for periodically nonstationary processes –
mathematical model of stochastic oscillations – are considered. The formulas for estimate
statistical characteristics are analyzed. The examples of typical processes analysis are shown.
Key words: periodically correlated random processes (PCRP), mean, correlation function,
least squares estimate, bias, variance.
-
–
. , .
.
: ( ),
, , , , .
( ), -
, , -
[1–5]. , ,
, , -
[6, 7].
( ) ( )m t E t , E – , -
( , ) ( ) ( )b t u E t t u , ( ) ( ) ( )t t m t ,
t :
0( ) ik t
k
k
m t m e , 0( , ) ( ) ik t
k
k
b t u B u e ,
0
2
T
; T – .
-
( )m t ( , )b t u ( – t
u ), km ( )kB u ( -
). [8],
[9] .
:
1
0
1ˆ ( ) ( )
N
n
m t m t nT
N
,
1
0
1ˆ ˆ ˆ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
N
n
b t u t nT m t nT t u nT m t u nT
N
.
N – , , – -
. . , . . , . . , 2010
ISSN 0474-8662. . 2010. . 32 (108) 17
1
0
1
1ˆ ˆ( )
N
ik t
k
k N
m t m e
N
,
2
0
2
1ˆ ˆ( , ) ( )
N
ik t
k
k N
b t u B u e
N
,
0
0
1ˆ ( ) ik t
km t e dt , 0
0
1ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ik t
kB u t m t t u m t u e dt ,
N1 N2 -
. N1 N2 -
, N1 N2 ,
. -
. ,
,
.
, -
:
1 2
1 2
2
1 0 1 1
0
2
2 0 1 1
0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ,..., , ,..., ) ( ) ( ) ,
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ), ( ),..., ( ), ( ),..., ( ) ( , ) ( , ) ,
c c s s
N N
c c s s
N N
F m m m m m t m t dt
F B u B u B u B u B u t u b t u dt
(1)
ˆ ˆ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )t u t m t t u m t u ,
1
0 0 0
1
ˆ ˆ ˆ ˆ( ) cos sin
N
c s
k k
k
m t m m k t m k t , (2)
2
0 0 0
1
ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) ( ) ( )cos ( )sin
N
c s
k k
k
b t u B u B u k t B u k t . (3)
,
F1 F2, , , -
1
0
0
ˆ
F
m
, 1 0
ˆ c
k
F
m
, 1 0
ˆ s
k
F
m
, 11,k N , (4)
2
0
0ˆ ( )
F
B u
, 2
2
0ˆ ( )ñ
F
B u
, 2
2
0ˆ ( )s
F
B u
, 21,l N , (5)
. (4) -
:
1
0 0 0 0
1
ˆ ˆ ˆ
N
c s
k k k k
k
m m c m a m ,
1
0 0
1
ˆ ˆ ˆ
N
c s
l k lk k lk l
k
m c m c m a m , (6)
1
10 0
1
ˆ ˆ ˆ
N
c s
l k kl k lk l N
k
m a m a m s m , 11,l N ,
ISSN 0474-8662. Information Extraction and Proces. 2010. Issue 32 (108)18
0 0
0
1 cos coslkc l t k t dt , 0 0
0
1 sin sinlks l t k t dt , 0 0
0
1 cos sinlka k t l tdt ,
0
0
1 ( )m t dt , 0
0
1 ( )coslm t l tdt ,
1 0
0
( )sinl Nm t l tdt . (7)
1 1
1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1 1 1
01 0 01 0
10 11 1 11 1
0 1 1
01 11 1 11 1
0 1 1
1 ... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
N N
N N
N N N N N N N
N N
N N N N N N N
c c a a
c c c a a
c c c a a
a a a s s
a a a s s
M , 1
1
0
1
1
ˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
ˆ
c
c
N
s
s
N
m
m
m
m
m
m , 1
1
1
0
1
1
2
N
N
N
m
m
m
m
m
m .
(6) :
ˆMm m . (8)
1m̂ M m .
NT , 0lk lk lkc s a , 1k , 1
2kk kkc s , 0kka .
, . M -
,
0
0
1ˆ ( )m t dt , 0
0
2ˆ ( )cosc
lm t l tdt , 0
0
2ˆ ( )sins
lm t l tdt ,
[9].
1 [ ]
| |
T
ikA
M
M
, [ ]TikA – -
ikm M , | |M – ,
12
1, 1
0
1ˆ
| |
N
k l l k
l
m m A
M
. (9)
(9)
12
1, 1
0
1ˆ
| |
N
k l l k
l
Em Em A
M
.
0m̂ , ,
1 1
1
2
0 0 11 1,1 0 11 0 1,1 0 1,1
1 1
1 1ˆ
N N
l l l l l l N
l l
Em Em A Em A m A c A a A
M M
ISSN 0474-8662. . 2010. . 32 (108) 19
1 1
1
1
1
0 11 1,1 1,1
1 1
0 11 1,1 1,1
1
( )
( ) .
N N
c
k k lk l kl l N
k l
N
s
k k lk l lk l N
l
m c A c A a A
m a A a A s A
0m M , c
km s
km
k ( 1)k -
, l .
, . , 0m̂ , -
(8), : 0 0ˆEm m .
:
1
1
1
1 1
1
2
0 1, 1 1, 1
1
0 1, 1 0 1, 1 0 1, 1
1
0 1, 1 1, 1 1, 1
1 1
0 1, 1 1, 1
1ˆ
1
N
c
k K l l K
l
N
K l l K l l N K
l
N N
c
r r K lr l K rl l N K
r l
s
r r K lr l K lr l N
Em Em A Em A
m A c A a A
m c A c A a A
m a A a A s A
M
M
1
1 1, 1
1
.
N
K
l
1
1 1
1
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
0 1, 1 1, 1
0
0 1, 1 0 1, 1 0 1, 1
1
0 1, 1 1, 1 1, 1
1 1
0 1,
1ˆ
1
N
s
k K N l l K N
l
N
K N l l K N l l N K N
l
N N
c
r r K N lr l K N rl l N K N
r l
s
r r
Em Em A Em A
m A c A a A
m c A c A a A
m a A
M
M
1
1 1 1 11 1, 1 1, 1
1
.
N
K N lr l K N lr l N K N
l
a A s A
, ,
12 1
1
, ,
0, ,
N
jk jl
j
k l
m A
k l
M
, c
km s
km
: ˆ c c
k kEm m , ˆ s s
k kEm m . 0m̂ ,
ˆ c
km ˆ s
km (2).
, (9),
12
0
1ˆ ( ) ( )
| |
N
l l
l
m t m f t
M
,
ISSN 0474-8662. Information Extraction and Proces. 2010. Issue 32 (108)20
1 1
0
1
1
1,1 1, 1 0 1, 1 0
1
( ) cos sin
N N
ik t
l l l K l K N lk
k k N
f t A A k t A k t C e ,
0 1,1l lC A ,
11, 1 1, 1
1
2lk l K l K NC A iA , *
,l k lkC C .
“ ” – .
12
2
2
, 0
1ˆ ˆ[ ( )] ( ) ( ) ( ) ( )
l r
N
m m l r
l r
D m t E m t m t R f t f t
M
,
l rm mR – lm rm : ( )
l rm m l lR E m Em
( )r rm Em . l r , :
l l lm m mR D .
1
0
1
2
( )
2
( ) ( )
N
n in t
l r lr
n N
f t f t e ,
1
1
1
1
*
,
*
,
, 0,
, 0,
N
l m n rm
m N nn
lr N n
l m n rm
m N
C C n
C C n
1
0
1
2
2
ˆ[ ( )]
N
in t
n
n N
D m t e .
12
, 0
l r
N ï
n m mlr
l r
R .
(7),
0 0
2
0 00 0
cos cos1 ,
sin sinl rm m
l t r s
R b t s t dtds
l t r s
.
,
| |
lim ( , ) 0
u
b t u . (10)
-
.
. -
0( ) ( ) cost t t ,
( )E t m , ( ) ( ) ( )E t t u R u . (1) -
:
2
0
0
ˆ ˆ( ) ( ) cosF m t m t dt .
ISSN 0474-8662. . 2010. . 32 (108) 21
,
1
0
0
0 0
sin 2ˆ 2 1 ( )cos
2
m t tdt .
, :
2
0
0 0
0
2ˆ cos
sin 21
2
Em m tdt m .
1
0
0 0
0 0
sin 2ˆ 2 1 ( )cos cos
2
m t s sds t .
:
2
20
0 0 0
0 0 0
sin 2ˆ[ ( )] 4 1 ( , )cos cos cos
2
D m t b t s t t sdtds t .
0 0
0
2ˆ ( ) ( )cos cosm t s sds t
ˆ ˆ[ ( )] ( ) ( )m t Em t m t :
0
0
0
sin 2ˆ[ ( )] cos
2
m t m t ,
2
0 0 02
0 0
1ˆ[ ( )] ( , )cos cos cosD m t b t s t t sdtds t .
, NT ,
. . NT , -
0sin 2
. 02 1, -
. , ,
.
, 0 0( ) ( )cos ( )sinc st t t t t . ˆcm
ˆ sm
2
0 0
0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) ( ) ( ) cos ( )sinc s c sF m m t m t t m t t dt ,
11 11 1
11 11 2
ˆ ˆ ,
ˆ ˆ ,
c s
c s
m c m a m
m a m s m
ISSN 0474-8662. Information Extraction and Proces. 2010. Issue 32 (108)22
1 0
0
1 ( )cosm t tdt , 2 0
0
1 ( )sinm t tdt ,
1 11 2 11
1ˆ ( )
| |cm m s m a
M
, 2 11 1 11
1ˆ ( )
| |sm m c m a
M
, 2
11 11 11| | c s aM .
, :
11
0 0 0
0
211
0 0 0 11 11 11
0
1ˆ ( )cos ( )sin cos
( )cos ( )sin sin .
c c s
c
c s c
cEm m t t m t t tdt
ma m t t m t t tdt c s a m
M
M
11
0 0 0
0
211
0 0 0 11 11 11
0
1ˆ ( ) cos ( )sin sin
( )cos ( )sin cos .
s c s
s
c s s
cEm m t t m t t tdt
ma m t t m t t tdt c s a m
M
M
2
0
ˆ ( ) ( )l l
l
m t m f t , (11)
0
1
1 0 2 0
1
( ) cos sin ik t
l l l lk
k
f t A t A t C e .
,
11 11A s , 12 11A a , 21 11A a , 22 11A c .
(11)
0 02 2
0 2 2 0 2 0 2 0ˆ[ ( )] cos 2 sin 2i t i t c sD m t e e t t , (12)
1 1 2 2
(0) (0) (0)
0 11 21 222
1 2
| |
m m m mD R D
M
,
1 1 2 2
(2) (2) (2)
2 11 21 222
1 2
| |
m m m mD R D
M
, 2 22Rec , 2 22Ims .
( )
11
n , ( )
12
n , ( )
22
n
(0) 2 2
1, 1 11 11 1, 1 1, 1 11 11 1111
12Re
2
c c c c c c s a ,
(0)
2, 1 11 21 1, 1 2, 1 11 11 11 1121
12Re ( )
2
c c c c c c a c s ,
(0) 2 2
2, 1 21 21 2, 1 2, 1 21 11 1122
12Re
2
c c c c c c s a ,
(2) 2 2 2
11 11 11 11 1111
1 2
4
c s a ia s ,
ISSN 0474-8662. . 2010. . 32 (108) 23
(2) 2
21 11 11 11 11 11 11 1121
1
4
c c a c s i a c s ,
(2) 2 2 2
2, 1 11 11 11 1122
1 2
4
c a s ia s .
,
1 1 2 2
2 2 2 2
0 11 11 11 11 11 11 112
1 2
2
m m m ma s D a c s R a c D
M
, (13)
1 1 2 2
2 2 2 2
2 11 11 11 11 11 11 112
1 2
2
c
m m m ms a D a c s R a c D
M
, (14)
1 1 2 2
2
2 11 11 11 11 11 11 112
1s
m m m ma s D a c s R a c D
M
. (15)
0 0 0 0
0 0
2 2ˆ ( ) ( )cos cos ( )sin sinm t s sds t s sds t . (16)
:
11 11 0 11 11 0ˆ ( ) 2( )cos 2( )sinc s c sEm t m c m a t m a m s t
0
0 0
0 0
sin 2
1 (1 cos 2 ) cos
2 2
s
c
m
m t
0
0 0
0 0
sin 2
(1 cos2 ) 1 sin
2 2
c
c
m
m t .
NT . , ˆ ( ) ( )Em t m t .
(16) (12),
1 20 2( )m mD D ,
1 22 2( )c
m mD D ,
1 22 4s
m mR . (17)
1m 2m -
:
1 0 02
0 0
1 ( , )cos cosmD b t s t t sdtds ,
2 0 02
0 0
1 ( , )sin sinmD b t s t t sdtds ,
1 2 0 02
0 0
1 ( , ) cos sinm mR b t s t t sdtds .
1 0 02
0 0
0 02
0 0
2 ( , )cos cos ( )
1 ( , ) cos cos (2 ) ,
u
m
u
D b t u t t u dtdu
b t u u t u dtdu
(18)
ISSN 0474-8662. Information Extraction and Proces. 2010. Issue 32 (108)24
2 0 02
0 0
0 02
0 0
2 ( , )sin sin ( )
1 ( , ) cos cos (2 ) ,
u
m
u
D b t u t t u dtdu
b t u u t u dtdu
(19)
1 2 02
0 0
1 ( , )sin (2 )
u
m mR b t u t u dtdu . (20)
[9]
0 2 0 2 0( , ) ( ) ( )cos 2 ( )sin 2c sb t u B u B u t B u t
t (18) (19),
0 0 02
0 0 0
2 2 2 2 0
0
1 1( , )cos 1 ( ) cos
1 ( ) (0, ) ( ) (0, ) cos ,
u
c c s s
ub t u udtdu B u udu
B u f u B u f u udu
(21)
,
02
0
cos1(0, )
sin
u
c s
kf u u du .
02
0 0
0 0 2 0 2
0
2 0 2 0
0
2 0 2 0 4
2 0 2
1 ( , )cos (2 )
1 ( ) cos (0, ) sin (0, )
1 1 ( )cos ( )sin
2
( )cos ( )sin (0, )
( )cos ( )si
u
c s
c s
c s c
s c
b t u t u dtdu
B u uf u uf u du
u B u u B u u
B u u B u u f u
B u u B u 0 4n (0, ) .su f u du
(22)
(20)
1 2 2 0 2 0
0
0 0 2 0 2
2 0 2 0 4
2 0 2 0 4
1 1 ( )sin ( )cos
2
2 ( ) cos (0, ) sin (0, )
( )cos ( )sin (0, )
( )sin ( ) cos (0, ) .
c s
m m
s c
c s s
c s c
uR B u u B u u
B u u f u u f u
B u u B u u f u
B u u B u u f u du
(23)
(21)–(23) (18)–(19), (13)–(15) (12), -
-
-
ISSN 0474-8662. . 2010. . 32 (108) 25
, .
( . ).
( )
( )
(Dc = 0,5; Ds = 0,5; Dcs = 0,2; c = 0,1;
s = 0,1; cs = 0,1; T = 25).
, ,
, , -
. ,
.
, .
-
.
, .
, . ,
(3) , -
(5).
1. . ., . . -
. – .: . , 1982. – 246 .
2. . ., . ., . . -
. – .: , 1987. – 319 .
3. Cyclostationarity in Communications and Signal Processing // Ed. W. A. Gardner. – N. Y.: IEEE
Press, 1994. – 504 p.
4. Gardner W. A., Napolitano A., Paura L. Cyclostationarity: Half a Century of Research // Signal
Processing. – 2006. – 86. – P. 639–697.
5. Hurd H. L. and Miamee A. Periodically Correlated Random Sequences: Spectral Theory and
Practice. – New Jersey: A John Wiley & Sons, 2007. – 353 p.
6. -
/ . . , . . , . . , . // -
, . – .: . . .
. – 2006. – C. 52–56.
7.
/ . . , . . , . . . // . – 2009. –
C. 113–122.
8. Coherent covariance analysis of periodically correlated random process / I. Javors’kyj, I. Isayev,
Z. Zakrzewski, S. P. Brooks // Signal Processing. – 2007. – 87. – P. 13–32.
9. Component covariance analysis for periodically correlated random process / I. Javorskyj, I. Isayev,
J. Majewski, R. Yuzefovych // Signal Processing. – 2010. – 90. – P. 1083–1102.
. . . ,
, , 10.03.2010
МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ СИГНАЛІВ ТА СИСТЕМ
УДК 621.391:519.22
І. М. Яворський, Р. М. Юзефович, І. Б. Кравець
ВИДІЛЕННЯ ДЕТЕРМІНОВАНОЇ СКЛАДОВОЇ ПЕРІОДИЧНО НЕСТАЦІОНАРНИХ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ МЕТОДОМ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-16197 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0474-8662 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:19:47Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Яворський, І.М. Юзефович, Р.М. Кравець, І.Б. 2011-02-08T16:34:25Z 2011-02-08T16:34:25Z 2010 Виділення детермінованої складової періодично нестаціонарних випадкових процесів методом найменших квадратів / І.М. Яворський, Р.М. Юзефович, І.Б. Кравець // Відбір і оброб. інформації: Міжвід. зб. наук. пр. — 2010. — Вип. 32(108). — С. 16-25. — Бібліогр.: 9 назв. — укp. 0474-8662 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/16197 621.391:519.22 The investigation results of mean least square estimate for periodically nonstationary processes – mathematical model of stochastic oscillations – are considered. The formulas for estimate statistical characteristics are analyzed. The examples of typical processes analysis are shown. uk Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України Математичні моделі сигналів та систем Виділення детермінованої складової періодично нестаціонарних випадкових процесів методом найменших квадратів Estimation of deterministic part of periodically non-stationary random processes using least squares method Article published earlier |
| spellingShingle | Виділення детермінованої складової періодично нестаціонарних випадкових процесів методом найменших квадратів Яворський, І.М. Юзефович, Р.М. Кравець, І.Б. Математичні моделі сигналів та систем |
| title | Виділення детермінованої складової періодично нестаціонарних випадкових процесів методом найменших квадратів |
| title_alt | Estimation of deterministic part of periodically non-stationary random processes using least squares method |
| title_full | Виділення детермінованої складової періодично нестаціонарних випадкових процесів методом найменших квадратів |
| title_fullStr | Виділення детермінованої складової періодично нестаціонарних випадкових процесів методом найменших квадратів |
| title_full_unstemmed | Виділення детермінованої складової періодично нестаціонарних випадкових процесів методом найменших квадратів |
| title_short | Виділення детермінованої складової періодично нестаціонарних випадкових процесів методом найменших квадратів |
| title_sort | виділення детермінованої складової періодично нестаціонарних випадкових процесів методом найменших квадратів |
| topic | Математичні моделі сигналів та систем |
| topic_facet | Математичні моделі сигналів та систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/16197 |
| work_keys_str_mv | AT âvorsʹkiiím vidílennâdetermínovanoískladovoíperíodičnonestacíonarnihvipadkovihprocesívmetodomnaimenšihkvadratív AT ûzefovičrm vidílennâdetermínovanoískladovoíperíodičnonestacíonarnihvipadkovihprocesívmetodomnaimenšihkvadratív AT kravecʹíb vidílennâdetermínovanoískladovoíperíodičnonestacíonarnihvipadkovihprocesívmetodomnaimenšihkvadratív AT âvorsʹkiiím estimationofdeterministicpartofperiodicallynonstationaryrandomprocessesusingleastsquaresmethod AT ûzefovičrm estimationofdeterministicpartofperiodicallynonstationaryrandomprocessesusingleastsquaresmethod AT kravecʹíb estimationofdeterministicpartofperiodicallynonstationaryrandomprocessesusingleastsquaresmethod |