Математичне моделювання коливних процесів у необмеженому кусково-однорідному клиновидному суцільному циліндрі

У пропонованій роботі методом інтегральних і гібридних інтегральних перетворень у поєднанні з методом головних розв’язків (матриць впливу та матриць Гріна) за найбільш загальних припущень побудовано точні аналітичні розв’язки математичних моделей коливних процесів (гіперболічних початково-крайових з...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
Date:	2018
Main Author:	Громик, А.П.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2018
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162165
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Математичне моделювання коливних процесів у необмеженому кусково-однорідному клиновидному суцільному циліндрі / А.П. Громик // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 18. — С. 34-47. — Бібліогр.: 18 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-162165
record_format	dspace
spelling	Громик, А.П. 2020-01-03T16:26:43Z 2020-01-03T16:26:43Z 2018 Математичне моделювання коливних процесів у необмеженому кусково-однорідному клиновидному суцільному циліндрі / А.П. Громик // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 18. — С. 34-47. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. 2308-5916 DOI: 10.32626/2308-5916.2018-18.34-47 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162165 517.946 У пропонованій роботі методом інтегральних і гібридних інтегральних перетворень у поєднанні з методом головних розв’язків (матриць впливу та матриць Гріна) за найбільш загальних припущень побудовано точні аналітичні розв’язки математичних моделей коливних процесів (гіперболічних початково-крайових задач спряження) в необмеженому кусково-однорідному клиновидному суцільному циліндрі. In this article the exact analytical solutions of mathematical models of oscillating processes (hyperbolic initial-boundary problem of conjugation) for unlimited piecewise-homogeneous wedge-shaped solid cylinder are obtained by means of the method of integral and hybrid integral transforms, in combination with the method of main solutions (influence matrices and Green's matrices). uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки Математичне моделювання коливних процесів у необмеженому кусково-однорідному клиновидному суцільному циліндрі Mathematical modeling of oscillating processes in unlimited piecewise-homogeneous wedge-shaped solid cylinder Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Математичне моделювання коливних процесів у необмеженому кусково-однорідному клиновидному суцільному циліндрі
spellingShingle	Математичне моделювання коливних процесів у необмеженому кусково-однорідному клиновидному суцільному циліндрі Громик, А.П.
title_short	Математичне моделювання коливних процесів у необмеженому кусково-однорідному клиновидному суцільному циліндрі
title_full	Математичне моделювання коливних процесів у необмеженому кусково-однорідному клиновидному суцільному циліндрі
title_fullStr	Математичне моделювання коливних процесів у необмеженому кусково-однорідному клиновидному суцільному циліндрі
title_full_unstemmed	Математичне моделювання коливних процесів у необмеженому кусково-однорідному клиновидному суцільному циліндрі
title_sort	математичне моделювання коливних процесів у необмеженому кусково-однорідному клиновидному суцільному циліндрі
author	Громик, А.П.
author_facet	Громик, А.П.
publishDate	2018
language	Ukrainian
container_title	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format	Article
title_alt	Mathematical modeling of oscillating processes in unlimited piecewise-homogeneous wedge-shaped solid cylinder
description	У пропонованій роботі методом інтегральних і гібридних інтегральних перетворень у поєднанні з методом головних розв’язків (матриць впливу та матриць Гріна) за найбільш загальних припущень побудовано точні аналітичні розв’язки математичних моделей коливних процесів (гіперболічних початково-крайових задач спряження) в необмеженому кусково-однорідному клиновидному суцільному циліндрі. In this article the exact analytical solutions of mathematical models of oscillating processes (hyperbolic initial-boundary problem of conjugation) for unlimited piecewise-homogeneous wedge-shaped solid cylinder are obtained by means of the method of integral and hybrid integral transforms, in combination with the method of main solutions (influence matrices and Green's matrices).
issn	2308-5916
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162165
citation_txt	Математичне моделювання коливних процесів у необмеженому кусково-однорідному клиновидному суцільному циліндрі / А.П. Громик // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 18. — С. 34-47. — Бібліогр.: 18 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT gromikap matematičnemodelûvannâkolivnihprocesívuneobmeženomukuskovoodnorídnomuklinovidnomusucílʹnomucilíndrí AT gromikap mathematicalmodelingofoscillatingprocessesinunlimitedpiecewisehomogeneouswedgeshapedsolidcylinder
first_indexed	2025-11-25T22:57:33Z
last_indexed	2025-11-25T22:57:33Z
_version_	1850576463185575936
fulltext	Математичне та комп’ютерне моделювання 34 16. Hachatrian H. A. On the nontrivial solvability of Hammerstein-Voltera integral equations / H. A. Hachatrian, S. A. Grygorian // Vladikavkazkii mathemati- cheskii jornal. — Vladikavkaz, 2012. — Vol. 14, № 2. — P. 57–66. 17. Poljanin A. D., Manzharov A. V. Handbook of Integral Equations / A. D. Pol- janin, A. V. Manzharov. — Moscow : Fizmatlit, 2003. — 608 p. (In Russian). РЕАЛІЗАЦІЯ ІНТЕГРАЛЬНИХ МАКРОМОДЕЛЕЙ ЯВНОГО ВИДУ ЗАСОБАМИ ШВИДКОДІЮЧИХ АЛГОРИТМІВ Розглянуто клас математичних моделей динамічних об'єктів у формі інтегральних макромоделей, що побудовані на принципі «вхід-вихід» До- сліджується можливість зменшення помилок та підвищення швидкості процесу моделювання з використанням квадратурних формул на основі інтегральних макромоделей у формі операторів Вольтерра (Вольтерра- Хаммерштейн). Запропоновано конструктивні алгоритми процедур чисе- льного моделювання, використовуючи метод росчеплення ядер. Ключові слова: макромоделі, інтегральний оператор, квадратурні формули, похибка моделювання, обчислювальний алгоритм, швидкодія. Отримано: 22.11.2018 УДК 517.946 DOI: 10.32626/2308-5916.2018-18.34-47 А. П. Громик, канд. техн. наук Подільський державний аграрно-технічний університет, м. Кам’янець-Подільський МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ КОЛИВНИХ ПРОЦЕСІВ У НЕОБМЕЖЕНОМУ КУСКОВО-ОДНОРІДНОМУ КЛИНОВИДНОМУ СУЦІЛЬНОМУ ЦИЛІНДРІ Актуальність теорії крайових задач для диференціальних рів- нянь з частинними похідними, яка інтенсивно розвивається, обу- мовлена як значимістю її результатів для розвитку багатьох розді- лів математики, так і численними застосуваннями її досягнень при математичному моделюванні різних процесів і явищ фізики, механіки, біології, медицини, економіки, техніки. Добре відомо, що складність досліджуваних крайових задач суттєво залежить від коефіцієнтів рівнянь та геометрії області в якій розглядається задача. На цей час досить детально вивчено властивості розв’язків крайових задач для лінійних, квазілінійних та певних класів нелінійних рівнянь в однозв’язних областях. Водночас багато важливих прикладних задач теплофізики, термомеханіки, теорії пружності, теорії електричних кіл, теорії коливань приводять до крайових задач для диференціальних рів-нянь з частинними похідними не тільки в однорідних об- © А. П. Громик, 2018 Серія: Технічні науки. Випуск 18 35 ластях, коли коефіцієнти рівнянь є неперервними, але й в кус- ково-однорідних та неоднорідних областях, коли коефіцієнти рівняння є кусково-неперервними. У пропонованій роботі методом інтегральних і гібридних інтегральних перетворень у поєднанні з методом головних розв’язків (матриць впливу та матриць Гріна) за найбільш за- гальних припущень побудовано точні аналітичні розв’язки ма- тематичних моделей коливних процесів (гіперболічних почат- ково-крайових задач спряження) в необмеженому кусково- однорідному клиновидному суцільному циліндрі. Одержані розв’язки мають алгоритмічний характер, непе- рервно залежать від параметрів і даних задачі та можуть бути використані як в подальших теоретичних дослідженнях, так і в практиці інженерних розрахунків реальних еволюційних про- цесів, які моделюються гіперболічними крайовими задачами (задачі акустики, гідродинаміки, теорії коливань механічних систем), які описуються циліндричною системою координат. Ключові слова: математичне моделювання, коливний процес, гіперболічне рівняння, початкові та крайові умови, умови спряження, інтегральні та гібридні інтегральні перет- ворення, матриця впливу, матриця Гріна. Вступ. Коливні процеси відіграють важливу роль у сучасній ві- браційній техніці, новітніх технологіях, суттєво впливають на міц- ність і довговічність деталей машин і механізмів, будівельних конс- трукцій при врахуванні механічних і технологічних умов їх експлуа- тації. Найпростішою математичною моделлю такого процесу є добре і давно відоме лінійне диференціальне рівняння коливань (хвильове рівняння, рівняння Д’аламбера) гіперболічного типу 2-го порядку   2 2 32 , ,u a u f t P t      де 3 — тривимірний оператор Лапласа у відповідній системі коор- динат (декартовій, циліндричній, сферичній тощо) тривимірного евк- лідового простору, ,a const f — деяка наперед задана функція, Р — точка простору. Зрозуміло, що для адекватного моделювання коливного процесу до складу математичної моделі крім хвильового рівняння потрібно долучи- ти ще певні початкові та крайові умови, а у випадку кусково-однорідних середовищ — умови контакту на поверхнях спряження. Таким чином, математичною моделлю коливного процесу є гіперболічна крайова зада- ча математичної фізики [1]. На цей час досить детально вивчено одно- вимірні, двовимірні та тривимірні гіперболічні крайові задачі математи- чної фізики однорідних середовищ. Але у зв’язку з широким застосуван- Математичне та комп’ютерне моделювання 36 ням композитних матеріалів (найпростіший композит має дві точки спряження) у будівництві, техніці, сучасних технологіях як математичні моделі певних процесів виникають крайові задачі для диференціальних рівнянь з частинними похідними різних типів (еліптичних, параболіч- них, гіперболічних) не тільки в однорідних областях, коли коефіцієнти модельних рівнянь є неперервними, але й в неоднорідних і кусково- однорідних сердовищах, коли коефіцієнти рівнянь є кусково- неперервними, чи, зокрема, кусково-сталими [2–4]. Крім методу відокремлення змінних [1, 6] та його узагальнень [5], одним з важливих і ефективних методів дослідження лінійних матема- тичних моделей (лінійних крайових задач математичної фізики) є метод інтегральних перетворень [6], який дає можливість будувати в аналітич- ному вигляді розв’язки тих чи інших математичних моделей (крайових задач) через їх інтегральне зображення у випадку однорідних середовищ. У той же час, для досить широкого класу задач у кусково-однорідних середовищах ефективним методом їх дослідження виявився метод гіб- ридних інтегральних перетворень, які породжені відповідними гібрид- ними диференціальними операторами, коли на кожній компоненті зв’язності кусково-однорідного середовища розглядаються або ж різні диференціальні оператори, або ж диференціальні оператори того ж са- мого вигляду, але з різними наборами коефіцієнтів [7–11]. У цій статті, яка є логічним продовженням [12–13], ми пропону- ємо точний аналітичний розв’язок узагальненої математичної моделі коливного процесу в необмеженому кусково-однорідному клиновид- ному суцільному циліндрі, побудований методом інтегральних і гіб- ридних інтегральних перетворень при найбільш загальних обмежен- нях на вихідні дані. Постановка задачі. Розглянемо задачу побудови обмеженого на множині     1 1 0 1 , , , 0; ; , 0, n n j j j D t r z t r R R R               1 0 0; 0; ,0 2 ; ;nR R z             класичного розв’язку лінійних диференціальних рівнянь з частинни- ми похідними гіперболічного типу 2-го порядку [1, 6]   2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 , , , , ; 1, 1 j j rj zj j j j j j u a a a u r rt r r z u f t r z r j n                               (1) з початковими умовами Серія: Технічні науки. Випуск 18 37    21 0 0 , , ; , , ; ; 1, 1,j j j j jt t u u g r z g r z r j n t            (2) крайовими умовами 0; 0; 0,1; 1, 1; s s j j s s z z u u s j n z z            (3)  1 11 22 22 1 0 1 1 1 1 22 22 22 22 0; , , ; 0,1; 0, 0; 0. s n n ns r Rr n n n n u u g t z s rr                             (4) одними з крайових умов на гранях клина [7] 1 1=0 = 0 = ( , , ); = ( , , ); = 1, 1,j j j ju g t r z u t r z j n      (5) 2 2=0 = 0 = ( , , ); = ( , , ); = 1, 1,j j j j u u g t r z t r z j n          (6) 3 3= 0=0 = ( , , ); = ( , , ); = 1, 1,j j j j u g t r z u t r z j n         (7) 4 4 =0 = 0 = ( , , ); = ( , , ); = 1, 1j j j j u u g t r z t r z j n             (8) та умовами спряження [12] 1 1 2 2 1 0; 1,2; 1, , k k k k k j j k j j k r R u u j k n r r                            (9) де rja , ja , zja , j , k js , k js — деякі сталі; 2 1 1 2 0;k k k k jk j j j jc       1 2 0;k kc c   1 2 1( , , , ) = ( , , , ), ( , , , ),..., ( , , , ) ,nf t r z f t r z f t r z f t r z     1 1 1 1 1 2 1( , , ) = ( , , ); ( , , ),..., ( , , ) ;ng r z g r z g r z g r z     2 2 2 2 1 2 1( , , ) = ( , , ); ( , , ),..., ( , , ) ;ng r z g r z g r z g r z    ( , , ),pjg t r z ( , , );pj t r z  = 1,4; = 1, 1 , ( , , )p j n g t z — задані обмежені неперервні функції;  1 2 1( , , , ) = ( , , , ); ( , , , ),..., ( , , , )nu t r z u t r z u t r z u t r z    — шукана двічі неперервно диференційовна функція. Математичне та комп’ютерне моделювання 38 Зауважимо, що: 1) у випадку 0j  рівняння (1) є класичним тривимірним неодно- рідним рівнянням коливань (хвильовим рівнянням, рівнянням Д’аламбера) для ортотропного середовища у циліндричній систе- мі координат; 2 якщо 11 0,k  11 1;k  12 0,k  12 1;k  21 1 ,k kE  21 0;k  22 2 ,k kE  22 0,k  де 1 2,k kE E — модулі Юнга  1,k n , то умови спряження (9) збігаються з класичними умовами ідеального меха- нічного контакту. Таким чином, гіперболічні початково-крайові задачі спряження (1)– (4), (5), (9); (1)–(4), (6), (9); (1)–(4), (7), (9); (1)–(4), (8), (9) можна розгля- дати як узагальнені математичні моделі коливних процесів у необмеже- ному кусково-однорідному клиновидному суцільному циліндрі. Основна частина. Припустимо, що розв’язки задач (1)–(4), (5), (9); (1)–(4), (6), (9); (1)–(4), (7), (9); (1)–(4), (8), (9) існують і задані й шукані функції задовольняють умови застосовності залучених нижче прямих та обернених інтегральних і гібридних інтегральних перетво- рень [11, 14, 15]. Визначимо скінченні пряме ,m ikF та обернене 1 ,m ikF  інтегральні пе- ретворення Фур’є щодо кутової змінної  00;  за формулами [14]:       0 , , , 0 ,m ik m ik m ikF f f U d f          (10)    1 , , , , 0 0 2 ,ik m ik m ik m m ik m ik m F f f U f             (11) де           ,11 ,11 ,11 0 ,12 ,12 ,12 0 , sin ; 2 1 , sin ; 2 m m m m m m m U m U                         ,21 ,12 ,21 ,21 ,22 ,11 ,22 ,22 , cos ; , cos ; m m m m m m m m U U               0 0, 1ik ik m   при 11,12,21; 1,2,3,....ik m  ; 22 22 0 1 , 1 2 m   при 1, 2,3,..... .m  Серія: Технічні науки. Випуск 18 39 Безпосередньо (інтегруванням частинами) перевіряється, що для оператора ,m ikF виконується основна тотожність інтегрального пере- творення диференціального оператора Фур’є: 2 2 , , , ,2 ; , 1, 2,m ik m ik m ik m ik d fF f i k d            (12) де             0 1 ,11 0 ,12 0 0 2 1 0 1 ; 0 1 ; 2 m m m m mm dff f f d                            0 ,21 0 ,22 00 0 2 1 1 ; 1 . 2 m m m m mdf df dff d d d                       Інтегральний оператор ,m ikF , який діє за формулою (10), внаслі- док тотожності (12) тривимірним початково-крайовим задачам спря- ження (1)–(4), (5), (9); (1)–(4), (6), (9); (1)–(4), (7), (9); (1)–(4), (8), (9) ставить у відповідність задачу побудови обмеженого на множині    , , 0; , ;nD t r z t r z       розв’язку двовимірних диференціальних рівнянь   2 22 2 , ,2 2 ,2 2 2 2 2 , , 1 , , , ; 1, 1 jm ik jm ik rj zj jm ik j jm ik jm ik j u a a u r rt r r z u G t r z r j n                         (13) з початковими умовами    , 21 , , ,0 0 , ; , ,jm ik jm ik jm ik jm ikt t u u g r z g r z t      (14) крайовими умовами , ,0; 0; 0,1; 1, 1, s s jm ik jm ik s s z z u u s j n z z            (15)  1 , 1 1 22 22 1, , , 0 0; , ; 0,1 s m ik n n n m ik m iks r Rr u u g t z s rr               (16) та умовами спряження , 1, ,1 1 2 2 0; 1,2; 1, , p p p p p pm ik p m ikj j j j r R u u j p n r r                            (17) де Математичне та комп’ютерне моделювання 40      2 2 1 , , , , ,, , , , , , ; .jm ik jm ik j m ik jm ik rj j m ikG t r z f t r z a r t r z a a       До двовимірної початково-крайової задачі спряження (13)–(17) застосуємо інтегральне перетворення Фур’є на декартовій осі  ;  щодо змінної z [15]:       , 1,i zF g z g z e dz g i             (18)      1 1 , 2 i zF g g e d g z             (19)     2 2 2 2 .d gF F g z g dz                 (20) Інтегральний оператор F, який діє за формулою (18), внаслідок тотожності (20) задачі (13)–(17) ставить у відповідність задачу побу- дови обмеженого на множині   , 0; nD t r t r     розв’язку одно- вимірних диференціальних рівнянь В-гіперболічного типу     , 2 , 2 ,2 2 2 2 , , , , ; ; 1, 1 jm ik jm ik rj jm ik zj j jm ik jm ik j u a B u t a u G t r r j n                    (21) з початковими умовами    , 21 , , ,0 0 , ; , , ; 1, 1,jm ik jm ik jm ik jjm ikt t u u g r g r r I j n t                (22) крайовими умовами  1 , 1 1 22 22 1, , , 0 0; , ; 0,1 s m ik n n n m ik m iks r Rr u u g t s rr                   (23) та умовами спряження , 1, ,1 1 2 2 0; 1,2; 1, , p p p p p pm ik p m ikj j j j r R u u j p n r r                              (24) де , 22 , 2 2 1 jm ik jm ikB r rr r       — класичний диференціальний опера- тор Бесселя. До одновимірної початково-крайової задачі спряження (21)–(24) застосуємо скінченне гібридне інтегральне перетворення типу Ганке- ля 1-го роду на кусково-однорідному сегменті nI  з n точками спряжен- ня щодо радіальної змінної r [11]: Серія: Технічні науки. Випуск 18 41   0 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ), R sn s sH f r f r V r r rdr f     (25) 1 2 1 ( , )( ) ( ) ( ), ( , ) s sn s s s s V r H f f f r V r              (26) 1 1 2 2 ( , ) 1 2 1 11 1 1 22 221 22 [ ( )] ( ) ( ) ( , ) ( , ) . k k Rn sn m ik s s k k s k k R n nn n n sn r R H B f r f f r V r rdr a R dfV R f dr                                  (27) У формулах (25)–(27) беруть участь величини і функції, виписані в [11], , 1 2 ( , ) 1 1 ( ) ( ) jm ik n m ik j j j j B a r R R r B         — гібридний диференці- альний оператор Бесселя,  х — одинична функція Гевісайда [16]. Запишемо диференціальні рівняння (21) та початкові умови (22) у матричній формі       1 , 2 , 1, , 2 2 2 1 1 1 ,2 2 2 2 2 2 2 ,2 2 2 2 1 1 1, ,2 ( ) , , ( ) , , ( ) , , m ik m ik n m ik m ik m ik n n n m ik a B q u t r t a B q u t r t a B q u t r t                                                     1 , 2 , 1, , ( , , ) ( , , ) ( , , ) m ik m ik n m ik G t r G t r G t r                             , (28) 1 1 ,1 , 1 2 , 2 , 11, , 1, ,0 1 , 2 , 1, , 0 ( , )( , , ) ( , , ) ( , ) , ( , , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) m ikm ik m ik m ik n m ik n m ikt m ik m ik n m ik t g ru t r u t r g r u t r g r gu t r u t r t u t r                                                             2 1 , 2 2 , 2 1, , ( , ) ( , ) , ( , ) m ik m ik n m ik r g r g r                     (29) Математичне та комп’ютерне моделювання 42 де 2 2 2 2( ) ;j zj jq a    1, 1.j n  Інтегральний оператор snH , який діє за формулою (25), зобра- зимо у вигляді операторної матриці-рядка   1 2 1 1 1 1 2 2 0 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n n R R sn s s R R R n s n n s n R R H V r rdr V r rdr V r rdr V r rdr                             (30) і застосуємо за правилом множення матриць до задачі (28), (29). Вна- слідок тотожності (27) одержуємо задачу Коші для звичайних дифе- ренціальних рівнянь 2-го порядку   21 2 2 2 ,2 1 21 1 1 , 1 ,1 1 22 ( ) ( , , ) ( , , ) ( , ) , , n s j j jm ik s j n n n jm ik s n s m ikn j d q u t dt a R G t V R g t                                    (31) 1 1 1 , ,0 1 1 1 1 2 , ,0 1 1 ( , , ) ( , ); ( , , ) ( , ), n n jm ik s jm ik st j j n n jm ik s jm ik st j j u t g d u t g dt                               (32) де 1 , ,( , , ) ( , , ) ( , ) ; 1, 1, j j R jm ik s jm ik j s j R u t u t r V r rdr j n          1 , ,( , , ) ( , , ) ( , ) , 1, 1, j j R jm ik s jm ik j s j R G t G t r V r rdr j n          1 , ,( , ) ( , ) ( , ) ; 1, 1, 1, 2. j j R s s jm ik s jm ik j s j R g g r V r rdr j n s           Припустимо, не зменшуючи загальності розв’язку задачі, що         2 2 2 2 1 2 1 1max , , ... , nq q q q     і покладемо всюди    2 2 2 1 ; 1, 1.j jq q j n      Задача Коші (31), (32) набуває вигляду Серія: Технічні науки. Випуск 18 43   2 , 2 , ,2 2 1 1 1 ,1 22 ( , ) ( , , ) ( , ) , , m ik s m ik m ik s n n n s m ikn d u u G t dt a R V R g t                    (33) 1 , ,0 ( , , ) ( , );m ik s m ik st u t g          2 , , 0 , , ( , ),m ik s m ik s t d u t g dt         (34) де 1 , , 1 ( , , ) ( , , ); n m ik s jm ik s j u t u t          1 , , 1 ( , , ) ( , , ), n m ik s jm ik s j G t G t          1 , , 1 ( , ) ( , ); n s s m ik s jm ik s j g g          2 2 2 2 2 1 1( , ) ; 1,2.s s za s         Відомо [11], що єдиним розв’язком задачі (33), (34) є функція         2 1 , , , 2 1 1 , 1 ,1 220 ( , , ) , , ( , ) , , ( , ) , , ( , , ) ( , ) , , m ik s s m ik s s m ik s t n n s m ik s n s m ikn du t N t g N t g dt a R N t G V R g t d                                             (35) де функція Коші (розв’язуюча функція)   sin( ( , ) ), , . ( , ) s s s t N t          Оскільки суперпозиція операторів snH та 1 snH  є одиничним опе- ратором  1 1 ,sn sn sn snH H H H I    то оператор 1 snH  , як обернений до оператора (30), зобразимо у вигляді операторної матриці-стовпця         1 2 1 2 21 1 1 2 1 ( , ) , ( , ) , ( , ) , s s s s ssn s n s s s V r V r V r H V r V r V r                                                  (36) і застосуємо за правилом множення матриць до матриці-елемента , ( , , ) ,m ik su t      де функція , ( , , )m ik su t   визначена формулою (35). Математичне та комп’ютерне моделювання 44 Одержуємо єдиний розв’язок одновимірної гіперболічної початково- крайової задачі спряження (21)–(24):       2 , , 2 1 , ( , , ) , , ( , ) , j s jm ik s m ik s s s V r u t r N t g V r                          1 , 2 1 , 2 1 0 , , , ( , ) , , , , ( , , ) , j s s m ik s s s t j s s m ik s s s V r N t g t V r V r N t G d V r                               (37)         2 1 1 1 ,1 2 122 0 , , , ( , ) , ; , 1, 1. t j sn n s n s m ikn s s V ra R N t V R g t d V r j n                     Застосувавши послідовно до функцій , ( , , )jm iku t r  , визначених формулами (37), обернені оператори 1F  та 1 , ,m ikF  і виконавши не- складні перетворення, одержуємо функції 0 1 0 1 , 1 1 0 0 1 1 1 0 ( , , , ) ( , , , , , ) ( , , , ) ( , , , , , ) ( , , ) p p p p j ik Rtn ik jp p p p R Rn ik jp p p p R u t r z E t r z f d d d d E t r z g d d d t                                                         (38)   0 1 1 0 1 2 1 0 1 2 1 1 0 , 0 0 ( , , , , , ) ( , , ) ( , , , , , , ) ( , , , , ) , , ; 1, 1, p p p p Rn ik jp p p p R Rtn ik p jp p p R t jr ik E t r z g d d d a Q t r z d d d W t r z g t d d d j n                                                                  які визначають єдині розв’язки гіперболічних початково-крайових задач (1)–(4), (5), (9); (1)–(4), (6), (9); (1)–(4), (7), (9); (1)–(4), (8), (9) при відповідних значеннях ik (11, 12, 21, 22). Серія: Технічні науки. Випуск 18 45 У формулах (38) застосовано компоненти      , , , 0 0 2( , , , , , ) , , ,ik ik m ik jp m jp m ik m ik m E t r z t r z UP U            матриці впливу (функції впливу), функції Гріна      , , , 0 0 ( , , , , , , ) 2 , , , , , ik jp ik m ik m jp m ik m ik m Q t r z P t r z U                     та компоненти 2 1 1 , , 11 22 ( , , , , ) ( , , , , , )ikn n jr ik j nn a W t r z E t r R z           радіальної матриці Гріна (радіальної функції Гріна) відповідних по- чатково-крайових задач спряження, де             , 2 1 0 , , , , , , , cos . , t j s p sm ik jp s s j s V r V P t r z N t z d V r               Зауваження 1. Аналіз розв’язків (38) в залежності від типу кра- йових умов на гранях клина 0  та 0  повторює відповідний аналіз в [12]. Зауваження 2. У випадку 0rj j zj ja a a a    формули (38) ви- значають структури розв՚язків розглянутих задач в ізотропному необме- женому кусково-однорідному клиновидному суцільному циліндрі. Зауваження 3. Випадок зміни  в межах 1 2    зводиться до розглянутого нами заміною  1 0 2 1 .          Зауваження 4. Параметри 1 1 22 22,n n   дозволяють виділяти із формул (38) розв’язки крайових задач у випадках задання на поверхні r R , крайової умови 1-го роду  1 1 22 220, 1n n    , 2-го роду  1 1 22 221, 0n n    та 3-го роду  1 1 22 221, 0n n h     . Зауваження 5. Аналіз розв’язків (38) в залежності від аналітич- ного виду функцій ( , , , ), ( , , ), ( , , ),s j j kjf t r z g r z g t r z  ( , , ),kj t r z 1, 1,j n  1, 2; 1,4, ( , , )s k g t z  проводиться безпосередньо із загальних структур. Висновки. Методом інтегральних і гібридних інтегральних пе- ретворень у поєднанні з методом головних розв՚язків (функцій впли- ву та функцій Гріна) вперше побудовано єдині точні аналітичні Математичне та комп’ютерне моделювання 46 розв’язки узагальнених математичних моделей коливних процесів у необмеженому кусково-однорідному клиновидному суцільному ци- ліндрі. Одержані розв’язки носять алгоритмічний характер, неперер- вно залежить від параметрів і даних задачі й можуть бути використа- ні як в теоретичних дослідженнях, так і в практиці інженерних розра- хунків з використанням чисельних методів. Список використаних джерел: 1. Перестюк М. О. Теорія рівнянь математичної фізики / М. О. Перестюк, В. В. Маринець. — Київ : Либідь, 2006. — 424 с. 2. Дейнека В. С. Модели и методы решения задач в неоднородных средах / В. С. Дейнека, И. В. Сергиенко. — Киев : Наук. думка, 2001. — 606 с. 3. Дейнека В. С. Модели и методы решения задач с условиями сопряжения / В. С. Дейнека, И. В. Сергиенко, В. В. Скопецкий. — Киев : Наук. думка, 1998. — 614 с. 4. Сергиенко И. В. Математическое моделирование и исследование процес- сов в неоднородных средах / И. В. Сергиенко, В. В. Скопецкий, В. С. Дейнека. — Киев : Наук. думка, 1991. — 432 с. 5. Каленюк П. И. Обобщенный метод разделения переменных / П. И. Каленюк, Я. Е. Баранецкий, З. Н. Нитребич. — Киев : Наук. думка, 1993. — 232 с. 6. Самойленко В. Г. Рівняння математичної фізики / В. Г. Самойленко, І. М. Конет. — Київ : ВПЦ «Київський університет», 2014. — 283 с. 7. Конет І. М. Стаціонарні та нестаціонарні температурні поля в циліндрич- но-кругових областях / І. М. Конет, М. П. Ленюк. — Чернівці : Прут, 2001. — 312 с. 8. Громик А. П. Температурні поля в кусково-однорідних просторових се- редовищах / А. П. Громик, І. М. Конет, М. П. Ленюк. — Кам'янець- Подільський : Абетка-Світ, 2011. — 200 с. 9. Конет І. М. Гіперболічні крайові задачі математичної фізики в кусково- однорідних просторових середовищах / І. М. Конет. — Кам'янець- Подільський : Абетка-Світ, 2013. — 120 с. 10. Конет І. М. Параболічні крайові задачі в кусково-однорідних середови- щах / І. М. Конет, Т. М. Пилипюк. — Кам'янець-Подільський : Абетка- Світ, 2016. — 244 с. 11. Конет І. М. Гіперболічні крайові задачі в кусково-однорідних циліндрич- но-кругових середовищах / І. М. Конет, Т. М. Пилипюк. — Кам'янець- Подільський : Абетка-Світ, 2017. — 84 с. 12. Громик А. П. Математичне моделювання коливних процесів у кусково- однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі / А. П. Гро- мик // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Технічні науки : зб. наук. пр. / Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський нац. ун-т імені Івана Огієнка, 2017. — Вип. 16. — С. 36–52. 13. Громик А. П. Математичне моделювання коливних процесів у кусково- однорідному клиновидному циліндрично-круговому просторі з порожни- ною / А. П. Громик // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Технічні науки : зб. наук. пр. / Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова Серія: Технічні науки. Випуск 18 47 НАН України, Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський нац. ун-т імені Івана Огієнка, 2018. — Вип. 17. — С. 26-39. 14. Трантер К. Дж. Интегральные преобразования в математической физике / К. Дж. Трантер. — М. : Гостехтеориздат, 1956. — 204 с. 15. Снеддон И. Преобразования Фурье / И. Снеддон. — М. : ИЛ, 1955. — 668 с. 16. Шварц Л. Математические методы для физических наук / Л. Шварц. — Москва : Мир, 1965. — 408 с. 17. Гельфанд И. М. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравне- ний / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. — М. : Физматгиз, 1958. — 247 с. 18. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс / Г. Е. Шилов. — М. : Наука, 1965. — 328 с. MATHEMATICAL MODELING OF OSCILLATING PROCESSES IN UNLIMITED PIECEWISE-HOMOGENEOUS WEDGE-SHAPED SOLID CYLINDER The theory of boundary value problems for differential equations with partial derivatives develops intensively and its results are important for the development of many sections of mathematics. Its achievements are ap- plied in the mathematical modeling of various processes and phenomenon of physics, mechanics, biology, medicine, economics, engineering. It is well known that the complexity of a boundary-value problem signifi- cantly depends on the coefficients of equations and the geometry of domain in which the problem is considered. Properties of solutions of boundary value problems for linear, quasilinear, and some classes of nonlinear equations in sin- gle-connected domains have been studied in sufficient detail. However, many important applied problems of thermal physics, thermo- mechanics, theory of elasticity, theory of electrical circuits, theory of vibrations lead to boundary value problems for differential equations with partial deriva- tives not only in homogeneous domains when the coefficients of the equations are continuous, but also in piecewise homogeneous and inhomogeneous do- mains when the coefficients of the equations are piecewise continuous. In this article the exact analytical solutions of mathematical models of os- cillating processes (hyperbolic initial-boundary problem of conjugation) for un- limited piecewise-homogeneous wedge-shaped solid cylinder are obtained by means of the method of integral and hybrid integral transforms, in combination with the method of main solutions (influence matrices and Green's matrices). The obtained solutions are of algorithmic character, continuously de- pend on the parameters and data of problem and can be used in further the- oretical research and in practical engineering calculations of real processes which are modeled by hyperbolic boundary-value problems that are de- scribed by a cylindrical coordinate system (problems of acoustics, hydro- dynamics, the theory of vibrations of mechanical systems). Key words: modelling, oscillating, hyperbolic equation, initial and boundary conditions, conditions of conjugation, integral transformation, the influence matrix, Green's matrix. Отримано: 14.11.2018

Математичне моделювання коливних процесів у необмеженому кусково-однорідному клиновидному суцільному циліндрі

Institution

Similar Items