Механічні аналогії лінійних імпульсних систем
Рассмотрена линейная система дифференциальных уравнений с импульсным воздействием, для которой получено условие построения ее механических аналогий.
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/163986 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Механічні аналогії лінійних імпульсних систем / А.М. Приз // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 1. — С. 140–145. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-163986 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1639862025-02-09T14:32:54Z Механічні аналогії лінійних імпульсних систем Mechanical analogs of linear impulsive systems Приз, А.М. Короткі повідомлення Рассмотрена линейная система дифференциальных уравнений с импульсным воздействием, для которой получено условие построения ее механических аналогий. The linear system of differential equations with pulse influence is considered for which the condition of construction of its mechanical analogs is obtained. 2011 Article Механічні аналогії лінійних імпульсних систем / А.М. Приз // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 1. — С. 140–145. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/163986 531.36 uk Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
| spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Приз, А.М. Механічні аналогії лінійних імпульсних систем Український математичний журнал |
| description |
Рассмотрена линейная система дифференциальных уравнений с импульсным воздействием, для которой получено условие построения ее механических аналогий. |
| format |
Article |
| author |
Приз, А.М. |
| author_facet |
Приз, А.М. |
| author_sort |
Приз, А.М. |
| title |
Механічні аналогії лінійних імпульсних систем |
| title_short |
Механічні аналогії лінійних імпульсних систем |
| title_full |
Механічні аналогії лінійних імпульсних систем |
| title_fullStr |
Механічні аналогії лінійних імпульсних систем |
| title_full_unstemmed |
Механічні аналогії лінійних імпульсних систем |
| title_sort |
механічні аналогії лінійних імпульсних систем |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/163986 |
| citation_txt |
Механічні аналогії лінійних імпульсних систем / А.М. Приз // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 1. — С. 140–145. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT prizam mehaníčníanalogíílíníjnihímpulʹsnihsistem AT prizam mechanicalanalogsoflinearimpulsivesystems |
| first_indexed |
2025-11-26T21:38:21Z |
| last_indexed |
2025-11-26T21:38:21Z |
| _version_ |
1849890547577126912 |
| fulltext |
UDK 531.36
A. M. Pryz (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
MEXANIÇNI ANALOHI} LINIJNYX IMPUL|SNYX SYSTEM
The linear system of differential equations with pulse influence is considered for which the condition of
construction of its mechanical analogs is obtained.
Rassmotrena lynejnaq systema dyfferencyal\n¥x uravnenyj s ympul\sn¥m vozdejstvyem, dlq
kotoroj poluçeno uslovye postroenyq ee mexanyçeskyx analohyj.
Pobudovu zahal\no] teori] system z impul\snog di[g ta ]x qkisnyj analiz vykla-
deno v monohrafiqx [1, 2] ta in. Dyferencial\ni rivnqnnq z impul\snog di[g vy-
nykagt\ pry matematyçnomu modelgvanni real\nyx procesiv z korotkoçasnymy
zburennqmy [3 – 7]. U statti [8] rozv'qzano zadaçu znaxoΩdennq mexaniçno] ana-
lohi] dlq systemy dyferencial\nyx rivnqn\ u formi Koßi bez impul\sno] di],
pry c\omu vidpovidna zadaça pry naqvnosti impul\siv zalyßalasq vidkrytog. U
danij roboti otrymano umovu isnuvannq j alhorytm pobudovy mexaniçnyx analo-
hij dlq linijnyx system dyferencial\nyx rivnqn\ z impul\snog di[g.
Budemo doslidΩuvaty linijni systemy dyferencial\nyx rivnqn\ z impul\s-
nog di[g vyhlqdu [1]
� �x t Ax t( ) ( )= , x t x( )0 0= , t k≠ τ ,
(1)
x t Px t( ) ( )+ = � , t k= τ , k = 1, 2, … .
Tut x n∈R2 ,
�A , �P n n∈ ×R2 2 — stali matryci, a momenty impul\sno] di] zado-
vol\nqgt\ dvostoronng ocinku 0 < θ1 ≤ τk+1 – τk ≤ θ2 < ∞.
Zapyßemo systemu (1) u vyhlqdi
�
�
x t
x t
1
2
( )
( )
=
� �
� �
A A
A A
x t
x t
11 12
21 22
1
2
( )
( )
, x t y( )0 0= , t k≠ τ ,
(2)
x t
x t
1
2
( )
( )
+
+
=
� �
� �
P P
P P
x t
x t
11 12
21 22
1
2
( )
( )
, t k= τ , k = 1, 2, … ,
de vsi matryci magt\ odnakovyj porqdok. Same taka bloçna forma zapysu vlas-
tyva zadaçi pro mexaniçni analohi].
Dlq perßoho rivnqnnq systemy (1) dovedeno nastupnu teoremu [8].
Teorema 1. Stacionarna linijna systema
�
�
x
x
1
2
=
� �
� �
A A
A A
x
x
11 12
21 22
1
2
, x t x( )0 0= ,
de xi n∈R ,
�Aij n n∈ ×R , i, j = 1, 2, linijnym stacionarnym peretvorennqm vek-
tora stanu
y = Tx, T =
T T
T A T A T A T A
11 12
11 11 12 21 11 12 12 22
� � � �+ +
, (3)
zvodyt\sq do vyhlqdu
© A. M. PRYZ, 2011
140 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1
MEXANIÇNI ANALOHI} LINIJNYX IMPUL|SNYX SYSTEM 141
�
�
y
y
1
2
=
O I
C B
y
y− −
1
2
, y t y( )0 0=
( yi n∈R , I n n∈ ×R — odynyçna matrycq), todi i til\ky todi, koly dlq vsix
vlasnyx znaçen\ λi matryci �A vykonugt\sq umovy
rank ( )�A Ii− λ ≥ n, i = 1 2, n ,
de I n n∈ ×R2 2 , a matryci B i C znaxodqt\sq analityçno z rivnosti C B =
= −[ ] −T T A T11 12
2 1�
.
U teoremiF1 i skriz\ dali çerez matrycg I poznaça[mo odynyçnu matrycg. }]
porqdok zavΩdy dorivng[ n abo 2n, wo bude lehko vydno z vyraziv, do skladu
qkyx vona vxodyt\.
Pobudu[mo dlq (1) mexaniçnu analohig [8]. Budemo vvaΩaty, wo dlq perßo-
ho rivnqnnq systemy (1), (2) ma[ misce teoremaF1. Todi, zastosovugçy (3) do (2), v
zahal\nomu vypadku otrymu[mo
�y t Ay t( ) ( )= , y t y( )0 0= , t k≠ τ ,
(4)
y t Py t( ) ( )+ = , t k= τ , k = 1, 2, … ,
de A = TAT� −1
, P = TPT� −1
. Zvidsy vyplyva[ ekvivalentnist\ matryc\ A ta
�A i
P ta
�P . Zapyßemo (4) u bloçnij formi
�
�
y t
y t
1
2
( )
( )
=
O I
C B
y t
y t− −
1
2
( )
( )
, y t( )0 = y0 , t k≠ τ ,
y t
y t
1
2
( )
( )
+
+
=
P P
P P
y t
y t
11 12
21 22
1
2
( )
( )
, t k= τ , k = 1, 2, … .
U zahal\nomu vypadku matrycq P ne ma[ vyznaçeno] kanoniçno] formy. Ale
nas bude cikavyty ]] special\nyj vyhlqd
P =
I O
M I
, M ≠ 0. (5)
Bil\ß detal\no kanoniçna forma (5) ta vlastyvosti matryci
�P budut\ doslid-
Ωeni nyΩçe.
Oskil\ky perße rivnqnnq v systemi (4) [ mexaniçnog analohi[g [8] perßoho
rivnqnnq z (2), to zupynymosq na druhyx rivnqnnqx obox system ta znajdemo
umovy, pry vykonanni qkyx rivnqnnq
y t( )+ = Py t( ) , t k= τ , k = 1, 2, … ,
bude mexaniçnog analohi[g dlq
x t( )+ = �Px t( ) , t k= τ , k = 1, 2, … ,
a matrycq M bude matryceg uzahal\nenyx impul\siv udarnyx syl.
Dlq c\oho navedemo neobxidni teoretyçni vidomosti [9]. U vypadku, koly sy-
ly digt\ na dostatn\o korotkomu promiΩku çasu (napryklad, pry zitknenni dvox
til), ]x nazyvagt\ impul\snymy [9]. Pid impul\som syly F rozumigt\ intehral
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1
142 A. M. PRYZ
F dt
t∆
∫ ,
de ∆ t — neskinçenno malyj promiΩok çasu, pid ças qkoho di[ cq syla. Pry na-
qvnosti impul\snyx syl rivnqnnq LahranΩa u vvedenyx poznaçennqx moΩna za-
pysaty u vyhlqdi
∂
∂
+
+
L t
q tj
( )
( )�
–
∂
∂
L t
q tj
( )
( )�
= S j , j = 1, n , (6)
de koordynaty q j systemy do di] impul\su poznaçeno qk q tj ( ) , a pislq di] —
qk q tj ( )+
, S j = d qij ii
n
=∑ 1
— uzahal\nenyj impul\s udarno] syly, L — lahran-
Ωian systemy.
Oskil\ky L = T – Π, T =
1
2 1
a q qij i ji j
n � �
, =∑ i Π =
1
2 1
c q qij i ji j
n
, =∑ , to
∂
∂
L
q j�
=
∂
∂
T
q j�
–
∂
∂
Π
�q j
= a qij i
i
n
=
∑
1
.
Pry c\omu rivnqnnq (6) moΩna zapysaty v takij formi:
a q t q tij i i
i j
n
� �( ) ( )
,
+
=
−( )∑
1
= d qij j
i
n
=
∑
1
. (7)
Perejdemo v rivnqnni (7) vid koordynatno] formy do matryçno], poznaçyvßy
A = ( ) ,a i j
n
=1 > 0, D = ( ) ,d i j
n
=1 . Rozhlqnemo vypadok, koly matrycq D [ nevyrod-
Ωenog. Todi rivnqnnq (7) zapyßemo u vyhlqdi
Aq t�( )+ = Aq t�( ) + Dq t( ) .
Vykona[mo zaminu y = A q, pislq çoho otryma[mo
�y t( )+ = �y t( ) + My t( ) , M DA= −1.
Vidomo, wo pid di[g impul\snyx syl koordynaty systemy ne zminggt\sq. Cq
fizyçna vlastyvist\ impul\no] systemy zada[t\sq umovog y t( )+ = y t( ) , qka ra-
zom z ostannim rivnqnnqm pislq zaminy y1 = y, y2 = �y utvorg[ druhu çastynu
systemy (4):
y t y t1 1( ) ( )+ = ,
y t2( )+ = My t1( ) + y t2( ) ,
abo
y t( )+ =
I O
M I
y t
( ) .
Nastupna lema mistyt\ umovy zvedennq matryci
�P do P vyhlqdu (5).
Lema 1. Qkwo dlq matryci �P n n∈ ×R2 2 vykonugt\sq umovy:
1) vsi vlasni znaçennq matryci �P dorivnggt\ odynyci;
2) forma Ûordana matryci �P ne mistyt\ klityn porqdku vywe druhoho,
do toho Ω kil\kist\ takyx klityn dorivng[ n;
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1
MEXANIÇNI ANALOHI} LINIJNYX IMPUL|SNYX SYSTEM 143
3) spravdΩu[t\sq totoΩnist\
� � �P P I P12 22
2
21( )− − = – I, de
�Pij — kvadrat-
ni matryci porqdku n,
to vona podibna do matryci P vyhlqdu
P =
I O
M I
, M ≠ 0.
Dovedennq. Z rivnosti PT = TP� otrymu[mo
( )P I T− =
O O
M O
T T
T T
11 12
21 22
=
=
T T
T T
P I P
P P I
11 12
21 22
11 12
21 22
−
−
� �
� �
= T P I( )� − , (8)
de
�P – I n n∈ ×R2 2 — matrycq ranhu n. Budemo vvaΩaty, wo matrycq
�P I22 −
nevyrodΩena, todi spravdΩu[t\sq rivnist\ [10] �P I11 − = � � �P P I P12 22
1
21( )− −
, pi-
slq pidstanovky qko] v (8) oderΩu[mo
O O
M O
T T
T T
11 12
21 22
=
T T
T T
P P I P P11 12
21 22
12 22
1
21 12
− −� � � �
�
( )
PP P I21 22
� −
abo
T P P I P11 12 22
1
21
� � �( )− − + T P12 21
� = 0,
T P11 12
� + T P I12 22( )� − = 0,
T P P I P21 12 22
1
21
� � �( )− − + T P22 21
� = MT11 ,
T P21 12
� + T P I22 22( )� − = MT12 .
Dlq zruçnosti ostanng systemu zapyßemo takym çynom:
T P T P I P I P11 12 12 22 22
1
21
� � � �+ −( ) − −( ) ( ) = 0,
T P11 12
� + T P I12 22( )� − = 0,
T P T P I P I P21 12 22 22 22
1
21
� � � �+ −( ) − −( ) ( ) = MT11 ,
T P21 12
� + T P I22 22( )� − = MT12 ,
zvidky otryma[mo umovu zvidnosti matryci
�P I− do P – I abo
�P do P :
� � �P P I P12 22
2
21( )− − = – I. (9)
NevyrodΩenist\ M vyplyva[ z toho, wo dlq matryc\ P vyhlqdu (5) porqdok
klityn Ûordana ne perevywu[ 2 ta kil\kist\ takyx klityn dorivng[ ranhu M.
Lemu dovedeno.
Vstanovymo teper umovy, qki povynni zadovol\nqty
�A i
�P dlq odnoçasno-
ho ]x zvedennq do A ta P pretvorennqm (3). Tym samym vydilymo klas impul\s-
nyx system, dlq qkyx isnu[ ]x mexaniçna analohiq (2), (5).
Teorema 2. Nexaj dlq matryc\ impul\sno] systemy (1), (2) spravdΩugt\sq
teoremaF1, lemaF1 i umova
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1
144 A. M. PRYZ
det ( )I P P I
A A
A A
− −
−� �
� �
� �12 22
1 11 12
21 22
−
−� �P P I
I
12 22
1( )
≠ 0.
Todi isnu[ peretvorennq y = Tx vyhlqdu
T =
T O
O T
I P P I
A P P
11
11
12 22
1
11 12
− −
−
−� �
� �
( )
( 222
1
21 12 12 22
1
22− − −
− −I A A P P I A) ( )� �
,
z dopomohog qkoho z systemy (1), (2) moΩna otrymaty ]] mexaniçnu analohig
vyhlqdu
�
�
y t
y t
1
2
( )
( )
=
O I
C B
y t
y t− −
1
2
( )
( )
, y t( )0 = y0 , t k≠ τ ,
(10)
y t
y t
1
2
( )
( )
+
+
=
I O
M I
y t
y t
1
2
( )
( )
, t k= τ , k = 1, 2, … .
Dovedennq. Iz systemy
T12 = − − −T P P I11 12 22
1� �( ) ,
(11)
MT11 – T22 – T P P21 12 22
� � = 0
z uraxuvannqm (3) ta (9) otrymu[mo matrycg T, qka odnoçasno zvodyt\
�A do A
i
�P do P :
T =
T O
O T
I P P I
A P P
11
11
12 22
1
11 12
− −
−
−� �
� �
( )
( 222
1
21 12 12 22
1
22− − −
− −I A A P P I A) ( )� �
. (12)
Pidstavymo komponenty matryci T iz (12) u druhe rivnqnnq systemy (11) ta
oderΩymo vyraz dlq matryci M v qvnomu vyhlqdi
M = T I P P I
A A
A A
11 12 22
1 11 12
21 22
− −
−� �
� �
� �
( )
−
−
−
� �P P I
I
T
12 22
1
11
1( )
. (13)
Dovedemo odnoçasnu nevyrodΩenist\ matryc\ T i M ta vstanovymo vidpo-
vidnu zaleΩnist\ miΩ
�A i
�P . Proanalizu[mo vyrazy (3), (12) ta (13) dlq mat-
ryc\ T i M vidpovidno. Matrycq T iz (3) povynna buty nevyrodΩenog. Vyny-
ka[ pytannq pro nevyrodΩenist\ matryci T iz (12), de dlq ]] „Fdobudovy” vyko-
rystano vidpovidni bloky matryci
�P – I iz (8). Vyxodqçy z formuly dlq vy-
znaçnyka bloçno] matryci [10]
∆ =
A B
C D
= AD CB− ,
de vraxovano, wo AB = BA, AC = CA, umovu nevyrodΩenosti T iz (12) zapysu[mo
u vyhlqdi
det ( )I P P I
A A
A A
− −
−� �
� �
� �12 22
1 11 12
21 22
−
−� �P P I
I
12 22
1( )
≠ 0. (14)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1
Lehko baçyty, wo umova (14) ta nevyrodΩenist\ matryci M iz (13) ta T iz
(12) vykonugt\sq todi i til\ky todi, koly stovpci matryci
� �P P I I
T
12 22
1( )−
−
ne budut\ mistyty Ωodnoho vlasnoho vektora matryci
�A , qkyj vidpovida[ ]] nu-
l\ovomu vlasnomu znaçenng.
Teoremu dovedeno.
Zaznaçymo, wo oskil\ky vybir matryci T11 v teoremiF2 ne [ odnoznaçnym, ma[
misce mnoΩyna mexaniçnyx analohij dlq odni[] impul\sno] systemy. Taka ne-
odnoznaçnist\ dozvolq[ za dopomohog vil\nyx parametriv matryci T11 vykonaty
pevni sprowennq struktury matryc\ B i C iz (10) abo zvesty matrycg M do
formy Ûordana.
1. Samojlenko A. M., Perestgk N. A. Dyfferencyal\n¥e uravnenyq s ympul\sn¥m vozdejst-
vyem. – Kyev: Vywa ßk., 1987. – 288 s.
2. C¥pkyn Q. Z. Teoryq lynejn¥x ympul\sn¥x system. – M.: Fyzmathyz, 1958. – 724 s.
3. Martynyuk A. A., Shen J. N., Stavroulakis I. P. Stability theorems in impulsive equations with
infinite delay // Advances in Stability Theory at the End of the 20 th Century / Ed. A. A. Martynyuk.
– London; New York: Taylor and Francis, 2003. – P. 153 – 175.
4. Laryn V. B. Upravlenye ßahagwymy apparatamy. – Kyev: Nauk. dumka, 1980. – 168 s.
5. Laryn V. B. K voprosu postroenyq modely ßahagweho apparata // Prykl. mexanyka. – 2003.
– 39, # 4. – S. 122 – 132.
6. Sl¥n\ko V. Y. Lynejn¥e matryçn¥e neravenstva y ustojçyvost\ dvyΩenyq ympul\sn¥x
system // Dop. NAN Ukra]ny. – 2008. – # 4. – S. 68 – 71.
7. Denysenko V. S., Sl¥n\ko V. Y. Ympul\snaq stabylyzacyq mexanyçeskyx system v modelqx
Takahy – Suheno // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, # 10.
8. Novyc\kyj V. V., Petryßyna L. V. Dekompozyciq ta mexaniçni analohi]. 1. Linijni stacionar-
ni systemy // Vopros¥ analytyçeskoj mexanyky y ee prymenenyj: Praci In-tu matematyky
NAN Ukra]ny. – 1999. – 26. – S. 251 – 256.
9. Holdstejn H. Klassyçeskaq mexanyka. – 2-e yzd. – M.: Nauka, 1975. – 416 s.
10. Hantmaxer F. R. Teoryq matryc. – M.: Nauka, 1967. – 576 s.
OderΩano 23.03.10
|