Зв'язана динамічна задача термопружності для довгого порожнистого циліндра за нестаціонарних теплової та силової дій

Сформульовано плоску осесиметричну зв’язану динамічну задачу термопружності для довгого порожнистого циліндра. Фізико-механічні характеристики матеріалу даного циліндра приймаються сталими. Для визначення термопружного стану циліндра за визначальні функції вибрано температуру і радіальну компоненту...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Date:	2018
Main Authors:	Мусій, Р.С., Дрогомирецька, Х.Т., Бандирський, Б.Й., Веселовська, О.В., Орищин, О.Г.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2018
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162202
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Зв'язана динамічна задача термопружності для довгого порожнистого циліндра за нестаціонарних теплової та силової дій / Р.С. Мусій, Х.Т. Дрогомирецька, Б.Й. Бандирський, О.В. Веселовська, О.Г. Орищин / Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 62-73. — Бібліогр.: 4 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859619816095088640
author	Мусій, Р.С. Дрогомирецька, Х.Т. Бандирський, Б.Й. Веселовська, О.В. Орищин, О.Г.
author_facet	Мусій, Р.С. Дрогомирецька, Х.Т. Бандирський, Б.Й. Веселовська, О.В. Орищин, О.Г.
citation_txt	Зв'язана динамічна задача термопружності для довгого порожнистого циліндра за нестаціонарних теплової та силової дій / Р.С. Мусій, Х.Т. Дрогомирецька, Б.Й. Бандирський, О.В. Веселовська, О.Г. Орищин / Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 62-73. — Бібліогр.: 4 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
description	Сформульовано плоску осесиметричну зв’язану динамічну задачу термопружності для довгого порожнистого циліндра. Фізико-механічні характеристики матеріалу даного циліндра приймаються сталими. Для визначення термопружного стану циліндра за визначальні функції вибрано температуру і радіальну компоненту вектора переміщень. Для знаходження розв’язку взаємозв’язаної системи двох рівнянь, що описують плоску осесиметричну зв’язану динамічну задачу термопружності для циліндра, запропоновано методику побудови її наближеного розв’язку. A planar axisymmetric connected dynamic problem of thermoelasticity for a long hollow cylinder is formulated. Constant physical and mechanical characteristics of the material of the cylinder are accepted. To determine the thermoelastic state of the cylinder, the temperature and the radial component of the displacement vector are chosen as determining functions. To obtain the solution of the interconnected system of two equations describing a planar axisymmetric connected dynamic problem of thermoelasticity for a cylinder, a method for constructing its approximate solution is proposed.
first_indexed	2025-11-29T01:53:42Z
format	Article
fulltext	Математичне та комп’ютерне моделювання 62 УДК 539.3 Р. С. Мусій, д-р фіз.-мат. наук, професор, Х. Т. Дрогомирецька, канд. фіз.-мат. наук, Б. Й. Бандирський, канд. фіз.-мат. наук, О. В. Веселовська, канд. фіз.-мат. наук, О. Г. Орищин, канд. фіз.-мат. наук Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів ЗВ’ЯЗАНА ДИНАМІЧНА ЗАДАЧА ТЕРМОПРУЖНОСТІ ДЛЯ ДОВГОГО ПОРОЖНИСТОГО ЦИЛІНДРА ЗА НЕСТАЦІОНАРНИХ ТЕПЛОВОЇ ТА СИЛОВОЇ ДІЙ Сформульовано плоску осесиметричну зв’язану динамічну задачу термопружності для довгого порожнистого циліндра. Фі- зико-механічні характеристики матеріалу даного циліндра приймаються сталими. Для визначення термопружного стану циліндра за визначальні функції вибрано температуру і радіаль- ну компоненту вектора переміщень. Для знаходження розв’язку взаємозв’язаної системи двох рівнянь, що описують плоску осе- симетричну зв’язану динамічну задачу термопружності для ци- ліндра, запропоновано методику побудови її наближеного розв’язку. Методика полягає у використанні апроксимації роз- поділів температури і радіальних переміщень за радіальною змінною кубічними поліномами. Коефіцієнти цих поліномів по- даються лінійною комбінацією інтегральних за радіальною змінною характеристик визначальних функцій та функцій, що описують граничні значення визначальних функцій на внутріш- ній і зовнішній поверхнях циліндра. В результаті вихідна почат- ково-крайова задача термопружності на визначальні функції зведена до задачі Коші за часовою змінною на їх інтегральні ха- рактеристики. Загальні розв’язки задачі Коші знайдено з вико- ристанням інтегрального перетворення Лапласа і отримано у вигляді згорток функцій, що описують нестаціонарні об’ємні джерела тепла і об’ємні сили та функцій, що відповідають зага- льним розв’язкам відповідних однорідних рівнянь вихідної сис- теми взаємопов’язаних рівнянь на всьому числовому інтервалі зміни нестаціонарних теплових і силових дій. Записані вирази інтегральних характеристик дають змогу знайти їх вирази за конкретних характерних типів нестаціонарних об’ємних джерел тепла і об’ємних сил, що відповідають фізичним процесам, які впливають на термопружний стан циліндра. Зокрема такими процесами можуть бути теплові удари, лазерне випромінювання видимого та інфрачастотного діапазонів, електромагнітне ви- промінювання радіочастотного діапазону, електромагнітні ім- пульсні поля різних типів. На основі запропонованої методики © Р. С. Мусій, Х. Т. Дрогомирецька, Б. Й. Бандирський, О. В. Веселовська, О. Г. Орищин, 2018 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 63 отримано також алгебраїчне рівняння шостого степеня для ви- значення перших двох власних частот коливань радіальних пе- реміщень за врахування процесу термопружного розсіювання енергії у даному циліндрі. Ключові слова: зв’язана динамічна задача термопружно- сті, довгий порожнистий циліндр, нестаціонарні теплові і си- лові дії, апроксимація, кубічні поліноми, радіальна змінна. Вступ. Порожнисті циліндри часто використовують як елементи конструкцій сучасних приладів і пристроїв. У процесі роботи і екс- плуатації пристроїв порожнисті циліндри зазнають нестаціонарних теплових і силових дій, які створюють в них взаємопов’язані поля температури і деформацій. Внаслідок цього відбувається процес тер- мопружного розсіювання енергії, який необхідно враховувати при проектуванні циліндричних елементів конструкцій і прогнозуванні їх роботоздатності. Тому є актуальною побудова загального розв’язку зв’язаної задачі термопружності для порожнистого циліндра за одно- рідних нестаціонарних теплових і силових дій. На основі отриманого загального розв’язку можна аналізувати термомеханічну поведінку порожнистого циліндра, яким моделюють трубчаті елементи конс- трукцій, за конкретних типів нестаціонарних теплових і силових дій. В літературі [1, с. 46–84; 2, с. 173–197] відомі розв’язки зв’язаних задач термопружності для циліндрів за дії теплового удару та за враху- вання скінченної швидкості поширення тепла. Ці розв’язки знайдені з допомогою інтегрального перетворення Лапласа. Обернення трансфор- мант кінцевих розв’язків є складним, а самі розв’язки подаються вираза- ми, що містять функціональні ряди зі спеціальними функціями. Такі розв’язки досить складні для числового аналізу і не завжди придатні для практичного використання, особливо в інженерних розрахунках. У даній роботі з використанням апроксимації розподілів темпе- ратури і переміщень по радіальній змінній кубічними поліномами [3, с. 109–121] отримано в замкнутій формі загальний розв’язок зв’язаної динамічної задачі термопружності для порожнистого циліндра на всьому часовому проміжку нестаціонарних теплової і силової дій. Математична постановка задачі. Розглядається довгий поро- жнистий циліндр, віднесений до циліндричної системи координат  , ,r z , вісь Oz якої співпадає з віссю симетрії циліндра. Матеріал циліндра однорідний та ізотропний, а його фізико-механічні характе- ристики є сталими. Циліндр знаходиться за умов теплоізоляції його внутрішньої 0r r і зовнішньої 1r r поверхонь, які теплоізольовані і вільні від силового поверхневого навантаження. Термонапружений стан циліндра визначається об’ємно розподіле- ними нестаціонарними джерелами тепла Q і об’ємними силами F  . Ці Математичне та комп’ютерне моделювання 64 два фізичні чинники зумовлюють нестаціонарні температурне поле T і радіальну компоненту  ,rU r t вектора переміщень   , ;0;0rU U r t  та відповідні компоненти ( , , )jj j r z  тензора напружень ̂ . За вказаних умов температуру  ,T r t і радіальну компоненту  ,rU r t вектора переміщень визначаємо із системи рівнянь плоскої осе- симетричної зв’язаної динамічної задачі термопружності для циліндра 22 2 11 1 2 1rUT T T Q r r t E t rr                       , (1)      2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 r r r r r U U U U T F r r r Er r c t                     . Тут  ,  ,  ,  — коефіцієнти температуро- і теплопровідності, Пуассона, лінійного теплового розширення, E — модуль Юнга,  — густина матеріалу циліндра;      1 / 1 1 2c E        — швидкість пружної хвилі розширення;.  — параметр, що характери- зує зв’язаність полів деформації та температури. Систему (1) розв’язуємо за граничних умов    0 1, , 0, 0 T r t T r t r r       , (2) теплоізоляції поверхонь 0r r і 1r r та умов      0 0 0 0 , , 1 , 1 1 r rU r t U r t T r t r r            ,      1 1 1 1 , , 1 , 1 1 r rU r t U r t T r t r r            (3) відсутності силового навантаження на цих поверхнях, а також нульо- вих початкових умов  ,0 0T r  ,  ,0 0rU r  ,  ,0 0rU r r    . (4) За знайденими із системи рівнянь і співвідношень (1)–(4) функ- ціями  ( , ), ,rT r t U r t радіальну rr , колову  та осьову zz ком- поненти тензора напружень знаходимо за формулами    2 1 1 1 2 r r rr U UE T r r                ,    2 1 1 1 2 n r rE U U T r r               , Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 65   (1 )zz rr E T         . (5) Методика розв'язування задачі. Для побудови розв’язків сфо- рмульованої зв’язаної задачі термопружності (1)–(4) використовуємо апроксимацію визначальних функцій    , ( , ), ( , )rr t T r t U r t  за радіальною змінною r кубічними поліномами [3, с. 109–121]:     3 0 , i i i T r t b t r    ,     3 0 , i r i i U r t c t r    . (6) Коефіцієнти ( ), ( )i ib t c t апроксимаційних поліномів (6) подаємо у вигляді лінійних комбінацій      1 1 2 2i i ib t b T t b T t  , (7)                  1 1 2 2 3 0 4 1, ,i i r i r i ic t c t U t c t U t c t T r t c t T r t    (8) та інтегральних характеристик:   1 0 1( , ) r s s r T t T r t r dr  ,   1 0 1( , ) r s rs r r U t U r t r dr  , 1, 2s  , (9) температури  ,T r t і радіальної компоненти  ,rU r t вектора U  та функцій  0 ,T r t і  1,T r t , що описують граничні значення темпера- тури на поверхнях 0r r і 1r r циліндра. Підставляючи подання (6) з врахуванням (7) і (8) у вихідну сис- тему рівнянь (1) після перетворень отримуємо її вигляд у наближенні визначальних функцій  ,T r t і  ,rU r t кубічними поліномами (6). 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 0 ( )( ) ( )i i i i i i i i i d T tT t i r b T t b i r b r dt             3 3 31 2 3 1 0 4 1 1 0 01 m i i m i m i i im mr c b r c b r               3 3 3 3 12 1 2 2 3 2 0 4 2 1 0 1 0 0 ( ) i m i i i m i m i i m i i d T t b r mr c b r c b r dt                    3 3 1 11 2 2 1 2 2 1 1 1 ,m mr r m m m m d u d uc m r c m r Q dt dt             3 3 3 3 2 2 1 1 3 1 0 4 1 1 3 1 2 0 0 1 ( ) ( 1) m i i i m i m i i m i i i T t m r c b r c b r i r b                         3 3 3 3 2 2 1 2 3 2 0 4 2 1 3 2 2 0 0 1 ( ) ( 1) m i i i m i m i i m i i i T t m r c b r c b r i r b                          Математичне та комп’ютерне моделювання 66 2 23 3 3 1 2 3 1 0 4 1 12 2 2 2 0 0 0 ( ) ( )1 1m i i m i m i m i i d T t d T tr c b r c b r c dt c dt               3 3 3 3 2 2 3 2 0 4 2 1 1 1 0 0 0 2 ( ) ( 1)m i i m m i m i r m m i i m r c b r c b r u t m c r                    23 3 2 2 1 2 2 12 2 2 0 1( ) ( 1) m mr r m m m m d uu t m c r c m r c dt         2 3 2 2 42 2 0 1 ( , )mr m r m d u c m r F r t c dt      (10) Тут: * 1 1      , 2 * 1 2 E      , 3 1 1       ,     4 1 1 2 1 E         . Інтегруємо систему рівнянь (10) відповідно до подань (9). Після пе- ретворень для визначення інтегральних характеристик  sT t і  rsU t ( 1, 2s  ) температури  ,T r t та радіальних переміщень  ,rU r t отри- муємо наступну систему чотирьох взаємозв’язаних рівнянь. 1 2 1 2 1 1 2 2 3 4 5 6 1( )r rdT dT du dud T d T d d d d Q t dt dt dt dt        1 2 1 2 7 1 8 2 9 10 11 12 2 ( )r rdT dT du dud T d T d d d d Q t dt dt dt dt        2 2 1 2 13 1 14 2 15 162 2 2 2 4 1 1d T d Td T d T d d c dt с dt     1 0 2 2 21 2 17 1 18 2 19 20 42 2 2 2 1 1 ( , ) r r r r r r r d u d ud u d u d d F r t r dr с dt с dt        2 2 1 2 21 1 22 2 23 24 25 12 2 2 2 4 1 1 r d T d Td T d T d d d u c dt с dt      1 0 2 2 31 2 26 2 27 28 42 2 2 2 1 1 ( , ) . r r r r r r d u d ud u d d F r t r dr с dt с dt       (11) Тут коефіцієнти 1 28d d мають вигляд   23 1 1 1 1 0 1 2 1 i i i i id r r b i       ,   23 1 1 2 1 0 2 2 1 i i i i id r r b i         3 33 3 3 3 2 21 0 3 1 1 2 1 0 3 1 0 4 1 1 0 1 0 0 , 3 2 i i m m i i i m i m i i m i i r r md b r r c b r c b r i m                         Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 67   3 33 3 3 3 2 21 0 4 1 2 2 1 0 3 2 0 4 2 1 0 1 0 0 , 3 2 i i m m i i i m i m i i m i i r r md b r r c b r c b r i m                           3 2 2 5 2 1 1 0 1 2 m m m m md c r r m        ,   3 2 2 6 2 2 1 0 1 2 m m m m md c r r m          23 2 2 7 1 0 1 2 2 i i i i id r r b i       ,   23 2 2 8 1 0 2 2 2 i i i i id r r b i         4 43 3 3 3 3 31 0 9 1 1 2 1 0 3 1 0 4 1 1 0 1 0 0 , 4 3 i i m m i i i m i m i i m i i r r md b r r c b r c b r i m                           4 43 3 3 3 3 31 0 10 1 2 2 1 0 3 2 0 4 2 1 0 1 0 0 , 4 3 i i m m i i i m i m i i m i i r r md b r r c b r c b r i m                           3 3 3 11 2 1 1 0 1 3 m m m m md c r r m        ,   3 3 3 12 2 2 1 0 1 3 m m m m md c r r m        ,   23 3 3 1 1 13 1 0 3 1 0 4 1 1 2 0 0 1 1 m m i i m i m i m i i md r r c b r c b r m                    3 2 2 3 1 0 1 1 2 i i i i i r r b i        ,   3 3 3 1 1 14 1 0 3 2 0 4 2 1 2 0 0 ( 1) m m i i m i m i m i i d m r r c b r c b r                     3 2 2 3 1 0 2 1 2 i i i i i r r b i        3 33 3 3 1 0 15 3 1 0 4 1 1 0 0 03 m m i i m i m i m i i r r d c b r c b r m                3 33 3 3 1 0 16 3 2 0 4 2 1 0 0 03 m m i i m i m i m i i r r d c b r c b r m                    3 1 1 17 1 1 0 2 1 m m m m d m c r r      ,     3 1 1 18 2 1 0 2 1 m m m m d m c r r      , 3 33 1 0 19 1 0 3 m m m m r r d c m       , 3 33 1 0 20 2 0 3 m m m m r r d c m       Математичне та комп’ютерне моделювання 68   23 3 3 2 2 21 1 0 3 1 0 4 1 1 2 0 0 1 2 m m i i m i m i m i i md r r c b r c b r m                    3 3 3 3 1 0 1 1 3 i i i i i r r b i        ,   23 3 3 2 2 22 1 0 3 2 0 4 2 1 2 0 0 1 2 m m i i m i m i m i i md r r c b r c b r m                    3 3 3 3 1 0 2 1 3 i i i i i r r b i        , 4 43 3 3 1 0 23 3 1 0 4 1 1 0 0 04 m m i i m i m i m i i r r d c b r c b r m                , 4 43 3 3 1 0 24 3 2 0 4 2 1 0 0 04 m m i i m i m i m i i r r d c b r c b r m                ,   23 2 2 25 1 1 0 2 1 2 m m m m md c r r m        ,   23 2 2 26 2 1 0 2 1 2 m m m m md c r r m        , 27 19d d , 28 20d d . Для знаходження розв’язку системи рівнянь (11) застосуємо інтегра- льне перетворення Лапласа за часовою змінною t з використанням ну- льових початкових умов на функції  sT t і  rsU t ( 1, 2s  ) (отриманих інтегруванням згідно (9) початкових умов (4). В трансформантах Лапласа  T p і  rsU p будемо мати систему чотирьох алгебраїчних рівнянь    1 3 1 2 4 2 5 1 6 2 1r rd pd T d pd T pd u pd u Q           ,    7 9 1 8 10 2 11 1 12 2 2r rd pd T d pd T pd u pd u Q           , 2 2 2 13 15 1 14 16 2 17 19 12 2 2 1 1 1 rd d p T d d p T d d p u c c c                          1 0 2 2 18 20 2 42 1 ( , ) r r r r d d p u F r p r dr c           , 2 2 2 21 23 1 22 24 2 25 27 12 2 2 1 1 1 rd d p T d d p T d d p u c c c                          1 0 2 3 26 28 2 42 1 ( , ) r r r r d d p u F r t r dr c          . (12) Систему рівнянь (12) розв’язуємо методом Крамера. За знайде- ними трансформантами Лапласа  T p і  rsU p , застосовуючи другу Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 69 теорему розкладу і теорему про згортку функцій отримаємо оригіна- ли функцій  sT t і  rsU t ( 1, 2s  ) у вигляді   6 1 1 1 2 2 1 0 ( ) 4 1 3 4 2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) k t k k k p t r k r k k T t Q A p Q A p eF A p F A p d p                    (13)   6 2 1 5 2 6 1 0 ( ) 4 1 7 4 2 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) k t k k n p t r k r k k T t Q A p Q A p eF A p F A p d p                   (14)   6 1 1 9 2 10 1 0 ( ) 4 1 11 4 2 12 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) k t r k k n p t r k r k k u t Q A p Q A p eF A p F A p d p                    (15)   6 2 1 13 2 14 1 0 ( ) 4 1 15 4 2 16 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) k t r k k n p t r k r k k u t Q A p Q A p eF A p F A p d p                   (16) Тут вирази 1 16( ) ( )A p A p будуть 22 23 24 1 32 33 34 42 43 44 ( )A p             , 12 13 14 2 32 33 34 42 43 44 ( )A p             , 12 13 14 3 22 23 24 42 43 44 ( )A p               , 12 13 14 4 22 23 24 32 33 34 ( )A p               , 21 23 24 5 31 33 34 41 43 44 ( )A p             , 11 13 14 6 31 33 34 41 43 44 ( )A p             , 11 13 14 7 21 23 24 41 43 44 ( )A p               , 11 13 14 8 21 23 24 31 33 34 ( )A p               , Математичне та комп’ютерне моделювання 70 21 22 24 9 31 32 34 41 42 44 ( )A p            , 11 12 14 10 31 32 34 41 42 44 ( )A p            , 11 12 14 11 21 22 24 41 42 44 ( )A p             , 11 12 14 12 21 22 24 31 32 34 ( )A p             , 21 22 23 13 31 32 33 41 42 43 ( )A p            , 11 12 13 14 31 32 33 41 42 43 ( )A p            , 11 12 13 15 21 22 23 41 42 43 ( )A p             , 11 12 13 16 21 22 23 31 32 33 ( )A p             , де 11 1 3d pd   , 12 2 4d pd   , 13 5pd  , 14 6pd  , 21 7 9d pd   , 22 8 10d pd   , 23 11pd  , 24 12pd  , 2 31 13 152 pd d c    , 2 32 14 162 pd d c    , 2 33 17 192 pd d c    , 2 34 18 202 pd d c    , 2 41 21 232 pd d c    , 2 42 22 242 pd d c    , 2 43 25 272 pd d c    , 2 44 26 282 pd d c    kp — корені характеристичного рівняння 6-го степеня відносно па- раметра p перетворення Лапласа:        6 3 10 19 28 20 27 3 16 27 12 11 234 pp d d d d d d d d d d d d c           3 24 12 19 11 24 4 19 9 28 12 21 23( )d d d d d d d d d d d d d           4 20 11 23 9 27 9 16 9 16 13 10 5 20 10 23 9 24d d d d d d d d d d d d d d d d d d          2 5 12 16 23 13 24 6 11 16 25 15 24c d d d d d d d d d d d d         5 6 9 16 27 6 10 15 22 3 10 19 28 20 274 pd d d d d d d d d d d d d d c         1 16 27 12 11 28 1 21 11 24 12 19 4 19 7 28d d d d d d d d d d d d d d d d      Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 71    2 19 9 28 12 21 23 2 20 11 23 3 27 4 20 7 27( )d d d d d d d d d d d d d d d d d          2 15 11 28 12 27 9 16 7 16 15 8d d d d d d d d d d d d         2 5 20 8 25 7 24 6 11 16 21 14 13 13 24 15 24d d d d d d c d d d d d d d d d d            4 19 28 20 27 3 10 1 8 19 28 20 272 2 1p d d d d d d d d d d d d c c               3 14 12 27 11 28 12 25 3 16 3 22 11 24 12 19d d d d d d d d d d d d d d d d         3 24 11 22 12 7 4 17 9 28 12 21 23 4 19 9 26( ))d d d d d d d d d d d d d d d d d          2 19 7 28 2 20 7 17 1 13 11 28 12 272 1 d d d d d d d d d d d d d d c           1 5 1 26 21 25 9 16 9 14 13 10 5 26 9 15 5 10d d d d d d d d d d d d d d d d d d          5 20 9 22 10 21 5 18 10 23 9 24d d d d d d d d d d d d        9 16 9 14 13 10 16 21 14 23 5 22 13 23 5 12d d d d d d d d d d d d d d d d          9 16 9 14 13 10 5 26 9 15 10 5d d d d d d d d d d d d      5 20 9 22 10 21 5 18 10 23 9 24 16 21 14 23( ( )d d d d d d d d d d d d d d d d       5 12 13 23 5 13d d d d d d  6 9 16 25 14 27 6 10 19 21 17 23( (d d d d d d d d d d d d      13 27 15 25 6 11 16 21 14 13 13 24 15 24d d d d d d d d d d d d d d            3 3 10 19 28 20 27 1 14 12 27 11 282 (p d d d d d d d d d d d d c         1 12 16 25 11 24 12 19 3 22d d d d d d d d d d     11 22 12 19 1 22 1 7 17 25 2 9 19 26d d d d d d d d d d d d d d     1 24 11 22 12 17 4 7 20 25 2 20 11 23 9 25( )d d d d d d d d d d d d d d d d      4 20 7 27 2 18 11 23 9 25 2 15 11 26 21 25( )d d d d d d d d d d d d d d d d       2 13 11 28 12 27 9 16 7 14 8 13(d d d d d d d d d d d d     5 26 7 16 8 15 5 20 8 21 22 7 5 18 8 23 24 7( ) ( )d d d d d d d d d d d d d d d d d d        6 8 19 21 17 23 13 27 15 23 6 9 16 25 14 27(d d d d d d d d d d d d d d d d         2 1 8 19 28 20 27 3 10 17 26 18 252 1 ( ) (p d d d d d d d d d d d d c         3 11 12 27 3 22 11 22 12 17(d d d d d d d d d d    Математичне та комп’ютерне моделювання 72 2 7 19 26 2 7 17 25 4 9 17 262 1 ( )d d d d d d d d d d d d c     2 7 18 27 2 7 20 25 4 18 11 21 9 252 1 ( ) (d d d d d d d d d d d d d d c       4 13 1 26 21 25 5 26 9 14 13 10( (d d d d d d d d d d d d      5 18 9 22 10 21 5 12 14 21 13 22 6 9 25 14( (d d d d d d d d d d d d d d d d         14 21 13 22 3 10 17 24 18 25 6 10 17 21 13 25( ) ( (d d d d p d d d d d d d d d d d d        1 14 12 25 1 22 11 22 12 17 4 7 17 26 2 9 17 26( )d d d d d d d d d d d d d d d d d d      1 7 18 25 2 18 11 21 9 25 2 13 1 26 21 23( ( )d d d d d d d d d d d d d d d d      5 26 7 14 8 13 5 18 8 21 22 7( ) ( )d d d d d d d d d d d d     6 7 14 25 6 8 17 21 13 25 1 8 17 26 18 25( ( )d d d d d d d d d d d d d d d d      2 7 17 26 18 25( )d d d d d d  . (17) Зауважимо, що дві пари коренів рівняння (17) є комплексно- спряженими з від’ємними дійсними частинами, а два корені – дійсні від’ємні. Уявні частини комплексно-спряжених коренів відповідають власним частотам радіальних коливань розглядуваного циліндра у випадку зв’язаних полів температури і переміщень. Отримані вирази (13)–(16) функцій  sT t і  rsU t ( 1, 2s  ) підста- вляємо у подання (6)–(8) та у формули (5) і записуємо таким чином зага- льний розв’язок зв’язаної задачі термопружності (1)–(4) для розглядува- ного порожнистого циліндра за однорідної теплової і силової дій. Висновок. Знайдений розв’язок дає змогу проаналізувати термоме- ханічну поведінку довгого порожнистого циліндра, зумовлену заданими нестаціонарними об’ємними джерелами тепла Q і об’ємними силами F  з урахуванням процесу термопружного розсіювання енергії. Цей розв’я- зок є теоретичною основою для комп’ютерного аналізу термонапруже- ного стану порожнистого циліндра за нестаціонарних теплових і силових дій, в тому числі зумовлених дією зовнішнього нестаціонарного елект- ромагнітного поля [4, с. 16–35]. Список використаних джерел: 1. Грибанов В. Ф. Связанные и динамические задачи термоупругости / В. Ф. Грибанов, Н. Г. Паничкин. — М. : Машиностроение, 1984. — 184 с. 2. Подстригач Я. С. Обобщенная термомеханика / Я. С. Подстригач, Ю. Н. Коляно. — К. : Наукова думка, 1976. — 310 с. 3. Мусій Р. С. Динамічні задачі термомеханіки електропровідних тіл кано- нічної форми / Р. С. Мусій. — Львів : РАСТР-7, 2010. — 211 с. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 73 4. Термоупругость электропроводных тел / Я. С. Подстригач, Я. И. Бурак, А. Р. Гачкевич, Л. В. Чернявская. — К. : Наук. думка, 1977. — 247 с. CONNECTED DYNAMIC PROBLEM OF THERMOELASTICITY FOR A LONG HOLLOW CYLINDER UNDER NON-STATIONARY HEAT AND POWER ACTIONS A planar axisymmetric connected dynamic problem of thermoelasticity for a long hollow cylinder is formulated. Constant physical and mechanical characteristics of the material of the cylinder are accepted. To determine the thermoelastic state of the cylinder, the temperature and the radial component of the displacement vector are chosen as determining functions. To obtain the solution of the interconnected system of two equations describing a planar ax- isymmetric connected dynamic problem of thermoelasticity for a cylinder, a method for constructing its approximate solution is proposed. The method is to use the approximation of temperature distributions and radial displacements in radial variable by cubic polynomials. The coefficients of these polynomials are given by a linear combination of integral in radial variables characteristics of the determining functions and functions that describe the boundary values of the determining functions on the inner and outer surfaces of the cylinder. As a result, the initial initial-boundary value problem of thermoelasticity for the determining functions is reduced to the Cauchy problem in a time variable on their integral characteristics. General solutions of the Cauchy problem are obtained using the integral Laplace transform and got as a convolution of functions describing non-stationary volumetric heat sources and forces, and functions corresponding to the general solutions of the homogeneous equa- tions of the initial system of interconnected equations on the whole numerical interval of non-stationary thermal and force actions changes. The expressions of the integral characteristics give an opportunity to obtain their expressions for specific characteristic types of non-stationary volumetric heat sources and forces corresponding to the physical processes that affect the thermoelastic state of the cylinder. Specifically, such processes may include thermal shock, laser radiation of visible and infrared frequencies, electromagnetic radiation of the radio frequency band, and various types of electromagnetic pulsed fields. On the basis of the proposed methodology, an algebraic equation of the sixth degree was also obtained for the determination of the first two natural fre- quencies of oscillations of radial displacements taking into account the process of thermoelastic energy dissipation in this cylinder. Keywords: connected dynamic problem of thermoelasticity, long hol- low cylinder, non-stationary heat and force actions, approximation, cubic polynomials, radial variable. Отримано: 30.05.2018
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-162202
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	2308-5878
language	Ukrainian
last_indexed	2025-11-29T01:53:42Z
publishDate	2018
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Мусій, Р.С. Дрогомирецька, Х.Т. Бандирський, Б.Й. Веселовська, О.В. Орищин, О.Г. 2020-01-04T15:59:00Z 2020-01-04T15:59:00Z 2018 Зв'язана динамічна задача термопружності для довгого порожнистого циліндра за нестаціонарних теплової та силової дій / Р.С. Мусій, Х.Т. Дрогомирецька, Б.Й. Бандирський, О.В. Веселовська, О.Г. Орищин / Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 62-73. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 2308-5878 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162202 539.3 Сформульовано плоску осесиметричну зв’язану динамічну задачу термопружності для довгого порожнистого циліндра. Фізико-механічні характеристики матеріалу даного циліндра приймаються сталими. Для визначення термопружного стану циліндра за визначальні функції вибрано температуру і радіальну компоненту вектора переміщень. Для знаходження розв’язку взаємозв’язаної системи двох рівнянь, що описують плоску осесиметричну зв’язану динамічну задачу термопружності для циліндра, запропоновано методику побудови її наближеного розв’язку. A planar axisymmetric connected dynamic problem of thermoelasticity for a long hollow cylinder is formulated. Constant physical and mechanical characteristics of the material of the cylinder are accepted. To determine the thermoelastic state of the cylinder, the temperature and the radial component of the displacement vector are chosen as determining functions. To obtain the solution of the interconnected system of two equations describing a planar axisymmetric connected dynamic problem of thermoelasticity for a cylinder, a method for constructing its approximate solution is proposed. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Зв'язана динамічна задача термопружності для довгого порожнистого циліндра за нестаціонарних теплової та силової дій Connected dynamic problem of thermoelasticity for a long hollow cylinder under non-stationary heat and power actions Article published earlier
spellingShingle	Зв'язана динамічна задача термопружності для довгого порожнистого циліндра за нестаціонарних теплової та силової дій Мусій, Р.С. Дрогомирецька, Х.Т. Бандирський, Б.Й. Веселовська, О.В. Орищин, О.Г.
title	Зв'язана динамічна задача термопружності для довгого порожнистого циліндра за нестаціонарних теплової та силової дій
title_alt	Connected dynamic problem of thermoelasticity for a long hollow cylinder under non-stationary heat and power actions
title_full	Зв'язана динамічна задача термопружності для довгого порожнистого циліндра за нестаціонарних теплової та силової дій
title_fullStr	Зв'язана динамічна задача термопружності для довгого порожнистого циліндра за нестаціонарних теплової та силової дій
title_full_unstemmed	Зв'язана динамічна задача термопружності для довгого порожнистого циліндра за нестаціонарних теплової та силової дій
title_short	Зв'язана динамічна задача термопружності для довгого порожнистого циліндра за нестаціонарних теплової та силової дій
title_sort	зв'язана динамічна задача термопружності для довгого порожнистого циліндра за нестаціонарних теплової та силової дій
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162202
work_keys_str_mv	AT musíirs zvâzanadinamíčnazadačatermopružnostídlâdovgogoporožnistogocilíndrazanestacíonarnihteplovoítasilovoídíi AT drogomirecʹkaht zvâzanadinamíčnazadačatermopružnostídlâdovgogoporožnistogocilíndrazanestacíonarnihteplovoítasilovoídíi AT bandirsʹkiibi zvâzanadinamíčnazadačatermopružnostídlâdovgogoporožnistogocilíndrazanestacíonarnihteplovoítasilovoídíi AT veselovsʹkaov zvâzanadinamíčnazadačatermopružnostídlâdovgogoporožnistogocilíndrazanestacíonarnihteplovoítasilovoídíi AT oriŝinog zvâzanadinamíčnazadačatermopružnostídlâdovgogoporožnistogocilíndrazanestacíonarnihteplovoítasilovoídíi AT musíirs connecteddynamicproblemofthermoelasticityforalonghollowcylinderundernonstationaryheatandpoweractions AT drogomirecʹkaht connecteddynamicproblemofthermoelasticityforalonghollowcylinderundernonstationaryheatandpoweractions AT bandirsʹkiibi connecteddynamicproblemofthermoelasticityforalonghollowcylinderundernonstationaryheatandpoweractions AT veselovsʹkaov connecteddynamicproblemofthermoelasticityforalonghollowcylinderundernonstationaryheatandpoweractions AT oriŝinog connecteddynamicproblemofthermoelasticityforalonghollowcylinderundernonstationaryheatandpoweractions

Зв'язана динамічна задача термопружності для довгого порожнистого циліндра за нестаціонарних теплової та силової дій

Institution

Similar Items