Тестування методу побудови виробничих функцій зі змінними коефіцієнтами (ВФЗКЕ)
B статті розглядається класична виробнича функція Кобба-Дугласа, яка є виробничою функцією зі сталими коефіцієнтами та використовується для дослідження економічних систем будь-якого масштабу. Наведено формулу класичної виробничої функції Кобба-Дугласа та дано пояснення, що її параметри α, β є частин...
Saved in:
| Published in: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки |
|---|---|
| Date: | 2018 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2018
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162155 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Тестування методу побудови виробничих функцій зі змінними коефіцієнтами (ВФЗКЕ) / О.М. Литвин, М.В. Артюх // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 117-123. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860059637852667904 |
|---|---|
| author | Литвин, О.М. Артюх, М.В. |
| author_facet | Литвин, О.М. Артюх, М.В. |
| citation_txt | Тестування методу побудови виробничих функцій зі змінними коефіцієнтами (ВФЗКЕ) / О.М. Литвин, М.В. Артюх // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 117-123. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки |
| description | B статті розглядається класична виробнича функція Кобба-Дугласа, яка є виробничою функцією зі сталими коефіцієнтами та використовується для дослідження економічних систем будь-якого масштабу. Наведено формулу класичної виробничої функції Кобба-Дугласа та дано пояснення, що її параметри α, β є частинними коефіцієнтами еластичності. Але при більш детальному дослідженні виявилося, що можливо побудувати виробничу функцію зі змінними коефіцієнтами еластичності.
In the article we consider the classical Cobb-Douglas production function, which is a production function with constant coefficients and is used for the study of economical systems of any scale. The formula for the classical production function of Cobb-Douglas is given and it is explained that its parameters α, β are partial elasticity coefficients. But with a more detailed study it turned out that it is possible to construct a production function with variable elasticity factors.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:03:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
Серія: Технічні науки. Випуск 17
117
and business organization model is the imitational business model of the en-
terprise. The Petri nets have been considered as a means to build and analyze
system dynamic models. The analysis allows eliciting information on struc-
ture and dynamic behavior of the modeled system. This information is re-
quired to assess the modeled system and generate suggestions on its im-
provement. This allows flexible usage of the above mathematical apparatus
to reflect and analyze cause-and-effect relations in different processes in dis-
crete dynamic systems. Behavior of such systems is described by the execu-
tion of the event model and Petri nets are used to model structure and dynam-
ics of its functioning. There have been described methods and elements of
enterprise dynamic modeling based on Petri nets. Types and essential fea-
tures of Petri nets are described. There has been given recommendation for
process modeling in the Petri nets streams. There has been demonstrated that
efficiency of Petri nets is significantly high.
Key words: model, enterprise, business processes, business functions,
classifications, rules, roles, Petri nets, structural component, structural block.
Отримано: 14.05.2018
УДК 519.6
О. М. Литвин, д-р. фіз.-мат. наук, професор,
М. В. Артюх
Українська інженерно-педагогічна академія, м. Харків
ТЕСТУВАННЯ МЕТОДУ ПОБУДОВИ ВИРОБНИЧИХ
ФУНКЦІЙ ЗІ ЗМІННИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ (ВФЗКЕ)
B статті розглядається класична виробнича функція Кобба-
Дугласа, яка є виробничою функцією зі сталими коефіцієнта-
ми та використовується для дослідження економічних систем
будь-якого масштабу. Наведено формулу класичної виробни-
чої функції Кобба-Дугласа та дано пояснення, що її параметри
α, β є частинними коефіцієнтами еластичності. Але при більш
детальному дослідженні виявилося, що можливо побудувати
виробничу функцію зі змінними коефіцієнтами еластичності.
Така виробнича функція зі змінними коефіцієнтами дозволяє
отримати краще наближені дані. Наведено приклади побудови
виробничої функції зі змінними коефіцієнтами та виробничої
функції зі сталими коефіцієнтами, в яких порівнюється якість
наближення виробничої функції Кобба-Дугласа та виробничої
функції зі змінними коефіцієнтами. Розглянуто приклад виро-
бничої функції зі змінними коефіцієнтами для дослідження
економіки сільського господарства України. При проведенні
досліджень, автори виявили, що очевидним є наступне твер-
дження: середньоквадратичне відхилення σ, знайдене для на-
ближення експериментальних даних за допомогою функцій зі
© О. М. Литвин, М. В. Артюх, 2018
Математичне та комп’ютерне моделювання
118
змінними коефіцієнтами еластичності, не може бути більшим,
ніж середньоквадратичне відхилення, отримане для наближу-
ючих функцій зі сталими коефіцієнтами еластичності.
Оскільки відслідковується ефективність використання виро-
бничої функції зі змінними коефіцієнтами в дослідженні еконо-
мічних задач, виникає необхідність провести тестування методу
побудови виробничих функцій зі змінними коефіцієнтами. Сфо-
рмульовано та доведено теорему про тестування методу побу-
дови виробничих функцій зі змінними коефіцієнтами (ВФЗКЕ).
Наводиться результат обчислювального експерименту з викори-
станням виробничої функції зі змінними коефіцієнтами для ілю-
страції доведеної теореми. В подальшому планується продов-
жити дослідження використання виробничих функцій зі змін-
ними коефіцієнтами в інших економічних системах.
Ключові слова: виробнича функція зі сталими коефіцієнта-
ми, виробнича функція зі змінними коефіцієнтами, коефіцієнт
еластичності, виробнича функція Кобба-Дугласа, метод побудо-
ви виробничих функцій зі змінними коефіцієнтами ВФЗКЕ.
Вступ. При проведенні досліджень економічних систем різного
масштабу на практиці доволі часто використовується економіко-
математичне моделювання за допомогою виробничих функцій. Зок-
рема, досить уживаною є виробнича функція Кобба-Дугласа, оскільки
вона легко може бути застосована для аналізу різноманітних форм
суб’єктів господарювання.
Класична виробнича функція Кобба-Дугласа має вигляд [1]:
,Y AL K
(1)
де K — основний капітал, L — робоча сила, , ,A — параметри.
Параметри , функції Кобба-Дугласа є частинними коефіціє-
нтами еластичності:
1) частинний коефіцієнт еластичності продукту по фондах
1
K
Y K K
E A L K
K Y AL K
; (2)
2) еластичність продукту по праці
1
L
Y L L
E A L K
L Y AL K
. (3)
Ці коефіцієнти еластичності відображають відсоток приросту
обсягу випуску продукції при збільшенні витрат ресурсу на 1%.
Для функції Кобба-Дугласа коефіцієнти , постійні й не за-
лежать від обсягу факторів ,K L .
Аналіз останніх досліджень. При більш детальному дослідженні
виявилося, що можливо побудувати виробничу функцію зі змінними
Серія: Технічні науки. Випуск 17
119
коефіцієнтами еластичності. Така функція дозволяє отримати краще
наближені дані [2–6].
Наприклад, було побудовано функцію зі змінними коефіцієнта-
ми еластичності у вигляді:
, , , ,
, , , , ,
f L K a g L K b
Y L K A a b A L K (4)
0 0
, , ,
M N
im i m
i m
f L K a a L K
(5)
0 0
, , .
M N
im i m
i m
g L K b b L K
(6)
При проведенні обчислювального експерименту на основі даних
Кобба-Дугласа була отримана така виробнича функція [4]:
4
4
48,021 15,515 0,074 0,06 2,244 10
3,399 0,059 0,43 1,866 10
.
L K L K
L K L K
Y e L
K
(7)
Для функції (7) середньоквадратичне відхилення 1 0,034 , в
той час, як для класичної виробничої функції Кобба-Дугласа
0,75 0,25
1,01Y L K (8)
2 0,054 . Це підтверджує, що виробнича функція зі змінними кое-
фіцієнтами еластичності краще наближується до фактичних значень.
Також було побудовано виробничу функцію зі змінними коефі-
цієнтами еластичності для дослідження економіки сільського госпо-
дарства України [6]:
29,089 23,818 7,391 0,046 12,302 5,69 0,014L K L K
Yz e L K
(9)
та виробничу функцію зі сталими коефіцієнтами:
0,779 0,91
2,374Yc L K
. (10)
Для функції (9) середньоквадратичне відхилення 3 0,047 , а
для функції (10) — 4 0,057 , що також доводить краще наближен-
ня до фактичних значень саме виробничої функції зі змінними коефі-
цієнтами. Інші приклади див. у [4–6].
Очевидним є наступне твердження: середньоквадратичне відхи-
лення , знайдене для наближення експериментальних даних за до-
помогою функцій із змінними коефіцієнтами еластичності, не може
бути більшим, ніж середньоквадратичне відхилення, отримане для
наближуючих функцій зі сталими коефіцієнтами еластичності. Для
доведення цього твердження достатньо відмітити, що випадок зі ста-
лими коефіцієнтами еластичності отримується із загального випадку
для рівних 0 всіх інших коефіцієнтів, що входять у вирази для функ-
цій , ,f L K a , , ,g L K b .
Математичне та комп’ютерне моделювання
120
Постановка задачі. Оскільки відслідковується ефективність
використання виробничої функції зі змінними коефіцієнтами в дос-
лідженні економічних задач, виникає необхідність провести тесту-
вання методу побудови виробничих функцій зі змінними коефіцієн-
тами (ВФЗКЕ).
Теорема 1. Якщо у формулі (4) всі коефіцієнти поліномів
, ,f L K a , , ,g L K b та коефіцієнт А відомі, то метод ВФЗКЕ точно
їх відновлює.
Доведення. В методі ВФЗКЕ для знаходження невідомих коефі-
цієнтів A, ,ima , 0, , 0,imb i M m N на практиці зручно знаходити
мінімум функціонала
, ,
2
, ,
, ,1
min
g L K bp p
p p
im im
Q
f L K a
p p p
A a bp
j C A L K Y
,
який отримується шляхом логарифмування функціоналу , , ,Y L K a b
, , , ,f L K a g L K b
A L K . Отримаємо
ln ln ln , , ln , ,Y A L f L K a K g L K b , (11)
звідки знаходимо невідомі А, ima , , 0, , 0,imb i M m N [4]. Після
знаходження невідомих А, ima , , 0, , 0,imb i M m N підставляємо
їх у функцію (4), отримавши таким чином конкретну функцію вже з
відомими коефіцієнтами
, , , ,
, , , , .
f L K a g L K b
Y L K A a b A L K (12)
Після цього у функцію (12) з відомими коефіцієнтами підставляємо
вихідні дані K , L і знову відновлюємо функціонал , , ,Y L K a b
, , , ,f L K a g L K b
A L K . В результаті отримуємо матрицю з 0 (з ураху-
ванням похибки).
Теорему доведено.
Було проведено обчислювальний експеримент з допомогою си-
стеми комп’ютерної математики Mathcad, що підтверджує дану тео-
рему. Для відновлення функції використовували дані економі-
ки США за 1899–1922рр., які наведено в статті Кобба-Дугласа
(табл.1) [1].
Спочатку за цими даними було знайдено виробничу функцію зі
змінними коефіцієнтами (7), після цього в цю функцію з відомими
коефіцієнтами підставили вихідні дані з табл. 1 (робоча сила L та ка-
пітал K) і відновили функцію.
Серія: Технічні науки. Випуск 17
121
Таблиця 1
Рік
Обсяг
виробництва
Робоча сила (L) Капітал (K)
1899 100 100 100
1900 101 105 107
1901 112 110 114
1902 122 118 122
1903 124 123 131
1904 122 116 138
1905 143 125 149
1906 152 133 163
1907 151 138 176
1908 126 121 185
1909 155 140 198
1910 159 144 208
1911 153 145 216
1912 177 152 226
1913 184 154 236
1914 169 149 244
1915 189 154 266
1916 225 182 298
1917 227 196 335
1918 223 200 366
1919 218 193 387
1920 231 193 407
1921 179 147 417
1922 240 161 431
В результаті проведення обчислювального експерименту отри-
мано матрицю значень, наближених до 0. Похибка обчислень склала
від 5
1, 496 10
до 7
8, 427 10
.
Висновки. Протестовано метод побудови виробничих функцій
зі змінними коефіцієнтами (ВФЗКЕ). Доведено теорему про точне
відновлення методом ВФЗКЕ коефіцієнтів для виробничої функції зі
змінними коефіцієнтами (4).
В подальшому планується дослідити використання виробничих
функцій зі змінними коефіцієнтами в різних економічних системах.
Список використаних джерел:
1. Cobb C. W. A Theory of Production / C. W. Cobb, P. H. Douglas // American
Economic Review. — 1928. — December. — P. 139–165.
2. Артюх М. В. Загальне представлення функції двох змінних зі змінними
дивідірами першого роду по X та по Y / М. В. Артюх // Праці міжнародної
молодіжної математичної школи «Питання оптимізації обчислень (ПОО-
Математичне та комп’ютерне моделювання
122
XXXVII)». — К. : Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова НАН Укра-
їни, 2011. — С. 14–15.
3. Литвин О. М. Деякі теореми про виробничі функції від двох змінних зі
змінними коефіцієнтами еластичності та їх застосування / О. М. Литвин,
М. В. Артюх // Вісник Національного технічного університету «Харківсь-
кий політехнічний інститут» : збірник наукових праць. Тематичний ви-
пуск: Математичне моделювання в техніці та технологіях. — Харків :
НТУ «ХПІ», 2012. — № 2. — С. 23–29.
4. Литвин О. М. Виробнича функція зі змінними коефіцієнтами еластичнос-
ті, побудована на основі даних Кобба-Дугласа / О. М. Литвин,
М. В. Артюх // Вісник Національного технічного університету «Харківсь-
кий політехнічний інститут» : збірник наукових праць. Тематичний ви-
пуск: Математичне моделювання в техніці та технологіях. — Харків :
НТУ «ХПІ», 2012. — № 27. — С. 124–129.
5. Артюх М. В. Математична модель виробничої функції, яка явно залежить
від капіталоозброєності та обсягів ресурсів / М. В. Артюх, О. М. Литвин //
Інформатика та системні науки (ІСН-2014) : матеріали V Всеукр. наук.-
практ. конф., (м. Полтава, 13-15 березня 2014 р.) / за ред. О. О. Ємця. —
Полтава : ПУЕТ, 2014. — С. 34–37.
6. Артюх М. В. Застосування дивідіріального та мультигрального числень в
дослідженні економіки сільського господарства України / М. В. Артюх,
О. М. Литвин // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Технічні
науки : зб. наук. праць. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський
національний університет імені Івана Огієнка, 2016. — Вип. 13. — C. 16–26.
TESTING THE METHOD OF CONSTRUCTING PRODUCTION
FUNCTIONS WITH VARIABLE COEFFICIENTS (PFVCE)
In the article we consider the classical Cobb-Douglas production func-
tion, which is a production function with constant coefficients and is used for
the study of economical systems of any scale. The formula for the classical
production function of Cobb-Douglas is given and it is explained that its pa-
rameters α, β are partial elasticity coefficients. But with a more detailed study
it turned out that it is possible to construct a production function with varia-
ble elasticity factors. Such a production function with variable coefficients al-
lows for better approximation of data. Examples are given of construction of
a production function with variable coefficients and a production function
with constant coefficients in which the quality of the approximation of the
Cobb-Douglas production function and the production function with variable
coefficients are compared. An example of a production function with varia-
ble coefficients for the study of the economy of agriculture in Ukraine is con-
sidered. In the course of the research, the authors found that the following is
evident: the mean square deviation σ found for the approximation of experi-
mental data by means of functions with variable elasticity coefficients can
not be greater than the mean square deviation obtained for approximating
functions with stable elasticity coefficients.
Since the effectiveness of using the production function with variable
coefficients in the study of economic problems is monitored, it is necessary
Серія: Технічні науки. Випуск 17
123
to test the method of constructing production functions with variable coef-
ficients. A theorem on the testing of the method for constructing produc-
tion functions with variable coefficients (PFVCE) is formulated and
proved. The result of a computational experiment using a production func-
tion with variable coefficients for illustrating the proved theorem is given.
In the future, it is planned to continue research on the use of production
functions with variable coefficients in other economic systems.
Key words: production function with constant coefficients, production
function with variable coefficients, coefficient of elasticity, production
function of Cobb-Douglas, method of constracting production functions
with variable coefficients PFVCE.
Отримано: 23.05.2018
УДК 539.3
Р. С. Мусій, д-р фіз.-мат. наук, професор,
Н. Б. Мельник, канд. фіз.-мат. наук,
І. В. Андрусяк, канд. фіз.-мат. наук,
О. Я. Бродяк, канд. фіз.-мат. наук,
Л. В. Гошко, канд. фіз.-мат. наук
Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА АНАЛІЗ
ТЕРМОПРУЖНОЇ ПОВЕДІНКИ ЕЛЕКТРОПРОВІДНОГО
ЦИЛІНДРА З ТОНКИМ ЕЛЕКТРОПРОВІДНИМ ПОКРИТТЯМ
ЗА ІМПУЛЬСНОЇ ЕЛЕКТРОМАГНІТНОЇ ДІЇ
Побудовано математичну модель визначення термонапру-
женого стану довгого суцільного електропровідного циліндра
з тонким електропровідним покриттям та запропоновано кри-
терії оцінки його роботоздатності і збереження властивостей
контактного з’єднання залежно від параметрів зовнішньої не-
стаціонарної електромагнітної дії. Вибрано розрахункову мо-
дель задачі для розглядуваного електропровідного циліндра,
що складається з трьох етапів.
На першому етапі зі співвідношень Максвелла визначається
відмінна від нуля осьова компонента вектора напруженості маг-
нітного поля в циліндрі і покритті та відповідні їй питомі густи-
ни джоулевих тепловиділень і пондеромоторних сил. На друго-
му етапі з рівняння теплопровідності за відомими джоулевими
тепловиділеннями знаходять розподіл температури в циліндрі і
покритті. На третьому етапі за відомими пондеромоторними си-
лами і температурою зі співвідношень плоскої осесиметричної
задачі термопружності в переміщеннях визначаються радіальна
компонента вектора переміщень та радіальна, колова і осьова
© Р. С. Мусій, Н. Б. Мельник, І. В. Андрусяк, О. Я. Бродяк, Л. В. Гошко, 2018
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-162155 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 2308-5916 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:03:23Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Литвин, О.М. Артюх, М.В. 2020-01-03T13:52:54Z 2020-01-03T13:52:54Z 2018 Тестування методу побудови виробничих функцій зі змінними коефіцієнтами (ВФЗКЕ) / О.М. Литвин, М.В. Артюх // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 117-123. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 2308-5916 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162155 519.6 B статті розглядається класична виробнича функція Кобба-Дугласа, яка є виробничою функцією зі сталими коефіцієнтами та використовується для дослідження економічних систем будь-якого масштабу. Наведено формулу класичної виробничої функції Кобба-Дугласа та дано пояснення, що її параметри α, β є частинними коефіцієнтами еластичності. Але при більш детальному дослідженні виявилося, що можливо побудувати виробничу функцію зі змінними коефіцієнтами еластичності. In the article we consider the classical Cobb-Douglas production function, which is a production function with constant coefficients and is used for the study of economical systems of any scale. The formula for the classical production function of Cobb-Douglas is given and it is explained that its parameters α, β are partial elasticity coefficients. But with a more detailed study it turned out that it is possible to construct a production function with variable elasticity factors. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки Тестування методу побудови виробничих функцій зі змінними коефіцієнтами (ВФЗКЕ) Testing the method of constructing production functions with variable coefficients (PFVCE) Article published earlier |
| spellingShingle | Тестування методу побудови виробничих функцій зі змінними коефіцієнтами (ВФЗКЕ) Литвин, О.М. Артюх, М.В. |
| title | Тестування методу побудови виробничих функцій зі змінними коефіцієнтами (ВФЗКЕ) |
| title_alt | Testing the method of constructing production functions with variable coefficients (PFVCE) |
| title_full | Тестування методу побудови виробничих функцій зі змінними коефіцієнтами (ВФЗКЕ) |
| title_fullStr | Тестування методу побудови виробничих функцій зі змінними коефіцієнтами (ВФЗКЕ) |
| title_full_unstemmed | Тестування методу побудови виробничих функцій зі змінними коефіцієнтами (ВФЗКЕ) |
| title_short | Тестування методу побудови виробничих функцій зі змінними коефіцієнтами (ВФЗКЕ) |
| title_sort | тестування методу побудови виробничих функцій зі змінними коефіцієнтами (вфзке) |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162155 |
| work_keys_str_mv | AT litvinom testuvannâmetodupobudovivirobničihfunkcíizízmínnimikoefícíêntamivfzke AT artûhmv testuvannâmetodupobudovivirobničihfunkcíizízmínnimikoefícíêntamivfzke AT litvinom testingthemethodofconstructingproductionfunctionswithvariablecoefficientspfvce AT artûhmv testingthemethodofconstructingproductionfunctionswithvariablecoefficientspfvce |