Нелокальні анзаци та редукція системи нелінійних рівнянь конвекції-дифузії з хемотаксисною дифузивною матрицею

У статті об’єктом дослідження є система нелінійних рівнянь конвекції-дифузії з дифузивною матрицею, що притаманна системі рівнянь хемотаксису. У статті показано, що наведені в ній нелокальні перетворення є перетвореннями еквівалентності системи нелінійних рівнянь конвекції-дифузії. Для даної системи...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2018
1. Verfasser:	Омелян, О.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2018
Schriftenreihe:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162203
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Нелокальні анзаци та редукція системи нелінійних рівнянь конвекції-дифузії з хемотаксисною дифузивною матрицею / О.М. Омелян // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 74-89. — Бібліогр.: 16 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-162203
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1622032025-02-09T14:35:39Z Нелокальні анзаци та редукція системи нелінійних рівнянь конвекції-дифузії з хемотаксисною дифузивною матрицею The nonlocal ansatze and reduction of nonlinear system of convection-diffusion equations with chemotaxis matrix of diffusion Омелян, О.М. У статті об’єктом дослідження є система нелінійних рівнянь конвекції-дифузії з дифузивною матрицею, що притаманна системі рівнянь хемотаксису. У статті показано, що наведені в ній нелокальні перетворення є перетвореннями еквівалентності системи нелінійних рівнянь конвекції-дифузії. Для даної системи та системи-образу, пов’язаної з нею нелокальними перетвореннями, досліджено їх симетрійні властивості. Для знайденої системи-образу в роботі побудовані нееквівалентні ліївські анзаци. In this article, the object of the study is a system of nonlinear equations of convection-diffusion with a diffusion matrix, inherent in the system of equations of chemotaxis. In this paper it is shown that the nonlocal transformations presented in it are transformations of the equivalence of a system of nonlinear convection-diffusion equations. For this system and system-image which is associated with nonlocal transformations, their symmetric properties were investigated. For the system-image which is found in the article, we construct non-equivalent Lie ansatzes. 2018 Article Нелокальні анзаци та редукція системи нелінійних рівнянь конвекції-дифузії з хемотаксисною дифузивною матрицею / О.М. Омелян // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 74-89. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 2308-5878 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162203 517.912 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	У статті об’єктом дослідження є система нелінійних рівнянь конвекції-дифузії з дифузивною матрицею, що притаманна системі рівнянь хемотаксису. У статті показано, що наведені в ній нелокальні перетворення є перетвореннями еквівалентності системи нелінійних рівнянь конвекції-дифузії. Для даної системи та системи-образу, пов’язаної з нею нелокальними перетвореннями, досліджено їх симетрійні властивості. Для знайденої системи-образу в роботі побудовані нееквівалентні ліївські анзаци.
format	Article
author	Омелян, О.М.
spellingShingle	Омелян, О.М. Нелокальні анзаци та редукція системи нелінійних рівнянь конвекції-дифузії з хемотаксисною дифузивною матрицею Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet	Омелян, О.М.
author_sort	Омелян, О.М.
title	Нелокальні анзаци та редукція системи нелінійних рівнянь конвекції-дифузії з хемотаксисною дифузивною матрицею
title_short	Нелокальні анзаци та редукція системи нелінійних рівнянь конвекції-дифузії з хемотаксисною дифузивною матрицею
title_full	Нелокальні анзаци та редукція системи нелінійних рівнянь конвекції-дифузії з хемотаксисною дифузивною матрицею
title_fullStr	Нелокальні анзаци та редукція системи нелінійних рівнянь конвекції-дифузії з хемотаксисною дифузивною матрицею
title_full_unstemmed	Нелокальні анзаци та редукція системи нелінійних рівнянь конвекції-дифузії з хемотаксисною дифузивною матрицею
title_sort	нелокальні анзаци та редукція системи нелінійних рівнянь конвекції-дифузії з хемотаксисною дифузивною матрицею
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2018
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162203
citation_txt	Нелокальні анзаци та редукція системи нелінійних рівнянь конвекції-дифузії з хемотаксисною дифузивною матрицею / О.М. Омелян // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 74-89. — Бібліогр.: 16 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv	AT omelânom nelokalʹníanzacitaredukcíâsisteminelíníjnihrívnânʹkonvekcíídifuzíízhemotaksisnoûdifuzivnoûmatriceû AT omelânom thenonlocalansatzeandreductionofnonlinearsystemofconvectiondiffusionequationswithchemotaxismatrixofdiffusion
first_indexed	2025-11-26T21:37:59Z
last_indexed	2025-11-26T21:37:59Z
_version_	1849890525055811584
fulltext	Математичне та комп’ютерне моделювання 74 УДК 517.912 О. М. Омелян, канд. фіз.-мат. наук Полтавський національний технічний університет імені Юрія Кондратюка, м. Полтава НЕЛОКАЛЬНІ АНЗАЦИ ТА РЕДУКЦІЯ СИСТЕМИ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ КОНВЕКЦІЇ-ДИФУЗІЇ З ХЕМОТАКСИСНОЮ ДИФУЗИВНОЮ МАТРИЦЕЮ Cучасні наукові дослідження в самих різноманітних галузях науки неможливі без побудови математичних моделей фізич- них, хімічних, біологічних та ін. процесів та явищ, що вивча- ються. Одним з видів математичних моделей є диференціальні рівняння та їх системи. Серед диференціальних рівнянь для опису процесів проходження рідини з домішками через багато- шарові фільтри, процесів забруднення атмосферного повітря вихлопними газами використовуються системи рівнянь конвек- ції-дифузії. До цього часу актуальною залишається розробка но- вих методів знаходження точних розв’язків диференціальних рівнянь з частинними похідними. Одним з таких методів є ме- тод С. Лі. Дана робота присвячена пошуку засобів узагальнення методу С. Лі для знаходження нових класів точних розв’язків диференціальних рівнянь з частинними похідними. У статті об’єктом дослідження є система нелінійних рівнянь конвекції-дифузії з дифузивною матрицею, що притаманна сис- темі рівнянь хемотаксису. У статті показано, що наведені в ній нелокальні перетворення є перетвореннями еквівалентності сис- теми нелінійних рівнянь конвекції-дифузії. Для даної системи та системи-образу, пов’язаної з нею нелокальними перетвореннями, досліджено їх симетрійні властивості. Для знайденої системи- образу в роботі побудовані нееквівалентні ліївські анзаци. Подія- вши на ліївські анзаци системи-образу нелокальними перетворен- нями, одержані нелокальні анзаци системи конвекції-дифузії з хемотаксисною матрицею дифузії. Подіявши нелокальними анза- цами на дану систему, знайдені редуковані рівняння, розв’язавши які, можна одержати точні розв’язки даної системи. Знайдені не- локальні анзаци не можна отримати в рамках класичного методу С. Лі., але вони дозволяють побудувати нові, неліївські розв’язки даної системи диференціальних рівнянь. Зокрема, в статті, розв’я- завши одну з редукованих систем, в якості прикладу застосування нелокальних анзаців, побудовано розв’язок системи конвекції- дифузії з хемотаксисною дифузивною матрицею. Ключові слова: система рівнянь конвекції-дифузії, нело- кальні перетворення еквівалентності, нелокальні анзаци, не- локальна редукція. Вступ. Рівняння дифузії, конвекції-дифузії та їх системи мають ва- жливе значення для моделювання реальних процесів навколишнього © О. М. Омелян, 2018 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 75 світу (див. [9, 10]). Зокрема, у роботі [6] досліджуються процеси масопе- ренесення частинок домішкової речовини з урахуванням конвективної складової перенесення та сорбційних процесів у двошаровому фільтрі. Для побудови аналітичних точних розв’язків рівнянь математи- чної фізики використовується метод С. Лі (див. [2, 8, 14]). В кінці ХХ століття в роботах [7, 12] запропоновано знаходити додаткові неліївські розв’язки рівнянь за допомогою нелокальних перетворень. У роботах [15, 16] нелокальні перетворення еквівалентності застосовані для розширення класів розв'язків нелінійних рівнянь конвекції-дифузії вигляду = [ ( ) ( )],t x xu f u u g u  (1) де ( )g u — довільна гладка функція. У роботі поставимо задачу застосувати нелокальні перетворення еквівалентності методом, запропонованим у роботах [4, 5], для зна- ходження нелокальних анзаців та редукції нелінійної системи з класу систем рівнянь конвекції-дифузії: = [ ( ) ( )],t x xU F U U G U  (2) де 1 2 = u U u       , 11 12 21 22 ( ) = f f F U f f       , 1 2 ( ) = g G U g       , = ( , )a au u t x , = ( )ab abf f U , = ( )a ag g U — довільні гладкі функції, , = 1,2a b . 1. Нелокальні перетворення системи (2) Розглянемо нелокальні перетворення системи рівнянь конвекції- дифузії (2) вигляду: = , = , = ,a a xt t x x u v (3) 2 1 1 2,0 1= , = , = = ,t x x w v w v x (4) 1 1 2 2 0 0 1 1 1 1= , = , = , = ,x x x x w z w z (5) де ,t x , 0 1,x x — нові незалежні змінні, = ( , )a av v t x , 0 1= ( , )a aw w x x , 0 1= ( , )a az z x x — нові залежні змінні. Теорема 1. Нелокальні перетворення (3), (4), (5) є перетворен- нями еквівалентності системи рівнянь конвекції-дифузії (2). Доведення. Застосувавши до системи (2) нелокальну заміну ви- гляду (3), де = ( , )a av v t x — нові невідомі функції змінних ,t x , після інтегруваня одержаної системи за змінною x, отримаємо: = ( ) ( ),t x xx xV F V V G V (6) де 1 2 = v V v        , 1 2 ( ) ( ) = ( ) x x x g V G V g V        . Математичне та комп’ютерне моделювання 76 Якщо до системи (6) застосувати перетворення годографа (4) де 0 1,x x — нові незалежні змінні, 0 1= ( , )a aw w x x — нові залежні змінні, то дана система зведеться до вигляду 1 11 1 21 1 1 11 12 0 1 11 12 2 1 2 1 1 21 22 1 1 211 1 1 12 1 2 21 1 1 21 22 2 2 2 0 11 1 11 12 2 2 1 1 1= [( ) ( ( ) ( ) ( )) ] , 1 1= ( ) , ( ) w f w f w w f f w ww w f f g w g w w f w w f f w w g w w                    (7) де = a a ww x    , 2 11 2 1 = a a ww x   , = 0,1 , причому: 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1= , , = , ; , = 1, 2.ab ab a aw wf f g g a b w w w w                (8) Продиференціювавши систему (7) за змінною 1x , та виконавши заміни (5), де 0 1= ( , )a az z x x — нові залежні змінні, одержимо наступну систему 0 1 1[ ( ) ( )],Z Z Z Z    (9) де 1 2 = z Z z        , = ZZ x    , 1 1 = , x    11 12 21 22 ( ) =Z             , 2 1 ( ) =Z           , = ( )ab ab Z  , = ( )a a Z  , = 0,1 , причому функції ( )abf Z та ( )ag Z пов'язані із функціями ( )ab Z та ( )a Z наступними співвідношеннями 11 2 2 11 1 21 12 2 3 1 11 12 1 1 21 22 21 2 1 21 22 2 2 1 21 22 = ( ) [ ], = ( ) [ ( ) ( )], = ( ) , = ( ) [ ], z f z f z z f f z z f f z f z z f f                    (10) де 1 2 2 1= ( , )ab ab zf f z z , 1 2= ( , )ab ab z z  . 1 1 1 2 2 2 2 = , = , g z g z g       (11) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 77 де 1 2 2 1= ( , )a a zg g z z , = ( )a a Z  . Таким чином, ми встановили, що ланцюжок замін (3), (4), (5) зводить систему (2) до системи рівнянь того ж класу вигляду (9) і навпаки, — не важко переконатися, що система (9) за допомогою вказаних замін зводиться до системи (2). Теорему доведено. 2. Система нелінійних рівнянь конвекції-дифузії з хемотак- сисною дифузною матрицею та її алгебра інваріантності. Лема. Перетворення вигляду = ,U AW B (12) де 1 2 w W w         — нові невідомі функції, 11 12 21 22 =A           , 1 2 =B         , — довільні сталі матриці, матриця А невироджена , ,ab a R   , є перетвореннями локальної еквівалентності системи (2). Зауваження 1. Наступні твердження про симетрійні властивості систем рівнянь конвекції-дифузії з класу (2) формулюватимемо з то- чністю до перетворень еквівалентності (12). Розглянемо систему нелінійних рівнянь конвекції-дифузії вигляду 11 1 2 2 22 2 1 21 0 0 = 2 ( )x t x u u u uu u u                                     , (13) де 0 1( , )a au u x x , 1,2a  , 1 2 0   , t — часова змінна, x — про- сторова змінна, нижній індекс означає диференціювання за відповід- ною змінною. Система рівнянь (13) належить до систем класу (2). Система рівнянь вигляду (13) застосовується в природничих науках для моделювання хемотаксису мікроорганізмів внаслідок впливу фі- зичних або хімічних факторів (див. [1, 11, 13]). Теорема 2. Максимальною алгеброю інваріантності системи (13) є узагальнена алгебра Галілея 2 (1;1)AG : 1) при 1 2 0, 0     1 1 1, , = ,t x xA G t xQ     1A = 1 1, , = ,t x xG t xQ    1 11 1 1 1 1 22 , 2 ,t xu Q u D t x Q Q          (14) 2 21 1 1 22 ( 2 ) ,t xt tx x t Q tQ        Математичне та комп’ютерне моделювання 78 2) при 1 2 0, 0     , 2A = 1 2,A Q , (15) де 2 2 2 .uQ u  Дана теорема була доведена стандартним методом С. Лі (див. [2, 8, 14]). 3. Симетрійні властивості образу системи (13). Подіявши на систему (13) суперпозицією перетворень (3), (4), (5) отримуємо наступну систему рівнянь конвекції-дифузії, яку назвемо системою- образом системи (13). 1 1 1 1 2 1 12 2 2 3 2 2 12 2 1 1 20 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )= 2 2 ( ) z z z zz z z z z z z z z                                                 . (16) Дослідивши симетрійні властивості системи (16), доведено теорему. Теорема 3. Максимальними алгебрами інваріантності системи (16) є наступні: 1. При 2 10,    1 2 1 2 1 2 5 0 2 1 2 , [ ( )] x z zA A Q e z z             . (17) 2. При 2 10,    1 1 2 1 2 6 0 2 1, [ ( )],x z zA A Q e z z        1 1 2 1 2 3 1[ 2 ] .x z zQ e z z        (18) 3. При 2 10,    1 2 1 2 7 0 2 1 1 3, )] .2 z zA A D x z z       (19) 4. При 2 10,    . 1 2 2 1 2 8 0 2 1 1 1, , (3 2 ) ,z zA A D K x x z z       (20) де 2 1 2 1 0 0 1 0 0 1, , 2 ,z zA D x z Q z         . Теорема 3 доводиться стандартним методом Лі (див., наприклад, [2, 8, 14]). Порівнявши алгебри (14)–(15) і (17)–(20), бачимо, що вони скла- даються з принципово різних наборів операторів. Використаємо цей факт для знаходження за допомогою нелокальних перетворень (3), (4), (5) додаткових (неліївських) анзаців системи (13). Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 79 4. Ліївські анзаци системи (13). Використаємо Ліївську симет- рію системи (13) для побудови її інваріантних анзаців. Розв'язок системи (13) будемо шукати у вигляді ( , ) ( ),U A t x   де ( , ) ( )abA t x  , 1 2            , ( , )ab ab t x  , ( , )t x  — деякі гла- дкі функції, ( )a  — нові невідомі функції, які знаходяться після розв'язування системи звичайних диференціальних рівнянь: 1 2 0 1 1 2= = = = .dt dx du du d     (21) Максимальною алгеброю інваріантності системи (13) при 0  є алгебра (14). Координати інфінітезимального оператора скінченно- вимірного ядра цієї алгебри задаються формулами: 3 0 2 1 1 2 1 4 2 5 1 2 11 1 4 2 6 1 2 2 1 2 = 2 ; = ; 1 1= [ ( ( 2 ) ) ] ;22 2 = ( ) , c t c t c c tx c t c x c c x t с x c c u c t c u                   де 1 7, ,c c — групові параметри. Враховуючи це, система (21) має вигляд: , 2 1 2 3 1 4 2 5 1 2 11 1 4 2 6 1 2 2 1 2 = 2 , = , 1 1= [ ( ( 2 ) ) ] ,22 2 = ( ) t c t c t c x c tx c t c x c cu x t с x c c u u c t c u                   (22) де 1 7, ,c c — довільні числові параметри. Проінтегрувавши систему (22) методом, розглянутим наприклад, у роботах [3, 5], наведемо вигляд нееквівалентних анзаців, які одержуються в результаті 1 21 1 2 2 3= ( ), = ( ), = ,k t k tu e u e k t x      (23) 1 2 1 1 1 2 2 2 = ( ), = , = ( ), k k u t t x u t       (24) 2 1 2( ) 31 1 2 2 2 = ( ), = , = ( ), m t x mt nt u e mt x u e         (25) Математичне та комп’ютерне моделювання 80 2 2 1 21 1 1( 1) 41 14 1 2 2 22 1 2 2 = ( 1) ( ), = ( 1) ( ), = ( 1) , tx t u e t u t x t               (26) де 1 4, , ,k k k — сталі, які певним чином виражаються через сталі 1 7, ,c c . 5. Ліївські анзаци системи (16). Використаємо Ліївську симетрію системи (16) для побудови інваріантних анзаців цієї системи. Максимальними алгебрами інваріантності системи (16) залежно від значення параметрів системи  та 1 2,  є алгебри (21–20). 5.1. 2 10, .    Координати інфінітезимального оператора алгебри (17) зада- ються формулами: 1 2 1 1 2 2 0 1 0 2 0 1 4 1 1 2 2 4 3 4 2 2 2 = 2 ; = ; = ( ) ; = ( ) , x x x c с x c c e c e c z c e c z                     де 0 5, ,c c — групові параметри. Система (21) матиме вигляд: 1 2 1 1 2 2 0 0 2 0 1 1 4 1 1 2 2 .4 3 4 2 2 2 = 2 , = , = ( ) , = ( ) x x x x c с x x c c e z c e c z z c e c z                     (27) Не вдаючись у деталі інтегрування системи (27), наведемо ви- гляд нееквівалентних анзаців, які одержуються в результаті 1) 0 1 1 1 2 2 2 , 1 1 2 2 0= ( ), = ( ), = mx x x x z e z e x pe             (28) 2) 0 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 0 = ( ), = ( ), = ln( ); mx x x x x x e ez z e k e k x p e k                     (29) 3) 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 22 0 0 0 = ( ), = ( ), = ln ; x xm x z x e z x e x pe             (30) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 81 4) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 22 0 0 0 = ( ), = ( ), = ln ln( ), x x m x x x e ez x z x e k e k x p e k                    (31) 5.2. 2 10, 1.     Координати інфінітезимального оператора алгебри (18) зада- ються формулами: 1 1 11 1 1 1 0 1 0 2 0 1 4 5 1 2 2 4 5 3 4 5 2 = 2 ; = ; = ( 2 ) ; = ( ) , x x x x x x c с x c c e c e c e c e c z c e c e c z                         де 0 5, ,c c — групові параметри. Тоді система (21) матиме вигляд: 1 1 1 1 1 1 . 0 0 2 0 1 1 4 5 1 1 2 2 4 5 3 4 5 2 = 2 , = , = ( 2 ) , = ( ) x x x x x x x c с x x c c e c e z c e c e c z z c e c e c z                        (32) Проінтегрувавши систему (32), в результаті одержуємо наступні нееквівалентні анзаци 1) 0 1 1 1 , 21 1 2 2 0= ( ), = ( ), =kx x x xz e z e x pe         (33) 2) 0 1 1 11 1 2 2 0= ( ), = ( ), = ;kx x x xz e z e x pe        (34) 3) 11 0 1 11 1 2 1 2 3 2 2 1 22 0 ( )= ( ), = , 1( ) = ( ), xkx x xx x ez e z c e c ee m x parctg me            (35) 4) 11 0 1 11 1 2 1 2 3 2 2 1 22 0 ( )= ( ), = , 1( ) = ( ), x kx x xx x ez e z c e c ee n x parcth ne            (36) 5) 1 1 1 , 1 21 1 2 22 0 0 0 = ( ), = ( ), = ln px x x z e x z e x x ke            (37) 6) 1 1 1 , 1 1 1 2 22 0 0 0 = ( ), = ( ), = ln px x x z e x z e x x ke          (38) 7) 1 1 1 11 1 1 2 20 0 3 22 2 1 12 2 0 = ( ), = ( ), 1( ) = ln ( ), x p p x xx x e x x z z c e c m ee m x karctg me             (39) Математичне та комп’ютерне моделювання 82 8) 1 1 11 1 1 2 1 1 2 20 0 3 22 2 1 12 0 = ( ), = ( ), 1( ) = ln ( ). x p x xx x e x x z z c e c n ee n x karcth ne             (40) 5.3. 2 10, .    Координати інфінітезимального оператора алгебри (19) зада- ються формулами: 0 1 2 0 0 4 1 1 1 1 2 2 3 2 4 = 2 ; = ; = ; = ( ) , с x c c x c c z c c z        де 0 4, ,c c — групові параметри. Система (21) матиме вигляд: 0 2 0 0 1 4 1 1 1 1 2 2 3 2 4 = 2 , = , = , = ( ) . x с x c x c x c z c z z c c z        (41) Не вдаючись у деталі інтегрування системи (41), наведемо ви- гляд нееквівалентних анзаців, які одержуються в результаті 1) 1 1 1 2 22 0 10 0= ( ), = ( ), = , kp kz x z x x x      (42) 2) 0 0 01 1 2 2 1= ( ), = ( ), = ,px kx kxz e z e e x     (43) 3) 1 1 1 2 22 1 00 0= ( ), = ( ), = ln ,pz x z x x k x      (44) 4) 01 1 2 2 1 0= ( ), = ( ), = ,pxz e z x kx      (45) 5) 1 1 2 1 2 1 1 0= ( ), = ( ), = ,kz x z x x     (46) 6) 11 1 2 2 0( ), ( ), ,pxz e z x       (47) Зауважимо, що дією ланцюжків перетворень (3), (4), (5), на анзаци (42)–(47), одержуємо Ліївські анзаци системи (13), які можна одержати, використовуючи оператори алгебр (14), (15), а тому їх не наводимо. 5.4. 2 10, 1.     Координати інфінітезимального оператора алгебри (20) зада- ються формулами: 1 0 1 2 2 0 0 5 1 3 1 1 1 2 2 5 1 4 5 1 2 3 = 2 ; = ; = ( 3 ) ; = ( 2 ) , с x c c x c x c c x c z c x c c z             де 0 5, ,c c — групові параметри. Система (21) матиме вигляд: 2 0 2 0 0 1 5 1 3 1 1 1 1 2 2 5 1 4 5 1 2 3 = 2 , = , = ( 3 ) , = ( 2 ) ; x с x c x c x c x c z c x c z z c x c c z             (48) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 83 Не вдаючись у деталі інтегрування системи (48), наведемо ви- гляд нееквівалентних анзаців, які одержуються в результаті 1) 3 1 2 1 2 2 1 22 1 1 0 1 = ( 1) ( ), = ( 1) ( ), = , z x z x x parctg x          (49) 2) 13 1 2 1 2 2 1 222 1 10 0 1 = ( 1) ( ), = ( 1) ( ), = ln , z x z x x x parctg x          (50) 6. Нелокальні анзаци системи (13). В пункті 2, 3 було встанов- лено, що система (13), інваріантна відносно алгебри 2 (1;1)AG , під дією композиції нелокальних перетворень (3), (4), (5) переходить в систему (16), яка має алгебру інваріантності, що містить принципово інші оператори ніж оператори алгебр (14), (15). Цей факт використа- ємо для одержання додаткових анзаців системи (13). Для відшукання додаткових неліївських анзаців системи (13) поді- ємо композицією нелокальних перетворень (3)–(5) на уже знайдені ан- заци системи (13). Зауважимо, що дією композиції нелокальних пере- творень (3)–(5) на анзаци (42)–(47), отримуємо ліївські анзаци системи (13), які можна одержати, використовуючи оператори алгебр (14), (15). Подіявши композицією нелокальних перетворень (3)–(5) на анзаци (28)–(31), (33)–(40), (49)–(50), отримуємо нелокальні анзаци системи (16), які не можна одержати, використовуючи оператори алгебр (14), (15). Не вдаючись у деталі їх знаходження, наведемо остаточні ре- зультати. Нелокальні анзаци для системи (13). Зокрема, із ліївських анзаців (28)–(31) отримуємо наступні нело- кальні анзаци 1 1 2 2 2 2 = ( ), ( )= , ( ) = ; mtu e u pt x            (51) 2 1 1 2 2 2 = ( ), ( )= , ( ) = ; mt st u e u pe x            (52) 1 1= ( ),mu t   Математичне та комп’ютерне моделювання 84 21 2 2 2 2 ( )= , ( ) ln = ; u t p t x t           (53) 1 1 21 2 2 2 2 = ( ), ( ) , ( ) = . m n u t u t pt x t              (54) З ліївських анзаців (51)–(54) отримуємо наступні нелокальні анзаци 1 1 2 2 2 2 = ( )( ( ) ), ( )1= , ( ) = ; ktu e t u t x               (55) 1 1 2 2 2 = ( ), ( )1= , ( ) = ; ktu e u t x           (56) 2 1 1 2 2 = cos ( ), ( )2= ,sin 2 = , ( ) ; ktu e u tx p             (57) 2 1 1 2 2 = ( ), ( )2= ,2 = , ( ) . ktu e ch u sh tx p             (58) 1 1 2 2 2 2 1= ( )( ( ) ln ), ( )1= ,1( ) ln = ; pu t t k u tk x t               (59) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 85 1 1 21 2 2 2 = ( ), ( )1= , ( ) ln = ; pu t u t t x t            (60) 1 1 21 2 2 2 = cos ( ), ( )2= ,sin 2 = , ( ) ln ; pu t u t x k t t               (61) 1 1 21 2 2 2 = ( ), ( )2= ,2 = , ( ) ln . pu t ch u t sh x k t t               (62) Із ліївських анзаців (49)–(50) отримуємо наступні нелокальні ан- заци системи (13) 2 1 1 2 2 2 = ( ) cos , ( )= , cos = , ( ) ; u u tx p             (63) 1 1 12 21 2 2 2 2 = ( ) cos , ( )= , cos 1= , ( ) ln . u t u t x tpt                (64) Нелокальні анзаци (51)–(64) для системи (13) не можливо одер- жати в рамках теорії С. Лі. 7. Нелокальна редукція системи (13). Для знаходження неві- домих функцій 1 2,  необхідно одержані вище нелокальні анзаци (51)–(64) підставити у систему (13). Анзаци (51)–(64) редукують сис- тему (13) до систем звичайних диференціальних рівнянь відповідно Зокрема, анзаци (51)–(54) редукують систему (13) до таких ре- дукованих систем Математичне та комп’ютерне моделювання 86 1 1 1 1 2 2 1 1 2 = , 1 ( 2 ); m p               (65) 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 = , 1 ( 2 ); m ps                (66) 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1= ( ),2 1 ( 2 ( ));2 m p                       (67) 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1= ( ),2 1 ( 2 ));2 m n                       (68) Анзаци (55)-(62) редукують систему (13) до таких редукованих систем 1 1 1 2 2 1 = , 2 1 0; k           (69) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 ( ) 0, 12 0; k p                  (70) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 ( ) 0, 12 0; k p                  (71) 1 1 1 1 2 2 1 1 0,2 1( 2 ) 1 0;2 p                  (72) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 (( ) ) 0,2 1( 2 ) 0;2 p k                      (73) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 87 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 (( ) ) 0,2 1( 2 ) 0.2 p k                       (74) Анзаци (63)–(64) редукують систему (13) до таких редукованих систем 1 1 2 2 1 2 2 1 ( ) , 22 ;p              (75) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 [( ) 1] , 2( 2 ) .p                    (76) 8. Розв’язки системи (13). Розв’язавши редуковані системи (65)–(76), можна побудувати розв’язки системи (13). Так, наприклад, розв’язком системи (69) є наступні функції: 1 1 2 1 2 1, , 2 k ke c e c k        (77) де 1 2,c c — довільні сталі. Підставивши функції (77) у аназац (55), отримуємо наступний розв’язок системи (13): 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1[ ], 2 12 21 .1 2 kt k x k x k x k x u e c e x t c k c ke ku c e x t c k                  (78) Висновки. У роботі для системи нелінійних рівнянь хемотаксису, за допо- могою нелокальних перетворень одержані нелокальні анзаци та знай- дено відповідні редуковані системи (65)–(76), розв’язавши які, можна одержати точні розв’язки системи (13). Зокрема, один з розв’язків системи (13) має вигляд (78). Список використаних джерел: 1. Иваницкий Г. Р. От беспорядка к упорядоченности — на примере движе- ния микроорганизмов / Г. Р. Иваницкий, А. Б. Медвинский, М. А. Цыга- нов // Успехи физических наук. — 1991. — Т. 161, № 4. — C. 13–71. Математичне та комп’ютерне моделювання 88 2. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л. В. Овсянников. — М. : Наука, 1978. — 400c. 3. Омелян O. M. Редукція та розв'язки систем нелінійних рів-нянь дифузії, інваріантних відносно алгебри Галілея / O. M. Омелян // Вісн. Київ. нац. ун-ту ім. Тараса Шевченка. Сер.: «Математика. Механіка». — 2004. — № 11–12. — С. 95–100. 4. Сєров М. І. Лінеаризація систем нелінійних рівнянь дифузії за допомогою нелокальних перетворень / М. І. Сєров, O. M. Омелян, Р. М. Черніга // Доп. НАН України. — 2004. — № 10. — С. 39–45. 5. Сєров М. І. Симетрійні властивості системи нелінійних рівнянь хемо- таксису / М. І. Сєров, О. М. Омелян. — Полтава : ПолтНТУ, 2012. — 238 c. 6. Сівак В. Процеси дифузії-конвекції з урахуванням сорбції у двошаровому фільтрі / В. Сівак, Є. Чапля, О. Чернуха // Фізико-математичне моделю- вання та інформаційні технології. — 2006. — Вип. 4. — С. 78–91. 7. Фущич В. И. О нелокальных анзацах одного нелинейного одномерного уравнения теплопроводности / В. И. Фущич, Н. И. Серов, Т. К. Амеров // Доклады Академии наук Украины. — 1992. — № 1. — С. 26–30. 8. Фущич В. И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных урав- нений математической физики / В. И. Фущич, В. М. Штелень, Н. И. Се- ров. — К. : Наук. думка, 1989. — 335 с. 9. Чапля Є. Математичне моделювання стаціонарних процесів конвективно- дифузійного масопереносу у бінарних періодичних структурах / Є. Чапля, О. Чернуха, В. Дмитрук // Доповіді НАН України. — 2011. — № 7. — С. 46–51. 10. Чернуха О. Математичні моделі стаціонарних процесів конвективної ди- фузії в регулярних структурах. Задачі термодифузії та методи їх розв’язку : колект. моногр. / О. Чернуха, В. Гончарук, В. Дмитрук ; під ред. д. т. н. В. П. Ляшенка. — Кременчук : Кременчуцький національний університет імені Михайла Остроградського, 2012. — C. 91–109. 11. Adler J. Chemotaxis in bacteria / J. Adler // Sciense. — 1996. — Vol. 153. — P. 708–716. 12. Fushchich W. I. On nonlocal symmetries of the nonlinear heat equation / W. I. Fushchich, N. I. Serov, V. A. Tychynin, T. K. Amerov // Proc. Acad. of Sci. Ukraine. — 1992. — №11. — P. 27–33. 13. Keller E. F. Model for chemotaxis / E. F. Keller, L.A. Segel // J. Theor. Bi- ol. — 1971. — Vol. 30. — P. 225–234. 14. Olver P. Applications of Lie Groups to Differential Equations / P. Olver. — New York : Springer, 1986. — 497 p. 15. Tychynin V. A. Symmetries and Generation of Solutions for Partial Differen- tial Equations / V. A. Tychynin, O. V. Petrova, O. M. Tertyshnyk // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications (SIGMA) — 2007. — Vol. 3. —14 p. — URL: http://arxiv.org/abs/math-ph/0702033 16. Tychynin V. A. Nonlocal symmetries and formulae for generation of solutions for a class of diffusion-convection equations / V. A. Tychynin, O. V. Petrova // J. Math. Anal. Appl. — 2011. — № 382. — P. 20–33. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 89 THE NONLOCAL ANSATZE AND REDUCTION OF NONLINEAR SYSTEM OF CONVECTION-DIFFUSION EQUATIONS WITH CHEMOTAXIS MATRIX OF DIFFUSION Contemporary scientific research in the most diverse fields of science is impossible without the construction of mathematical models of physical, chemical, biological, etc. processes and phenomena being studied. One of the types of mathematical models is the differential equations and their systems. Among the differential equations for describing the processes of passing liquid with impurities through multilayer filters, processes of atmospheric air pollution by exhaust gases, systems of equations of convection-diffusion are used. By this time, the development of new methods for finding exact solutions of differential equations with partial derivatives remains relevant. One such method is the C. Lee method. This paper is devoted to the search for means for generalizing the S. Le method to find new classes of exact solutions of partial differential equations. In this article, the object of the study is a system of nonlinear equations of convection-diffusion with a diffusion matrix, inherent in the system of equations of chemotaxis. In this paper it is shown that the nonlocal transformations presented in it are transformations of the equivalence of a system of nonlinear convection-diffusion equations. For this system and system-image which is associated with nonlocal transformations, their symmetric properties were investigated. For the system-image which is found in the article, we construct non-equivalent Lie ansatzes. By acting on the Lie ansatzes of the system-image with nonlocal transformations, nonlocal ansatzes of a convection-diffusion system with a chemotaxis diffusion matrix were obtained. We found the reduced equations with applying nonlocal anzatses to this system. If we will solved reduced equations we can obtain exact solutions of the given system. The nonlocal ansatzes is found can not be obtained within the classical Lie method, but they allow us to construct new, non-Lies solutions of a given system of differential equations. In particular, in the article, having solved one of the reduced systems, as an example of the application of non- local ansatzes, solution of the convection-diffusion system with a chemotaxis diffusion matrix was constructed. Key words: nonlocal trasformations of equivalence, nonlocal ansatze, nonlocal reduction, nonlinear system of convection-diffusion equations with chemotaxis matrix of diffusion. Отримано: 24.05.2018

Нелокальні анзаци та редукція системи нелінійних рівнянь конвекції-дифузії з хемотаксисною дифузивною матрицею

Institution

Ähnliche Einträge