Концентрація напружень в області прямокутного отвору на бічній поверхні нелінійно-пружної ортотропної конічної оболонки
Дано постановку і розроблено чисельну методику розв'язання фізично нелінійних задач статики для композитної конічної оболонки, ослабленої прямокутним отвором. Систему розв'язувальних рівнянь отримано на основі співвідношень теорії тонких оболонок Кірхгофа—Лява і деформаційної теорії пласти...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2019 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2019
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162650 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Концентрація напружень в області прямокутного отвору на бічній поверхні нелінійно-пружної ортотропної конічної оболонки / Є.А. Сторожук, В.А. Максимюк, І.С. Чернишенко // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 11. — С. 41-48. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-162650 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Сторожук, Є.А. Максимюк, В.А. Чернишенко, І.С. 2020-01-13T10:05:21Z 2020-01-13T10:05:21Z 2019 Концентрація напружень в області прямокутного отвору на бічній поверхні нелінійно-пружної ортотропної конічної оболонки / Є.А. Сторожук, В.А. Максимюк, І.С. Чернишенко // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 11. — С. 41-48. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2019.11.041 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162650 539.37 Дано постановку і розроблено чисельну методику розв'язання фізично нелінійних задач статики для композитної конічної оболонки, ослабленої прямокутним отвором. Систему розв'язувальних рівнянь отримано на основі співвідношень теорії тонких оболонок Кірхгофа—Лява і деформаційної теорії пластичності анізотропних середовищ з використанням методів Ньютона, додаткових напружень і скінченних елементів. Досліджено вплив нелінійної пружності матеріалу і розташування прямокутного отвору відносно торців на концентрацію напружень в ортотропній конічній оболонці, навантаженій осьовими розтягувальними силами. The formulation and development of a numerical method for solving physically nonlinear static problems for a composite conical shell weakened by a rectangular hole is given. Geometric relationships are written in the vector form according to the theory of non-stray shells, in which Kirchhoff-Love’s hypotheses take place, and physical ones are based on the deformation theory of plasticity of anisotropic media. The inversion of physical relations with respect to stresses is performed numerically — by the Newton method. The system of resolving equations in displacements is obtained from the Lagrange variational equation using the method of additional stresses and the modified finite element method. A feature of the proposed version of the finite-element method is the implementation of the vector form of approximations of the unknown quantities and the implementation of the geometric part of the Kirchhoff—Love hypotheses at the nodes of the final element. Using the developed technique, the effect of nonlinear elasticity of the material and the location of a rectangular hole relative to the ends on the stress concentration in an orthotropic conical shell loaded with axial tensile forces is investigated. Дана постановка и разработана численная методика решения физически нелинейных задач статики для композитной конической оболочки, ослабленной прямоугольным отверстием. Система разрешающих уравнений получена на основе соотношений теории тонких оболочек Кирхгофа–Лява и деформационной теории пластичности анизотропных сред с использованием методов Ньютона, дополнительных напряжений и конечных элементов. Исследовано влияние нелинейной упругости материала и расположения прямоугольного отверстия относительно торцов на концентрацию напряжений в ортотропной конической оболочке, нагруженной осевыми растягивающими силами. Наукові дослідження, результати яких опубліковано в даній статті, виконано за рахунок коштів бюджетної програми “Підтримка пріоритетних напрямів наукових досліджень” (КПКВК 6541230). uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Концентрація напружень в області прямокутного отвору на бічній поверхні нелінійно-пружної ортотропної конічної оболонки Stress concentration in the region of a rec tangular hole on the side surface of a nonlinearly elastic orthotropic conical shell Концентрация напряжений в области прямоугольного отверстия на боковой поверхности нелинейно-упругой ортотропной конической оболочки Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Концентрація напружень в області прямокутного отвору на бічній поверхні нелінійно-пружної ортотропної конічної оболонки |
| spellingShingle |
Концентрація напружень в області прямокутного отвору на бічній поверхні нелінійно-пружної ортотропної конічної оболонки Сторожук, Є.А. Максимюк, В.А. Чернишенко, І.С. Механіка |
| title_short |
Концентрація напружень в області прямокутного отвору на бічній поверхні нелінійно-пружної ортотропної конічної оболонки |
| title_full |
Концентрація напружень в області прямокутного отвору на бічній поверхні нелінійно-пружної ортотропної конічної оболонки |
| title_fullStr |
Концентрація напружень в області прямокутного отвору на бічній поверхні нелінійно-пружної ортотропної конічної оболонки |
| title_full_unstemmed |
Концентрація напружень в області прямокутного отвору на бічній поверхні нелінійно-пружної ортотропної конічної оболонки |
| title_sort |
концентрація напружень в області прямокутного отвору на бічній поверхні нелінійно-пружної ортотропної конічної оболонки |
| author |
Сторожук, Є.А. Максимюк, В.А. Чернишенко, І.С. |
| author_facet |
Сторожук, Є.А. Максимюк, В.А. Чернишенко, І.С. |
| topic |
Механіка |
| topic_facet |
Механіка |
| publishDate |
2019 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Stress concentration in the region of a rec tangular hole on the side surface of a nonlinearly elastic orthotropic conical shell Концентрация напряжений в области прямоугольного отверстия на боковой поверхности нелинейно-упругой ортотропной конической оболочки |
| description |
Дано постановку і розроблено чисельну методику розв'язання фізично нелінійних задач статики для композитної конічної оболонки, ослабленої прямокутним отвором. Систему розв'язувальних рівнянь отримано на основі співвідношень теорії тонких оболонок Кірхгофа—Лява і деформаційної теорії пластичності
анізотропних середовищ з використанням методів Ньютона, додаткових напружень і скінченних елементів. Досліджено вплив нелінійної пружності матеріалу і розташування прямокутного отвору відносно
торців на концентрацію напружень в ортотропній конічній оболонці, навантаженій осьовими розтягувальними силами.
The formulation and development of a numerical method for solving physically nonlinear static problems for a
composite conical shell weakened by a rectangular hole is given. Geometric relationships are written in the vector
form according to the theory of non-stray shells, in which Kirchhoff-Love’s hypotheses take place, and physical
ones are based on the deformation theory of plasticity of anisotropic media. The inversion of physical relations
with respect to stresses is performed numerically — by the Newton method. The system of resolving equations
in displacements is obtained from the Lagrange variational equation using the method of additional stresses
and the modified finite element method. A feature of the proposed version of the finite-element method is the
implementation of the vector form of approximations of the unknown quantities and the implementation of the
geometric part of the Kirchhoff—Love hypotheses at the nodes of the final element. Using the developed technique,
the effect of nonlinear elasticity of the material and the location of a rectangular hole relative to the ends
on the stress concentration in an orthotropic conical shell loaded with axial tensile forces is investigated.
Дана постановка и разработана численная методика решения физически нелинейных задач статики для
композитной конической оболочки, ослабленной прямоугольным отверстием. Система разрешающих
уравнений получена на основе соотношений теории тонких оболочек Кирхгофа–Лява и деформационной
теории пластичности анизотропных сред с использованием методов Ньютона, дополнительных напряжений и конечных элементов. Исследовано влияние нелинейной упругости материала и расположения прямоугольного отверстия относительно торцов на концентрацию напряжений в ортотропной конической оболочке, нагруженной осевыми растягивающими силами.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/162650 |
| citation_txt |
Концентрація напружень в області прямокутного отвору на бічній поверхні нелінійно-пружної ортотропної конічної оболонки / Є.А. Сторожук, В.А. Максимюк, І.С. Чернишенко // Доповіді Національної академії наук України. — 2019. — № 11. — С. 41-48. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT storožukêa koncentracíânapruženʹvoblastíprâmokutnogootvorunabíčníipoverhnínelíníinopružnoíortotropnoíkoníčnoíobolonki AT maksimûkva koncentracíânapruženʹvoblastíprâmokutnogootvorunabíčníipoverhnínelíníinopružnoíortotropnoíkoníčnoíobolonki AT černišenkoís koncentracíânapruženʹvoblastíprâmokutnogootvorunabíčníipoverhnínelíníinopružnoíortotropnoíkoníčnoíobolonki AT storožukêa stressconcentrationintheregionofarectangularholeonthesidesurfaceofanonlinearlyelasticorthotropicconicalshell AT maksimûkva stressconcentrationintheregionofarectangularholeonthesidesurfaceofanonlinearlyelasticorthotropicconicalshell AT černišenkoís stressconcentrationintheregionofarectangularholeonthesidesurfaceofanonlinearlyelasticorthotropicconicalshell AT storožukêa koncentraciânaprâženiivoblastiprâmougolʹnogootverstiânabokovoipoverhnostinelineinouprugoiortotropnoikoničeskoioboločki AT maksimûkva koncentraciânaprâženiivoblastiprâmougolʹnogootverstiânabokovoipoverhnostinelineinouprugoiortotropnoikoničeskoioboločki AT černišenkoís koncentraciânaprâženiivoblastiprâmougolʹnogootverstiânabokovoipoverhnostinelineinouprugoiortotropnoikoničeskoioboločki |
| first_indexed |
2025-11-26T10:22:44Z |
| last_indexed |
2025-11-26T10:22:44Z |
| _version_ |
1850620432833576960 |
| fulltext |
41ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 11: 41—48
Конічні оболонки використовуються при проектуванні корпусів ракет (головний обтіч-
ник, міжступеневий і хвостовий відсіки), доменних печей (кожух купола корпуса), телеві-
зійних веж (опора) тощо. Досить часто з конструктивних або технологічних міркувань
такі оболонки мають отвори і вирізи різноманітної форми. Значна частина результатів з
вивчення концентрації напружень біля отворів в конічних оболонках, виготовлених з мета-
левих і композитних матеріалів, отримана на основі розв’язання лінійно-пружних задач і
найбільш повно викладена в узагальнюючих монографіях [1, 2].
Нелінійні задачі про концентрацію напружень в конічних оболонках розглянуті в об-
меженій кількості робіт. Майже всі результати в цих роботах отримані для випадку, коли
оболонки виготовлені з металів або їх сплавів. Так, за допомогою варіаційно-різницево-
го методу досліджено пружнопластичний стан конічної оболонки з прямокутним [3] і кру-
говим [4] отворами. Вплив пластичних деформацій і скінченних прогинів на напруже но-
деформований стан (НДС) ізотропної конічної оболонки, ослабленої круговим або еліп-
тичним отвором, вивчено в роботах [5, 6]. Останнім часом почали з’являтися публікації,
присвячені розв’язанню нелінійних крайових задач для конічних оболонок з двома круго-
© Є.А. Сторожук, В.А. Максимюк, І.С. Чернишенко, 2019
https://doi.org/10.15407/dopovidi2019.11.041
УДК 539.37
Є.А. Сторожук, В.А. Максимюк, І.С. Чернишенко
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ
E-mail: stevan@ukr.net
Концентрація напружень в області
прямокутного отвору на бічній поверхні
нелінійно-пружної ортотропної конічної оболонки
Представлено членом-кореспондентом НАН України І.С. Чернишенком
Дано постановку і розроблено чисельну методику розв’язання фізично нелінійних задач статики для ком-
позитної конічної оболонки, ослабленої прямокутним отвором. Систему розв’язувальних рівнянь отрима-
но на основі співвідношень теорії тонких оболонок Кірхгофа—Лява і деформаційної теорії пластичності
анізотропних середовищ з використанням методів Ньютона, додаткових напружень і скінченних елемен-
тів. Досліджено вплив нелінійної пружності матеріалу і розташування прямокутного отвору відносно
торців на концентрацію напружень в ортотропній конічній оболонці, навантаженій осьовими розтягуваль-
ними силами.
Ключові слова: композитна конічна оболонка, прямокутний отвір, статичне навантаження, нелінійно-
пружний стан, концентрація напружень, метод скінченних елементів.
42 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 11
Є.А. Сторожук, В.А. Максимюк, І.С. Чернишенко
вими отворами при дії статичних навантажень [7, 8]. Чисельні дослідження проведені з ви-
користанням методу скінченних елементів (МСЕ). І лише в роботі [9] варіацій но-різнице-
вим методом досліджено нелінійно-пружне деформування ортотропної конічної обо лонки з
круговим вирізом. Тому в роботі дано постановку нелінійно-пружних задач для композит-
них конічних оболонок з прямокутним отвором при дії статичного навантаження, розроб-
лено методику чисельного розв’язання даного класу задач і представлено конкретні чис-
лові результати дослідження концентрації напружень в ортотропній конічній оболонці,
ослабленій пря мокутним отвором і навантаженій розтягувальними зусиллями.
Постановка задачі. Основні співвідношення. Розглянемо зрізану конічну оболонку з
товщиною h , висотою H і радіусами верхньої та нижньої основ 1r і 2r ( <1 2r r ), яка виготов-
лена з композитного матеріалу (КМ) і ослаблена прямокутним отвором (рис. 1).
Вважаємо, що при підвищених рівнях діючих поверхневих і крайових навантажень
властивості матеріалу оболонки описуються нелінійними діаграмами деформування.
Основні співвідношення запишемо у криволінійній ортогональній системі координат
ϑ γ( , , )l , лінії ϑ,l якої збігаються з лініями головних кривин оболонки. Координату γ бу-
демо відраховувати по нормалі до серединної поверхні оболонки.
Вирази для компонент мембранної ε( )ij і згинної μ( )ij деформацій представимо у
векторній формі згідно з теорією непологих оболонок, в якій виконуються гіпотези Кірх-
го фа–Лява [2, 8]:
∂ε = ⋅
∂
11 l
l
u
e
A l
; ϑ
ϑ
∂ε = ⋅
∂ϑ
22
u
e
A
; ϑ
ϑ
∂ ∂ε = ⋅ + ⋅
∂ ∂ϑ
12 l
l
u u
e e
A l A
;
11 ;l
l
e
A l
∂ϕμ = − ⋅
∂
22 ;e
A ϑ
ϑ
∂ϕμ = − ⋅
∂ϑ
122 l
l
e e
A l Aϑ
ϑ
∂ϕ ∂ϕμ = − ⋅ − ⋅
∂ ∂ϑ
; (1)
= ε + γμ11 11 11 ;e = ε + γμ22 22 22 ;e = ε + γμ12 12 122e ,
де ϑ,lA A — параметри Ламе; ϑ= + +
lu ue ve wn — вектор пе-
реміщень точок серединної поверхні оболонки; ϑ
, ,le e n — ор-
ти криволінійної ортогональної системи координат ϑ γ( , , )l ;
ϑ ϑϕ = ϕ +ϕ
l le e — вектор кутів повороту дотичних до коор-
динатних ліній, які визначаються за формулами:
∂ϕ = ⋅
∂
l
l
u
n
A l
; ϑ
ϑ
∂ϕ = ⋅
∂ϑ
u
n
A
. (2)
Припускаючи, що навантаження просте, скористаємося
нелінійними фізичними співвідношеннями деформаційної
теорії пластичності анізотропних середовищ, у якій прийня-
та умова пластичності вигляду [10]:
= σ + σ + σ σ + σ =2 2 2
1111 11 2222 22 1122 11 22 1212 12
1
( 2 4 ) .
2 sf q q q q f (3)
Рис. 1
43ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 11
Концентрація напружень в області прямокутного отвору на бічній поверхні нелінійно-пружної...
Тут sf — додатна матеріальна константа.
Також приймемо, що матеріал зміцнюється тільки тоді, коли виконується робота плас-
тичних деформацій
= σ + σ + σ∫ ∫ ∫
11 22 12
11 22 1211 22 12
0 0 0
p p pe e e
p p p
pW de de de , (4)
тобто при sf f�
= ( )pf f W та = ( )p pW W f . (5)
Залежності між компонентами напружень і деформацій при плоскому напруженому
стані у випадку збігу напрямків ортотропії матеріалу з напрямками осей координат ϑ γ( , , )l
мають вигляд [10]:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ν
= +Ψ σ + − +Ψ σ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
12
11 1111 11 1122 22
11 22
1
e q q
E E
;
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ν
= − +Ψ σ + +Ψ σ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
21
22 2211 11 2222 22
11 22
1
e q q
E E
; (6)
⎛ ⎞
= + Ψ σ⎜ ⎟⎝ ⎠12 1212 12
12
1
4e q
G
,
де 11E , 22E , 12G , ν12 , ν21 — пружні сталі композита; 1111q , 2222q , 1122q , 1212q — компоненти
тензора, що враховує анізотропію нелінійних властивостей КМ; Ψ( )f — функція, яка
описує нелінійне деформування матеріалу і обчислюється за формулою [10]:
′
Ψ = ∫
1
2
s
f
p
f
W
df
f f
.
Відзначимо, що функція зміцнення = ( )p pW W f і значення параметрів 1111q , 2222q , 1122q ,
1212q визначаються за допомогою методики, викладеної в роботах [10, 11].
Методика розв’язання фізично нелінійних крайових задач для композитних коніч-
них оболонок з прямокутним отвором. Коротко викладемо чисельну методику розв’язан-
ня задач статики для ортотропних оболонок, ослаблених отвором, з врахуванням фізич-
ної нелінійності, яка базується на використанні методу Ньютона, методу додаткових на п-
ружень і МСЕ.
Фізичні співвідношення (6) є істотно нелінійними й нерозв’язними аналітично віднос-
но напружень. Запишемо рівняння (6) у вигляді:
σ = =({ }, { }) 0 ( 1, 2, 3)iF e i , (7)
44 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 11
Є.А. Сторожук, В.А. Максимюк, І.С. Чернишенко
де σ = σ σ σ =11 22 12 11 22 12{ } { , , } , { } { , , }T Te e e e — вектори напружень і деформацій у довільній
точці оболонки.
Розв’яжемо нелінійну систему (7) відносно напружень методом Ньютона
∂
+ Δσ = =
∂ σ
{ } 0 ( 1, 2, 3)
{ }
ji
i j
F
F i ; +σ = σ + Δσ1{ } { } { }j j j , (8)
вибираючи за початкове наближення напруження для лінійно-пружного тіла σ0{ } .
Після чисельного обернення рівнянь (6) відносно напружень будемо мати залеж-
ності вигляду
σ = σ11 11 11 22 12( , , );e e e
σ = σ22 22 11 22 12( , , );e e e (9)
σ = σ12 12 11 22 12( , , ) .e e e
Представимо вирази для напружень (9) у вигляді суми лінійних (σ0
ij ) і нелінійних
(σH
ij ) доданків:
σ = σ +σ0
11 11 11
Н ; σ = σ +σ0
22 22 22
Н ; σ = σ +σ0
12 12 12
Н ;
σ = +0
11 11 11 12 22 ;с e с e σ = +0
22 21 11 22 22 ;с e с e σ =0
12 33 12 ;с e
(10)
σ = σ −σ0
11 11 11
Н ; σ = σ −σ0
22 22 22
Н ; σ = σ −σ0
12 12 12
Н ;
=
− ν ν
11
11
12 21
;
1
E
с =
− ν ν
22
22
12 21
;
1
E
с
ν
= =
− ν ν
11 12
21 12
12 21
;
1
E
с с =33 12 .с G
Для внутрішніх зусиль і моментів = 11 22 12 11 22 12{ } { , , , , , }Тm T T T M M M з врахуванням
рівностей (9) при довільному виборі координатної поверхні маємо вирази:
= +0{ } { } { };Нm m m = ε0{ } [ ]{ };m D
(11)
Δ+
Δ−
= σ γ∫
/2
/2
;
h
Н Н
ij ij
h
T d
Δ+
Δ−
= σ γ γ =∫
/2
/2
( , 1,2),
h
Н Н
ij ij
h
M d i j
де ε = ε ε ε μ μ μ11 22 12 11 22 12{ } { , , , , , 2 }Т — вектор компонентів мембранної та згинної дефор-
мацій оболонки; Δ — відхилення серединної поверхні від координатної поверхні; [ ]D — ма-
триця жорсткостей оболонки, елементи якої обчислюються за формулами:
= ;kl kld c h + += = Δ3 , , 3 ;k l k l kld d c h + +
⎛ ⎞
= + Δ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
3
2
3 , 3 ( , 1, 2, 3).
12k l kl
h
d c h k l (12)
Систему розв’язувальних рівнянь отримаємо з варіаційного рівняння Лагранжа
Σ Σ
δ ε ε Σ = δ − δ ε Σ∫∫ ∫∫{ } [ ] { } { } { }T T H
pD d A m d . (13)
45ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 11
Концентрація напружень в області прямокутного отвору на бічній поверхні нелінійно-пружної...
Тут Ap — робота зовнішніх сил; Σ — серединна поверхня оболонки.
Методом додаткових напружень вихідна фізично нелінійна задача (13) зводиться до
послідовності лінійно-пружних задач, які розв’язуються модифікованим МСЕ. Особливість
запропонованого варіанту МСЕ полягає в тому, що вектор кутів повороту ϕ
не визнача-
ється за допомогою формул (2) для ϕl і ϑϕ , як це прийнято в традиційному МСЕ для тон-
ких оболонок, а апроксимується біквадратичним поліномом серендипового типу з вико-
нанням гіпотез Кірхгофа—Лява у вузлах скінченного елемента (СЕ) [8, 12].
З рівняння Лагранжа (13) отримаємо систему алгебраїчних рівнянь, яка моделює не-
лінійно-пружне деформування композитної конічної оболонки, ослабленої прямокутним
отвором:
= − Ω[ ]{ } { } { },K U P (14)
де [ ]K — глобальна матриця жорсткості лінійно-пружної оболонки; { }U , { }P , Ω{ } — гло-
бальні вектори вузлових ступенів свободи, навантажень і нелінійностей.
Відзначимо, що для елемента ( )e матриця жорсткості та вектори нелінійностей і на-
вантажень обчислюються за формулами:
Σ
= Σ∫∫
( )
( ) ( ) ( )[ ] [ ] [ ][ ] ;
e
e e T eK B D B d
Σ
Ω = Σ∫∫
( )
( ) ( ){ } [ ] { } ;
e
e e T HB m d
(15)
Σ
= Σ +∫∫ ∫
( ) ( )
( )( ) ( ){ } [ ] { } [ ] { } .
e e
p k
ee e T T
kk
Г
P f p d f m ds
Тут ( )[ ]ef , ( )[ ]e
kf — матриці функцій форми переміщень точок внутрішньої області та
контуру елемента ( )e ; ( )[ ]eB – матриця функцій форми компонент деформації оболонки;
{ }p , { }km — вектори поверхневих і крайових сил; ( )e
kГ — частина контуру елемента ( )e , на
якій задані крайові сили.
Числові результати і їх аналіз. Дослідимо нелінійно-пружний стан конічної оболонки з
прямокутним отвором, яка виготовлена з ортотропного органопластика та розтягується
осьовими зусиллями 1P і 2P , розподіленими на торцях = 1l l і = 2l l .
На основі діаграм деформування побудована функція зміцнення органопластика
( )pW f і визначені його фізико-механічні параметри [10, 11], які характеризують лінійно-
пружну стадію деформування:
=11 25,3E ГПа; =22 38,4E ГПа; =12 7,6G ГПа; ν =12 0,238
і нелінійно-пружну:
−⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥Ψ = −⎜ ⎟− ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
1
;
(2 1)
n
s
s s
fcn f
n f f f
= 0,137c МПа; = 3n ; = ⋅ 60,4 10sf МПа;
=1111 4,2q ; =2222 2,0q ; =1122 0,33q ; =1212 13,0q .
46 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 11
Є.А. Сторожук, В.А. Максимюк, І.С. Чернишенко
Розрахунки виконані для оболонки з наступними розмірами:
=1 / 55,56r h ; =2 / 73,704r h ; =/ 148,67H h ; =/ 14,81a h ; =/ 11,11b h ,
де ,a b – довжина і ширина (BC) прямокутного отвору.
Конкретні числові результати розв’язання лінійних (ЛЗ) і нелінійних (НЗ) крайових
задач у класичній постановці (модель Кірхгофа–Лява) отримані для рівномірно розподі-
лених осьових зусиль інтенсивності =2 1000P та =
1 2 2 1/P P r r ( = ⋅ 5/ 10k kP h P Па; = 1, 2k ).
На рис. 2 та 3 показано характер зміни коефіцієнта концентрації осьових напружень
+ += σ1 11 2/k h P уздовж перерізу AD на зовнішній поверхні оболонки як для задач у лінійно-
пружній постановці (рис. 2), так і у нелінійно-пружній (рис. 3). Дані наведені для трьох ва-
ріантів розташування отвору: 1 — біля верхньої основи ( < =; / 9,26AB CD AB h ; штрихова
крива); 2 — посередині конуса ( = = − −2 1( ) / 2AB CD l l b ; суцільна крива); 3 — біля нижньої
основи ( > ;AB CD =/ 9,26CD h ; штрих-пунктирна крива). На рисунках символом = −
1( ) /l l l
−2 1( )l l позначена відносна відстань довільної точки оболонки від верхньої основи.
Із представлених результатів розв’язання крайових задач видно, що при дії осьових роз-
тягувальних зусиль для всіх трьох варіантів розміщення отвору найнебезпечнішими є ку-
тові точки контурів отворів, які розташовані на зовнішній поверхні оболонок, де мають
місце найбільші осьові напруження і деформації. Так, для варіантів 1 і 2, коли отвір знахо-
диться біля верхньої (меншої) основи або посередині конуса, найнебезпечнішою є кутова
точка В, а для варіанта 3 – кутова точка С.
З розглянутих вище трьох варіантів розташування отвору оптимальним є варіант 2,
для якого отвір розміщений посередині конуса, оскільки в цьому випадку коефіцієнт кон-
центрації осьових напружень набуває найменшого значення: + =1 5,92k для ЛЗ і + =1 5,44k
для НЗ, а найнебезпечнішим — варіант 1, коли отвір знаходиться біля меншої основи і
коефіцієнт концентрації напружень досягає найбільшого значення: + =1 9,80k для ЛЗ і
+ =1 7,72k для НЗ.
Аналіз отриманих результатів також свідчить про те, що для конічної оболонки з прямо-
кутним отвором області концентрації напружень і пластичних деформацій мають невеликі
розміри й знаходяться в околі кутових точок контуру отвору.
Рис. 2 Рис. 3
47ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2019. № 11
Концентрація напружень в області прямокутного отвору на бічній поверхні нелінійно-пружної...
Врахування нелінійних властивостей матеріалу оболонки зумовлює незначне збіль-
шення максимальних прогинів і деформацій і більш істотне зменшення максимальних нап-
ружень у порівнянні з результатами лінійно-пружного розв’язку, відповідно, на 21,2 % для
варіанта 1, на 8,2 % для варіанта 2 і на 18,3 % для варіанта 3.
Наукові дослідження, результати яких опубліковано в даній статті, виконано за раху-
нок коштів бюджетної програми “Підтримка пріоритетних напрямів наукових досліджень”
(КПКВК 6541230).
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Гузь А.Н., Луговой П.З., Шульга Н.А. Конические оболочки, ослабленные отверстиями. Киев: Наук.
думка, 1976. 163 с.
2. Гузь А.Н., Чернышенко И.С., Чехов Вал. Н., Чехов Вик. Н., Шнеренко К.И. Методы расчета оболочек.
Т.1. Теория тонких оболочек, ослабленных отверстиями. Киев: Наук. думка, 1980. 636 с.
3. Мущанов В.Ф., Демидов А.И. Упруго-пластическое напряженное состояние круговых конических обо-
лочек переменной и постоянной толщины с отверстием. Метал. конструкции. 2008. 14, № 3. С. 125–142.
4. Troyak E.N., Storozhuk E.A., Chernyshenko I.S. Elastoplastic state of a conical shell with a circular hole on
the lateral surface. Int. Appl. Mech. 1988. 24, № 1. P. 65–70.
5. Chernyshenko I.S., Storozhuk E.A., Kharenko S.B. Physically and geometrically nonlinear deformation of
thin–walled conical shells with a curvilinear hole. Int. Appl. Mech. 2007. 43, № 4. P. 418–424.
6. Chernyshenko I.S., Storozhuk E.A., Kharenko S.B. Physically and geometrically nonlinear deformation of
conical shells with an elliptic hole. Int. Appl. Mech. 2008. 44, № 2. P. 174–181.
7. Харенко С.Б. Рівновага непружної конічної оболонки з двома круговими отворами. Пробл. обчисл. ме-
ханіки і міцності конструкцій. Дніпропетровськ: Наука і освіта, 2010. Вип. 14. С. 340–346.
8. Storozhuk E.A.. Chernyshenko I.S., Kharenko S.B. Elastoplastic deformation of conical shells with two
circular holes. Int. Appl. Mech. 2012. 48, № 3. P. 343–348.
9. Ermakovskaya I.P. Effect of physical nonlinearity and orthotropy on the stress distribution around holes in a
conical shell. Int. Appl. Mech. 1991. 27, № 10. P. 995–1000.
10. Ломакин В.А. О теории пластичности анизотропных сред. Вестн. Моск. ун-та. Cер. 1. Математика.
Механика. 1964. № 4. С. 49–53.
11. Механика композитов. Т. 7. Концентрация напряжений: Гузь А.Н., Космодамианский А.С., Шевченко
В.П. (ред.). Киев: “А.С.К.”, 1998. 387 с.
12. Areias P.M.A., Song J.-H., Belytschko T. A finite-strain quadrilateral shell element based on discrete
Kirchhoff–Love constraints. Int. J. Numer. Meth. Eng. 2005. 64, № 9. P. 1166–1206.
Надійшло до редакції 17.07.2019
REFERENCES
1. Guz, A. N., Lugovoy, P. Z. & Shulga, N. A. (1976). Conical shells weakened by holes. Kyiv: Naukova Dumka
(in Russian).
2. Guz, A. N., Chernyshenko, I. S., Chekhov, Val. N., Chekhov, Vik. N. & Shnerenko, K. I. (1980). Calculation
methods shells. (vol. 1) Theory of thin shells weakened by holes. Kyiv: Naukova Dumka (in Russian).
3. Mushchanov, V. F. & Demidov, A. I. (2008). Elastic-plastic stress state of circular conical shells of variable and
constant thickness with aperture. Metal. constructions, 14, No. 3, pp. 125-142 (in Russian).
4. Troyak, E. N., Storozhuk, E. A. & Chernyshenko, I. S. (1988). Elastoplastic state of a conical shell with a cir cu lar
hole on the lateral surface. Int. Appl. Mech., 24, No. 1, pp. 65-70. https://doi.org/10.1007/BF00885078
5. Chernyshenko, I. S., Storozhuk, E.A. & Kharenko, S.B. (2007). Physically and geometrically nonlinear
deformation of thin–walled conical shells with a curvilinear hole. Int. Appl. Mech., 43, No. 4, pp. 418-424.
https://doi.org/10.1007/s10778-007-0038-2
6. Chernyshenko, I. S., Storozhuk, E. A. & Kharenko, S. B. (2008). Physically and geometrically nonlinear
deformation of conical shells with an elliptic hole. Int. Appl. Mech., 44, No. 2, pp. 174-181. https://doi.
org/10.1007/s10778-008-0032-3
48 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2019. № 11
Є.А. Сторожук, В.А. Максимюк, І.С. Чернишенко
7. Kharenko, S. B. (2010). Equilibrium of an inelastic conical shell with two circular holes. Problems of com pu-
tational mechanics and strength of structures. Dnipropetrovsk: Nauka i osvita, 14, pp. 340-346 (in Ukrainian).
8. Storozhuk, E. A., Chernyshenko I. S. & Kharenko, S. B. (2012). Elastoplastic deformation of conical shells
with two circular holes. Int. Appl. Mech., 48, No. 3, pp. 343-348. https://doi.org/10.1007/s10778-012-0525-y
9. Ermakovskaya, I. P. (1991). Effect of physical nonlinearity and orthotropy on the stress distribution around
holes in a conical shell. Int. Appl. Mech., 27, No. 10, pp. 995-1000. https://doi.org/10.1007/BF00887508
10. Lomakin, V. A. (1964). On the theory of anisotropic plasticity. Vestn. Mosk. un-ta. Ser. 1. Matematika.
Mekhanika, No. 4, pp. 49-53 (in Russian).
11. Guz, A. N., Kosmodamianskii, A. S. & Shevchenko, V. P. (Eds.). (1998). Mechanics of Composite Materials.
(vol. 7) Stress Concentration. Kyiv: A.S.K. (in Russian).
12. Areias, P. M. A., Song, J.-H. & Belytschko, T. (2005). A finite-strain quadrilateral shell element based on
discrete Kirchhoff–Love constraints. Int. J. Numer. Meth. Eng., 64, No. 9, pp. 1166-1206. https://doi.
org/10.1002/nme.1389
Received 17.07.2019
Е.А. Сторожук, В.А. Максимюк, И.С. Чернышенко
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев
E-mail: stevan@ukr.net
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В ОБЛАСТИ
ПРЯМОУГОЛЬНОГО ОТВЕРСТИЯ НА БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОЙ ОРТОТРОПНОЙ КОНИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
Дана постановка и разработана численная методика решения физически нелинейных задач статики для
композитной конической оболочки, ослабленной прямоугольным отверстием. Система разрешающих
уравнений получена на основе соотношений теории тонких оболочек Кирхгофа–Лява и деформационной
теории пластичности анизотропных сред с использованием методов Ньютона, дополнительных напряже-
ний и конечных элементов. Исследовано влияние нелинейной упругости материала и расположения пря-
моугольного отверстия относительно торцов на концентрацию напряжений в ортотропной конической
оболочке, нагруженной осевыми растягивающими силами.
Ключевые слова: композитная коническая оболочка, прямоугольное отверстие, статическая нагрузка,
нелинейно-упругое состояние, концентрация напряжений, метод конечных элементов.
E.A. Storozhuk, V.A. Maksimyuk, I.S. Chernyshenko
S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kyiv
E-mail: stevan@ukr.net
STRESS CONCENTRATION IN THE REGION
OF A RECTANGULAR HOLE ON THE SIDE SURFACE
OF A NONLINEARLY ELASTIC ORTHOTROPIC CONICAL SHELL
The formulation and development of a numerical method for solving physically nonlinear static problems for a
composite conical shell weakened by a rectangular hole is given. Geometric relationships are written in the vector
form according to the theory of non-stray shells, in which Kirchhoff-Love’s hypotheses take place, and phy-
sical ones are based on the deformation theory of plasticity of anisotropic media. The inversion of physical rela-
tions with respect to stresses is performed numerically — by the Newton method. The system of resolving equa-
tions in displacements is obtained from the Lagrange variational equation using the method of additional stresses
and the modified finite element method. A feature of the proposed version of the finite-element method is the
implementation of the vector form of approximations of the unknown quantities and the implementation of the
geometric part of the Kirchhoff—Love hypotheses at the nodes of the final element. Using the developed tech-
nique, the effect of nonlinear elasticity of the material and the location of a rectangular hole relative to the ends
on the stress concentration in an orthotropic conical shell loaded with axial tensile forces is investigated.
Keywords: composite conical shell, rectangular hole, static load, nonlinear elastic state, stress concentration, finite-
element method.
|