Математическая модель углового движения твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона и ее использование в задачах управления ориентацией космического аппарата

В работе был использован подход был использован для решения основных задач управления угловым движением КА: задачи стабилизации и задачи терминального управления. Статья может быть полезной разработчикам систем управления ориентацией КА....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2018
1. Verfasser:	Ефименко, Н.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2018
Schriftenreihe:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162166
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Математическая модель углового движения твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона и ее использование в задачах управления ориентацией космического аппарата / Н.В. Ефименко // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 18. — С. 48-65. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-162166
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1621662025-02-23T17:34:55Z Математическая модель углового движения твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона и ее использование в задачах управления ориентацией космического аппарата Mathematical model of an the angular motion of a solid body in the parameters of the rodrig-hamilton and its use in the tasks of control spacecraft orientation Ефименко, Н.В. В работе был использован подход был использован для решения основных задач управления угловым движением КА: задачи стабилизации и задачи терминального управления. Статья может быть полезной разработчикам систем управления ориентацией КА. In this paper, this approach was used to solve the main problems of controlling the angular motion of a spacecraft: stabilization problems and terminal control problems. The article may be useful to developers of spacecraft attitude control systems. 2018 Article Математическая модель углового движения твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона и ее использование в задачах управления ориентацией космического аппарата / Н.В. Ефименко // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 18. — С. 48-65. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 2308-5916 DOI: 10.32626/2308-5916.2018-18.48-65 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162166 550:531;681.51 ru Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В работе был использован подход был использован для решения основных задач управления угловым движением КА: задачи стабилизации и задачи терминального управления. Статья может быть полезной разработчикам систем управления ориентацией КА.
format	Article
author	Ефименко, Н.В.
spellingShingle	Ефименко, Н.В. Математическая модель углового движения твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона и ее использование в задачах управления ориентацией космического аппарата Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
author_facet	Ефименко, Н.В.
author_sort	Ефименко, Н.В.
title	Математическая модель углового движения твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона и ее использование в задачах управления ориентацией космического аппарата
title_short	Математическая модель углового движения твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона и ее использование в задачах управления ориентацией космического аппарата
title_full	Математическая модель углового движения твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона и ее использование в задачах управления ориентацией космического аппарата
title_fullStr	Математическая модель углового движения твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона и ее использование в задачах управления ориентацией космического аппарата
title_full_unstemmed	Математическая модель углового движения твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона и ее использование в задачах управления ориентацией космического аппарата
title_sort	математическая модель углового движения твердого тела в параметрах родрига-гамильтона и ее использование в задачах управления ориентацией космического аппарата
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2018
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162166
citation_txt	Математическая модель углового движения твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона и ее использование в задачах управления ориентацией космического аппарата / Н.В. Ефименко // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 18. — С. 48-65. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
work_keys_str_mv	AT efimenkonv matematičeskaâmodelʹuglovogodviženiâtverdogotelavparametrahrodrigagamilʹtonaieeispolʹzovanievzadačahupravleniâorientaciejkosmičeskogoapparata AT efimenkonv mathematicalmodelofantheangularmotionofasolidbodyintheparametersoftherodrighamiltonanditsuseinthetasksofcontrolspacecraftorientation
first_indexed	2025-11-24T04:50:45Z
last_indexed	2025-11-24T04:50:45Z
_version_	1849645959022116864
fulltext	Математичне та комп’ютерне моделювання 48 УДК 550:531;681.51 DOI: 10.32626/2308-5916.2018-18.48-65 Н. В. Ефименко, канд. техн. наук Научно-производственное предприятие «Хартрон-ЮКОМ», г. Запорожье МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УГЛОВОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ПАРАМЕТРАХ РОДРИГА-ГАМИЛЬТОНА И ЕЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ОРИЕНТАЦИЕЙ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В настоящее время наиболее эффективным способом по- лучения данных о поверхности Земли является спутниковая съемка. При этом к динамическим характеристикам системы управления космическим аппаратом (КА) предъявляются очень жесткие требования. Разворот должен происходить из любого текущего положения в любое заданное, точность ори- ентации в развернутом положении должна составлять едини- цы угловых минут, а угловые скорости разворота могут дости- гать величины 2-3 градуса за секунду. Для обеспечения таких высоких динамических характеристик базовый такт системы управления должен быть не более 100 мс. Это ограничение накладывает ограничения и на алгоритмы переориентации. Они должны быть, с одной стороны, очень простыми, чтобы время, затрачиваемое на расчет управляющего воздействия, было минимальным. С другой стороны, они должны обеспе- чить высокие динамические характеристики, что невозможно обеспечить в классе простых алгоритмов. Решение задачи син- теза алгоритмов переориентации КА необходимо искать как решение оптимизационной задачи. При решении таких задач, как правило, используется математическая модель углового движения КА, в которой динамика описывается уравнением Эйлера, а кинематика — уравнением для кватерниона. В этом случае достаточно легко получить уравнения двухточечной краевой задачи, но найти аналитическое решение этой задачи не представляется возможным. Решение можно найти только с использованием численных методов, что не применимо при реализации алгоритмов на борту КА. Эти трудности можно обойти, если в качестве модели углового движения КА ис- пользовать модель, построенную на основе динамических уравнений вращательного движения твердого тела в парамет- рах Родрига-Гамильтона. В работе этот подход был использо- ван для решения основных задач управления угловым движе- нием КА: задачи стабилизации и задачи терминального управ- © Н. В. Ефименко, 2018 Серія: Технічні науки. Випуск 18 49 ления. Статья может быть полезной разработчикам систем управления ориентацией КА. Ключевые слова: параметры Родрига-Гамильтона, кос- мический аппарат, кватернион, ориентация, динамическое уравнение для кватерниона. Условные обозначения и системы координат. При изложении материала статьи использовались следующие обозначения и системы координат:  AB Аω — вектор угловой скорости вращения базиса A относительно базиса B, заданный проекциями на оси базиса A;  0 AB AB AB λΛ λ         — векторное представление кватерниона со скаляр- ной частью 0 ABλ и векторной частью 3 ABλ R , задающего переход от базиса А к базису В;  BAC — матрица перехода от базиса А к базису В;  I — инерциальная система координат;  R — опорная система координат, относительно которой осу- ществляется требуемая ориентация КА, ее вращение относительно инерциальной системы координат I задается вектором про- граммной угловой скорости, определённым в виде некоторой функции времени  RI Rω t , для которой существует производная по времени ( )RI R t ;  B — жестко связанная с корпусом космического аппарата (КА) правая ортогональная система координат;  J — тензор инерции КА;  3 uM R — управляющий момент, создаваемый исполнительны- ми органами системы управления КА;  3 вM R — возмущающий момент;    3 2 3 1 2 1 0 0 0 x x Φ x x x x x          — линейный кососимметрический опе- ратор векторного произведения, определяемый равенством  Φ x y x y   .  nI — единичная матрица n×n. Математичне та комп’ютерне моделювання 50 Введение. Успех в решении задач управления движением КА отно- сительно центра масс во многом зависит от выбранной модели движения КА. Математическая модель углового движения КА состоит из двух групп уравнений: динамических уравнений Эйлера и кинематических уравнений, записанных в тех или иных кинематических параметрах (уг- лах Эйлера-Крылова, направляющих косинусах, параметрах Родрига- Гамильтона). В зависимости от того, какие используются кинематиче- ские параметры для описания угловой ориентации КА можно выделить следующие виды моделей углового движения:  динамическое уравнение Эйлера и кинематическое уравнение в направляющих косинусах;  динамическое уравнение Эйлера и кинематическое уравнение в углах Эйлера-Крылова;  динамическое уравнение Эйлера и кинематическое уравнение в параметрах Родрига-Гамильтона. Среди этих моделей самой распространенной является модель, в которой динамика описывается уравнением Эйлера, а кинематика — кинематическим уравнением в параметрах Родрига-Гамильтона. Уравнения этой модели, описывающие относительное движение свя- занной и опорной систем координат имеют следующий вид:      BR RI BR RI BR RI BR B B B B B B B u вJ J J M M                 , (1) 0 ( ) 2 ( ) BR T B RB RBBR BR B B              . (2) Достоинством модели является отсутствие вычислительных особенностей и минимальная избыточность вектора состояния, недо- статком — нелинейность модели, что существенно затрудняет синтез законов управления. Кроме перечисленных выше моделей углового движения КА, для построения управления можно использовать и модель движения, имеющую вид системы дифференциальных уравнений второго по- рядка относительно параметров Родрига-Гамильтона (В. Н. Кошля- ков [1], Ю. Н. Челноков [2–4]). Однако в моделях, приведенных в этих работах, правые части динамического уравнения Эйлера выра- жаются непосредственно через параметры Родрига-Гамильтона, что приводит к тому, что модели становятся существенно нелинейными, и их затруднительно использовать для синтеза управления. Эти труд- ности можно обойти, если при построении модели использовать ди- намическое уравнение для кватерниона [5] Серія: Технічні науки. Випуск 18 51   2 4 4 ( ) : 1, , TI U R               (3) описывающее множество всех допустимых управляемых перемеще- ний точки на поверхности сферы с единичным радиусом в четырех- мерном пространстве. Уравнение (3) представляет собой частный случай уравнения движения точки по сфере в пространстве nR 2 0 0 0 0 0( )ТnX I X X f X X       , которое описывает множество всех допустимых управляемых пере- мещений точки на поверхности сферы заданного радиуса в n-мерном пространстве. В работе [6] исследованы свойства этого уравнения и доказаны следующие утверждения: Утверждение 1. Пусть задана нелинейная система дифференци- альных уравнений     1, , , ... ,m mX F X X X X    . Будем рассматри- вать компоненты вектора   nX t R как координаты одноименной точки, которая движется в пространстве nR по некоторой траекто- рии, определяемой вектором  X t . При этом вектор функция  X t ,  0 1t t , t удовлетворяет условию   0X t  . Тогда движение про- екции этой точки на единичную сферу в пространстве nR , определя- емое ортом      0 X t X t X t  вектора  X t , описывается уравнением   2 0 0 0 0 0 Т nX I X X f X X       , 0 02Xf X X         , TX X   , 0 TX X    , в котором переменная  t представляет собой произвольную ска- лярную функцию времени. Утверждение 2. Пусть на единичной сфере в пространстве nR задана точка  0X t , движение которой описывается уравнением   2 0 0 0 0 0 T nX I X X X Xf       . Единичному вектору  0X t можно поставить в соответствие вектор  X t , изменение координат которо- го во времени описывается системой уравнений  X t   , где со- Математичне та комп’ютерне моделювання 52 гласно утверждению 1, функция  t имеет вид  t  0 02f X X      , TX X   . Если в начальный момент времени выполняются соотношения    0 0 0X t X t ,    0 0 0X t X t  , то су- ществует взаимно-однозначное соответствие между векторами  0X t и  X t , определяемое выражениями                0 0 0 0, ,T n X t X t X tdX t X t I X t X t dt                 0X t X t ,      0 0 .X t X t X t    Утверждение 3. Пусть на единичной сфере в пространстве nR задана точка  0X t , движение которой описывается уравнением 0X   , где ускорение точки Θ определяется выражением   2 0 0 0 0 T nI X X f X X     , а вектор f является вектором управ- ления. Тогда векторы  и f связаны соотношением 0f X   , где переменная  — произвольная скалярная функция. В данной работе с использованием уравнения (3) предлагаются методы решения основных задач управления угловым движением КА: задача стабилизации и задача терминального управления. Математическая модель углового движения КА в параметрах Родрига-Гамильтона. Рассмотрим уравнения (1–2), описывающие ди- намику относительного углового движения связанной и опорной систем координат. В этой модели в качестве вектора состояния используются вектор относительной угловой скорости BR Bω и кватернион RB , опре- деляющий взаимное положение связанной и опорной систем координат. В работе [6] получена модель, в которой в качестве вектора состояния используется вектор параметров Родрига-Гамильтона (кватернион) и его производная. Уравнение модели имеет следующий вид     21 4 1 2 T T RB RB RB RB в RB RBI U A J M            , (4) В этом уравнении вектор 4U R является свободной перемен- ной, изменяя которую можно изменять характер углового движения КА. Между системой уравнений (1)–(2) и уравнением (4) существует взаимное соответствие, определяемое выражениями [6]  2BR B RB RBA    , (5)  2 ( ),BI BI RI BR RI u RB B B B B BM JA U J J            (6) Серія: Технічні науки. Випуск 18 53 ,BI RI BR B B B     1 2 T BR BR BR BA    , (7)     11 2 T BI BI RI BR RI RB u B B B B BU A J M J J             , (8) где матрица  RBA  имеет вид     0 3RB RB RB RBA I      . Уравнения (1-2) представляют собой модель углового движения, в которой уравнения динамики записаны в пространстве R3, а кинематиче- ские уравнения записаны в пространстве R4. Уравнение (4) представляет собой модель углового движения КА, в которой уравнения динамики и кинематики записаны в пространстве R4. Так, как между моделью, опре- деляемой уравнениями (1)–(2) и моделью в виде уравнения (4) суще- ствует взаимно–однозначное соответствие, определяемое выражениями (5)–(8), то можно синтезировать законы управления, используя модель (4), а затем вернуться в пространство 3R и по формуле (6) найти физи- чески реализуемый управляющий момент uM . Особенности применения динамического уравнения в пара- метрах Родрига–Гамильтона в задачах управления ориентацией КА. Уравнение (4) является нелинейным уравнением, что существен- но усложняет процедуру синтеза управления U. Нелинейность обу- словлена тем, что RB представляет собой нормированный кватер- нион. Для того, чтобы избавиться от нелинейности, перейдем к не- нормированному кватерниону. Представим кватернион RB в виде      RB X t t X t   , (9) где   4X t R — векторное представление некоторого ненормиро- ванного кватерниона. Пусть изменение во времени вектора X(t) описывается уравнением X   . (10) Согласно выражению (9), для производной по времени от векто- ра RB справедливо соотношение  4 ( ) ( )( ) ( ) ( ) Т RB RB RB d X t X tt I dt X t X t              . С учетом соотношения для производной  RB t и формулы (5) век- тор относительной угловой скорости  BR B t можно представить следующим образом: Математичне та комп’ютерне моделювання 54  2 2BR B A X X X     . (11) Из выражений (9)–(11) следует, что, формируя нужным образом управление  t , можно формировать требуемый характер измене- ния угловой ориентации и скорости вращения КА. Пусть в начальный момент времени выполняются условия        0 0 0 0,RB RBX t t X t t     . Тогда согласно утверждению 2 между векторами состояния систем (10) и (4) существует взаимное соответствие, определяемое формулами            4, ( ) ,T RB RB RB RB X t X t t t I t t X X                    , )RB RB RB dX t X t X t X t X t dt        . При этом уравнение (10) можно рассматривать как уравнение углового движения КА, записанное в виде дифференциального урав- нения для ненормированного кватерниона. Продифференцировав m раз вектор X , дифференциальное уравнение (10) можно записать следующим образом:  mX   , где вектор  — новый вектор управления. При этом вектора  и  связаны соотношением  2m   . Методы управления ориентацией космического аппарата с использованием уравнения вращательного движения КА в пара- метрах Родрига-Гамильтона. Задача стабилизации. Под стабилизацией углового движения КА относительно опорной системы координат будем понимать такое угловое движение КА, при котором положение равновесия    1 0 0 0 T RB t  является асимптотически устойчивым. Сфор- мулируем следующую задачу управления: для системы уравнений      BR RI BR RI BR RI BR RI B B B B B B B B uJ J J M                0 2 ( ) BRT B RB RBBR BR B B              найти закон управления uM , обеспечивающий асимптотическую устойчивость положению равновесия    1 0 0 0 T RB t  . Серія: Технічні науки. Випуск 18 55 Решение задачи стабилизации. Рассмотрим уравнение относи- тельного движения в параметрах Родрига-Гамильтона   2 4 T RB RB RB RB RBI U          , Согласно утверждению 3 это уравнение можно представить сле- дующим образом:    RB RBU t t    , где  — произвольная скалярная функция. Положим ее равной ну- лю. В результате получим следующее уравнение:  RB U t  . (12) Система (12) представляет собой интегратор второго порядка. Для такого вида уравнений закон управления 1 2U K E K E    , * RB RBE    , RBE    ,  1 1iK diag k ,  2 2iK diag k , 1 0ik  , 2 0ik  ,  1 0 0 0 T* RBΛ  обеспечивает асимптотическую устойчивость положению равновесия    1 0 0 0 T RBΛ t  . Используя формулу (8), находим физически реализуемый управляющий момент uM .        2 RI BR RI BR RI BR RI u RB B B B B B B BM JA U J J                . Таким образом, справедливо следующее утверждение. Утверждение 4. Для системы уравнений      BR RI BR RI BR RI BR RI B B B B B B B B uJ J J M                0 2 ( ) BRT B RB RBBR BR B B              закон управления        2 RI BR RI BR RI BR RI u RB B B B B B B BM JA U J J                , где вектор U определяется следующим образом 1 2U K E K E    , * RB RBE Λ Λ  , RBE    ,  1 1iK diag k ,  2 2iK diag k , 1 0ik  , 2 0ik  ,  1 0 0 0 T* RBΛ  обеспечивает асимптотическую устойчивость положению равновесия    1 0 0 0 T RBΛ t  . Математичне та комп’ютерне моделювання 56 Пример. Для КА, находящегося на круговой орбите, моделиро- вался процесс построения инерциальной ориентации. На рис. 1 изоб- ражены зависимости от времени углов ориентации. Соответствую- щие угловые скорости изображены на рис. 2. Как видно из приведен- ных графиков, параметры углового движения в конце переходного процесса соответствуют режиму инерциальной ориентации. Это под- тверждает работоспособность разработанных алгоритмов. Рис 1. Углы ориентации Рис. 2. Угловые скорости Серія: Технічні науки. Випуск 18 57 Задача терминального управления: для системы уравнений      BR RI BR RI BR RI BR RI B B B B B B B B uJ J J M                0 2 ( ) BRT B RB RBBR BR B B              найти закон управления  uM t , обеспечивающий переориентацию КА из текущего углового положения  0RB t ,  0RB t в момент времени 0t в требуемое угловое положение  1RB t ,  1RB t в мо- мент времени 1t . Моменты времени 0t и 1t заданы. Решение поставленной задачи. Для решения задачи восполь- зуемся моделью углового движения КА в виде динамического урав- нения для ненормированного кватерниона  mX   . (13) Будем полагать, что для вектора X и его производных до m – 1 порядка включительно заданы граничные условия для фиксирован- ных моментов времени 0t и 1t . Причем,    0 0RBX t t  ,    0 0RBX t t   . Для заданных граничных условий найдено решение задачи оп- тимального управления: найти закон управления  t , переводящий систему  mX   из текущего состояния в момент времени 0t в тре- буемое состояние в момент времени 1t и обеспечивающий минимум функционалу   1 0 21 2 t t L t dt  . Определим программную траекто- рию разворота (кватернион RB ) следующим образом:     RB X t Λ t X  . В этом случае, согласно утверждению 1, для кватерниона RBΛ справедливо уравнение   * * * * 2* 4 T RB RB RB RB RBI U          , где   * * 12 RB X dU X X X dt      . Управление  выбрано таким образом, что выполняются соот- ношения Математичне та комп’ютерне моделювання 58    0 0RBX t t  ,    0 0RBX t t   ,    1 1RBX t t  ,    1 1RBX t t   . Так как вектор  RB t является ортом вектора X, то в момент времени t1 вектор  RB t и его производная  RB t примут заданное значение ΛRB(t1),  RB(t1). Следовательно, управление   * 12 RB X dU X X X dt      обеспечивает переориентацию КА из текущего углового положения  0RB t ,  0RB t в момент времени 0t в требуемое угловое положе- ние  1RB t ,  1RB t в момент времени 1t . Так как задача минимиза- ции функционала  L t при ограничении (13) имеет аналитическое ре- шение [7], то расчет вектора U не представляет никаких сложностей. Управление U , построенное таким образом, является программ- ным. При таком управлении КА будет двигаться по некоторой траекто- рии RB , отличной от программной траектории RB . Это обусловлено ошибками реализации программного управления и наличием возмущаю- щих моментов, действующих на КА. Для стабилизации углового движе- ния КА относительно программной траектории необходимо управление в виде обратной связи по состоянию. Для нахождения этого управления рассмотрим относительное движение связанной с КА системы коорди- нат B относительно программной системы координат B , положение осей которой относительно опорного базиса R определяется кватернио- ном RB . В соответствии с уравнением (1–2) система уравнений, описы- вающая динамику движения базиса B относительно базиса B , имеет вид      * * * * * * * * ,BB B I BB B I BB B I BB B I B B B B B B B B uJ J J M                * ** * 0 2 ( ) BB T B B B B BBB BB B B              , где * * * * B I RI B R B B B    , * * * 2 ( )B R B RB RBA    , * * * * B I RI B R B B B      , * * * 2 ( )B R B RBA U   . Представим эту систему в виде дифференциального уравнения второго порядка относительно параметров Родрига-Гамильтона   * * * * 2 4 T B B B B B B B B B BI U         , где U — стабилизирующее управление. Серія: Технічні науки. Випуск 18 59 Для нахождения стабилизирующего управления U воспользуемся утверждением 4. Согласно этому утверждению, закон управления 1 2U K E K E    , * * RBB BE    , B BE    ,     * 1 0 0 0 T B B t  обеспечивает асимптотическую устойчивость положению равновесия    * 1 0 0 0 T B B t  . При этом момент управления, действующий на КА, в соответ- ствии с выражением (6) можно рассчитать по формуле   * * * * * * * * ** 2 ( ) ( ) ( ). B I BB u B BB B B I BB B I BB B I B B B B B M JA U J J                   Таким образом, справедливо следующее утверждение. Утверждение 5. Пусть вращательное движение КА описывается системой уравнений * * * * * * * * ( ) ( ) ( )BB B I BB B I BB B I BB B I B B B B B B B B uJ J J M                , * ** * 0 2 ( ) BB T B B B B BBB BB B B              . Введем в рассмотрение вектор 4X R , движение которого опи- сывается дифференциальным уравнением ( )mX   . Для вектора X и его производных до m – 1 порядка включи- тельно определены граничные условия для фиксированных моментов времени 0t и 1t . Причем,    0 0RBX t t  ,    0 0RBX t t   ,    1 1RBX t t  ,    1 1RBX t t   , Для заданных граничных условий найден вектор управления Ψ , переводящий точку X и ее производные до m – 1 порядка включи- тельно из положения в момент времени 0t в положение в момент времени 1t . Тогда программная траектория разворота (кватернион RB ) и программное управление U определяется выражением     RB X t t X   ,   * * 12 RB X dU X X X dt      а момент управления Математичне та комп’ютерне моделювання 60 * * * * * * * * *2 ( ) ( ) ( ) ( ),B I BB B I BB B I BB B I u B B B B BB B B BM JA U J J                где 1 2U K E K E    , * * B B B BE    ,  * * 1 0 0 0 T B B  обеспечивает приведение за фиксированное время 1 0t t   спутника из положения  0RB t ,  0RB t в заданное положение  1RB t ,  1RB t . При этом положение равновесия    * 1 0 0 0 T B B t  асимптотически устойчиво. На основе предложенного способа построения алгоритмов пе- реориентации были реализованы режимы программных поворотов космических аппаратов «Egyptsat-1» и «Січ-2». В КА «Egypsat-1» для этого использовался алгоритм второго порядка ( 2m  ), а в КА «Січ-2» — алгоритм третьего порядка ( 3m  ). Ниже приводятся результаты летных испытаний этих режимов. Результаты летных испытаний режима программных пово- ротов (РПП) КА «Egyptsat-1». Приведенные результаты получены при выполнении РПП на витке №443. Полетное задание РПП для это- го витка было следующим: развернуться по каналу крена на угол +35, по каналу рыскания на угол –3, произвести съемку и вернуться в режим орбитальной ориентации. На рис. 3, 4 приведены графики изменения углов ориентации и угловых скоростей в процессе манев- ров. На рис. 5 приведен график изменения управляющих моментов. Рис. 3. КА «Egyptsat-1». Виток 443. Трассовая съемка. Углы ориентации Серія: Технічні науки. Випуск 18 61 Рис. 4. КА «Egyptsat-1». Виток 443. Трассовая съемка. Угловые скорости Рис. 5. КА «Egyptsat-1». Виток 443. Трассовая съемка. Управляющие моменты Результаты летных испытаний режима программных пово- ротов КА «Січ-2». Результаты приведены для витка № 630 (рис. 6–8). Полетное задание при этом было следующим: угол крена +1.44882, угол тангажа +34.5079, угол рыскания –2.01134. На рис. 6,7 приведе- ны графики изменения углов ориентации и угловых скоростей в про- цессе маневров. На рис. 8 приведен график изменения управляющих моментов. Математичне та комп’ютерне моделювання 62 Рис. 6. КА «Січ-2». Виток 630, стереосъемка. Углы ориентации Рис. 7. КА «Січ-2». Виток 630, стереосъемка. Угловые скорости Серія: Технічні науки. Випуск 18 63 Рис. 8. КА «Січ-2». Виток 630, стереосъемка. Управляющие моменты Выводы. С использованием уравнения движения точки по сфе- ре найдены решения основных задач управления угловым движением КА: задачи стабилизации и задачи терминального управления. При решении задачи терминального управления предложена методика синтеза алгоритмов пространственной переориентации КА за задан- ный интервал времени которая не накладывает никаких ограничений на класс угловых движений КА. Предлагаемый подход на основе принципа максимума позволяет получить аналитическое решение задачи пространственной оптимальной переориентации космического аппарата. Методика прошла экспериментальную проверку. На базе предложенного подхода были реализованы режимы программных поворотов космических аппаратов «Egyptsat-1» и «Січ-2». Летно- конструкторские испытания этих космических аппаратов показали высокую эффективность предложенной методики. Методика может быть полезной разработчикам систем ориентации КА. Список использованной литературы: 1. Кошляков В. Н. Задачи динамики твердого тела и прикладной теории гироскопов / В. Н. Кошляков. — Москва : Наука, 1985. — 286 с. 2. Челноков Ю. Н. Кватернионное решение кинематических задач управле- ния ориентацией твердого тела: Уравнения ошибок, законы и алгоритмы коррекции (стабилизации) / Ю. Н. Челноков // Изв. РАН. Механика твер- дого тела. — 1994. — № 4. — С. 3–12. Математичне та комп’ютерне моделювання 64 3. Челноков Ю. Н. Управление ориентацией космического аппарата, ис- пользующее кватернионы / Ю. Н. Челноков // Космические исследова- ние. — 1994. — Т. 32, вып. 3. — С. 21–32. 4. Челноков Ю. Н. Построение управлений угловым движением твердого тела, использующее кватернионы и эталонные формы уравнений пере- ходных процессов / Ю. Н. Челноков // Изв. РАН. Механика твердого те- ла. — 2002. — №1. — С. 3–17; 2002. — №2. — С. 3–17. 5. Кириченко Н. Ф. Алгоритмы асимптотической, терминальной и адаптив- ной стабилизации вращательных движений твердого тела / Н. Ф. Кириченко, В. Т. Матвиенко // Проблемы управления и информати- ки. — 2003. — № 1. — C. 5–15. 6. Ефименко Н. В. Математическая модель углового движения КА в пара- метрах Родрига-Гамильтона и ее свойства / Н. В. Ефименко // Электрон- ное моделирование. — 2018. — Т. 40. — №6. — С. 21–36. 7. Ефименко Н. В. Синтез алгоритмов управления пространственной пере- ориентацией космического аппарата с использованием динамических уравнений вращательного движения твердого тела в параметрах Родрига Гамильтона / Н. В. Ефименко // Проблемы управления и информатика. — 2015. — №3. — С. 145155. MATHEMATICAL MODEL OF AN THE ANGULAR MOTION OF A SOLID BODY IN THE PARAMETERS OF THE RODRIG-HAMILTON AND ITS USE IN THE TASKS OF CONTROL SPACECRAFT ORIENTATION Currently, the most effective way to obtain data on the Earth's surface is satellite imagery. In this case, the dynamic characteristics of the control system are very stringent requirements. The turn should occur from any current position to any given position, the orientation accuracy in the un- folded position should be units of angular minutes, and the angular rates of turn can reach a value of 2-3 degrees per second. To ensure such high dy- namic characteristics, the base clock of the control system should be no more than 100 ms. This restriction imposes restrictions on reorientation al- gorithms. On the one hand, they should be very simple so that the time spent on calculating the control action is minimal. On the other hand, they must provide high dynamic characteristics, which is impossible to provide in the class of simple algorithms. The solution to the problem of the syn- thesis of reorientation algorithms for spacecraft must be sought as a solu- tion to the optimization problem. When solving such problems, as a rule, a mathematical model of the angular motion of the spacecraft is used, in which the dynamics are described by the Euler equation and the kinematics by the equation for the quaternion. In this case, it is easy enough to obtain the equations of the two-point boundary value problem, but it is not possi- ble to find an analytical solution of this problem. The solution can only be found using numerical methods, which is not applicable when implement- ing algorithms onboard the spacecraft. These difficulties can be circum- vented using the spacecraft model, built on the basis of the dynamic equa- Серія: Технічні науки. Випуск 18 65 tions of the rotational motion of a rigid body in the Rodrigues Hamilton parameters. In this paper, this approach was used to solve the main prob- lems of controlling the angular motion of a spacecraft: stabilization prob- lems and terminal control problems. The article may be useful to develo- pers of spacecraft attitude control systems. Key words: Rodrig-Hamilton parameters, spacecraft, quaternion, ori- entation, dynamical equation for the quaternion. Отримано: 28.11.2018 UDC 004.94 DOI: 10.32626/2308-5916.2018-18.65-73 V. Ivaniuk, Cand. of Eng. Sciences, V. Ponedilok Kamianets-Podilskyi Ivan Ohiienko National University METHOD OF RESTORATION OF INPUT SIGNALS OF NONLINEAR DYNAMIC OBJECT WITH DESTRIBUTED PARAMETERS The article deals with the method of signal restoration at the input of a nonlinear dynamic object with distributed parameters. To describe these objects, a universal mathematical model in the form of a Volterra integro-degree series has been chosen. The problem of signal restoration is reduced to the problem of solving the Volterra polynomial equation of the first kind. The numerical im- plementation of such models is suggested to be carried out using quadrature methods, in particular, the method of trapezoids. In or- der to increase the stability of the solution in the presence of noise interference in the input data, it is suggested to use the differential regularization operator, which allows the incorrectly set task to be transformed into a class of correct ones. The possibility of applying such an approach is studied in solving the Volterra polynomial in- tegral equation of the second order type, which describes nonlinear dynamic objects with quadratic nonlinearity. The computational formulas for solving this type of equations are given in the article. The received nonlinear second-order algebraic equations after ap- proximation of the initial equation by integral sums are solved by iterative methods with initial approximation in the form of a pre- calculated radical. The developed algorithms are implemented as software modules in the Matlab, with the help of which a number of computational experiments have been carried out. As an exam- ple, non-linear dynamic objects that contain static non-linearity of the second order and dynamic links that are typical for objects with distributed parameters have been chosen. Such links are: a semi- integral link, an attenuation link (semi-delay) and a semi-inertial © V. Ivaniuk, V. Ponedilok, 2018

Institution

Ähnliche Einträge