Про підходи щодо математичного моделювання біосенсорних та імуносенсорних динамічних систем

У роботі розглянуто математичні моделі біосенсорних та імуносенсорних динамічних систем у вигляді диференціальних рівнянь у частинних похідних. Запропоновано моделі для оптимізації розробки біосенсорів, модель біосенсора в циліндричних координатах, на основі використання кінетики Міхаеліса-Ментена т...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2018
Hauptverfasser:	Марценюк, В.П., Сверстюк, А.С., Козодій, Н.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України 2018
Schriftenreihe:	Штучний інтелект
Schlagworte:	Інтелектуальні технології прийняття рішень
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162378
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Про підходи щодо математичного моделювання біосенсорних та імуносенсорних динамічних систем / В.П. Марценюк, А.С. Сверстюк, Н.В. Козодій // Штучний інтелект. — 2018. — № 2 (80). — С. 94-102. — Бібліогр.: 28 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-162378
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1623782025-02-09T09:53:25Z Про підходи щодо математичного моделювання біосенсорних та імуносенсорних динамічних систем About approaches on mathematical simulation of biosensor and immunosensor dynamic systems Марценюк, В.П. Сверстюк, А.С. Козодій, Н.В. Інтелектуальні технології прийняття рішень У роботі розглянуто математичні моделі біосенсорних та імуносенсорних динамічних систем у вигляді диференціальних рівнянь у частинних похідних. Запропоновано моделі для оптимізації розробки біосенсорів, модель біосенсора в циліндричних координатах, на основі використання кінетики Міхаеліса-Ментена та рівнянь реакції-дифузії. Розроблено модель імуносенсора у вигляді решітчастих деференціальних рівнянь із запізненням. Побудова моделі грунтується на ряді біологічних припущень щодо взаємодії колоній антигенів та антитіл, а також дифузії антигенів. Для опису дискретних у просторі колоній, локалізованих у відповідних пікселях, використовується апарат решітчастих диференціальних рівнянь. The mathematical models of biosensory and immunosensory dynamical systems in the form of differential equations in partial derivatives are considered in this paper. Models for optimizing the development of biosensors, a biosensor model in cylindrical coordinates, based on the use of Michaelis-Menten kinetics and reaction-diffusion equations are proposed. A model of the immunosensor in the form of lattice partial differential equations with delay was developed. The construction of the model is based on a number of biological assumptions about the interaction of colonies of antigens and antibodies, as well as the diffusion of antigens. For the description of discrete spaces in the space of the colonies, localized in the corresponding pixels, the apparatus of lattice differential equations is used. 2018 Article Про підходи щодо математичного моделювання біосенсорних та імуносенсорних динамічних систем / В.П. Марценюк, А.С. Сверстюк, Н.В. Козодій // Штучний інтелект. — 2018. — № 2 (80). — С. 94-102. — Бібліогр.: 28 назв. — укр. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162378 602.1:519.85:53.082.9:616-07 uk Штучний інтелект application/pdf Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Інтелектуальні технології прийняття рішень Інтелектуальні технології прийняття рішень
spellingShingle	Інтелектуальні технології прийняття рішень Інтелектуальні технології прийняття рішень Марценюк, В.П. Сверстюк, А.С. Козодій, Н.В. Про підходи щодо математичного моделювання біосенсорних та імуносенсорних динамічних систем Штучний інтелект
description	У роботі розглянуто математичні моделі біосенсорних та імуносенсорних динамічних систем у вигляді диференціальних рівнянь у частинних похідних. Запропоновано моделі для оптимізації розробки біосенсорів, модель біосенсора в циліндричних координатах, на основі використання кінетики Міхаеліса-Ментена та рівнянь реакції-дифузії. Розроблено модель імуносенсора у вигляді решітчастих деференціальних рівнянь із запізненням. Побудова моделі грунтується на ряді біологічних припущень щодо взаємодії колоній антигенів та антитіл, а також дифузії антигенів. Для опису дискретних у просторі колоній, локалізованих у відповідних пікселях, використовується апарат решітчастих диференціальних рівнянь.
format	Article
author	Марценюк, В.П. Сверстюк, А.С. Козодій, Н.В.
author_facet	Марценюк, В.П. Сверстюк, А.С. Козодій, Н.В.
author_sort	Марценюк, В.П.
title	Про підходи щодо математичного моделювання біосенсорних та імуносенсорних динамічних систем
title_short	Про підходи щодо математичного моделювання біосенсорних та імуносенсорних динамічних систем
title_full	Про підходи щодо математичного моделювання біосенсорних та імуносенсорних динамічних систем
title_fullStr	Про підходи щодо математичного моделювання біосенсорних та імуносенсорних динамічних систем
title_full_unstemmed	Про підходи щодо математичного моделювання біосенсорних та імуносенсорних динамічних систем
title_sort	про підходи щодо математичного моделювання біосенсорних та імуносенсорних динамічних систем
publisher	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
publishDate	2018
topic_facet	Інтелектуальні технології прийняття рішень
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162378
citation_txt	Про підходи щодо математичного моделювання біосенсорних та імуносенсорних динамічних систем / В.П. Марценюк, А.С. Сверстюк, Н.В. Козодій // Штучний інтелект. — 2018. — № 2 (80). — С. 94-102. — Бібліогр.: 28 назв. — укр.
series	Штучний інтелект
work_keys_str_mv	AT marcenûkvp propídhodiŝodomatematičnogomodelûvannâbíosensornihtaímunosensornihdinamíčnihsistem AT sverstûkas propídhodiŝodomatematičnogomodelûvannâbíosensornihtaímunosensornihdinamíčnihsistem AT kozodíjnv propídhodiŝodomatematičnogomodelûvannâbíosensornihtaímunosensornihdinamíčnihsistem AT marcenûkvp aboutapproachesonmathematicalsimulationofbiosensorandimmunosensordynamicsystems AT sverstûkas aboutapproachesonmathematicalsimulationofbiosensorandimmunosensordynamicsystems AT kozodíjnv aboutapproachesonmathematicalsimulationofbiosensorandimmunosensordynamicsystems
first_indexed	2025-11-25T13:01:33Z
last_indexed	2025-11-25T13:01:33Z
_version_	1849767451808497664
fulltext	ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 2 94 © В.П. Марценюк, А.С. Сверстюк, Н.В. Козодій УДК 602.1:519.85:53.082.9:616-07 В.П. Марценюк1, А.С. Сверстюк2, Н.В. Козодій3 1Університет в Бельсько Бяла, Польща вул. Вілова, 2, м. Бельсько Бяла, 43309 2Тернопільський державний медичний університет імені І.Я. Горбачевського, Україна вул. Руська, 12, м. Тернопіль, 46001 3Тернопільський національний технічний університет імені Івана Пулюя, Україна вул. Руська, 56, м. Тернопіль, 46001 ПРО ПІДХОДИ ЩОДО МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ БІОСЕНСОРНИХ ТА ІМУНОСЕНСОРНИХ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ V.P. Martsenyuk1, A.S. Sverstiuk2, N.V. Kozodii3 1University of Bielsko-Biala, Poland 2, Willowa st., Bielsko-Biala, 43309 2Ternopil State Medical University named after I.Ya. Horbachevsʹky, Ukraine 12, Ruska st., Ternopil, 46001 3Ternopil National Technical University named after Ivan Pulyuy, Ukraine 56, Ruska st., Ternopil, 46001 ABOUT APPROACHES ON MATHEMATICAL SIMULATION OF BIOSENSOR AND IMMUNOSENSOR DYNAMIC SYSTEMS У роботі розглянуто математичні моделі біосенсорних та імуносенсорних динамічних систем у вигляді диференціальних рівнянь у частинних похідних. Запропоновано моделі для оптимізації розробки біосенсорів, модель біосенсора в циліндричних координатах, на основі використання кінетики Міхаеліса-Ментена та рівнянь реакції-дифузії. Розроблено модель імуносенсора у вигляді решітчастих деференціальних рівнянь із запізненням. Побудова моделі грунтується на ряді біологічних припущень щодо взаємодії колоній антигенів та антитіл, а також дифузії антигенів. Для опису дискретних у просторі колоній, локалізованих у відповідних пікселях, використовується апарат решітчастих диференціальних рівнянь. Ключові слова: біосенсор, імуносенсор, решітчасті диференціальні рівняння, диференціальні рівняння із запізненням. The mathematical models of biosensory and immunosensory dynamical systems in the form of differential equations in partial derivatives are considered in this paper. Models for optimizing the development of biosensors, a biosensor model in cylindrical coordinates, based on the use of Michaelis-Menten kinetics and reaction-diffusion equations are proposed. A model of the immunosensor in the form of lattice partial differential equations with delay was developed. The construction of the model is based on a number of biological assumptions about the interaction of colonies of antigens and antibodies, as well as the diffusion of antigens. For the description of discrete spaces in the space of the colonies, localized in the corresponding pixels, the apparatus of lattice differential equations is used. Keywords: biosensor, immunosensor, lattice differential equations, differential equations with delay Вступ Протягом останніх років спостеріга- ємо стрімкий розвиток науки і техніки, що зумовило появу нових методів детекції. Тому в науці та промисловості зростає інтерес до біосенсорів. Біосенсори є альтернативою до загальновикористову- ваних методів вимірювання, які характе- ризуються поганою вибірковістю, високою вартістю, поганою стійкістю, низьким від- гуком і переважно можуть використову- ватися лише високодосвідченим персона- лом. Біосенсори – це аналітичні прилади, які перетворюють процеси біохімічних ре- акцій на фізичну величину, яку можна ви- міряти. У своїй конструкції вони викори- стовують біологічні матеріали, які надають високу вибірковість, селективність, точ- ність, дають змогу здійснювати швидкі і прості вимірювання [1]. Біосенсори характеризуються висо- кою ефективністю і широко використову- ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 2 © В.П. Марценюк, А.С. Сверстюк, Н.В. Козодій 95 ються у харчовій промисловості [2], при захисті навколишнього середовища [3], в оборонній промисловості [4], але найчас- тіше - у медицині [5-8], як інструмент для постановки діагнозів. У цілому, сімейство біосенсорів ділиться на дві частини. Перша пов’язана з рівнем наближення рецептора до біологічного матеріалу, який викорис- товується в його будові. Рецепторами мо- жуть бути ензим, протеїн, порферін, анти- ген або антитіло. Друга частина біосен- сорів обмежена до шару провідника, де біологічний ефект перетворюється на вимірювальний сигнал, який може бути електрохімічний, імпедансний, амперомет- ричний, оптичний та ін. Постановка проблеми Математичні моделі біосенсорів та імуносенсорів повинні враховувати про- сторово-часові властивості пристроїв, у яких використовується детектор. Відносно просторової організації досліджувана мо- дель повинна ґрунтуватися на певній дискретній структурі, яка буде врахо- вувати взаємодію пікселів імуносенсора. З точки зору часових змін, моделі повинні описувати процеси, відомі як популяційна динаміка. Саме тому проблему становить розробка математичних моделей біосен- сорів та імуносенсорів, які б враховували біологічні припущення щодо основних компонент пристрою – симетричну геомет- рію біосенсора та однорідний розподіл іммобілізованого ферменту та реакції зв’язування у ферментному шарі, кінетичні властивості бактеріальних ферментатив- них реакцій, кінетику Міхаеліса-Ментена, колоній антигенів і антитіл, локалізованих у пікселях, дифузії колонії антигенів між пікселями та ін. Аналіз останніх досліджень і публікацій Останнім часом велика увага дослід- ників привернута питанням розробки та використання біосенсорів та імуносенсорів [1-10]. У роботі [5] наведено ґрунтовний огляд теоретичних основ проектування біосенсорів. Прикладні аспекти використання імуносенсорів обговорюються в [9]. Важливе значення у функціонуванні біосенсорів має фізичне явище флуорис- ценції, про що йде мова в [3, 4, 10]. У [13] сформульовано основні задачі, пов’язані з дослідженням стійкості у біосенсорах. У роботах [1, 11, 12] йдеться про проек- тування сенсорів, в основу роботи яких покладено перебіг хімічних реакцій. У роботі [12] для такого роду сенсорів було запропоновано математичне моделювання в класі решітчастих диференціальних рівнянь. У даній роботі такий підхід буде використано для імуносенсорів. У [14] викладено основні результати щодо використань рівнянь популяційної динаміки. У роботі [11] розроблена і дос- ліджується спрощена модель імунної сис- теми за допомогою диференціальних рів- нянь із запізненням, що буде використана в даній роботі. Мета дослідження Запропонувати моделі біосенсорів та імуносенсорів у вигляді диференціальних рівнянь у частинних похідних. 1. Структура біосенсорів та імуносенсорів Біосенсор – це аналітичний прилад, що містить у своєму складі біологічний чутливий елемент (фермент, антитіло, ДНК, клітинні органели, клітини чи шма- точки тканин), поєднаний з перетворю- вачем (електрохімічним, оптичним, кало- риметричним, акустичним). Вимірювання концентрації мішені аналізатор виконує кількісним перетворенням параметрів ре- акції у кількісний електричний чи оптич- ний сигнал. Серед великого сімейства біосенсорів імуносенсори є типовими сенсорами, що містять шар рецептора, який чутливий і селективний, включаючи імобілізований біологічний елемент, наприклад, антитіло, антиген або хаптен, які є імунологічними рецепторами для молекул, які дослід- жуються. В імунсорі (імуносенсорі) відбу- вається реакція, яка грунтується на взаємо- дії між антитілом і антигеном або малень- кими молекулами (хаптенами). Антитіла часто називаються імуноглобулінами тому, що вони є протеїнами, які пов’язані з імунною системою. ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 2 96 © В.П. Марценюк, А.С. Сверстюк, Н.В. Козодій Імуноглобуліни використовуються імунною системою для ідентифікації та нейтралізації чужорідних об’єктів. Вони використовують властивості зв’язування антигенів. Антигени і антитіла можуть використовуватися в шарі рецептора у біо- сенсорах. Зменшення властивостей, які пов’язані з антитілами під час процесу імубілізації антигена, використовуються в конструкції шару рецептора, де антитіла відіграють функцію аналітів (молекул предметного детектування) [9]. Молекули, які пов’язані з детекцією, забезпечують зв’язування антитіл з анти- генами, утворюючи складні конструкції. При цьому між антигенами і антитілами утворюються дуже сильні зв’язки з кон- стантою зв’язування 1412 1010  Ka [10]. 2. Моделі біосенсорів у вигляді диференціальних рівнянь в частинних похідних 2.1. Модель для оптимізації розробки біосенсорів Оптимізаційні методи проектування [15] біосенсорів вимагають математичного моделювання. Припускаючи симетричну геометрію біосенсора і однорідний розподіл іммобілізованого ферменту та реакції зв’язування у ферментному шарі, з одновимірною в просторі дифузією, яка описана другим законом Фіка, наведемо рівняння реакції такого типу дифузії  0,0 1  tdz . 2312 12 2 22 SEkSEk GEk z E D t E redred ox red E red red        , (1) 2312 12 2 22 SEkSEk GEk z E D t E redred ox ox E ox ox        , (2) 215214 122 1 2 1 2 1 SPkPSk SEk z S D t S redS        , (3) 215214 232 2 2 2 2 2 SPkPSk SEk z S D t S redS        , (4) 215214 122 1 2 1 2 1 SPkPSk SEk z P D t P redP        , (5) 215214 232 2 2 2 2 2 SPkPSk SEk z P D t P redP        , (6) 112 1 2 GEk z G D t G oxG       , (7) де z і t означають простір і час, відповідно,  tzEred , і  tzEox , – концентрації окисленої  oxE і зменшеної  redE глюкозодегідрогенази, відповідно,  tzS ,1 і  tzS ,2 – концентрації субстратів (фериціаніду та окисленого медіатора),  tzP ,1 і  tzP ,2 – концентрації продуктів реакції (фериціаніду і зменшеного медіатора),  tzG , – концентрація глю- кози, redED , oxED , iSD , iPD , GD – відповідні коефіцієнти дифузії в ферментному шарі, а id – товщина ферментного шару, 2,1i . За межами шару ферменту відсутня ферментативна реакція 1dz  . Кінетика неферментативних реакцій так само як транспорт масопередачі через мембрану )( 211 ddzd  і у зовнішньому шарі )( 32121 dddzdd  описується аналогічними системами рівнянь реакції- дифузії [16]. Спочатку фермент 1S рівномірно поширюється у ферментному шарі 10 dz  . Біосенсор починає працювати при )0( t , коли з’являється субстрат 2S та глюкоза на зовнішній межі дифузійного шару )( 321 dddz  . Рівняння керування (1-7) є типовими для класу біосенсорів, які використо- вуються для визначення субстратів [17]. 2.2. Модель біосенсора в циліндричних координатах У роботі [18] розглянуто матема- тичну модель біосенсора, що описує кіне- тичні властивості бактеріальних фермента- тивних реакцій у відповідь на токсичні https://translate.googleusercontent.com/translate_f#8 file:///C:/Documents%20and%20Settings/Администратор/Local%20Settings/Temp/Rar$DI51.718/%5b16%2012%20V.%20Ašeris,%20E.%20Gaidamauskaitė,%20J.%20Kulys,%20R.%20Baronas,%20Modelling%20glucose%20dehydrogenase-based%20amperometric%20biosensor%20utilizing%20synergistic%20substrates%20conversion,%20Electrochimica%20Acta,%20Volume%20146,%202014,%20Pages%20752-758,%20ISSN%200013-4686,%20https:/doi.org/10.1016/j.electacta.2014.08.125.%5d file:///C:/Documents%20and%20Settings/Администратор/Local%20Settings/Temp/Rar$DI51.718/%5b16%2012%20V.%20Ašeris,%20E.%20Gaidamauskaitė,%20J.%20Kulys,%20R.%20Baronas,%20Modelling%20glucose%20dehydrogenase-based%20amperometric%20biosensor%20utilizing%20synergistic%20substrates%20conversion,%20Electrochimica%20Acta,%20Volume%20146,%202014,%20Pages%20752-758,%20ISSN%200013-4686,%20https:/doi.org/10.1016/j.electacta.2014.08.125.%5d file:///C:/Documents%20and%20Settings/Администратор/Local%20Settings/Temp/Rar$DI51.718/%5b11%2013%20Juozas%20Kulys,%20Lidija%20Tetianec,%20Synergistic%20substrates%20determination%20with%20biosensors,%20Biosensors%20and%20Bioelectronics,%20Volume%2021,%20Issue%201,%202005,%20Pages%20152-158,%20ISSN%200956-5663,%20https:/doi.org/10.1016/j.bios.2004.08.013.%5d file:///C:/Documents%20and%20Settings/Администратор/Local%20Settings/Temp/Rar$DI51.718/%5b11%2013%20Juozas%20Kulys,%20Lidija%20Tetianec,%20Synergistic%20substrates%20determination%20with%20biosensors,%20Biosensors%20and%20Bioelectronics,%20Volume%2021,%20Issue%201,%202005,%20Pages%20152-158,%20ISSN%200956-5663,%20https:/doi.org/10.1016/j.bios.2004.08.013.%5d ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 2 © В.П. Марценюк, А.С. Сверстюк, Н.В. Козодій 97 хімічні речовини та отриману електро- активну дифузію молекули в мініатюрній електрохімічній комірці електроду. Мо- дель характеризує генерований електрич- ний струм як функцію бактерій та концентрацій токсинів, електрохімічних розмірів комірок та електроду. Для того щоб розрахувати поточний струм як функцію часу, зімітовано дифу- зію молекул електрохімічного активного продукту ферментативної реакції з кон- центрацією ),,(0 tzrC . Ці молекули окис- люються на робочій поверхні електрода та генерують струм. У моделі зроблено при- пущення, що струм повністю контро- люється масою переносу та кінетикою реакцій у розчині на електроді. Оскільки електрохімічна комірка має циліндричну симетрію, то можна написати рівняння дифузії в циліндричних коорди- натах, відповідно до другого закону Фіка: )( ),,(),,(1 ),,(),,( 2 0 2 0 2 0 2 0 0 tf z tzrC r tzrC r r tzrC D t tzrC                     ,(8) де 0D – коефіцієнт дифузії електроліту, а )(tf – швидкість появи електроліту. 2.3. Модель біосенсора, яка вико- ристовує кінетику Міхаеліса-Ментена У роботі [19] розглядається модель біосенсора, яка включає в себе три області: ферментний шар (ферментна мембрана), де відбувається ферментативна реакція; шар транспортування масопередачі, шляхом дифузії обох сполук (субстрату S і про- дукту P ), через напівпроникну мембрану; конвективна область, де концентрація ана- літу підтримується постійною. Припускаючи симетричну геометрію обох мембран та однорідний розподіл іммобілізованого ферменту, в фермент- ному шарі доцільно використати двоком- партментну математичну модель. Дина- міку концентрацій субстрату S , а також продукту P у ферментному шарі можна описати системою рівнянь реакції-дифузії 0) (t  ,  ,,0, , max 2 2 max 2 2 e eM ee P e eM ee S e lx sk s x p d t p sk s x s d t s e e                  (9) де x та t – зміщення і час; ),( txs e і ),( txp e – концентрації субстрату та продукту в ферментному шарі; eSd і ePd – коефіцієнти дифузії; max – максимальна ферментативна швидкість ( 02max ek , 0e – концентрація ензиму); Mk – константа Міхаеліса ( 121 /)( kkkkM   ). За межами ферментної мембрани відбувається лише транспортування маси за рахунок дифузії обох сполук 0) (t  ,  ,,, , 2 2 2 2 mee m P m m S m lllx x p d t p x s d t s m m            (10) де  txSm , ,  txPm , – концентрації субстрату та продукту реакції; mSd , mSd – коефіцієнти дифузії. 2.4. Модель біосенсора на основі рівнянь реакції-дифузії Зв’язування каталітичної реакції каталази та пероксидази у ферментатив- ному шарі з дифузією в одновимірному просторі, описане законом Фіка, приводить до наступних рівнянь реакції-дифузії, що описують роботу біосенсора [20] у ферментативному шарі  :0,0  tdx e , ,222,121 ,2,122221 ,1112 ,1 2 ,1 ,1 ee ee e e s e sksk ssekk sek x s D t s e         (11) , ,222,121 ,2,122221 2 ,2 2 ,2 ,2 ee eee s e sksk ssekk x s D t s e        (12) , 2 ,111 2 ,1 2 ,1 ,1 ee p e sek x p D t p e       (13) ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 2 98 © В.П. Марценюк, А.С. Сверстюк, Н.В. Козодій , ,222,121 ,2,122221 2 ,2 2 ,2 ,2 ee eee p e sksk ssekk x p D t p e        (14) де x та t означають зміщення і час;  txs e ,,1 ,  txs e ,,2 – молярні концентрації субстратів 1S , 2S ;  txp e ,,1 ,  txp e ,,2 – молярні концентрації продуктів реакції 1P , 2P ; ed – товщина ферментного шару; eeee ppss DDDD ,2,1,2,1 ,,, – дифузні коефіцієнти, які вважаються сталими; 22211 ,, kkk – сталі швидкості реакції. За межами ферментного шару відбувається тільки масове перенесення шляхом дифузії субстратів та продуктів реакції. Рівняння керування для зовнішнього дифузійного шару ),0( dee ddxdt  представлені припущенням, що зовнішний масовий транспорт підпорядковується обмеженому дифузійному режиму: 21212 2 ,,,, ppssc x c D t c d c d d       ,(15) де ),(),,(),,(),,( ,2,1,2,1 txptxptxstxs dddd означають молярні концентрації субстратів та продуктів у дифузійному шарі товщиною dd ; dddd ppss DDDD ,2,1,2,1 ,,, – дифузні коефіцієнти. Дифузійний шар розглядається як дифузійний шар Нернста [21]. За підходом Нернста шар товщиною dd залишається незмінним з часом. Зроблено припущення, що розчин знаходиться в русі з однорід- ною концентрацією у дифузійному шарі. 3. Модель імуносенсора у вигляді решітчастих деференціальних рівнянь У моделях решітчастих диферен- ціальних рівнянь просторова структура має дискретний характер. Решітчаста динаміка широко використана в задачах [22, 23], оскільки середовища, в яких популяційні види живуть, можуть бути дискретними, а не неперервними. 3.1. Решітчаста модель взаємодії антиген-антитіло для двовимірного ма- сиву біопікселів Нехай )(, tV ji – концентрація антигенів, )(, tF ji – концентрація антитіл у біопікселі ),( ji , Nji ,1,  . Модель ґрунтується на таких біологічних припущеннях для довільного біопікселя ),( ji . 1. Маємо деяку константу народжуваності, 0 для популяції антигенів. 2. Антигени нейтралізуються антитілами з деякою ймовірнісною швидкістю 0 . 3. Популяція антигенів прагне до деякої межі насичення зі швидкістю 0 . 4. Ми маємо деяку дифузію антигенів з чотирьох сусідніх пікселів ),1( ji  , ),1( ji  , )1,( ji , )1,( ji зі швидкістю дифузії 2D , де 0D і 0 є відстань між пікселями. 5. Ми маємо деяку сталу смертності антитіл 0f . 6. У результаті імунної відповіді ми збільшуємо щільність антитіл з ймовірнісною швидкістю  . 7. Популяція антитіл прагне до деякого рівня насичення зі швидкістю 0f . 8. Імунна відповідь з’являється з деякою сталою затримкою у часі 0 . На основі цього ми розглядаємо дуже просту конструкцію моделі антиген- антитіло із запізненням для двовимірного масиву біопікселів, яка грунтується на добре відомій моделі Марчука [11], [24, 25], і використовує просторовий оператор  S , запропонований у [12]:   )())()( )(( )( )()( ))(( )( ,,, , , ,,, , , tFtFtF tV dt tdF VStVtV tF dt tdV jijijif jif ji jijiji ji ji           (16) ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 2 © В.П. Марценюк, А.С. Сверстюк, Н.В. Козодій 99 Модель (16) задана початковими функціями (17): .0)0(),0( ),0,[,0)()( ,0)()( ,, 0 ,, 0 ,,    jiji jiji jiji FV ttFtF tVtV  (17) Побудова моделі ґрунтувалася на ряді біологічних припущень щодо взаємодії колоній антигенів та антитіл [26-28]. Висновки та перспективи подаль- ших досліджень У роботі розглянуто підходи до роз- робки математичних моделей біосенсорів та імуносенсорів у вигляді диференціаль- них рівнянь у частинних похідних, які б враховували біологічні припущення щодо основних компонент пристроїв – симет- ричну геометрію біосенсорів і однорідний розподіл іммобілізованого ферменту та реакції зв’язування у ферментному шарі, кінетичні властивості бактеріальних фер- ментативних реакцій, кінетику Міхаеліса- Ментена, колонії антигенів і антитіл, локалізованих у пікселях, дифузії колонії антигенів між пікселями. У роботі запропоновано модель імуносенсора, яка ґрунтується на системі решітчастих диференціальних рівнянь із запізненням. Побудова моделі ґрунтува- лася на ряді біологічних припущень щодо взаємодії колоній антигенів та антитіл, а також дифузії антигенів. Для опису дискретних у просторі колоній, локалі- зованих у відповідних пікселях, викорис- тано апарат решітчастих диференціальних рівнянь. У подальших дослідженнях необхід- но провести дослідження стійкості моде- лей біосенсорів та імуносенсорів на основі частинних похідних та решітчастих дифе- ренціальних рівнянь із запізненнням. Література 1. L. Mosinska, K. Fabisiak, K. Paprocki, M. Kowalska, P. Popielarski, M. Szybowicz, A. Stasiak, et al., “Diamond as a transducer material for the production of biosensors,” Przemysl Chemiczny, vol. 92, no. 6, pp. 919–923, 2013. 2. C. Adley, “Past, present and future of sensors in food production,” Foods, vol. 3, no. 3, pp. 491–510, Aug. 2014. doi: 10 . 3390 / foods3030491. [Online]. Available: https ://doi.org/10.3390/foods3030491. 3. A. Kłos-Witkowska, “Enzyme-based fluorescent biosensors and their environmental, clinical and industrial applications,” Polish Journal of Environmental Studies, vol. 24, pp. 19–25, 2015. doi: 10.15244/pjoes/28352. [Online]. Available: https://doi.org/10.15244/pjoes/28352. 4. M. Burnworth, S. Rowan, and C. Weder, “Fluorescent sensors for the detection of chemical warfare agents,” Chemistry - A European Journal, vol. 13, no. 28, pp. 7828–7836, Sep. 2007. doi: 10.1002/chem.200700720. [Online]. Available: https://doi.org/10.1002/chem.200700720. 5. P. Mehrotra, “Biosensors and their applications – a review,” Journal of Oral Biology and Craniofacial Research, vol. 6, no. 2, pp. 153–159, May 2016. doi: 10.1016/j.jobcr.2015. 12.002. [Online]. Available: https://doi.org/10.1016/j.jobcr.2015.12.002. 6. Martsenyuk V.P. Study of classification of immunosensors from viewpoint of medical tasks / A. Klos-Witkowska, A.S. Sverstiuk // Medical informatics and engineering. – 2018.-№ 1(41). – p.13-19. doi: https://dx.doi.org/10.11603/mie.1996- 1960.2018.1.8887. 7. Бігуняк Т.В. Деякі аспекти використання імуносенсорів у медицині / Т.В. Бігуняк, А.С. Сверстюк, К.О. Бігуняк // Медичний форум. – 2018. – № 14 (14). – С. 8-11. 8. Martsenyuk V.P. On principles, methods and areas of medical and biological application of optical immunosensors / A. Klos-Witkowska, A.S. Sverstiuk, T.V. Bihunyak // Medical informatics and engineering. – 2018.-№ 2 (42). – p.28-36. doi: https://dx.doi.org/10.11603/mie.1996- 1960.2018.2.9289. 9. C. Moina and G. Ybarra, “Fundamentals and applications of immunosensors,” Advances in immunoassay technology, pp. 65–80, 2012. 10. A. Kłos-Witkowska, “The phenomenon of fluorescence in immunosensors,” Acta Biochimica Polonica, vol. 63, no. 2, pp. 215–221, 2016. doi: 10.18388/abp.2015_1231. [Online]. Available: https://doi.org/10.18388/abp.2015_1231. 11. V. Marzeniuk, “Taking into account delay in the problem of immune protection of organism,” Nonlinear Analysis: Real World Applications, vol. 2, no. 4, pp. 483–496, 2001, cited By 2. doi: 10.1016/S1468-1218(01)00005-0. [Online]. Available: https://www.scopus.com/inward/ record.uri?eid=2-s2.0- 0041331752&doi=10.1016%2fS1468- 1218%2801%2900005- 0&partnerID=40&md5=9943d225f352151e77407b 48b18ab1a9. 12. A. Prindle, P. Samayoa, I. Razinkov, T. Danino, L. S. Tsimring, and J. Hasty, “A sensing array of radically coupled genetic ‘biopixels’,” Nature, vol. 481, no. 7379, pp. 39–44, Dec. 2011. doi: 10 .1038/ nature10722. [Online]. Available: https : // doi . org/ 10 .1038/nature10722. 13. T. D. Gibson, “Biosensors: The stabilité problem,” Analusis, vol. 27, no. 7, pp. 630–638,1999. https://doi.org/10.15244/pjoes/28352 https://doi.org/10.1002/chem.200700720 https://doi.org/10.1016/j.jobcr.2015.12.002. https://dx.doi.org/10.11603/mie.1996-1960.2018.1.8887. https://dx.doi.org/10.11603/mie.1996-1960.2018.1.8887. https://dx.doi.org/10.11603/mie.1996-1960.2018.2.9289 https://dx.doi.org/10.11603/mie.1996-1960.2018.2.9289 ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 2 100 © В.П. Марценюк, А.С. Сверстюк, Н.В. Козодій 14. Y. Kuang, Delay differential equations with applications in population dynamics. New York:Academic Press, 1993. 15. 3 11 Romas Baronas, Antanas Žilinskas, Linas Litvinas, Optimal design of amperometric biosensors applying multi-objective optimization and decision visualization, Electrochimica Acta, Volume 211, 2016, Pages 586-594, ISSN 0013- 4686,https://doi.org/10.1016/j.electacta.2016.06.10 1. 16. V. Ašeris, E. Gaidamauskaitė, J. Kulys, R. Baronas, Modelling glucose dehydrogenase-based amperometric biosensor utilizing synergistic substrates conversion, Electrochimica Acta, Volume 146, 2014, Pages 752-758, ISSN 0013- 4686, https://doi.org/10.1016/j.electacta.2014.08.125.] 17. Juozas Kulys, Lidija Tetianec, Synergistic substrates determination with biosensors, Biosensors and Bioelectronics, Volume 21, Issue 1, 2005, Pages 152-158, ISSN 0956-5663, https://doi.org/10.1016/j.bios.2004.08.013. 18. Rachela Popovtzer, Amir Natan, Yosi Shacham- Diamand, Mathematical model of whole cell based bio-chip: An electrochemical biosensor for water toxicity detection, Journal of Electroanalytical Chemistry, Volume 602, Issue 1, 2007, Pages 17- 23, ISSN 1572-6657, https://doi.org/10.1016/j.jelechem.2006.11.022. 19. Romas Baronas, Nonlinear effects of diffusion limitations on the response and sensitivity of amperometric biosensors, Electrochimica Acta, Volume 240, 2017, Pages 399-407, ISSN 0013- 4686, https://doi.org/10.1016/j.electacta.2017.04.075. 20. Vytautas Ašeris, Romas Baronas, Juozas Kulys, Modelling the biosensor utilising parallel substrates conversion, Journal of Electroanalytical Chemistry, Volume 685, 2012, Pages 63-71, ISSN 1572-6657, https://doi.org/10.1016/j.jelechem.2012.06.025. 21. Mikhail A. Vorotyntsev, Anatoly E. Antipov, Reduction of bromate anion via autocatalytic redox- mediation by Br2/Br− redox couple. Theory for stationary 1D regime. Effect of different Nernst layer thicknesses for reactants, Journal of Electroanalytical Chemistry, Volume 779, 2016, Pages 146-155, ISSN 1572-6657, https://doi.org/10.1016/j.jelechem.2016.06.004. 22. H. Niu, “Spreading speeds in a lattice differential equation with distributed delay,” Turkish Journal of Mathematics, vol. 39, no. 2, pp. 235–250, 2015. 23. A. Hoffman, H. Hupkes, and E. Van Vleck, “Entire solutions for bistable lattice differential equations with obstacles,” 2017. 24. G. Marchuk, R. Petrov, A. Romanyukha, and G. Bocharov, “Mathematical model of antiviral immune response. i. data analysis, generalized picture construction and parameters evaluation for hepatitis b,” Journal of Theoretical Biology, vol. 151, no. 1, pp. 1–40, 1991, cited By 38. doi: 10.1016/S0022-5193(05)80142-0. [Online]. Available: https:// www.scopus.com/inward/ record.uri?eid=2-s2.0- 0025819779&doi=10.1016%2fS0022- 5193%2805%2980142&partnerID=40& md5=f850637085913 dc18f8e 52c5b3f28600. 25. A. Nakonechny and V. Marzeniuk, “Uncertainties in medical processes control,” LectureNotes in Economics and Mathematical Systems, vol. 581, pp. 185–192, 2006, cited By 2.doi: 10.1007/3- 540- 35262- 7_11. [Online]. Available: https://www.scopus.com/inward / record . uri? eid = 2 - s2 . 0 - 53749093113 & doi = 10 . 1007 % 2f3 - 540 - 35262 - 7_11&partnerID=40&md5=03be7ef103cbbc1e94ca cbb471daa03f. 26. Марценюк В.П. Модель імуносенсора на основі решітчастих диференціальних рівнянь із запізненням / А.С. Сверстюк // Штучний інтелект. – 2018. – № 1. – С. 42-47. 27. Martsenyuk V. Stability, bifurcation and transition to chaos in a model of immunosensor based on lattice differential equations with delay / A. Klos- Witkowska, A. Sverstiuk // Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations: No. 2018(27), р. 1-31. ISSN: 1417-3875. doi: 10.14232/ejqtde.2018.1.27. 28. Martsenyuk V. On Application of Latticed Differential Equations with a Delay for Immunosensor Modeling / I. Andrushchak, P. Zinko, A. Sverstiuk // Journal of Automation and Information Sciences – 2018. – Volume 50 – Issue 6 – ISSN:1064-2315 – Scopus Journal Metrics SJR: 0.238, SNIP: 0.464 – p. 55-65. doi: 10.1615/JAutomatInfScien.v50.i6.50.http://www.dl .begellhouse.com/journals/2b6239406278e43e,515 7b39e78fe0c7d,4cf3a70e5bbff6aa.html. References 1. L. Mosinska, K. Fabisiak, K. Paprocki, M. Kowalska, P. Popielarski, M. Szybowicz, A. Stasiak, et al., “Diamond as a transducer material for the production of biosensors,” Przemysl Chemiczny, vol. 92, no. 6, pp. 919–923, 2013. 2. C. Adley, “Past, present and future of sensors in food production,” Foods, vol. 3, no. 3, pp. 491– 510, Aug. 2014. doi: 10 . 3390 / foods3030491. [Online]. Available: https ://doi.org/10.3390/foods3030491. 3. A. Kłos-Witkowska, “Enzyme-based fluorescent biosensors and their environmental, clinical and industrial applications,” Polish Journal of Environmental Studies, vol. 24, pp. 19–25, 2015. doi: 10.15244/pjoes/28352. [Online]. Available: https://doi.org/10.15244/pjoes/28352. 4. M. Burnworth, S. Rowan, and C. Weder, “Fluorescent sensors for the detection of chemical warfare agents,” Chemistry - A European Journal, vol. 13, no. 28, pp. 7828–7836, Sep. 2007. doi: 10.1002/chem.200700720. [Online]. Available: https://doi.org/10.1002/chem.200700720. 5. P. Mehrotra, “Biosensors and their applications – a review,” Journal of Oral Biology and Craniofacial Research, vol. 6, no. 2, pp. 153–159, May 2016. doi: 10.1016/j.jobcr.2015. 12.002. [Online]. Available: https://doi.org/10.1016/j.jobcr.2015.12.002. https://doi.org/10.1016/j.electacta.2016.06.101 https://doi.org/10.1016/j.electacta.2016.06.101 file:///C:/Documents%20and%20Settings/Администратор/Local%20Settings/Temp/Rar$DI51.718/V.%20Ašeris,%20E.%20Gaidamauskaitė,%20J.%20Kulys,%20R.%20Baronas,%20Modelling%20glucose%20dehydrogenase-based%20amperometric%20biosensor%20utilizing%20synergistic%20substrates%20conversion,%20Electrochimica%20Acta,%20Volume%20146,%202014,%20Pages%20752-758,%20ISSN%200013-4686,%20https:/doi.org/10.1016/j.electacta.2014.08.125.%5d file:///C:/Documents%20and%20Settings/Администратор/Local%20Settings/Temp/Rar$DI51.718/V.%20Ašeris,%20E.%20Gaidamauskaitė,%20J.%20Kulys,%20R.%20Baronas,%20Modelling%20glucose%20dehydrogenase-based%20amperometric%20biosensor%20utilizing%20synergistic%20substrates%20conversion,%20Electrochimica%20Acta,%20Volume%20146,%202014,%20Pages%20752-758,%20ISSN%200013-4686,%20https:/doi.org/10.1016/j.electacta.2014.08.125.%5d file:///C:/Documents%20and%20Settings/Администратор/Local%20Settings/Temp/Rar$DI51.718/V.%20Ašeris,%20E.%20Gaidamauskaitė,%20J.%20Kulys,%20R.%20Baronas,%20Modelling%20glucose%20dehydrogenase-based%20amperometric%20biosensor%20utilizing%20synergistic%20substrates%20conversion,%20Electrochimica%20Acta,%20Volume%20146,%202014,%20Pages%20752-758,%20ISSN%200013-4686,%20https:/doi.org/10.1016/j.electacta.2014.08.125.%5d file:///C:/Documents%20and%20Settings/Администратор/Local%20Settings/Temp/Rar$DI51.718/V.%20Ašeris,%20E.%20Gaidamauskaitė,%20J.%20Kulys,%20R.%20Baronas,%20Modelling%20glucose%20dehydrogenase-based%20amperometric%20biosensor%20utilizing%20synergistic%20substrates%20conversion,%20Electrochimica%20Acta,%20Volume%20146,%202014,%20Pages%20752-758,%20ISSN%200013-4686,%20https:/doi.org/10.1016/j.electacta.2014.08.125.%5d file:///C:/Documents%20and%20Settings/Администратор/Local%20Settings/Temp/Rar$DI51.718/V.%20Ašeris,%20E.%20Gaidamauskaitė,%20J.%20Kulys,%20R.%20Baronas,%20Modelling%20glucose%20dehydrogenase-based%20amperometric%20biosensor%20utilizing%20synergistic%20substrates%20conversion,%20Electrochimica%20Acta,%20Volume%20146,%202014,%20Pages%20752-758,%20ISSN%200013-4686,%20https:/doi.org/10.1016/j.electacta.2014.08.125.%5d file:///C:/Documents%20and%20Settings/Администратор/Local%20Settings/Temp/Rar$DI51.718/V.%20Ašeris,%20E.%20Gaidamauskaitė,%20J.%20Kulys,%20R.%20Baronas,%20Modelling%20glucose%20dehydrogenase-based%20amperometric%20biosensor%20utilizing%20synergistic%20substrates%20conversion,%20Electrochimica%20Acta,%20Volume%20146,%202014,%20Pages%20752-758,%20ISSN%200013-4686,%20https:/doi.org/10.1016/j.electacta.2014.08.125.%5d file:///C:/Documents%20and%20Settings/Администратор/Local%20Settings/Temp/Rar$DI51.718/V.%20Ašeris,%20E.%20Gaidamauskaitė,%20J.%20Kulys,%20R.%20Baronas,%20Modelling%20glucose%20dehydrogenase-based%20amperometric%20biosensor%20utilizing%20synergistic%20substrates%20conversion,%20Electrochimica%20Acta,%20Volume%20146,%202014,%20Pages%20752-758,%20ISSN%200013-4686,%20https:/doi.org/10.1016/j.electacta.2014.08.125.%5d https://doi.org/10.1016/j.bios.2004.08.013 https://doi.org/10.1016/j.jelechem.2006.11.022 https://doi.org/10.1016/j.electacta.2017.04.075 https://doi.org/10.1016/j.jelechem.2012.06.025 http://www.scopus.com/inward/%20record.uri?eid=2-s2.0-0025819779&doi=10.1016%2fS0022-5193%2805%2980142&partnerID=40&%20md5=f850637085913%20dc18f8e%2052c5b3f28600 http://www.scopus.com/inward/%20record.uri?eid=2-s2.0-0025819779&doi=10.1016%2fS0022-5193%2805%2980142&partnerID=40&%20md5=f850637085913%20dc18f8e%2052c5b3f28600 http://www.scopus.com/inward/%20record.uri?eid=2-s2.0-0025819779&doi=10.1016%2fS0022-5193%2805%2980142&partnerID=40&%20md5=f850637085913%20dc18f8e%2052c5b3f28600 http://www.scopus.com/inward/%20record.uri?eid=2-s2.0-0025819779&doi=10.1016%2fS0022-5193%2805%2980142&partnerID=40&%20md5=f850637085913%20dc18f8e%2052c5b3f28600 http://www.scopus.com/inward/%20record.uri?eid=2-s2.0-0025819779&doi=10.1016%2fS0022-5193%2805%2980142&partnerID=40&%20md5=f850637085913%20dc18f8e%2052c5b3f28600 https://doi.org/10.14232/ejqtde https://doi.org/10.14232/ejqtde http://www.dl.begellhouse.com/journals/2b6239406278e43e,5157b39e78fe0c7d.html http://www.dl.begellhouse.com/journals/2b6239406278e43e,5157b39e78fe0c7d.html doi:%2010.1615/JAutomatInfScien.v50.i6.50. doi:%2010.1615/JAutomatInfScien.v50.i6.50. http://www.dl.begellhouse.com/journals/2b6239406278e43e,5157b39e78fe0c7d,4cf3a70e5bbff6aa.html http://www.dl.begellhouse.com/journals/2b6239406278e43e,5157b39e78fe0c7d,4cf3a70e5bbff6aa.html http://www.dl.begellhouse.com/journals/2b6239406278e43e,5157b39e78fe0c7d,4cf3a70e5bbff6aa.html ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 2 © В.П. Марценюк, А.С. Сверстюк, Н.В. Козодій 101 6. Martsenyuk V.P. Study of classification of immunosensors from viewpoint of medical tasks / A. Klos-Witkowska, A.S. Sverstiuk // Medical informatics and engineering. – 2018.-№ 1(41). – p.13-19. doi: https://dx.doi.org/10.11603/mie.1996- 1960.2018.1.8887. 7. Bihuniak T.V. Deiaki aspekty vykorystannia imunosensoriv u medytsyni / T.V. Bihuniak, A.S. Sverstiuk, K.O. Bihuniak // Medychnyi forum. – 2018. – № 14 (14). – S. 8-11. 8. Martsenyuk V.P. On principles, methods and areas of medical and biological application of optical immunosensors / A. Klos-Witkowska, A.S. Sverstiuk, T.V. Bihunyak // Medical informatics and engineering. – 2018.-№ 2 (42). – p.28-36. doi: https://dx.doi.org/10.11603/mie.1996- 1960.2018.2.9289. 9. C. Moina and G. Ybarra, “Fundamentals and applications of immunosensors,” Advances in immunoassay technology, pp. 65–80, 2012. 10. A. Kłos-Witkowska, “The phenomenon of fluorescence in immunosensors,” Acta Biochimica Polonica, vol. 63, no. 2, pp. 215–221, 2016. doi: 10.18388/abp.2015_1231. [Online]. Available: https://doi.org/10.18388/abp.2015_1231. 11. V. Marzeniuk, “Taking into account delay in the problem of immune protection of organism,” Nonlinear Analysis: Real World Applications, vol. 2, no. 4, pp. 483–496, 2001, cited By 2. doi: 10.1016/S1468-1218(01)00005-0. [Online]. Available: https://www.scopus.com/inward/ record.uri?eid=2-s2.0- 0041331752&doi=10.1016%2fS1468- 1218%2801%2900005- 0&partnerID=40&md5=9943d225f352151e77407 b48b18ab1a9. 12. A. Prindle, P. Samayoa, I. Razinkov, T. Danino, L. S. Tsimring, and J. Hasty, “A sensing array of radically coupled genetic ‘biopixels’,” Nature, vol. 481, no. 7379, pp. 39–44, Dec. 2011. doi: 10 .1038/ nature10722. [Online]. Available: https : // doi . org/ 10 .1038/nature10722. 13. T. D. Gibson, “Biosensors: The stabilité problem,” Analusis, vol. 27, no. 7, pp. 630– 638,1999. 14. Y. Kuang, Delay differential equations with applications in population dynamics. New York:Academic Press, 1993. 15. 3 11 Romas Baronas, Antanas Žilinskas, Linas Litvinas, Optimal design of amperometric biosensors applying multi-objective optimization and decision visualization, Electrochimica Acta, Volume 211, 2016, Pages 586-594, ISSN 0013- 4686,https://doi.org/10.1016/j.electacta.2016.06.101. 16. V. Ašeris, E. Gaidamauskaitė, J. Kulys, R. Baronas, Modelling glucose dehydrogenase- based amperometric biosensor utilizing synergistic substrates conversion, Electrochimica Acta, Volume 146, 2014, Pages 752-758, ISSN 0013-4686, https://doi.org/10.1016/j.electacta.2014.08.125.] 17. Juozas Kulys, Lidija Tetianec, Synergistic substrates determination with biosensors, Biosensors and Bioelectronics, Volume 21, Issue 1, 2005, Pages 152-158, ISSN 0956-5663, https://doi.org/10.1016/j.bios.2004.08.013. 18. Rachela Popovtzer, Amir Natan, Yosi Shacham- Diamand, Mathematical model of whole cell based bio-chip: An electrochemical biosensor for water toxicity detection, Journal of Electroanalytical Chemistry, Volume 602, Issue 1, 2007, Pages 17-23, ISSN 1572-6657, https://doi.org/10.1016/j.jelechem.2006.11.022. 19. Romas Baronas, Nonlinear effects of diffusion limitations on the response and sensitivity of amperometric biosensors, Electrochimica Acta, Volume 240, 2017, Pages 399-407, ISSN 0013- 4686, https://doi.org/10.1016/j.electacta.2017.04.075. 20. Vytautas Ašeris, Romas Baronas, Juozas Kulys, Modelling the biosensor utilising parallel substrates conversion, Journal of Electroanalytical Chemistry, Volume 685, 2012, Pages 63-71, ISSN 1572-6657, https://doi.org/10.1016/j.jelechem.2012.06.025. 21. Mikhail A. Vorotyntsev, Anatoly E. Antipov, Reduction of bromate anion via autocatalytic redox-mediation by Br2/Br− redox couple. Theory for stationary 1D regime. Effect of different Nernst layer thicknesses for reactants, Journal of Electroanalytical Chemistry, Volume 779, 2016, Pages 146-155, ISSN 1572-6657, https://doi.org/10.1016/j.jelechem.2016.06.004. 22. H. Niu, “Spreading speeds in a lattice differential equation with distributed delay,” Turkish Journal of Mathematics, vol. 39, no. 2, pp. 235–250, 2015. 23. A. Hoffman, H. Hupkes, and E. Van Vleck, “Entire solutions for bistable lattice differential equations with obstacles,” 2017. 24. G. Marchuk, R. Petrov, A. Romanyukha, and G. Bocharov, “Mathematical model of antiviral immune response. i. data analysis, generalized picture construction and parameters evaluation for hepatitis b,” Journal of Theoretical Biology, vol. 151, no. 1, pp. 1–40, 1991, cited By 38. doi: 10.1016/S0022-5193(05)80142-0. [Online]. Available: https:// www.scopus.com/inward/ record.uri?eid=2-s2.0- 0025819779&doi=10.1016%2fS0022- 5193%2805%2980142&partnerID=40& md5=f850637085913 dc18f8e 52c5b3f28600. 25. A. Nakonechny and V. Marzeniuk, “Uncertainties in medical processes control,” LectureNotes in Economics and Mathematical Systems, vol. 581, pp. 185–192, 2006, cited By 2.doi: 10.1007/3- ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 2 102 © В.П. Марценюк, А.С. Сверстюк, Н.В. Козодій 540- 35262- 7_11. [Online]. Available: https://www.scopus.com/inward / record . uri? eid = 2 - s2 . 0 - 53749093113 & doi = 10 . 1007 % 2f3 – 540 - 35262 - 7_11&partnerID=40&md5=03be7ef103cbbc1e94 cacbb471daa03f. 26. Martseniuk V.P. Model imunosensora na osnovi reshitchastykh dyferentsialnykh rivnian iz zapiznenniam / A.S. Sverstiuk // Shtuchnyi intelekt. – 2018. – № 1. – S. 42-47. 27. Martsenyuk V. Stability, bifurcation and transition to chaos in a model of immunosensor based on lattice differential equations with delay / A. Klos-Witkowska, A. Sverstiuk // Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations: No. 2018(27), р. 1-31. ISSN: 1417- 3875. DOI: 10.14232/ejqtde.2018.1.27. 28. Martsenyuk V. On Application of Latticed Differential Equations with a Delay for Immunosensor Modeling / I. Andrushchak, P. Zinko, A. Sverstiuk // Journal of Automation and Information Sciences – 2018. – Volume 50 – Issue 6 – ISSN:1064-2315 – Scopus Journal Metrics SJR: 0.238, SNIP: 0.464 – p. 55-65. doi: 10.1615/JAutomatInfScien.v50.i6.50.http://www. dl.begellhouse.com/journals/2b6239406278e43e,5 157b39e78fe0c7d,4cf3a70e5bbff6aa.html. RESUME V.P. Martsenyuk, A.S. Sverstiuk, N.V. Kozodii About approaches on mathematical simulation of biosensor and immunosensor dynamic systems The paper considers the approach to the mathematical models of biosensors and immunosensors that take into account biological assumptions about the main components of the device: the symmetric geometry of the biosensor and the homogeneous distribution of the immobilized enzyme and the binding reaction in the enzyme layer, the kinetic properties of the bacterial enzymatic reactions, the Micheleis-Menten kinetics, the colonies antigens and antibodies localized in pixels, diffusion of colonies of antigens between pixels, and others. In the work the model of immunosensor is proposed, which is based on the system of lattice differential equations with delay. The construction of the model is based on a number of biological assumptions about the interaction of colonies of antigens and antibodies, as well as the diffusion of antigens. Namely, they are the following:  we have some constant birthrate for antigen population; antigens are neutralized by antibodies with some probability rate;  antigens are neutralized by antibodies with some probability rate;  we have some diffusion of antibodies from four neighboring pixels with diffusion rate;  we have some constant dirthrate of antibodies;  as a result of immune response we have increase of density of antibodies with probability rate; antibody population tends to some carrying capacity with some rate;  immune response appears with some constant time delay. The most important thing is to take into account spacially discrete character of the model. On the other hand we use the predator- prey model for the description of immune response in each pixel. The time delay of immune response is described by the apparatus of delay differential equations. For the description of discrete spaces in the space of the colonies, localized in the corresponding pixels, the apparatus of lattice differential equations is used. Lattice differential equations arise in many applied subjects, such as chemical reaction, image processing, material science, and biology. In the models of lattice differential equations, the spatial structure has a discrete character, and lattice dynamics have recently been extensively used to model biological problems since the environment in which the species population lives may be discrete but not continuous. Such approach is appropriate for our problem. Надійшла до редакції 12.09.2018

Про підходи щодо математичного моделювання біосенсорних та імуносенсорних динамічних систем

Institution

Ähnliche Einträge