Критерії узагальненого чебишовського у розумінні зважених відстаней центра кількох точок лінійного нормованого простору відносно опуклої множини цього простору

Важливий клас задач теорії наближення утворюють задачі одночасного наближення кількох елементів лінійного нормованого простору множиною цього простору. Серед них — задача відшукання чебишовського у розумінні зважених відстаней центра кількох точок лінійного нормованого простору відносно опуклої множ...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Date:	2018
Main Authors:	Гудима, У.В., Гнатюк, В.О.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2018
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162199
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Критерії узагальненого чебишовського у розумінні зважених відстаней центра кількох точок лінійного нормованого простору відносно опуклої множини цього простору / У.В. Гудима, В.О. Гнатюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 33-48. — Бібліогр.: 4 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859742397544529920
author	Гудима, У.В. Гнатюк, В.О.
author_facet	Гудима, У.В. Гнатюк, В.О.
citation_txt	Критерії узагальненого чебишовського у розумінні зважених відстаней центра кількох точок лінійного нормованого простору відносно опуклої множини цього простору / У.В. Гудима, В.О. Гнатюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 33-48. — Бібліогр.: 4 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
description	Важливий клас задач теорії наближення утворюють задачі одночасного наближення кількох елементів лінійного нормованого простору множиною цього простору. Серед них — задача відшукання чебишовського у розумінні зважених відстаней центра кількох точок лінійного нормованого простору відносно опуклої множини цього простору, яка розглядається в цій роботі. Частинними її випадками є згадані вище задачі. У статті для розглядуваної задачі встановлено співвідношення двоїстості, критерії екстремальної послідовності, доведення яких базуються на цьому співвідношенні, критерії колмогоровського типу екстремальної послідовності, критерії екстремального елемента. Отримані результати конкретизовано на окремі випадки досліджуваної задачі. Встановлено низку допоміжних тверджень, які становлять і самостійний інтерес. An important class of problems of the theory of the approximation is problems of simultaneous approximation of several elements of linear normed space by set of this space. In the article one of these tasks is considered. This is a problem to research in the sense of the weighted distances Chebyshov's center of several points of the linear normed space relatively to the convex set of this space. For this problem we found the dual relation. These duality relations became the basis for obtaining the criterion of the extremal sequence and the criterion of the extremal element. We generalized Kolmogorov's criterion on the problem that is considered in the work. These results clarified for some cases of the studied problem.
first_indexed	2025-12-01T18:25:29Z
format	Article
fulltext	Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 33 18. Shilov G. Mathematical analysis. Second special course / G. Shilov. — Mos- cow : Nauka, 1965. — 328 p. 19. Gelfand I. Some questions in the theory of differential equations / I. Gelfand, G. Shilov. — Мoscow : Fizmatgiz, 1958. — 274 p. ГІПЕРБОЛІЧНА КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ НАПІВОБМЕЖЕНОГО КУСКОВО-ОДНОРІДНОГО ПОРОЖНИСТОГО ЦИЛІНДРА Методом інтегральних і гібридних інтегральних перетворень у по- єднанні з методом головних розв’язків (матриць впливу та матриць Гріна) вперше побудовано інтегральне зображення точного аналітич- ного розв’язку гіперболічної крайової задачі математичної фізики для напівобмеженого кусково-однорідного порожнистого циліндра. Ключові слова: гіперболічне рівняння, початкові та крайові умо- ви, умови спряження, інтегральні перетворення, головні розв’язки. Отримано: 18.05.2018 УДК 517.5 У. В. Гудима, канд. фіз.-мат. наук, В. О. Гнатюк, канд. фіз.-мат. наук Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам'янець-Подільський КРИТЕРІЇ УЗАГАЛЬНЕНОГО ЧЕБИШОВСЬКОГО У РОЗУМІННІ ЗВАЖЕНИХ ВІДСТАНЕЙ ЦЕНТРА КІЛЬКОХ ТОЧОК ЛІНІЙНОГО НОРМОВАНОГО ПРОСТОРУ ВІДНОСНО ОПУКЛОЇ МНОЖИНИ ЦЬОГО ПРОСТОРУ Загальновідомо, що визначальною ідеєю в питаннях зв’язків математики з практикою є ідея наближення. Однією з центральних галузей теорії наближення є теорія наближення функцій, родоначальником якої вважається П. Л. Чебишов. У 50-х роках ХІХ століття він ввів поняття найкращого наближення неперервної на відрізку функції за допомогою алгебраїчних поліномів заданого степеня. Згодом було досліджено велику кількість подібних задач. З розвитком теорії лінійних нормованих просторів стало зро- зумілим, що низка задач найкращого наближення є частинними випадками задачі найкращого наближення елемента лінійного нормованого простору опуклою множиною цього простору. Важливим питанням дослідження цієї задачі є встановлен- ня критеріїв її екстремального елемента. Загальний критерій екстремального елемента задачі най- кращого наближення елемента лінійного нормованого просто- ру опуклою множиною цього простору, оснований на співвід- © У. В. Гудима, В. О. Гнатюк, 2018 Математичне та комп’ютерне моделювання 34 ношенні двоїстості для цієї задачі, встановлено М. П. Корнєй- чуком та В. М. Тихомировим. Дещо відмінним від цього критерію є критерій колмого- ровського типу. Важливий клас задач теорії наближення утворюють задачі одночасного наближення кількох елементів лінійного нормо- ваного простору множиною цього простору. Серед них — задача відшукання чебишовського у розу- мінні зважених відстаней центра кількох точок лінійного нор- мованого простору відносно опуклої множини цього простору, яка розглядається в цій роботі. Частинними її випадками є зга- дані вище задачі. У статті для розглядуваної задачі встановлено співвідно- шення двоїстості, критерії екстремальної послідовності, дове- дення яких базуються на цьому співвідношенні, критерії кол- могоровського типу екстремальної послідовності, критерії екстремального елемента. Отримані результати конкретизовано на окремі випадки досліджуваної задачі. Встановлено низку допоміжних тверджень, які становлять і самостійний інтерес. Ключові слова: лінійний нормований простір, зважені ві- дстані, опукла множина, узагальнений чебишовський центр, екстремальна послідовність, критерії узагальненого чебишов- ського центра. Вступ. У статті встановлено критерії узагальненого чебишовсь- кого у розумінні зважених відстаней центра кількох точок лінійного нормованого простору відносно опуклої множини цього простору, основані на співвідношенні двоїстості для відповідної екстремальної задачі, та критерії колмогоровського типу. Постановка задачі. Нехай X — лінійний над полем дійсних чисел нормований простір елементів x з нормою x , ia X , im R , 0im  , 1,i n , n N і 1n  , V — опукла множина простору X . Задачею відшукання чебишовського у розумінні зважених відс- таней центра системи точок ia , 1,i n , відносно множини V (у множині V ) будемо називати задачу відшукання величини   1 inf max i ix V i n m a x     . (1) Послідовність   1k kx   елементів kx V , для якої     1 1 lim max inf maxi i k i ik x Vi n i n m a x m a x         , (2) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 35 будемо називати узагальненим чебишовським у розумінні зважених відстаней центром системи точок ia , 1,i n , відносно множини V або просто екстремальною послідовністю для величини (1). Якщо існує елемент x V такий, що     1 1 max inf maxi i i ix Vi n i n m a x m a x        , то його будемо називати чебишовським у розумінні зважених відста- ней центром системи точок ia , 1,i n , відносно множини V або просто екстремальним елементом для величини (1). Актуальність теми. Відомо, що необхідність наближення скла- дних математичних об’єктів більш простими і зручними у користу- ванні виникає у різних розділах математичної науки, особливо прик- ладних напрямів. Важливий клас задач теорії наближення утворюють задачі одно- часного наближення кількох елементів. До задач одночасного набли- ження кількох елементів відноситься задача відшукання чебишовсь- кого центра кількох елементів лінійного нормованого простору від- носно опуклої множини цього простору. З єдиних позицій задачі найкращої одночасної апроксимації кі- лькох елементів лінійного нормованого простору опуклими множи- нами цього простору розглядалися у працях [1–3]. Однією з центральних проблем дослідження цих задач є встано- влення критеріїв їх екстремальних елементів. Проте часто екстрема- льний елемент для відповідних величин не існує, тоді коли існування їх екстремальних послідовностей гарантовано. Тому актуальною є проблема встановлення не лише критеріїв екстремального елемента для величини (1), а й критеріїв екстремаль- ної послідовності для цієї величини. Мета роботи. Встановити критерії узагальненого чебишовсько- го у розумінні зважених відстаней центра кількох точок лінійного нормованого простору відносно опуклої множини цього простору, отримати з цих критерії, як наслідки, критерії екстремального елеме- нта для величини (1). Допоміжні твердження. Позначимо через nX X X  — n -ий декартовий степінь X . Для  1,..., n nx x x X  ,  1,..., n ny y y X  , R  покладемо  1 1,..., n nx y x y x y    ,  1,..., nx x x   . Легко переконатися, що введені в такий спосіб операції дода- вання елементів nX та множення їх на дійсні числа задовольняють Математичне та комп’ютерне моделювання 36 всім аксіомам лінійного простору. Тому nX є лінійним над полем дійсних чисел простором. Для елементів  1,..., nx x x простору nX покладемо    1 1 ,..., maxn i ii n x x x m x     . (3) Легко переконатися, що функція nx X x  , задана співвід- ношенням (3), є нормою на nX . Тоді nX є лінійним над полем дійс- них чисел нормованим простором. Позначимо через  nX — прос- тір, спряжений з nX . Твердження 1. Для кожного елемента  nf X існують одно- значно визначені елементи * if X , 1,i n , такі, що    1 1 ,..., n n i i i f x x f x    ,  1,..., n nx x X . Якщо * if X , 1,i n , то    1 1 ,..., n n i i i f x x f x    ,  1,..., n nx x X , є лінійним неперервним функціоналом, заданим на nX . Якщо  nf X , if X , 1,i n , та    1 1 ,..., n n i i i f x x f x    ,  1,..., n nx x X , то 1 n i ii f f m   . Твердження 2. Має місце таке співвідношення двоїстості           1 * 1 1 1 * * 1 1 inf max max sup : , 1, , 1 sup , i ix V i n n n n i i i i i i i x Vi i i n n i i i i i x Vi i m a x m f a m f x f X i n f m f a m f x                              (4) де * * if X , 1,i n , * 1 1 n i i f   . Справедливість твердження випливає з твердження 1, рівності Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 37      11 inf max inf ,..., ,..., infi i nx V x V y Mi n m a x a a x x a y          , де   ,..., :M y x x x V   ,  1,..., na a a , та теореми 2.3.1 [4, с. 28]. Теорема 1. Нехай   1 k i k t   , 1,i n , — послідовності дійсних чи- сел, існує 1 lim max k ik i n t    ,   1 1,..., : lim lim maxk k i ik k i n I i n t t        . Для того щоб I   , необхідно і достатньо, щоб існували числа 0i  , 1,i n , 1 1 n i i    , такі, що  1 1 1 lim lim maxk k k n n ik k i n t t t           , (5) причому   1,..., : 0ii n I   . Доведення. Необхідність. Нехай I   . Покладемо 0i  для всіх  1,..., \i n I та 0i  , i I , 1i i I    . Тоді 0i  , 1,i n , 1 1 n i i    ,  1 1lim lim limk k k k n n i i i ik k ki I i I t t t t                 1 1 1 lim max lim max lim maxk k k i i i i ik k ki n i n i ni I i I t t t                , причому   1,..., : 0ii n I   . Необхідність доведено. Достатність. Нехай існують числа 0i  , 1,i n , 1 1 n i i    , для яких виконується (5). Переконаємося, що I   , причому   1,..., : 0ii n I   . Оскільки 0i  , 1,i n , 1 1 n i i    , то   1,..., : 0ii n     . Для   1,..., : 0ii i n    та 1,2,...k  маємо, що    1 1 11 1 0 max max max n n k k k k k k i i i i i i i i ii n i n i ni i t t t t t t                 , 1 1 1 10 max max n k k k k i i i i ii n i ni i t t t t                . (6) Математичне та комп’ютерне моделювання 38 Оскільки має місце (5), то 1 1 1lim max 0 n k k i i ik i ni i t t             . (7) Зі співвідношень (6), (7) отримуємо, що  1 lim max 0k k i ik i n t t      . Оскільки за умовою теореми існує 1 lim max k ik i n t    , то звідси випливає, що 1 lim lim maxk k i ik k i n t t      . Це означає, що i I . Отже, для будь-якого   1,..., : 0ii i n    i I . Тому   1,..., : 0ii i n I    . Звідси та з співвідношення   1,..., : 0ii n     випливає, що I   . Достатність доведено. Теорему доведено. Зауважимо, що справедливість цієї теореми випливає також з леми 2.1 [1, с. 249]. Критерії екстремальної послідовності для величини (1), ос- новані на співвідношенні двоїстості (4). Встановимо критерії екст- ремальної послідовності для величини (1), доведення яких базуються на твердженнях 1, 2 та теоремі 1. Теорема 2. Нехай послідовність   1k kx   є узагальненим чеби- шовським у розумінні зважених відстаней центром системи точок ia , 1,i n , відносно множини V (екстремальною послідовністю для величини (1)), тобто для неї виконується співвідношення (2). Тоді       1 1,..., : lim lim maxi i k i i kk k i n I i n m a x m a x            та існують функціонали * * if X , i I , які задовольняють умови: 1) * 1i i I f   ; 2)    * lim limi i k i i kk k f a x f a x      , i I ; 3)     lim supi i k i ik x Vi I i I m f x m f x      . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 39 Доведення. Нехай   1k kx   є екстремальною послідовністю для величини (1). Згідно з твердженням 2 існують такі функціонали * if X , 1,i n , * 1 1 n i i f   , (8) для яких має місце співвідношення двоїстості (4). З урахуванням цьо- го співвідношення та включення kx V , 1, 2,...k  , отримаємо, що      * * 1 1 1 inf max sup n n i i i i i i ix V i n x Vi i m a x m f a m f x                  * * * * 1 1 1 1 inf n n n n i i i i i i k i i i i i kx V i i i i m f a x m f a x m f a m f x                   * * 1 11 1 max max n n i i i k i i k i i i ki n i ni i m f a x m a x f m a x             . Оскільки має місце співвідношення (2), то звідси випливає, що    * * 1 1 lim sup n n i i k i ik x Vi i m f x m f x      , (9)      * * 11 1 lim lim lim max n n i i i k i i i k i i kk k k i ni i m f a x f m a x m a x             . (10) З рівності (10) та теореми 1 випливає, що I   та      * 1,..., : 0 1,..., : 0i ii n f i n f I      . Звідси одержуємо, що 0if  ,  1,..., \i n I . Внаслідок цього та співвідношення (8)–(10) отримуємо, що мають місце рівності 1), 3) та  * lim limi i i k i i i kk ki I i I m f a x m f a x        . (11) Очевидно, що співвідношення 2) має місце для   \ 1,..., : 0ii I i n f   , оскільки для цих індексів i * 0if  . Нехай тепер   1,..., : 0ii i n f   . Маємо, що     * * 0 .i i i k i i i k i i i k i i i k i I i I m f a x m f a x m f a x m f a x            Звідси та співвідношення (11) одержуємо, що для   1,..., : 0ii i n f I      * lim 0i i i k i i i kk m f a x m f a x      . Математичне та комп’ютерне моделювання 40 Оскільки для цих індексів i       * * 1 lim lim lim max ,i i i k i i i k i i i kk k k i n m f a x f m a x f m a x           то     * lim limi i i k i i i kk k m f a x m f a x      ,     lim limi i k i i kk k f a x f a x      . Отже, співвідношення 2) також має місце. Теорему доведено. З доведеної теореми випливає, що екстремальними послідовнос- тями для величини (1) можуть бути лише ті послідовності   1k kx   , kx V , 1, 2,...k  , для яких існує   1 lim max i i kk i n m a x     та множина       1 1,..., : lim lim maxi i k i i kk k i n I i n m a x m a x            . У зв’язку з цим далі будемо розглядати лише такі послідовності. Теорема 3. Нехай kx V , 1, 2,...k  , існує   1 lim max i i kk i n m a x     ,       1 1,..., : lim lim maxi i k i i kk k i n I i n m a x m a x            . Для того щоб послідовність   1k kx   була узагальненим чеби- шовським у розумінні зважених відстаней центром системи точок ia , 1,i n , відносно множини V (екстремальною послідовністю для величини (1)), необхідно і достатньо, щоб існували функціонали * if X , i I , які задовольняють умови 1)–3) теореми 2. Доведення. Необхідність теореми була доведена в теоремі 2. Доведемо достатність. Нехай для послідовності   1k kx   , про яку йде мова в теоремі, існують функціонали * * if X , i I , які за- довольняють умови 1)–3) теореми 2. Переконаємося, що така послі- довність є екстремальною для величини (1). Згідно з умовами 1)–3) для довільного x V маємо:    * limi i i i kki I i I m f x m f x       ,       * lim limi i i i i i k i i i kk ki I i I i I m f a x m f a x m f a x             Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 41       * 1 1 lim lim max lim max . i i i k i i i kk k i ni I i I i i kk i n f m a x f m a x m a x                  Отже,      * * 1 lim max i i k i i i i i ik i n i I i I m a x m f a x m f a x                * 1 1 max maxi i i i ii n i ni I m a x f m a x         , x V . Тому       1 1 1 lim max inf max maxi i k i i i i kk x Vi n i n i n m a x m a x m a x             , 1, 2,...k  . Звідси й випливає, що     1 1 lim max inf maxi i k i ik x Vi n i n m a x m a x         . Це означає, що послідовність   1k kx   є екстремальною послідо- вністю для величини (1). Достатність доведено. Теорему доведено. Зауважимо, що з доведеної теореми легко випливає справедли- вість теореми 2.3 [1, с. 251], яка є критерієм екстремальної послідов- ності для величини (1) у випадку, коли 1im  , 1,i n . Наслідок 1. Нехай в задачі відшукання величини (1) V є опук- лим конусом з вершиною в точці 0, kx V , 1, 2,...k  , існує   1 lim max i i kk i n m a x     ,       1 1,..., : lim lim maxi i k i i kk k i n I i n m a x m a x            . Для того щоб послідовність   1k kx   була екстремальною для ве- личини (1), необхідно і достатньо, щоб існували функціонали * * if X , i I , які задовольняють умови: 1) * 1i i I f   ; 2)    * lim limi i k i i kk k f a x f a x      , i I ; 3)   0i i i I m f x   , x V ; Математичне та комп’ютерне моделювання 42 4)  lim 0i i kk i I m f x    . Наслідок 2. Нехай в задачі відшукання величини (1) V є підпрос- тором простору X , kx V , 1, 2,...k  , існує   1 lim max i i kk i n m a x     ,       1 1,..., : lim lim maxi i k i i kk k i n I i n m a x m a x            . Для того щоб послідовність   1k kx   була екстремальною для ве- личини (1), необхідно і достатньо, щоб існували функціонали * if X , i I , які задовольняють умовам: 1) * 1i i I f   ; 2)    * lim limi i k i i kk k f a x f a x      , i I ; 3)   0i i i I m f x   , x V . Наслідок 3. Нехай x V ,      * 1 1,..., : maxi i i ii n I i n m a x m a x        . Для того щоб точка x була чебишовським у розумінні зважених відстаней центром системи точок ia , 1,i n , відносно множини V (екс- тремальним елементом для величини (1)), необхідно і достатньо, щоб існували функціонали * if X , i I , які задовольняють умови: 1) * 1i i I f   ; 2)  * * * * i i i if a x f a x   , i I ; 3)    * * maxi i i ix Vi I i I m f x m f x     . Справедливість наслідку безпосередньо випливає з теореми 3, якщо врахувати, що елемент x V . буде екстремальним елементом для ве- личини (1) тоді і тільки тоді, коли стаціонарна послідовність * kx x , 1, 2,...k  , буде екстремальною послідовністю для цієї величини. Критерії колмогоровського типу екстремальної послідовнос- ті для величини (1). Розглянемо деякі критерії колмогоровського типу екстремальної послідовності для величини (1). Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 43 Теорема 4. Нехай kx V , 1, 2,...k  , існує   1 limmax i i kk i n m a x     ,       1 1,..., : lim lim maxi i k i i kk k i n I i n m a x m a x            . Для того щоб послідовність   1k kx   була екстремальною послідов- ністю для величини (1), необхідно і достатньо, щоб для кожного елемен- та x V існували підпослідовність   1lk l x   послідовності   1k kx   , пос- лідовності   1 l i l f   , i I , де для i I l if X , 1, 2,...l  , такі, що 1) lim 1l il i I f    ; 2)  lim lim l l l l i i k i i kl l f a x f a x      , i I ; 3)  lim 0 l l i i kl i I m f x x     . Доведення. Достатність. Нехай для послідовності   1k kx   , про яку йде мова в теоремі, та елемента x V існує підпослідовність   1lk l x   послідовності   1k kx   , послідовності   1 l i l f   , i I , функціона- лів l if X , 1, 2,...l  , для яких виконуються умови 1)–3) теореми. До- ведемо, що   1k kx   є екстремальною послідовністю для величини (1). Переконаємося, перш за все, що     1 lim limmax l l i i i k i i kl k i ni I m f a x m a x         . (12) Оскільки для i I     1 lim lim maxi i k i i kk k i n m a x m a x        , то     1 lim lim max li i k i i kl k i n m a x m a x        , i I . Звідси випливає, що існує lim 0 li kl a x    , i I . Внаслідок цього та 2) робимо висновок, що існують lim l il f  , i I . З проведених міркувань та співвідношень 1), 2) одержуємо, що      lim lim lim l l l l l l i i i k i i i k i i i kl l li I i I i I m f a x m f a x m f a x                    1 lim lim lim limmax l l l i i i k i i i kl l l k i ni I i I f m a x f m a x               Математичне та комп’ютерне моделювання 44     1 1 limmax lim limmaxl i i k i i i kk l ki n i ni I m a x f m a x            . Рівність (12) встановлено. Для завершення доведення достатності використаємо співвід- ношення 3). Маємо для x V та 1, 2,...l         l l l l l l l i i k i i i k i i i i i i k i I i I i I i I m f x x m f a x m f a x m f a x                    1 max l l l l i i i i i i k i i ii ni I i I i I m f a x m f a x f m a x                   1 max l l l i i i k i i ii ni I i I m f a x m a x f          . Отже, для x V та 1, 2,...l        1 max l l l l l i i k i i i k i i ii ni I i I i I m f x x m f a x m a x f             . Перейшовши в цій нерівності до границі при l  та врахува- вши 1), 3), та (12), одержимо, що     1 1 0 lim max maxi i k i ik i n i n m a x m a x          . Звідси випливає, що     1 1 max lim maxi i i i kki n i n m a x m a x        , x V . Тому для всіх 1,2,...k        1 1 1 max inf max lim maxi i k i i i i kx V ki n i n i n m a x m a x m a x             . З отриманої нерівності випливає, що     1 1 lim max inf maxi i k i ik x Vi n i n m a x m a x         . Це й означає, що послідовність   1k k x   є екстремальною послі- довністю для величини (1). Достатність доведено. Необхідність. Нехай послідовність   1k kx   є екстремальною по- слідовністю для величини (1). Згідно з теоремою 2 існують функціонали * * if X , i I , які за- довольняють умовам 1) -3) цієї теореми. Покладемо k i if f , i I , 1, 2,...k  . Відповідно до умов 1) -3) теореми 2 одержимо, що 1k i i I f   , lim 1k ik i I f    ;    lim limk k i i k i i kk k f a x f a x      , i I ;    lim k k i i k i ik i I i I m f x m f x      , x V . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 45 З останнього співвідношення випливає, що для x V  lim 0k i i kk i I m f x x           . Отже, послідовність   1 k i k f   , де k i if f , 1,2,...k  , для всіх i I , задовольняє умовам 1)–3) теореми. Необхідність доведено. Теорему доведено. З теорем 2,4 випливає низка наслідків, які представляють і само- стійний інтерес. Наведемо деякі з них. Наслідок 4. Нехай kx V , 1, 2,...k  , існує   1 limmax i i kk i n m a x     ,       1 1,..., : lim lim maxi i k i i kk k i n I i n m a x m a x            . Для того щоб послідовність   1k kx   була екстремальною послі- довністю для величини (1), необхідно і достатньо, щоб для кожного елемента x V існували послідовності   1 k i k f   , i I , для яких k if X , i I , 1, 2,...k  , та 1) lim 1k ik i I f    ; 2)  lim limk k i i k i i kk k f a x f a x      , i I ; 3)  lim 0k i i kk i I m f x x     . Наслідок 5. Нехай kx V , 1, 2,...k  , існує   1 limmax i i kk i n m a x     ,       1 1,..., : lim lim maxi i k i i kk k i n I i n m a x m a x            . Для того щоб послідовність   1k kx   була екстремальною послі- довністю для величини (1), необхідно і достатньо, щоб для кожного елемента x V існували функціонали x if X , i I , та 1) 1x i i I f   ; 2)    lim limx x i i k i i kk k f a x f a x      , i I ; 3)  lim 0x i i kk i I m f x x     . Математичне та комп’ютерне моделювання 46 Наслідок 6. Нехай kx V , 1, 2,...k  , існує   1 limmax i i kk i n m a x     ,       1 1,..., : lim lim maxi i k i i kk k i n I i n m a x m a x            . Для того щоб послідовність   1k kx   була екстремальною послі- довністю для величини (1), необхідно і достатньо, щоб існували фун- кціонали * * if X , i I , які задовольняють умови 1) * 1i i I f   ; 2)    * lim limi i k i i kk k f a x f a x      , i I ; 3)  lim 0i i kk i I m f x x     , x V . Наслідок 7. Нехай x V ,    * 1 1,..., : maxi i i ii n I i n m a x m a x        . Для того щоб елемент x був екстремальним елементом для ве- личини (1), необхідно і достатньо, щоб для кожного x V існували функціонали x if X , i I , які задовольняють умовам 1) 1x i i I f   ; 2)  * x x i i i if a x f a x   , i I ; 3)   0x i i i I m f x x    . Переконаємося у справедливості цього наслідку безпосередньо. Необхідність. Нехай x є екстремальним елементом для вели- чини (1). Згідно з наслідком 3 існують функціонали * if X , i I , які задовольняють умови 1)–3) цього наслідку. Для x V покладемо x i if f , i I . Тоді для функціоналів x if X , i I , виконуються умови 1), 2) наслідку 7 та має місце рівність    * maxx x i i i ix Vi I i I m f x m f x     . З цієї рівності випливає справедливість умови 3) наслідку 7. Необхідність доведено. Достатність. Нехай для кожного x V існують функціонали x if X , i I , які задовольняють умовам 1)–3). Переконаємося, що x є екстремальним елементом для величи- ни (1). Для x V зі співвідношень 1)–3) випливає, що Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 47      * 0 x x x i i i i i i i i i I i I i I m f x x m f a x m f a x               * 1 maxx x x i i i i i i i i ii ni I i I i I m f a x m f a x f m a x                    * 1 1 max max maxx i i i i i i ii I i n i ni I f m a x m a x m a x            . Звідси й випливає, що x є екстремальним елементом для вели- чини (1). Достатність доведено. Наслідок доведено. Висновки. Для задачі відшукання величини (1) встановлено критерії її екстремальної послідовності, основані на співвідношенні двоїстості, а також критерії цієї послідовності колмогоровського ти- пу, отримано з цих критеріїв, як наслідки, критерії екстремального елемента для величини (1). Список використаних джерел: 1. Гольштейн Е. Г. Теория двойственности в математическом программиро- вании и ее приложения / Е. Г. Гольштейн. — М. : Наука, 1971. — 352 с. 2. Гнатюк Ю. В. Двоїсті співвідношення для задачі найкращого за дробово- опуклою функцією наближення кількох елементів та критерії елемента найкращого наближення / Ю. В. Гнатюк // Доп. НАН України. — 1995. – № 6. — С. 23–26. 3. Гнатюк Ю. В. Основні властивості задачі найкращого одночасного на- ближення кількох елементів / Ю. В. Гнатюк // Укр. мат. журн. — 1996. — Вип. 48, № 97. — С. 1183–1193. 4. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения / Н. П. Кор- нейчук. — М. : Наука, 1976. — 320 с. THE CRITERIAS AT THE SENSE OF THE WEIGHTED DISTANCES OF THE GENERALIZED CENTER OF CHEBYSHEV OF SEVERAL POINTS OF A LINEAR NORMED SPACE RELATIVELY TO THE CONVEX SET OF THIS SPACE The idea of a relationship of mathematics with practice is the idea of approximation. One of the directions is the theory of approximation of function. Its founder is considered the P. L. Chebyshov. He started the conception of the best approximation of a continuous function on a segment using alge- braic polynomials of some order at the 50 years of the 19th century. Over time, it became clear that a many tasks of best approximation are partial consequence of the problem of the best approximation of an ele- ment of a linear normed space by a convex set. An important aspect of studying this problem is the establishment of criteria for its extremal element. Математичне та комп’ютерне моделювання 48 M. P. Korniichuk and V. M. Tikhomirov established the general criterion for an extremal element for the problem of the best approximation of an ele- ment of a linear normed space by a convex set based on the dual interrelation. The Kolmogorov's criterion of the extremal element for the problem of approx- imation of a complex-valued function by a finite-dimensional subspace of gen- eralized complex-valued polynomials is somewhat different from this criterion. An important class of problems of the theory of the approximation is problems of simultaneous approximation of several elements of linear normed space by set of this space. In the article one of these tasks is considered. This is a problem to re- search in the sense of the weighted distances Chebyshov's center of several points of the linear normed space relatively to the convex set of this space. For this problem we found the dual relation. These duality relations became the basis for obtaining the criterion of the extremal sequence and the criterion of the extremal element. We generalized Kolmogorov's crite- rion on the problem that is considered in the work. These results clarified for some cases of the studied problem. Key words: the linear normed space, the weighted distances, the con- vex set, the generalized point of Chebyshev, the extreme sequence, the cri- teria of the generalized center of Chebyshev. Отримано: 23.05.2018 УДК 517.9 К. С. Зайцева, В. Г. Самойленко, д-р фіз.-мат. наук, професор, Ю. І. Самойленко, д-р фіз.-мат. наук, Л. В. Вовк**, канд. фіз.-мат. наук Київський університет імені Бориса Грінченка м. Київ, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, м. Київ, *Київський національний університет культури і мистецтв, м. Київ ПОБУДОВА АСИМПТОТИЧНОГО СОЛІТОНОПОДІБНОГО РОЗВ’ЯЗКУ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РІВНЯННЯ КОРТЕВЕГА-ДЕ ФРІЗА ЗІ СПЕЦІАЛЬНО ЗАДАНИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ Рівняння Кортевега-де Фріза є одним з важливих об’єктів дослідження сучасної теоретичної фізики і прикладної мате- матики. Це рівняння описує хвильові процеси в середовищах з нелінійної дисперсією і стало широко відомим у середині ми- нулого століття завдяки наявності у нього так званих солітон- них розв’язків, що мають властивість нелінійної суперпозиції. За допомогою різних аналітичних і якісних методів (метод оберненої задачі теорії розсіювання, метод Хіроти, методи Бе- клунд перетворення і Дарбу перетворення, метод скінченно- © К. С. Зайцева, В. Г. Самойленко, Ю. І. Самойленко, Л. В. Вовк, 2018
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-162199
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	2308-5878
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-01T18:25:29Z
publishDate	2018
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Гудима, У.В. Гнатюк, В.О. 2020-01-04T15:50:32Z 2020-01-04T15:50:32Z 2018 Критерії узагальненого чебишовського у розумінні зважених відстаней центра кількох точок лінійного нормованого простору відносно опуклої множини цього простору / У.В. Гудима, В.О. Гнатюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 33-48. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 2308-5878 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162199 517.5 Важливий клас задач теорії наближення утворюють задачі одночасного наближення кількох елементів лінійного нормованого простору множиною цього простору. Серед них — задача відшукання чебишовського у розумінні зважених відстаней центра кількох точок лінійного нормованого простору відносно опуклої множини цього простору, яка розглядається в цій роботі. Частинними її випадками є згадані вище задачі. У статті для розглядуваної задачі встановлено співвідношення двоїстості, критерії екстремальної послідовності, доведення яких базуються на цьому співвідношенні, критерії колмогоровського типу екстремальної послідовності, критерії екстремального елемента. Отримані результати конкретизовано на окремі випадки досліджуваної задачі. Встановлено низку допоміжних тверджень, які становлять і самостійний інтерес. An important class of problems of the theory of the approximation is problems of simultaneous approximation of several elements of linear normed space by set of this space. In the article one of these tasks is considered. This is a problem to research in the sense of the weighted distances Chebyshov's center of several points of the linear normed space relatively to the convex set of this space. For this problem we found the dual relation. These duality relations became the basis for obtaining the criterion of the extremal sequence and the criterion of the extremal element. We generalized Kolmogorov's criterion on the problem that is considered in the work. These results clarified for some cases of the studied problem. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Критерії узагальненого чебишовського у розумінні зважених відстаней центра кількох точок лінійного нормованого простору відносно опуклої множини цього простору The criterias at the sense of the weighted distances of the generalized center of Chebyshev of several points of a linear normed space relatively to the convex set of this space Article published earlier
spellingShingle	Критерії узагальненого чебишовського у розумінні зважених відстаней центра кількох точок лінійного нормованого простору відносно опуклої множини цього простору Гудима, У.В. Гнатюк, В.О.
title	Критерії узагальненого чебишовського у розумінні зважених відстаней центра кількох точок лінійного нормованого простору відносно опуклої множини цього простору
title_alt	The criterias at the sense of the weighted distances of the generalized center of Chebyshev of several points of a linear normed space relatively to the convex set of this space
title_full	Критерії узагальненого чебишовського у розумінні зважених відстаней центра кількох точок лінійного нормованого простору відносно опуклої множини цього простору
title_fullStr	Критерії узагальненого чебишовського у розумінні зважених відстаней центра кількох точок лінійного нормованого простору відносно опуклої множини цього простору
title_full_unstemmed	Критерії узагальненого чебишовського у розумінні зважених відстаней центра кількох точок лінійного нормованого простору відносно опуклої множини цього простору
title_short	Критерії узагальненого чебишовського у розумінні зважених відстаней центра кількох точок лінійного нормованого простору відносно опуклої множини цього простору
title_sort	критерії узагальненого чебишовського у розумінні зважених відстаней центра кількох точок лінійного нормованого простору відносно опуклої множини цього простору
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162199
work_keys_str_mv	AT gudimauv kriterííuzagalʹnenogočebišovsʹkogourozumínnízvaženihvídstaneicentrakílʹkohtočoklíníinogonormovanogoprostoruvídnosnoopukloímnožinicʹogoprostoru AT gnatûkvo kriterííuzagalʹnenogočebišovsʹkogourozumínnízvaženihvídstaneicentrakílʹkohtočoklíníinogonormovanogoprostoruvídnosnoopukloímnožinicʹogoprostoru AT gudimauv thecriteriasatthesenseoftheweighteddistancesofthegeneralizedcenterofchebyshevofseveralpointsofalinearnormedspacerelativelytotheconvexsetofthisspace AT gnatûkvo thecriteriasatthesenseoftheweighteddistancesofthegeneralizedcenterofchebyshevofseveralpointsofalinearnormedspacerelativelytotheconvexsetofthisspace

Institution

Similar Items