Математичне моделювання температурних полів в довільних областях при електронно-променевому зварюванні

У статті вперше побудована математична модель розрахунку полів температури в довільних областях при електронно-променевому зварюванні у вигляді крайової задачі математичної фізики для пароболічного рівняння теплопровідності з граничними умовами Неймана. Тепловий потік у тілі при зварюванні моделював...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2018
Автор:	Бердник, М.Г.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України 2018
Назва видання:	Штучний інтелект
Теми:	Інтелектуальні технології прийняття рішень
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162376
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Математичне моделювання температурних полів в довільних областях при електронно-променевому зварюванні / М.Г. Бердник // Штучний інтелект. — 2018. — № 2 (80). — С. 77-82. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-162376
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1623762025-02-09T12:26:39Z Математичне моделювання температурних полів в довільних областях при електронно-променевому зварюванні Мathematical modeling of temperature fields in cross-border areas at electronic radiation welding Бердник, М.Г. Інтелектуальні технології прийняття рішень У статті вперше побудована математична модель розрахунку полів температури в довільних областях при електронно-променевому зварюванні у вигляді крайової задачі математичної фізики для пароболічного рівняння теплопровідності з граничними умовами Неймана. Тепловий потік у тілі при зварюванні моделювався точковим джерелом тепла, що рухається по контуру тіла з сталою швидкостью за допомогою функції Дірака. Було побудоване нове інтегральне перетворення для двовимірного кінцевого простору, із застосуванням якого, а також методів кінцевих елементів і Гальоркіна, знайдено температурне поле у вигляді збіжного ряду. In the article for the first time a mathematical model for calculating temperature fields in arbitrary domains with electron-beam welding in the form of a boundary value problem of mathematical physics for a steam-wave heat equation with boundary conditions of Neumann is constructed. The heat flux in the body during welding was modeled by the point source of heat moving along the contour of the body with a constant velocity using the Dirac function. A new integral transform for a two-dimensional finite space was constructed, with the application of which, as well as finite element and Galerkin methods, a temperature field was found in the form of a convergent series. 2018 Article Математичне моделювання температурних полів в довільних областях при електронно-променевому зварюванні / М.Г. Бердник // Штучний інтелект. — 2018. — № 2 (80). — С. 77-82. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162376 536.421 uk Штучний інтелект application/pdf Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Інтелектуальні технології прийняття рішень Інтелектуальні технології прийняття рішень
spellingShingle	Інтелектуальні технології прийняття рішень Інтелектуальні технології прийняття рішень Бердник, М.Г. Математичне моделювання температурних полів в довільних областях при електронно-променевому зварюванні Штучний інтелект
description	У статті вперше побудована математична модель розрахунку полів температури в довільних областях при електронно-променевому зварюванні у вигляді крайової задачі математичної фізики для пароболічного рівняння теплопровідності з граничними умовами Неймана. Тепловий потік у тілі при зварюванні моделювався точковим джерелом тепла, що рухається по контуру тіла з сталою швидкостью за допомогою функції Дірака. Було побудоване нове інтегральне перетворення для двовимірного кінцевого простору, із застосуванням якого, а також методів кінцевих елементів і Гальоркіна, знайдено температурне поле у вигляді збіжного ряду.
format	Article
author	Бердник, М.Г.
author_facet	Бердник, М.Г.
author_sort	Бердник, М.Г.
title	Математичне моделювання температурних полів в довільних областях при електронно-променевому зварюванні
title_short	Математичне моделювання температурних полів в довільних областях при електронно-променевому зварюванні
title_full	Математичне моделювання температурних полів в довільних областях при електронно-променевому зварюванні
title_fullStr	Математичне моделювання температурних полів в довільних областях при електронно-променевому зварюванні
title_full_unstemmed	Математичне моделювання температурних полів в довільних областях при електронно-променевому зварюванні
title_sort	математичне моделювання температурних полів в довільних областях при електронно-променевому зварюванні
publisher	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
publishDate	2018
topic_facet	Інтелектуальні технології прийняття рішень
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162376
citation_txt	Математичне моделювання температурних полів в довільних областях при електронно-променевому зварюванні / М.Г. Бердник // Штучний інтелект. — 2018. — № 2 (80). — С. 77-82. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
series	Штучний інтелект
work_keys_str_mv	AT berdnikmg matematičnemodelûvannâtemperaturnihpolívvdovílʹnihoblastâhprielektronnopromenevomuzvarûvanní AT berdnikmg mathematicalmodelingoftemperaturefieldsincrossborderareasatelectronicradiationwelding
first_indexed	2025-11-25T23:47:23Z
last_indexed	2025-11-25T23:47:23Z
_version_	1849808066446360576
fulltext	ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 2 © М.Г. Бердник 77 УДК 536.421 М.Г. Бердник Національний технічний університет «Дніпровська політехніка», Україна пр. Дмитра Яворницького, 19, м. Дніпро, 49005 МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТЕМПЕРАТУРНИХ ПОЛІВ У ДОВІЛЬНИХ ОБЛАСТЯХ ПРИ ЕЛЕКТРОННО-ПРОМЕНЕВОМУ ЗВАРЮВАННІ M.G. Berdnyk National Technical University Dnipro Polytechnic, Ukraine 19, Dmitry Yavornytsky av., Dnipro, 49005 MATHEMATICAL MODELING OF TEMPERATURE FIELDS IN CROSS- BORDER AREAS AT ELECTRONIC RADIATION WELDING У статті вперше побудована математична модель розрахунку полів температури в довільних областях при електронно-променевому зварюванні у вигляді крайової задачі математичної фізики для пароболічного рівняння теплопровідності з граничними умовами Неймана. Тепловий потік у тілі при зварюванні моделювався точковим джерелом тепла, що рухається по контуру тіла з сталою швидкостью за допомогою функції Дірака. Було побудоване нове інтегральне перетворення для двовимірного кінцевого простору, із застосуванням якого, а також методів кінцевих елементів і Гальоркіна, знайдено температурне поле у вигляді збіжного ряду. Ключові слова: дельта функції Дірака, мультиіндекс, інтегральне перетворення In the article for the first time a mathematical model for calculating temperature fields in arbitrary domains with electron-beam welding in the form of a boundary value problem of mathematical physics for a steam-wave heat equation with boundary conditions of Neumann is constructed. The heat flux in the body during welding was modeled by the point source of heat moving along the contour of the body with a constant velocity using the Dirac function. A new integral transform for a two-dimensional finite space was constructed, with the application of which, as well as finite element and Galerkin methods, a temperature field was found in the form of a convergent series. Keywords: delta functions Dirac, multi-index, integral transformation Вступ У виробництві зварних конструкцій все більшого поширення набувають туго- плавкі, жароміцні, антикорозійні і радіа- ційно-стійкі матеріали, для зварювання яких потрібні особливі методики: такі як електронно-променеве зварювання, при якому температура активної робочої зони досягає в тисячу разів більших показників, ніж при традиційних способах. Даний вид зварювання широко засто- совується при зварюванні високоміцних легованих сталей і сплавів на титановій основі, а також таких металів як молібден, тантал, ніобій, вольфрам, цирконій, бери- лій при точній обробці і зварюванні різних мікродеталей. Використовується у таких галузях як ракетобудування, ядерна енер- гетика, точне приладобудування, мікро- електроніка та багатьох інших. Постановка проблеми Залежно від конструкційних особли- востей установки, електронно-променеве зварювання може проводитися перемі- щенням променю щодо зафіксованої дета- лі. Тепловий потік у виробі при зварюванні моделюють зосередженими, розподіле- ними по поверхні або об'ємними джере- лами тепла. Труднощі вивчення фізичних явищ у зоні впливу електронного променю обхо- дять шляхом введення певного джерела теплоти і використання теорії теплопровід- ності. Такі підходи в ряді випадків дають можливість швидше отримати методики інженерних розрахунків процесу, ніж детальний аналіз фізичних явищ. Тому подальший розвиток методів розрахунку температурних полів зварних виробів є актуальною науково-технічною пробле- мою, що дозволить отримати більш ефек- ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 2 78 © М.Г. Бердник тивні і обґрунтовані рішення про напру- жено-деформований стан при зварюванні. Ось чому до числа проблем, що представляють великий теоретичний і практичний інтерес, належить проблема вивчення температурного поля у тілах при електронно-променевому зварюванні. У даній роботі будемо розглядати електронно-променеве зварювання як спосіб з'єднання тіл довільної конфігурації. Аналіз останніх досліджень і публікацій Зарубіжними дослідниками для моде- лювання теплового потоку при зварюванні і розрахунку температурних полів звареної конструкції застосовується модель об'ємного джерела тепла [3], у якій тепловий потік, розподілений згідно з законом Гаусса, діє всередині подвійного еліпсоїда. Однак засто- сування цієї моделі вимагає від дослідника попереднього знання характерних розмірів зварювальної ванни (довжини, ширини, гли- бини), що пов'язано з необхідністю прове- дення натурних експериментів для обраних режимів зварювання. Для визначення температурного поля при зварюванні широко використовують як аналітичні [1-4], так і чисельні методи [5-6]. Однак, складність термомеханічних процесів, що протікають при зварюванні в малих за розміром зонах впливу лазерного променю на матеріал, часто унеможлив- лює розрахунок температурних полів для конструкції заданої геометрії. Подальший розвиток методів розра- хунку температурних полів зварних виробів є актуальною науково-технічною проблемою, що дозволить отримати більш ефективні і обґрунтовані рішення про напружено-дефор- мований стан при зварю-ванні. Тому в даній роботі пропонується метод розрахунку температурних полів у довільних областях при електронно- променевому зварюванні. Мета статті Побудова нової математичної моделі розрахунку температурних полів у довільних областях при електронно-проме- невому зварюванні у вигляді крайової задачі математичної фізики, а також знаходження рішень отриманої крайової задачі. Викладення основного матеріалу дослідження Розглянемо розрахунок температур- ного поля при з'єднанні тіл довільної конфігурації електронно-променевим зва- рюванням. Нехай 2RD   обмежена область із замкненим кусково-гладким контуром Г, а n зовнішня одинична нормаль до Г, то тепловий потік у тілі при зварюванні будемо моделювати точковим джерелом тепла, що рухається по контуру Г зі швидкістю V з інтенсивністю Q. Теплофізичні властивості тіла не залежать від температури. У початковий момент часу температура циліндра постійна 0G , а на зовнішній поверхні відо- мі значення теплового потоку   .,1 yxG З урахуванням прийнятих допущень, математично задача визначення темпера- турного поля  tуxT ,, складається в інтегруванні диференціального рівняння теплопровідності в області D:  0max 2 2 2 2 GTс VtdlQ уx a t OP                             (1) з початковою умовою   ,00,, уx (2) і граничною умовою  yx n , Г      , (3) де  tуxT ,, – температура тіла;  щільність матеріалу; с  питома теплоємність;   коефіцієнт теплопровідності;   c a   коефіцієнт температуропровідності; δ(х) – дельта функції Дірака;   0max 0,, GT GtуxT    – відносна температура ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 2 © М.Г. Бердник 79 тіла;     0max 1 , , GT yxG yx   ; OP dl – криволіній- ний інтеграл; O  початкова точка знаход- ження точкового джерела тепла; P  по- точна точка знаходження точкового джерела тепла. Для розв’язання крайової задачі (1)- (3) застосовуємо інтегральне перетворення:        D ,f,,  dyxyxf kk , (4) де  kyx  ,, , k – власні функції і власні значення. Класична проблема власних значень і власних функцій формулюється як задача про визначення значень числових парамет- рів (власні значення) k і функцій (власні функції)  kyx  ,, , які тотожно нерівні нулю в області D та задовольняють рівнянню: 0 2 2 2 2         k yx (5) і граничний умові: 0 Г    n   , (6) де     :)(,)(,, 2 DCyxuDCyx n    2\|\|,),(,   DCyxu ;     ; , , 21 2 \|\|    xx yxu yxu     21\|\|  муль- тиіндекс, компоненти якого є цілі невід'ємні числа. Знайдемо власні значення k і власні функції  kyx  ,, із розв’язку задачі (5)- (6) за допомогою методів кінцевих елементів і Гальоркіна. Для цього зробимо розбиття області на симплекс елементи (рис. 1): Рис. 1. Трикутний елемент порядку. Тоді функція  yxе , всередині симплекс елемента виражається через функції форми 1N , 2N и 3N із відомими значеннями 1 , 2 , 3 у вершинах трикутника:  332211),(  NNNyxe    e T eN  , (7) де T e NNNN ],,[][ 321 ;    T e 321 ,,   ; нижній індекс (е) означає довільний симплекс елемент. Для i-го вузла (i = 1, 2, 3) функції форми мають вигляд:    , 2 1 , ycxba S yxN iii е i  де  ))(())(( 2 1 12131213 yyxxxxyySe  ; jkkji yxyxa  ; kji yyb  ; jki xxc  ; eS  площа трикутного елемента; ),( 11 yx , ),( 22 yx і ),( 33 yx  координати його вершин; kji ,,  послідовна нумерація вузлів симплекс елемента при обході їх проти годинникової стрілки. Для визначення функцій форми 1N , 2N , 3N зручно використовувати iL координати всередині симплекс елемента, які визначаються відношенням площі трикутника, утвореного точкою і стороною, протилежною вершині ,i до загальної площі трикутника: ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 2 80 © М.Г. Бердник   )()( 2 1 21211 yyxx S L е   ,   )()( 2 1 32322 yyxx S L е   ,   )()( 2 1 13133 yyxx S L е   , де 321 yy  ; 132 yy  ; 213 yy  ; 231 xx  ; 312 xx  , 123 xx  . У разі лінійного симплекс елемента, що містить три вершини, функції форми збігаються з відповідними iL координатами: 11 LN  , 22 LN  , 33 LN  . Для представлення задачі на власні значення в матричній формі використаємо метод Гальоркіна. Підставимо в рівняння (5) наближений розв’язок (7), тоді отримаємо рівняння:            }{][ 2 2 2 2 e T eN yx  . 0}{][ e T ek N  (8) Множення у лівій частині рівняння (8) на функцію форми ][ eN , та інтегру- вання по елементу е дає: }0{21  (9) ;}{][ ][ e 2 2 2 2 1               e T ee dxdyN yx NI  .}{]][[ e 2    e T eek dxdyNNI  Інтегруючи 1 по x і y, отримаємо: 431 III  , де          eГ T e e dy x N NI ][ ][3 };{ ][ ][ e Г T e e e dx y N N       . ][ ][ e 4                x N x N I T ee }.{ ][ ][ e T ee dxdy y N y N            Враховуючи тотожне співвідношення        ГГ dx y dy x                   ГГ d n dx y dy x Г     , отримуємо }{Г ][ ][3 e Г T e e e d n N NI              , де n / – похідна по зовнішньої нормалі; Г dГ – криволінійний інтеграл по межі. Тоді (9) набуває вигляду:             }{Г ][ ][ e Г T e e e d n N N                    e ][ ][ ][ ][ y N y N x N x N T ee T ee  }{ edxdy  (10) }0{}{]][[ e   e T eek dxdyNN  Сумування по всіх елементах у (10) дає:              }{Г ][ ][ e e Г T e e e d n N N   e e T eek dxdyNN e }{]][[            e T ee x N x N e ][ ][ ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 2 © М.Г. Бердник 81 (11) }.0{}{ ][ ][         e T ee dxdy y N y N  . Помноживши перший доданок (11) на вираз T ee }}{{  , одержуємо:              e e Г T e e T e e d n N NI }{Г ][ ][}{3                   e Г e T e e T e e d n N N Г }{][ ][}{   . Г             e Г e e e d n   При цьому криволінійні інтеграли по межах eГ елементів усередині області D скорочуються, оскільки напрями обходу межі при обчисленні криволінійних інтегралів протилежні для кожної пари сусідніх елементів. У результаті залиша- ється тільки криволінійний інтеграл по межі Г всієї області D . Тоді, враховуючи граничну умову Неймана, можна знехтувати першим доданком у (11). Отже, (11) набуває вигляду:    (12) }0{ ][][   MK k де            e T ee x N x N K e ][ ][ ][ dxdy y N y N T ee        ][ ][    e T ee dxdyNNM e ][ ;     e e Таким чином власні функції  kyx  ,, і власні значення k знахо- дяться із (12), а формула оберненого перетворення має вигляд [7]:            1 2 ,, ,, ,f j k k k f z z z     . (13) Застосовуємо до диференціального рівняння (1) інтегральне перетворення (4). У результаті отримуємо звичайне диферен- ціальне рівняння  ta td d k    (14) з початковою умовою   00  , (15) де     ., 0max    GTс Q t k                D ,,  dVtdlyx OP k     ;,,, dlyxyx Г k  Г-додатно орієнтований контур. Розв’язавши диференціальне рівняння (14) з початковою умовою (15), одержуємо:       dxeхt t txa kk k   0 , ,  Таким чином, з урахуванням формули оберненого перетворення (13) отримуємо шукане температурне поле  tyx ,, :         . ,, ,, , ,, 1k 2    k k k yx yx ttyx    Висновки У статті вперше побудована матема- тична модель розрахунку полів темпера- тури в довільних областях при електронно- променевому зварюванні у вигляді крайо- вої задачі математичної фізики для пара- болічного рівняння теплопровідності з граничними умовами Неймана. Тепловий потік у тілі при зварюванні моделювався точковим джерелом тепла, що рухається по контуру тіла з сталою швидкістю за допомогою функції Дірака. Було побудо- ване нове інтегральне перетворення для двовимірного кінцевого простору, із засто- ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 2 82 © М.Г. Бердник суванням якого, а також методів кінцевих елементів і Гальоркіна, знайдено темпе- ратурне поле у вигляді збіжного ряду. Знайдено розв’язок крайової задачі тепло- обміну в довільних областях при електронно-променевому зварюванні може знайти застосування при моделюванні температурних полів, які виникають у тілах довільної конфігурації. Література 1. John A. Golda. Computational welding mechanics / John A. Goldak, Mehdi Akhlaghi. – USA: Springer, 2005. – 325 p. 2. Винокуров В.А. Теория сварочных деформаций и напряжений / В.А. Винокуров, А.Г. Григорьянц. – М. Машиностроение, 1984. – 280 с. 3. Гатовский К.М. Теория сварочных деформаций и напряжений / К.М. Гатовский, В.А. Кархин. – Л. : Ленингр. кораблестроит. ин-т, 1980. – 331 с. 4. Прохоренко В.М. Напруження та деформації у зварних з’єднаннях і конструкціях / В.М. Прохоренко О.В. Прохоренко. – К.: НТУУ «КПІ», 2009. – 268 с. 5. Liu G. R. The Finite Element Method: A Practical Course / G. R. Liu, S. S. Quek. – Butterword Heinemann., 2003. – 348 p. 6. Галлагер Р. Метод конечных элементов. / Р. Галлагер. – М.: Мир, 1986. – 428 с. 7. Бердник.М.Г. Математична модель і метод рішення узагальненої задачі Неймана теплообміну кусково-однорідного циліндра / М.Г. Бердник // Науковий вісник НГУ. – 2017. – № 4. – С. 86-91. References 1. John A. Goldak. Computational welding mechanics. / John A. Goldak, Mehdi Akhlaghi. - USA: Springer, 2005. – 325 p. 2. Vinokurov V. A. Teorija svarochnyh deformacij i naprjazhenij / Vinokurov V. A., Grigor'janc A.G. - M: Mashinostroenie, 1984. 280 s. 3. Gatovskij K.M. Teorija svarochnyh deformacij i naprjazhenij Leningr: / K. M. Gatovskij, V.A. Karhin -L: Leningr. korablestroit. in-t, 1980. 331 s. 4. Prohorenko V.M. Napruzhennja ta deformacії u zvarnih z’єdnannjah і konstrukcіjah / V.M. Prohorenko, O.V. Prohorenko Kyiv: NTUU «KPІ», 2009. 268 s. 5. Liu G. R. The Finite Element Method: A Practical Course / G. R. Liu, S. S. - Quek. Butterword Heinemann., 2003. 348 p. 6. Gallager R. Metod konechnyh jelementov. Osnovy / R. Gallager. M: Mir, 1986. 428 s. 7. Berdnik M.G. Matematichna model і metod rіshennja uzagalnenoї zadachі Nejmana teploobmіnu kuskovo-odnorіdnogo cilіndra / M.G. Berdnik // Naukovij vіsnik NGU. – 2017. – № 4. – S. 86-91. RESUME M.G. Berdnyk Мathematical modeling of temperature fields in cross-border areas at electronic radiation welding In the article for the first time a mathematical model for calculating tempera- ture fields in arbitrary bounded regions with a closed piecewise smooth contour under electron-beam welding in the Cartesian coordinate system in the form of a boundary value problem for a parabolic equation of thermal conductivity with initial and boun- dary conditions is constructed, provided that the thermophysical properties of the body are constant. At an initial time, the temperature of the body is constant, and on the outer surface of the body are known values of the heat flux which are continuous coordinate functions. In this paper, the heat flux in the body during welding was modeled by the point source of heat moving along the body's contour with a constant velocity and a known intensity using the Dirac function. To solve the boundary value problem, a new integral transform for a two-dimensional finite space was constructed. Own values and their own functions for the integral transfor- mation kernel are found using finite element and Galerkin methods. In this case, the divi- sion of the area into simplex elements was made. Thus, the problem of finding eigen- values and eigenfunctions was reduced to the algebraic problem of finding eigenvalues and eigenfunctions. After application to the obtained boundary value problem of the constructed new integral transformation, we obtained the Cauchy problem whose solutions were found analytically. The obtained solution of the boundary value problem is twice continuously differentiated by spatial coordinates and once per time. As a result, the temperature field in arbitrary bounded regions with a closed piecewise smooth contour at electron-beam welding is found in the form of convergent series. The temperature field found in arbitrary bounded regions with a closed piecewise smooth contour at electron-beam welding can be used for modulating the temperature fields that arise when welding a construction of a given geometry. Надійшла до редакції 11.09.2018

Математичне моделювання температурних полів в довільних областях при електронно-променевому зварюванні

Репозитарії

Схожі ресурси