Модель імуносенсора з використанням різницевих рівнянь на гексагональній решітці

У роботі запропоновано модель імуносенсора, яка ґрунтується на системі різницевих рівнянь на гексагональній решітці. Уведено клас решітчастих різницевих рівнянь із затримками в часі для моделювання взаємодії антигенів-антитіл усередині імунопікселів. Побудова моделі ґрунтується на ряді біологічних п...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Штучний інтелект
Datum:	2018
1. Verfasser:	Сверстюк, А.С.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainisch
Veröffentlicht:	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України 2018
Schlagworte:	Прикладні інтелектуальні технології та системи
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162452
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Модель імуносенсора з використанням різницевих рівнянь на гексагональній решітці / А.С. Сверстюк // Штучний інтелект. — 2018. — № 3 (81). — С. 132-140. — Бібліогр.: 22 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859911982005616640
author	Сверстюк, А.С.
author_facet	Сверстюк, А.С.
citation_txt	Модель імуносенсора з використанням різницевих рівнянь на гексагональній решітці / А.С. Сверстюк // Штучний інтелект. — 2018. — № 3 (81). — С. 132-140. — Бібліогр.: 22 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Штучний інтелект
description	У роботі запропоновано модель імуносенсора, яка ґрунтується на системі різницевих рівнянь на гексагональній решітці. Уведено клас решітчастих різницевих рівнянь із затримками в часі для моделювання взаємодії антигенів-антитіл усередині імунопікселів. Побудова моделі ґрунтується на ряді біологічних припущень щодо взаємодії колоній антигенів та антитіл, а також дифузії антигенів. Для опису дискретних у просторі колоній, локалізованих у відповідних пікселях, використовується апарат різницевих диференціальних рівнянь на гексагональній решітці. The model of the immunosensor, which is based on the system of difference equations on a hexagonal lattice, is proposed in the paper. A class of solvable differential equations with time delay was introduced for modeling the interaction of antigen-antibodies within immunopicles. The construction of the model is based on a number of biological assumptions about the interaction of colonies of antigens and antibodies, as well as the diffusion of antigens. To describe the discrete spaces in the space of the colonies localized in the corresponding pixels, the apparatus of difference differential equations on a hexagonal lattice is used.
first_indexed	2025-12-07T16:03:19Z
format	Article
fulltext	ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 3 132 © А.С. Сверстюк УДК 602.1:519.85:53.082.9:616-07 А.С. Сверстюк Тернопільський національний медичний університет імені І.Я. Горбачевського, Україна вул. Руська, 12, м. Тернопіль, 46001 МОДЕЛЬ ІМУНОСЕНСОРА З ВИКОРИСТАННЯМ РІЗНИЦЕВИХ РІВНЯНЬ НА ГЕКСАГОНАЛЬНІЙ РЕШІТЦІ A.S. Sverstiuk I. Horbachevsky Ternopil National Medical University, Ukraine 12, Ruska St., Ternopil, 46001 MODEL OF IMMUNOSENSOR USING DIFFERENCE EQUATIONS ON THE HEXAGONAL LATTICE У роботі запропоновано модель імуносенсора, яка ґрунтується на системі різницевих рівнянь на гек- сагональній решітці. Уведено клас решітчастих різницевих рівнянь із затримками в часі для моделювання взаємодії антигенів-антитіл усередині імунопікселів. Побудова моделі ґрунтується на ряді біологічних при- пущень щодо взаємодії колоній антигенів та антитіл, а також дифузії антигенів. Для опису дискретних у просторі колоній, локалізованих у відповідних пікселях, використовується апарат різницевих диференціаль- них рівнянь на гексагональній решітці. Ключові слова: біосенсор, імуносенсор, різницеві диференціальні рівняння, диференціальні рівняння із запізненням The model of the immunosensor, which is based on the system of difference equations on a hexagonal lattice, is proposed in the paper. A class of solvable differential equations with time delay was introduced for modeling the interaction of antigen-antibodies within immunopicles. The construction of the model is based on a number of biological assumptions about the interaction of colonies of antigens and antibodies, as well as the diffusion of antigens. To describe the discrete spaces in the space of the colonies localized in the corresponding pixels, the apparatus of difference differential equations on a hexagonal lattice is used. Keywords: biosensor, immunosensor, difference differential equations, differential equations with delay Вступ Стрімкий розвиток науки і техніки потребує появи нових методів детекції. Тому в науці та промисловості зростає ін- терес до біосенсорів. Біосенсори є альтер- нативою до загальновикористовуваних методів вимірювання, які характеризу- ються поганою вибірковістю, високою вартістю, поганою стійкістю, низьким відгуком і переважно можуть використо- вуватися лише високодосвідченим персо- налом. Біосенсори – це нова генерація сенсорів, що використовує у своїй конст- рукції біологічні матеріали, які надають високу вибірковість, селективність, точ- ність, дають змогу здійснювати швидкі і прості вимірювання [1]. Біосенсори ха- рактеризуються високою ефективністю і широко використовуються у харчовій промисловості [2], при захисті навколиш- нього середовища [3], в оборонній про- мисловості [4], але найчастіше викорис- товуються у медицині [5-7] як інструмент для постановки діагнозів. У цілому сі- мейство біосенсорів ділиться на дві час- тини. Перша пов’язана з рівнем рецепто- ра до біологічного матеріалу, який вико- ристовується в його будові. Як рецептори можуть бути ензим, протеїн, порферін, антиген або антитіло. Друга частина біо- сенсорів обмежена до шару провідника, де біологічний ефект перетворюється на вимірювальний сигнал, який може бути електрохімічним, імпедансним, ампер- метричним, оптичним та ін. Постановка проблеми Математична модель імуносенсора повинна враховувати просторово-часові властивості пристрою, в якому викорис- товується детектор. Відносно просторо- вої організації досліджувана модель по- винна ґрунтуватися на певній дискретній ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 3 © А.С. Сверстюк 133 структурі, яка буде враховувати взаємо- дію пікселів імуносенсора. З точки зору часових змін, модель повинна описувати процеси, відомі як популяційна динаміка. Саме тому поставлено проблему розроб- ки математичної моделі імуносенсора, яка б враховувала цілий ряд біологічних припущень щодо основних компонент пристрою – колоній антигенів і антитіл, локалізованих у пікселях, дифузії колонії антигенів між пікселями та ін. Аналіз останніх досліджень і публікацій Останнім часом велика увага до- слідників привернута питанням розробки та використання сенсорів і біосенсорів [1- 7]. У роботі [5] наведено ґрунтовний ог- ляд теоретичних основ проектування біо- сенсорів. Прикладні аспекти використан- ня імуносенсорів обговорюються у [8]. Важливе значення у функціонуванні біосенсорів має фізичне явище флуорис- ценції, про що йде мова в [3, 4, 9]. У робо- ті [12] сформульовано основні задачі, пов’язані з дослідженням стійкості в біо- сенсорах. У роботах [1, 11] йдеться про проектування сенсорів, в основу роботи яких покладено перебіг хімічних реакцій. У роботі [11] для такого роду сенсорів бу- ло запропоновано математичне моделю- вання у класі решітчастих диференціаль- них рівнянь. У даній роботі такий підхід буде використано для імуносенсорів. У [13] викладено основні результа- ти щодо використання рівнянь популя- ційної динаміки. У роботі [10] розробле- но і досліджується спрощена модель імунної системи за допомогою диферен- ціальних рівнянь із запізненням, що буде використана в даній роботі. Мета дослідження Запропонувати модель імуносенсо- ра, яка ґрунтується на системі різницевих рівнянь на гексагональній решітці. 1. Структура імуносенсорів та їх характеристики Серед великого сімейства біосенсо- рів імуносенсори є типовими сенсорами, що містять шар рецептора, який чутли- вий і селективний, включаючи імобілізо- ваний біологічний елемент, наприклад, антитіло, антиген або хаптен, які є імуно- логічними рецепторами для молекул, які досліджуються. В імунсорі (імуносенсо- рі) відбувається реакція, яка ґрунтується на взаємодії між антитілом і антигеном або маленькими молекулами (хаптена- ми). Антитіла часто називаються імуно- глобулінами тому, що вони є протеїнами, які пов’язані з імунною системою. Імуноглобуліни використовуються імунною системою для ідентифікації та нейтралізації чужорідних об’єктів. Вони використовують властивості зв’язування антигенів. Антигени і антитіла можуть використовуватися у шарі рецептора в біосенсорах. Зменшення властивостей, які пов’язані з антитілами під час проце- су імубілізації антигену, використовуют- ься в конструкції шару рецептора, де антитіла відіграють функцію аналітів (молекул предметного детектування) [8]. Молекули, які пов’язані з детекцією, забезпечують зв’язування антитіл з анти- генами, утворюючи складні конструкції. При цьому між антигенами і анти-тілами утворюються дуже сильні зв’язки з конс- тантою зв’язування 1412 1010  Ka [9]. 2. Решітчасті диференціальні рівняння Решітчасті диференціальні рівняння ефективно використовуються в багатьох прикладних науках, таких як хімічні ре- акції, обробка зображень, матеріалознав- ство і біологія [14]. У моделях решітчастих диференці- альних рівнянь просторова структура має дискретний характер. Решітчаста динамі- ка широко використана в задачах [14-16], оскільки середовища, у яких популяційні види живуть, можуть бути дискретними, а не неперервними. 3. Решітчаста модель взаємодії антиген-антитіло для гексагонального масиву імунопікселів Для решітчастої моделі взаємодії антиген-антитіло для гексагонального ма- сиву імунопікселів використано матема- тичний опис за допомогою нелінійних різницевих рівнянь із запізненням. ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 3 134 © А.С. Сверстюк Розглянемо модель імуносенсора на основі гексагональної решітки. При цьо- му для нумерації імунопікселів ),,( kji , NNkji ,,,  , 0 kji використову- ється кубічна система координат [17]. Нехай )(,, tV kji – концентрація анти- генів, )(,, tF kji – концентрація антитіл в імунопікселі ),,( kji ; NNkji ,,,  , 0 kji . Модель ґрунтується на біологічних припущеннях для довільного імунопіксе- ля ),,( kji . Антигени детектуються, зв’язують- ся і, нарешті, нейтралізуються антитілами з деякою ймовірнісною швидкістю 0 . Припускається, що коли колонії анти- тіл відсутні, колонії антигенів регулюються логістичним рівнянням із затримкою: )())(1()1( ,,,,,, nVnVnV kjikjikji    , (1) де  і  – додатні числа, а 0r означає затримку негативного відгуку ко- лоній антигенів. 1. Вводиться константа народжуваності, 0 для популяції антигенів. 2. Антигени нейтралізуються антитілами з деякою ймовірнісної швидкістю 0 . 3. Популяція антигенів намагається до- сягнути деякої межі насичення зі швидкістю 0 . 4. Розглядаємо деяку дифузію антигенів з шести сусідніх пікселів )1,,1(  kji , ),1,1( kji  , )1,1,(  kji , )1,,1(  kji , ),1,1( kji  , )1,1,(  kji , (рис. 1) зі швидкістю дифузії 2D , де 0D і 0 є від- станню між пікселями. 5. Введемо деяку постійну смертності антитіл 0f . 6. У результаті імунної відповіді щіль- ність антитіл збільшується з імовір- нісною швидкістю  . 7. Популяція антитіл прагне до деякого рівня насичення зі швидкістю 0f . 8. Імунна відповідь відбувається з дея- кою постійною затримкою у часі 0 . Рис. 1. Гексагональна решітка, яка пов'язує шість сусідніх пікселів у моделі імунопікселя з використанням кубічних координат ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 3 © А.С. Сверстюк 135 Таким чином, 1, 3, 5, 8, 9, 11 -        )(,,2 t D kji ; 2 -         )(1,,12 t D kji ; 4 -         )(,1,12 t D kji ; 6 -         )(1,1,2 t D kji ; 7 -         )(1,,12 t D kji ; 10 -         )(,1,12 t D kji ; 12 -         )(1,1,2 t D kji . На основі вищенаведеної інформа- ції запишемо математичну модель взає- модії антиген-антитіло із запізненням для гексагонального масиву імунопікселів, яка ґрунтується на добре відомій моделі Марчука [11-13] і використовує просто- ровий оператор  S , запропонований у [17] (додаткова інформація с. 10).   )())()()(( )( )()())(( )( ,,,,,,,, ,, ,,,,,,,, ,, tFtFtFtV dt tdF VStVtVtF dt tdV kjikjikjifkjif kji kjikjikjikji kji       . (2) Математична модель (2) задана по- чатковими функціями (3): .0)0(),0( ),0,[,0)()(,0)()( ,,,, 0 ,,,, 0 ,,,,   kjikji kjikjikjikji FV ttFtFtVtV  (3) Для гексагонального масиву вико- ристовується дискретна дифузія для просторового оператора:               .0,1,1,, 6 ,,1,1,,1,11,,11,1,,1,11,,1 2 ,, kjiNNkji nVVVVVVVD VS kjikjikjikjikjikjikji kji (4) Кожна колонія піддається впливу антигенів, вироблених у шести сусідніх колоніях, розділених рівними відстанями  . Використовуємо граничну умову 0,, kjiV для пікселів ),,( kji таких, що },{},{},{ NNkNNjNNi  та 0 kji . Визначимо фазовий простір C сис- теми (2)-(4), як Банаховий простір непе- рервних функцій )1(62]0,[:  NNR з нормою )(sup ]0,[ t t      . Нехай )0,,,,(,:)},{({ ,,,, 0 ,,,,,,,,    kjiNNkjiFVCFVC kjikji kji NNkjikjikji є невід’ємними і обмеженими на }0)0(,0)0( ,0],[- ,,,,  kjikji FV . Виходячи з біологічного обґрунту- вання системи (2)-(4), бачимо, що почат- кові умови розв’язків задовольняють    CFV kji NNkjikjikji 0 ,,,, 0 ,, 0 ,, )},{( . Можна показати, що функціонал у правій частині системи (2) є неперервним і задовольняє локальну умову Ліпшиця ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 3 136 © А.С. Сверстюк щодо 0 ,,,,,,,, ))}(),({(   kji NNkjikjikji tFtV у прос- торі C . Таким чином, виходячи з теорії функціонально-диференціальних рівнянь з кінцевим запізненням [18], для будь- якого     CFV kji NNkjikjikji 0 ,,,, 0 ,, 0 ,, )},{( система (2) має єдиний розв’язок 0 ,,,,,,,, ))}(),({(   kji NNkjikjikji tFtV , який задо- вольняє початкову умову (3). Можна показати, що коли C , то розв’язок є позитивним, тобто ,0),(,0),( ,,,,   tFtV kjikji 0,,,,  kjiNNkji на інтервалі існування. Для дискретизації, дослідження стійкості та стабільності, використову- ється підхід, який розроблений у [19] для систем типу «хижак-жертва» у даному випадку антиген-антитіло. У роботі да- ний підхід розширений у випадку решіт- частої моделі з дифузією. У даній роботі використовуються наступні позначення:  символ nmi , для деякого цілого i , m , n , nm означає nmmi ,...,1,  ;  ][ означає найбільше ціле число функцій;  )(sup naa Zn u   та )(inf naa n l   для будь-якої обмеженої послідов- ності )}({ na ;  Z і 2R – безліч невід’ємних ці- лих чисел. Модель імуносенсора з викорис- танням різницевих рівнянь на гексаго- нальній решітці Система (2) без дифузії апроксиму- ється наступним диференціальним рівнян- ням з кусково-постійними аргументами.                     )(/// )( ),(//// ,,,,,, ,, ,,,,,, ,, tFhhtFhhhhtV dt tdF tVhhhtVhhhhtF dt dV kjikjifkjif kji kjikjikji kji      (5) для     Znhnnht ,1, . Позначимо, що nht ]/[ ,  Zrh]/[ . Проінтегруємо останню систему (5) по  tnh, , де ,)1( hnt  тоді отримаємо:           )( )( ),( ,,,,,, ,, ,,,,,, ,, tFnhFrhnhV dt tdF tVrhnhVrhnhF dt dV kjikjifkjif kji kjikjikji kji      (6) Позначивши в системі (6) ),()( ,,,, nhVnV kjikji  ),()( ,,,, nhFnF kjikji  отримаємо:       )()(exp)()( ,exp)()( ,,,,,,,, ,,,,,,,, nFrnVnFtF rnVrnFnVtV kjifkjifkjikji kjikjikjikji      (7) Враховуючи hnt )1(  можна спростити систему (7), додавши дифузію до першого рівняння, отримується диск- ретна аналогова неперервна в часі система (2) у вигляді: ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 3 © А.С. Сверстюк 137         .)()(exp)()1( ,)(ˆexp)()1( ,,,,,,,, ,,,,,,,,,, nFrnVnFnF nxSrnVrnFnVnV kjifkjifkjikji kjikjikjikjikji      (8) Поведінка моделі імунопікселя з ви- користанням різницевих рівнянь на гек- сагональній решітці (8) може бути ін- шою, порівняно із системою решітчастих диференціальних рівнянь (2). Проблеми еквівалентності різницевих і диференці- альних рівнянь розглянуті в роботі [20]. Еквівалентність траєкторій різницевих і диференціальних рівнянь, які отримують- ся з допомогою прямого та зворотного перетворення Ейлера або центральних різницевих схем, може бути лише для не- великих часових відліків. Використовую- чи нестандартну схему, запропоновану Міккенсом [21], встановлено динамічну узгодженість між дискретним часом і неперервним часом моделі в [20], [22]. Результати чисельного моделювання Розглядаємо модель (8) при 4N , 1min2  , g mL     min 2 , 1min1 f ,   8.0  , g mL     min 5.0 , g mL f     min 5.0 , 9.0n , , min 2.0 2nm D  nm3.0 . Результат чисельного моделювання реалізований на рисунку 2, де зображені динамічні зміни в пікселях моделі імуно- сенсора з використанням різницевих рів- нянь на гексагональній решітці у випадку 4N для популяції антигенів при зна- ченні запізнення в часі 20r . Рис. 2. Динамічні зміни в пікселях гексагональної решітки у випадку 4N для популяції антигенів при 20r ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 3 138 © А.С. Сверстюк Аналізуючи динамічні зміни в пік- селях імуносенсора з використанням різ- ницевих рівнянь, слід зазначити, що при 16r в імунопікселях зберігається стій- кий ендемічний стан, а при 16r спосте- рігаються періодичні зміни та перехід до нестійкого ендемічного стану. Висновки та перспективи подаль- ших досліджень У роботі запропонована модель іму- носенсора, яка ґрунтується на системі різ- ницевих диференціальних рівнянь на гек- сагональній решітці із запізненням. Побу- дова моделі ґрунтувалася на ряді біологіч- них припущень щодо взаємодії колоній ан- тигенів та антитіл, а також дифузії антиге- нів. Для опису дискретних у просторі коло- ній, локалізованих у відповідних пікселях, використано апарат різницевих решітчас- тих диференціальних рівнянь. Результати чисельного моделювання показали, що якісна поведінка системи сут- тєво залежить від часу імунної відповіді r . У подальших дослідженнях необ- хідно провести дослідження стійкості в моделі імуносенсора на основі різнице- вих диференціальних рівнянь на гексаго- нальній решітці із запізненням. Література 1. Mosinska, L., Fabisiak, K., Paprocki, K., Kowalska, M., Popielarski, P., Szybowicz, M., Stasiak, A. (2013) Diamond as a transducer material for the production of biosensors. Przemysl Chemiczny, vol. 92, no. 6, pp. 919–923. 2. Adley, C. (2014) Past, present and future of sensors in food production. Foods, vol. 3, no. 3, pp. 491–510. doi: 10. 3390 / foods3030491. [Online]. Available: https ://doi.org/10.3390/foods3030491. 3. Kłos-Witkowska, A. (2015) Enzyme-based fluorescent biosensors and their environmental, clinical and industrial applications. Polish Journal of Environmental Studies, vol. 24, pp. 19–25. doi: 10.15244/pjoes/28352. [Online]. Available: https://doi.org/10.15244/pjoes/28352. 4. Burnworth, M., Rowan, S., Weder, C. (2007) Fluorescent sensors for the detection of chemical warfare agents. Chemistry - A European Journal, vol. 13, no. 28, pp. 7828–7836. doi: 10.1002/chem.200700720. [Online]. Available: https://doi.org/10.1002/chem.200700720. 5. Mehrotra, P. (2016) Biosensors and their applications – a review. Journal of Oral Biology and Craniofacial Research, vol. 6, no. 2, pp. 153– 159. doi: 10.1016/j.jobcr.2015. 12.002. [Online]. Available: https://doi.org/10.1016/j.jobcr.2015.12.002. 6. Martsenyuk, V.P., Klos-Witkowska, A., Sverstiuk, A.S. (2018) Study of classification of immunosensors from viewpoint of medical tasks. Medical informatics and engineering. № 1(41). – p. 13-19. DOI: https://dx.doi.org/10.11603/mie.1996- 1960.2018.1.8887. 7. Martsenyuk, V.P., Klos-Witkowska, A., Sverstiuk, A.S., Bihunyak, T.V. (2018) On principles, methods and areas of medical and biological application of optical immunosensors. Medical informatics and engineering. № 2 (42). – p. 28-36. DOI: https://dx.doi.org/10.11603/mie.1996- 1960.2018.2.9289. 8. Moina, C., Ybarra, G. (2012) Fundamentals and applications of immunosensors. Advances in immunoassay technology, pp. 65–80. 9. Kłos-Witkowska, A. (2016) The phenomenon of fluorescence in immunosensors. Acta Biochimica Polonica, vol. 63, no. 2, pp. 215–221, 2016. doi: 10.18388/abp.2015_1231. [Online]. Available: https://doi.org/10.18388/abp.2015_1231. 10. Marzeniuk, V. Taking into account delay in the problem of immune protection of organism. Nonlinear Analysis: Real World Applications, vol. 2, no. 4, pp. 483–496, 2001, cited By 2. doi: 10.1016/S1468-1218(01)00005-0. [Online]. Available: https://www.scopus.com/inward/record.uri?eid=2-s2.0- 0041331752&doi=10.1016%2fS1468-1218%2801%2900005- 0&partnerID=40&md5=9943d225f352151e77407b48b18ab1a9. 11. Prindle, A., Samayoa, P., Razinkov, I., Danino, T., Tsimring, L.S., Hasty, J. (2011) A sensing array of radically coupled genetic ‘biopixels’. Nature, vol. 481, no. 7379, pp. 39–44. doi: 10 .1038/ nature10722. [Online]. Available: https : // doi . org/ 10 .1038/nature10722. 12. Gibson, T.D. (1999) Biosensors: The stabilité problem. Analusis, vol. 27, no. 7, pp. 630–638. 13. Kuang, Y. (1993) Delay differential equations with applications in population dynamics. New York: Academic Press. 14. Niu, H. (2015) Spreading speeds in a lattice differential equation with distributed delay. Turkish Journal of Mathematics, vol. 39, no. 2, pp. 235–250. 15. Hoffman, A., Hupkes, H., Vleck, E.V. (2017) Entire solutions for bistable lattice differential equations with obstacles. 16. Марценюк, В.П., Сверстюк, А.С. (2018) Модель імуносенсора на основі решітчастих диференціальних рівнянь із запізненням. Штучний інтелект, № 1. С. 42-47. 17. [Online]. Available: https://www.redblobgames.com/grids/hexagons/. 18. McCluskey, C.C. (2010) Complete global stability for an SIR epidemic model with delay - distributed or discrete. Nonlinear Analysis: Real World Applications, vol. 11, no. 1, pp. 55–59. doi: 10.1016/j.nonrwa.2008.10.014. [Online]. Available: https: //doi.org/10.1016/j.nonrwa.2008.10.014. 19. Liu, L., Liu, Z. (2011) Asymptotic behaviors of a delayed nonautonomous predator-prey system https://doi.org/10.15244/pjoes/28352 https://doi.org/10.1002/chem.200700720 https://doi.org/10.1016/j.jobcr.2015.12.002 https://dx.doi.org/10.11603/mie.1996-1960.2018.1.8887. https://dx.doi.org/10.11603/mie.1996-1960.2018.1.8887. https://dx.doi.org/10.11603/mie.1996-1960.2018.2.9289 https://dx.doi.org/10.11603/mie.1996-1960.2018.2.9289 https://www.redblobgames.com/grids/hexagons/ ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 3 © А.С. Сверстюк 139 governed by difference equations. Discrete Dynamics in Nature and Society, vol. 2011, pp. 1–15. doi: 10 . 1155 / 2011 / 271928. [Online]. Available: https://doi.org/10.1155/2011/271928. 20. Letellier, C., Elaydi, S., Aguirre, L.A., Alaoui, A. (2004) Difference equations versus differential equations, a possible equivalence for the r¨ossler system? Physica D: Nonlinear Phenomena, vol. 195, no. 1-2, pp. 29–49. doi: 10.1016/j.physd.2004.02.007. [Online]. Available: https://doi. org/10.1016/j.physd.2004.02.007. 21. Mickens, R.E. (1994) Nonstandard finite difference models of differential equations. world scientific. 22. Jang, S., Elaydi, S. (2003) Difference equations from discretization of a continuous epidemic model with immigration of infectives. References 1. Mosinska, L., Fabisiak, K., Paprocki, K., Kowalska, M., Popielarski, P., Szybowicz, M., Stasiak, A. (2013) Diamond as a transducer material for the production of biosensors. Przemysl Chemiczny, vol. 92, no. 6, pp. 919–923. 2. Adley, C. (2014) Past, present and future of sensors in food production. Foods, vol. 3, no. 3, pp. 491–510. doi: 10. 3390 / foods3030491. [Online]. Available: https ://doi.org/10.3390/foods3030491. 3. Kłos-Witkowska, A. (2015) Enzyme-based fluorescent biosensors and their environmental, clinical and industrial applications. Polish Journal of Environmental Studies, vol. 24, pp. 19–25. doi: 10.15244/pjoes/28352. [Online]. Available: https://doi.org/10.15244/pjoes/28352. 4. Burnworth, M., Rowan, S., Weder, C. (2007) Fluorescent sensors for the detection of chemical warfare agents. Chemistry - A European Journal, vol. 13, no. 28, pp. 7828–7836. doi: 10.1002/chem.200700720. [Online]. Available: https://doi.org/10.1002/chem.200700720. 5. Mehrotra, P. (2016) Biosensors and their applications – a review. Journal of Oral Biology and Craniofacial Research, vol. 6, no. 2, pp. 153– 159. doi: 10.1016/j.jobcr.2015. 12.002. [Online]. Available: https://doi.org/10.1016/j.jobcr.2015.12.002. 6. Martsenyuk, V.P., Klos-Witkowska, A., Sverstiuk, A.S. (2018) Study of classification of immunosensors from viewpoint of medical tasks. Medical informatics and engineering. № 1(41). – p. 13-19. DOI: https://dx.doi.org/10.11603/mie.1996- 1960.2018.1.8887. 7. Martsenyuk, V.P., Klos-Witkowska, A., Sverstiuk, A.S., Bihunyak, T.V. (2018) On principles, methods and areas of medical and biological application of optical immunosensors. Medical informatics and engineering. № 2 (42). – p.28-36. DOI: https://dx.doi.org/10.11603/mie.1996- 1960.2018.2.9289. 8. Moina, C., Ybarra, G. (2012) Fundamentals and applications of immunosensors. Advances in immunoassay technology, pp. 65–80. 9. Kłos-Witkowska, A. (2016) The phenomenon of fluorescence in immunosensors. Acta Biochimica Polonica, vol. 63, no. 2, pp. 215–221, 2016. doi: 10.18388/abp.2015_1231. [Online]. Available: https://doi.org/10.18388/abp.2015_1231. 10. Marzeniuk, V. Taking into account delay in the problem of immune protection of organism. Nonlinear Analysis: Real World Applications, vol. 2, no. 4, pp. 483–496, 2001, cited By 2. doi: 10.1016/S1468-1218(01)00005-0. [Online]. Available: https://www.scopus.com/inward/record.uri?eid=2-s2.0- 0041331752&doi=10.1016%2fS1468-1218%2801%2900005- 0&partnerID=40&md5=9943d225f352151e77407b48b18ab1a9. 11. Prindle, A., Samayoa, P., Razinkov, I., Danino, T., Tsimring, L.S., Hasty, J. (2011) A sensing array of radically coupled genetic ‘biopixels’. Nature, vol. 481, no. 7379, pp. 39–44. doi: 10 .1038/ nature10722. [Online]. Available: https : // doi . org/ 10 .1038/nature10722. 12. Gibson, T.D. (1999) Biosensors: The stabilité problem. Analusis, vol. 27, no. 7, pp. 630–638. 13. Kuang, Y. (1993) Delay differential equations with applications in population dynamics. New York: Academic Press. 14. Niu, H. (2015) Spreading speeds in a lattice differential equation with distributed delay. Turkish Journal of Mathematics, vol. 39, no. 2, pp. 235–250. 15. Hoffman, A., Hupkes, H., Vleck E.V. (2017) Entire solutions for bistable lattice differential equations with obstacles. 16. Martsenyuk, V.P., Sverstiuk, A.S. (2018) Model imunosensora na osnovi reshitchastykh dyferentsialnykh rivnian iz zapiznenniam. Shtuchnyi intelekt, № 1. S. 42-47. 17. [Online]. Available: https://www.redblobgames.com/grids/hexagons/. 18. McCluskey, C.C. (2010) Complete global stability for an SIR epidemic model with delay – distributed or discrete. Nonlinear Analysis: Real World Applications, vol. 11, no. 1, pp. 55–59. doi: 10.1016/j.nonrwa.2008.10.014. [Online]. Available: https: //doi.org/10.1016/j.nonrwa.2008.10.014. 19. Liu, L., Liu, Z. (2011) Asymptotic behaviors of a delayed nonautonomous predator-prey system governed by difference equations. Discrete Dynamics in Nature and Society, vol. 2011, pp. 1–15. doi: 10 . 1155 / 2011 / 271928. [Online]. Available: https://doi.org/10.1155/2011/271928. 20. Letellier, C., Elaydi, S., Aguirre, L.A., Alaoui, A. (2004) Difference equations versus differential equations, a possible equivalence for the r¨ossler system? Physica D: Nonlinear Phenomena, vol. 195, no. 1-2, pp. 29–49. doi: 10.1016/j.physd.2004.02.007. [Online]. Available: https://doi. org/10.1016/j.physd.2004.02.007. 21. Mickens, R.E. (1994) Nonstandard finite difference models of differential equations. world scientific. 22. Jang, S., Elaydi, S. (2003) Difference equations from discretization of a continuous epidemic model with immigration of infectives. https://doi.org/10.1155/2011/271928 https://doi.org/10.15244/pjoes/28352 https://doi.org/10.1002/chem.200700720 https://doi.org/10.1016/j.jobcr.2015.12.002 https://dx.doi.org/10.11603/mie.1996-1960.2018.1.8887. https://dx.doi.org/10.11603/mie.1996-1960.2018.1.8887. https://dx.doi.org/10.11603/mie.1996-1960.2018.2.9289 https://dx.doi.org/10.11603/mie.1996-1960.2018.2.9289 https://www.redblobgames.com/grids/hexagons/ https://doi.org/10.1155/2011/271928 ISSN 1561-5359. Штучний інтелект, 2018, № 3 140 © А.С. Сверстюк RESUME A.S. Sverstiuk Model of the immunosensor on the basis of difference equations on a hexagonal lattice In the work the model of immunosen- sor is proposed, which is based on the sys- tem of difference equations on a hexagonal lattice. The construction of the model is based on a number of biological assump- tions about the interaction of colonies of antigens and antibodies, as well as the diffu- sion of antigens. Namely, they are the following: ˗ we have some constant birthrate for anti- gen population; antigens are neutralized by antibodies with some probability rate; ˗ antigens are neutralized by antibodies with some probability rate; ˗ we have some diffusion of antibodies from six neighboring pixels with diffu- sion rate; ˗ we have some constant dirthrate of anti- bodies; ˗ as a result of immune response, we have increase of density of antibodies with some probability rate; antibody popula- tion tends to some carrying capacity with some rate; ˗ immune response appears with some constant time delay. The most important thing is to take into account spatially discrete character of the model. On the other hand, we use the predator-prey model for the description of immune response in each pixel. The time delay of immune response is described by the apparatus of delay difference equations. For the description of discrete spaces in the space of the colonies, localized in the corresponding pixels, the apparatus of difference equations on a hexagonal lattice is used. Difference equations arise in many applied subjects, such as chemical reaction, image processing, material science, and biology. In the models of difference equations, the spatial structure has a discrete character, and difference dynamics have recently been extensively used to model biological problems since the environment in which the species population lives may be discrete but not continuous. Such approach is appropriate for our problem. The results of numerical modeling of dynamic changes in the pixels of a model of an immunosensor with the use of difference equations on a hexagonal lattice of a population of antigens are given in the paper. When analyzing the dynamic changes in the pixels of the immunosensor with the use of difference equations, it was conclu- ded that with a delay of less than 16 in immunopips, a stable endemic state is main- tained, and in other cases, periodic changes and a transition to an unstable endemic state are observed. Надійшла до редакції 19.10.2018
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-162452
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1561-5359
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T16:03:19Z
publishDate	2018
publisher	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
record_format	dspace
spelling	Сверстюк, А.С. 2020-01-08T19:57:21Z 2020-01-08T19:57:21Z 2018 Модель імуносенсора з використанням різницевих рівнянь на гексагональній решітці / А.С. Сверстюк // Штучний інтелект. — 2018. — № 3 (81). — С. 132-140. — Бібліогр.: 22 назв. — укр. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162452 602.1:519.85:53.082.9:616-07 У роботі запропоновано модель імуносенсора, яка ґрунтується на системі різницевих рівнянь на гексагональній решітці. Уведено клас решітчастих різницевих рівнянь із затримками в часі для моделювання взаємодії антигенів-антитіл усередині імунопікселів. Побудова моделі ґрунтується на ряді біологічних припущень щодо взаємодії колоній антигенів та антитіл, а також дифузії антигенів. Для опису дискретних у просторі колоній, локалізованих у відповідних пікселях, використовується апарат різницевих диференціальних рівнянь на гексагональній решітці. The model of the immunosensor, which is based on the system of difference equations on a hexagonal lattice, is proposed in the paper. A class of solvable differential equations with time delay was introduced for modeling the interaction of antigen-antibodies within immunopicles. The construction of the model is based on a number of biological assumptions about the interaction of colonies of antigens and antibodies, as well as the diffusion of antigens. To describe the discrete spaces in the space of the colonies localized in the corresponding pixels, the apparatus of difference differential equations on a hexagonal lattice is used. uk Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Штучний інтелект Прикладні інтелектуальні технології та системи Модель імуносенсора з використанням різницевих рівнянь на гексагональній решітці Model of the immunosensor on the basis of difference equations on a hexagonal lattice Article published earlier
spellingShingle	Модель імуносенсора з використанням різницевих рівнянь на гексагональній решітці Сверстюк, А.С. Прикладні інтелектуальні технології та системи
title	Модель імуносенсора з використанням різницевих рівнянь на гексагональній решітці
title_alt	Model of the immunosensor on the basis of difference equations on a hexagonal lattice
title_full	Модель імуносенсора з використанням різницевих рівнянь на гексагональній решітці
title_fullStr	Модель імуносенсора з використанням різницевих рівнянь на гексагональній решітці
title_full_unstemmed	Модель імуносенсора з використанням різницевих рівнянь на гексагональній решітці
title_short	Модель імуносенсора з використанням різницевих рівнянь на гексагональній решітці
title_sort	модель імуносенсора з використанням різницевих рівнянь на гексагональній решітці
topic	Прикладні інтелектуальні технології та системи
topic_facet	Прикладні інтелектуальні технології та системи
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162452
work_keys_str_mv	AT sverstûkas modelʹímunosensorazvikoristannâmríznicevihrívnânʹnageksagonalʹníirešítcí AT sverstûkas modeloftheimmunosensoronthebasisofdifferenceequationsonahexagonallattice

Модель імуносенсора з використанням різницевих рівнянь на гексагональній решітці

Institution

Ähnliche Einträge