Идентификационный метод оперативного контроля процесса численного решения дифференциальных уравнений

В настоящей работе рассматривается возможность контроля погрешности численного решения дифференциальных уравнений путем использования методов параметрической идентификации, которые широко применяются при решении практических задач идентификации линейных и нелинейных систем. In this paper, we conside...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Date:	2018
Main Authors:	Верлань, А.Ф., Положаенко, С.А., Протасов, С.Ю.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2018
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162215
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Идентификационный метод оперативного контроля процесса численного решения дифференциальных уравнений / А.Ф. Верлань, С.А. Положаенко, С.Ю. Протасов // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 18. — С. 25-31. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-162215
record_format	dspace
spelling	Верлань, А.Ф. Положаенко, С.А. Протасов, С.Ю. 2020-01-04T19:47:22Z 2020-01-04T19:47:22Z 2018 Идентификационный метод оперативного контроля процесса численного решения дифференциальных уравнений / А.Ф. Верлань, С.А. Положаенко, С.Ю. Протасов // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 18. — С. 25-31. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 2308-5878 DOI: 10.32626/2308-5878.2018-18.25-31 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162215 517.9+518 В настоящей работе рассматривается возможность контроля погрешности численного решения дифференциальных уравнений путем использования методов параметрической идентификации, которые широко применяются при решении практических задач идентификации линейных и нелинейных систем. In this paper, we consider the possibility of controlling the error of numerical solution of differential equations by using the methods of parametric identification, which are widely used in solving practical problems of identifying linear and nonlinear systems. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Идентификационный метод оперативного контроля процесса численного решения дифференциальных уравнений Identification method of operational control the process a numerical solution of differential equation Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Идентификационный метод оперативного контроля процесса численного решения дифференциальных уравнений
spellingShingle	Идентификационный метод оперативного контроля процесса численного решения дифференциальных уравнений Верлань, А.Ф. Положаенко, С.А. Протасов, С.Ю.
title_short	Идентификационный метод оперативного контроля процесса численного решения дифференциальных уравнений
title_full	Идентификационный метод оперативного контроля процесса численного решения дифференциальных уравнений
title_fullStr	Идентификационный метод оперативного контроля процесса численного решения дифференциальных уравнений
title_full_unstemmed	Идентификационный метод оперативного контроля процесса численного решения дифференциальных уравнений
title_sort	идентификационный метод оперативного контроля процесса численного решения дифференциальных уравнений
author	Верлань, А.Ф. Положаенко, С.А. Протасов, С.Ю.
author_facet	Верлань, А.Ф. Положаенко, С.А. Протасов, С.Ю.
publishDate	2018
language	Russian
container_title	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format	Article
title_alt	Identification method of operational control the process a numerical solution of differential equation
description	В настоящей работе рассматривается возможность контроля погрешности численного решения дифференциальных уравнений путем использования методов параметрической идентификации, которые широко применяются при решении практических задач идентификации линейных и нелинейных систем. In this paper, we consider the possibility of controlling the error of numerical solution of differential equations by using the methods of parametric identification, which are widely used in solving practical problems of identifying linear and nonlinear systems.
issn	2308-5878
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162215
citation_txt	Идентификационный метод оперативного контроля процесса численного решения дифференциальных уравнений / А.Ф. Верлань, С.А. Положаенко, С.Ю. Протасов // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 18. — С. 25-31. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT verlanʹaf identifikacionnyimetodoperativnogokontrolâprocessačislennogorešeniâdifferencialʹnyhuravnenii AT položaenkosa identifikacionnyimetodoperativnogokontrolâprocessačislennogorešeniâdifferencialʹnyhuravnenii AT protasovsû identifikacionnyimetodoperativnogokontrolâprocessačislennogorešeniâdifferencialʹnyhuravnenii AT verlanʹaf identificationmethodofoperationalcontroltheprocessanumericalsolutionofdifferentialequation AT položaenkosa identificationmethodofoperationalcontroltheprocessanumericalsolutionofdifferentialequation AT protasovsû identificationmethodofoperationalcontroltheprocessanumericalsolutionofdifferentialequation
first_indexed	2025-11-27T03:19:24Z
last_indexed	2025-11-27T03:19:24Z
_version_	1850794587901132800
fulltext	Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18 25 УДК 517.9+518 DOI: 10.32626/2308-5878.2018-18.25-31 А. Ф. Верлань, д-р. техн. наук, профессор, С. А. Положаенко, д-р. техн. наук, профессор, С. Ю. Протасов*, канд. техн. наук Институт проблем моделирования в энергетике имени Г. Е. Пухова НАН Украины, г. Киев, Одесский национальный политехнический университет, г. Одесса, Черкасский государственный технологический университет, г. Черкассы ИДЕНТИФИКАЦИОННЫЙ МЕТОД ОПЕРАТИВНОГО КОНТРОЛЯ ПРОЦЕССА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ При компьютерном исследовании динамических задач обычно применяются численные методы решения дифферен- циальных уравнений. Существенная важность при численных расчетах имеет гарантированная точность вычисленного ре- шения, которая зависит от точности используемого компьюте- ра и влияния на решение неизбежных ошибок входных данных и ошибок округления. Хотя вычислительные правила строятся исходя из условий обеспечения их возможного роста относи- тельно погрешности, однако при большом числе шагов откло- нение решения, полученного численным методом, от точного может быть весьма значительным. Получение удовлетворительных оценок оперативного чис- ленного решения дифференциальных уравнений является до- статочно сложной задачей, которую во многих практических случаях решить не удается. Таким образом, актуальной зада- чей с вычислительной точки зрения, является разработка под- ходов и методов, позволяющих осуществить контроль вычис- лительного процесса. В настоящей работе рассматривается возможность контроля погрешности численного решения путем использования мето- дов параметрической идентификации, которые широко приме- няются при решении практических задач идентификации ли- нейных и нелинейных систем. При этом достоверность кон- троля не должна завесить от причин, вызывающих погрешность решения. Сам процесс контроля состоит из следующих этапов: восстанавливаются с некоторой точностью параметры уравне- ний, для которых получаемое численное решение является точ- ным. Оцениваемые параметры (коэффициенты сравниваются с коэффициентами исходных уравнений; разность коэффициен- тов является информацией, которая используется для оценки поведения решения на участке восстановления (участок восста- © А. Ф. Верлань, С. А. Положаенко, С. Ю. Протасов, 2018 Математичне та комп’ютерне моделювання 26 новления — отрезок численного решения, который использует- ся для параметрической идентификации). Ключевые слова: методы идентификации, дифференци- альные уравнения, контроль численного решения. Введение. Существующие априорные оценки погрешности ре- шения дифференциальных уравнений [1] служат в основном для ка- чественного анализа роста погрешности. Их использование для оцен- ки точности конкретного результата численного решения затруднено тем, что значения входящих в них величин для большинства задач получить трудно, а когда это удаётся, то оценка погрешности может дать очень завышенное значение. Получение апостериорных оценок наиболее часто связано с про- ведением параллельных расчетов [2] и их использование может дать удовлетворительные результаты для оценки погрешности на шаге. При определении погрешности конечного результата, получаемые оценки являются в общем случае неудовлетворительными. Контроль погрешности решения с помощью названных оценок затруднен также необходимостью учета ошибок округления [2]. Изложение основного материала. Рассмотрим задачу Коши    0 0, , , ,x f x q t x t x  (1) на отрезке 0[ , ],Nt t где t — независимая переменная; q — m-мерный вектор параметров; f — вектор-функция; x — n-мерный вектор вход- ных переменных. Для решения системы (1) можно использовать любой численный метод [1, 2], и значения искомой функции определяются в фиксиро- ванных точках .,1, Niti  Требуется оценить погрешность на опреде- ленном участке решения, при этом для задачи контроля достаточно установить факт нахождения погрешности в допустимых пределах. Из-за методической погрешности численных методов и ошибок округления траектории точки в фазовом пространстве для точного решения и полученного численным методом будут различными. Предположим, что непрерывная функция z(t), соответствующая решетчатой функции   Nitzz ii ,0,  численного решения (1), явля- ется решением системы уравнений    0 0 0, , , .z f z q t z t z x   (2) Здесь qq * и в общем случае может быть функцией независимой переменной. Определение значений вектора параметров q* может быть осуществлено достаточно просто в случае линейности оператора (2) от- носительно q, т.е. когда систему (2) можно представить в виде Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18 27    0 0 0, , ,z z t q z t z x   (3) где (z,t) — матрица размером n  m. Способы получения системы линейных алгебраических уравнений для определения оценки неизвестного вектора параметров по существу определяются видом операторов, применяемых к входным и выходным переменным [3], при этом может использоваться численное дифферен- цирование или численное интегрирование. Так как в данном случае зна- чения входных и выходных переменных в узлах являются точными, то необходимо иметь число независимых уравнений, равное числу восста- навливаемых элементов вектора q. Используя, например, численное дифференцирование для определения производных в узловых точках, получим систему линейных алгебраических уравнений ,qZ  (4) где Z — m-мерный вектор, составленный из оценок вектора производ- ных в узловых точках, полученных численным дифференцированием;  — m  m матрица, получаемая путем компоновки соответствующих строк матрицы . Из выражения (3) получаем оценку искомого вектора 1ˆ* ,q Z  при условии, что матрица  неособенная. Для определения производных в узловых точках удобно приме- нять метод скользящего дифференцирования, когда производная вы- числяется для средней точки интерполируемого участка, а вычисле- ние производных для следующих точек производится сдвигом участ- ка интерполяции. При этом коэффициенты при производных в оста- точных членах будут иметь наименьшее значение. Следует отметить, что для определения производных в узлах желательно применять ме- тоды численного дифференцирования высокого порядка точности [4]. В случае, когда (2) представляет собой нелинейный относитель- но вектора параметров оператор, поиск корней (определение q) со- ответствующей системы нелинейных алгебраических уравнений яв- ляется более сложной задачей. Учитывая изложенное о сложности восстановления параметров в нелинейном случае, а также конечную цель восстановления (кон- троль погрешности численного решения задачи Коши), следует при- знать целесообразным выделение в исходной задаче (1) и последую- щее восстановление фиктивных параметров p, относительно которых задача восстановления является линейной. Заметим, что выделение таких параметров для задачи (1) возможно в общем случае. Действи- тельно, представляя (1) в виде    0 0, , , ,x F x q t p x t x  где F(x, q, t) — диагональная матрица, элементы которой равны соот- ветствующим компонентам вектор-функции f(x, q, t), а p — вектор, Математичне та комп’ютерне моделювання 28 все элементы которого равны единице, убеждаемся в справедливости указанного замечания. Определение оценки ˆ p вектора p для систе- мы уравнений    0 0 0, , , ,z F z q t p z t z x   теперь может быть осуществлено так, как указывалось ранее. В частных случаях в задаче (1) вектор параметров q можно представить в виде прямой суммы векторов q1 и q2, причем систе- ма (1) может быть записана в виде  1 1 2 1 2 0 0( , , ) ( , , ) , ,x x q t x q t q x t x    где 2 — m  l матрица, l — размерность вектора q2. И в этих случаях процедура восстановления части параметров с целью контроля чис- ленного решения может быть легко осуществлена относительно q2 аналогично ранее изложенному способу с очевидными изменениями процедуры образования вектора правых частей системы (3). Возмож- но также решение задачи совместного восстановления фиктивных параметров p и части параметров q. Следует отметить, что в общем случае вектор восстанавливае- мых параметров из-за отклонения численного решения от точного при накоплении погрешностей является функцией независимой пе- ременой, а так как процесс восстановления осуществляется на конеч- ном интервале, то определяя вектор параметров из соответствующей системы алгебраических уравнений, аппроксимируется функция q(t) (p(t)) ступенчатой функцией, постоянной на участках восстановле- ния. Разность между полученной оценкой параметров ˆ ˆ( )q p и па- раметрами исходной системы уравнений q(p) является той информа- цией, которая может быть использована для оценки поведения реше- ния на участке восстановления. Сложность и точность получения оценок во многом определяется видом исходных уравнений. Для линейных дифференциальных уравнений можно, например, использовать оценки, полученные в работе [5]. При исходной системе уравнений     0, 0 ,x A t x f x x   (5) где            1 11 ; , , ; , , ; n T T ij n nA t a t f f t f t x x x    T — знак транспонирования, решение которой определяется численным методом, система уравнений, восстановленная на отрезке  1 2,t t , численного решения имеет вид     0 0 ˆ , 0 .z A t z f z z x    (6) Уравнение для равности решений (5) и (6) имеет вид  ˆ ( ) ( ), 0 0.x A t x A t x       (7) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18 29 Здесь ˆ( ) ( ) ( ), .A t A t A t x x z      Если элементы матриц и векторов выражения (7) являются непрерывными функциями незави- симой переменной, то имеет место оценка       2 2 1 1 1 ˆexp ( * , t t t x A d A x d          где    0 ˆ ( ) 1 lim . h E A t A t h      В тех случаях, когда это возможно, для оценки погрешности ре- шения могут быть привлечены методы теории чувствительности [6]. Пример. На ЭВМ решается методом Рунге-Кутта четвертого по- рядка с шагом 0,01 система уравнений   ,0, 0xxAxx  где (1, 0) ,Tx  . 0900 10        A Через 100 шагов численного интегрирования после ре- шения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений (4) для получения оценки ˆ A матрицы A восстанавливаемой системы уравнений   000,* xzzzAz  получаем разность 3 4 1 3 0,5 10 0,653 10ˆ* . 0,588 10 0,5 10 A A A                 (8) Для сравнения приведем матрицу A, полученную аналитиче- ским путем без учета погрешностей высшего порядка малости: 4 1 0 0,675 10 . 0,6075 10 0 A          (9) Для получения оценок производной в узлах использовался ме- тод численного дифференцирования высокого порядка точности. Как видно из выражения (8), полученное по предлагаемой методике воз- мущение A элементов матрицы A, отражающее погрешность чис- ленного решения, достаточно близко к расчетному (9). Отличие в элементах главной диагонали объясняется неучетом при аналитиче- ском определении A погрешностей высшего порядка малости. Заключение. Таким образом, в работе предложен простой с вы- числительной точки зрения подход оперативного контроля численно- го решения дифференциальных уравнений с использованием методов идентификации, который позволяет судить о ходе вычислительного процесса. Исходя из точности описания реального процесса системой уравнений (1) можно определить область параметров D. Погрешность Математичне та комп’ютерне моделювання 30 решения не превышает неустранимой погрешности из-за неадекват- ности математической модели (1) реальному процессу, если вектор q(p) принадлежит этой области. Следует иметь в виду, что при восстановлении вектора q* полученную оценку ˆ q можно связать с физической сущностью задачи и сделать определенные выводы о влиянии q на решение. Вектор p лишен математической интерпре- тации и для определения влияния на решение вектора ˆ *p p p   требуются дополнительные исследования. Список использованной литературы: 1. Киясов С. Н. Дифференциальные уравнения. Основы теории, методы решения задач : учебное пособие / С. Н. Киясов, В. В. Шурыгин. — Ка- зань : Казанский федеральный университет, 2011. — 112 с. 2. Горбань А. В. Устойчивость и оценка погрешности параллельных одношаго- вых численных методов решения задачи Коши для обыкновенных диффе- ренциальных уравнений [Електронний ресурс] / А. В. Горбань — 2005. — Режим доступа: http://masters.donntu.org/2005/fvti/gorban/diss/index.htm. 3. Сергиенко И. В. Методы получения достоверных решений систем линейных алгебраических уравнений / И. В. Сергиенко, А. Н. Химич, М. Ф. Яковлев // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — № 1. — С. 68–80. 4. Демидович Б. П. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения / Б. П. Демидович, H. A. Марон, Э. З. Шувалова. — М. : Наука, 1967. — 368 с. 5. Абрегов М. Х. Устойчивый численный метод решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка / М. Х. Абре- гов, В. З. Канчукоев, И. К. Машуков // Фундаментальные исследова- ния. — 2016. — № 2 (1) — С. 9–12. 6. Городецкий В. И. Методы теории чувствительности в автоматическом управлении / В. И. Городецкий, Ф. М. Захарин, Е. Н. Розенвассер, Р. М. Юсупов. — М. : Энергия, 1971. — С. 344. IDENTIFICATION METHOD OF OPERATIONAL CONTROL THE PROCESS A NUMERICAL SOLUTION OF DIFFERENTIAL EQUATION In computer studies of dynamic problems, numerical methods for solv- ing differential equations are usually used. Essential importance in numeri- cal calculations is guaranteed accuracy of the calculated solution, which depends on the accuracy of the computer used and the influence on the de- cision of inevitable errors of input data and rounding errors. Although the computational rules are built on the basis of the conditions for ensuring their possible growth with respect to the error, however, with a large num- ber of steps, the deviation of the solution obtained by a numerical method from the exact one can be quite significant. Obtaining satisfactory estimates of the operational numerical solution of differential equations is a rather complicated task, which in many practi- Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18 31 cal cases cannot be solved. Thus, an urgent task from a computational point of view is the development of approaches and methods that allow control of the computational process. In this paper, we consider the possibility of controlling the error of numerical solution by using the methods of parametric identification, which are widely used in solving practical problems of identifying linear and nonlinear systems. At the same time, the accuracy of the control should not depend on the reasons causing the error of the decision. The control process itself consists of the following steps: the parameters of the equations for which the resulting numerical solution is accurate are re- stored with some accuracy. The estimated parameters (the coefficients are compared with the coefficients of the original equations; the difference of the coefficients is the information that is used to evaluate the behavior of the solution on the restoration site (the recovery section is the segment of the numerical solution that is used for parametric identification). Key words: identification methods, differential equations, control of numerical solution. Отримано: 21.11.2018 УДК 519.64 DOI: 10.32626/2308-5878.2018-18.31-38 А. Ф. Верлань, д-р техн. наук, профессор, Ю. О. Фуртат, канд. техн. наук Институт проблем моделирования в энергетике имени Г.Е. Пухова НАН Украины, Украина, г. Киев МЕТОД РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ В ФОРМЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ Интегральные уравнения Вольтерра второго рода являются универсальной математической моделью в задачах идентифика- ции и компьютерного моделирования. При этом сингулярность этих уравнений значительно затрудняет решение данных задач. Для решения этой проблемы используются алгоритмы регуляри- зации некорректных задач. Параметр регуляризации при этом может быть определен различными способами, в частности, спо- собом модельных примеров. В статье также показан способ ре- шения полученного приближенного выражения из алгоритма ре- гуляризации с применением квадратурных формул. Также рассматривается задача определения погрешности решения интегральных уравнений Вольтерра второго рода на основе метода квадратурных формул. Оценивание погрешно- сти проводится путём доказательства соответствующей теоре- мы и следствий из неё. Одно из следствий из теоремы об огра- © А. Ф. Верлань, Ю. О. Фуртат, 2018

Идентификационный метод оперативного контроля процесса численного решения дифференциальных уравнений

Institution

Similar Items