Дослідження Т-періодичних розв'язків рівнянь гіперболічного типу

Вперше у даній роботі нами показано методику дослідження Т-періодичних розв’язків крайової Т-періодичної задачі для більш загального диференціального рівняння у частинних похідних...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2018
Автори:	Хома-Могильська, С.Г., Чорний, В.З.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2018
Назва видання:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162208
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Дослідження Т-періодичних розв'язків рівнянь гіперболічного типу / С.Г. Хома-Могильська, В.З. Чорний // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 144-154. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-162208
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1622082025-02-23T17:16:47Z Дослідження Т-періодичних розв'язків рівнянь гіперболічного типу Investigation of T-periodic solutions to hyperbolic type equations Хома-Могильська, С.Г. Чорний, В.З. Вперше у даній роботі нами показано методику дослідження Т-періодичних розв’язків крайової Т-періодичної задачі для більш загального диференціального рівняння у частинних похідних For the first time in this work we have shown a method for studying T-periodic solutions to a boundary-value T-periodic problem for a more general differential equation in partial derivatives. 2018 Article Дослідження Т-періодичних розв'язків рівнянь гіперболічного типу / С.Г. Хома-Могильська, В.З. Чорний // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 144-154. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 2308-5878 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162208 517.944 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Вперше у даній роботі нами показано методику дослідження Т-періодичних розв’язків крайової Т-періодичної задачі для більш загального диференціального рівняння у частинних похідних
format	Article
author	Хома-Могильська, С.Г. Чорний, В.З.
spellingShingle	Хома-Могильська, С.Г. Чорний, В.З. Дослідження Т-періодичних розв'язків рівнянь гіперболічного типу Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet	Хома-Могильська, С.Г. Чорний, В.З.
author_sort	Хома-Могильська, С.Г.
title	Дослідження Т-періодичних розв'язків рівнянь гіперболічного типу
title_short	Дослідження Т-періодичних розв'язків рівнянь гіперболічного типу
title_full	Дослідження Т-періодичних розв'язків рівнянь гіперболічного типу
title_fullStr	Дослідження Т-періодичних розв'язків рівнянь гіперболічного типу
title_full_unstemmed	Дослідження Т-періодичних розв'язків рівнянь гіперболічного типу
title_sort	дослідження т-періодичних розв'язків рівнянь гіперболічного типу
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2018
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162208
citation_txt	Дослідження Т-періодичних розв'язків рівнянь гіперболічного типу / С.Г. Хома-Могильська, В.З. Чорний // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 17. — С. 144-154. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv	AT homamogilʹsʹkasg doslídžennâtperíodičnihrozvâzkívrívnânʹgíperbolíčnogotipu AT čornijvz doslídžennâtperíodičnihrozvâzkívrívnânʹgíperbolíčnogotipu AT homamogilʹsʹkasg investigationoftperiodicsolutionstohyperbolictypeequations AT čornijvz investigationoftperiodicsolutionstohyperbolictypeequations
first_indexed	2025-11-24T02:46:42Z
last_indexed	2025-11-24T02:46:42Z
_version_	1849638154199367680
fulltext	Математичне та комп’ютерне моделювання 144 the algorithm is formed on the basis of the conclusions of Theorems 3 and 4 according to the formulas given there. Theorems 3 and 4 are generalizations of Theorem 1 and Theorem 2 of [5]. These theorems make it possible to analyze and eliminate the various uncertain- ties connected with continuously differentiable functions. The conclusions of these theorems make it possible to substantially reduce the two-sided approxi- mations of the Cauchy problem solution (1)–(2) and of the boundary problem solution (3)–(5). Therefore, these conclusions can be interpreted as concretiza- tion and generalization of the theorem on the average function and its derivative. The proposed algorithms construct functional intervals of the problem solution with any desired small (as you wish) width. Key words: Cauchy problem, boundary value problem, interval, func- tional interval, two-sided approximation, spline. Отримано: 21.05.2018 УДК 517.944 С. Г. Хома-Могильська, канд. фіз.-мат. наук, В. З. Чорний, канд. фіз.-мат. наук Тернопільський національний економічний університет, м. Тернопіль, *Тернопільський національний педагогічний університет імені Володимира Гнатюка, м. Тернопіль ДОСЛІДЖЕННЯ Т-ПЕРІОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКІВ РІВНЯНЬ ГІПЕРБОЛІЧНОГО ТИПУ Як показано в багатьох класичних підручниках з теорії звичайних диференціальних рівнянь, щоб існував Т-періо- дичний розв’язок рівняння Lu = f (x, t, u), потрібно, щоб права частина рівняння f (x, t, u) була Т-періодичною по t, тобто f (x, t+Т, u) = f (x, t, u). Зауважимо, що не кожне рівняння при такій умові може мати Т-періодичний розв’язок. Прикладом такого твердження є звичайне диференціальне рівняння dx / dt = sin2t, розв’язок якого не є періодичним. Для дослідження існування Т-періодичних розв’язків звичайних диференціальних рівнянь та їх систем А. М. Самойленком був розроблений чисельно-ана- літичний метод побудови Т-періодичних розв’язків звичайних диференціальних рівнянь і систем. Результати, одержані А. М. Са- мойленко, були використані для дослідження Т-періодичних роз- в’язків багатьох нових класів звичайних диференціальних рівнянь і навіть захопили задачу Гурса для рівнянь у частинних похідних. Зазначимо, що крайові Т-періодичні задачі для більш загального диференціального рівняння у частинних похідних не були дослід- жені аналітичним методом. Вперше у даній роботі нами показано методику дослідження Т-періодичних розв’язків крайової Т-періо- © С. Г. Хома-Могильська, В. З. Чорний, 2018 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 145 дичної задачі для більш загального диференціального рівняння у частинних похідних 2u / t2 – a22u /x2 = f (x, t, u, ut, ux). Викорис- тано таке просте твердження: функція К (x, t), визначена через ін- теграл з межами від t – b до t + b, для кожної Т-періодичної по τ функції g (x, τ), тобто g (x, τ + Т) = g (x, τ), є також Т-періодична по t. Знайдена формула автоматично задовольняє крайові та Т-періодичні умови: u (0, t) = u (π, t) = 0, u (x, t + Т) = u (x, t), 0 ≤ х ≤ π, t  R. Одержані в даній роботі результати можна вико- ристовувати для дослідження багатьох класів диференціальних рівнянь у частинних похідних гіперболічного типу. Ключові слова: Т-періодичний розв’язок, крайова Т-періодич- на задача, оператор, гіперболічне рівняння другого порядку. Вступ. Розвинутий А. М. Самойленком [1] метод відшукання Т-періодичних розв’язків звичайних диференціальних систем першо- го порядку ( , )dx f t x dt  знайшов широке застосування і обґрунтуван- ня для різного класу диференціальних рівнянь як звичайних, так і у частинних похідних. Вказане обґрунтування здійснювалося на дове- дених властивостях оператора А. М. Самойленка, який переводить Т-періодичну функцію f (t) в Т-періодичну функцію за формулою 0 0 0 0 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t T t Ttx t f f s ds d f d f s ds T T                   . Саме ця властивість дозволила розширити цей метод на різні класи звичайних диференціальних рівнянь, так і рівнянь у частинних похідних [1]. Однак для рівнянь гіперболічного типу другого порядку вигляду 2 2 2 2 2 ( , , , , )t x u ua f x t u u u t x       (1) аналітичного методу відшукання Т-періодичних розв’язків по змінній t до даного часу не існує. Крім як використання тригонометричних рядів Фур’є вигляду 1 ( , ) ( )sink k u x t u t kx     , якщо розглядається така крайова Т-періодична задача: 2 2 2 2 ( , , )u u F x t u t x       , 0 x   , tR , (2) (0, ) ( , ) 0u t u t  , tR , (3) ( , ) ( , )u x t T u x t  , 0 x   , tR . (4) Математичне та комп’ютерне моделювання 146 Слід сказати, що вперше таку задачу при Т = 2π розглянуто П. Рабіновичем у роботі [3] для рівняння 2 2 2 2 ( , , )u u F x t u t x       , (5) де ε — малий параметр. У даній роботі [3] доведено твердження: якщо права частина достатньо гладка відносно аргументів (x, t, u), то крайова Т = 2π-періодична задача (5), (3), (4) для достатньо малого параметра ε (0< ε < 1) має єдиний класичний розв’язок, який має вигляд ( , )u x t  0 ( , ) ( , )u x t w x t  , де 0 ( , )u x t — розв’язок однорідної крайової задачі 2 0 2 0 2 2 0u u t x       , 0 0(0, ) ( , ) 0u t u t  , 0 0( , ) ( , )u x t T u x t  , 0 x   , tR , а w (x, t) — частинний класичний розв’язок задачі (5), (3), (4). Нами на основі розроблених операторів 1aS і 2aS [2, с. 26, фор- мули (9.6), (9.8)] доведено один спосіб відшукання Т-періодичних по t розв’язків u (x, t) рівняння (1). Основні позначення. Введемо такі позначення: C — простір функцій двох змінних x і t, неперервних і обмежених на  0, π R . ,k lC — простір функцій u C таких, що k l t xD D u C . tG — про- стір функцій двох змінних x і t, неперервних і обмежених на  0, π R разом із похідною по t. TQ — простір функцій g (x, t), які задовольняють на  0, π R співвідношення g (x, t + T)=g (x, t). ( , )L X Y — простір лінійних і обмежених відображень X в Y.  2 : ( , ) ( , ) ( , 2 )A g g x t g x t g x t        . R — множина дійсних чисел. ( , , ) xx t t a      . ( , , ) xx t t a      . ( , ) xx a     . а — число. Основний результат. Розглянемо ряд таких функцій:   1 ( , ) 1 0 ( , ) 1( , ) ( , ) ( , ) 2 t xx a a t x u x t S g x t d g d a                ; (6) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 147   2 ( , ) 2 ( , ) 1( , ) ( , ) ( , ) 2 t x a a x t x u x t S g x t d g d a                ; (7) або ( , ) 2 ( , ) 1( , ) ( , ) , 0 2 t xx a t x u x t d g d x a                  , tR . (7) Справедливими є твердження. Теорема 1. Якщо t Tg G Q  , то функція 1 ( , )au x t є Т-періодич- ним по t частинним класичним розв’язком неоднорідного рівняння 2 2 21 1 2 2 ( , ) a au ua g x t t x       , 0 x   , tR . (8) Доведення. Обчислимо частинні похідні першого і другого по- рядків від функції 1 ( , )au x t . На підставі формули (6) одержуємо 1 0 ( , ) 1 1 1, , 2 xau x t x xg t g t d x a a a a a                              2 0 1 , , 2 x x xg t g t d a aa                         ; Скористаємося позначеннями ( , , ) xx t t a      ; ( , , ) xx t t a      . Тоді 2 1 2 2 2 0 ( , ) 1 1 1 1( , ) 2 xau x t g gg x t d a ax a a                    ; 1 0 ( , ) 1 , , 2 xau x t x xg t g t d t a a a                           ; 2 1 2 0 ( , ) 1 1 1 2 xau x t g g d at                   . Отже, 2 2 21 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) a au x t u x ta g x t t x       . Далі доведемо, що функція 1 ( , )au x t для кожної функції Tg C Q  — періодичної по t, є також Т-періодична по t. Математичне та комп’ютерне моделювання 148 Справді, на основі формули ( , ) 1 0 ( , ) 1( , ) ( , ) 2 t xx a t x u x t d g d a               , де ( , ) xx a     , маємо ( , ) 1 0 ( , ) 1( , ) ( , ) 2 t T xx a t T x u x t T d g d a                  . З останньої рівності після виконання заміни T   , ( , ) ( , )t x t t x t      , одержуємо ( , ) 1 1 0 ( , ) 1( , ) ( , ) ( , ) 2 t xx a a t x u x t T d g T d u x t a                 що й потрібно було довести. Теорема 2. Якщо t Tg G Q  , то функція 2 ( , )au x t є Т-періодич- ним по t частинним класичним розв’язком неоднорідного рівняння 2 2 22 2 2 2 ( , ) a au ua g x t t x       , 0 x   , tR . (9) Доведення. Обчислимо частинні похідні від функції 2 ( , )au x t . Маємо 2 1( , ) ( , ) 2 xt a a xx t a u x t d g d a                ; або 2 1( , ) ( , ) 2 xtx a a xt a u x t d g d a               . Отже, 2 ( , ) 1 ( , ) 2 xtxa a xt a x u x t g d d x a                           1 1 1, , 2 x x xg t g t d a a a a a                           ; Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 149 2 2 2 2 3 ( , ) 1 1( , ) 2 xau x t g gg x t d x a a                  ; 2 ( , ) 1 , 1 , 1 2 xau x t x xg t g t d t a a a                             ; 2 2 2 ( , ) 1 2 xau x t g g d at                  . Отже, 2 2 22 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) a au x t u x ta g x t t x       . Аналогічно доводимо, що для кожної функції Tg C Q  , фун- кція 2 ( , )au x t — Т-періодична по t. Теорему 2 доведено. Розглянемо таку функцію:     1 2 1( , ) ( , ) ( , ) 2 a a a au x t S g S g x t S g x t   , 0 x   , tR , або ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) 1 1( , ) ( , ) ( , ) 4 4 t x t xx a t x x t x u x t d g d d g d a a                           . (10) Теорема 3. Якщо t Tg G Q  , то функція  ( , ) ( , )a au x t S g x t , є також Т-періодичним по t частинним класичним розв’язком неод- норідного рівняння 2 2 2 2 2 ( , ) a au ua g x t t x       , 0 x   , tR . (11) Доведення теореми 3 випливає з тверджень теорем 1, 2. Розглянемо таку функцію:    ( , ) ( , ) ( , )a a au x t S g x t S g x t   , 0 x   , tR , де   (0, ) ( , ) 0 (0, ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 4 4 t t a t t x xS g x t d g d d g d a a                                 . Теорема 4. Для кожної функції g (x, t) Т-періодичної по t, функ- ція ( , )au x t є Т-періодичною по t, тобто ( , ) ( , )a au x t T u x t   , 0 x   , tR . Математичне та комп’ютерне моделювання 150 Доведення очевидне. Теорема 5. Функція ( , )au x t задовольняє крайові умови (0, ) ( , ) 0,a au t u t   tR . Безпосередньою перевіркою в цьому твердженні переконуємося. На основі теорем 3, 4 випливає таке твердження. Теорема 6. Функція ( , )a Tu x t C Q  задовольняє крайові та періодичні умови такої задачі: 2 ( , )a a t t x xu a u g x t   , 0 x   , tR , (12) (0, ) ( , ) 0a au t u t   , tR , (13) ( , ) ( , )a au x t T u x t   , 0 x   , tR . (14) Зауваження 1. Взагалі кажучи, функція ( , )au x t не є класичним розв’язком рівняння (1), бо функція   ( , )aS g x t не є розв’язком од- норідного рівняння 2 0a a t t x xu a u   . Хоча  2 2 ( , ) 0aS g x t x     , але  2 2 ( , )aS g x t t    не для кожної функції g (x, t) дорівнює нулеві. Значить потрібні нові дослідження, наприклад, на основі роботи А. М. Самойленка, М. І. Ронто [1]. На прикладі покажемо, що функція      2( , ) ( , ) ( , ) ( , )au x t R g x t Sg x t S g x t    , де при а = 1 маємо   0 1 1( , ) ( , ) ( , ) 4 4 t x t xx t x x t x Sg x t d g d d g d                           , (15)   0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 4 4 t t t t x xSg x t d g d d g d                               (16) у класі функцій  2 : ( , ) ( , ) ( , 2 )A g g x t g x t g x t        є єди- ним розв’язком крайової 2π-періодичної задачі ( , )t t x xu u g x t  , 0 x   , tR , (17) (0, ) ( , ) 0u t u t  , tR , (18) ( , 2 ) ( , )u x t u x t  , 0 x   , tR . (19) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 151 Справді доведемо, що функція  0 ( , ) ( , )u x t Sg x t  є розв’язком однорідного рівняння 0 0 0t t x xu u  , 0 x   , tR . Оскільки   ( , ) 0 xx Sg x t  , то запишемо   ( , ) t Sg x t у такому вигляді:       0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 4 ( , ) ( , ) ( ) ( ). 4 4 4 t xSg x t g t g t d x x xg t g t t t                                       (20) Доведемо, що при Т = 2π у класі функцій 2A ( ) 0, ( ) 0t t   t R , а отже, на основі формули (20) перша похідна   ( , ) 0 t Sg x t  . Таким чином,    ( , ) ( , ) 0 t t x x Sg x t Sg x t    . Справді, на основі формули (20) маємо   0 0 0 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )t g t g t d g t d g t d                         . (21) Зробимо заміну , , 0.d d            На основі фо- рмули (21) одержуємо 0 0 ( ) ( , ) ( , )t g t d g t d                   . (22) Використовуючи тотожність при визначенні простору  2 : ( , ) ( , ) ( , 2 )A g g x t g x t g x t        , тобто рівність ( , ) ( , )g x t g x t    , маємо з формули (22) 0 0 ( ) ( , ) ( , ) 0,t g t d g t d               t R . На основі означення функції v (t) (формула (20)), використовую- чи рівність g (π – x, t+π) = g (x, t), маємо такий результат::   0 ( ) ( , ) ( , )t g t g t d                0 0 ( , ) ( , ) 0g t d g t d                      , t R , Математичне та комп’ютерне моделювання 152 що й потрібно було довести. Це означає, що перша похідна   ( , ) 0 t Sg x t  , t R . А отже, і друга похідна   ( , ) 0 t t Sg x t  , t R . (23) Таким чином, функція  0 ( , ) ( , )u x t Sg x t  у класі функцій 2A задовольняє однорідне рівняння 0o o t t x xu u  , 0 x   , tR . А отже, функція  0 ( , ) ( , )u x t Sg x t  (24) є розв’язком однорідного рівняння 0o o t t x xu u  . Має місце таке твердження. Теорема 7. Для кожної функції 2tg G A  функція 2u R g є єдиною із простору 2,2 2C A  , яка задовольняє умови крайової 2π- періодичної задачі (17)–(19). Крім того,  1,1 2 2 2,R L C A C A    ,  2,2 2 2 2,tR L G A C A    . Зауваження 2. Як доведено у роботі [3] у класі функцій 2A бі- льше нетривіальних розв’язків, тобто розв’язків відмінних від нуля, однорідного рівняння 0t t x xu u  не існує. Отже, теорема 7 справе- длива, що функція 2u R g єдина. Висновки. 1. На основі результатів роботи [2] розглянуто оператори 1aS та 2aS (с.26, формули (9.6), (9.8), на основі яких будується вказаний результат). 2. Введено нові оператори aS та 2 aR для дослідження Т-періо- дичних розв’язків гіперболічних рівнянь вигляду 2 ( , )t t x xu a u g x t  , g (x, t+Т) = g (x, t). 3. Доведено, що введення оператора 2 aR ще не гарантує, що фу- нкція      2( , ) ( , ) ( , ) ( , )a a a au x t S g x t S g x t R g x t   , де Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 17 153   0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 4 4 t t t t x xSg x t d g d d g d                               , буде розв’язком лінійного неоднорідного рівняння 2 ( , )a a t t x xu a u g x t  , враховуючи властивості оператора aS . Список використаних джерел: 1. Самойленко А. М. Чисельно-аналитические методы исследования пери- одических решений / А. М. Самойленко, Н. И. Ронто. — К. : Вища школа, 1976. — 180 с. 2. Митропольский Ю. А. Асимптотические методы исследования квазивол- новых уравнений гиперболического типа / Ю. А. Митропольский, Г. П. Хома, М. И. Громяк. — К. : Наук. думка, 1991. — 232 с. 3. Вейвода О. Существование классических периодических решений волно- вого уравнения: Связь теоретико-числового характера периода и геомет- рических свойств решений / О. Вейвода, М. Штедры // Дифференциаль- ные уравнения. — 1984. — Т. 20, № 10. — С. 1733–1739. 4. Rabinowitz P. Periodic solution of hyperbolic partial differential equations / P. Ra- binowitz // Comm. Pure Appl. Math. — 1967. — Vol. 20, № 1. — P. 145–205. 5. Пташник Б. Й. Нелокальні крайові задачі для рівнянь із частинними похі- дними / Б. Й. Пташник, В. С. Ільків, І. Я. Кміть, В. М. Поліщук. — К. : Наук. думка, 2002. — 416 с. 6. Митропольський Ю. О. Умови існування розв’язків крайової періодичної задачі для неоднорідного лінійного гіперболічного рівняння другого по- рядку / Ю. О. Митропольський, С. Г. Хома-Могильська // Укр. мат. журн. — 2005. — Т. 57, № 7. — С. 912–921. INVESTIGATION OF T-PERIODIC SOLUTIONS TO HYPERBOLIC TYPE EQUATIONS As shown in many classical textbooks on ordinary differential equa- tions a T-periodic solution to the equation Lu= f (x, t, u) will exist if the right-hand side of the equation f (x, t, u) is T-periodic in t (f (x, t+Т, u) = = f (x, t, u)). Note that not every equation in such condition can have a T-periodic solution. As an example of such statement is the ordinary dif- ferential equation dx /dt =sin2t, whose solution is not periodic. To study the existence of T-periodic solutions of ordinary differential equations and their systems, A. M. Samoylenko developed a numerical-analitycal method for constructing T-periodic solutions to the ordinary differential equations and their systems. The results obtained by A. M. Samoylenko were used to study T-periodic solutions to many new classes of ordinary differential equations and also the Gours problem for partial differential equations 2u /(tx) = F (x, t, u, ut, ux). Note that the boundary-value T-periodic problems for a more general differential equation in partial derivatives were not investigated by the analytical method. For the first time in this Математичне та комп’ютерне моделювання 154 work we have shown a method for studying T-periodic solutions to a boundary-value T-periodic problem for a more general differential equation in partial derivatives 2u /t2 – a22u /x2 = f (x, t, u, ut, ux). The following simple assertion has been used: the function K (x, t) defined by an integral with limits from t – b to t + b for each T-periodic in τ function g (x, τ), that is g (x, τ+Т) = g (x, τ), is also T-periodic in t. The found formula automati- cally satisfies the boundary and T-periodic conditions: u (0, t) = u (π, t) = 0, u (x, t + Т) = u (x, t), 0 ≤ х ≤ π, t  R. The obtained in this paper results can be used to study many classes of differential equations in partial deriva- tives of hyperbolic type. Key words: T-periodic solution, boundary-value T-periodic problem, operator, hyperbolic the second order equation. Отримано: 31.05.2018 УДК 534.1 О. Ю. Швець, д-р фіз.-мат. наук, В. О. Сіренко, канд. техн. наук Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут ім. І. Сікорського», м. Київ CИМЕТРИЧНІ СЦЕНАРІЇ ПЕРЕХОДУ ДО ДЕТЕРМІНОВАНОГО ХАОСУ В СИСТЕМАХ З ОБМЕЖЕНИМ ЗБУДЖЕННЯМ Розглянуто п’ятивимірну детерміновану динамічну систему, яка використовується для опису динамічної поведінки маятни- кових систем, баків з рідиною, оболонок, тощо. Принциповою особливістю є неідеальність розглянутої динамічної системи за Зоммерфельдом-Кононенком. У таких динамічних системах завжди враховується взаємодія між деякою коливальною підси- стемою та джерелом збудження коливань. Головна увага приді- ляється пошуку та опису нових сценаріїв переходу від регуляр- них режимів до хаотичних. На підставі, розробленої методики для чисельного дослі- дження явищ детермінованого хаосу в динамічних системах проведений великий обсяг комп’ютерних обчислень з метою виявлення нових сценаріїв переходу до детермінованого хаосу. Був описаний сценарій переходу до хаосу, який починається як симетричний каскад біфуркацій подвоєння періоду граничних циклів та закінчується виникненням симетричного хаотичного атрактора через переміжність. Тобто виявлений сценарій поєд- нує у собі характерні особливості притаманні класичним сцена- ріям Фейгенбаума та Помо-Манневілля. Також був описаний сценарій переходу до хаосу через переміжність у якому рух тра- © О. Ю. Швець, В. О. Сіренко, 2018

Дослідження Т-періодичних розв'язків рівнянь гіперболічного типу

Репозитарії

Схожі ресурси