7-значнi логіки та логіки загальних недетермінованих предикатів

Досліджено новий клас програмно-орієнтованих логічних формалізмів – логіки загальних недетермі-нованих предикатів, або GND-предикатів. Виділено різновиди GND-предикатів, описано їх композиційні алгебри. Показано зв'язок GND-предикатів із 7-значними тотальними детермінованими предикатами – TD7-п...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2018
Hauptverfasser:	Нікітченко, М.С., Шкільняк, O.С., Шкільняк, С.С.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України 2018
Schriftenreihe:	Штучний інтелект
Schlagworte:	Теорія та засоби обчислювального інтелекту
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162380
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	7-значнi логіки та логіки загальних недетермінованих предикатів / М.С. Нікітченко, O.С. Шкільняк, С.С. Шкільняк // Штучний інтелект. — 2018. — № 2 (80). — С. 110-121. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-162380
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1623802025-02-09T15:05:22Z 7-значнi логіки та логіки загальних недетермінованих предикатів 7-values logics and logics of general non-deterministic predicates Нікітченко, М.С. Шкільняк, O.С. Шкільняк, С.С. Теорія та засоби обчислювального інтелекту Досліджено новий клас програмно-орієнтованих логічних формалізмів – логіки загальних недетермі-нованих предикатів, або GND-предикатів. Виділено різновиди GND-предикатів, описано їх композиційні алгебри. Показано зв'язок GND-предикатів із 7-значними тотальними детермінованими предикатами – TD7-предикатами. Виділено алгебру істиннісних значень TD7-предикатів, описано усі її підалгебри. Досліджено індукування алгебрами істиннісних значень відповідних алгебр GND-предикатів. Це засвідчує особливу роль логіки ТD7-предикатів серед 7-значних логік. Підтвердженням такої ролі є ґенерування логіки TD7-предикатів із сильної 3-значної логіки Кліні. A new class of program-oriented logical formalisms – a logic of general non-deterministic predicates, or GND-predicates – is investigated. Different types of GND-predicates are identified, their compositional algebras are described. The connection of GND-predicates with 7-valued total deterministic predicates, or TD7-predicates, is demonstrated. The algebra of truth values of TD7-predicates is specified; all its subalgebras are described. Such algebras induce subalgebras of corresponding GND-predicates; their properties are investigated. This demonstrates the special role of the logic of TD7-predicates among the 7-valued logics. The confirmation of this role is the generation of the logic of TD7 predicates from the strong 3-valued Kleene logic. 2018 Article 7-значнi логіки та логіки загальних недетермінованих предикатів / М.С. Нікітченко, O.С. Шкільняк, С.С. Шкільняк // Штучний інтелект. — 2018. — № 2 (80). — С. 110-121. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162380 004.42:510.69 uk Штучний інтелект application/pdf Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Теорія та засоби обчислювального інтелекту Теорія та засоби обчислювального інтелекту
spellingShingle	Теорія та засоби обчислювального інтелекту Теорія та засоби обчислювального інтелекту Нікітченко, М.С. Шкільняк, O.С. Шкільняк, С.С. 7-значнi логіки та логіки загальних недетермінованих предикатів Штучний інтелект
description	Досліджено новий клас програмно-орієнтованих логічних формалізмів – логіки загальних недетермі-нованих предикатів, або GND-предикатів. Виділено різновиди GND-предикатів, описано їх композиційні алгебри. Показано зв'язок GND-предикатів із 7-значними тотальними детермінованими предикатами – TD7-предикатами. Виділено алгебру істиннісних значень TD7-предикатів, описано усі її підалгебри. Досліджено індукування алгебрами істиннісних значень відповідних алгебр GND-предикатів. Це засвідчує особливу роль логіки ТD7-предикатів серед 7-значних логік. Підтвердженням такої ролі є ґенерування логіки TD7-предикатів із сильної 3-значної логіки Кліні.
format	Article
author	Нікітченко, М.С. Шкільняк, O.С. Шкільняк, С.С.
author_facet	Нікітченко, М.С. Шкільняк, O.С. Шкільняк, С.С.
author_sort	Нікітченко, М.С.
title	7-значнi логіки та логіки загальних недетермінованих предикатів
title_short	7-значнi логіки та логіки загальних недетермінованих предикатів
title_full	7-значнi логіки та логіки загальних недетермінованих предикатів
title_fullStr	7-значнi логіки та логіки загальних недетермінованих предикатів
title_full_unstemmed	7-значнi логіки та логіки загальних недетермінованих предикатів
title_sort	7-значнi логіки та логіки загальних недетермінованих предикатів
publisher	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
publishDate	2018
topic_facet	Теорія та засоби обчислювального інтелекту
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162380
citation_txt	7-значнi логіки та логіки загальних недетермінованих предикатів / М.С. Нікітченко, O.С. Шкільняк, С.С. Шкільняк // Штучний інтелект. — 2018. — № 2 (80). — С. 110-121. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.
series	Штучний інтелект
work_keys_str_mv	AT níkítčenkoms 7značnilogíkitalogíkizagalʹnihnedetermínovanihpredikatív AT škílʹnâkos 7značnilogíkitalogíkizagalʹnihnedetermínovanihpredikatív AT škílʹnâkss 7značnilogíkitalogíkizagalʹnihnedetermínovanihpredikatív AT níkítčenkoms 7valueslogicsandlogicsofgeneralnondeterministicpredicates AT škílʹnâkos 7valueslogicsandlogicsofgeneralnondeterministicpredicates AT škílʹnâkss 7valueslogicsandlogicsofgeneralnondeterministicpredicates
first_indexed	2025-11-27T04:38:10Z
last_indexed	2025-11-27T04:38:10Z
_version_	1849916963016409088
fulltext	ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 2 110 © М.С. Нікітченко, O.С. Шкільняк, С.С. Шкільняк УДК 004.42:510.69 М.С. Нікітченко, O.С. Шкільняк, С.С. Шкільняк Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Україна вул. Володимирська, 60, м. Київ, 01601 7-ЗНАЧНI ЛОГІКИ ТА ЛОГІКИ ЗАГАЛЬНИХ НЕДЕТЕРМІНОВАНИХ ПРЕДИКАТІВ М. Nikitchenko, O. Shkilniak, S. Shkilniak Taras Shevchenko National University of Kyiv, Ukraine 60, Volodymyrska st., Kyiv, 01601 7-VALUES LOGICS AND LOGICS OF GENERAL NON-DETERMINISTIC PREDICATES Досліджено новий клас програмно-орієнтованих логічних формалізмів – логіки загальних недетермі- нованих предикатів, або GND-предикатів. Виділено різновиди GND-предикатів, описано їх композиційні алгебри. Показано зв'язок GND-предикатів із 7-значними тотальними детермінованими предикатами – TD7- предикатами. Виділено алгебру істиннісних значень TD7-предикатів, описано усі її підалгебри. Досліджено індукування алгебрами істиннісних значень відповідних алгебр GND-предикатів. Це засвідчує особливу роль логіки ТD7-предикатів серед 7-значних логік. Підтвердженням такої ролі є ґенерування логіки TD7-предикатів із сильної 3-значної логіки Кліні. Ключові слова: логіка, алгебра, недетермінований предикат, багатозначна логіка A new class of program-oriented logical formalisms – a logic of general non-deterministic predicates, or GND- predicates – is investigated. Different types of GND-predicates are identified, their compositional algebras are described. The connection of GND-predicates with 7-valued total deterministic predicates, or TD7-predicates, is demonstrated. The algebra of truth values of TD7-predicates is specified; all its subalgebras are described. Such algebras induce subalgebras of corresponding GND-predicates; their properties are investigated. This demonstrates the special role of the logic of TD7-predicates among the 7-valued logics. The confirmation of this role is the generation of the logic of TD7 predicates from the strong 3-valued Kleene logic. Keywords: logic, predicate, non-deterministic predicate, many-valued logic Вступ Розширення сфери застосування інформаційних технологій та їх розвиток виводять на перший план задачу створення надійних і ефективних програмних систем. В основі цих систем лежить апарат мате- матичної логіки (див., напр., [1]). Зазвичай це класична логіка предикатів та базовані на ній спеціальні логіки (модальні, темпо- ральні, епістемічні, алгоритмічні, прог- рамні тощо). Проте класична логіка має низку принципових обмежень. Найістот- нішим є те, що вона не враховує широкого використання в програмних системах та системах штучного інтелекту часткових недетермінованих відображень над непов- ними даними. Тому проблема побудови нових, програмно-орієнтованих логічних формалізмів набуває особливої актуаль- ності. Такими формалізмами є компози- ційно-номінативні логіки (КНЛ) квазіар- них предикатів (див., напр., [2–4]). Передумовою виникнення КНЛ стала необхідність посилення можливостей кла- сичної логіки для розв'язання нових задач інформатики й програмування. Метою пропонованої роботи є дос- лідження нових класів програмно-орієнто- ваних логік – КНЛ загальних недетермі- нованих квазіарних предикатів, або GND- предикатів. Ці логіки відображають такі властивості програм, як недетермінізм, частковість, нефіксовану арність. Логіки недетермінованих квазіарних предикатів є подальшим узагальненням логік часткових та недетермінованих предикатів [5–8], зо- крема, часткових неоднозначних преди- катів реляційного типу – R-предикатів [3]. Семантичні властивості GND-преди- катів вивчались, зокрема, в роботах [9, 10]. Виділено різновиди GND-предикатів, дос- ліджено властивості їх композицій, опи- сано композиційні алгебри та мови логіки GND-предикатів. Встановлено зв'язок ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 2 © М.С. Нікітченко, O.С. Шкільняк, С.С. Шкільняк 111 GND-предикатів із 7-значними тотальни- ми детермінованими предикатами. Подаль- ше дослідження такого зв’язку наведено в даній роботі. Останнім часом багатозначні логіки набувають особливої ролі в інформатиці, програмуванні, штучному інтелекті. Вико- ристання багатозначних логік доцільне для адекватної формалізації складних програм- них систем. При цьому найбільш дослідже- ними є 3-значні логіки (найперше, 3-значна логіка Лукасевича, сильна та слабка 3-знач- ні логіки Кліні 11), із 4-значних особливої уваги заслуговує логіка Белнапа 12, із 5- значних виділимо EU-логіку 13. При цьому сильна 3-значна логіка Кліні та ло- гіка Белнапа посідають (див. [3) особливе місце серед 3-значних логік та 4-значних логік. Це означає наступне: алгебри P-пре- дикатів (часткових однозначниx) та T-пре- дикатів (тотальних неоднозначниx) тради- ційної 2-значної логіки ізоморфні алгебрі сильної 3-значної логіки Кліні; алгебра R- предикатів (часткових неоднозначниx) 2- значної логіки ізоморфна алгебрі 3-значної логіки Белнапа. GND-предикати можна моделювати як ТD7-предикати – 7-значні тотальні детерміновані предикати, що засвідчує осо- бливу роль логіки ТD7-предикатів серед 7- значних логік. Підтвердженням такої осо- бливості є отриманий у даній роботі резуль- тат про те, що 7-значну логіку TD7-преди- катів можна отримати із сильної 3-значної логіки Кліні за допомогою конструкції пов- ного образу. Зазначимо, що сильна 3-значна логіка Кліні, яка посідає особливе місце серед 3-значних логік, теж отримується (див. [14]) за допомогою конструкції пов- ного образу із класичної 2-значної логіки. Це ще раз підтверджує особливий статус логіки ТD7-предикатів серед 7-значних логік. Поняття, які в цій роботі не визначені, будемо тлумачити у значенні [3, 9, 10]. Різновиди GND-предикатів Сутність поняття недетермінованого предиката можна пояснити так. Уявімо собі складний предикат-механізм, утво- рений із базових предикатів-механізмів за допомогою композицій. Такий складний предикат може містити багато екземплярів одного і того ж базового предиката. Через нечіткість та неповну визначеність деяких даних базовий предикат може функціону- вати недетермінованим чином: на одному і тому ж даному одні його екземпляри можуть приймати значення T, інші – значення F, а деякі його екземпляри можуть не приймати жодного значення. Зрозуміло, що для кожного екземпляра недетермінованого предиката має бути принаймні одна з цих можливостей. Таким чином, недетермінований ква- зіарний предикат P : VA® {T, F} при засто- суванні до даного dVА може приймати значення T, приймати значення F, а може і не приймати жодного значення (бути неви- значеним). Для кожного dVА має бути принаймні одна з цих ситуацій, що загалом дає 7 можливостей для прийняття значення при застосуванні до певного даного. Заува- жимо, що така ситуація неможлива для предикатів реляційного типу: там або приймається значення T чи F (можливо, навіть обидва), або не приймається жодного. Загальні недетерміновані квазіарні предикати називаємо GND-предикатами. Клaс V-А-квазіарних GND-предикатів позначимо PrGV–A. Кожний GND-предикат P : VA® {T, F} однозначно описуємо за допомогою 3-х множин – областей істинності T(P), хибності F(P), невизначеності (P): - T(P) = {d \| P може приймати на d значення T} = {dVA \| TP[d]}; - F(P) = {d \| P може приймати на d значення F} = {dVA \| FP[d]}; - (P) = {d \| P може бути невизначеним на d}} = {dVA \| P[d]}. Кожне dVА має бути принаймі в одній з цих множин, тому загальна умова: F(P)  T(P)  (P) = VA. (G) Множину T(P)  F(P) назвемо облас- тю амбівалентності GND-предиката P. Областi істинності, хибності, неви- значеності, амбівалентності будемо нази- вати T-областю, F-областю, U-областю (a також -областю), A-областю. ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 2 112 © М.С. Нікітченко, O.С. Шкільняк, С.С. Шкільняк Множину T(P)  F(P)  (P) назвемо областю цілковитої недетермінованості, або областю амбівалентності з невизна- ченістю, або AU-областю. Для однозначного задання V-A-квазі- арного R-предиката P достатньо множин T(P) та F(P). Для R-предикатів немає потреби окремо вводити множину (P), адже вона однозначно визначається через T(P) та F(P): ( ) ( ) ( )P T P F P   (R) R-предикати можна трактувати як GND-предикати, для яких вірна умова (R). Зауважимо, що умова (G) рівносиль- на умові ( ) ( )T P F P (P), граничним випадком якої є умова (R) для R-преди- катів. Накладаючи обмеження на області істинності, хибності й невизначеності, виділимо низку класів GND-предикатів. При цьому має виконуватись умова (G). V-A-квазіарний GND-предикат P: - однозначний, або SG-предикат, якщо T(P)F(P) = ; - тотальний, або TG-предикат, якщо T(P)F(P) = VA; - виконуваний, якщо T(P)  ; - неспростовний, якщо F(P) = ; - тотально істинний, якщо T(P) = VА; - тотально хибний, якщо F(P) = VА; - тотально невизначений, або TIG- предикат, якщо (P) = VА; - тотально амбівалентний, або TAmG- предикат, якщо T(P) = F(P) = VА. TIG-предикати дуже подібні до R- предикатів: кожний TIG-предикат цілком визначається тільки T-областю та F-облас- тю. Існують SG-предикати і TG-преди- кати, які не є R-предикатами, та навпаки. Поєднуючи (де це можливо) наведені вище умови з умовою (R), отримуємо низку класів R-предикатів. GND-предикат P: - однозначний R-предикат, або P-преди- кат, якщо T(P)F(P) =  та (R); - тотальний R-предикат, або T-преди- кат, якщо (P) = ; - умова (G) тоді дає T(P)F(P) = VA, тому кожний T-предикат є TG-преди- катом; - TS-предикат, якщо T(P)F(P) =  та (P) = ; тоді (G) дає T(P)F(P) = VA; - неспростовний R-предикат, якщо F(P) =  та ( ) ( )P T P  ; - невиконуваний R-предикат, якщо T(P) =  та ( ) ( )P F P  ; - тотально хибний R-предикат, якщо F(P) = VА та (P) = ; - тотально істинний R-предикат, якщо T(P) = VА та (P) = . Неспростовні R-предикати та невиконувані R-предикати є P-предика- тами. Поєднання відповідних умов дає, зокрема, такі класи GND-предикатів: - TSG-предикати (умови T(P)F(P) =  та T(P)F(P) = VA); - STIG-предикати (умови (P) = VA та T(P)F(P) = ); - TTIG-предикати (умови (P) = VA та T(P)F(P) = VA); - TSTIG-предикати (умови (P) = VA, T(P)F(P) =  та T(P)F(P) = VA). Можна виділити 7 константних V-A- квазіарних GND-предикатів. - P тотожно істинний (позн. T): умова F(P) = (P) =  та T(P) = VА; - P тотожно хибний (позн. F): умова T(P) = (P) =  та F(P) = VА; - P тотально істинно-невизначений (позн. T): умова T(P) = (P) = VА та F(P) = ; - P тотально хибно-невизначений (позн. F): умова F(P) = (P) = VА та T(P) = ; - P тотожно невизначений (позн. ): умова T(P) = F(P) =  та (P) = VА; - P тотально амбівалентний (позн. ): умова T(P) = F(P) = VА та (P) = ; - P тотально недетермінований (позн. ): умова T(P) = F(P) = (P) = VА. Зрозуміло, що предикати T, F, ,  є константними R-предикатами. ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 2 © М.С. Нікітченко, O.С. Шкільняк, С.С. Шкільняк 113 Увівши до розгляду U-область і A-об- ласть, задамо спеціальні класи GND-пре- дикатів, які не є R-предикатами, окрім вироджених випадків. GND-предикат P: – AU-предикат, якщо T(P)F(P)  (P); – UA-предикат, якщо (P)  T(P)F(P); – U=A-предикат, якщо (P) = T(P)F(P); – nU=A-предикат, якщо ( )P T(P)F(P); – AnU-предикат, якщо T(P)F(P) ( )P  (що рівносильно T(P)F(P)(P) = ); – ImG-предикат (with imprecise values), якщо ( )P T(P)F(P); – UAU-предикат, якщо ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))P T P F P T P F P     ; – RAU-предикат, якщо ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))P T P F P T P F P     . Теорема 1. 1. Неоднозначні AU-предикати не є R- предикатами. 2. Кожний SG-предикат є AU-предикатом та є AnU-предикатом. 3. При (P) =  AU-предикати та U=A- предикати стають TS-предикатами. 4. Кожний UA-предикат тотальний; кожний U=A-предикат тотальний. 5. Тотальні R-предикати (T-предикати) є UA-предикатами. 6. UA-предикати та U=A-предикати з умовою (P) ≠  не є R-предикатами. 7. Кожний R-предикат є AnU-предика- том. 8. Для R-предикатів ImG-умова дає виро- джений клас із умовою T(P) = F(P). 9. Кожний TIG-предикат є ImG-преди- катом. 10. Кожний TAmG-предикат є тотальним ImG-предикатом. 11. Кожний UAU-предикат є AU-преди- катом та є RAU-предикатом. Нехай  – назва класу GND-предика- тів (напр., SG, TIG). Тоді відповідний клас V-A-квазіарних  -предикатів позначаємо PrV–A (напр., PrSGV–A, PrTIGV–A). Якщо V та A маємо на увазі, то позна- чаємо просто Pr (напр., PrSG, PrTIG). Теорема 2. 1. Поєднання UA, U=A із T(P)F(P) = VA дає ті ж самі класи тотальних предикатів: PrUA = PrTUA; PrU=A = PrTU=A. 2. Поєднання AU, AnU, ImG, nU=A, UA, U=A із T(P)F(P) =  дає такі класи: PrSAU = PrSAnU = PrSG; PrSImG = PrSnU=A = PrSTIG; PrSUA = PrSU=A = PrTS. 3. Поєднання умов AU, ImG, AnU, nU=A із T(P)F(P) = VA дає нові класи тотальних предикатів: PrTAU, PrTImG, PrTAnU, PrTnU=A. Композиційні алгебри GND-предикатів Для GND-предикатів базові пропози- ційні композиції (логічні зв’язки)  та  задаємо через області істинності, хибності, невизначеності предикатів P та PQ: T(P) = F(P), F(P) = T(P), (P) = (P); T(PQ) = T(P)  T(Q), F(PQ) = F(P)  F(Q), (PQ) = (F(P)  (Q))   ((P)  F(Q))  ((P)  (Q)). Пропозиційні композиції  та & є похідними, вони задаються через  та : PQ = P  Q та P&Q = (P  Q). Пропозиційну композицію & можна подати так: T(P&Q) = T(P)  T(Q), F(P&Q) = F(P)  F(Q), (P&Q) = (T(P)  (Q))   ((P)  T(Q))  ((P)  (Q)). Властивості GND-предикатів на про- позиційному рівні описано в [9, 10]. Зокрема, для GND-предикатів маємо такі закони традиційної логіки: 1. Комутативність  та &: PQ = QP та P&Q = Q&P; 2. Асоціативність  та &: (PQ)R = P(QR) та (P&Q)&R = P&(Q&R); 3. Зняття подвійного заперечення: P = Р; 4. Контрапозиція: P  Q = Q  P; 5. Ідемпотентність  та &: ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 2 114 © М.С. Нікітченко, O.С. Шкільняк, С.С. Шкільняк Р = РР та Р = Р&Р; 6. Закони де Моргана: (PQ) = P & Q та (P&Q) = P  Q. Характерною особливістю GND-пре- дикатів є те, що збіжність областей істинності та хибності не означає збіжності їх областей невизначеності. Приклад 1. Маємо T(P&Q  P) = T((PQ) & P) = T(P), F(P&Q  P) = F((PQ) & P) = F(P); водночас (P&Q  P) = ((PQ) & P) = = (P)  (F(P)  T(P)  (Q)). Це можна трактувати так, що при ускладненні опису предиката зростає неви- значеність його функціонування (наростає ентропія опису). При переході від простого опису P до складнішого із залученням Q до опису P, до області невизначеності (P) додається компонента F(P)  T(P)  (Q), яка може бути ≠ . Отже, в класі R-предикатів збігаються P, (PQ) & P та P&Q  P, водночас в класі GND-предикатів (PQ) & P та P&Q  P збігаються, проте вони не збігаються із P. Приклад 2. ((P&R)(Q&R)) = ((PQ)&R)   (((P)(Q))  F(R)  T(R)). Приклад 3. Візьмемо dVА таке: d(Q); d(P), dF(P); d(R), dF(R), dT(R). Тоді d((P&R)(Q&R)) та d((PQ)&R). Приклади 1–3 засвідчують, що для GND-предикатів не виконуються такі важливі закони традиційної логіки: - закони поглинання для  та &; - закони дистрибутивності для  та &. R-предикати можна трактувати як GND-предикати із умовою (R). Водночас пропозиційні композиції GND-предикатів виводять за межі R-предикатів. Приклад 4. Нехай R-предикат P дуальний до R- предиката P. Тоді P P та &P P вже не є R-предикатами. Для GND-предикатів композицію реномінації R :v x V A V APrG PrG ® задаємо традиційно, так, як і для R-предикатів: R ( )[ ] [r ( )]v v x xP d P d для кожного dVА; Базову композицію квантифікації : V A V Ax PrG PrG  ® для GND-предикатів задаємо через області істинності, хибності та невизначеності предиката xP: T(xP) = {dVA \| d  x a T(Р) для деякого aA}, F(xP) = {dVA \| d  x a F(Р) для всіх aA}, (xP) = {d VA \| d  x a (Р)  F(Р) для всіх aA та d  x b (Р) для деякого bA}. Композиція х є похідною, через х та  її подаємо так: хР = хР. Основні властивості композицій реномінації та квантифікації для GND-пре- дикатів такі ж як для R-предикатів Специ- фічні особливості композицій квантифі- кації GND-предикатів пов’язані з наяв- ністю відносно незалежної -області. Таким чином, побудовано наступні композиційні алгебри GND-предикатів: – пропозиційнa алгебрa APGV–A = (PrGV–A, {, }); – реномінативнa алгебрa ARGV–A = (PrGV–A, {, , Rv x }); – чистa першопорядковa алгебрa AQGV–A = (PrGV–A, {, , R ,v x x}). Для певного класу  GND-предикатів (напр., SG-предикатів) відповідну компози- ційну предикатну алгебру пропозиційного рівня позначаємо APV–A (напр., APSGV–A ), реномінативного рівня – ARV–A (напр., ARSGV–A ), кванторного рівня (чисту першо- порядкову алгебру) – AQV–A (напр., AQSGV–A ). Якщо V та A маємо на увазі, то позначаємо просто AP, AR, AQ (напр., APSG, ARSG, AQSG). Алгебра істиннісних значень TD7- предикатів та її підалгебри Множиною значень P[d], які GND- предикат P може прийняти на даному dVА, може бути одна з множин {}, {T}, {F}, ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 2 © М.С. Нікітченко, O.С. Шкільняк, С.С. Шкільняк 115 {T, F}, {T, }, {F, }, {T, F, }. Ці множини далі позначаємо , T, F, TF, T, F, TF. Тому GND-предикати можна моделювати як TD7-предикати – 7-значні тотальні детермі- новані предикати. Множиною істиннісних значень TD7-предикатів є множина TV7 = {T, F, T, F, , TF, TF}. Клас V-А-квазіарних TD7-предикатів позначимо PrTD7V–A. Для опису зв’язку GND-предикатів та TD7-предикатів розглянемо алгебри істин- нісних значень TD7-предикатів та композиційні алгебри TD7-предикатів. Пропозиційні композиції TD7-преди- катів ,  та & можна задавати тради- ційним чином – за допомогою таблиць істинності. Ці композиції задамо так: P T F  TF T F TF P F T  TF F T TF  T F  TF T F TF T T T T T T T T F T F  TF T F TF  T   T T  T TF T TF T TF T TF TF T T T T T T T T F T F  TF T F TF TF T TF T TF T TF TF  T F  TF T F TF T T F  TF T F TF F F F F F F F F   F  F  F F TF TF F F TF TF F TF T T F  TF T F TF F F F F F F F F TF TF F F TF TF F TF Композиції  та  візьмемо як базові пропозиційні композиції TD7-пре- дикатів. Тоді композиція & є похідною, вона задається так: P & Q = (P  Q). Також можна задати похідну композицію : P  Q = P  Q. Множина TV7 замкнена щодо  та , вона замкнена також щодо  та . Алгебру ATV7 = (TV7, {, }) назвемо пропозиційною алгеброю істиннісних значень TD7-предикатів. Композиційну алгебру AТD7V–A = = (PrTD7V–A, {, }), де {, } – множина базових композицій, назвемо пропозиційною алгеброю TD7-предикатів. Теорема 3. Для GND-предикатів маємо такі закони традиційної логіки: 1. Комутативність  та &: P  Q = Q  Q; P & Q = Q & P; 2. Асоціативність  та &: (P  Q) R = P  (Q  R); (P&Q)&R = P&(Q&R); 3. Зняття подвійного заперечення:   P = Р; 4. Контрапозиція: P  Q = Q  P; 5. Ідемпотентність  та &: Р = Р  Р; Р = Р & Р; 6. Закони де Моргана: (P  Q) = (P) &  (Q); (P & Q) = (P)  (Q). Приклад 5. Для TD7-предикатів невірні закони дистрибутивності Справді: (  T)  TF = T  TF = TF, водночас (  TF)  (T  TF) = F  TF = TF; (  F)  TF = F  TF = TF, водночас (  TF)  (F  TF) = TF  TF = TF. Приклад 6. Для TD7-предикатів невірні закони поглинання. Справді: TF  (TF  ) = TF  F = TF  TF; TF (TF  ) = TF  T = TF  TF. Таким чином, у логіці TD7-преди- катів, як і в логіці GND-предикатів, невірні закони дистрибутивності та закони погли- нання для диз’юнкції та кон’юнкції. Індукування алгебрами істиннісних значень алгебр GND-предикатів Алгебра ATV7 та її підалгебри інду- кують композиційні алгебри GND-предикатів на пропозиційному, реномінативному, чисто- му першопорядковому рівнях. ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 2 116 © М.С. Нікітченко, O.С. Шкільняк, С.С. Шкільняк Зв'язок алгебри ATV7 та алгебр APGV–A, ARGV–A, AQGV–A встановлюється так. Наявність певного істиннісного зна- чення  в TV7 означає, що існують предикат PPrGV–A та dVA такі, що P[d]. Кожна підалгебра алгебри ATV7 індукує відповідну підалгебру алгебри TD7-предикатів AТD7V–A . Далі кожна така підалгебра алгебри AТD7V–A індукує відпо- відну підалгебру в алгебрах GND-преди- катів APGV–A , ARGV–A , AQGV–A . Для опису підалгебр ATV7 виділено усі підмножини множини TV7, замкнені щодо {, }: – 6-елементні TV6_1 = {, T, F, T, F, TF}, TV6_2 ={ T, F, TF, T, F, TF}; – 5-елементні TV5_1 = {, T, F, T, F}, TV5_2 = {T, F, T, F, TF}, TV5_3 = {, T, F, TF, TF}; – 4-елементні TV4_1 = {T, F, T, F}, TV4_2 = {T, F, TF, TF}, TV4_3 = {TF, T, F, TF}; TV4_4 = {, T, F, TF}; – 3-елементні TV3_1 = {T, F, }, TV3_2 = {T, F, TF}, TV3_3 = {T, F, TF}, TV3_4 = {T, F, TF}, TV3_5 = {, T, F}; – 2-елементні TV2_1 = {T, F}, TV2_2 = {T, F}, TV2_3 = {TF, TF}; – 1-елементні TV1_1 = {}, TV1_2 = {TF}, TV1_3 = {TF}. Такі підмножини TVm_n задають відповідні підалгебри ATVm_n алгебри ATV7. Ці підалгебри індукують відповідні підалгебри алгебри AТD7V–A , які далі інду- кують підалгебри алгебри AQGV–A : – AQAUV–A, AQTGV–A; – AQSGV–A, AQTAUV–A, AQImGV–A; – AQТSGV–A, AQUAV–A, AQТІmGV–A, AQTIGV–A; – AQРV–A, AQTV–A, AQU=A V–A, AQTTIGV–A, AQSTIGV–A; – AQTSV–A, AQTSTIGV–A, AQTAmGV–A; – AQV–A, AQV–A, AQV–A . Подібним чином отримуємо відповідні підалгебри алгебр APGV–A та ARGV–A . Накладаючи обмеження на області істинності, хибності й невизначеності, ми виділили низку класів GND-предикатів. Не всі ці класи замкнені щодо диз’юнкції GND-предикатів. Це клас R-предикатів і специфічні класи AnU, TAnU, RAU, nU=A, UAU, TnU=A-предикатів. Ці класи індуко- вано класами TD7-предикатів із такими множинами істиннісних значень: – для AnU-предикатів: ТVAnU = {T, F, T, F, , TF}; – для TAnU-предикатів: ТVTAnU = {T, F, T, F, TF}; – для RAU-предикатів: ТVD5 = {T, F, , TF, TF}; – для R-предикатів: ТVR = {T, F, , TF}; – для UAU-предикатів: ТVUAU = {T, F, , TF}; – для nU=A-предикатів: ТVnU=A = {T, F, , TF}; – для TnU=A-предикатів: ТVTnU=A = {T, F, TF}. Ці множини незамкнені щодо , тому вони не утворюють підалгебр алгебри ATV7 . Для того щоб клас TD7-предикатів утворював алгебру, необхідно модифіку- вати , що далі приведе до модифікації композиції  відповідного класу GND-пре- дикатів. Визначення композицій  та  змінювати недоцільно, водночас відпо- відно до модифікації  та  змінюються визначення похідних & та &. Для коректної модифікації  та  необхідне дотримання умови TFC. Умова TFC (TF-correct) є необхідною умовою коректності («природності») логічних зв'язок предикатних алгебр. Для  та  умова TFC задається так: T() = T()T(), F() = F()F(); T() = F(), F() = T(). Умова TFC виконується для алгебр APGV–A, ARGV–A, AQGV–A , тому вона вико- нується для всіх її підалгебр, індукованих відповідними підалгебрами ATV7 . ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 2 © М.С. Нікітченко, O.С. Шкільняк, С.С. Шкільняк 117 При порушенні умови TFC алгебра істиннісних значень не індукує для GND- предикатів композиційну алгебру із корект- ними пропозиційними композиціями. Множини ТVAnU = {T, F, T, F, , TF}, ТVTAnU = {T, F, T, F, TF}, ТVnU=A = {T, F, , TF}, ТVТnU=A = {T, F, TF} незамкнені щодо  : TF  F = TF. Модифікуємо  як AnU так: TF AnU F = TF. Множини TVAnU, ТVTAnU, ТVnU=A, ТVТnU=A вже замкнені щодо AnU . Отримуємо алгебри істиннісних значень ATVAnU, AТVTAnU, AТVnU=A, AТVТnU=A із операціями , AnU . Множини TVD5 = {T, F, , TF, TF}, ТVUAU = {T, F, , TF} незамкнені щодо  : TF   = T; TF   = T. Єдиною модифікацією  за умови TFC є RAU : TF RAU  = T та TF RAU  = T. Тепер TVD5 та ТVUAU вже замкнені щодо RAU . Отримуємо алгебри істинніс- них значень ATVRAU, AТVUAU із операціями , RAU . Множина TVR = {, T, F, TF} незамк- нена щодо  : TF   = T. Модифікуємо  як диз’юнкцію 4-значної логіки Белнапа В : TF В  = T. Тоді TVR вже замкнена щодо В. Маємо алгебру істиннісних значень АTVR із операціями , В . Алгебри істиннісних значень ATVAnU, AТVTAnU, AТVnU=A, AТVТnU=A, ATVRAU, AТVUAU, АTVR індукують чисті першопо- рядкові предикатні алгебри AQAnUV–A, AQTAnUV–A, AQnU=AV–A, AQTnU=AV–A, AQRAUV–A, AQUAUV–A, AQRV–A зазначених у їх назві класів GND-предикатів; вони також індукують відповідні предикатні алгебри пропозиційного та реномінатив- ного рівнів. Будемо писати A B, якщо алгебра A є підалгеброю алгебри B. Те, що алгебри A та B ізоморфні, будемо позначати A iz B. Опишемо відношення між виділеними алгебрами істиннісних значень. Теорема 4. 1. 6_1 6_ 2 7, ;ATV ATV ATV також маємо ATVAnU iz АTV6_1 ; 2. 5_1 5_ 2 6_1, ;ATV ATV ATV 5_ 2 6_ 2 5_3 7; ;ATV ATV ATV ATV також маємо 5_1 5_ 2 ;izATV ATV AТVTAnU iz АTV5_1 ; При цьому алгебра ATVRAU неізоморфна алгебрам ATV5_1, ATV5_2, ATV5_3 та AТVTAnU ; 3. 4_1 5_1 5_ 2, ;ATV ATV ATV 4_ 2 4_3 6_ 2, ;ATV ATV ATV 4_ 4 6_1 4_3 4_ 4 5_3; , ;ATV ATV ATV ATV ATV також маємо AТVR iz AТVnU=A iz AТVUAU iz АTV4_4 ; 4. 3_1 5_1 3_ 2 3_3 4_ 2; , ;ATV ATV ATV ATV ATV 3_1 5_1 3_ 2 3_3 4_ 2; , ;ATV ATV ATV ATV ATV 3_1 5_1 3_ 2 3_3 4_ 2; , ;ATV ATV ATV ATV ATV 3_3 3_ 4 5_ 2, ;ATV ATV ATV 3_ 4 4_3 4_ 4, ;ATV ATV ATV 3_5 5_1 4_ 4, ; ATV ATV ATV при цьому 3_1 3_ 2 3_3 iz iz izATV ATV ATV   3_ 4 3_5 ;iz iz iz TnU AATV ATV ATV    5. 2_1 3_1 3_ 2 3_3 4_1, , , ;ATV ATV ATV ATV ATV 2_ 2 3_ 4 3_5 4_1, , ;ATV ATV ATV ATV 2_3 4_ 2 4_3, ;ATV ATV ATV при цьому 2_1 2_ 2 ;izATV ATV 6. 1_1 3_1 3_5, ;ATV ATV ATV 1_ 2 2_3 3_ 2, ;ATV ATV ATV 1_3 2_3 3_3 3_ 4, , ; ATV ATV ATV ATV при цьому 1_1 1_ 2 1_3iz izATV ATV ATV  . Зазначені алгебри істиннісних зна- чень індукують відповідні композиційні алгебри GND-предикатів пропозиційного, реномінативного, першопорядкового рівнів. Ці алгебри GND-предикатів перебувають у таких же відношеннях. Для чистих першопорядкових алгебр маємо (тут опущено індекс V–A): ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 2 118 © М.С. Нікітченко, O.С. Шкільняк, С.С. Шкільняк Теорема 5. 1. , ;AQAU AQTG AQG також ;izAQAnU AQAU 2. , ;AQSG AQTAU AQAU ;AQTAU AQTG ;AQImG AQG також маємо ;izAQSG AQTAU ;izAQTAnU AQSG алгебра AQRAU неізоморфна алгебрам AQSG, AQTAU, AQІmG, AQTAnU; 3. , ;AQTSG AQSG AQTAU , ;AQUA AQTImG AQTG ;AQTIG AQAU , ;AQTIG AQTImG AQImG також ;iz iz izAQTIG AQR AQnU A AQUAU   4. ;AQP AQSG , ;AQT AQU A AQUA , ;AQTTIG AQU A AQTAU , ;AQTTIG AQTImG AQTIG , ;AQSTIG AQSG AQTIG при цьому iz iz izAQP AQT AQU A   iz iz izAQTTIG AQSTIG AQTnU A   ; 5. , , , ;AQTS AQP AQT AQU A AQTSG , , ;AQTSTIG AQTTIG AQSTIG AQTSG , ;AQTAmG AQTUA AQTImG при цьому ;izAQTS AQTSTIG 6. , ;AQ AQP AQSTIG , ;AQ AQTAmG AQT , , ;AQ AQTAmG AQTU AG AQTTIG  при цьому iz izAQ AQ AQ      . У [13] описана оригінальна 5-значна логіка EU. Множиною її істиннісних значень є TVEU = {T, F, u, e, eu}; при цьому u трактується як , проте трактування e та eu дещо відмінне від їх трактування як TF та TF в алгебрі ATV7. Водночас для уні- фікації позначень множиною істиннісних значень логіки EU будемо вважати TVD5 = {T, F, , TF, TF}. Логічна зв’язка eu логіки EU цілком ідентична логічній зв’язці . Для зв’язки eu маємо TF eu  = TF eu  = TF, Це дає порушення умови TFC: F(TF eu ) = F(TF)F() =   F(TF); F(TF eu ) = F(TF)F() =   F(TF). Через порушення умови TFC алгебра істиннісних значень AEU не індукує для GND-предикатів композиційну алгебру із коректними  та . Алгебра AEU неізоморфна алгебрам ATV5_1, ATV5_2, ATV5_3, AТVAnU, ATVRAU. Ґенерування логіки TD7-предикатів із сильної 3-значної логіки Кліні 7-значну логіку TD7-предикатів можна отримати із сильної 3-значної логі- ки Кліні, використовуючи конструкцію повного образу (опис такої конструкції див. [14]). Повний образ дає змогу 1-арні та 2-арні операції (однозначні функції) на певній множині D природним чином поширити на булеан цієї множини. Нехай f – 1-арнa функція на D, а g – 2-арнa функція на D. Нехай X, Y  D. Тотальні функції 1-арнa [f] та 2-арнa [g] на булеані 2D задаються так: [f](X) = {z \| z = f(x) для деякого xX}. [g](X, Y) = {z \| z = g(x, y) для деяких xX, yY}. Так задані [f] та [g] зберігають : [f]() = ; [g](, Y) = [g](X, ) = . У [14] показано, як 1-арнa операція  та 2-арні операції  i &, задані на множині {T, F} – носії алгебри істиннісних значень класичної пропозиційної логіки AP = ({T, F}, {, , &}) – поширюються на її булеан PB = {, {T}, {F}, {T, F}}: Це дає 4-елементну алгебру APB = (PB, {[], [], [&]}). Алгебра істиннісних значень сильної 3-значної логіки Кліні має вигляд AK = ({T, F, u}, {K, K, &K}). Операції K, K, &K на носії {T, F, u} задаються так: P T F u K P F T u K T F u T T T T F T F u u T u u ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 2 © М.С. Нікітченко, O.С. Шкільняк, С.С. Шкільняк 119 &K T F u T T F u F F F F u u F u Задаємо відображення  : K  PB таким чином (див. [14]): (T) = {T}, (F) = {F}, (u) = {T, F}. Таке  є гомоморфізмом алгебри AK істиннісних значень сильної 3-значної логіки Кліні в алгебру APB, тобто  є вкладенням AK в APB. Отже, алгебру Кліні AK можна отри- мати із класичної пропозиційної алгебри AP поширенням її операцій на булеан носія за допомогою повного образу. Покажемо, що пропозиційну алгебру істиннісних значень TD7-предикатів ATV7E = = ({T, F, T, F, , TF, TF}, {, , }) розширеної сигнатури {, , } теж можна отримати із алгебри Кліні AK = ({T, F, u}, {K, K, &K}) шляхом поши- рення її операцій на булеан носія за допомогою конструкції повного образу. На булеан множини K = {T, F, u} – множину KB = {, {T}, {F}, {u}, {T, F}, {T, u}, {F, u}, {T, F, u}} – операції K, &K, K поширимо так. [K]  {T} {F} {u} {T, F} {T, u} {F, u} {T, F, u}          {T}  {T} {T} {T} {T} {T} {T} {T} {F}  {T} {F} {u} {T, F} {T, u} {F, u} {T, F, u} {u}  {T} {u} {u} {T, u} {T, u} {u} {T, u} {T, F}  {T} {T, F} {T, u} {T, F} {T, u} {T, F, u} {T, F, u} {T, u}  {T} {T, u} {T, u} {T, u} {T, u} {T, u} {T, u} {F, u}  {T} {F, u} {u} {T, F, u} {T, u} {F, u} {T, F, u} {T, F, u}  {T} {T, F, u} {T, u} {T, F, u} {T, u} {T, F, u} {T, F, u} [&K]  {T} {F} {u} {T, F} {T, u} {F, u} {T, F, u}          {T}  {T} {F} {u} {T, F} {T, u} {F, u} {T, F, u} {F}  {F} {F} {F} {F} {F} {F} {F} {u}  {u} {F} {u} {F, u} {u} {F, u} {F, u} {T, F}  {T, F} {F} {F, u} {T, F} {T, F, u} {F, u} {T, F, u} {T, u}  {T, u} {F} {u} {T, F, u} {T, u} {F, u} {T, F, u} {F, u}  {F, u} {F} {F, u} {F, u} {F, u} {F, u} {F, u} {T, F, u}  {T, F, u} {F} {F, u} {T, F, u} {T, F, u} {F, u} {T, F, u} P  {T} {F} {u} {T, F} {T, u} {F, u} {T, F, u} [K](P)  {F} {T} {u} {T, F} {F, u} {T, u} {T, F, u} ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 2 120 © М.С. Нікітченко, O.С. Шкільняк, С.С. Шкільняк Отримуємо алгебру AKB = (KB, {[K], [K], [&K]}). Задамо відображення  : TV7  KB, де TV7 = {T, F, T, F, , TF, TF} – мно- жина істиннісних значень логіки TD7-пре- дикатів, таким чином: (T) = {T}, (F) = {F}, (T) = {T, u}, (F) = {F, u}, () = {u}, (TF) = {T, F}, (TF) = {T, F, u}. Отримуємо наведені вище таблиці істинності для композицій , ,  ! Теорема 6. Відображення  є гомоморфізмом алгебри істиннісних значень TD7-преди- катів ATV7E = (TV7, {, , }) в алгебру AKB = (KB, {[K], [K], [&K]}). Інакше кажучи,  є вкладенням алгебри ATV7E в алгебру AKB. Ми показали, що 7-значну логіку TD7-предикатів можна отримати із сильної 3-значної логіки Кліні за допомогою конструкції повного образу шляхом поши- рення її логічних зв'язок K, K, &K на булеан множини її істиннісних значень. Отриманий результат засвідчує осо- бливе місце логіки TD7-предикатів серед 7- значних логік. З одного боку, вона індуку- ється 2-значною логікою загальних неде- термінованих предикатів, а з іншого боку, вона отримується за допомогою конструкт- ції повного образу із сильної 3-значної ло- гіки Кліні, яка посідає (див. [2]) особливе місце серед 3-значних логік. Два різні шляхи привели до одного і того ж різновиду 7-значних логік – до логіки TD7-предикатів! Висновки У роботі досліджено новий клас про- грамно-орієнтованих логічних формаліз- мів – логіки загальних недетермінованих предикатів, або GND-предикатів. Акцент зроблено на вивченні зв'язку логік GND- предикатів та логік 7-значних тотальних детермінованих предикатів, або TD7-пре- дикатів. Виділено низку різновидів GND- предикатів, описано їх композиційні алге- бри. Виділено 7-елементну алгебру істин- нісних значень TD7-предикатів, описано усі її підалгебри. Досліджено індукування алгебрами істиннісних значень відповідних алгебр GND-предикатів, встановлено спів- відношення між такими алгебрами. Це засвідчує особливе місце логіки ТD7-пре- дикатів серед 7-значних логік. Показано, що логіка TD7-предикатів отримується за допомогою конструкції повного образу із сильної 3-значної логіки Кліні. Беручи до уваги особливу роль сильної логіки Кліні серед 3-значних, це підтверджує особли- вий статус логіки ТD7-предикатів. Література 1. Handbook of Logic in Computer Science / Edited by S. Abramsky, Dov M. Gabbay and T.S.E. Maibaum. – Oxford University Press, Vol. 1–5, 1993–2000. 2. Нікітченко М.С. Прикладна логіка / М.С. Нікітченко, С.С. Шкільняк. – К.: ВПЦ Київський університет, 2013. – 278 с. 3. Нікітченко М.С. Чисті першопорядкові логіки квазіарних предикатів / М.С. Нікітченко, О.С. Шкільняк, С.С. Шкільняк // Пробл. програмування. – 2016. – № 2–3. – C. 73–86. 4. Мykola S. Nikitchenko and Stepan S. Shkilniak. Algebras and logics of partial quasiary predicates // Algebra and Discrete Mathematics, Volume 23 (2017). Number 2, pp. 263–278. 5. Hähnle, R. Many-valued logic, partiality, and abstraction in formal specification languages. Logic Journal of the IGPL, 13 (2005). P. 415–433. 6. Duzi, M. Do we have to deal with partiality? Miscellanea Logica, 5 (2003). P. 45–76. 7. A. Avron, A. Zamansky. Non-deterministic semantics for logical systems, in Handbook of Philosophical Logic, D.M. Gabbay, F. Guenthner (eds.), 2nd ed. Vol. 16 (2011). Springer Netherlands. P. 227–304. 8. Jones, C. Reasoning about partial functions in the formal development of programs. In: Proceedings of AVoCS’05. V. 145. Elsevier, Electronic Notes in Theoretical Computer Science (2006). P. 3–25. 9. Нікітченко М.С. Алгебри загальних недетер- мінованих предикатів / М.С. Нікітченко, О.С. Шкільняк, С.С. Шкільняк // Пробл. програмування. – 2018. – № 1. – C. 5–21. 10. Нікітченко М.С. Логіки загальних недетер- мінованих предикатів: семантичні аспекти / М.С. Нікітченко, О.С. Шкільняк, С.С. Шкільняк // Пробл. програмування. – 2018. – № 2–3. – C. 31–45. 11. S.C Kleene. Introductions to Metamathematics. – Van Nostrand, Princeton, 1952. 12. N. Belnap, T. Steel. The Logic of Questions and Answers. – New Haven and London: Yale Univ. Press, 1976. 13. Нікітченко М.С. Семантичні властивості п’ятизначних логік / М.С. Нікітченко, О.В. Шишацька // Пробл. програмування. – 2018. – № 1. – C. 22–35. ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 2 © М.С. Нікітченко, O.С. Шкільняк, С.С. Шкільняк 121 14. Шишацька О.В. Виникнення та інтерпретація тризначних логік Кліні / О.В. Шишацька // Пробл. програмування. – 2010. – № 2–3. – C. 72–79. References 1. Handbook of Logic in Computer Science / Edited by S. Abramsky, Dov M. Gabbay and T.S.E. Maibaum. – Oxford University Press, Vol. 1–5, 1993–2000. 2. Nikitchenko M.S. Prykladna logika / M.S. Nikitchenko, S.S. Shkilniak. – К.: VPC Kyivskyi universytet, 2013. – 278 p. 3. Nikitchenko M.S. Chysti pershoporiadkovi logiky kvaziarnyh predykativ / M.S. Nikitchenko, S.S. Shkilniak // Probl. programuvannia. – 2016. – № 2–3. – Р. 73–86. 4. Мykola S. Nikitchenko and Stepan S. Shkilniak. Algebras and logics of partial quasiary predicates // Algebra and Discrete Mathematics, Volume 23 (2017). Number 2, pp. 263–278. 5. Hähnle, R. Many-valued logic, partiality, and abstraction in formal specification languages. Logic Journal of the IGPL, 13 (2005). P. 415–433. 6. Duzi, M. Do we have to deal with partiality? Miscellanea Logica, 5 (2003). P. 45–76. 7. A. Avron, A. Zamansky. Non-deterministic semantics for logical systems, in Handbook of Philosophical Logic, D.M. Gabbay, F. Guenthner (eds.), 2nd ed. Vol. 16 (2011). Springer Netherlands. P. 227–304. 8. Jones, C. Reasoning about partial functions in the formal development of programs. In: Proceedings of AVoCS’05. V. 145. Elsevier, Electronic Notes in Theoretical Computer Science (2006). P. 3–25. 9. Nikitchenko M.S. Аlgebry zahalnyh nedeterminovanyh predykativ / M.S. Nikitchenko, О.S. Shkilniak, S.S. Shkilniak // Probl. programuvannia. – 2018. – № 1. – P. 5–21. 10. Nikitchenko M.S. Logiky zahalnyh nedeterminovanyh predykativ: semantychni aspekty / M.S. Nikitchenko, О.S. Shkilniak, S.S. Shkilniak // Probl. programuvannia. – 2018. – № 2–3. – P. 31–45. 11. S.C Kleene. Introductions to Metamathematics. – Van Nostrand, Princeton, 1952. 12. N. Belnap, T. Steel. The Logic of Questions and Answers. – New Haven and London: Yale Univ. Press, 1976. 13. Nikitchenko M.S. Semantychni vlastyvosti piatyznacznyh logik / M.S. Nikitchenko, О.V. Shyshatska // Probl. programuvannia. – 2018. – № 1. – P. 22–35. 14. Shyshatska О.V. Vynyknennia ta interpretatsia tryznacznyh logik Klini / О.V. Shyshatska // Probl. programuvannia. – 2010. – № 2–3. – P. 72–79. RESUME M. Nikitchenko, O. Shkilniak, S. Shkilniak 7-values logics and logics of general non-deterministic predicates The formalism of mathematical logic forms the basis of modern information and software systems. For this purpose, the classical predicate logic and the special logic based on it (modal, temporal, program, etc.) are traditionally used. However, classical logic has fundamental limitations; it does not take into account the widespread use of partial nondeterministic mappings over incomplete data in software systems and artificial intel- ligence systems. Therefore, the problem of constructing new program-oriented logical formalisms is important. In this paper we investigate new classes of such formalisms: logics of general non-deterministic predicates, or GND-predicates. These logics reflect such properties of programs as partiality, nondeter- minism, unfixed arity. In the work connections between the logic of GND-predicates and the logic of 7- valued total deterministic predicates (TD7- predicates) is studied. A number of types of GND-predicates are identified, their composi- tional algebras are described. For GND- predicates, the laws of traditional logic, such as the laws of absorption and the laws of distributivity, are not valid. The 7-valued algebra ATV7 of the truth values of TD7- predicates is specified, and all its subalgebras are described. Each such subalgebra induces the algebra of TD7-predicates, which further induces the algebra of GND-predicates. This confirms the special place of the logic of the TD7-predicates among the 7-valued logic. The algebras of truth values associated with certain classes of GND-predicates, which are not subalgebras of ATV7 are considered. The relationship between the identified algebras of truth values and the relation between the corresponding algebras of GND-predicates is described. It is shown that the logic of TD7- predicates is obtained by constructing of a complete image from the strong 3-valued Kleene logic. The fact that Kleene’s strong logic has a special role among 3-valued logics confirm the special status of the logic of the TD7-predicates. Надійшла до редакції 01.10.2018

7-значнi логіки та логіки загальних недетермінованих предикатів

Institution

Ähnliche Einträge