Математичне моделювання коливних процесів у кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожниною

У пропонованій роботі методом інтегральних і гібридних інтегральних перетворень у поєднанні з методом головних розв'язків (матриць впливу та матриць Гріна) за найбільш загальних припущень побудовано точні аналітичні розв’язки математичних моделей коливних процесів (гіперболічних початково-крайо...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
Datum:	2018
1. Verfasser:	Громик, А.П.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainisch
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2018
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162147
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Математичне моделювання коливних процесів у кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожниною / А.П. Громик // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 26-39. — Бібліогр.: 17 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859914453131198464
author	Громик, А.П.
author_facet	Громик, А.П.
citation_txt	Математичне моделювання коливних процесів у кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожниною / А.П. Громик // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 26-39. — Бібліогр.: 17 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
description	У пропонованій роботі методом інтегральних і гібридних інтегральних перетворень у поєднанні з методом головних розв'язків (матриць впливу та матриць Гріна) за найбільш загальних припущень побудовано точні аналітичні розв’язки математичних моделей коливних процесів (гіперболічних початково-крайових задач спряження) в кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожниною. In this article the exact analytical solutions of mathematical models of oscillating processes (hyperbolic initial-boundary problem of conjugation) for piecewise-homogeneous wedge-shaped cylindrical-circular space with a cavity are obtained by means of the method of integral and hybrid integral transforms, in combination with the method of main solutions (influence matrices and Green's matrices).
first_indexed	2025-12-07T16:04:27Z
format	Article
fulltext	Математичне та комп’ютерне моделювання 26 mote fragments of the simulated organism, the states of which are the input signals for the corresponding neuron, are indicated. To provide the optimal motion, an evolutionary algorithm based on a neural subsystem with the use of analogues of elementary artificial neurons is proposed. The computer model, simulating worm-like locomotion, is obtained. The conducted studies in the software environment showed that from an arbitrary initial chaotic state the organism goes to the state of maximum effective motion (minimum energy at maximum speed) due to the self-organization of signals in a chaotic neural network. Key words: movable cellular automata, computer simulation locomo- tion, neighborhood scheme. Отримано: 23.05.2018 УДК 517.946 А. П. Громик, канд. техн. наук Подільський державний аграрно-технічний університет, м. Кам’янець-Подільський МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ КОЛИВНИХ ПРОЦЕСІВ У КУСКОВО-ОДНОРІДНОМУ КЛИНОВИДНОМУ ЦИЛІНДРИЧНО-КРУГОВОМУ ПРОСТОРІ З ПОРОЖНИНОЮ Актуальність теорії крайових задач для диференціальних рі- внянь з частинними похідними, яка інтенсивно розвивається, обумовлена як значимістю її результатів для розвитку багатьох розділів математики, так і численними застосуваннями її досяг- нень при математичному моделюванні різних процесів і явищ фізики, механіки, біології, медицини, економіки, техніки. Добре відомо, що складність досліджуваних крайових задач суттєво залежить від коефіцієнтів рівнянь та геометрії області в якій розглядається задача. На цей час досить детально вивчено властивості розв՚язків крайових задач для лінійних, квазілінійних та певних класів нелінійних рівнянь в однозв’язних областях. Водночас багато важливих прикладних задач теплофізики, термомеханіки, теорії пружності, теорії електричних кіл, теорії коливань приводять до крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними не тільки в однорідних обла- стях, коли коефіцієнти рівнянь є неперервними, але й в куско- во-однорідних та неоднорідних областях, коли коефіцієнти рі- вняння є кусково-неперервними. У пропонованій роботі методом інтегральних і гібридних інтегральних перетворень у поєднанні з методом головних розв՚язків (матриць впливу та матриць Гріна) за найбільш за- гальних припущень побудовано точні аналітичні розв’язки ма- © А. П. Громик, 2018 Серія: Технічні науки. Випуск 17 27 тематичних моделей коливних процесів (гіперболічних почат- ково-крайових задач спряження) в кусково-однорідному кли- новидному циліндрично-круговому просторі з порожниною. Одержані розв’язки мають алгоритмічний характер, непе- рервно залежать від параметрів і даних задачі та можуть бути використані як в подальших теоретичних дослідженнях, так і в практиці інженерних розрахунків реальних еволюційних про- цесів, які моделюються гіперболічними крайовими задачами (задачі акустики, гідродинаміки, теорії коливань механічних систем), які описуються циліндричною системою координат. Ключові слова: моделювання, коливний процес, гіперболі- чне рівняння, початкові та крайові умови, умови спряження, інтегральне перетворення, матриця впливу, матриця Гріна. Вступ. Коливні процеси відіграють важливу роль у сучасній вібра- ційній техніці, суттєво впливають на міцність і довговічність деталей машин і механізмів при врахуванні механічних і технологічних умов їх експлуатації. Найпростішою математичною моделлю такого процесу є добре і давно відоме лінійне диференціальне рівняння коливань (хвильо- ве рівняння, рівняння Д’аламбера) гіперболічного типу 2-го порядку   2 2 32 , , u a u f t P t      де 3 — тривимірний оператор Лапласа у відповідній системі коор- динат (декартовій, циліндричній, сферичній тощо) тривимірного евк- лідового простору, Р — точка в цьому просторі. Зрозуміло, що для адекватного моделювання коливного процесу до складу математичної моделі крім хвильового рівняння потрібно долучити ще певні початкові та крайові умови. Таким чином, матема- тичною моделлю коливного процесу є гіперболічна крайова задача математичної фізики [1]. На цей час досить детально вивчено одно- вимірні, двовимірні та тривимірні гіперболічні крайові задачі мате- матичної фізики однорідних середовищ. Але у зв’язку з широким застосуванням композитних матеріалів (найпростіший композит має дві точки спряження) у будівництві, техніці, сучасних технологіях як математичні моделі певних процесів виникають крайові задачі для диференціальних рівнянь з частинними похідними різних типів (еліп- тичних, параболічних, гіперболічних) не тільки в однорідних облас- тях, коли коефіцієнти модельних рівнянь є неперервними, але й в неоднорідних та кусково-однорідних сердовищах, коли коефіцієнти рівнянь є кусково-неперервними, чи, зокрема, кусково-сталими [2–4]. Окрім методу відокремлення змінних [1, 6] та його узагальнень [5], одним з важливих і ефективних методів дослідження лінійних матема- тичних моделей (лінійних крайових задач математичної фізики) є метод Математичне та комп’ютерне моделювання 28 інтегральних перетворень [6], який дає можливість будувати в аналіти- чному вигляді розв’язки тих чи інших математичних моделей (крайових задач) через їх інтегральне зображення у випадку однорідних середо- вищ. У той же час, для досить широкого класу задач у кусково- однорідних середовищах ефективним методом їх дослідження виявився метод гібридних інтегральних перетворень, які породжені відповідними гібридними диференціальними операторами, коли на кожній компонен- ті зв’язності кусково-однорідного середовища розглядаються або ж різ- ні диференціальні оператори, або ж диференціальні оператори того ж самого вигляду, але з різними наборами коефіцієнтів [7–11]. У цій статті, яка є логічним продовженням [12], ми пропонуємо точний аналітичний розв’язок узагальненої математичної моделі ко- ливного процесу в кусково-однорідному клиновидному циліндрично- круговому просторі з порожниною, побудований методом інтеграль- них і гібридних інтегральних перетворень. Постановка задачі. Розглянемо задачу побудови обмеженого на множині     1 1 0 1 , , , 0; ; , 0, n n j j j D t r z t r R R R                1 0 0; 0 ; , 0 2 ; ;nR z            розв’язку лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними гіперболічного типу 2-го порядку [1, 6]   2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 , , , , ; 1, 1 j j rj zj j j j j j u a a a u r rt r r z u f t r z r j n                                (1) з початковими умовами    21 0 0 , , ; , , ; ; 1, 1, j j j j j t t u u g r z g r z r j n t             (2) крайовими умовами 0; 0; 0,1; 1, 1; s s j j s s z z u u s j n z z            (3)   0 0 0 1 11 11 1 0 0 0 0 0 11 11 11 11 , , ; 0; 0, 0; 0; 0,1, s n s r R r u u g t z r r s                         (4) Серія: Технічні науки. Випуск 17 29 одними з крайових умов на гранях клина [7] 1 1 =0 = 0 = ( , , ); = ( , , ); = 1, 1,j j j ju g t r z u t r z j n      (5) 2 2 =0 = 0 = ( , , ); = ( , , ); = 1, 1, j j j j u u g t r z t r z j n          (6) 3 3 = 0=0 = ( , , ); = ( , , ); = 1, 1, j j j j u g t r z u t r z j n         (7) 4 4 =0 = 0 = ( , , ); = ( , , ); = 1, 1 j j j j u u g t r z t r z j n             (8) та умовами спряження [12] 1 1 2 2 1 0; 1, 2; 1, , k k k k k j j k j j k r R u u j k n r r                              (9) де rja , ja , zja , j , k js , k js — деякі сталі; 2 1 1 2 0; k k k k jk j j j jc       1 2 0;k kc c   1 2 1( , , , ) = ( , , , ), ( , , , ), ..., ( , , , ) ;nf t r z f t r z f t r z f t r z     1 1 1 1 1 2 1( , , ) = ( , , ); ( , , ),..., ( , , ) ;ng r z g r z g r z g r z     2 2 2 2 1 2 1( , , ) = ( , , ); ( , , ),..., ( , , ) ;ng r z g r z g r z g r z    0 ( , , ),g t z ( , , ),pjg t r z ( , , );pj t r z  = 1, 4; = 1, 1p j n  — задані обмежені неперервні функції;  1 2 1( , , , ) = ( , , , ); ( , , , ), ..., ( , , , )nu t r z u t r z u t r z u t r z    — шукана двічі неперервно диференційовна функція. Зауважимо, що: 1) у випадку 0j  рівняння (1) є класичним тривимірним неоднорід- ним рівнянням коливань (хвильовим рівнянням, рівнянням Д’аламбе- ра) для ортотропного середовища у циліндричній системі координат; 2) якщо 11 11 12 12 21 1 21 22 20, 1; 0, 1; , 0; , k k k k k k k k k E E             22 0, k   де 1 2, k k E E — модулі Юнга  1,k n , то умови спряження (9) збіга- ються з класичними умовами ідеального механічного контакту. Математичне та комп’ютерне моделювання 30 Таким чином, гіперболічні початково-крайові задачі спряження (1)–(4), (5), (9); (1)–(4), (6), (9); (1)–(4), (7), (9); (1)–(4), (8), (9) можна розглядати як узагальнені математичні моделі коливних процесів у кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожниною. Основна частина. Припустимо, що розв’язки задач (1)–(4), (5), (9); (1)–(4), (6), (9); (1)–(4), (7), (9); (1)–(4), (8), (9) існують і задані й шукані функції задовольняють умови застосовності залучених нижче прямих та обернених інтегральних і гібридних інтегральних перетво- рень [11, 13, 14]. Визначимо скінченні пряме ,m ikF та обернене 1 ,m ikF  інтегральні пе- ретворення Фур’є щодо кутової змінної  00;  за формулами [13]:       0 , , , 0 ,m ik m ik m ikF f f U d f          (10)    1 , , , , 0 0 2 , ik m ik m ik m m ik m ik m F f f U f             (11) де           ,11 ,11 ,11 0 ,12 ,12 ,12 0 , sin ; 2 1 , sin ; 2 m m m m m m m U m U                          ,21 ,12 ,21 ,21 ,22 ,11 ,22 ,22 , cos ; , cos ; m m m m m m m m U U               0 0, 1 ik ik m   при 11,12,21; 1,2,3,....ik m  ; 22 22 0 1 , 1 2 m   при 1, 2,3,..... .m  Безпосередньо (інтегруванням частинами) перевіряється, що для оператора ,m ikF виконується основна тотожність інтегрального пере- творення диференціального оператора Фур’є: 2 2 , , , ,2 ; , 1, 2,m ik m ik m ik m ik d f F f i k d             (12) де             0 1 ,11 0 ,12 0 0 2 1 0 1 ; 0 1 ; 2 m m m m mm df f f f d                      Серія: Технічні науки. Випуск 17 31           0 ,21 0 ,22 00 0 2 1 1 ; 1 . 2 m m m m mdf df df f f d d d                         Інтегральний оператор ,m ikF , який діє за формулою (10), внаслі- док тотожності (12) тривимірним початково-крайовим задачам спря- ження (1)–(4), (5), (9); (1)–(4), (6), (9); (1)–(4), (7), (9); (1)–(4), (8), (9) ставить у відповідність задачу побудови обмеженого на множині    , , 0; , ;nD t r z t r z         розв’язку двовимірних диференціальних рівнянь   2 22 2 , ,2 2 ,2 2 2 2 2 , , 1 , , , ; 1, 1 jm ik jm ik rj zj jm ik j jm ik jm ik j u a a u r rt r r z u G t r z r j n                           (13) з початковими умовами     , 21 , , ,0 0 , ; , , jm ik jm ik jm ik jm ikt t u u g r z g r z t      (14) крайовими умовами , , 0; 0; 0,1; 1, 1, s s jm ik jm ik s s z z u u s j n z z            (15) 0 1, ,0 0 11 11 1 , 0 , ( , ); 0; 0,1 s n m ik m ik m ik s r R r u u g t z s r r                (16) та умовами спряження , 1, ,1 1 2 2 0; 1, 2; 1, , p p p p p pm ik p m ikj j j j r R u u j p n r r                              (17) де      2 2 1 , , , , ,, , , , , , ; .jm ik jm ik j m ik jm ik rj j m ikG t r z f t r z a r t r z a a         До двовимірної початково-крайової задачі спряження (13)–(17) застосуємо інтегральне перетворення Фур’є на декартовій осі  ;  щодо змінної z [14]:       , 1, i z F g z g z e dz g i             (18)      1 1 , 2 i z F g g e d g z              (19) Математичне та комп’ютерне моделювання 32     2 2 2 2 . d g F F g z g dz                (20) Інтегральний оператор F , який діє за формулою (18), внаслідок тотожності (20) задачі (13)–(17) ставить у відповідність задачу побу- дови обмеженого на множині   , 0; nD t r t r      розв’язку одновимірних диференціальних рівнянь В-гіперболічного типу     , 2 , 2 ,2 2 2 2 , , , , ; ; 1, 1 jm ik jm ik rj jm ik zj j jm ik jm ik j u a B u t a u G t r r j n                  (21) з початковими умовами     , 21 , , ,0 0 , ; , , ; 1, 1, jm ik jm ik jm ik jjm ikt t u u g r g r r I j n t            (22) крайовими умовами   0 1, ,0 0 11 11 1 , 0 , , ; 0; 0,1 s n m ik m ik m ik s r R r u u g s r r                  (23) та умовами спряження , 1, ,1 1 2 2 0; 1, 2; 1, , p p p p p pm ik p m ikj j j j r R u u r r j p n                              (24) де , 22 , 2 2 1 jm ik jm ik B r rr r        — класичний диференціальний оператор Бесселя. До одновимірної початково-крайової задачі спряження (21)–(24) застосуємо гібридне інтегральне перетворення типу Вебера на поляр- ній осі nI  з n точками спряження щодо змінної r [11]:     0 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ), n R M f r f r V r r rdr f      (25)    1 0 ( ) ( ) ( , ) ( ), n M f f V r d f r               (26) Серія: Технічні науки. Випуск 17 33   1 0 1 2 2 ( , ) 1 2 0 01 0 1 1 0 11 110 11 [ ( )] ( ) ( ) ( , ) ( , ) . k k Rn m ik k k kn k R r R M B f r f f r V r rdr a R f V R f r                               (27) У формулах (25)–(27) беруть участь величини і функції, виписа- ні в [11],   , 1, , 1 2 2 ( , ) 1 1 1 ( ) ( ) jm ik n m ik n m ik j j j n n j B a r R R r B a r R B               — гібридний диференціальний оператор Бесселя,  х — одинична функція Гевісайда [15]. Запишемо диференціальні рівняння (21) та початкові умови (22) у матричній формі       1 , 2 , 1, , 2 2 2 1 1 1 ,2 2 2 2 2 2 2 ,2 2 2 2 1 1 1, ,2 ( ) , , ( ) , , ( ) , , m ik m ik n m ik m ik m ik n n n m ik a B q u t r t a B q u t r t a B q u t r t                                                    1 , 2 , 1, , ( , , ) ( , , ) ( , , ) m ik m ik n m ik G t r G t r G t r                         , (28) 1 1 ,1 , 1 2 , 2 , 1 1, , 1, ,0 1 , 2 , 1, , 0 ( , )( , , ) ( , , ) ( , ) , ( , , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) m ikm ik m ik m ik n m ik n m ikt m ik m ik n m ik t g ru t r u t r g r u t r g r gu t r u t r t u t r                                                  2 1 , 2 2 , 2 1, , ( , ) ( , ) , ( , ) m ik m ik n m ik r g r g r                  (29) де 2 2 2 2 ( ) ;j zj jq a    1, 1.j n  Інтегральний оператор  n M , який діє за формулою (25), зобра- зимо у вигляді операторної матриці-рядка Математичне та комп’ютерне моделювання 34     1 2 0 1 1 1 1 2 2 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n n R R n R R R n n n n R R M V r rdr V r rdr V r rdr V r rdr                           (30) і застосуємо за правилом множення матриць до задачі (28), (29). Вна- слідок тотожності (27) одержуємо задачу Коші для звичайних дифе- ренціальних рівнянь 2-го порядку   21 2 2 2 ,2 1 21 1 1 0 , 1 0 0 ,0 1 11 ( ) ( , , ) ( , , ) ( , ) , , n j j jm ik j n jm ik m ik j d q u t dt a R G t V R g t                              (31) 1 1 1 , , 0 1 1 1 1 2 , , 0 1 1 ( , , ) ( , ); ( , , ) ( , ), n n jm ik jm ik t j j n n jm ik jm ik t j j u t g d u t g dt                         (32) де 1 , ,( , , ) ( , , ) ( , ) ; 1, 1, j j R jm ik jm ik j j R u t u t r V r rdr j n         1 , ,( , , ) ( , , ) ( , ) , 1, 1, j j R jm ik jm ik j j R G t G t r V r rdr j n         1 , ,( , ) ( , ) ( , ) ; 1, 1, 1, 2. j j R s s jm ik jm ik j j R g g r V r rdr j n s          Припустимо, не зменшуючи загальності розв’язку задачі, що         2 2 2 2 1 2 1 1max , , ... , nq q q q     і покладемо всюди    2 2 2 1 ; 1, 1.j jq q j n      Задача Коші (31), (32) набуває вигля- ду   2 2 , 2 1 1 0 , , 1 0 0 ,2 0 11 ( , ) ( , , ) ( , ) , , m ik m ik m ik m ik d u a R u G t V R g t dt             (33) 1 , , 0 ( , , ) ( , );m ik m ik t u t g        2 , , 0 , , ( , ),m ik m ik t d u t g dt       (34) Серія: Технічні науки. Випуск 17 35 де 1 , , 1 ( , , ) ( , , ); n m ik jm ik j u t u t       1 , , 1 ( , , ) ( , , ), n m ik jm ik j G t G t       1 , , 1 ( , ) ( , ); n s s m ik jm ik s j g g       2 2 2 2 2 1 1( , ) ; 1, 2.za s         Відомо [11], що єдиним розв’язком задачі (33), (34) є функція         2 1 , , , 2 1 0 1 , 1 0 ,0 110 ( , , ) , , ( , ) , , ( , ) , , ( , , ) ( , ) , , m ik m ik m ik t m ik om ik d u t N t g N t g dt a R N t G V R g d                                    (35) де функція Коші (розв’язуюча функція)   sin( ( , ) ) , , . ( , ) t N t          Оскільки суперпозиція операторів  n M та   1 n M  є одиничним оператором         1 1 I , n n n n M M M M     то оператор   1 n M  , як обе- рнений до оператора (30), зобразимо у вигляді операторної матриці- стовпця           1 0 21 0 1 0 ( , ) ( , ) ( , ) n n V r d V r d M V r d                                                    (36) і застосуємо за правилом множення матриць до матриці-елемента , ( , , ) ,m iku t      де функція , ( , , )m iku t   визначена формулою (35). Одержуємо єдиний розв’язок одновимірної гіперболічної початково- крайової задачі спряження (21)–(24):             2 , , 0 1 , 0 ( , , ) , , ( , ) , , , ( , ) , jm ik m ik j m ik j u t r N t g V r d N t g V r d t                            (37) Математичне та комп’ютерне моделювання 36               , 0 0 2 1 1 0 1 0 0 ,0 11 0 0 , , ( , , ) , , , , ( , ) , . t m ik j t m ik j N t G t V r d d a R N t V R g V r d d                                   Застосувавши послідовно до функцій , ( , , )jm iku t r  , визначених формулами (37), обернені оператори 1 F  та 1 , ,m ikF  і виконавши не- складні перетворення, одержуємо функції 0 1 0 1 0 1 , 1 1 0 0 1 1 1 0 2 0 ( , , , ) ( , , , , , ) ( , , , ) ( , , , , , ) ( , , ) ( , , , , , ) ( , , ) p p p p p p j ik Rtn ik jp p p p R R n ik jp p p p R R ik jp p R u t r z E t r z f d d d d E t r z g d d d t E t r z g                                                                         1 0 1 1 1 2 1 1 0 , 0 0 0 ( , , , , , , ) ( , , , , ) ( , , ) ; 1, 1, p p n p p Rtn ik p jp p p R t jr ik d d d a Q t r z d d d W t r z g d d d j n                                                     (38) які визначають єдині розв’язки гіперболічних початково-крайових задач (1)–(4), (5), (9); (1)–(4), (6), (9); (1)–(4), (7), (9); (1)–(4), (8), (9) при відповідних значеннях ik (11, 12, 21, 22). У формулах (38) застосовано компоненти      , , , 0 0 2 ( , , , , , ) , , , ik ik m ik jp m jp m ik m ik m E t r z K t r z U U            матриці впливу (функції впливу), функції      , , , 0 0 2 ( , , , , , , ) , , , , , ik ik m ik jp m jp m ik m ik m Q t r z K t r z U                   та компоненти 2 1 1 0 , 1 00 11 ( , , , , ) ( , , , , , ) ik jr ik j a R W t r z E t r R z         Серія: Технічні науки. Випуск 17 37 радіальної матриці Гріна (радіальні функції Гріна) відповідних поча- тково-крайових задач спряження, де            , 0 0 , , , , , , , cos . m ik jp j pK t r z N t V r V z d d               Зауваження 1. Аналіз розв՚язків (38) в залежності від типу кра- йових умов на гранях клина 0  та 0  повторює відповідний аналіз, проведений в [12]. Зауваження 2. У випадку 0rj j zj ja a a a    формули (38) визначають структури розв՚язків розглянутих задач в ізотропному кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожниною. Зауваження 3. Випадок зміни  в межах 1 2    зводиться до розглянутого нами заміною  1 0 2 1 .          Зауваження 4. Параметри 0 0 11 11,  дають можливість виділяти із формул (38) розв’язки крайових задач у випадках задання на радіаль- ній поверхні 0r R , крайової умови 1-го роду  0 0 11 110, 1   , 2-го роду  0 0 11 111, 0    та 3-го роду  0 0 11 111, 0h     . Зауваження 5. Аналіз розв՚язків (38) в залежності від аналітич- ного виразу функцій 0( , , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), s j j kjf t r z g r z g t r z g t z   ( , , ), 1, 1, 1, 2kj t r z j n s    проводиться безпосередньо із загаль- них структур. Висновки. Методом інтегральних і гібридних інтегральних пе- ретворень у поєднанні з методом головних розв՚язків (функцій впли- ву та функцій Гріна) вперше побудовано єдині точні аналітичні розв’язки узагальнених математичних моделей коливних процесів у кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просто- рі з порожниною. Одержані розв’язки носять алгоритмічний харак- тер, неперервно залежить від параметрів і даних задачі й можуть бути використані як в теоретичних дослідженнях, так і в практиці інжене- рних розрахунків з використанням чисельних методів. Список використаних джерел: 1. Перестюк М. О. Теорія рівнянь математичної фізики / М. О. Перестюк, В. В. Маринець. — К. : Либідь, 2006. — 424 с. Математичне та комп’ютерне моделювання 38 2. Дейнека В. С. Модели и методы решения задач в неоднородных средах / В. С. Дейнека, И. В. Сергиенко. — К. : Наук. думка, 2001. — 606 с. 3. Дейнека В. С. Модели и методы решения задач с условиями сопряжения / В. С. Дейнека, И. В. Сергиенко, В. В. Скопецкий. — К. : Наук. думка, 1998. — 614 с. 4. Сергиенко И. В. Математическое моделирование и исследование процес- сов в неоднородных средах / И. В. Сергиенко, В. В. Скопецкий, В. С. Дейнека. — К. : Наук. думка, 1991. — 432 с. 5. Каленюк П. И. Обобщенный метод разделения переменных / П. И. Каленюк, Я. Е. Баранецкий, З. Н. Нитребич. — К. : Наук. думка, 1993. — 232 с. 6. Самойленко В. Г. Рівняння математичної фізики / В. Г. Самойленко, І. М. Конет. — Київ : ВПЦ «Київський університет», 2014. — 283 с. 7. Конет І. М. Стаціонарні та нестаціонарні температурні поля в циліндрич- но-кругових областях / І. М. Конет, М. П. Ленюк. — Чернівці : Прут, 2001. — 312 с. 8. Громик А. П. Температурні поля в кусково-однорідних просторових се- редовищах / А. П. Громик, І. М. Конет, М. П. Ленюк. — Кам'янець- Подільський : Абетка-Світ, 2011. — 200 с. 9. Конет І. М. Гіперболічні крайові задачі математичної фізики в кусково- однорідних просторових середовищах / І. М. Конет. — Кам'янець- Подільський : Абетка-Світ, 2013. — 120 с. 10. Конет І. М. Параболічні крайові задачі в кусково-однорідних середови- щах / І. М. Конет, Т. М. Пилипюк. — Кам'янець-Подільський : Абетка- Світ, 2016. — 244 с. 11. Конет І. М. Гіперболічні крайові задачі в кусково-однорідних циліндрич- но-кругових середовищах / І. М. Конет, Т. М. Пилипюк. — Кам'янець- Подільський : Абетка-Світ, 2017. — 84 с. 12. Громик А. П. Математичне моделювання коливних процесів у кусково- однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі / А. П. Гро- мик // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Технічні науки : зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський нац. ун- т імені Івана Огієнка, 2017. — Вип. 16. — С. 36–52. 13. Трантер К. Дж. Интегральные преобразования в математической физике / К. Дж. Трантер. — М. : Гостехтеориздат, 1956. — 204 с. 14. Снеддон И. Преобразования Фурье / И. Снеддон. — М. : ИЛ, 1955. — 668 с. 15. Шварц Л. Математические методы для физических наук / Л. Шварц. — М. : Мир, 1965. — 408 с. 16. Гельфанд И. М. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравне- ний / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. — М. : Физматгиз, 1958. — 247 с. 17. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс / Г. Е. Шилов. — М. : Наука, 1965. — 328 с. MATHEMATICAL MODELING OF OSCILLATING PROCESSES IN PIECEWISE-HOMOGENEOUS WEDGE-SHAPED CYLINDRICAL-CIRCULAR SPACE WITH A CAVITY The theory of boundary value problems for differential equations with partial derivatives develops intensively and its results are important for the Серія: Технічні науки. Випуск 17 39 development of many sections of mathematics. Its achievements are ap- plied in the mathematical modeling of various processes and phenomenon of physics, mechanics, biology, medicine, economics, engineering. It is well known that the complexity of a boundary-value problem sig- nificantly depends on the coefficients of equations and the geometry of domain in which the problem is considered. Properties of solutions of boundary value problems for linear, quasilinear, and some classes of non- linear equations in single-connected domains have been studied in suffi- cient detail. However, many important applied problems of thermal physics, ther- momechanics, theory of elasticity, theory of electrical circuits, theory of vibrations lead to boundary value problems for differential equations with partial derivatives not only in homogeneous domains when the coefficients of the equations are continuous, but also in piecewise homogeneous and inhomogeneous domains when the coefficients of the equations are piece- wise continuous. In this article the exact analytical solutions of mathematical models of oscillating processes (hyperbolic initial-boundary problem of conjugation) for piecewise-homogeneous wedge-shaped cylindrical-circular space with a cavity are obtained by means of the method of integral and hybrid inte- gral transforms, in combination with the method of main solutions (influ- ence matrices and Green's matrices). The obtained solutions are of algorithmic character, continuously de- pend on the parameters and data of problem and can be used in further the- oretical research and in practical engineering calculations of real processes which are modeled by hyperbolic boundary-value problems that are de- scribed by a cylindrical coordinate system (problems of acoustics, hydro- dynamics, the theory of vibrations of mechanical systems). Key words: modelling, oscillating, hyperbolic equation, initial and boundary conditions, conditions of conjugation, integral transformation, the influence matrix, Green's matrix. Отримано: 29.05.2018
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-162147
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	2308-5916
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T16:04:27Z
publishDate	2018
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Громик, А.П. 2020-01-03T13:09:58Z 2020-01-03T13:09:58Z 2018 Математичне моделювання коливних процесів у кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожниною / А.П. Громик // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 26-39. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 2308-5916 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162147 517.946 У пропонованій роботі методом інтегральних і гібридних інтегральних перетворень у поєднанні з методом головних розв'язків (матриць впливу та матриць Гріна) за найбільш загальних припущень побудовано точні аналітичні розв’язки математичних моделей коливних процесів (гіперболічних початково-крайових задач спряження) в кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожниною. In this article the exact analytical solutions of mathematical models of oscillating processes (hyperbolic initial-boundary problem of conjugation) for piecewise-homogeneous wedge-shaped cylindrical-circular space with a cavity are obtained by means of the method of integral and hybrid integral transforms, in combination with the method of main solutions (influence matrices and Green's matrices). uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки Математичне моделювання коливних процесів у кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожниною Mathematical modeling of oscillating processes in piecewise-homogeneous wedge-shaped cylindrical-circular space with a cavity Article published earlier
spellingShingle	Математичне моделювання коливних процесів у кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожниною Громик, А.П.
title	Математичне моделювання коливних процесів у кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожниною
title_alt	Mathematical modeling of oscillating processes in piecewise-homogeneous wedge-shaped cylindrical-circular space with a cavity
title_full	Математичне моделювання коливних процесів у кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожниною
title_fullStr	Математичне моделювання коливних процесів у кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожниною
title_full_unstemmed	Математичне моделювання коливних процесів у кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожниною
title_short	Математичне моделювання коливних процесів у кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожниною
title_sort	математичне моделювання коливних процесів у кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожниною
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162147
work_keys_str_mv	AT gromikap matematičnemodelûvannâkolivnihprocesívukuskovoodnorídnomuklinovidnomucilíndričnokrugovomuprostorízporožninoû AT gromikap mathematicalmodelingofoscillatingprocessesinpiecewisehomogeneouswedgeshapedcylindricalcircularspacewithacavity

Математичне моделювання коливних процесів у кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожниною

Institution

Ähnliche Einträge