Regularization Method of Restoration of Input Signals of Nonlinear Dynamic Objects that Determined by Integro-Power Volterra Series
The article offers a regularization method for solving the polynomial integral Volterra equations of the first kind while solving the problem of restoration of the input signal of a nonlinear dynamic object determined by the integro-power Volterra series. The use of integro-power Volterra series mak...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки |
|---|---|
| Datum: | 2018 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Englisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2018
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162157 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Regularization Method of Restoration of Input Signals of Nonlinear Dynamic Objects that Determined by Integro-Power Volterra Series / V.V. Ponedilok // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 133-140. — Бібліогр.: 4 назв. — англ. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859750625307262976 |
|---|---|
| author | Ponedilok, V.V. |
| author_facet | Ponedilok, V.V. |
| citation_txt | Regularization Method of Restoration of Input Signals of Nonlinear Dynamic Objects that Determined by Integro-Power Volterra Series / V.V. Ponedilok // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 133-140. — Бібліогр.: 4 назв. — англ. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки |
| description | The article offers a regularization method for solving the polynomial integral Volterra equations of the first kind while solving the problem of restoration of the input signal of a nonlinear dynamic object determined by the integro-power Volterra series. The use of integro-power Volterra series makes it possible to simplify the primary nonlinear mathematical models of nonlinear dynamic objects turning them into quasi-linear ones. Polynomial Volterra equations of the first kind are solved by introducing the additional differential regularization operator. It is offered to solve the obtained integrodifferential equations using quadrature algorithms by iterative methods.
У статті пропонується регуляризаційний метод розв’язування поліноміальних інтегральних рівнянь Вольтерри І-го роду при розв’язуванні задачі відновлення вхідного сигналу нелінійного динамічного об’єкта, що поданий інтегро-степеневим рядом Вольтерри. Застосування інтегро-степеневих рядів Вольтерри дає змогу спростити первинні нелінійні математичні моделі нелінійних динамічних об’єктів перетворивши їх до квазілінійного вигляду. Розв’язування поліноміальних інтегральних рівнянь Вольтерри І-го роду здійснюється шляхом введення додаткового диференціального регуляризаційного оператора. Отримані інтегродиференціальні рівняння пропонується розв’язувати за допомогою квадратурних алгоритмів шляхом використання ітераційних методів.
|
| first_indexed | 2025-12-01T23:52:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
Серія: Технічні науки. Випуск 17
133
magnetic impulse were obtained and the computer analysis of the ponderomo-
tive force, the temperature and the radial and circular stresses was done. The re-
sults of the analysis are illustrated by the graphs of time dependence of deter-
mining functions in the considered cylinder with a thin conductive coating.
Key words: mathematical model, thermomechanics, long integrate
electroconductive cylinder, pulsed electromagnetic field, bearing capacity,
properties of the contact connection.
Отримано: 30.05.2018
UDC 004.94
V. V. Ponedilok, senior lector
Kamianets-Podilskyi National Ivan Ohiienko University,
Kamianets-Podilskyi
REGULARIZATION METHOD OF RESTORATION OF INPUT
SIGNALS OF NONLINEAR DYNAMIC OBJECTS THAT
DETERMINED BY INTEGRO-POWER VOLTERRA SERIES
The article offers a regularization method for solving the poly-
nomial integral Volterra equations of the first kind while solving the
problem of restoration of the input signal of a nonlinear dynamic ob-
ject determined by the integro-power Volterra series. The use of in-
tegro-power Volterra series makes it possible to simplify the primary
nonlinear mathematical models of nonlinear dynamic objects turning
them into quasi-linear ones. Polynomial Volterra equations of the
first kind are solved by introducing the additional differential regu-
larization operator. It is offered to solve the obtained integro-
differential equations using quadrature algorithms by iterative meth-
ods. This approach allows makes it possible to increase the efficiency
of the process of signals restoration on the input of nonlinear dynam-
ic objects if there is noise. The efficiency of the offered algorithm is
verified for the restoration of input signal of a nonlinear dynamic ob-
ject given in the form of a sequential connection of linear and non-
linear parts. At the same time, the linear part is represented by an in-
ertial joint, while the nonlinear is represented by polynomial depend-
ence of the second kind. There are presented the results of solving of
polynomial Volterra integral equations of the first kind in the pres-
ence of different noises on the input dependencies. Based on the de-
scribed method, in Matlab / Simulink, there are created simulation
models and software-based methods for solving inverse problems of
signal restoration on the input of nonlinear dynamic objects. The re-
sults of computational experiments demonstrated that the offered
regularization method for solving the polynomial Volterra integral
© V. V. Ponedilok, 2018
Математичне та комп’ютерне моделювання
134
equations of the first kind may be effectively used to restore the input
signals of nonlinear dynamical systems being described by the in-
tegro-power Volterra series.
Keywords: input signals restoration, polynomial Volterra integral
equation of the first kind, differential regularization operator, Matlab.
Introduction. When solving the problem of the input signal of nonlinear
dynamic systems restoration, as well as the problems of control, monitoring
and diagnostics, serving as examples of ill-posed problem, usually it is neces-
sary to solve the Volterra nonlinear equations of the first kind being more
complex problems. The use of regularization methods is the most common
approach to solving such ill-posed problems. A promising direction in solving
such complex problems is the use of integro-power Volterra series, simplify-
ing primary nonlinear mathematical models by transforming them into quasi-
linear ones. The use of tools of the integro-power Volterra series and regulari-
zation methods determines the need of creation of new and more effective
mathematical methods and corresponding software-based means for solving
inverse problems for nonlinear dynamic objects.
The universal mathematical model of nonlinear dynamical systems of
the black box type is the integro-power Volterra series [3]:
1 2 1 2 1 2 1 2
0 0 0
( ) ( , ) ( ) ( , , ) ( ) ( ) ...
t t t
y t K t s x s ds K t s s x s x s ds ds , (1)
where ( ), ( )x t y t — is the input and output signals of the object, accord-
ingly, t — transition process time, 1( , , )i iK t t — Volterra kernel.
The solution of inverse problems leads to the polynomial integral Volter-
ra equations of the first kind (1). No effective methods and means exist to
solve this class of equations, that is why it is crucial to improve and develop
new methods for solving integral Volterra equations of the first kind.
The purpose of this paper is to develop a method for solving the in-
verse problems of the dynamics of nonlinear objects by solving the poly-
nomial integral Volterra equations of the first kind.
Main part. It is offered to solve the problem by replacing the inte-
grals in (1) to quadrature formulas, providing many advantages simpler
implementation and high stability of computational algorithms thanks to
the regularizing properties of the quadrature step [1].
The application of this method is considered while solving the poly-
nomial Volterra integral equation of the second kind:
1 2 1 2 1 2 1 2
0 0 0
( ) ( , ) ( ) ( , , ) ( ) ( ) .
t t t
y t K t s x s ds K t s s x s x s ds ds (2)
Solving the posed problems of restoration of the signals passing
through nonlinear dynamic signals is incorrect and the application of clas-
Серія: Технічні науки. Випуск 17
135
sical methods, with input signals with noises, fails to provide the required
accuracy solutions. It is offered to use the first kind differential regulariza-
tion operator. In such a case solving the polynomial Volterra equation is
reduced to the solving of the following equation:
1 2 1 2 1 2 1 2
0 0 0
( , ) ( ) ( , , ) ( ) ( ) ( )
t t t
dx
K t s x s ds K t s s x s x s ds ds y t
dt
, (3)
where – regularization parameter.
Having applied to (3) the trapezoid method [4] difference formula of
the first order we will obtain:
1
1
1 1
1
2
1 0 0 2 0 0 0 0
1
2
2 0, 2 , 0 0
1
1 1
2
2 ,
1 1
2
2 0 2 0 0
2
1
, ,
2
1 1
, , ,
2 4
1
, , , ,
2
, ,
1
, , , ,
4
1
2
i
i i
i i i i i j j
j
i i
i
i j i j j
j
i i
i j g j g
j g
i i i i i
x t x t
y t hK t t x t hK t t x t
h
hK t t x t h K t t t x t x t
h K t t t K t t t x t x t
h K t t t x t x t
h K t t t K t t t x t x t
h
1
2
2 , 2 , 2 ,
1
1
, , , , , , ,
4
i
i i j i j i j i i i i i i
j
K t t t K t t t x t x t h K t t t x t x t
(4)
where 1..i n , 1i ih t t . Let’s rewrite (4) having grouped addends for
desired :ix t
2 2
2 , 2 0 2 0 0
1
2
2 , 2 , 1
1
1
2
1 1 0 0 2 0 0 0 0
1
2
2 0, 2 , 0
1 1
, , , , , ,
4 4
1 1
, , , , ,
2 2
1 1
, , , ,
2 4
1
, , , ,
2
i i i i i i i i i i
i
i i j i j i j i i i
j
i
i j j i i
j
i j i j
y t h K t t t x t x t h K t t t K t t t x t
h K t t t K t t t x t hK t t x t
h
hK t t x t hK t t x t h K t t t x t x t
h K t t t K t t t
1
0
1
1 1
2
2 , 1
1 1
, , .
i
j
j
i i
i j g j g i
j g
x t x t
h K t t t x t x t x t
h
(5)
Let introduce:
Математичне та комп’ютерне моделювання
136
2
2 ,
1
, ,
4
i i i iA h K t t t , (6)
2
2 0 2 0 0
1
2
2 , 2 , 1
1
1
, , , ,
4
1 1
, , , , , ,
2 2
i i i i
i
i i j i j i j i i
j
B h K t t t K t t t x t
h K t t t K t t t x t hK t t
h
(7)
1
2
1 1 0 0 2 0 0 0 0
1
1
2
2 0, 2 , 0 0
1
1 1
2
2 ,
1 1
1 1
, , , ,
2 4
1
, , , ,
2
, , ( ).
i
i i j j i i
j
i
i j i j j
j
i i
i j g j g i i
j g
C hK t t x t hK t t x t h K t t t x t x t
h K t t t K t t t x t x t
h K t t t x t x t x t y t
h
(8)
Then (5) considering (6)–(8) will be:
2
0i i i i iA x B x C (9)
n square equations (9) are solved sequentially based on the iterative method,
the root of the previous equation is taken as the initial approximation.
Generally, we should search for the roots of a polynomial of some
kind. For the computer implementation of the algorithms for solving the
polynomial equation, it is offered to use the MATLAB — fzero. But, there
it is necessary to separate the real and complex roots that may be solved by
the roots function [2].
The essence of the roots function is that the roots of the polynomial
equation
1
1 2 1...
n n
n np x a x a x a x a
(10)
are the numbers of the so-called companion matrix being determined for
the given polynomial (10) as follows:
3 12
1 1 1 1
1 0 0 0
.
0 1 0 0
0 0 1 0
n na a aa
a a a a
С
Computational experiments. The effectiveness of this approach
was studied while the signal restoration that passes through the system
given in Fig. 1, where LPM is the linear part model. In this system, the
nonlinearity of the second kind is considered.
Серія: Технічні науки. Випуск 17
137
x t u t y t
LPM 2
u u
Fig. 1. Structure diagram of the nonlinear dynamic system
There have been considered the cases when the linear part is deter-
mined by different types of models inertial joint. In this case, we will have
the following model:
1 2
1 2 1 2
0 0 0
( )
t t t
s ssdx t
e x t s ds e x t s x t s ds ds y t
dt
.
The results of computational experiments are given in the figures be-
low. The input signal has the form given in Fig. 2. Simulation step in ex-
periments — 0.1. Fig. 3 demonstrates the signal based on which the input
signal is restored while applying 1% noise, Fig. 4 — restored signal, fig.
5 — the accuracy of recovery. Fig. 6 demonstrates the signal based on
which the input signal is restored while applying 10% noise, Fig. 7 — the
restored signal, Fig. 8 — the accuracy of recovery.
Fig. 2. Input signal
Fig. 3. Signal on the output of the nonlinear system (the case when the linear part
is determined by the inertial joint) applying 1% noise
Математичне та комп’ютерне моделювання
138
Fig. 4. Restored signal — accurate and approximate
Fig. 5. The accuracy of recovery
Fig. 6. Signal on the output of the nonlinear system (the case when the linear
part is determined by the inertial joint) applying 10% noise
Серія: Технічні науки. Випуск 17
139
Fig. 7. Restored signal — accurate and approximate
Fig. 8. The accuracy of recovery
Conclusion. There has been developed the regularization method for
solving polynomial Volterra integral equations of the first kind based on
the introduction of the differential regularization operator making it possi-
ble to improve the efficiency of the process of restoring signals on the in-
put of nonlinear dynamic objects if there is noise.
References:
1. Verlan A. F. Application of the method of inverse operators for the computer resto-
ration of the signal of an inertial measuring device / A. F.Verlan, N. A. Maksy-
movich // Electronic simulation. — 2001. — Vol. 23, No. 4. — P. 14–26. (Rus.)
2. Verlan A. F. Simulation of control systems in the Matlab / A. F.Verlan,
І. O. Horoshko, D. E. Kontrares, V. A. Fedorchuk, V. F. Yuzvenko. — К.,
2002. — 68 p. (Rus.)
3. Ivaniuk V. A. Computer realization of the deterministic method for identification of
integral models of nonlinear dynamic objects / V. A. Ivaniuk, V. V. Ponedilok,
V. A. Hryshchuk // Mathematical and computer simulation. Series: Engineering
Математичне та комп’ютерне моделювання
140
sciences: collection of research papers / V. M. Hlushkov Institute of Cybernetics of
the National Academy of Sciences of Ukraine, Kamianets-Podilskyi National Ivan
Ohiienko University; [Editorship: Yu. H. Kryvonos (ed.), et. al.]. — Kamianets-
Podilskyi: Kamianets-Podilskyi National Ivan Ohiienko University? 2014 —
Vol. 10. — P. 59–67. (Ukr.)
4. Ivanyuk V. Solving inverse problems of dynamics of nonlinear objects based
on the Volterra series / V. Ivanyuk, V. Ponedilok, J. Sterten // Computational
problems of electrical engineering. — Lviv : Lviv Polytechnic National Uni-
versity, 2016. — Vol. 6, No. 1. — P. 9–16.
РЕГУЛЯРИЗАЦІЙНИЙ МЕТОД ВІДНОВЛЕННЯ СИГНАЛІВ НА
ВХОДІ НЕЛІНІЙНИХ ДИНАМІЧНИХ ОБ'ЄКТІВ, ЩО ЗАДАНІ
ІНТЕГРО-СТЕПЕНЕВИМИ РЯДАМИ ВОЛЬТЕРРИ.
У статті пропонується регуляризаційний метод розв’язування полі-
номіальних інтегральних рівнянь Вольтерри І-го роду при розв’язуванні
задачі відновлення вхідного сигналу нелінійного динамічного об’єкта,
що поданий інтегро-степеневим рядом Вольтерри. Застосування інтег-
ро-степеневих рядів Вольтерри дає змогу спростити первинні нелінійні
математичні моделі нелінійних динамічних об’єктів перетворивши їх
до квазілінійного вигляду. Розв’язування поліноміальних інтегральних
рівнянь Вольтерри І-го роду здійснюється шляхом введення додатково-
го диференціального регуляризаційного оператора. Отримані інтегро-
диференціальні рівняння пропонується розв’язувати за допомогою ква-
дратурних алгоритмів шляхом використання ітераційних методів. Та-
кий підхід дозволяє підвищити ефективність процесу відновлення сиг-
налів на вході нелінійних динамічних об’єктів при наявності шумових
завад. Ефективність запропонованого алгоритму, перевірено для відно-
влення вхідного сигналу нелінійного динамічного об’єкту, що поданий
у вигляді послідовного з’єднання лінійної та нелінійної частин. При
цьому лінійна частина представлена інерційною ланкою, а нелінійна –
поліноміальною залежністю другого порядку. Представлено результати
розв’язування поліноміальних інтегральних рівнянь Вольтерри І-го ро-
ду при наявності шумових завад різного характеру у вхідних залежнос-
тях. На основі описаного методу, створено у середовищі Matlab /
Simulink імітаційні моделі та програмні засоби розв’язування оберне-
них задач відновлення сигналів на вході нелінійних динамічних
об’єктів. Результати обчислювальних експериментів показали, що за-
пропонований регуляризаційний метод розв’язування поліноміальних
інтегральних рівнянь Вольтерри І-го роду може ефективно використо-
вуватись для відновлення вхідних сигналів нелінійних динамічних сис-
тем, які описуються інтегро-степеневим рядом Вольтерри.
Ключові слова: відновлення вхідних сигналів, поліноміальне інте-
гральне рівняння Вольтерри І-го роду, диференціальний регуляриза-
ційний оператор, Matlab.
Отримано: 24.05.2018
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-162157 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 2308-5916 |
| language | English |
| last_indexed | 2025-12-01T23:52:06Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ponedilok, V.V. 2020-01-03T14:04:17Z 2020-01-03T14:04:17Z 2018 Regularization Method of Restoration of Input Signals of Nonlinear Dynamic Objects that Determined by Integro-Power Volterra Series / V.V. Ponedilok // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 133-140. — Бібліогр.: 4 назв. — англ. 2308-5916 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162157 004.94 The article offers a regularization method for solving the polynomial integral Volterra equations of the first kind while solving the problem of restoration of the input signal of a nonlinear dynamic object determined by the integro-power Volterra series. The use of integro-power Volterra series makes it possible to simplify the primary nonlinear mathematical models of nonlinear dynamic objects turning them into quasi-linear ones. Polynomial Volterra equations of the first kind are solved by introducing the additional differential regularization operator. It is offered to solve the obtained integrodifferential equations using quadrature algorithms by iterative methods. У статті пропонується регуляризаційний метод розв’язування поліноміальних інтегральних рівнянь Вольтерри І-го роду при розв’язуванні задачі відновлення вхідного сигналу нелінійного динамічного об’єкта, що поданий інтегро-степеневим рядом Вольтерри. Застосування інтегро-степеневих рядів Вольтерри дає змогу спростити первинні нелінійні математичні моделі нелінійних динамічних об’єктів перетворивши їх до квазілінійного вигляду. Розв’язування поліноміальних інтегральних рівнянь Вольтерри І-го роду здійснюється шляхом введення додаткового диференціального регуляризаційного оператора. Отримані інтегродиференціальні рівняння пропонується розв’язувати за допомогою квадратурних алгоритмів шляхом використання ітераційних методів. en Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки Regularization Method of Restoration of Input Signals of Nonlinear Dynamic Objects that Determined by Integro-Power Volterra Series Регуляризаційний метод відновлення сигналів на вході нелінійних динамічних об'єктів, що задані інтегро-степеневими рядами Вольтерри Article published earlier |
| spellingShingle | Regularization Method of Restoration of Input Signals of Nonlinear Dynamic Objects that Determined by Integro-Power Volterra Series Ponedilok, V.V. |
| title | Regularization Method of Restoration of Input Signals of Nonlinear Dynamic Objects that Determined by Integro-Power Volterra Series |
| title_alt | Регуляризаційний метод відновлення сигналів на вході нелінійних динамічних об'єктів, що задані інтегро-степеневими рядами Вольтерри |
| title_full | Regularization Method of Restoration of Input Signals of Nonlinear Dynamic Objects that Determined by Integro-Power Volterra Series |
| title_fullStr | Regularization Method of Restoration of Input Signals of Nonlinear Dynamic Objects that Determined by Integro-Power Volterra Series |
| title_full_unstemmed | Regularization Method of Restoration of Input Signals of Nonlinear Dynamic Objects that Determined by Integro-Power Volterra Series |
| title_short | Regularization Method of Restoration of Input Signals of Nonlinear Dynamic Objects that Determined by Integro-Power Volterra Series |
| title_sort | regularization method of restoration of input signals of nonlinear dynamic objects that determined by integro-power volterra series |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162157 |
| work_keys_str_mv | AT ponedilokvv regularizationmethodofrestorationofinputsignalsofnonlineardynamicobjectsthatdeterminedbyintegropowervolterraseries AT ponedilokvv regulârizacíiniimetodvídnovlennâsignalívnavhodínelíníinihdinamíčnihobêktívŝozadanííntegrostepenevimirâdamivolʹterri |