Существование и единственность взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами

Существование и единственность взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами

Для одного з означень зваженої псевдоінверсії з виродженими вагами одержано необхідні та достатні умови існування і єдиності. Отримано розвинення зважених псевдообернених матриць в матричні степеневі ряди і матричні степеневі добутки. Встановлено зв'язок між зваженими псевдооберненими матрицями...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Український математичний журнал
Datum:2011
Hauptverfasser: Сергиенко, И.В., Галба, Е.Ф., Дейнека, В.С.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут математики НАН України 2011
Schlagworte:
Статті
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/163982
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Существование и единственность взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами / И.В. Сергиенко, Е.Ф. Галба, В.С. Дейнека // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 1. — С. 80–101. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-163982
record_format dspace
spelling Сергиенко, И.В.
Галба, Е.Ф.
Дейнека, В.С.
2020-02-07T15:41:22Z
2020-02-07T15:41:22Z
2011
Существование и единственность взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами / И.В. Сергиенко, Е.Ф. Галба, В.С. Дейнека // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 1. — С. 80–101. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.
1027-3190
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/163982
512.61
Для одного з означень зваженої псевдоінверсії з виродженими вагами одержано необхідні та достатні умови існування і єдиності. Отримано розвинення зважених псевдообернених матриць в матричні степеневі ряди і матричні степеневі добутки. Встановлено зв'язок між зваженими псевдооберненими матрицями та зваженими нормальними псевдорозв'язками. Побудовано ітераційні методи для обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків.
For one of definitions of weighted pseudoinversion with singular weights, necessary and sufficient conditions for the existence and uniqueness are obtained. Expansions of weighted pseudoinverse matrices in matrix power series and matrix power products are obtained. Relationship is established between the weighted pseudoinverse matrices and the weighted normal pseudosolutions. Iterative methods for the calculation of both weighted pseudoinverse matrices and weighted normal pseudosolutions are constructed.
ru
Інститут математики НАН України
Український математичний журнал
Статті
Существование и единственность взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами
Existence and uniqueness of weighted pseudoinverse matrices and weighted normal pseudosolutions with singular weights
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Существование и единственность взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами
spellingShingle Существование и единственность взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами
Сергиенко, И.В.
Галба, Е.Ф.
Дейнека, В.С.
Статті
title_short Существование и единственность взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами
title_full Существование и единственность взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами
title_fullStr Существование и единственность взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами
title_full_unstemmed Существование и единственность взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами
title_sort существование и единственность взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами
author Сергиенко, И.В.
Галба, Е.Ф.
Дейнека, В.С.
author_facet Сергиенко, И.В.
Галба, Е.Ф.
Дейнека, В.С.
topic Статті
topic_facet Статті
publishDate 2011
language Russian
container_title Український математичний журнал
publisher Інститут математики НАН України
format Article
title_alt Existence and uniqueness of weighted pseudoinverse matrices and weighted normal pseudosolutions with singular weights
description Для одного з означень зваженої псевдоінверсії з виродженими вагами одержано необхідні та достатні умови існування і єдиності. Отримано розвинення зважених псевдообернених матриць в матричні степеневі ряди і матричні степеневі добутки. Встановлено зв'язок між зваженими псевдооберненими матрицями та зваженими нормальними псевдорозв'язками. Побудовано ітераційні методи для обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків. For one of definitions of weighted pseudoinversion with singular weights, necessary and sufficient conditions for the existence and uniqueness are obtained. Expansions of weighted pseudoinverse matrices in matrix power series and matrix power products are obtained. Relationship is established between the weighted pseudoinverse matrices and the weighted normal pseudosolutions. Iterative methods for the calculation of both weighted pseudoinverse matrices and weighted normal pseudosolutions are constructed.
issn 1027-3190
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/163982
citation_txt Существование и единственность взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами / И.В. Сергиенко, Е.Ф. Галба, В.С. Дейнека // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 1. — С. 80–101. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT sergienkoiv suŝestvovanieiedinstvennostʹvzvešennyhpsevdoobratnyhmatricivzvešennyhnormalʹnyhpsevdorešeniisvyroždennymivesami
AT galbaef suŝestvovanieiedinstvennostʹvzvešennyhpsevdoobratnyhmatricivzvešennyhnormalʹnyhpsevdorešeniisvyroždennymivesami
AT deinekavs suŝestvovanieiedinstvennostʹvzvešennyhpsevdoobratnyhmatricivzvešennyhnormalʹnyhpsevdorešeniisvyroždennymivesami
AT sergienkoiv existenceanduniquenessofweightedpseudoinversematricesandweightednormalpseudosolutionswithsingularweights
AT galbaef existenceanduniquenessofweightedpseudoinversematricesandweightednormalpseudosolutionswithsingularweights
AT deinekavs existenceanduniquenessofweightedpseudoinversematricesandweightednormalpseudosolutionswithsingularweights
first_indexed 2025-11-27T07:34:49Z
last_indexed 2025-11-27T07:34:49Z
_version_ 1850803694371602432
fulltext UDK 512.61 Y. V. Serhyenko, E. F. Halba, V. S. Dejneka (Yn-t kybernetyky NAN Ukrayn¥, Kyev) SUWESTVOVANYE Y EDYNSTVENNOST| VZVEÍENNÁX PSEVDOOBRATNÁX MATRYC Y VZVEÍENNÁX NORMAL|NÁX PSEVDOREÍENYJ S VÁROÛDENNÁMY VESAMY For one of definitions of weighted pseudoinversion with singular weights, necessary and sufficient conditions for the existence and uniqueness are obtained. Expansions of weighted pseudoinverse matrices in matrix power series and matrix power products are obtained. Relationship is established between the weighted pseudoinverse matrices and the weighted normal pseudosolutions. Iterative methods for the calculation of both weighted pseudoinverse matrices and weighted normal pseudosolutions are constructed. Dlq odnoho z oznaçen\ zvaΩeno] psevdoinversi] z vyrodΩenymy vahamy oderΩano neobxidni ta dostatni umovy isnuvannq i [dynosti. Otrymano rozvynennq zvaΩenyx psevdoobernenyx matryc\ v matryçni stepenevi rqdy i matryçni stepenevi dobutky. Vstanovleno zv’qzok miΩ zvaΩenymy psevdoobernenymy matrycqmy ta zvaΩenymy normal\nymy psevdorozv’qzkamy. Pobudovano iteracijni metody dlq obçyslennq zvaΩenyx psevdoobernenyx matryc\ i zvaΩenyx normal\nyx psevdorozv’qzkiv. Vvedenye. Opredelenye vzveßennoj psevdoobratnoj matryc¥ s v¥roΩdenn¥my vesamy vperv¥e b¥lo vvedeno v rabote [1]. Pust\ A m n∈ ×R , X n m∈ ×R , a B m m∈ ×R y C n n∈ ×R — symmetryçn¥e poloΩytel\no poluopredelenn¥e matryc¥. Tohda vzveßennaq psevdoobratnaq matryca dlq matryc¥ A v [1] op- redelqetsq kak matryca X ABC= + , udovletvorqgwaq çet¥rem uslovyqm AXA = A, XAX = X, ( )BAX T = BAX , ( )XAC T = XAC . (1) Tam Ωe ustanovleno, çto systema matryçn¥x uravnenyj (1) ymeet edynstven- noe reßenye tohda y tol\ko tohda, kohda v¥polnqgtsq sledugwye sootnoße- nyq dlq ranhov matryc: rk ( )BA = rk ( )A , rk ( )AC = rk ( )A , (2) hde rk ( )L — ranh matryc¥ L . Kak sleduet yz (1), matryca AX symmetryzuema sleva symmetryzatorom B, a matryca XA symmetryzuema sprava symmetryzatorom C. Rqd rabot (sm. [2] y ymegwugsq tam byblyohrafyg) posvqweno vzveßenn¥m psevdoobratn¥m mat- rycam s v¥roΩdenn¥my vesamy, opredelenn¥m uslovyqmy (1), (2), v napravlenyy yssledovanyq svojstv vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc y vzveßenn¥x nor- mal\n¥x psevdoreßenyj, poluçenyq y yssledovanyq predstavlenyj y razloΩe- nyj vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc, postroenyq yteracyonn¥x metodov y rehulqryzovann¥x zadaç dlq v¥çyslenyq pryblyΩenyj k πtym vzveßenn¥m psevdoobratn¥m matrycam y vzveßenn¥m normal\n¥m psevdoreßenyqm s v¥- roΩdenn¥my vesamy. Tak, v rabote [3] poluçeno predstavlenye vzveßennoj psevdoobratnoj matryc¥, opredelennoj uslovyqmy (1), (2), v termynax koπffy- cyentov xarakterystyçeskoho mnohoçlena symmetryzuemoj matryc¥, a takΩe ee predel\noe predstavlenye. Razlyçn¥e vyd¥ predstavlenyj matryc¥ ABC + , opredelennoj uslovyqmy (1), (2), poluçen¥ v rabote [4], a razloΩenyq ee v rqd¥ y mnohoçlenn¥e predel\n¥e predstavlenyq — v rabotax [5, 6]. V rabote [7] yzuçalas\ vzveßennaq psevdoobratnaq matryca s v¥roΩdenn¥my vesamy, opredelennaq systemoj matryçn¥x uravnenyj © Y. V. SERHYENKO, E. F. HALBA, V. S. DEJNEKA, 2011 80 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1 SUWESTVOVANYE Y EDYNSTVENNOST| VZVEÍENNÁX PSEVDOOBRATNÁX … 81 AXA = A, XAX = X, ( )BAX T = BAX , ( )CXA T = CXA , (3) t. e. sluçaj, kohda obe matryc¥ AX y XA symmetryzuem¥ sleva v¥roΩdenn¥my symmetryzatoramy B y C. V cytyruemoj rabote ustanovleno, çto dlq suwestvovanyq edynstvennoho reßenyq system¥ (3) neobxodymo y dostatoçno v¥polnenyq uslovyj rk ( )BA = rk ( )A , AC CEE + = A , (4) hde CEE + — psevdoobratnaq matryca Mura – Penrouza [8, 9] . V [7] takΩe ustanovleno suwestvovanye edynstvennoho vzveßennoho nor- mal\noho psevdoreßenyq, opredelennoho na osnove ukazannoj vzveßennoj psev- doobratnoj matryc¥, y poluçeno razloΩenye πtoj matryc¥ v matryçn¥e ste- penn¥e rqd¥ y proyzvedenyq s poloΩytel\n¥my pokazatelqmy stepenej. V nastoqwej rabote budet yzuçat\sq vzveßennaq psevdoobratnaq matryca s v¥roΩdenn¥my vesamy, opredelennaq systemoj matryçn¥x uravnenyj AXA = A, XAX = X, ( )AXB T = AXB , ( )CXA T = CXA , (5) t. e. sluçaj, kohda matryca AX symmetryzuema sprava symmetryzatorom B, a matryca XA symmetryzuema sleva symmetryzatorom C. Kak y v¥ße, predpola- haetsq, çto B y C — symmetryçn¥e poloΩytel\no poluopredelenn¥e matry- c¥. Osnovnoe vnymanye udeleno yssledovanyg system¥ (5) na predmet oprede- lenyq neobxodym¥x y dostatoçn¥x uslovyj, pry kotor¥x suwestvuet edynst- vennoe reßenye πtoj system¥ matryçn¥x uravnenyj, a takΩe yssledovanyg vo- prosa suwestvovanyq edynstvennoho vzveßennoho normal\noho psevdoreßenyq, opredelqemoho na osnove vzveßennoj psevdoobratnoj matryc¥ s v¥roΩdenn¥my vesamy. Otmetym, çto pry B = C = E, hde E — edynyçnaq matryca, system¥ matryç- n¥x uravnenyj (1), (3), (5) budut opredelqt\ psevdoobratnug matrycu MuraL– Penrouza [8, 9] k matryce A , kotorug budem oboznaçat\ AEE + . Rabota sostoyt yz pqty punktov. V pervom punkte pryveden¥ opredelenyq, oboznaçenyq, vveden¥ vektorn¥e y matryçn¥e norm¥, vspomohatel\n¥e utverΩ- denyq y osnovn¥e yzvestn¥e rezul\tat¥ o suwestvovanyy y edynstvennosty vzveßenn¥x normal\n¥x psevdoreßenyj s v¥roΩdenn¥my vesamy. V p.L2 usta- novlen¥ uslovyq, pry kotor¥x systema (5) s v¥roΩdenn¥my vesamy B y C ymeet edynstvennoe reßenye, dan¥ predstavlenyq vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc s v¥roΩdenn¥my vesamy v termynax koπffycyentov xarakterystyçe- skyx mnohoçlenov symmetryzuem¥x y symmetryçn¥x matryc. V p.L3 dokazano su- westvovanye edynstvennoho vzveßennoho normal\noho psevdoreßenyq, oprede- lqemoho na osnove vzveßennoj psevdoobratnoj matryc¥ s v¥roΩdenn¥my vesa- my. V p.L4 poluçen¥ y yssledovan¥ razloΩenyq vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc s v¥roΩdenn¥my vesamy v matryçn¥e stepenn¥e rqd¥ y matryçn¥e ste- penn¥e proyzvedenyq s poloΩytel\n¥my pokazatelqmy stepenej. PunktL5 po- svqwen postroenyg y yssledovanyg yteracyonn¥x processov dlq v¥çyslenyq pryblyΩenyj k vzveßenn¥m psevdoobratn¥m matrycam y k vzveßenn¥m nor- mal\n¥m psevdoreßenyqm s v¥roΩdenn¥my vesamy. Otmetym, çto v rabote predpolahaetsq vewestvennost\ yspol\zuem¥x skalq- rov, vektorov, matryc y prostranstv. 1. Opredelenyq, oboznaçenyq, yzvestn¥e fakt¥ y vspomohatel\n¥e ut- verΩdenyq. Oboznaçym çerez R n n -mernoe vektornoe prostranstvo nad polem dejstvytel\n¥x çysel, hde vektor¥ sut\ matryc¥ razmera n × 1. Pust\ H — symmetryçnaq poloΩytel\no opredelennaq yly Ωe poloΩytel\no poluoprede- lennaq matryca. Çerez Rn H( ) budem oboznaçat\ evklydovo prostranstvo v ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1 82 Y. V. SERHYENKO, E. F. HALBA, V. S. DEJNEKA sluçae poloΩytel\no opredelennoj metryky yly Ωe psevdoevklydovo v sluçae neotrycatel\noj metryky, vvedennoj skalqrn¥m proyzvedenyem ( , )u v H = = ( , )Hu v E , hde ( , )u v E = u vT . Normu (polunormu) v Rn H( ) vvedem sootno- ßenyem u H = ( , ) /u u H 1 2 . V sluçae poloΩytel\no poluopredelennoj matryc¥ H çerez R Rn nH H( ) ( )⊂ y R Rn EE n EEH H( ) ( )+ +⊂ budem oboznaçat\ podprost- ranstvo vektorov u, udovletvorqgwyx uslovyg HH uEE + = H H uEE 1 2 1 2/ /+ = u , (6) hde oboznaçeno HEE +1 2/ = ( )/H EE 1 2 + . V dal\nejßem dlq matryc A budem yspol\zovat\ oboznaçenye AEE p+ = = ( )Ap EE + , hde p — celoe yly drobnoe çyslo. Poskol\ku nul\-prostranstva matryc H, HEE + , HHEE + y H HEE 1 2 1 2/ /+ sovpa- dagt [10], polunorm¥ ⋅ H , ⋅ +HEE dlq vektorov v Rn H( ) , Rn EEH( )+ sta- novqtsq normamy v Rn H( ) , Rn EEH( )+ . Opredelym normu prqmouhol\noj matryc¥ [11]. Pust\ A m n∈ ×R , a H ∈ ∈ Rm m× — symmetryçnaq poloΩytel\no opredelennaq yly poloΩytel\no po- luopredelennaq matryca, V n n∈ ×R — symmetryçnaq poloΩytel\no oprede- lennaq yly poloΩytel\no poluopredelennaq matryca, x — proyzvol\n¥j vek- tor yz Rn . Predpolahaem v¥polnenye uslovyj rk ( )HA = rk ( )A , rk ( )AV = rk ( )A . (7) Esly H y V — poloΩytel\no opredelenn¥e matryc¥, to uslovyq (7) zave- domo v¥polnqgtsq. Dlq mnoΩestva matryc A , udovletvorqgwyx uslovyqm (7), normu vvedem sootnoßenyem A HV = sup / x E E H AVx x m n ≠0 1 2 , (8) hde x n∈R , a nyΩnyj yndeks pry edynyçnoj matryce oznaçaet ee razmernost\. Pry takom opredelenyy norma matryc¥ A ravna A HV = λmax / ( )VA HAVT  1 2 , (9) hde λmax( )L — maksymal\noe sobstvennoe znaçenye matryc¥ L . V [11] pokazano, çto funkcyq ⋅ HV , opredelennaq formuloj (8), pry v¥- polnenyy uslovyj (7) qvlqetsq addytyvnoj matryçnoj normoj. Esly uslovyq (yly odno yz uslovyj) (7) ne v¥polnqgtsq, to formula (8) opredelqet polunor- mu matryc¥ A . Pust\ A m p∈ ×R , B p n∈ ×R , a H m m∈ ×R , V n n∈ ×R , M p p∈ ×R — sym- metryçn¥e poloΩytel\no poluopredelenn¥e matryc¥, pryçem v¥polnqetsq odno yz uslovyj AMMEE + = AM MEE + = A , MM BEE + = M MBEE + = B , (10) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1 SUWESTVOVANYE Y EDYNSTVENNOST| VZVEÍENNÁX PSEVDOOBRATNÁX … 83 tohda (sm.L[4, 11]) yz opredelenyq norm¥ matryc sootnoßenyem (8) sleduet AB HV ≤ A BHM M VEE +2 . (11) Teper\ opredelym matryçnug normu dlq kvadratnoj matryc¥ [12]. Pust\ A n n∈ ×R — proyzvol\naq kvadratnaq matryca, a H n n∈ ×R — symmetryçnaq poloΩytel\no poluopredelennaq matryca, kotor¥e udovletvorqgt uslovyqm rk ( )HA = rk ( )AH = rk ( )A . (12) Normu matryc¥ A , udovletvorqgwej (12), opredelym sootnoßenyem A H = sup x H H Ax x≠0 = sup / / / / x EE E E H AH H x H x≠ + 0 1 2 1 2 1 2 1 2 , (13) hde x — proyzvol\n¥j vektor yz Rn H( ) . Pry takom opredelenyy norma matryc¥ A ravna A H = λmax / / / ( )H A HAHEE T EE + +  1 2 1 2 1 2 . (14) Pust\ A y B — kvadratn¥e matryc¥ odnoho porqdka, pryçem v¥polnqetsq odno yz uslovyj AHHEE + = AH HEE + = A , HH BEE + = H HBEE + = B , (15) hde H — symmetryçnaq poloΩytel\no poluopredelennaq matryca toho Ωe po- rqdka, çto y matryc¥ A y B. Tohda AB H ≤ A BH H , (16) t. e. funkcyq ⋅ H , opredelennaq formuloj (13), pry v¥polnenyy uslovyj (12) y odnoho yz uslovyj (15) qvlqetsq mul\typlykatyvnoj matryçnoj normoj. Yz (13) sleduet Ax H ≤ A xH H , x Hn∈R ( ) , t. e. vvedennaq sootnoßenyem (13) matryçnaq norma sohlasovana v Rn H( ) s vektornoj normoj. Zameçanye91. Yz (9) y (14) sleduet, çto vvedennaq sootnoßenyem (13) mat- ryçnaq norma dlq kvadratn¥x matryc, udovletvorqgwyx uslovyqm (12), qvlq- etsq çastn¥m sluçaem matryçnoj norm¥, kotoraq vvedena dlq prqmouhol\n¥x matryc formuloj (8) y udovletvorqet uslovyqm (7), esly v poslednej polo- Ωyt\, çto A qvlqetsq kvadratnoj matrycej, V = HEE +1 2/ y x Hn∈R ( ) . Poπto- mu dlq norm¥ A H , vvedennoj sootnoßenyem (13), moΩno yspol\zovat\ obo- znaçenye A HHEE +1 2/ . Zameçanye92. Esly v formulax (10), (11) y (15), (16) matryc¥ H, V, M y H poloΩytel\no opredelenn¥e, to v πtyx formulax sleduet zamenyt\ psevdo- obratn¥e matryc¥ Mura – Penrouza obratn¥my matrycamy. Tohda uslovyq (10), (15) zavedomo v¥polnqgtsq. V opredelenyy norm¥ formuloj (13) estestvenno poloΩyt\ x Hn∈R ( ) . V πtom sluçae, oçevydno, formula (16) ymeet mesto bez dopolnytel\n¥x uslovyj. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1 84 Y. V. SERHYENKO, E. F. HALBA, V. S. DEJNEKA Teper\ pryvedem yzvestn¥e rezul\tat¥ o suwestvovanyy y edynstvennosty vzveßenn¥x normal\n¥x psevdoreßenyj s v¥roΩdenn¥my vesamy. Pust\ Ax = f, x n∈R , f m∈R (17) — systema lynejn¥x alhebrayçeskyx uravnenyj (SLAU) s proyzvol\noj mat- rycej A m n∈ ×R . V rabote [12] ustanovlena svqz\ meΩdu vzveßenn¥my psevdoobratn¥my mat- rycamy, opredelenn¥my uslovyqmy (1), (2), y vzveßenn¥my normal\n¥my psev- doreßenyqmy, a ymenno, pokazano, çto vektor x+ = A fBC + , hde matryca ABC + opredelena uslovyqmy (1), (2), qvlqetsq v Rn EEC( )+ vzveßenn¥m normal\n¥m psevdoreßenyem SLAU (17) s poloΩytel\no poluopredelenn¥my vesamy B y CEE + , t. e. edynstvenn¥m reßenyem zadaçy: najty min ( )x C Cn EE EE x ∈ + + R ∩ Ω , Ω = Arg min x B n Ax f ∈ − R . V rabote [7] ustanovlena svqz\ meΩdu vzveßenn¥my psevdoobratn¥my matry- camy, opredelenn¥my uslovyqmy (3), (4), y vzveßenn¥my normal\n¥my psevdo- reßenyqmy, a ymenno, pokazano, çto vektor x+ = A fBC + , hde matryca ABC + opredelena uslovyqmy (3), (4), qvlqetsq v Rn C( ) vzveßenn¥m normal\n¥m psevdoreßenyem SLAU (17) s poloΩytel\no poluopredelenn¥my vesamy B y C, t. e. edynstvenn¥m reßenyem zadaçy: najty min ( )x C Cn x ∈R ∩ Ω , Ω = Arg min x B n Ax f ∈ − R . V rqde rabot opredelqlys\ symmetryzuem¥e matryc¥ y yzuçalys\ yx svojst- va. V kaçestve symmetryzatorov, v osnovnom, yspol\zovan¥ poloΩytel\no opre- delenn¥e matryc¥, a v rabotax [13, 14] yzuçalys\ H-symmetryçn¥e matryc¥, hde H predpolahaetsq symmetryçnoj nev¥roΩdennoj znakoneopredelennoj matrycej. Opredelym symmetryzuem¥e matryc¥ s poloΩytel\no poluoprede- lenn¥my symmetryzatoramy [12]. Opredelenye91. Kvadratnug matrycu U budem naz¥vat\ symmetryzue- moj sleva yly sprava s pomow\g symmetryçn¥x poloΩytel\no poluopredelen- n¥x matryc M y N, esly v¥polnqgtsq sootvetstvenno uslovyq MU = U MT , rk ( )MU = rk ( )U ; UN = NUT , rk ( )UN = rk ( )U . (18) Yspol\zuq pervoe y vtoroe uslovyq v (2) y pervoe uslovye v (1), moΩno pokazat\, çto rk ( )BAX = rk ( )AX y rk ( )XAC = rk ( )XA . Tohda tret\e uslo- vye v (1) vmeste s perv¥m uslovyem v (2) y çetvertoe uslovye v (1) vmeste so vto- r¥m uslovyem v (2) budut sootvetstvenno oznaçat\, çto matryca AX symmetry- zuema sleva symmetryzatorom B, a matryca XA symmetryzuema sprava symmet- ryzatorom C. Oçevydno, çto v (3) sohlasno opredelenygL1 matryc¥ AX y X A budut symmetryzuem¥ sleva sootvetstvenno symmetryzatoramy B y C, a v (5) matryca AX symmetryzuema sprava symmetryzatorom B, a matryca XA sym- metryzuema sleva symmetryzatorom C, esly budut v¥polnqt\sq uslovyq na ranhy matryc. Poπtomu symmetryzuem¥e matryc¥ yhragt suwestvennug rol\ pry yssledovanyy vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc. Pry yssledovanyy voprosa suwestvovanyq edynstvennoho reßenyq vzveßen- noj psevdoobratnoj matryc¥ s v¥roΩdenn¥my vesamy budut yspol\zovat\sq sledugwye utverΩdenyq [7]. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1 SUWESTVOVANYE Y EDYNSTVENNOST| VZVEÍENNÁX PSEVDOOBRATNÁX … 85 Lemma91. Pust\ dlq kvadratn¥x matryc K, L, M v¥polnqgtsq uslovyq KM = MK, LM = ML. Toda yz ravenstva KM 2 = LM 2 sleduet ravenstvo KM = LM. Lemma92. Pust\ A m n∈ ×R , a B m m∈ ×R y C n n∈ ×R — symmetryçn¥e poloΩytel\no poluopredelenn¥e matryc¥. Pust\ matryc¥ A BT , AC , AT ymegt odyn y tot Ωe ranh. Tohda matryca A BACAT T ymeet tot Ωe ranh. Pry yssledovanyy razloΩenyj vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc budem yspol\zovat\ sledugwee utverΩdenye [7]. Lemma93. Dlq lgb¥x matryc P n n∈ ×R , W n m∈ ×R y dejstvytel\noho çysla 0 < < ∞σ ymeet mesto toΩdestvo σ σE E P W k k n + −{ } = − ∏ ( )2 0 1 = σ σ( )E P Wk k n − = − ∑ 0 2 1 , n = 1, 2, … . (19) 2. Teorema suwestvovanyq y edynstvennosty vzveßenn¥x psevdoobrat- n¥x matryc. V πtom punkte ustanovlen¥ uslovyq, pry kotor¥x suwestvuet edynstvennoe reßenye system¥ matryçn¥x uravnenyj (5). Pry dokazatel\stve yspol\zovana teorema Hamyl\tona – Kπly, çto dalo vozmoΩnost\ poluçyt\ predstavlenye vzveßennoj psevdoobratnoj matryc¥ s v¥roΩdenn¥my vesamy v termynax koπffycyentov xarakterystyçeskyx mnohoçlenov symmetryzuem¥x y symmetryçn¥x matryc. Teorema91. Dlq toho çtob¥ systema (5) ymela edynstvennoe reßenye X = = ABC + , neobxodymo y dostatoçno v¥polnenyq uslovyj B BAEE + = A , AC CEE + = A , (20) pryçem matryca ABC + , udovletvorqgwaq uslovyqm (5), (20), predstavyma v vyde ABC + = C SA BEE T EE + + , (21) hde S = f A B ACT EE EE( )+ + — mnohoçlen ot matryc¥ A B ACT EE EE + + vyda S = – α α αk T EE EE k T EE EE kA B AC A B AC− + + − + + −+ + … +1 1 1 2( ) ( ) kk E− 1 , (22) α p , p n= …1, , , — koπffycyent¥ xarakterystyçeskoho mnohoçlena f ( )λ = λ α λ αn n n+ + … +− 1 1 = det λE A B ACT EE EE−  + + , a αk — poslednyj otlyçn¥j ot nulq koπffycyent πtoho mnohoçlena, BEE + , CEE + — psevdoobratn¥e matryc¥ Mura — Penrouza k matrycam B y C soot- vetstvenno. Dokazatel\stvo. Snaçala pokaΩem, çto matryca, opredelennaq formuloj (21), udovletvorqet systeme (5), esly v¥polnqgtsq uslovyq (20) y suwestvuet matryca S, udovletvorqgwaq uslovyqm SA B AC AT EE EE T+ + = A T , SA B ACT EE EE + + = A B AC ST EE EE + + , C SEE + = ( )C SEE T+ .(23) Matryca ABC + udovletvorqet pervomu uravnenyg v (5) pry v¥polnenyy us- lovyj (23). Dejstvytel\no, uçyt¥vaq (23), moΩno zapysat\ A B AC SAT EE EE T+ + = ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1 86 Y. V. SERHYENKO, E. F. HALBA, V. S. DEJNEKA = AT , AS C A B AT EE T EE + + = A , AC SA B AEE T EE + + = A, otkuda v sylu predstavle- nyq ABC + formuloj (21) y sleduet utverΩdenye. Çtob¥ pokazat\, çto matryca ABC + udovletvorqet vtoromu uravnenyg v (5), umnoΩym pervoe uravnenye v (23) sleva na C SEE + , a sprava na BEE + . Uçyt¥vaq vtoroe uslovye v (23) y predstavlenye (21) dlq ABC + , poluçaem C S A B AC A BEE T EE EE T EE + + + +2 = C SA BEE T EE + + = ABC + , C SA B AC SA BEE T EE EE T EE + + + + = ABC + , A AABC BC + + = ABC + , t. e. matryca ABC + , opredelennaq formuloj (21), udovletvorqet vtoromu uravnenyg v (5). Dalee, podstavlqq v tret\e uravnenye yz (5) predstavlenye dlq ABC + yz (21), s uçetom pervoho uslovyq v (20) y tret\eho uslovyq v (23) poluçaem AC SA B BEE T EE + + = AC SAEE T+ = AS C AT EE T+ = ( )AC SAEE T T+ , t. e. AA BBC + qvlq- etsq symmetryçnoj matrycej y, sledovatel\no, ABC + udovletvorqet tret\emu uravnenyg v (3). Nakonec, podstavlqq v çetvertoe uravnenye yz (5) predstavlenye dlq ABC + yz (21) y uçyt¥vaq vtor¥e uslovyq v (20), (23) y tret\e uslovye v (23), ymeem CC SA B AC CEE T EE EE + + + = CC A B AC SCEE T EE EE + + + = CC A B AS C CEE T EE T EE + + + = = ( )CC SA B AC CEE T EE EE T+ + + , tak çto CA ABC + qvlqetsq symmetryçnoj matrycej, t. e. udovletvorqet çetver- tomu uslovyg v (5). Teper\ pokaΩem, çto suwestvuet matryca S, kotoraq udovletvorqet (23) pry v¥polnenyy uslovyj (20). Dlq πtoho yspol\zuem teoremu Hamyl\tona – Kπ- ly, sohlasno kotoroj lgbaq kvadratnaq matryca udovletvorqet svoemu xarak- terystyçeskomu uravnenyg. Poskol\ku A B ACT EE EE n n+ + ×∈R , spravedlyvo ra- venstvo ( ) ( )A B AC A B AC A BT EE EE n T EE EE n n T+ + + + − −+ + … +α α1 1 1 EEE EE nAC E+ + + α = 0. (24) Pust\ matryc¥ B y C poloΩytel\no opredelenn¥e y matryca A B ACT − −1 1 ymeet obratnug. Tohda αn ≠ 0 y moΩno b¥lo b¥ poloΩyt\ S = = ( )A B ACT − − −1 1 1 . Lehko proveryt\, çto takaq matryca udovletvorqet uslovy- qm (23). No matryca A B ACT EE EE + + qvlqetsq v¥roΩdennoj y, sledovatel\no, αn = 0 . Pust\ sredy koπffycyentov α p , p n= … −1 1, , , αk budet po- slednyj, otlyçn¥j ot nulq koπffycyent polynoma f ( )λ = = det λE A B ACT EE EE−  + + y S = – α α αk T EE EE k T EE EE kA B AC A B AC− + + − + + −+ + … +1 1 1 2( ) ( ) kk E− 1 . (25) Yz vyda matryc¥ S, opredelennoj formuloj (25), sleduet, çto dlq nee v¥pol- nqgtsq vtoroe y tret\e uslovyq v (23). PokaΩem, çto dlq matryc¥ S takΩe v¥polnqetsq pervoe uslovye v (23). ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1 SUWESTVOVANYE Y EDYNSTVENNOST| VZVEÍENNÁX PSEVDOOBRATNÁX … 87 Uçyt¥vaq (25), yz (24) poluçaem S A B ACT EE EE n k( )+ + − +1 = ( )A B ACT EE EE n k+ + − . (26) V sylu lemm¥L1 yz (26) ymeem S A B ACT EE EE( )+ + 2 = A B ACT EE EE + + . (27) UmnoΩym sprava obe çasty ravenstva (27) na AT , posle çeho s uçetom vtoroho ravenstva v (23) poluçym ( )A B AC SAT EE EE T+ + 2 = A B AC AT EE EE T+ + . (28) Lehko ubedyt\sq, çto yz pervoho y vtoroho uslovyj v (21) sootvetstvenno sleduet rk ( )A BT EE + = rk ( )A , rk ( )ACEE + = rk ( )A . (29) Tohda matryc¥ A BT EE n m+ ×∈R , ACEE m n+ ×∈R y AT n m∈ ×R sohlasno (29) ymegt odynakov¥j ranh, kotor¥j poloΩym ravn¥m r . A v sylu lemm¥L2 ranh matryc¥ A B AC AT EE EE T+ + takΩe raven r . Çtob¥ pokazat\, çto yz ravenstva (28) sleduet pervoe ravenstvo v (23) pry v¥polnenyy uslovyj (29), yspol\zuem skeletnoe razloΩenye matryc [15] A BT EE + , ACEE + y AT , t. e. predstavym yx v vyde A B KLT EE + = , AC MNEE + = , A PQT = , hde K n r∈ ×R , L r m∈ ×R , M m r∈ ×R , N r n∈ ×R , P n r∈ ×R , Q r m∈ ×R — matryc¥ polnoho ranha. Tohda (28) prymet vyd KLMNPQB AC SAEE EE T+ + = KLMNPQ. (30) Matryca K KT nev¥roΩdena, poskol\ku K n r∈ ×R — matryca polnoho ranha s n r≥ [15] . UmnoΩym ravenstvo (30) sleva snaçala na KT , a potom na ( )K KT −1 . V rezul\tate poluçym LMNPQB AC SAEE EE T+ + = LMNPQ. (31) Matryc¥ LM y NP — kvadratn¥e, nev¥roΩdenn¥e ranha r . Dejstvytel\- no, ranh πtyx matryc budet r , tak kak sohlasno (29) yz lemm¥L2 sleduet, çto ranh matryc¥ KLMNPQ A B AC AT EE EE T= + + raven r . No ranh matryc¥-proyzve- denyq ne moΩet prev¥ßat\ ranhy matryc-somnoΩytelej, a ranhy matryc-so- mnoΩytelej LM y NP ne mohut prev¥ßat\ r , poskol\ku r — porqdok πtyx matryc. UmnoΩym ravenstvo (31) sleva snaçala na ( )LM −1 , a zatem na ( )NP −1 . V re- zul\tate poluçym QB AC SAEE EE T+ + = Q . (32) Teper\, umnoΩaq sleva (32) na P y yspol\zuq vtoroe ravenstvo yz (23), poluça- em pervoe ravenstvo v (23). Poskol\ku matryca S, opredelennaq formuloj (22), udovletvorqet raven- stvam (23) pry v¥polnenyy uslovyj (20), matryca ABC + , opredelennaq formu- loj (21), udovletvorqet systeme matryçn¥x uravnenyj (5) pry v¥polnenyy uslovyj (20). ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1 88 Y. V. SERHYENKO, E. F. HALBA, V. S. DEJNEKA Takym obrazom, pokazano, çto reßenye system¥ matryçn¥x uravnenyj (5) pry v¥polnenyy uslovyj (20) suwestvuet, pryçem ono predstavymo formuloj (21). PokaΩem, çto πto predstavlenye edynstvenno, t. e. suwestvuet edynstvennaq vzveßennaq psevdoobratnaq matryca s v¥roΩdenn¥my vesamy, opredelqemaq systemoj (5) pry v¥polnenyy uslovyj (20). Dokazatel\stvo provedem ot protyvnoho. PredpoloΩym, çto krome matryc¥ S suwestvuet ewe matryca S∗ dlq predstavlenyq ABC + v vyde (21) pry v¥polnenyy uslovyj (20). Oboznaçym �S = = S S− ∗ , 0 — nulevaq matryca. Tohda C SA BEE T EE + +� = 0. UmnoΩym πto raven- stvo sprava na AC AEE T+ . Tohda, uçyt¥vaq pervoe ravenstvo v (23) y vtoroe v (29), poluçaem C SA B AC AEE T EE EE T+ + +� = C AEE T+ = AT = 0. Poslednee ravenstvo pry C ≠ 0 , B ≠ 0 vozmoΩno, esly �S yly A — nulev¥e matryc¥. Sledova- tel\no, pry A ≠ 0 matryca �S nulevaq, v sylu çeho matryca S v (21) y, znaçyt, matryca ABC + opredelqgtsq edynstvenn¥m obrazom. Esly A — nulevaq mat- ryca, to yz (21) sleduet, çto vzveßennaq psevdoobratnaq matryca s v¥roΩden- n¥my vesamy budet nulevoj. V poslednem takΩe moΩno ubedyt\sq neposredst- vennoj proverkoj uslovyj (5), (20). Obratno, esly vmesto uslovyj v (20) polo- Ωyt\ B BAEE + = 0 , AC CEE + = 0 , to rk ( )A BT EE + = 0 , rk ( )ACEE + = 0 y ravenstva (29) v¥polnqgtsq tol\ko dlq matryc¥ A = 0 . Takym obrazom, ustanovleno, çto uslovyq (20) qvlqgtsq dostatoçn¥my dlq suwestvovanyq edynstvennoho reßenyq system¥ matryçn¥x uravnenyj (5). Po- kaΩem, çto uslovyq (20) qvlqgtsq neobxodym¥my dlq suwestvovanyq edyn- stvennoho reßenyq system¥ (5). PredpoloΩym, çto systema matryçn¥x uravnenyj (5) ymeet edynstvennoe re- ßenye X ABC= + , y pokaΩem, çto v πtom sluçae v¥polnqgtsq uslovyq (20). Snaçala pokaΩem, çto pry v¥polnenyy (5) v¥polnqetsq pervoe uslovye v (20). Tret\e uslovye v (5) perepyßem v vyde B A ABC T T( )+ = AA BBC + . (33) UmnoΩym (33) sleva na B BEE + . V sylu ravenstva BB B BEE + = ymeem B A ABC T T( )+ = B BAA BEE BC + + . (34) V¥çytaq (34) yz (33), poluçaem ( )AA B BAA BBC EE BC + + +− = 0. (35) Dlq proyzvol\noj matryc¥ A, udovletvorqgwej tret\emu uslovyg v (5), ravenstvo (35) vozmoΩno v trex sluçaqx, a ymenno, kohda AABC + = B BAAEE BC + + , (36) B = 0, stolbc¥ matryc¥ B prynadleΩat nul\-prostranstvu matryc¥ AABC + – – B BAAEE BC + + = ( )E B B AAEE BC− + + . Pust\ v¥polnqetsq ravenstvo (36). UmnoΩym (36) sleva na ABC + . Uçyt¥vaq vtoroe uslovye v (5), poluçaem ABC + = A B BAABC EE BC + + + . No sohlasno vtoromu uslovyg v (5) poslednee ravenstvo vozmoΩno, esly B BAEE + = A , t. e. pry v¥- polnenyy pervoho uslovyq v (20). Esly matryca B nulevaq, to sohlasno (35) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1 SUWESTVOVANYE Y EDYNSTVENNOST| VZVEÍENNÁX PSEVDOOBRATNÁX … 89 AA BBC + = 0 y v sylu predpoloΩenyq o edynstvennosty reßenyq system¥ (5) ymeem A = 0 y ABC + = 0. Tohda, oçevydno, pervoe uslovye v (20) v¥polnqetsq. Tret\e predpoloΩenye yz pereçyslenn¥x vozmoΩn¥x budet ymet\ mesto, esly AA BBC + = 0 yly AA BBC + = B. V¥polnenye πtyx ravenstv vleçet v¥polnenye ravenstva (36). Çtob¥ ubedyt\sq v πtom, dostatoçno umnoΩyt\ sprava (36) na B y uçest\ ravenstvo BB B BEE + = . A ravenstvo (36) vozmoΩno pry v¥polnenyy pervoho uslovyq v (20), çto y trebovalos\ pokazat\. Teper\ pokaΩem, çto pry v¥polnenyy (5) v¥polnqetsq vtoroe uslovye v (20). Çetvertoe uslovye v (5) perepyßem v vyde A A CT BC T( )+ = CA ABC + . (37) UmnoΩym (37) sprava na CCEE + . V sylu ravenstva CC C CEE + = ymeem A A CT BC T( )+ = CA AC CBC EE + + . (38) V¥çytaq (38) yz (37), poluçaem C A A A AC CBC BC EE( )+ + +− = 0. (39) Dlq proyzvol\noj matryc¥ A, udovletvorqgwej çetvertomu uslovyg v (5), ravenstvo (39) vozmoΩno v trex sluçaqx, a ymenno, kohda A ABC + = A AC CBC EE + + , (40) C = 0, stolbc¥ matryc¥ A A A AC CBC BC EE + + +− = A A E C CBC EE + +−( ) prynadle- Ωat nul\-prostranstvu matryc¥ C. Pust\ v¥polnqetsq ravenstvo (40). UmnoΩym (40) sprava na ABC + . Uçyt¥- vaq vtoroe uslovye v (5), poluçaem ABC + = A AC CABC EE BC + + + . No sohlasno vtoro- mu ravenstvu v (5) poslednee ravenstvo vozmoΩno, kohda AC C AEE + = , t. e. pry v¥polnenyy vtoroho uslovyq v (20). Esly matryca C nulevaq, to sohlasno (39) CA ABC + = 0 y v sylu predpoloΩenyq o edynstvennosty reßenyq system¥ (5) ymeem A = 0 y ABC + = 0 . Tohda, oçevydno, vtoroe uslovye v (20) v¥polnqetsq. Tret\e predpoloΩenye yz pereçyslenn¥x vozmoΩn¥x budet ymet\ mesto, esly CA ABC + = 0 yly CA A CBC + = . V¥polnenye πtyx ravenstv vleçet za soboj v¥- polnenye ravenstva (40). Çtob¥ ubedyt\sq v πtom, dostatoçno umnoΩyt\ sleva (40) na C y uçest\ ravenstvo CC C CEE + = . A ravenstvo (40), kak pokazano v¥- ße, vleçet v¥polnenye vtoroho uslovyq v (20), çto y trebovalos\ pokazat\. TeoremaL1 dokazana. Sledstvye91. Yz (21), (22) v¥tekaet, çto vzveßennaq psevdoobratnaq matryca, opredelennaq uslovyqmy (5), (20), ymeet takΩe predstavlenyq ABC + = S C A BEE T EE1 + + = C A B SEE T EE + + 2 = C A S BEE T EE + + 3 = = C S C A BEE EE T EE + + +1 2 4 1 2/ / = C A B S BEE T EE EE + + +1 2 5 1 2/ / , hde S1 , S2 , S3 — mnohoçlen¥ ot symmetryzuem¥x matryc, a S4 , S5 — mnohoçlen¥ ot symmetryçn¥x matryc vyda S1 = – α α αk EE T EE k EE T EE kC A B A C A B A− + + − + + −+ + … +1 1 1 2( ) ( ) kk E− 1 , ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1 90 Y. V. SERHYENKO, E. F. HALBA, V. S. DEJNEKA S2 = – α α αk EE T EE k EE T EE kAC A B AC A B− + + − + + −+ + … +1 1 1 2( ) ( ) kk E− 1 , S3 = – α α αk EE EE T k EE EE T kB AC A B AC A− + + − + + −+ + … +1 1 1 2( ) ( ) kk E− 1 , S4 = – α αk EE T EE EE k EE TC A B AC C A− + + + − ++1 1 2 1 2 1 1 1 2( ) (/ / / BB AC EEE EE k k + + − −+ … +  1 2 2 1 / ) α , S5 = – α αk EE EE T EE k EEB AC A B B AC− + + + − ++1 1 2 1 2 1 1 1 2( ) (/ / / EEE T EE k kA B E+ + − −+ … +  1 2 2 1 / ) α . Sledstvye92. Yz (21), (22) v¥tekaet, çto symmetryzuem¥e ydempotent- n¥e matryc¥ A ABC + y AABC + ymegt predstavlenyq A ABC + = C SA B AEE T EE + + = f C A B AEE T EE( )+ + = = – α α αk EE T EE k EE T EE k kC A B A C A B A− + + + + − −+ + … +1 1 1( ) ( ) 11( )C A B AEE T EE + +  , AABC + = AC SA BEE T EE + + = f AC A BEE T EE( )+ + = = – α α αk EE T EE k EE T EE k kAC A B AC A B− + + + + − −+ + … +1 1 1( ) ( ) 11( )AC A BEE T EE + +  . Sledstvye93. Ymegt mesto ravenstva (23). Sledstvye94. Yz (21), (22) v¥tekagt ravenstva A B AAT EE BC + + = A BT EE + , A AC ABC EE T+ + = C AEE T+ . Zameçanye93. Esly matryc¥ B y C (yly Ωe odna yz πtyx matryc) nulev¥e, to systema matryçn¥x uravnenyj (5) pry uslovyqx (20) ymeet reßenye tohda y tol\ko tohda, kohda A — nulevaq matryca, pryçem psevdoobratnaq k nej takΩe nulevaq. Zameçanye94. Esly matryc¥ B y C poloΩytel\no opredelenn¥e, to v pred¥duwyx utverΩdenyqx (teoremaL1, sledstvyqL1 – 4) vmesto psevdoobratn¥x matryc k πtym matrycam neobxodymo yspol\zovat\ obratn¥e. Tohda uslovyq (20) zavedomo v¥polnqgtsq y poluçym predstavlenyq vzveßenn¥x psevdoobrat- n¥x matryc s poloΩytel\no opredelenn¥my vesamy. Yz sootvetstvugweho predstavlenyq vzveßennoj psevdoobratnoj matryc¥ dlq nev¥roΩdenn¥x vesov sleduet predstavlenye psevdoobratnoj matryc¥ Mura – Penrouza, poluçennoe v rabote [16]. V [10] opysan alhorytm, pozvolqgwyj na osnove predstavlenyq psevdoobratnoj matryc¥ Mura – Penrouza v termynax koπffycyentov xarakte- rystyçeskoho mnohoçlena matryc¥ A AT v¥çyslqt\ πtu matrycu za pryemle- moe çyslo aryfmetyçeskyx operacyj. V nastoqwej rabote formula (21) yspol\zuetsq nyΩe pry obosnovanyy suwestvovanyq edynstvennoho vzveßen- nohoLnormal\noho psevdoreßenyq y razloΩenyq vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc. Lemma94. Ranhy matryc A, ABC + , A ABC + , AABC + , C A B AEE T EE + + , A B ACT EE EE + + , AC A BEE T EE + + , B AC AEE EE T+ + , C A B ACEE T EE EE + + +1 2 1 2/ / , B AC A BEE EE T EE + + +1 2 1 2/ / , opredelen- n¥x v teoremeL1, pry v¥polnenyy uslovyj (29) sovpadagt. Dokazatel\stvo. Pust\ rk ( )A r= . Yz pervoho ravenstva v (5) ymeem rk rk rk rk( ) ( ) ( ) ( )A AA A AA ABC BC= ≤ ≤+ + , t. e. rk rk( ) ( )A AABC= + . Yz vtoroho ra- venstva v (5) poluçaem rk rk rk rk( ) ( ) ( ) ( )A A AA AA ABC BC BC BC BC + + + + += ≤ ≤ , t. e. rk rk( ) ( )A AABC BC + += . Yz poslednyx dvux ravenstv ymeem rk rk( ) ( )A ABC= =+ =L rk ( )AABC + . Analohyçno, rk rk rk( ) ( ) ( )A A A ABC BC= =+ + . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1 SUWESTVOVANYE Y EDYNSTVENNOST| VZVEÍENNÁX PSEVDOOBRATNÁX … 91 Poskol\ku ranh matryc¥-proyzvedenyq matryc ne prev¥ßaet ranha kaΩdoj yz matryc-somnoΩytelej, v sylu pervoho uslovyq v (29) rk rk( ) ( )/A B AT EE + = =1 2 =Lr, tak çto, uçyt¥vaq svojstvo ravenstva ranhov ysxodnoj matryc¥ y transpo- nyrovannoj, naxodym rk rk( ) ( )/ /A B A B A B A rT EE EE T EE + + += { } =1 2 1 2 . Dalee, yspol\- zuq neravenstvo Frobenyusa, poluçaem rk rk rk( ) ( ) ( )A B A AC AT EE EE + ++ ≤ + +L rk ( )A B ACT EE EE + + , otkuda v sylu vtoroho uslovyq v (29) y posledneho raven- stva ymeem rk rk rk( ) ( ) ( )A A B AC AT EE EE≤ ≤+ + , t. e. rk rk( ) ( )A A B AC rT EE EE= =+ + . Uçyt¥vaq svojstvo ravenstva ranhov ysxodnoj matryc¥ y transponyrovannoj, yz posledneho ravenstva poluçaem rk ( )C A B A rEE T EE + + = . V sylu uslovyj (29) podobn¥e rassuΩdenyq pryvodqt k ravenstvu rk rk( ) ( )AC A B B AC A rEE T EE EE EE T+ + + += = . Rassmotrym matrycu C A B ACEE T EE EE + + +1 2 1 2/ / . Uçyt¥vaq svojstvo ravenstva ran- hov ysxodnoj matryc¥ y matryc¥-proyzvedenyq transponyrovannoj y ysxodnoj matryc, naxodym rk( )/ /C A B ACEE T EE EE + + +1 2 1 2 = rk ( )/ / / /B AC B ACEE EE T EE EE + + + +{ }1 2 1 2 1 2 1 2 = rk( )/ /B ACEE EE + +1 2 1 2 .(41) Na osnovanyy neravenstva Frobenyusa rk rk rk( ) ( ) ( )/ /B A AC AEE EE + ++ ≤ +1 2 1 2 +L rk ( )/ /B ACEE EE + +1 2 1 2 , otkuda v sylu (29) ymeem rk rk( ) ( )/ /B AC AEE EE + + =1 2 1 2 . Na os- novanyy πtoho ravenstva y ravenstva (41) poluçaem rk ( )/ /C A B AC rEE T EE EE + + + =1 2 1 2 . Podobn¥e rassuΩdenyq pryvodqt k ravenstvu rk ( )/ /B AC A B rEE EE T EE + + + =1 2 1 2 . LemmaL4 dokazana. Zameçanye95. Pust\ rk ( )A = 1. Tohda sohlasno lemmeL4 rk ( )A B ACT EE EE + + = =L1 y na osnovanyy (21), (22) poluçaem formulu A A B ACBC T EE EE + + + − =   ×tr ( ) 1 × + +C A BEE T EE dlq v¥çyslenyq vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc s v¥roΩden- n¥my vesamy, hde tr ( )L — sled matryc¥ L . 3. Teorema suwestvovanyq y edynstvennosty vzveßenn¥x normal\n¥x psevdoreßenyj. Oboznaçym çerez Y AB n m= ∈ ×( , )1 3 R matrycu, udovletvorqg- wug uslovyqm AYA = A, ( )AYB T = AYB , (42) B BAEE + = A, (43) hde A m n∈ ×R , a B m m∈ ×R — symmetryçnaq poloΩytel\no poluopredelennaq matryca. Lemma95. Vektor x A fB ( , ) ( , )1 3 1 3= qvlqetsq reßenyem po metodu vzveßenn¥x naymen\ßyx kvadratov s poloΩytel\no poluopredelenn¥m vesom BEE m m+ ×∈R SLAU (17), t. e. udovletvorqet uslovyg Ax f BEE ( , )1 3 − + = min x Bn EE Ax f ∈ − + R . (44) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1 92 Y. V. SERHYENKO, E. F. HALBA, V. S. DEJNEKA Dokazatel\stvo. Uslovye (44) ravnosyl\no neravenstvu AA f fB BEE ( , )1 3 − + ≤ Ax f BEE − + ∀ ∈f mR , x n∈R . Poskol\ku Ax f AA f f A x A fB B− = − + −( , ) ( , )( )1 3 1 3 , πto neravenstvo moΩno pred- stavyt\ v vyde AA f fB BEE ( , )1 3 − + ≤ AA f f AwB BEE ( , )1 3 − + + , hde w x A fB= − ( , )1 3 . Pust\ u AA f fB= −( , )1 3 , v Aw= , tohda poslednee neraven- stvo prymet vyd u u vB BEE EE + +≤ + yly Ax f AA f f A x A fB B− = − + −( , ) ( , )( )1 3 1 3 , otkuda 0 22≤ ++ +v u B vB EE EEE ( , ) . (45) Tak kak v BEE + ≥2 0 y ( , ) ( )( , )u B v f A A B A B A wEE E T B T T EE EE + + += −  1 3 zavysyt ot proyzvol\n¥x f y w, neravenstvo (45) ravnosyl\no trebovanyg ( )( , )A A B AB T T EE 1 3 + = B AEE + . (46) PokaΩem, çto ravenstvo (46) y dva ravenstva (42) pry v¥polnenyy uslovyq (43) πkvyvalentn¥. Yz pervoho ravenstva v (42) sleduet, çto B AA A B AEE B EE + +=( , )1 3 . Uçyt¥vaq (43), yz πtoho ravenstva poluçaem B AA BB A B AEE B EE EE + + +=( , )1 3 . V sylu vtoroho ravenstva v (42) yz posledneho ravenstva ymeem B B A A B AEE B T T EE + +( )( , )1 3 – – B AEE + = 0 , otkuda B B A A B A B AEE B T T EE EE + + +−  =( )( , )1 3 0 . ∏to ravenstvo voz- moΩno v trex sluçaqx, a ymenno, kohda B BEE + = 0 , ( )( , )A A B A B AB T T EE EE 1 3 + += , B B A A B A B AEE B T T EE EE + + +=( )( , )1 3 . Esly proekcyonnaq matryca B BEE + nulevaq, to perv¥j sluçaj vozmoΩen pry B = 0 . Vtoroe predpoloΩenye yz pereçyslenn¥x vozmoΩn¥x, kotoroe sovpada- et s (46), oznaçaet, çto sredy stolbcov matryc¥ B AEE + net tex, kotor¥e pry- nadleΩat nul\-prostranstvu ydempotentnoj matryc¥ ( )( , )A AB T T1 3 . V sylu ra- venstva B BB BEE EE EE + + += v¥polnenye vtoroho predpoloΩenyq vleçet v¥polne- nye tret\eho predpoloΩenyq. Takym obrazom, yz ravenstv (42) sleduet (46). Obratno, umnoΩaq (46) sleva na B y uçyt¥vaq uslovye (43), naxodym B A A B A AB T T EE( )( , )1 3 + = . UmnoΩaq πto ravenstvo sprava na A BB ( , )1 3 , ymeem B A A B AA B AA BB T T EE B B( )( , ) ( , ) ( , )1 3 1 3 1 3+ = , t. e. AA BB ( , )1 3 qvlqetsq symmetryçnoj matrycej. Krome toho, yz (46), vtoroho ravenstva yz (42) y uslovyq (43) po- sledovatel\no poluçaem B A A B A BB AB T T EE EE( )( , )1 3 + += , ( )( , )AA B B A AB T EE 1 3 + = , AA BB AB EE ( , )1 3 + = A, AA A AB ( , )1 3 = , t. e. pervoe ravenstvo v (42), çto y zaverßaet dokazatel\stvo lemm¥L5. Reßenye system¥ (17) po metodu vzveßenn¥x naymen\ßyx kvadratov s polo- Ωytel\no poluopredelennoj matrycej-vesom BEE + v obwem sluçae ne qvlqetsq edynstvenn¥m. Obwyj vyd takoho reßenyq ustanavlyvaet sledugwaq lemma. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1 SUWESTVOVANYE Y EDYNSTVENNOST| VZVEÍENNÁX PSEVDOOBRATNÁX … 93 Lemma96. MnoΩestvo vektorov, udovletvorqgwyx (44), opredelqetsq formuloj z = A f E A A yB ( , ) ( )( )1 3 1+ − , (47) hde A( )1 — matryca, udovletvorqgwaq pervomu uslovyg v (5), y — proyz- vol\n¥j vektor yz Rn . Dokazatel\stvo. Vo-perv¥x, z udovletvorqet uslovyg (44), tak kak v sylu pervoho ravenstva yz (42) ymeem A E A A y( )( )− =1 0 , vo-vtor¥x, kaΩdoe re- ßenye � �z A fB= ( , )1 3 , udovletvorqgwee (44), moΩno predstavyt\ v vyde (47), vzqv y A f A fB B= −( , ) ( , )1 3 1 3� . PokaΩem πto. Podstavyv v (47) znaçenye y , poluçym �z = A fB ( , )1 3 + A AA fB ( ) ( , )1 1 3� – – A AA fB ( ) ( , )1 1 3 . Tohda dlq dokazatel\stva lemm¥L6 dostatoçno pokazat\, çto A AA f A AA fB B ( ) ( , ) ( ) ( , )1 1 3 1 1 3� − = 0. (48) Oçevydno, çto dlq matryc¥ �AB ( , )1 3 , kak y dlq AB ( , )1 3 , dolΩno v¥polnqt\sq ra- venstvo (46), v sylu kotoroho ( ) ( )( , ) ( , )�A A B A A A B AB T T EE B T T EE 1 3 1 3+ += . (49) Yspol\zuem skeletnoe razloΩenye matryc [15], a takΩe ravenstvo rk ( )AT = = rk ( )B AEE + = r, kotoroe sleduet yz pervoho ravenstva v (29). Pust\ A KLT = , B A PSEE + = , hde K n r∈ ×R , L r m∈ ×R , P m r∈ ×R , S r n∈ ×R . Tohda (49) prymet vyd ( )( , )�A KLPSB T1 3 = ( )( , )A KLPSB T1 3 . (50) Matryca SST nev¥roΩdena, poskol\ku S r n∈ ×R — matryca polnoho ranha s r n≤ [15]. UmnoΩym ravenstvo (50) sprava snaçala na ST , a zatem na ( )SST −1 . V rezul\tate poluçym ( )( , )�A KLPB T1 3 = ( )( , )A KLPB T1 3 . (51) Matryca LP r r∈ ×R nev¥roΩdennaq. Dejstvytel\no, yz ravenstva rk ( )B A rEE + = ymeem rk ( )/B A rEE + =1 2 , v sylu çeho poluçaem rk ( )A B AT EE + = = rk ( )/ /B A B AEE T EE + +  1 2 1 2 = rk ( )/B AEE +1 2 = r . Sledovatel\no, rk ( )KLPS = = rk ( )A B AT EE + = r. Tohda rk ( )LP = r, poskol\ku r — porqdok matryc¥ LP y ranh matryc¥-proyzvedenyq ne moΩet prev¥ßat\ ranhy matryc-somnoΩy- telej. UmnoΩaq (51) sprava na ( )LP −1 , poluçaem ( )( , )�A KB T1 3 = ( )( , )A KB T1 3 . Dalee, umnoΩaq poslednee ravenstvo sprava na L , naxodym ( )( , )�A AB T T1 3 = = ( )( , )A AB T T1 3 , t. e. AAB � ( , )1 3 = AAB ( , )1 3 , otkuda sleduet ravenstvo (48) y, sledo- vatel\no, utverΩdenye lemm¥L6. Teorema92. Vektor x A fBC + += , hde matryca ABC + opredelena uslovyq- my (5), (20), qvlqetsq v Rn C( ) vzveßenn¥m normal\n¥m psevdoreßenyem ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1 94 Y. V. SERHYENKO, E. F. HALBA, V. S. DEJNEKA SLAU (17) s poloΩytel\no poluopredelenn¥my vesamy BEE + y C , a ymenno, edynstvenn¥m reßenyem zadaçy: najty min ( )x C Cn x ∈R ∩ Ω , Ω = Arg min x B n EE Ax f ∈ − + R . (52) Dokazatel\stvo. LemmaL6 ustanavlyvaet, çto vektor z A fB= ( , )1 3 s matry- cej AB ( , )1 3 , opredelennoj uslovyqmy (42), (43), mynymyzyruet normu ⋅ +BEE ne- vqzky Ax f− , t. e. prynadleΩyt mnoΩestvu Ω, opredelennomu v (52). Pust\ matryca AB ( , )1 3 udovletvorqet ewe vtoromu y çetvertomu uslovyqm v (5) y vto- romu uslovyg v (20). Tohda A AB BC ( , )1 3 = + y A AABC BC + + = ABC + , ( )CA ABC T+ = CA ABC + . (53) LemmaL6 utverΩdaet, çto mnoΩestvo vektorov, prynadleΩawyx Ω, opredelq- etsq formuloj (47). Oçevydno, çto vektor z+ = A f E A A yBC BC + ++ −( ) takΩe prynadleΩyt Ω . Sohlasno (52) sredy mnoΩestva vektorov z+ neobxodymo v¥- brat\ te, kotor¥e prynadleΩat Rn C( ) . Poskol\ku y — proyzvol\n¥j vektor yz Rn , poloΩym y Cn n∈ ⊂R R( ) . Tohda v sylu predstavlenyq vzveßennoj psevdoobratnoj matryc¥ s v¥roΩdenn¥my vesamy formuloj (21), ravenstva C CC CEE EE EE + + += y vtoroho uslovyq (20) ymeem �z A f CC E A A yBC EE BC + + + += + −( ) ∀ ∈y CnR ( ) y, oçevydno, �z Cn+ ∈R ( ) . PokaΩem, çto vektor x+ = A fBC + udovletvorqet pervomu uslovyg v (52), t. e. ymeet mynymal\nug normu v Rn C( ) sredy vektorov � ∩z Cn+ ∈R ( ) Ω . Dlq πtoho dolΩno v¥polnqt\sq neravenstvo A fBC C + ≤ A f CC E A A yBC EE BC C + + ++ −( ) ∀ ∈f nR , y Cn∈R ( ) . Pust\ u = = A fBC + , v = CC E A A yEE BC + +−( ) . Tohda u u vC C≤ + yly u uC C 2 2≤ + + v u CvC E 2 2+ ( , ) , otkuda 0 ≤ v u CvC E 2 2+ ( , ) . (54) Poskol\ku v C 2 0≥ y ( , ) ( ) ( )[ ]u Cv f A C A CA A yE T BC T BC T BC= −+ + + zavysyt ot proyzvol\n¥x vektorov f n∈R y y Cn∈R ( ) , neravenstvo (54) ravnosyl\no trebovanyg ( , )u Cv E = 0 yly ( )A CBC T+ = ( )A CA ABC T BC + + . (55) Dalee, yspol\zovav formulu (21), pokaΩem, çto ravenstvo (55) y dva raven- stva (53) πkvyvalentn¥. Dejstvytel\no, yz pervoho ravenstva v (53) sleduet ( )A CBC T+ = ( ) ( )A A A CBC T T BC T+ + . Posle podstanovky vtoroho ravenstva yz (53) v poslednee ravenstvo poluçaem (55). Obratno, posle umnoΩenyq (55) sleva na AT ustanavlyvaem, çto CA ABC + — symmetryçnaq matryca. Krome toho, yz (55) y vtoroho ravenstva v (53) ymeem ( )A CBC T+ = ( ) ( )A A A CBC T T BC T+ + . UmnoΩaq πto ravenstvo sprava na CEE + y uçyt¥vaq (21), poluçaem ( )ABC T+ = ( ) ( )A A ABC T T BC T+ + , t. e. pervoe uslovye v (53). ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1 SUWESTVOVANYE Y EDYNSTVENNOST| VZVEÍENNÁX PSEVDOOBRATNÁX … 95 Takym obrazom, vektor x A fBC + += qvlqetsq reßenyem zadaçy (52). Poka- Ωem, çto πtot vektor qvlqetsq edynstvenn¥m reßenyem ukazannoj zadaçy. Dokazatel\stvo provedem ot protyvnoho. Pust\ krome x+ suwestvuet ewe druhoe reßenye zadaçy (52), kotoroe oboznaçym x* + . Eho moΩno predstavyt\ v vyde x x x* + += − , hde x x x= −+ + * . ∏to reßenye dolΩno prynadleΩat\ mno- Ωestvu vektorov yz Rn C( ) ∩ Ω . V¥ße opredelen¥ vektor¥ �z+ , kotor¥e pry- nadleΩat πtomu mnoΩestvu. Tohda kaΩd¥j vektor �z+ moΩno predstavyt\ v vyde �z+ = x x+ − y x z x v∗ + + += = +� , x A fBC + += ∀ ∈f nR , v CC E A A yEE BC= −+ +( ) ∀ ∈y CnR ( ) . VozmoΩn¥ dva sluçaq. Vo-perv¥x, pry v¥polnenyy uslovyq A AyBC + = = CC yEE + = y vektor v = 0 . Vektor v = 0 , esly y Cn∈R ( ) qvlqetsq obrazom ydempotentnoj matryc¥ A ABC + . Tohda dlq vsex takyx y ymeem x z∗ + += =� =L A fBC + . Vtoroj sluçaj vklgçaet mnoΩestvo vektorov x∗ + , dlq kotor¥x v ≠ 0 . Tohda x x v u Cv C C C E∗ + += + + 2 2 2 2( , ) . Tret\e slahaemoe v pravoj ças- ty πtoho ravenstva v sylu (55) ravno nulg. Poskol\ku vektor v Cn≠ ∈0 R ( ) , v C qvlqetsq normoj (a ne polunormoj), v sylu çeho s uçetom toho obstoq- tel\stva, çto po predpoloΩenyg v ≠ 0 , ymeem v C 2 0> . Sledovatel\no, v πtom sluçae x C + vsehda men\ße x C ∗ + . Takym obrazom, vektor x A fBC + += qvlqetsq edynstvenn¥m reßenyem zadaçy (52). TeoremaL2 dokazana. Zameçanye96. Esly pravaq çast\ SLAU (17) f prynadleΩyt nul\-prost- ranstvu matryc¥ BEE + , to yz (21) sleduet, çto SLAU (17) ymeet nulevoe vzve- ßennoe normal\noe psevdoreßenye. 4. RazloΩenye v rqd¥ y proyzvedenyq vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc. V nastoqwem punkte na osnovanyy rezul\tatov p.L 3, a ymenno, predstavlenyq vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc s v¥roΩdenn¥my vesamy v termynax koπffycyentov xarakterystyçeskyx mnohoçlenov symmetryzuem¥x y symmetryçn¥x matryc, y lemm¥L3 poluçen¥ y yssledovan¥ razloΩenyq v mat- ryçn¥e stepenn¥e rqd¥ y proyzvedenyq vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc s poloΩytel\n¥my pokazatelqmy stepenej. Teorema93. Dlq proyzvol\noj matryc¥ A m n≠ ∈ ×0 R , symmetryçn¥x po- loΩytel\no poluopredelenn¥x matryc B m m∈ ×R , C n n∈ ×R , udovletvorqg- wyx uslovyqm (5), (20), y dejstvytel\noho çysla 0 < σ < 2 1 2 1 2 1 λmax / /( )C A B ACEE T EE EE + + + −  (56) ymegt mesto sootnoßenyq ABC + = σ σC E C A B AC CEE EE T EE EE k k EE + + + + = ∞ −∑ 1 2 1 2 1 2 0 / / /( ) ++ +1 2/ A BT EE , (57) A ABC p CB + +− σ, /1 2 ≤ max / λ λ σλ i i i p ≠ − −{ } 0 1 2 1 , (58) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1 96 Y. V. SERHYENKO, E. F. HALBA, V. S. DEJNEKA hde A pσ, + = σ σC E C A B AC CEE EE T EE EE k k p + + + + = − −∑ 1 2 1 2 1 2 0 1 / / /( ) EEE T EEA B+ +1 2/ , p = 1, 2, … , λi — sobstvenn¥e znaçenyq matryc¥ L = C A B ACEE T EE EE + + +1 2 1 2/ / . Dokazatel\stvo. Matryca L = C A B ACEE T EE EE + + +1 2 1 2/ / symmetryçnaq y po- loΩytel\no poluopredelennaq, tak çto ee sobstvenn¥e znaçenyq dejstvytel\- n¥e y neotrycatel\n¥e. Oboznaçym çerez Λ = diag ( )λi , i = 1, … , n, sobstven- n¥e znaçenyq matryc¥LLL . Poskol\ku matryca L symmetryçnaq, ymegt mesto sootnoßenyq Q LQT = Λ , L = Q QTΛ , Q QT = E . (59) Rassmotrym odno yz slahaem¥x rqda (57). Uçyt¥vaq (59) y dva perv¥x raven- stva yz (23), moΩem zapysat\ σ σC E L C A BEE k EE T EE + + +−1 2 1 2/ /( ) = σ σC Q E Q L C S A BEE k T EE T EE + + +−1 2 2 1 2 2/ /( )Λ = = σ σC Q E Q C S A BEE k T EE T EE + + +−1 2 2 1 2 2/ /( )Λ Λ . (60) Poskol\ku σ σ( )E k− Λ Λ2 = diag σ σλ λ( )1 2−{ }i k i , to σ σ( )E k k − = ∞ ∑ Λ Λ2 0 = Λ , (61) t. e. πtot matryçn¥j rqd sxodytsq k matryce Λ = diag ( )λi . Dejstvytel\no, pry v¥polnenyy uslovyq (56), kohda λi > 0 , çyslo 1 − σλi < 1 y matryçn¥j rqd σ σ( )E k k − = ∞∑ Λ Λ 0 sxodytsq k dyahonal\noj matryce s πlementamy, ravn¥my edynyce pry λi > 0 y nulg pry λi = 0 , v sy- lu çeho y sleduet (61). Uçyt¥vaq formulu (21), dva perv¥x ravenstva yz (23) y sootnoßenyq (59) – (61), poluçaem σ σC E L C A BEE k k EE T EE + = ∞ + +−∑ 1 2 0 1 2/ /( ) = C Q Q C S A BEE T EE T EE + + +1 2 1 2 2/ /Λ = = C LC S A BEE EE T EE + + +1 2 1 2 2/ / = C A B AC S A BEE T EE EE T EE + + + +2 = = C S A B AC A BEE T EE EE T EE + + + +2 = C S A BEE T EE + + = ABC + , t. e. formulu (57). Perejdem k dokazatel\stvu ocenky (58). Poskol\ku A ABC p + +− σ, = σ σC E L C A BEE k k p EE T EE + = ∞ + +−∑ 1 2 1 2/ /( ) , v sylu pervoho ravenstva v (59) y dvux perv¥x ravenstv v (23) ymeem A ABC p + +− σ, = σ σC Q E Q C A B AC S AEE k k p T EE T EE EE + = ∞ + + +−∑1 2 1 2/ /( )Λ TT EEB+ . (62) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1 SUWESTVOVANYE Y EDYNSTVENNOST| VZVEÍENNÁX PSEVDOOBRATNÁX … 97 PoloΩym v (11) M En= . Poskol\ku pry πtom uslovye (10) v¥polnqetsq dlq lgb¥x matryc A y B, na osnovanyy (11) yz (62) poluçym A ABC p CB + +− σ, /1 2 ≤ ≤ σ σC Q E Q C A B ACEE CE k k p T EE T EE EE n + = ∞ + +−∑1 2 1 2/ /( )Λ ++ +S A BT EE E Bn 1 2/ . (63) Netrudno ubedyt\sq, çto dlq matryc¥ A ABC p + +− σ, , opredelennoj v (62), v¥polnqgtsq uslovyq (7), esly v nyx poloΩyt\ H C= , V B= 1 2/ , tak çto ⋅ CB1 2/ — norma (a ne polunorma) dlq πtoj matryc¥. Uçyt¥vaq to, çto sobstvenn¥e znaçenyq ydempotentnoj matryc¥ est\ 0 y 1 [15], v sylu ortohonal\nosty matryc¥ Q, opredelenyq velyçyn¥ matryçnoj norm¥ sohlasno formule (9) yz (63) ymeem A ABC p CB + +− σ, /1 2 ≤ σ σ( ) /E Q C A B AC S A Bk k p T EE T EE EE T EE E Bn − = ∞ + + + +∑ Λ 1 2 11 2/ . (64) V sylu (21), (23), (59) moΩem zapysat\ ( ) /E Q C A B AC SA Bk T EE T EE EE T EE− + + + +σΛ 1 2 = ( ) /E Q LC SA Bk T EE T EE− + +σΛ 1 2 = = ( ) /E Q Q Q C SA Bk T T EE T EE− + +σΛ Λ 1 2 = ( ) / / /E Q C SA Bk T EE T EE− + +σΛ Λ Λ1 2 1 2 1 2 = = ( ) / / /E Q Q Q C SA Bk EE T T EE T EE− + + +σΛ Λ Λ Λ1 2 1 2 1 2 = = ( ) / / /E Q C A B AC SA Bk EE T EE T EE EE T E− + + + +σΛ Λ Λ1 2 1 2 1 2 EE + = = ( ) / / /E Q C A Bk EE T EE T EE− + + +σΛ Λ Λ1 2 1 2 1 2 . Tohda (64) prymet vyd A ABC p CB + +− σ, /1 2 ≤ σ σ( ) / / /E Q C A Bk EE T EE T EE k p E Bn − + + + = ∞ ∑ Λ Λ Λ1 2 1 2 1 2 1//2 . Dlq ocenky pravoj çasty v πtom neravenstve opqt\ yspol\zuem (11), hde polo- Ωym M En= . V rezul\tate poluçym A ABC p CB + +− σ, /1 2 ≤ σ σ( ) / / /E Q C A Bk k p E E EE T EE T EE n n − = ∞ + + +∑ Λ Λ Λ1 2 1 2 1 2 EE Bn 1 2/ . (65) Poskol\ku matryçn¥j rqd σ σ( ) /E k k − = ∞∑ Λ Λ1 2 0 sxodytsq k dyahonal\noj matryce s πlementamy, ravn¥my λi −1 2/ pry λi > 0 y nulg pry λi = 0 , a summa σ σ( ) /E k k p − = −∑ Λ Λ1 2 0 1 qvlqetsq dyahonal\noj matrycej s πlementamy, ravn¥my [ ( ) ] /1 1 1 2− − −σλ λi p i pry λi > 0 y nulg pry λi = 0 , σ σ( ) /E k k p − = ∞∑ Λ Λ1 2 est\ dyahonal\naq matryca s πlementamy, ravn¥my λ σλi i p− −1 2 1/ ( ) pry λi > 0 y nulg pry λi = 0 . Sledovatel\no, ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1 98 Y. V. SERHYENKO, E. F. HALBA, V. S. DEJNEKA σ σ( ) /E k k p E En n − = ∞ ∑ Λ Λ1 2 = max / λ λ σλ i i i p ≠ − −{ } 0 1 2 1 . (66) Ocenym vtorug normu v pravoj çasty sootnoßenyq (65). Uçyt¥vaq (59), opredelenye velyçyn¥ matryçnoj norm¥ formuloj (9) y to, çto nenulev¥e sobstvenn¥e znaçenyq matryc¥-proyzvedenyq pry perestanovke matryc-somno- Ωytelej ne yzmenqgtsq [17], a sobstvenn¥e znaçenyq proekcyonnoj matryc¥ ravn¥ 0 y 1, poluçaem ΛEE T EE T EE E B Q C A B n + + +1 2 1 2 1 2 / / / = λmax / / / ( )C A B AC Q QEE T EE EE EE T+ + + +  1 2 1 2 1 2 Λ = = λmax / ( )LLEE +  1 2 = 1. (67) V sylu (66), (67) yz (65) sleduet ocenka (58), çto y zaverßaet dokazatel\stvo teorem¥L3. Sledstvye95. Netrudno ubedyt\sq, çto yz (57) v¥tekagt sledugwye sootnoßenyq: ABC + = σ σ( )E C A B A C A BEE T EE k k EE T EE− + + = ∞ + +∑ 0 = = σ σC E A B AC A BEE T EE EE k k T EE + + + = ∞ +−∑ ( ) 0 = σ σC A B E AC A BEE T EE EE T EE k k + + + + = ∞ −∑ ( ) 0 = = σ σC A E B AC A BEE T EE EE T k k EE + + + = ∞ +−∑ ( ) 0 = = σ σC A B E B AC A BEE T EE EE EE T EE k k + + + + + = −1 2 1 2 1 2/ / /( ) 00 1 2 ∞ +∑ BEE / . Zameçanye 97. V formule (56), opredelqgwej σ , vmesto λmax / /( )C A B ACEE T EE EE + + +1 2 1 2 moΩno yspol\zovat\ maksymal\noe sobstvennoe zna- çenye odnoj yz matryc C A B AEE T EE + + , A B ACT EE EE + + , AC A BEE T EE + + , B AC AEE EE T+ + , B AC A BEE EE T EE + + +1 2 1 2/ / , tak kak sohlasno [17] πty matryc¥ ymegt odynakov¥e sob- stvenn¥e znaçenyq kak matryc¥, poluçenn¥e v rezul\tate perestanovky mat- ryc-somnoΩytelej. Çtob¥ poluçyt\ formul¥ razloΩenyq vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc s v¥roΩdenn¥my vesamy v matryçn¥e stepenn¥e proyzvedenyq, budem yspol\zo- vat\ toΩdestvo (19). Pry v¥polnenyy predpoloΩenyj teorem¥L3 v sylu sledst- vyqL5, a ymenno, razloΩenyq ABC + = σ σ( )E C A B A C A BEE T EE k k EE T EE− + + = ∞ + +∑ 0 (68) y toΩdestva (19), poluçaem sledugwee razloΩenye vzveßenn¥x psevdoobrat- n¥x matryc s v¥roΩdenn¥my vesamy v matryçnoe stepennoe proyzvedenye: ABC + = σ σ{ }( )E E C A B A C A BEE T EE k EE T EE k + − + + = ∞ + +∏ 2 0 . (69) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1 SUWESTVOVANYE Y EDYNSTVENNOST| VZVEÍENNÁX PSEVDOOBRATNÁX … 99 Oboznaçym A nσ, + = σ σ{ }( )E E C A B A C A BEE T EE EE T EEk n k + − + + + + = −∏ 2 0 1 , n = 1, 2, … . Tohda v sylu toΩdestva (19) y sootnoßenyq (58) ymeem A ABC n CB + +− σ, /1 2 ≤ max / λ λ σλ i n i i≠ − −{ }0 1 2 21 . (70) Na osnovanyy (69) moΩno poluçyt\ druhye vyd¥ razloΩenyj vzveßenn¥x psev- doobratn¥x matryc v matryçn¥e stepenn¥e proyzvedenyq: ABC + = σ σC E E A B AC A BEE T EE EE k T EE k+ + + = ∞ ++ −∏ { }( )2 0 = = σ σC E E C A B ACEE EE T EE EE k k+ + + + = + −1 2 1 2 1 2 2 0 / / /{ }( ) ∞∞ + +∏ C A BEE T EE 1 2/ = = σ σC A B E E AC A BEE T EE EE T EE k k+ + + + = ∞ + −∏ { }( )2 0 = = σ σC A E E B AC A BEE T EE EE T EE k k+ + + + = ∞ + −∏ { }( )2 0 = = σ σC A B E E B AC A BEE T EE EE EE T EE + + + + ++ −1 2 1 2 1 2/ / /{ ( )22 1 2 0 k BEE k } /+ = ∞ ∏ . Zameçanye98. Dlq vzveßennoj psevdoobratnoj matryc¥, opredelennoj us- lovyqmy (1), (2), razloΩenyq v matryçn¥e stepenn¥e rqd¥ y matryçn¥e stepen- n¥e proyzvedenyq poluçen¥ sootvetstvenno v rabotax [12, 18]. 5. Postroenye yteracyonn¥x processov. V dannom punkte opyßem meto- dyku postroenyq yteracyonn¥x processov dlq v¥çyslenyq vzveßenn¥x psevdo- obratn¥x matryc y vzveßenn¥x normal\n¥x psevdoreßenyj, osnovannug na raz- loΩenyqx vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc, poluçenn¥x v p.L4. Snaçala pry postroenyy yteracyonnoho processa dlq v¥çyslenyq vzveßen- n¥x psevdoobratn¥x matryc yspol\zuem yx razloΩenye (68) v matryçn¥j ste- pennoj rqd. PoloΩym Xk = σ σ( )E C A B A C A BEE T EE i EE T EE i k − + + + + = − ∑ 0 1 , k = 1, 2, … . Tohda dlq v¥çyslenyq ABC + poluçym yteracyonn¥j process X1 = σC A BEE T EE + + , Xk = ( )E C A B A X C A BEE T EE k EE T EE− ++ + − + +σ σ1 = = X C A B E AXk EE T EE k− + + −+ −1 1σ ( ) , k = 2, 3, … . (71) Ocenka blyzosty k-ho pryblyΩenyq k ABC + po sxeme (71) opredelqetsq formu- loj (58), hde sleduet poloΩyt\ p = k . Teper\ dlq postroenyq yteracyonnoho processa yspol\zuem razloΩenye (69) vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc v matryçnoe stepennoe proyzvedenye. PoloΩym Xk = σ σE E C A B A C A BEE T EE i k EE T EE i + −{ }+ + = − + +∏ ( )2 0 1 , k = 1, 2, … . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1 100 Y. V. SERHYENKO, E. F. HALBA, V. S. DEJNEKA Tohda dlq v¥çyslenyq ABC + poluçym yteracyonn¥j process X1 = σ σ{ }( )E E C A B A C A BEE T EE EE T EE+ − + + + + , Xk = { }( )E E C A B A XEE T EE k k + − + + − − σ 2 1 1 = = X E C A B A Xk EE T EE k k − + + −+ − − 1 2 1 1 ( )σ , k = 2, 3, … . (72) Ocenka blyzosty k-ho pryblyΩenyq k ABC + po sxeme (72) opredelqetsq formu- loj (70), hde sleduet poloΩyt\ n = k . Rassmotrym metodyku postroenyq yteracyonn¥x processov dlq v¥çyslenyq vzveßenn¥x normal\n¥x psevdoreßenyj system¥ (17). PoloΩym xk = X fk , hde matryc¥ Xk opredelen¥ formulamy (71). Tohda dlq v¥çyslenyq prybly- Ωenyq k x+ = A fBC + poluçym yteracyonn¥j process x1 = σC A B fEE T EE + + , xk = ( )E C A B A x C A B fEE T EE k EE T EE− ++ + − + +σ σ1 = = x C A B f Axk EE T EE k− + + −+ −1 1σ ( ) , k = 2, 3, … . (73) Teorema94. Yteracyonn¥j process (73) sxodytsq k x+ , opredelenn¥m v (52), pryçem ymeet mesto ocenka x xk C + − ≤ max / λ λ σλ i EEi i k Bf ≠ − −{ } + 0 1 2 1 , (74) hde λi y matryc¥ B, C opredelen¥ v teoremeL3. Dokazatel\stvo. Sxodymost\ posledovatel\nosty vektorov, opredelen- n¥x formulamy (73), k vzveßennomu normal\nomu psevdoreßenyg SLAU (17) pry k → ∞ sleduet yz toho fakta, çto dannaq posledovatel\nost\ postroena na osnove matryçnoho stepennoho rqda, sxodqwehosq k vzveßennoj psevdoobrat- noj matryce. PokaΩem spravedlyvost\ ocenky (74). Poskol\ku x+ = A fBC + , xk = X fk , na osnovanyy opredelenyq norm¥ prq- mouhol\noj matryc¥ formuloj (8) y toho, çto v sylu (21), (71) y ravenstva B B BEE EE + +1 2 1 2/ / = BEE + sleduet ( ) / /A X B BBC k EE + +− 1 2 1 2 = A XBC k + − , ymeem x xk C + − = ( ) / /A X B B fBC k EE C + +− 1 2 1 2 ≤ A X fBC k CB BEE + − +1 2/ . (75) Tak kak X Ak k= + σ, , uçyt¥vaq (58), yz (75) poluçaem (74), t. e. utverΩdenye teo- rem¥L4. Dlq v¥çyslenyq pryblyΩenyq k x+ na osnovanyy (72) poluçym yteracyon- n¥j process x1 = σ σ{ }( )E E C A B A C A B fEE T EE EE T EE+ − + + + + , xk = { }( )E E C A B A xEE T EE k k + − + + − − σ 2 1 1 = = x E C A B A xk EE T EE k k − + + −+ − − 1 2 1 1 ( )σ , k = 2, 3, … . (76) Analohyçno teoremeL4 na osnovanyy ocenky (70) ymeem sledugwug teoremu. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1 SUWESTVOVANYE Y EDYNSTVENNOST| VZVEÍENNÁX PSEVDOOBRATNÁX … 101 Teorema95. Yteracyonn¥j process (76) sxodytsq k x+ , opredelenn¥m v (52), pryçem ymeet mesto ocenka x xk C + − ≤ max / λ λ σλ i EEi i k Bf ≠ − −{ } + 0 1 2 21 , hde λi y matryc¥ B, C opredelen¥ v teoremeL3. 1. Ward J. F., Boullion T. L., Lewis T. O. Weighted pseudoinverses with singular weights // SIAM J. Appl. Math. – 1971. – 21, # 3. – P. 480 – 482. 2. Serhyenko Y. V., Halba E. F., Dejneka V. S. Predstavlenyq y razloΩenyq vzveßenn¥x psev- doobratn¥x matryc, yteracyonn¥e metod¥ y rehulqryzacyq zadaç. 2. V¥roΩdenn¥e vesa // Kybernetyka y system. analyz. – 2008. – # 3. – S.L75 – 102. 3. Halba E. F. Vzveßennoe psevdoobrawenye matryc s v¥roΩdenn¥my vesamy // Ukr. mat. Ωurn. – 1994. – 46, # 10. – S.L1323 – 1327. 4. Halba E. F., Dejneka V. S., Serhyenko Y. V. Predel\n¥e predstavlenyq vzveßenn¥x psevdo- obratn¥x matryc s v¥roΩdenn¥my vesamy y rehulqryzacyq zadaç // Ûurn. v¥çyslyt. mate- matyky y mat. fyzyky. – 2004. – 44, # 11. – S.L1928 – 1946. 5. Serhyenko Y. V., Halba E. F., Dejneka V. S. RazloΩenye vzveßenn¥x psevdoobratn¥x mat- ryc s v¥roΩdenn¥my vesamy v matryçn¥e stepenn¥e proyzvedenyq y yteracyonn¥e metod¥ // Ukr. mat. Ωurn. – 2007. – 59, # 9. – S.L1269 – 1290. 6. Halba E. F., Dejneka V. S., Serhyenko Y. V. RazloΩenyq y mnohoçlenn¥e predel\n¥e pred- stavlenyq vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc // Ûurn. v¥çyslyt. matematyky y mat. fyzy- ky. – 2007. – 47, # 5. – S.L747 – 766. 7. Halba E. F., Dejneka V. S., Serhyenko Y. V. Vzveßenn¥e psevdoobratn¥e matryc¥ y vzve- ßenn¥e normal\n¥e psevdoreßenyq s v¥roΩdenn¥my vesamy // Tam Ωe. – 2009. – 49, # 8. – S.L1347 – 1363. 8. Moore E. H. On the reciprocal of the general algebraic matrix // Bull. Amer. Math. Soc. – 1920. – 26. – P. 394 – 395. 9. Penrose R. A generalized inverse for matrices // Proc. Cambridge Phil. Soc. – 1955. – 51, # 3. – P. 406 – 413. 10. Albert A. Rehressyq, psevdoynversyq y rekurrentnoe ocenyvanye. – M.: Nauka, 1977. – 223Ls. 11. Halba E. F., Molçanov Y. N., Skopeckyj V. V. Yteracyonn¥e metod¥ dlq v¥çyslenyq vzve- ßennoj psevdoobratnoj matryc¥ s v¥roΩdenn¥my vesamy // Kybernetyka y system. analyz. – 1999. – # 5. – S.L150 – 169. 12. Halba E. F. Yteracyonn¥e metod¥ dlq v¥çyslenyq vzveßennoho normal\noho psevdoreße- nyq s v¥roΩdenn¥my vesamy // Ûurn. v¥çyslyt. matematyky y mat. fyzyky. – 1999. – 39, # 6. – S.L882 – 896. 13. Lancaster P., Rozsa P. Eigenvectors of H-self-adjoint matrices // Z. angew. Math. und Mech. – 1984. – 64, # 9. – S. 439 – 441. 14. Ykramov X. D. Ob alhebrayçeskyx svojstvax klassov psevdoperestanovoçn¥x y H-samo- soprqΩenn¥x matryc // Ûurn. v¥çyslyt. matematyky y mat. fyzyky. – 1992. – 32, # 8. – S.L155 – 169. 15. Hantmaxer F. R. Teoryq matryc. – M.: Nauka, 1967. – 576 s. 16. Decell H. P. An applcation of the Cayley – Hamilton theorem to generalized matrix inversion // SIAM Rev. – 1965. – 7, # 4. – P. 526 – 528. 17. Xorn R., DΩonson Ç. Matryçn¥j analyz. – M.: Myr, 1989. – 656Ls. 18. Halba E. F., Dejneka V. S., Serhyenko Y. V. Yteracyonn¥e metod¥ v¥sokyx skorostej sxo- dymosty dlq v¥çyslenyq vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc y vzveßenn¥x normal\n¥x psevdoreßenyj s v¥roΩdenn¥my vesamy // Ûurn. v¥çyslyt. matematyky y mat. fyzyky. – 2005. – 45, # 10. – S.L1731 – 1755. Poluçeno 27.05.10 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1

Ähnliche Einträge