Комп'ютерне моделювання пружно-пластичної деформації в задачах контактної взаємодії канонічних штампів з півплощиною

Для плоскої контактної задачі про взаємодію жорстких штампів канонічної форми (циліндричної, гіперболічної, параболічної, еліптичної) із півплощиною досліджено напружено-деформований стан в тілі. Для обчислення компонент напружень та оптимізації обчислень застосовано метод сіток із дзеркальним відоб...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Datum:	2018
Hauptverfasser:	Сачук, Ю.В., Максимук, О.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2018
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162225
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Комп'ютерне моделювання пружно-пластичної деформації в задачах контактної взаємодії канонічних штампів з півплощиною / Ю.В. Сачук, О.В. Максимук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 18. — С. 126-134. — Бібліогр.: 13 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-162225
record_format	dspace
spelling	Сачук, Ю.В. Максимук, О.В. 2020-01-04T20:07:52Z 2020-01-04T20:07:52Z 2018 Комп'ютерне моделювання пружно-пластичної деформації в задачах контактної взаємодії канонічних штампів з півплощиною / Ю.В. Сачук, О.В. Максимук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 18. — С. 126-134. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 2308-5878 DOI: 10.32626/2308-5878.2018-18.126-134 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162225 539.3 Для плоскої контактної задачі про взаємодію жорстких штампів канонічної форми (циліндричної, гіперболічної, параболічної, еліптичної) із півплощиною досліджено напружено-деформований стан в тілі. Для обчислення компонент напружень та оптимізації обчислень застосовано метод сіток із дзеркальним відображень результатів. For a flat contact problem on the interaction of hard dies of a canonical form (cylindrical, hyperbolic, parabolic, elliptic) with a half-plane, the stress-strain state in the body was investigated. To calculate stress components and optimize computations, a method of grids with mirror reflection of results is used. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Комп'ютерне моделювання пружно-пластичної деформації в задачах контактної взаємодії канонічних штампів з півплощиною Computer modeling of elastic-plastic deformation in the problems of contact interaction of canonical dies with a half-plane Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Комп'ютерне моделювання пружно-пластичної деформації в задачах контактної взаємодії канонічних штампів з півплощиною
spellingShingle	Комп'ютерне моделювання пружно-пластичної деформації в задачах контактної взаємодії канонічних штампів з півплощиною Сачук, Ю.В. Максимук, О.В.
title_short	Комп'ютерне моделювання пружно-пластичної деформації в задачах контактної взаємодії канонічних штампів з півплощиною
title_full	Комп'ютерне моделювання пружно-пластичної деформації в задачах контактної взаємодії канонічних штампів з півплощиною
title_fullStr	Комп'ютерне моделювання пружно-пластичної деформації в задачах контактної взаємодії канонічних штампів з півплощиною
title_full_unstemmed	Комп'ютерне моделювання пружно-пластичної деформації в задачах контактної взаємодії канонічних штампів з півплощиною
title_sort	комп'ютерне моделювання пружно-пластичної деформації в задачах контактної взаємодії канонічних штампів з півплощиною
author	Сачук, Ю.В. Максимук, О.В.
author_facet	Сачук, Ю.В. Максимук, О.В.
publishDate	2018
language	Ukrainian
container_title	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format	Article
title_alt	Computer modeling of elastic-plastic deformation in the problems of contact interaction of canonical dies with a half-plane
description	Для плоскої контактної задачі про взаємодію жорстких штампів канонічної форми (циліндричної, гіперболічної, параболічної, еліптичної) із півплощиною досліджено напружено-деформований стан в тілі. Для обчислення компонент напружень та оптимізації обчислень застосовано метод сіток із дзеркальним відображень результатів. For a flat contact problem on the interaction of hard dies of a canonical form (cylindrical, hyperbolic, parabolic, elliptic) with a half-plane, the stress-strain state in the body was investigated. To calculate stress components and optimize computations, a method of grids with mirror reflection of results is used.
issn	2308-5878
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162225
citation_txt	Комп'ютерне моделювання пружно-пластичної деформації в задачах контактної взаємодії канонічних штампів з півплощиною / Ю.В. Сачук, О.В. Максимук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2018. — Вип. 18. — С. 126-134. — Бібліогр.: 13 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT sačukûv kompûternemodelûvannâpružnoplastičnoídeformacíívzadačahkontaktnoívzaêmodííkanoníčnihštampívzpívploŝinoû AT maksimukov kompûternemodelûvannâpružnoplastičnoídeformacíívzadačahkontaktnoívzaêmodííkanoníčnihštampívzpívploŝinoû AT sačukûv computermodelingofelasticplasticdeformationintheproblemsofcontactinteractionofcanonicaldieswithahalfplane AT maksimukov computermodelingofelasticplasticdeformationintheproblemsofcontactinteractionofcanonicaldieswithahalfplane
first_indexed	2025-11-24T16:10:01Z
last_indexed	2025-11-24T16:10:01Z
_version_	1850850980036345856
fulltext	Математичне та комп’ютерне моделювання 126 УДК 539.3 DOI: 10.32626/2308-5878.2018-18.126-134 Ю. В. Сачук, канд. фіз.-мат. наук, О. В. Максимук, д-р. фіз.-мат. наук, професор Східноєвропейський національний університет імені Лесі Українки, м. Луцьк, ** Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів КОМП’ЮТЕРНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРУЖНО-ПЛАСТИЧНОЇ ДЕФОРМАЦІЇ В ЗАДАЧАХ КОНТАКТНОЇ ВЗАЄМОДІЇ КАНОНІЧНИХ ШТАМПІВ З ПІВПЛОЩИНОЮ Для плоскої контактної задачі про взаємодію жорстких штампів канонічної форми (циліндричної, гіперболічної, парабо- лічної, еліптичної) із півплощиною досліджено напружено- деформований стан в тілі. Для обчислення компонент напружень та оптимізації обчислень застосовано метод сіток із дзеркальним відображень результатів. Проаналізовано та підібрано програмні засоби для реалізації удосконалених методик розрахунку напру- женого стану. Побудовано 3D-графіки напружень та відповідні їм лінії рівня для полегшення аналізу результатів. Побудову 3D- зображення кожної із компонент напружень було здійснено за допомогою наближеного обчислення інтегралу методом середніх прямокутників у кожній точці розбиття, в якій знаходилося зна- чення еліптичного інтегралу третього роду, будувався ряд інтег- ральних сум і числове значення інтегралу. Для визначення зон пружно-пластичної деформації проаналізовано різні теорії плас- тичності та для реалізації поставленої мети обрано теорію макси- мальних дотичних напружень для дослідження умов появи пруж- но-пластичних зон в тілі при різних областях контакту та геомет- ричних і фізико-механічних параметрах. У рамках цієї теорії проведено пошук нових конструкційних матеріалів із заданими всіма необхідними фізико-механічними параметрами. Для дослідження процесу появи областей пружно- пластичної деформації обрано нові титанові сплави із покраще- ними механічними властивостями. Встановлено нові механічні ефекти, що виникають в процесі взаємодії для різних штампів та досліджено умови, що приводять до їх появи. Отримані результа- ти можна використати при побудові експериментально-числової методики для визначення умов появи пластичних зон у тілі для матеріалів з різними механічними властивостями. Розвинута ме- тодика дозволяє визначити величину областей текучості, їх межі та характер розподілу із використанням ліній рівня та визначити місця найбільшої концентрації напружень і визначити максима- льні значення для різних штампів. © Ю. В. Сачук, О. В. Максимук, 2018 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18 127 Ключові слова: контактна взаємодія, пружно-пластичні зони, штампи канонічної форми, теорія максимальних дотич- них напружень, пружна півплощина, інваріанти тензора на- пружень, лінії рівня, аналітико-числові методи, комп’ютерне моделювання, ЗD-зображення, лінії рівня. Вступ. На сучасному етапі розвитку приладобудування та про- мисловості одним із найважливіших аспектів виробництва є забезпе- чення довговічності роботи основних конструкцій та елементів ма- шин в процесі експлуатації. Одним із способів збільшення ресурсу роботи деталей та механізмів є використання нових конструкційних матеріалів та їх сплавів в залежності від їх фізико-механічних харак- теристик [11]. Досліджуючи та враховуючи пружно-пластичні дефо- рмації, можна знизити концентрацію напружень в конструкціях, під- вищити спротив тіл до ударних навантажень, визначити запас міцно- сті, жорсткості та стійкості і тим самим забезпечити раціональне фу- нкціонування та надійність конструкцій [4, 6]. Одним із перспективних напрямків таких досліджень є комп’ю- терне моделювання із використанням апарату контактної механіки, зок- рема взаємодії жорстких штампів з пружною півплощиною. Для реаліза- ції таких моделей необхідно застосовувати та розвивати аналітико- числові методи розв’язування контактних задач [5, 12], будувати числові схеми для визначення контактного тиску на всьому діапазоні вхідних параметрів. Недостатньо дослідженими в інженерній практиці є умови появи пружно-пластичних зон для фрикційних пар при конкретних ма- теріалах із використанням універсальних методів фізико-математичного моделювання та їх чисельної реалізації із побудовою ілюстраційних 3D- графіків та ліній рівня у відповідних зонах. Напружено-деформований стан в півплощині. Розрахунок компонент напружено-деформованого стану в півплощині визнача- ється за формулами [3]: 2 2 2 2 2 ( )( )( , ) (( ) ) a xx a y p s x s dsx y x s y         , 3 2 2 2 2 ( )( , ) (( ) ) a yy a y p s dsx y x s y        , (1) 2 2 2 2 2 ( )( )( , ) (( ) ) a xy a y p s x s dsx y x s y         . Для подальших числових розрахунків та побудови графіків введемо наступне позначення * ij ijG E   . У формулах (1) ( )p s — контактний Математичне та комп’ютерне моделювання 128 тиск, 2a — область контакту. Варто зазначити, що для штампів цилінд- ричної, еліптичної та гіперболічної форм знайдено аналітичний роз- в’язок контактного тиску у роботах [5, 12], який виражається через повні еліптичні інтеграли третього роду [10]. Важливим фактором при засто- суванні чисельної методики обчислення еліптичних інтегралів є можли- вість обчислення їх значень при визначенні напружень в середині облас- ті (у півплощині) у заданих точках розбиття [10]. Особливістю таких обчислень є те, що для побудови 3D-зображення та ліній рівня потрібно якісно задати крок розбиття для сітки [13]. Побудову 3D-зображення кожної із компонент напружень (1) було здійснено за допомогою наближеного обчислення інтегралу ме- тодом середніх прямокутників у кожній точці розбиття, в якій знахо- дилося значення еліптичного інтегралу третього роду, будувався ряд інтегральних сум і числове значення інтегралу [10]. Проблемою в таких розрахунках є час отримання зображень, тому що у разі задан- ня великої точності обчислень число операції сумування та добутку зростає в багато разів. Для оптимізації обчислювального процесу бу- ло враховано, що контактний тиск разом із підінтегральною функці- єю в компонентах напружень є парною функцією, та здійснено відо- браження точок зображення симетрично щодо осі ординат [8]. Для аналізу напружено-деформованого стану в півплощині та графічного відображення пластичних зон в ній засобами системи Matlab на основі 3D-графіків було побудовано ізолінії рівня із точніс- тю результатів до 10-5. Можливість побудови таких зображень забез- печує функція contour(x, y, z) та surf(x, y, z), де вхідні параметри — це масиви даних, отриманих на попередніх кроках [13]. В якості прикладу розрахунку наведено компоненти напружень для штампа гіперболічної форми при значній області контакту та ве- ликій кривизні штампа[12], що є справедливим для новий конструк- ційних матеріалів із покращеними механічними властивостями [1, 7] Рис. 1. Графік безрозмірного напруження Gxx для штампа гіперболічної форми при / 0.35a R  та 0.1  Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18 129 Рис. 2. Графік безрозмірного напруження Gyy для штампа гіперболічної форми при / 0.35a R  та 0.1  Рис. 3. Графік безрозмірного напруження Gxy для штампа гіперболічної форми при / 0.35a R  та 0.1  Для зручності обчислень згідно [5, 12] приймемо, що: для штам- па еліптичної форми ,a b — велика та мала півосі еліпса, для штампа гіперболічної форми ,a b — величини дійсної та уявної півосей гіпе- рболи та покладемо, що , (1 )a R b R    у штампах еліптичної та гіперболічної форми. Умови переходу від пружної до пружно-пластичної деформа- ції в тілі. Згідно з роботою [1] приймаємо, що перехід з пружного стану в пластичний відбувається, якщо максимальне дотичне напру- ження досягає деякого граничного значення для даного матеріалу: max 1 2 2 T xx yy       . (2) Варто зауважити, що для більшості пластичних матеріалів гра- ниці при розтязі та стисненні однакові, тому за цією теорією міцності можливо із високою ймовірністю передбачати початок процесу теку- чості матеріалу [1, 6]. Математичне та комп’ютерне моделювання 130 Якщо прийняти, що матеріал після переходу в пластичний стан описується рівняннями ідеальної пластичності з константою межі теку- чості k, то значення max k  визначає початок межі зони текучості, а лінії рівня дозволяють встановити їх величину і місце знаходження. Приймаємо [1, 3] max max * 2 T E E      , де 22 11 1 p pE E E     — приведений модуль пружності. Дані таблиці 1 механічних властивостей матеріалів взяті з [1, 6, 7] Таблиця 1 Механічні властивості матеріалів Матеріал Модуль пружності E, МПа Коефіцієнт Пуассона, v Межа текучості, T , МПа Титановий сплав (Ti-6Al-6V-2Sn) (штамп) 1.15 ‧ 105 0.32 1220 Титановий сплав (Ti-6Al-4V) (основа) 1.12 ‧ 105 0.32 930 Числові результати та аналіз особливостей пружно- пластичних зон. Процес побудови ізоліній рівня із областями пруж- но-пластичних деформацій умовно можна поділити на 2 етапи: пер- ший етап — власне побудови ізоліній із використанням вищеописа- них функцій, а другий — це автоматичне нанесення на лінії рівня межі пружно-пластичної деформації на основі константи текучості k. Рис. 4. Графік розподіл безрозмірного напруження max для штампа циліндричної форми при / 0.15a R  Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18 131 Рис. 5. Лінії рівня для розподілу безрозмірного напруження max для штампа циліндричної форми при / 0.15a R  На рис. 5 показано лінії рівня maxmax  із зоною пружно- пластичної деформації для відповідного 3D-графіка рис. 4 для 0,00735k  для матеріалів описаних в таблиці 1. Варто відмітити, що для всіх штампів канонічної форми при малих областях контакту розподіли компонент напружень і max практично співпадають. На наступних графіках наведено області зон пружно-пластичної деформації для пар описаних вище для різних штампів, при різній кривизні штампів. Рис. 6. Лінії рівня для розподілу безрозмірного напруження max для штампа циліндричної форми при / 0.2a R  , 0.2  Математичне та комп’ютерне моделювання 132 Рис. 7. Лінії рівня для розподілу безрозмірного напруження max для штампа гіперболічної форми при / 0.2a R  , 0.2   Рис. 8. Лінії рівня для розподілу безрозмірного напруження max для штампа циліндричної форми при / 0.2a R  Аналізуючи отримані числові результати та графіки рис. 6, рис. 7, рис. 8 встановлено, що для всіх форм штампів зберігається тенденція збільшення відстані від поверхні до точки максимуму max залежно від величини навантаження контактної пари. Також встанов- лено, що на величину області пружно-пластичної деформації значно впливає кривизна штампів та область контакту, опосередковано це доводять також рис. 6, рис. 7, рис. 8 Висновок. В статті досліджено напружено-деформований стан в середині півплощини для штампів гіперболічної, циліндричної, еліптич- Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 18 133 ної, параболічної форми для плоскої контактної задачі. Досліджено умо- ви появи пружно-пластичних зон у півплощині для нових конструкцій- них матеріалів при різній кривизні штампів та різних областях контакту. Отримані результати можна використати при побудові експерименталь- но-числової методики для визначення умов появи пластичних зон у тілі для матеріалів з різними механічними властивостями. Розвинута мето- дика дозволяє визначити величину областей текучості, їх межі та харак- тер розподілу із використанням ліній рівня та визначити місця найбіль- шої концентрації напружень для різних канонічних штампів. Список використаних джерел: 1. Горшков А. Г. Теория упругости и пластичности: учебник для вузов / А. Г. Горшков, Э. И. Старовойтов, Д. В. Тарлаковский. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 416 с. 2. Григоренко Г. М. Структура и свойства проплавленного металла двух- фазного титанового сплава с дисперсионным упрочнением при АДС / Г. М. Григоренко, С. В. Ахонин, О. М. Задорожнюк, И. Н. Клочков // Ав- томатическая сварка. — 2016. — № 11. — С. 11–19. 3. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия / К. Джонсон. — Москва : Мир, 1989. — 510 с. 4. Подскребко М. Д. Сопротивлени материалов. Основи теории упругости, пластичности, ползучести и механики разрушения : учеб. пособие. — Минск : Вышэйшая школа, 2009. — 669 с. 5. Сачук Ю. В. Еліптичні інтеграли третього роду в задачах контактної вза- ємодії / Ю. В. Сачук, О. В. Максимук // Фізико-математичне моделюван- ня та інформаційні технології. — 2014. — № 20. — С. 180–187. 6. Старовойтов Э. И. Сопротивление материалов / Э. И. Старовойтов. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2008. — 384 с. 7. Фещенко В. Н. Справочник конструктора. Книга 1. Машины и механиз- мы / В. Н. Фещенко. — Москва : Инфра-Инженерия, 2016. — 400 с. 8. Шарый С. П. Курс вычислительных методов / С. П. Шарый. — Новоси- бирск : Институт вычислительных технологий СО РАН, 2014. — 501 с. 9. Frank W. J. NIST Handbook of Mathematical Functions / W. J. Frank. — Cambridge : Cambridge University Press, 2010. — 951 p. 10. Nelson H. F. Beebe the mathematical-function Computation / H. F. Nelson. — Salt Lake City : Springer International Publishing, 2017. — 1115 p. 11. Pawlus P. Experimental Investigation of a Hemisphere Contact with a Hard Flat / P. Pawlus, W. Zelasko, A. Dzierwa, S. Prucnal, M. Wieczorowski // Technical Gazette. — 2018. — Vol. 25, №1. — P. 40–46. 12. Sachuk Yu. V. Analysis of the stress-strain state of a body under the action of rigid punches of different shapes / Yu. V. Sachuk, O. V. Maksymuk // Journal of Mathematical Sciences. — 2017. — Vol. 220, №2. — P. 204–212. 13. Siauw T. An Introduction to MATLAB Programming and Numerical Methods for Engineers / T. Siauw, A. Bayen. — New York : Academic Press, 2014. — 311 p. Математичне та комп’ютерне моделювання 134 COMPUTER MODELING OF ELASTIC-PLASTIC DEFORMATION IN THE PROBLEMS OF CONTACT INTERACTION OF CANONICAL DIES WITH A HALF-PLANE For a flat contact problem on the interaction of hard dies of a canonical form (cylindrical, hyperbolic, parabolic, elliptic) with a half-plane, the stress-strain state in the body was investigated. To calculate stress compo- nents and optimize computations, a method of grids with mirror reflection of results is used. The software tools for realization of advanced methods of calculation of the stressed state are analyzed and selected. 3D graphs of stresses and their corresponding level lines are constructed to facilitate analysis of the results. The construction of the 3D image of each of the stress components was carried out by means of the approximate computa- tion of the integral by means of medium rectangles at each point of the par- tition, which contained the value of the elliptic integral of the third kind, constructed a series of integral sums and the numerical value of the inte- gral. To determine the zones of elastic-plastic deformation various theories of plasticity have been analyzed and for the purpose of this goal the theory of maximum tangential stresses for the study of the conditions of the ap- pearance of elastic-plastic zones in the body has been chosen for different areas of contact and geometric and physical-mechanical parameters. In the framework of this theory, a search for new structural materials with all necessary physical and mechanical parameters was made. New titanium al- loys with improved mechanical properties have been selected to study the pro- cess of the emergence of regions of elastic-plastic deformation. New mechani- cal effects that arise in the process of interaction for different stamps are estab- lished and the conditions leading up to their appearance are investigated. The obtained results can be used in constructing an experimental numerical tech- nique for determining the conditions for the appearance of plastic zones in the body for materials with different mechanical properties. The developed tech- nique allows to determine the magnitude of the yield regions, their boundaries and the character of the distribution using the level lines and to determine the places of the greatest concentration of stresses and to determine the maximum values for different dies. Key words: contact interaction, elastic-plastic zones, canonical shape stamps, the theory of maximum tensile stresses, elastic half-plane, stress tensor invariants, level lines, analytical-numerical methods, computer modeling, 3D-image, level lines. Отримано: 19.11.2018

Комп'ютерне моделювання пружно-пластичної деформації в задачах контактної взаємодії канонічних штампів з півплощиною

Institution

Ähnliche Einträge