Корректная формулировка физической задачи и плохо обусловленная матрица
Рассмотрен новый подход к разработке методов решения некорректных задач, заключающийся в том, что предлагается корректно формулировать задачу, а не решать некорректную задачу. Корректное формулирование выполняется на этапе составления уравнений, описывающих физический объект. Сформулированы требован...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Математичні машини і системи |
|---|---|
| Datum: | 2019 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2019
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162300 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Корректная формулировка физической задачи и плохо обусловленная матрица / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. — 2019. — № 3. — С. 101–110. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-162300 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Волобоев, В.П. Клименко, В.П. 2020-01-06T11:35:24Z 2020-01-06T11:35:24Z 2019 Корректная формулировка физической задачи и плохо обусловленная матрица / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. — 2019. — № 3. — С. 101–110. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162300 519.61:621.3 Рассмотрен новый подход к разработке методов решения некорректных задач, заключающийся в том, что предлагается корректно формулировать задачу, а не решать некорректную задачу. Корректное формулирование выполняется на этапе составления уравнений, описывающих физический объект. Сформулированы требования к методу корректного формулирования описания линейной электрической цепи. Расчёт модельного примера методом, в котором реализованы сформулированные требования, подтвердил тот факт, что задача корректно сформулирована, а решение устойчивое даже в случае плохо обусловленной матрицы. Розглянуто новий підхід до розробки методів розв’язання некоректних задач, який полягає в тому, що пропонується коректно формулювати завдання, а не вирішувати некоректну задачу. Коректне формулювання виконується на етапі складання рівнянь, які описують фізичний об'єкт. Сформульовано вимоги до методу коректного формулювання опису лінійного електричного кола. Розрахунок модельного прикладу методом, який задовольняє сформульованим вимогам, підтвердив той факт, що завдання коректно сформульовано, а рішення стійке навіть у разі погано обумовленої матриці. A new approach to the development of methods for solving ill-posed problems is considered, consisting in the fact that it is proposed to formulate the problem correctly, and not to solve the incorrect problem. Correct formulation is performed at the stage of compiling equations describing the physical object. The requirements to the method of correctly formulating a description of a linear electric circuit are formulated. The calculation of the model example by the method in which the formulated requirements are realized confirmed the fact that the problem is correctly formulated, and the solution is stable even in the case of a poorly conditioned matrix. ru Інститут проблем математичних машин і систем НАН України Математичні машини і системи Моделювання і управління Корректная формулировка физической задачи и плохо обусловленная матрица Коректне формулювання фізичної задачі та погано обумовлена матриця The correct formulation of the physical problem and the poorly conditioned matrix Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Корректная формулировка физической задачи и плохо обусловленная матрица |
| spellingShingle |
Корректная формулировка физической задачи и плохо обусловленная матрица Волобоев, В.П. Клименко, В.П. Моделювання і управління |
| title_short |
Корректная формулировка физической задачи и плохо обусловленная матрица |
| title_full |
Корректная формулировка физической задачи и плохо обусловленная матрица |
| title_fullStr |
Корректная формулировка физической задачи и плохо обусловленная матрица |
| title_full_unstemmed |
Корректная формулировка физической задачи и плохо обусловленная матрица |
| title_sort |
корректная формулировка физической задачи и плохо обусловленная матрица |
| author |
Волобоев, В.П. Клименко, В.П. |
| author_facet |
Волобоев, В.П. Клименко, В.П. |
| topic |
Моделювання і управління |
| topic_facet |
Моделювання і управління |
| publishDate |
2019 |
| language |
Russian |
| container_title |
Математичні машини і системи |
| publisher |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Коректне формулювання фізичної задачі та погано обумовлена матриця The correct formulation of the physical problem and the poorly conditioned matrix |
| description |
Рассмотрен новый подход к разработке методов решения некорректных задач, заключающийся в том, что предлагается корректно формулировать задачу, а не решать некорректную задачу. Корректное формулирование выполняется на этапе составления уравнений, описывающих физический объект. Сформулированы требования к методу корректного формулирования описания линейной электрической цепи. Расчёт модельного примера методом, в котором реализованы сформулированные требования, подтвердил тот факт, что задача корректно сформулирована, а решение устойчивое даже в случае плохо обусловленной матрицы.
Розглянуто новий підхід до розробки методів розв’язання некоректних задач, який полягає в тому, що пропонується коректно формулювати завдання, а не вирішувати некоректну задачу. Коректне формулювання виконується на етапі складання рівнянь, які описують фізичний об'єкт. Сформульовано вимоги до методу коректного формулювання опису лінійного електричного кола. Розрахунок модельного прикладу методом, який задовольняє сформульованим вимогам, підтвердив той факт, що завдання коректно сформульовано, а рішення стійке навіть у разі погано обумовленої матриці.
A new approach to the development of methods for solving ill-posed problems is considered, consisting in the fact that it is proposed to formulate the problem correctly, and not to solve the incorrect problem. Correct formulation is performed at the stage of compiling equations describing the physical
object. The requirements to the method of correctly formulating a description of a linear electric circuit are formulated. The calculation of the model example by the method in which the formulated requirements are realized confirmed the fact that the problem is correctly formulated, and the solution is stable even in the case of a poorly conditioned matrix.
|
| issn |
1028-9763 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162300 |
| citation_txt |
Корректная формулировка физической задачи и плохо обусловленная матрица / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. — 2019. — № 3. — С. 101–110. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT voloboevvp korrektnaâformulirovkafizičeskoizadačiiplohoobuslovlennaâmatrica AT klimenkovp korrektnaâformulirovkafizičeskoizadačiiplohoobuslovlennaâmatrica AT voloboevvp korektneformulûvannâfízičnoízadačítapoganoobumovlenamatricâ AT klimenkovp korektneformulûvannâfízičnoízadačítapoganoobumovlenamatricâ AT voloboevvp thecorrectformulationofthephysicalproblemandthepoorlyconditionedmatrix AT klimenkovp thecorrectformulationofthephysicalproblemandthepoorlyconditionedmatrix |
| first_indexed |
2025-11-26T23:51:07Z |
| last_indexed |
2025-11-26T23:51:07Z |
| _version_ |
1850783919872409600 |
| fulltext |
https://orcid.org/0000-0001-5183-9090
https://orcid.org/0000-0001-6951-4091
© Клименко В.П., Волобоев В.П., 2019 101
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2019, № 3
УДК 519.61:621.3
В.П. ВОЛОБОЕВ
*
, В.П. КЛИМЕНКО
*
КОРРЕКТНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ФИЗИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ И ПЛОХО
ОБУСЛОВЛЕННАЯ МАТРИЦА
*
Институт проблем математических машин и систем НАН Украины, г. Киев, Украина
Анотація. Розглянуто новий підхід до розробки методів розв'язання некоректних задач, який по-
лягає в тому, що пропонується коректно формулювати завдання, а не вирішувати некоректну за-
дачу. Коректне формулювання виконується на етапі складання рівнянь, які описують фізичний
об'єкт. Слід зазначити, що етап складання рівнянь у сучасній літературі незаслужено обійдено
увагою. На прикладі розрахунку електричного кола показано, що погана обумовленість матриці
СЛАР залежить від особливостей конкретного електричного кола, а саме, діапазону зміни вели-
чин параметрів компонент електричного кола, а також, що загальноприйнятий критерій визна-
чення некоректності завдання по поганій обумовленості матриці або близькості матриці до ви-
родження є необхідний, але недостатній. Визначено, що механізм виникнення некоректного фор-
мулювання опису лінійного електричного кола полягає в невдалому виборі змінних при складанні
опису електричного кола. При коректному формулюванні запропоновано завдання враховувати
параметри компонент конкретного електричного кола при виборі змінних СЛАР на етапі скла-
дання рівнянь. Показано, що в методі вузлових потенціалів і його модифікаціях неможливо ре-
алізувати цілеспрямований вибір змінних при складанні рівнянь. Сформульовано вимоги до методу
коректного формулювання опису лінійного електричного кола. Розрахунок модельного прикладу
методом, який задовольняє сформульованим вимогам, підтвердив той факт, що завдання корект-
но сформульовано, а рішення стійке навіть у разі погано обумовленої матриці.
Ключові слова: некоректне завдання, погана обумовленість, система лінійних алгебраїчних рів-
нянь, метод вузлових потенціалів, електричне коло, коректне формулювання завдання, цілеспрямо-
ваний вибір змінних.
Аннотация. Рассмотрен новый подход к разработке методов решения некорректных задач, за-
ключающийся в том, что предлагается корректно формулировать задачу, а не решать некор-
ректную задачу. Корректное формулирование выполняется на этапе составления уравнений, опи-
сывающих физический объект. Следует отметить, что этап составления уравнений в современ-
ной литературе незаслуженно обойден вниманием. На примере расчета электрической цепи по-
казано, что плохая обусловленность матрицы СЛАУ зависит от особенностей конкретной элек-
трической цепи, а именно, диапазона изменения величин параметров компонент электрической
цепи, а также, что общепринятый критерий определения некорректности задачи по плохой обу-
словленности матрицы или близости матрицы к вырождению необходимый, но недостаточный.
Определено, что механизм возникновения некорректной формулировки описания линейной элек-
трической цепи заключается в неудачном выборе переменных при составлении описания электри-
ческой цепи. При корректной формулировке задачи предложено учитывать параметры компо-
нент конкретной электрической цепи при выборе переменных СЛАУ на этапе составления урав-
нений. Показано, что в методе узловых потенциалов и его модификациях невозможно реализовать
целенаправленный выбор переменных при составлении уравнений. Сформулированы требования к
методу корректного формулирования описания линейной электрической цепи. Расчѐт модельного
примера методом, в котором реализованы сформулированные требования, подтвердил тот
факт, что задача корректно сформулирована, а решение устойчивое даже в случае плохо обу-
словленной матрицы.
Ключевые слова: некорректная задача, плохая обусловленность, система линейных алгебраиче-
ских уравнений, метод узловых потенциалов, электрическая цепь, корректная формулировка за-
дачи, целенаправленный выбор переменных.
Abstract. A new approach to the development of methods for solving ill-posed problems is considered,
consisting in the fact that it is proposed to formulate the problem correctly, and not to solve the incorrect
problem. Correct formulation is performed at the stage of compiling equations describing the physical
102 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2019, № 3
object. It should be noted that the stage of compiling equations in modern literature is undeservedly ig-
nored. By the example of calculating the electrical circuit, it is shown that the poor conditioning of the
SLAE matrix depends on the characteristics of a particular electrical circuit, namely, the range of varia-
tion of the parameters of the components of the electrical circuit, as well as the generally accepted criteri-
on for determining the incorrectness of a problem by poor conditioning of the matrix or proximity of the
matrix to degeneracy there is a necessary, but not enough. It is determined that the mechanism for the oc-
currence of an incorrect formulation of a description of a linear electric circuit consists in the unsuccess-
ful choice of variables when compiling a description of an electric circuit. It is proposed, with the correct
formulation of the problem, to take into account the parameters of the components of a particular electric
circuit when choosing variables of SLAEs at the stage of preparing the equations. It is shown that in the
method of nodal potentials and its modifications it is impossible to realize a purposeful choice of variables
in the preparation of equations. The requirements to the method of correctly formulating a description of
a linear electric circuit are formulated. The calculation of the model example by the method in which the
formulated requirements are realized confirmed the fact that the problem is correctly formulated, and the
solution is stable even in the case of a poorly conditioned matrix.
Keywords: ill-posed problem, poor conditionality, system of linear algebraic equations, nodal potential
method, electric circuit, correct formulation of the problem, purposeful choice of variables.
DOI: 10.34121/1028-9763-2019-3-101-110
1. Введение
Применение моделирования становится неотъемлемой частью интеллектуальной деятель-
ности человечества. Основным критерием оценки результатов моделирования становится
достоверность результатов моделирования. Это требует новых подходов к разработке ме-
тодов и алгоритмов описания сложных объектов и решения составленных описаний.
Известно классическое утверждение Ж. Адамара: «Аналитическая задача всегда
корректно поставлена в смысле существования и единственности решения, непрерывной
зависимости от данных задачи, когда есть механическое или физическое истолкование во-
проса» [1, с. 38]. Приведенное выше утверждение или постулат Адамара [2, с. 113], по су-
ществу, подразумевает возможность «хорошей» (корректной) постановки любой физиче-
ски содержательной задачи. Итак, Адамар и целый ряд других выдающихся ученых пола-
гали, что любая физически интерпретируемая задача может быть корректно поставлена,
но, как следует из современной научной литературы, преобладает совершенно противопо-
ложная точка зрения, а именно, оказалось, что большая часть практически важных задач
некорректны.
2. Постановка задачи
Цель настоящего исследования состоит в обосновании и конструктивном воплощении
утверждения Ж. Адамара о существовании корректных постановок задач, адекватно опи-
сывающих реальные процессы и явления. Прежде чем рассматривать вопросы, связанные с
корректной постановкой задачи, приведем определение корректной задачи, сформулиро-
ванное в математическом виде.
«Корректные и некорректные задачи, классы математических задач, которые разли-
чаются степенью определѐнности их решений. Многие математические задачи состоят в
том, что по исходным данным u ищется решение z . При этом считается, что u и z связа-
ны функциональной зависимостью ( )z R u . Задача называется корректной задачей (или
корректно поставленной), если выполнены следующие условия (условия корректности):
1) задача имеет решение при любых допустимых исходных данных (существование
решения);
2) каждым исходным данным u соответствует только одно решение (однозначность
решения задачи);
3) решение устойчиво.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2019, № 3 103
Задачи, не удовлетворяющие хотя бы одному условию корректности, называются
некорректными задачами (или некорректно поставленными)» [3].
При моделировании реальных физических объектов перечисленные условия кор-
ректности можно сформулировать следующим образом:
1) если модель физического (технического) объекта корректна, то решение суще-
ствует;
2) если описание модели физического (технического) объекта корректно, то реше-
ние однозначно;
3) если решение описания модели физического объекта устойчиво, то достовер-
ность результатов решения гарантирована.
В дальнейшем будут рассмотрены вопросы, связанные с корректным описанием
модели линейной физической или технической задачи, представленной системой линей-
ных алгебраических уравнений (СЛАУ).
В эпоху компьютерных технологий вместо многообразия методов описания физи-
ческой (технической) задачи используется только один, а на этапе решения математиче-
ского описания системы выбираются методы, решающие проблемные системы уравнений.
В данном случае достоверность результатов зависит только от применяемых методов ре-
шения и вычислительных средств и не зависит от научного интеллекта пользователя и его
понимания решаемой задачи. Как следует из обзора научной литературы, этапы составле-
ния математического описания системы и решения рассматриваются как независимые и
несвязанные между собой. Это подтверждает само определение корректной задачи.
Системный подход будет применѐн к исследованию механизма возникновения не-
корректной формулировки физической (технической) задачи. Исследование механизма бу-
дет проведено как на этапе составления уравнений физического объекта, так и на этапе их
решения на модельном примере. Предлагаются гарантированные средства корректной
формулировки физической (технической) задачи.
3. Модельный пример
В качестве модельного примера выбран расчет линейной электрической цепи в связи с тем,
что для описания электрических цепей известны различные методы описания. Расчет ли-
нейной электрической цепи в конечном счете сводится к составлению уравнений, описы-
вающих цепь, и их решению. Поскольку все вычисления проводятся с конечным числом
значащих цифр, то точность решения значительно теряется из-за ошибок округления. Как
результат – неустойчивое решение. В настоящее время важнейшим «индикатором» для
определения устойчивости решения является обусловленность матрицы СЛАУ. Обуслов-
ленность оценивает близость матрицы СЛАУ к вырождению и тем самым устойчивости
решения, а число обусловленности является качественной оценкой обусловленности. Из-
вестно несколько различных определений обусловленности [7]. Наиболее часто для оценки
обусловленности СЛАУ применяется спектральный критерий, который вошел практически
во все учебники и монографии. За число обусловленности принимается величина ӕ, вы-
числяемая по формуле ӕ
min
max , где – собственные значения матрицы СЛАУ. Зада-
чи, когда ӕ 410 , обычно считаются плохо обусловленными. В технической литературе
считается, что в этом случае задача однозначно некорректная. Количественные критерии
обусловленности в литературе отсутствуют.
Механизм возникновения некорректной формулировки будет определѐн в результа-
те исследования зависимости устойчивости решения, в случае плохо обусловленной мат-
рицы СЛАУ, при выполнении вычисления от конечного числа значащих цифр. Для этого
выбранная электрическая цепь должна удовлетворять следующим требованиям. Узловые
104 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2019, № 3
потенциалы, отсчитываемые от базового узла, совпадают с напряжениями на соответству-
ющих компонентах. Диапазон изменения проводимостей компонент должен быть не менее
15 порядков, Считается, что он определяет обусловленность матрицы СЛАУ. На рис. 1
приведен граф электрической цепи вместе с компонентами в него входящими.
.
15
3 10G
3
G1=1
1 2 4
G2=1 G4=1
G5=1
G6=1E1=1
0
2U 3U 4U
1U
Рисунок 1 – Граф электрической цепи
Следующие обозначения приведены на рисунке: 4321 ,,, UUUU
– узловые потенциа-
лы электрической цепи отсчитываются от базового узла 0, 1E – источник напряжения
(внешнее воздействие). Связь между токами и напряжениями компонент описывается
уравнением
,UGI (1)
где U – вектор напряжений компонент, I – вектор токов компонент, G – вектор прово-
димостей компонент. Узловые потенциалы совпадают с напряжениями
6421
,,, GGGE UUUU
компонент 6421 ,,, GGGE . Эти компоненты есть ветви дерева графа электрической цепи и
выделены на рисунке жирной линией.
Этап составления электрической цепи анализируется ниже.
3.1. Составление уравнений электрической цепи
В системах схемотехнического моделирования для составления уравнений, описывающих
электрическую цепь, в основном применяется метод узловых потенциалов. В качестве пе-
ременных составленных уравнений выступают узловые потенциалы, отсчитываемые от
базового узла 0. Простой алгоритм формализованного составления уравнений цепи и слабо
заполненная матрица линейных уравнений, описывающих цепь, являются существенным
преимуществом перед другими методами описания. Следует заметить, что уравнения ма-
тематической физики [2] представляют собой системы уравнений, в которых переменные
отсчитываются от базовой точки. Более того, если провести анализ методов описания объ-
ектов в физике, то окажется, что практически все они используют переменные, отсчитыва-
емые от базовой точки. Это означает, что дискретным аналогам уравнений, описывающих
объекты физики, могут быть присущи те же проблемы, что и системе уравнений, состав-
ленной методом узловых потенциалов.
В связи с тем, что имеется обширный список литературы по различным аспектам
применения метода узловых потенциалов [4], приводится только система уравнений, опи-
сывающая электрическую цепь (рис. 1).
112
3
4
3213
35435
565
0
0
0
0
EGU
U
U
GGGG
GGGGG
GGG
. (2)
Элементы матрицы СЛАУ (2) приведены в общем виде. Это показывает их связь с
параметрами компонент электрической цепи. Как следует из (2), есть два варианта вхож-
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2019, № 3 105
дения параметров компонент электрической цепи в элементы матрицы. В первом варианте
параметры компонент 63, GG входят как в диагональные, так и в не диагональные элемен-
ты матрицы. Сами компоненты входят в граф электрической цепи как хорды. Во втором
варианте параметры компонент 2 4 6, ,G G G электрической цепи входят только в диаго-
нальные элементы матрицы. Сами компоненты входят в граф как ветви дерева. Напряже-
ния компонент есть переменные СЛАУ. Из этого следует, что при измерении параметров
компонент электрической цепи с некоторой погрешностью рассчитывается электрическая
цепь с измеренными параметрами, что не влияет на устойчивость решения. Вычисление с
конечным числом значащих цифр элементов матрицы по параметрам компонент выполня-
ется с некоторой погрешностью. Это может привести к потере точности решения или
несовместимости СЛАУ. Соответствующий пример приведен в [5]. Из вышеперечисленно-
го следует, что:
– если корректна модель реального объекта и корректно составлено описание ли-
нейной модели, то сохраняются существование и единственность решения даже в случае
измерения параметров компонент с погрешностью;
– единственным фактором, влияющим на точность и устойчивость решения СЛАУ,
есть погрешность округления результата, возникающая при выполнении арифметических
операций вычисления элементов матрицы.
Вопросы, связанные с устойчивостью решения системы уравнений, описывающих
электрическую цепь, рассматриваются ниже.
3.2. Исследования механизма возникновения некорректной формулировки СЛАУ,
описывающих электрическую цепь
Механизм возникновения некорректной формулировки СЛАУ будет определѐн в результа-
те анализа вычислительного процесса решения СЛАУ (1). Основное внимание обращается
на определение факторов, влияющих на точность решения составленных уравнений, то
есть на устойчивость решения. Ход решения будет рассматриваться в общем виде на при-
мере определения узлового потенциала 2U . Для этого достаточно выполнить прямой ход
метода Гаусса решения СЛАУ. После соответствующих преобразований система уравне-
ний (1) принимает вид
3
65
5
4 U
GG
G
U , (3)
,
)(
)(
2
65
2
5
543
3
3 U
GG
G
GGG
G
U (4)
1 1
2 2
3
3 4 5 2
5
3 4 5
5 6
.
( )
( )
( )
G E
U
G
G G G
G
G G G
G G
(5)
Прежде всего, введем понятие критической компоненты. Компонента считается
критической, если параметр компоненты «значительно» больше параметров остальных
компонент. Ниже будет рассмотрено, как влияет параметр критической компоненты на ре-
зультаты, если вычисления выполняются с конечным числом значащих цифр. Вычисление
переменной 2U по формуле (5) рассматривается в двух вариантах. В первом варианте кри-
тическая компонента входит как в диагональные элементы матрицы, так и в недиагональ-
106 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2019, № 3
ные, и есть ветвь хорд графа электрической цепи. Кроме того, напряжение критической
компоненты не является переменной СЛАУ. Этому требованию удовлетворяет критиче-
ская компонента 15
103G . В данном случае матрица СЛАУ (2) имеет собственные числа
15 15 15 15
1 2 31,0, 10 10 , 10 10j j . Это означает, что система плохо обусловленная (то
есть близка к вырождению), так как ӕ 1510 .
Анализ хода вычислительного процесса показывает, что достоверность вычисления
переменной 2U
зависит от конечного числа значащих цифр при выполнении арифметиче-
ских операций, вычислении функциональной зависимости (5). Так, если вычисление функ-
циональной зависимости (5) выполняется с числом значащих цифр меньше 15, то резуль-
тат имеет следующий вид:
15 152
1 1
10 10 0
U . Это означает неустойчивость решения
уравнений (2). При выполнении тех же вычислений с точностью больше, чем 15 значащих
цифр, получаем другой результат, а именно 2
2 7
U , то есть устойчивое решение. Приве-
денный результат подтверждает известный из литературы факт. В случае плохо обуслов-
ленной матрицы корректность задачи зависит от числа значащих цифр при выполнении
арифметических операций, что и продемонстрировано на приведенном примере.
Во втором варианте рассматривается случай, когда критическая компонента входит
только в диагональный элемент матрицы и есть ветвь дерева графа электрической цепи, а
напряжение компоненты есть переменная СЛАУ. Этим требованиям удовлетворяет кри-
тическая компонента 2
1510G . При этом параметр 3G
выбирается равным 3 1G . Нетруд-
но убедиться, что в результате вычисления переменной 2U по функциональной зависимо-
сти (5) получаем устойчивое значение
15
2 10U несмотря на большой диапазон изменения
величин проводимостей (15 порядков). Нет жестких требований к числу значащих цифр
при выполнении арифметических операций как при составлении уравнений, так и при их
решении. Для получения достоверного результата достаточно выполнить вычислительный
процесс составления и решения СЛАУ с числом значащих цифр не менее двух. Это суще-
ственным образом отличается от не менее 15 значащих цифр 15 в первом варианте. Таким
образом, несмотря на то, что матрица близка к вырождению и есть плохо обусловленная,
СЛАУ (1) имеет устойчивое решение, то есть описание электрической цепи корректно со-
ставлено.
Следующие выводы вытекают из рассмотренного анализа:
• Плохая обусловленность матрицы СЛАУ зависит от диапазона изменения величин
параметров компонент электрической цепи.
• Общепринятый критерий определения некорректности задачи по плохой обуслов-
ленности матрицы или близости матрицы к вырождению есть необходимый, но недоста-
точный. На модельном примере показано, что плохая обусловленность матрицы или бли-
зость матрицы к вырождению не есть признак неустойчивого решения (некорректности
задачи).
Следующие требования к методу корректного формулирования описания электри-
ческой цепи вытекают из рассмотренного материала:
• Корректность описания электрической цепи (устойчивость решения СЛАУ) зави-
сит от выбора переменных СЛАУ при составлении описания электрической цепи.
• Метод узловых потенциалов и его модификации не допускают реализацию целе-
направленного выбора переменных.
• Метод, реализующий целенаправленный выбор переменных, должен использовать
напряжения или токи компонент в качестве переменных СЛАУ.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2019, № 3 107
• При целенаправленном выборе переменных при описании электрической цепи
предлагается учитывать значения параметров компонент электрической цепи.
4. Метод корректной формулировки СЛАУ, описывающий линейную электрическую
цепь
Метод составления уравнений электрической цепи, удовлетворяющий сформулированным
требованиям, предложен в [9]. Расширение области применимости метода рассмотрено в
[10, 11], а модификации метода относительно задач моделирования поведения энергоси-
стем, стержневих систем механики и эллиптических уравнений математической физики
рассмотрены в [11–13]. Ниже будут приведены только основные положения метода кор-
ректной формулировки описания линейной электрической цепи, необходимые для реше-
ния модельного примера, подтверждающего приведенные выше выводы.
Суть метода заключается в следующем. Построение математической модели элек-
трической цепи базируется на основной системе уравнений электрической цепи, куда вхо-
дят уравнения, составленные на основе законов Кирхгофа, и компонентные уравнения.
Для описания графа электрической цепи и, соответственно, уравнений на основе законов
Кирхгофа применяются топологические матрицы контуров и сечений. Переменные со-
ставляемой системы уравнений выбираются из напряжений и/или токов компонентов в ре-
зультате анализа основной системы уравнений. При этом учитываются параметры компо-
нентных уравнений и особенности топологических матриц, присущие конкретной цепи
или классу цепей. В конечном счете из основной системы уравнений выделяется система
уравнений, соответствующая выбранным переменным, и система уравнений связи, с по-
мощью которых вычисляются все напряжения и токи компонент. Преобразованная таким
образом основная система уравнений рассматривается как математическая модель элек-
трической цепи. Рассмотрим этапы составления этой модели.
Вначале составляется эквивалентная схема замещения электрической цепи, опреде-
ляются компонентные уравнения и граф цепи (рис. 1). Для модельного примера компо-
нентные уравнения имеют вид (1). Составление топологических матриц контуров и сече-
ний включает выбор дерева графа цепи и составление контуров для выбранного дерева.
Дерево графа электрической цепи выбирается таким образом, чтобы все источники напря-
жения включались в дерево, а все источники тока в хорды. Контуры образуются присоеди-
нением хорд к дереву графа схемы. В этом случае топологическая матрица контуров имеет
вид tF 1 , где 1 – единичная подматрица хорд, t – обозначает транспонирование матрицы,
а топологическая матрица сечений вид F1 , где 1 – единичная подматрица ветвей.
Проводимости, напряжения и токи компонентов цепи группируются в элементы,
содержащие компоненты, которые входят в дерево (индекс д), то есть ветви и содержащие
компоненты, не входящие в дерево, (индекс х) – хорды. Таким образом,
Д Д Д
Х Х Х
U I
, ,
U I
G
G U I
G
. (6)
Уравнения электрической цепи, составленные на основе законов Кирхгофа, в мат-
ричном виде можно записать следующим образом:
,FХ Д
tUU (7)
ХД FII . (8)
В [9] рассмотрены разные варианты выбора типа независимых переменных СЛАУ.
В нашем случае ограничимся выбором напряжения ветвей дерева в качестве переменных.
108 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2019, № 3
Тогда из компонентных уравнений (1) и уравнений (6)–(8) выделяется следующая система
уравнений, описывающая электрическую цепь:
t
Д Х ДG F( ( F )) 0.ДU G U (9)
Как следует из требований, предъявляемых к методу составления уравнений цепи,
сформулированных в предыдущем параграфе, учѐт особенностей конкретной электриче-
ской цепи учитывается следующим образом: в дерево обязательно включаются компонен-
ты, имеющие максимальную проводимость, то есть в контуре, образованном присоедине-
нием хорды к дереву, компонента дерева должна иметь проводимость по величине больше,
чем проводимость хорды. Учитывая сказанное, в случае модельного примера, в дерево
графа цепи были выбраны компоненты 1 2 3 6, , ,E G G G . На рис. 1 выбранные ветви дерева
помечены штриховыми линиями. В этом случае векторы напряжений и токов компонент
имеют вид
5
4
1
6
3
2
1
5
4
1
6
3
2
ХДХ
1
Д ,,U,U
G
G
G
G
G
G
E
G
G
G
G
G
G
I
I
I
I
I
I
I
I
I
U
U
U
U
U
U
E
, (10)
а топологические матрицы F
t
и F
100
110
111
001
= F,
1
0
0
110
110
01 1-
= Ft . (11)
Учитывая (10), (11), после соответствующих преобразований система уравнений (9)
имеет следующий вид:
11
2
3
6
5421545
545435
5565
0
0
)(
)(
EGU
U
U
GGGGGGG
GGGGGG
GGGG
G
G
G
. (12)
Собственные числа матрицы 1 21,57864376253, 5,0E 14 5,0E 14j ,
3 5,0E 14 5,0E 14j . Матрица плохо обусловленная (близка к вырождению).
Как и в случае метода узловых потенциалов, для вычисления компонентного
напряжения
2GU применим прямой ход метода Гаусса решения СЛАУ. После соответ-
ствующих преобразований система уравнений (12) примет следующий вид:
,
65
5
65
5
236 GGG
G
GGG
G
G UUU
(13)
,
65
2
5
543
65
2
5
54
23 G
GG
G
GGG
GG
G
GG
G UU (14)
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2019, № 3 109
.
65
2
5
543
2)
)
65
(
2
5)
54
((
)
65
(
2
5)
5421
(
11
2
GG
G
GGG
GG
G
GG
GG
G
GGGG
EG
GU
(15)
Нетрудно убедиться, что, в случае выбора 15
3 10G критической компонентой, вы-
числение
2GU по формуле (15) дает устойчивый результат
7
2
2GU несмотря на большой
диапазон изменения величины проводимостей (15 порядков). Нет жестких требований к
конечной точности представления чисел как при составлении уравнений, так и при реше-
нии составленных уравнений. Для получения достоверного результата достаточно выпол-
нить вычислительный процесс составления и решения СЛАУ с числом значащих цифр не
менее двух. Это означает, что корректная постановка задачи моделирования электрических
цепей, фактически, зависит не от обусловленности СЛАУ или близости матрицы к вырож-
дению, а от целенаправленного выбора независимых переменных на этапе составления
уравнений.
Приведенный результат существенным образом отличается от результата, получен-
ного методом узловых потенциалов в первом варианте. Так, если в плохо обусловленной
матрице, составленной методом узловых потенциалов, параметр критической компоненты
3G расположен как в диагональных, так и в недиагональных элементах, а компонента есть
хорда в графе электрической цепи, то устойчивость решения СЛАУ зависит от числа зна-
чащих цифр. В то время, как в предложенном методе решение СЛАУ с плохо обусловлен-
ной матрицей есть устойчивое.
Устойчивость решения обеспечил выбор переменных на этапе составления уравне-
ний, учитывающий особенности конкретной электрической цепи. Таким образом, предло-
женный метод гарантированно обеспечивает корректное формулирование описания элек-
трической цепи.
5. Заключение
В данной работе предложен новый подход к разработке методов решения некорректных
задач. Предлагается корректно формулировать СЛАУ, которая описывает линейную элек-
трическую цепь, даже если СЛАУ относится к классу плохо обусловленных, а не решать
некорректную задачу. Корректное формулирование выполняется на этапе составления
СЛАУ, который в современной литературе незаслуженно обойден вниманием.
На примере расчета электрической цепи показано, что плохая обусловленность
матрицы СЛАУ зависит от особенностей конкретной электрической цепи, а именно, диа-
пазона изменения величин параметров компонент электрической цепи, а общепринятый
критерий определения некорректной задачи по плохой обусловленности матрицы или бли-
зости матрицы к вырождению есть необходимый, но недостаточный. Его нельзя использо-
вать как признак неустойчивого решения (некорректности задачи).
Определено, что причиной некорректности задачи есть неудачный выбор перемен-
ных при составлении уравнений, описывающих электрическую цепь. Предложено в каче-
стве переменных уравнений, описывающих электрическую цепь, использовать напряжения
или токи компонент.
При составлении уравнений электрической цепи предложено учитывать особенно-
сти конкретной цепи и осуществлять целенаправленный выбор переменных. Расчѐт мо-
110 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2019, № 3
дельного примера методом, в котором реализованы перечисленные выше рекомендации,
подтвердил тот факт, что задача корректно сформулирована, а решение устойчивое даже в
случае плохо обусловленной матрицы.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ
1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического
типа. М.: Наука, 1978. 351 с.
2. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979. 391 с.
3. Корректные и некорректные задачи. URL: https://www.booksite.ru/fulltext/1/001/008/064/938.htm.
4. Сигорский В.П., Петренко А.И. Алгоритмы анализа электронных схем. Киев: Техника, 1970.
396 с.
5. Губарев В.Ф., Мельничук С.В. Алгоритмы гарантированного оценивания состояния линейных
систем при наличии ограниченных помех. URL: http://www.irtc.org.ua/Статья ГубаревМельни-
чук_ОК_10_03_15.дос.
6. Воеводин В.В. Вычислительные основы линенйной алгебры. М.: Наука, 1977. 304 с.
7. Калиткин Н.Н., Юхно Л.Ф., Кузьмина Л.В. Количественный критерий обусловленности систем
линейных алгебраических уравнений. Математическое моделирование. 2011. Т. 23, № 2. С. 3–26.
8. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Изд-во физ-мат
лит., 1963. 734 с.
9. Волобоев В.П. Составление уравнений цепи, содержащей зависимые двухполюсники и многопо-
люсники. Вопросы проектирования математических машин и устройств. Киев: Научный совет по
кибернетике АН УСАН УССР, 1972. С. 3–16.
10. Волобоев В.П. Составление уравнений цепи, содержащей зависимые двухполюсники и много-
полюсники. Вопросы проектирования математических машин и устройств. Киев: Научный совет
по кибернетике АН УСАН УССР, 1972. С. 3–16.
11. Волобоев В.П. К учету сходимости численных методов при составлении уравнений цепи посто-
янного тока. Вопросы проектирования математических машин и устройств. Киев: Научный совет
по кибернетике АН УСАН УССР, 1972. С. 17–26.
12. Волобоев В.П. О расширении класса схем, моделируемых методом напряжений ветвей дерева.
Проектирование технических средств ЭВМ и систем: сб. научн. трудов. Киев: Изд-во ИК АН
УССР, 1982. С. 32–36.
13. Волобоев В.П., Клименко В.П. Об одном подходе к моделированию энергосистем. Математи-
чні машини і системи. 2009. № 4. С. 106–118.
14. Волобоев В.П., Клименко В.П. Механика стержневых систем и теория графов Математичні
машини і системи. 2012. № 2. С. 81–96.
15. Волобоев В.П., Клименко В.П. Метод конечных элементов и теория графов. Математичні ма-
шини і системи. 2013. № 4. С. 114–126.
Стаття надійшла до редакції 07.08.2019
https://www.booksite.ru/fulltext/1/001/008/064/938.htm
http://www.irtc.org.ua/Статья%20ГубаревМельничук_ОК_10_03_15.дос
http://www.irtc.org.ua/Статья%20ГубаревМельничук_ОК_10_03_15.дос
|