Об условных сопротивлениях электроцепей при полигармонических входных сигналах
The formulas for the conditional resistances of circuits with RL, RC, RLC, R(LIIC) elements under polyharmonic input signals are obtained.
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1622 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об условных сопротивлениях электроцепей при полигармонических входных сигналах / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2007. — N 2. — С. 87-95. — Библиогр.: 5 назв. — рус. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860056645534482432 |
|---|---|
| author | Божко, А.Е. |
| author_facet | Божко, А.Е. |
| citation_txt | Об условных сопротивлениях электроцепей при полигармонических входных сигналах / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2007. — N 2. — С. 87-95. — Библиогр.: 5 назв. — рус. |
| collection | DSpace DC |
| description | The formulas for the conditional resistances of circuits with RL, RC, RLC, R(LIIC) elements under polyharmonic input signals are obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:01:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
2 • 2007
ЕНЕРГЕТИКА
УДК 621.3.(0758)
© 2007
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
Об условных сопротивлениях электроцепей
при полигармонических входных сигналах
The formulas for the conditional resistances of circuits with RL, RC, RLC, R(LIIC) elements
under polyharmonic input signals are obtained.
В работе [1] представлено явление автоматической реструктуризации электроцепей с ре-
активными элементами при входных полигармонических напряжениях вида
U =
n
∑
k=1
Uak cos ωkt,
где Uak — амплитуда гармоники; ωk — круговая частота k-й гармоники (ωk = 2πfk, fk —
частота); t — время. Однако досконального вывода формул преобразованных сопротивле-
ний в цепях с реактивными элементами не было. В связи с этим возникла задача четко
знать математические выражения условно возникших сопротивлений для цепей RL, RC,
RLC и R(LIIC), где R — резистор; L — индуктивность; C — электрическая емкость; II —
знак параллельного соединения элементов.
На основании полученных формул можно сделать выводы о характере условного соеди-
нения реактивных элементов L и C при полигармонических входных сигналах. Формулы
сопротивлений будем выводить последовательно для каждой цепи.
Итак, цепь RL (рис. 1), где iΣ — ток. Уравнение цепи
U =
n
∑
k=1
Uak cos ωkt = RiΣ + L
diΣ
dt
. (1)
Так как рассматриваемая цепь линейная, то применим принцип суперпозиции (этот
принцип применим ко всем схемам) и
iΣ =
n
∑
k=1
ik =
n
∑
k=1
Uak cos(ωkt − ϕk)
|zLk|
,
ϕk = arctg
ωkL
R
,
(2)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 87
Рис. 1 Рис. 2
где ik — ток в цепи, возникший от действия k-й гармоники входного напряжения; iΣ —
суммарный ток от действия всех гармоник входного напряжения U ; |zLk| — модуль полного
сопротивления цепи для тока ik; ϕk — угол сдвига между напряжением Uk и током ik,
k = 1, n.
На основании (1), (2)
|zLk| =
√
R2 + (ωkL)2
и
iΣ =
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
zLΣ
=
n
∑
k=1
Uak cos(ωkt − ϕk)
|zLk|
, (3)
где zLΣ — полное сопротивление цепи.
В (3) введем преобразование
Ua1
Uak
= αk. Тогда (3) запишем в виде
iΣ =
Ua1
zLΣ
n
∑
k=1
1
αk
cos ωkt = Ua1
n
∑
k=1
cos(ωkt − ϕk)
αk|zLk|
,
откуда
zLΣ =
n
∑
k=1
cos ωkt
αk
n
∑
k=1
cos(ωkt − ϕk)
αk|zLk|
. (4)
Формула (4) отображает сопротивление схемы с условным параллельным соединением
сопротивлений zLk. Если не вводить приведение (3) к напряжению первой гармоники че-
рез коэффициенты αk, k = 1, n, то, по нашему мнению, при разных Uak, k = 1, n, также
в реструктуризированной схеме соединение сопротивлений zLk будет условно параллель-
ным и имеет вид
zLΣ =
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
n
∑
k=1
Uak cos(ωkt − ϕk)
|zLk|
. (5)
88 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №2
При t = 0 из (4) и (5)
zLΣ =
n
∑
k=1
1
αk
n
∑
k=1
cos ϕk
αk|zLk|
; zLΣ =
n
∑
k=1
Uak
n
∑
k=1
Uak cos ϕk
|zLk|
.
При равных амплитудах Uak = Ua, k = 1, n, при t = 0
zLΣ =
n
n
∑
k=1
cos ϕk
|zLk|
.
Эта формула отображает n последовательно соединенных параллельных цепей
cos ϕ1
|zL1|
||cos ϕ2
|zL2|
|| · · · ||cos ϕn
|zLn|
.
Перейдем к рассмотрению цепи с RC элементами (см. рис. 2). Уравнение цепи с RC
следующее:
RiΣ +
1
C
t
∫
0
iΣdt =
n
∑
k=1
Uak cos ωkt. (6)
Ток
iΣ =
n
∑
k=1
ik =
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
zCΣ
=
n
∑
k=1
Uak cos(ωkt + ϕk)
|zCk|
,
ϕk = arctg
1
ωkRC
, ϕk — угол между Uk и ik,
(7)
где zCΣ — условно полное сопротивление для тока iΣ; |zCk| — модуль сопротивления цепи
для тока ik, k = 1, n.
На основании (6) с учетом принципа суперпозиции имеем
Rik +
1
C
t
∫
0
ik dt = Uak cos ωkt,
из которого
|zCk| =
√
R2 +
(
1
ωkC
)2
.
Так же, как и для схемы с RL, введем обозначения
Ua1
Uak
= αk. Тогда (7) запишется в виде
iΣ =
Ua1
zCΣ
n
∑
k=1
1
αk
cos ωkt = Ua1
n
∑
k=1
cos(ωkt + ϕk)
αk|zCk|
,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 89
Рис. 3 Рис. 4
откуда
zCΣ =
n
∑
k=1
cos ωkt
αk
n
∑
k=1
cos(ωkt + ϕk)
αk|zCk|
. (8)
Как видно из (8), эта формула отображает условно параллельное соединение сопротив-
лений zCk, k = 1, n. Если не вводить αk, то
zCΣ =
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
n
∑
k=1
Uak cos(ωkt + ϕk)
|zCk|
. (9)
Формулы (4) и (8), (5) и (9) соответственно по виду идентичны. В них разные сопро-
тивления zLΣ, zLk и zCΣ, zCk, соответствующие каждому реактивному элементу L или C.
При t = 0 (5) и (9) приобретают вид
zCΣ =
n
∑
k=1
1
αk
n
∑
k=1
cos ϕk
αk|zCk|
; zCΣ =
n
∑
k=1
Uak
n
∑
k=1
Uak cos ϕk
|zCk|
.
При Uak = Ua, k = 1, n, t = 0
zCΣ =
n
n
∑
k=1
cos ϕk
|zCk|
.
Рассмотрим схему соединения элементов R, L и C последовательно (рис. 3). Уравнение
этой цепи относительно общего тока iΣ следующее:
RiΣ + L
diΣ
dt
+
1
C
t
∫
0
iΣ dt =
n
∑
k=1
Uak cos ωkt. (10)
90 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №2
Применяя принцип суперпозиции, из (10) получаем
Rik + L
dik
dt
+
1
C
t
∫
0
ik dt = Uak cos ωkt. (11)
На основании (11) модуль сопротивления для тока ik в этой цепи запишем
|zLCk| =
√
R2 +
(
ωkL − 1
ωkC
)2
. (12)
Сдвиг фаз между Uk и ik
ϕk1 = arctg
ωkL − 1
ωkC
R
. (13)
При дальнейшем определении условно полного сопротивления всей цепи zΣ в функции
модулей сопротивлений zLCk выражения для zΣ будут аналогичны выражениям (4) и (8)
или (5) и (9) с разницей в том, что в этом случае будут фигурировать сопротивления zLCk
[см. (12)] вместо zLk или zCk и углы ϕk1. Поэтому и в этом случае при полигармоничес-
ком входном сигнале цепь реструктуризируется в условно параллельное соединение цепей
с сопротивлениями для токов ik, k = 1, n.
Перейдем к рассмотрению цепи с R(LIIC) (см. рис. 4). Уравнения этой цепи следующие:
iΣ = iLΣ + iCΣ;
RiLΣ + L
diLΣ
dt
=
n
∑
k=1
Uak cos ωkt;
RiCΣ +
1
C
t
∫
0
iCΣ dt =
n
∑
k=1
Uak cos ωkt.
(14)
Уравнения (14) соответствуют уравнениям (1) и (6). Поэтому iLΣ записывается выра-
жением (2), а iCΣ — выражением (7). Полные условные сопротивления для токов iLΣ и
iCΣ тогда определяются выражениями (4), (5) и (8), (9) соответственно. Реактивные сопро-
тивления xLΣ = (zLΣ − R) и xCΣ = (zCΣ − R) соединены параллельно и общее условное
сопротивление данной схемы имеет вид
zΣ = R + (zLΣ − R)||(zCΣ − R).
Введем в это выражение формулы (4) и (8), а затем (5) и (9). В результате получим
zΣ = R +
n
∑
k=1
cos ωkt
αk
n
∑
k=1
cos(ωkt − ϕLk)
αk|zLk|
− R
n
∑
k=1
cos ωkt
αk
n
∑
k=1
cos(ωkt + ϕCk)
αk|zCk|
− R
n
∑
k=1
cos ωkt
αk
n
∑
k=1
cos(ωkt − ϕLk)
αk|zLk|
− R
+
n
∑
k=1
cos ωkt
αk
n
∑
k=1
cos(ωkt + ϕCk)
αk|zCk|
− R
; (15)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 91
zΣ = R +
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
n
∑
k=1
Uak cos(ωkt − ϕLk)
|zLk|
− R
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
n
∑
k=1
Uak cos(ωkt + ϕCk)
|zCk|
− R
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
n
∑
k=1
Uak cos(ωkt − ϕLk)
|zLk|
− R
+
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
n
∑
k=1
Uak cos(ωkt + ϕCk)
|zCk|
− R
. (16)
Выражения (14) и (15) также подтверждают тот факт, что полигармоническое входное
напряжение порождает реструктуризацию рассматриваемой схемы (см. рис. 4) в виде фор-
мирования последовательно-параллельного соединения цепей zΣ и zLΣ, zCΣ. Если принять
во внимание случай, когда все Uak,k = 1, n, равны между собой и взять момент t = 0,
то (15) принимает вид
zΣ = R +
[(
n
/
(
n
∑
k=1
cos ϕLk
|zLk|
− R
))
−1
+
(
n
/
(
n
∑
k=1
cos ϕCk
|zCk|
− R
))
−1]−1
. (17)
Выведенные формулы условных полных сопротивлений zΣ можно также представить
в символической форме. Для этого выразим входное напряжение схемы в виде
U =
n
∑
k=1
Uakejωkt,
где j =
√
−1.
Тогда для схем, изображенных на рис. 1, 2 и 3,
zΣ =
n
∑
k=1
Uake
jωkt
n
∑
k=1
Uake
j(ωkt+ϕk)
|zk|
, (18)
где ϕk определяются по формулам (2), (7), (13), соответствующим схемам RL, RC, RLC;
zk, k = 1, n, — сопротивления этих же цепей соответственно.
Если ввести обозначения Ua/Uak = αk; ωk/ω1 = βk, то (18) можно представить в виде
zΣ =
n
∑
k=1
1
αk
eβkω1t
n
∑
k=1
ej(βkω1t+ϕk)
αk|zk|
. (19)
При t = 0 и одинаковых Uak = Ua из (19) получаем zΣ в виде
zΣ =
n
n
∑
k=1
ejϕk
|zk|
.
92 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №2
Для схемы, изображенной на рис. 4, полное условное сопротивление zΣ в символической
форме равно
zΣ = R +
n
∑
k=1
Uake
jωkt
n
∑
k=1
Uake
j(ωkt−ϕLk)
|zLk|
− R
−1
+
n
∑
k=1
Uake
jωkt
n
∑
k=1
Uakej(ωkt+ϕCk)
|zCk|
− R
−1
−1
. (20)
При Uak = Ua и t = 0 выражение (20) принимает вид
zΣ = R +
{[
n
/
(
n
∑
k=1
e−jϕLk
|zLk|
)
− R
]
−1
+
[
n
/
(
n
∑
k=1
Uake
jϕCk
|zCk|
)
− R
]
−1}−1
. (21)
Формула (21) идентична выражению (17).
Справедливость выведенных формул условных сопротивлений для рассматриваемых
электрических схем можно проверить на примере формулы (5) таким образом.
Пусть входное напряжение U = Uak cos ωkt. Тогда (5) принимает вид
zLk = |zk|
cos ωkt
cos(ωkt − ϕk)
. (22)
К (22) применим формулу Эйлера
cos x =
ejx + e−jx
2
.
Тогда полное сопротивление zLk представлено в показательной форме (см. [5] с. 255)
zLk = |zk|ejϕk . (23)
Известно [5], что
zLk = R + jωkL. (24)
Преобразуем (24)
zLk = R + jωkL =
(
√
R2 + ω2
kL
2
)
(cos ϕk + j sin ϕk) =
= |zk|
(
ejϕk + e−jϕk
2
+ j
ejϕke−jϕk
2j
)
= |zk|ejϕk , ϕk = arctg
ωkL
R
и получим в итоге формулу (23).
Таким образом, это простое доказательство подтверждает правильность полученных
формул для цепей RL и, в принципе, для RC и RLC цепей.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 93
Также проверим справедливость формул (15) или (16). Для этого рассмотрим (16) для
k-й гармоники. В этом случае
zk = R +
[ |zLk| cos ωkt
cos(ωkt − ϕLk)
− R
][ |zCk| cos ωkt
cos(ωkt + ϕCk)
− R
]
[ |zLk| cos ωkt
cos(ωkt − ϕLk)
− R
]
+
[ |zCk| cos ωkt
cos(ωkt + ϕCk)
− R
] =
= R +
1
[ |zCk| cos ωkt
cos(ωkt + ϕCk)
− R
]
−1
+
[ |zLk| cos ωkt
cos(ωkt − ϕLk)
− R
]
−1 =
= R +
1
[
|zCk|e−jϕCk − R]−1 + [|zCk|ejϕCk − R
]
−1 =
= R +
(|zCk|e−jϕCk − R)(|zLk|ejϕLk − R)
|zCk|e−jϕCk + |zLk|ejϕLk − 2R
=
= R +
[|zCk|(cos ϕCk − j sinϕCk) − R][|zLk|(cos ϕLk + j sin ϕLk) − R]
|zCk|(cos ϕCk − j sin ϕCk) + |zLk|(cos ϕLk + j sin ϕLk) − 2R
=
= R +
[
−j
1
ωkC
]
[jωkL]
[
−j
1
ωkC
]
+ [jωkL]
= R + j
L
C
1
1
ωkC
− ωkL
= zk. (25)
Проверим правильность полученного выражения из анализа схемы (см. рис. 4)
zk = R +
xLkxCk
xLk + xCk
= R +
jωkLj
(
− 1
ωkC
)
jωkL − j
1
ωkC
= R + j
L
C
1
1
ωkC
− ωkL
. (26)
Как видно, формулы (25) и (26) одинаковые, что означает правильность вывода форму-
лы (16).
Заметим, что выведенные для zΣ выражения подтверждают тот факт, что переходные
процессы в электрических цепях при скачкообразных входных напряжениях, которые, по
нашему мнению, разлагаются на несколько затухающих гармоник и одну незатухающую со-
ставляющую, увеличивающуюся по амплитуде, вблизи момента включения (t = 0) входного
напряжения идут вблизи нулевого уровня и только после полного затухания высших гар-
моник входного напряжения осуществляется подъем уровня величины тока в RL цепи или
напряжения в RC цепи переходного процесса до установившегося значения. Этот факт про-
верен экспериментально [2–4] и указывает на естественное свойство объектов, каким явля-
ется и электрическая цепь, заключающееся в наличии некоторой зоны нечувствительности,
т. е. при определенной малой длительности входного напряжения (импульса) электроцепь не
может войти в переходной процесс и воспроизвести данный импульс. Такие случаи наблю-
даются при широтно-импульсном или время-импульсном управлении электродвигателями
и другими электромагнитными механизмами.
Таким образом, в работе показано, что полигармоническое входное напряжение цепей
с реактивными элементами существенно влияет на изменения структуры (условной) этих
94 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №2
цепей, и полные сопротивления цепей являются не только функциями параметров цепей,
но и функциями гармонических составляющих входного напряжения этих цепей.
1. Божко А.Е. Об автоматической реструктуризации электрических цепей с реактивными элементами
при полигармонических входных напряжениях // Доп. НАН України. – 2002. – № 11. – С. 101–103.
2. Божко А. Е. Новая интерпретация переходных процессов в электрических цепях // Там же. – 2004. –
№ 9. – С. 83–87.
3. Божко А.Е. О новой трактовке переходных процессов в электрических цепях переменного тока //
Там же. – 2005. – № 4. – С. 81–86.
4. Божко А.Е. Эффект от малых значений резисторов в переходном процессе электроцепи с индуктив-
ностью // Там же. – 2004. – № 12. – С. 84–86.
5. Белецкий А.Ф. Основы теории линейных электрических цепей. – Москва: Связь, 1967. – 608 с.
Поступило в редакцию 04.07.2006Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №2 95
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1622 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:01:41Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Божко, А.Е. 2008-08-29T09:35:13Z 2008-08-29T09:35:13Z 2007 Об условных сопротивлениях электроцепей при полигармонических входных сигналах / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2007. — N 2. — С. 87-95. — Библиогр.: 5 назв. — рус. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1622 621.3.(0758) The formulas for the conditional resistances of circuits with RL, RC, RLC, R(LIIC) elements under polyharmonic input signals are obtained. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Енергетика Об условных сопротивлениях электроцепей при полигармонических входных сигналах Article published earlier |
| spellingShingle | Об условных сопротивлениях электроцепей при полигармонических входных сигналах Божко, А.Е. Енергетика |
| title | Об условных сопротивлениях электроцепей при полигармонических входных сигналах |
| title_full | Об условных сопротивлениях электроцепей при полигармонических входных сигналах |
| title_fullStr | Об условных сопротивлениях электроцепей при полигармонических входных сигналах |
| title_full_unstemmed | Об условных сопротивлениях электроцепей при полигармонических входных сигналах |
| title_short | Об условных сопротивлениях электроцепей при полигармонических входных сигналах |
| title_sort | об условных сопротивлениях электроцепей при полигармонических входных сигналах |
| topic | Енергетика |
| topic_facet | Енергетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1622 |
| work_keys_str_mv | AT božkoae obuslovnyhsoprotivleniâhélektrocepeipripoligarmoničeskihvhodnyhsignalah |