Лінійні поперечники класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі Lq
Одержано точні за порядком оцінки лінійних поперечників класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі Lq для деяких значень параметрів p та q.
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164047 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Лінійні поперечники класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі Lq / О.В. Федуник // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 1. — С. 93–104. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164047 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1640472025-02-10T00:31:45Z Лінійні поперечники класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі Lq Linear widths of the classes BΩp,θ of periodic functions of many variables in the space Lq Федуник, О.В. Статті Одержано точні за порядком оцінки лінійних поперечників класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі Lq для деяких значень параметрів p та q. We obtain exact order estimates for the linear widths of the classes BΩp,θ of periodic functions of many variables in the space Lq for certain values of the parameters p and q. 2006 Article Лінійні поперечники класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі Lq / О.В. Федуник // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 1. — С. 93–104. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164047 517.5 uk Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Федуник, О.В. Лінійні поперечники класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі Lq Український математичний журнал |
| description |
Одержано точні за порядком оцінки лінійних поперечників класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі Lq для деяких значень параметрів p та q. |
| format |
Article |
| author |
Федуник, О.В. |
| author_facet |
Федуник, О.В. |
| author_sort |
Федуник, О.В. |
| title |
Лінійні поперечники класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі Lq |
| title_short |
Лінійні поперечники класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі Lq |
| title_full |
Лінійні поперечники класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі Lq |
| title_fullStr |
Лінійні поперечники класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі Lq |
| title_full_unstemmed |
Лінійні поперечники класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі Lq |
| title_sort |
лінійні поперечники класів bωp,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі lq |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164047 |
| citation_txt |
Лінійні поперечники класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі Lq / О.В. Федуник // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 1. — С. 93–104. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT fedunikov líníinípoperečnikiklasívbωpθperíodičnihfunkcíibagatʹohzmínnihuprostorílq AT fedunikov linearwidthsoftheclassesbωpθofperiodicfunctionsofmanyvariablesinthespacelq |
| first_indexed |
2025-12-02T04:57:57Z |
| last_indexed |
2025-12-02T04:57:57Z |
| _version_ |
1850371187665797120 |
| fulltext |
UDK 517.5
O. V. Fedunyk (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
LINIJNI POPEREÇNYKY KLASIV Bp,θθ
ΩΩ
PERIODYÇNYX FUNKCIJ BAHAT|OX ZMINNYX
U PROSTORI Lq
We obtain exact order estimates of linear widths of the classes Bp,θ
Ω of periodic multivariable functions
in the space Lq for some values of the parameters p and q.
OderΩano toçni za porqdkom ocinky linijnyx popereçnykiv klasiv Bp,θ
Ω
periodyçnyx funkcij
bahat\ox zminnyx u prostori Lq dlq deqkyx znaçen\ parametriv p ta q.
1. Poznaçennq i dopomiΩni tverdΩennq. Nexaj R
d
— evklidiv prostir z ele-
mentamy x = ( x1 , … , xd ) i πd = [ ; ]0 2
1
π
j
d
=∏ . Poznaçymo çerez Lp d( )π , 1 ≤ p ≤
≤ ∞ , prostir 2π-periodyçnyx po koΩnij zminnij funkcij f ( x ) = f ( x1 , … , xd ) zi
skinçennog normog, qka vyznaça[t\sq takym çynom:
f Lp d( )π = f p = ( ) ( )
/
2
1
π
π
− ∫
d p
p
f x dx
d
, 1 ≤ p < ∞ ,
i
f L d∞ ( )π = f ∞ = ess sup
x d
f x
∈π
( ) .
Dali budemo vvaΩaty, wo dlq funkcij f ∈ Lp d( )π vykonu[t\sq dodatkova
umova
f x dx j( )
−
∫
π
π
= 0, j = 1, d .
Dlq f ∈ Lp d( )π poznaçymo çerez
S f[ ] = ˆ( ) ( , )f k ei k x
k
∑
]] rqd Fur’[, de
ˆ( )f k = ( ) ( ) ( , )2π
π
− −∫d i k tf t e dt
d
— koefici[nty Fur’[, k =
= ( k1 , … , kd ) , kj ∈ Z, j = 1, d , i ( k, x ) = k1 x1 + … + kd xd .
KoΩnomu vektoru s ∈ N
d
postavymo u vidpovidnist\ mnoΩynu
ρ ( s ) = k k j d
s
j
sj j: , ,2 2 1
1− ≤ < ={ }
i dlq f ( x ) poznaçymo
δs f x( , ) = ˆ( ) ( , )
( )
f k ei k x
k s∈
∑
ρ
.
Todi rqd Fur’[ funkci] f moΩna zapysaty u vyhlqdi
S f[ ] = δs
s
f x( , )∑ .
© O. V. FEDUNYK, 2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 1 93
94 O. V. FEDUNYK
Za dopomohog rivnosti
∆h
l
j
f x( ) = ( ) ( , , , , , , )− … + …−
− +
=
∑ 1 1 1 1
0
l n
l
n
j j j j d
n
l
C f x x x nh x x
oznaçymo l-tu riznycg funkci] f ( x ) z krokom hj za zminnog xj .
Dlq f ( x ) = f ( x1 , … , xd ) i h = ( h1 , … , hd ) vvedemo mißanu l-tu riznycg
∆h
l f x( ) = ∆ ∆h
l
h
l
d
f x…
1
( ) = ∆ ∆h
l
h
l
d
f x( ( ( )))…
1
.
Oznaçymo dlq f ∈ Lp d( )π mißanyj modul\ neperervnosti porqdku l
Ωl
pf t( , ) = sup ( )
, ,h t j d
h
l
p
j j
f
< =
⋅
1
∆ .
Nexaj Ω ( t ) = Ω ( t1 , … , td ) — zadana funkciq typu mißanoho modulq nepe-
rervnosti porqdku l, qka zadovol\nq[ taki umovy:
1) Ω( )t > 0, t j > 0, j d= 1, ; Ω( )t = 0, t jj
d
=∏ >
1
0;
2) Ω ( t ) zrosta[ po koΩnij zminnij;
3) Ω Ω( , , ) ( )m t m t m td d jj
d l
1 1 1
… ≤ ( )=∏ , mj ∈N , j d= 1, ;
4) Ω ( t ) neperervna pry t j ≥ 0, j d= 1, .
Budemo vvaΩaty, wo Ω ( t ) zadovol\nq[ umovy ( S ) , ( Sl ) , qki nazyvagt\ umo-
vamy Bari – St[çkina [1]. Ce oznaça[ nastupne.
Funkciq odni[] zminno] ϕ ( τ ) ≥ 0 zadovol\nq[ umovu ( S ) , qkwo ϕ τ τα( )/
majΩe zrosta[ pry deqkomu α > 0, tobto isnu[ taka ne zaleΩna vid τ1 i τ2
stala C1 > 0, wo
ϕ τ
τα
( )1
1
≤ C1
2
2
ϕ τ
τα
( )
, 0 < τ1 ≤ τ2 ≤ 1.
Funkciq ϕ ( τ ) ≥ 0 zadovol\nq[ umovu ( Sl ) , qkwo ϕ τ τγ( )/ majΩe spada[
pry deqkomu 0 < γ < l, tobto isnu[ taka ne zaleΩna vid τ1 i τ2 stala C2 > 0,
wo
ϕ τ
τγ
( )1
1
≥ C2
2
2
ϕ τ
τγ
( )
, 0 < τ1 ≤ τ2 ≤ 1.
Budemo hovoryty, wo Ω ( t ) zadovol\nq[ umovy ( S ) i ( Sl ) , qkwo Ω ( t ) zado-
vol\nq[ ci umovy po koΩnij zminnij tj pry fiksovanyx ti , i ≠ j .
Zaznaçymo, wo funkci], qki zadovol\nqgt\ umovy 1 – 4, ( S ) ta ( Sl ) , moΩut\
maty vyhlqd
Ω ( t ) = t t
t t
r
d
r
m
d
m
d
d
1
1
1
11 1…
…
log log ,
de 0 < rj < l, j = 1, d , a mj , j = 1, d , — fiksovani dijsni çysla.
Oznaçymo deqki porqdkovi spivvidnoßennq, qki budemo vykorystovuvaty dali.
Funkci] µ ( n ) i ν ( n ) budemo nazyvaty funkciqmy odnakovoho porqdku i py-
saty µ ( n ) � ν ( n ) , qkwo dlq bud\-qkoho natural\noho n vykonu[t\sq neriv-
nist\ C3 µ ( n ) ≤ ν ( n ) ≤ C4 µ ( n ), de stali C3 , C4 > 0 moΩut\ zaleΩaty til\ky
vid parametriv, wo vxodqt\ v oznaçennq klasu, metryky, v qkij vymirg[t\sq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 1
LINIJNI POPEREÇNYKY KLASIV Bp,θ
Ω
PERIODYÇNYX FUNKCIJ … 95
poxybka nablyΩennq, ta rozmirnosti d prostoru R
d. Qkwo Ω µ ( n ) ≤
≤ C5 ν ( n ) abo µ ( n ) ≥ C 6 ν ( n ), to poznaçymo vidpovidno µ ( n ) < < ν ( n ) i
µ ( n ) >> ν ( n ).
V podal\ßomu otrymani rezul\taty budut\ mistyty porqdkove spivvidnoßen-
nq M � 2 1n dn − , M, n ∈ N, qke rozumi[t\sq takym çynom, wo isnugt\ stali 0 <
< C7 < C8, taki, wo vykonugt\sq nerivnosti
C nn d
7
12 − ≤ M ≤ C nn d
8
12 − .
Dlq 1 ≤ p ≤ ∞ , 1 ≤ θ ≤ ∞ i zadano] funkci] typu mißanoho modulq nepe-
rervnosti Ω ( t ) , qka zadovol\nq[ umovy 1 – 4, ( S ) i ( Sl ) , klas Bp,θ
Ω
vyznaça-
[t\sq takym çynom:
Bp,θ
Ω : = f L fp d Bp
∈ ≤{ }( ) :
,
π
θ
Ω 1 ,
f Bp,θ
Ω =
Ω
Ω
l
p j
jj
df t
t
dt
t
d
( , )
( )
/
=
∏∫
θ
π
θ
1
1
, 1 ≤ θ < ∞ ,
f Bp,∞
Ω = sup
( , )
( )t
l
pf t
t>0
Ω
Ω
.
U roboti [2] dlq 1 < p < ∞ dovedeno, wo
f Bp,θ
Ω � δ θ θ
θ
s p
s
s
f( , ) ( )
/
⋅
− −∑ Ω 2
1
, 1 ≤ θ < ∞ , (1)
f Bp,∞
Ω � sup
( , )
( )s
s p
s
fδ ⋅
−Ω 2
, (2)
de Ω( )2−s = Ω( ), ,2 21− −…s sd , sj ∈ N, j = 1, d .
Zaznaçymo, wo klasy funkcij Bp,θ
Ω
buly rozhlqnuti v roboti [2]. U vypadku
Ω ( t ) = t j
r
j
d j
=∏ 1
z (1), (2) vyplyvagt\ zobraΩennq
f Bp
r
,θ
� 2
1
( , )
/
( , )r s
s p
s
fθ θ
θ
δ ⋅
∑ , 1 ≤ θ < ∞ ,
f Bp
r
,∞
� sup ( , )( , )
s
r s
s pf2 δ ⋅ ,
qki buly vstanovleni v [3]. Pry θ = ∞ klas Bp,θ
Ω
zbiha[t\sq z uvedenym v [4]
klasom Hp
Ω
.
U danij roboti budemo rozhlqdaty klasy Bp,θ
Ω , qki vyznaçagt\sq funkci[g
typu mißanoho modulq neperervnosti porqdku l deqkoho special\noho vyhlqdu
Ω ( t ) = ω t j
j
d
=
∏
1
, (3)
de ω ( τ ) — zadana funkciq (odni[] zminno]) typu modulq neperervnosti porqdku
l, qka zadovol\nq[ umovy ( S ) i ( Sl ) . Lehko perekonatysq, wo dlq Ω ( t ) vyhlq-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 1
96 O. V. FEDUNYK
du (3) vykonugt\sq vlastyvosti 1 – 4 funkci] typu mißanoho modulq nepererv-
nosti porqdku l, a takoΩ umovy ( S ) i ( Sl ) . Tomu pry takij funkci] typu mißa-
noho modulq neperervnosti Ω ( t ) , za qkog vyznaça[t\sq klas Bp,θ
Ω , 1 < p < ∞ ,
1 ≤ θ ≤ ∞ , zberihagt\sq zobraΩennq (1), (2) dlq norm funkcij c\oho klasu.
Metog roboty [ vstanovlennq toçnyx za porqdkom ocinok linijnyx popereç-
nykiv klasiv Bp,θ
Ω
u prostori Lq d( )π dlq deqkyx znaçen\ parametriv p ta q.
Zaznaçymo, wo ponqttq linijnoho popereçnyka bulo vvedeno V. M. Tyxomyrovym
[5]. Sformulg[mo teper ce oznaçennq.
Nexaj W — mnoΩyna v banaxovomu prostori X. Todi linijnyj popereçnyk
mnoΩyny W u prostori X (poznaça[t\sq λM W X( , )) vyznaça[t\sq za formu-
log
λM W X( , ) = inf sup
A f W
Xf A f
∈
− , (4)
de nyΩnq meΩa beret\sq po vsix digçyx v X linijnyx operatorax A, rozmir-
nist\ oblasti znaçen\ qkyx ne perevywu[ M.
Kolmohorovs\kym popereçnykom central\no-symetryçno] mnoΩyny W u
prostori X (poznaça[t\sq d W XM ( , )) nazyva[t\sq velyçyna
d W XM ( , ) = inf sup inf
L f W h L X
M M
f h
∈ ∈
− ,
de LM — pidprostir v X, rozmirnist\ qkoho ne perevywu[ M.
Nahada[mo, wo linijnyj popereçnyk λM W X( , ) pov’qzanyj iz popereçnykom
Kolmohorova d W XM ( , ) nerivnistg
d W XM ( , ) ≤ λM W X( , ). (5)
U zv’qzku z cym cikavo z’qsuvaty, v qkyx vypadkax (dlq konkretnyx mnoΩyn
W i prostoriv X ) popereçnyky d W XM ( , ) i λM W X( , ) rivni za porqdkom, a v
qkyx vypadkax ma[ misce porqdkova nerivnist\
d W XM ( , ) << λM W X( , ).
Na danyj ças [ velyka kil\kist\ robit, v qkyx doslidΩuvalys\ linijni pope-
reçnyky tyx çy inßyx klasiv funkcij, abo skinçennovymirnyx mnoΩyn [6, 7].
Tut zhada[mo lyße roboty [8 – 10], v qkyx vyvçalys\ velyçyny (4) dlq klasiv
funkcij bahat\ox zminnyx Wp
r , Hp
r i Bp
r
,θ , a takoΩ vidomi knyhy [11 – 13], v
qkyx navedeno dosyt\ detal\nu bibliohrafig.
Pry vykladi rezul\tativ nam budut\ neobxidni deqki vidomi tverdΩennq.
Nexaj lp
m
poznaça[ prostir R
m
, v qkomu vvedeno normu
x lp
m =
x p
x p
i
p
i
m p
i m i
=
≤ ≤
∑( ) ≤ < ∞
= ∞
1
1
1
1
/
, ,
max , ,
i Bp
m
— odynyçna kulq v lp
m .
Ma[ misce nastupna teorema.
Teorema/A [6]. Nexaj M < m, 1 ≤ p < 2 ≤ q < ∞ , 1 / p + 1 / q ≥ 1. Todi
λM p
m
q
mB l( , ) � max , min ,/ / / /m m M
M
m
q p q1 1 1 1 21 1− −{ } −
.
ZauvaΩymo, wo u vypadku p = 1, q > 2 vidpovidnyj rezul\tat vyplyva[ z
tverdΩennq, vstanovlenoho B. S. Kaßynym [7].
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 1
LINIJNI POPEREÇNYKY KLASIV Bp,θ
Ω
PERIODYÇNYX FUNKCIJ … 97
Nexaj s ∈ N
d
i T ( ρ ( s )) — mnoΩyna funkcij vyhlqdu
f ( x ) = c ek
i k x
k s
( , )
( )∈
∑
ρ
.
Teorema/B [14]. MiΩ prostorom tryhonometryçnyx polinomiv T ( ρ ( s )) i
prostorom R
2 1( , )s
isnu[ izomorfizm, qkyj stavyt\ u vidpovidnist\ funkci] f ( ⋅ )
vektor δs
jf = { }( )fn jτ ∈ R
2 1( , )s ,
f tn( ) = c ek
i k t
k nl l
( , )
sgn sgn=
∑ , l = 1, d , n = ( , , )± … ±1 1 ∈ R
d,
τj = ( ), ,π π2 22
1
21− −…s s
dj jd , ji = 1, 2, … , 2 1si − , i = 1, d ,
i pry c\omu magt\ misce spivvidnoßennq
δs pf x( , ) � 2 1
1
2
11
−
=
∑
( , )
/( , )
s
s
j p
j
p
f
s
δ , p ∈ ( 1, ∞ ) .
Dlq funkcij odni[] zminno] vidpovidnu teoremu navedeno v [15, c. 46] (t.L2).
Teorema/V (Littlvuda – Peli, dyv., napryklad, [16, c. 65]). Nexaj p ∈ ( 1,
∞ ) . Todi isnugt\ dodatni çysla C9 , C10 taki, wo dlq koΩno] funkci] f ( x )L∈
∈ Lp d( )π vykonu[t\sq spivvidnoßennq
C f p9 ≤ δs
s p
f( , )
/
⋅
∑ 2
1 2
≤ C f p10 .
TeoremaLV [ uzahal\nennqm na bahatovymirnyj vypadok vidomo] teoremy
Littlvuda – Peli (dyv. [15], t.L2, hl. 15).
Lema/1 [8]. Nexaj s ∈ N
d i f ( ⋅ ) ∈ T ( ρ ( s )) , Ms ∈ Z+ , Ms ≤ 2 1( , )s . Qkwo 1 <
< p , q < ∞ , to isnu[ linijnyj operator
ΛMs
s s: ( ( )) ( ( ))T Tρ ρ→ , rozmir-
nist\ oblasti znaçen\ qkoho ne perevywu[ Ms , takyj, wo
f fM qs
( ) ( )⋅ − ⋅Λ � λM p q
s p q
ps
s s
B l f( )
( , ) ( , )
, ( )( , )( / / )2 2 1 1 11 1
2 − ⋅ . (6)
Lema/2 [17, c. 25]. Nexaj 1 ≤ p < q < ∞ i f ∈ Lp d( )π . Todi ma[ misce spiv-
vidnoßennq
f q
q << δs p
s p q q
s
f( , ) ( , )( / / )⋅( )−∑ 2 1 1 1 . (7)
Lema/3 [6]. Nexaj M < n. Todi pry 1 ≤ p < 2 ≤ q < ∞ vykonu[t\sq
d B lM p
n
q
n( , ) � max , min ,/ / / /n n M
M
n
q p q1 1 1 1 21 1− −{ } −
. (8)
Lema/4 (dyv., napryklad, [17, c. 16]). Nexaj Tn nd1, ,… — tryhonometryçnyj
polinom stepenq nj za zminnog xj, j = 1, d . Todi pry 1 ≤ q < p ≤ ∞ ma[
misce nerivnist\
Tn n pd1, ,… ≤ 2
1
1 1
1
d
j
j
d q p
n n q
n T
d=
−
…∏
/ /
, , . (9)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 1
98 O. V. FEDUNYK
Spivvidnoßennq (9) vidome pid nazvog „nerivnist\ Nikol\s\koho riznyx
metryk”.
2. Osnovni rezul\taty.
Teorema/1. Nexaj 1 < p ≤ 2, p ′ < q < ∞ , 2 ≤ θ ≤ q i Ω ( t ) = ω ( t1 … td ) ,
de ω ( τ ) zadovol\nq[ umovu ( S ) z deqkym α > 1 – 1 / q ta umovu ( Sl ) . T odi
dlq bud\-qkyx natural\nyx M ta n takyx, wo M � 2 1n dn − , ma[ misce spiv-
vidnoßennq
λ θM p qB L( , ),
Ω � ω ( ) ( / / )2 2 1 2 1− −n n q , (10)
de 1 1/ /p p+ ′ = 1.
Dovedennq. Vstanovymo spoçatku v (10) ocinku zverxu. Nexaj f ( x ) — do-
vil\na funkciq z klasu Bp,θ
Ω
i zadano dostatn\o velyke çyslo M. Pidberemo n
iz spivvidnoßennq M � 2 1n dn −
i koΩnomu vektoru s ∈ N
d
postavymo u vidpo-
vidnist\ çysla
Ms =
2 1
2 1
1
1
( , )
( ( , ))
, ( , ) ,
( , ) ,[ ],
s
n n s
s n
s n
≤
>
+ −ν
(11)
de ν > 0 — deqke çyslo, qke my pidberemo pizniße, [ a ] — cila çastyna çysla
a. Ocinymo Ms
s
∑ . Dlq c\oho skorysta[mos\ tym, wo
( , )
( , )
s n
s
1
12
≤
∑ =
j d
n
s j
s
= =
∑ ∑
( , )
( , )
1
12 =
j d
n
j
s j= =
∑ ∑2 1
1( , )
�
j d
n
j dj
=
−∑ 2 1 << 2 1n dn − (12)
i
2 1
1
−
>
∑ ν( , )
( , )
s
s n
=
j n s j
s
= +
∞
=
−∑ ∑
1 1
12
( , )
( , )ν = 2 1
1 1
−
= +
∞
=
∑ ∑νj
j n s j( , )
�
� 2 1
1
− −
= +
∞
∑ νj d
j n
j << 2 1− −νn dn (13)
pry ν > 0. Vraxovugçy (12) i (13), ma[mo
Ms
s
∑ ≤
( , )
( , )
( , )
( ( , ))
s n
s
s n
n n s
1
1
1
12 2
≤ >
+ −∑ ∑+ ν << 2 1n dn − � M.
Rozhlqnemo linijnyj operator, qkyj di[ na funkcig f ( x ) za formulog
Λ M f ( x ) =
s
M ss
f x∑ Λ δ ( , ),
de operatory ΛMs
pobudovano zhidno z lemog 1, tobto vony zadovol\nqgt\ spiv-
vidnoßennq (6). Ocinymo f x f xM q( ) ( )− Λ . Vykorysta[mo dlq c\oho lemu 2.
Oskil\ky za umovog teoremy 2 ≤ p ′ < q < ∞ , to, vykonugçy u formuli (7)
zaminu indeksu p na p ′, znaxodymo
f q
q << δs p
s p q q
s
f( , ) ( , )( / / )⋅( )′
′ −∑ 2 1 1 1 .
Beruçy do uvahy vykladene vywe, zapysu[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 1
LINIJNI POPEREÇNYKY KLASIV Bp,θ
Ω
PERIODYÇNYX FUNKCIJ … 99
f x f xM q( ) ( )− Λ <<
( , )
( , ) ( , )
s n
s M s
q
f x f x
s
1 >
∑ −( )δ δΛ <<
<<
( , )
( , )( / / )
/
( , ) ( , )
s n
s p q
s M s p
q
q
f x f x
s
1
1 1 1
1
2
>
′ −
′∑ −
δ δΛ . (14)
Dali, vykorystovugçy spivvidnoßennq (6), iz (14) otrymu[mo
f x f xM q( ) ( )− Λ <<
<<
( , )
( , )( / / ) ( , )( / / )
/
( , ) ( , )
, ( , )
s n
s p q
M p p
s p p
s p
q
q
s
s s
B l f x
1
1 1 1 2 2 1 1 1
1
2 2
1 1
>
′ −
′
− ′∑ ( )( )
λ δ =
=
( , )
( , )( / / )
/
( , ) ( , )
, ( , )
s n
s p q
M p p s p
q
q
s
s s
B l f x
1
1 1 1 2 2
1
2
1 1
>
−
′∑ ( )( )
λ δ , (15)
a vraxovugçy te, wo zhidno z teoremog A
λM p ps
s s
B l2 21 1( , ) ( , )
, ′( ) << 2 1 1 1 2( , )( / ) /s p
sM′ − ,
iz (15) ma[mo
f x f xM q( ) ( )− Λ <<
( , )
( , )( / / ) ( , )( / ) /
/
( , )
s n
s p q s p
s s p
q
q
M f x
1
1 1 1 1 1 1 2
1
2 2
>
− ′ −∑ ( )
δ =
=
( , )
( , )( / ) /
/
( , )
s n
s q
s s p
q
q
M f x
1
1 1 1 1 2
1
2
>
− −∑ ( )
δ . (16)
Pidstavyvßy teper v (16) zamist\ Ms vidpovidni znaçennq z (11), prodovΩymo
ocinku
f x f xM q( ) ( )− Λ <<
( , )
( , )( / ) / ( ( , )) /
/
( , )
s n
s q n n s
s p
q
q
f x
1
1 1 1 2 1 2
1
2 2
>
− − − −∑ ( )
ν δ =
= 2 22 2
1
1 1 1 2
1
− −
>
− +∑ ( )
n n
s n
s q
s p
q
q
f x/ /
( , )
( , )( / / )
/
( , )ν ν δ =
= 2 2
2
2
2 22 2
1
1 1 1 2
1
1
1 1 1
1
− −
>
− +
−
−
− − −∑
n n
s n
s q
s
s
s s
s p
q q
f x/ /
( , )
( , )( / / )
( , )
( , )
( , ) ( , )
/
( )
( ) ( , )ν ν
α
αω ω δ = I.
Oskil\ky Ω ( t ) = ω ( t1 … td ) zadovol\nq[ umovu ( S ) iz α > 1 – 1 / q , to
ω
α
( )( , )
( , )
2
2
1
1
−
−
s
s <<
ω
α
( )2
2
−
−
n
n (17)
pry ( s, 1 ) ≥ n .
Pidberemo ν z umovy
1
1
2
− + −
q
ν α < 0. (18)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 1
100 O. V. FEDUNYK
Todi vnaslidok (17) i (18) oderΩymo
I << 2 2
2
2
22 2
1
1 1 1 2 1 1
1
− −
>
− + −
−
−
− −∑
n n
s n
s q
n
n
s
s p
q q
f x/ /
( , )
( , )( / / ) ( , )
/
( )
( ) ( , )ν ν α
α
ω ω δ =
= 2 2 2 22 2
1
1 1 1 2 1 1
1
− − + −
>
− + − − −∑ ( )
n n n n
s n
s q s
s p
q
q
f x/ /
( , )
( , )( / / ) ( , )
/
( ) ( ) ( , )ν α ν αω ω δ <<
<< 2 2 2 22 2 1 1 2
1
1
1
− − + − − + −
>
− −∑
n n n n n q
s n
q s
s p
q
q
f x/ / ( / / )
( , )
( , )
/
( ) ( ) ( , )ν α ν αω ω δ =
= 2 2 21 2 1
1
1
1
n q n
s n
q s
s p
q
q
f x( / / )
( , )
( , )
/
( ) ( ) ( , )− −
>
− −∑
ω ω δ .
Oskil\ky 2 ≤ θ ≤ q , to, vykorystavßy nerivnist\ (dyv., napryklad, [18])
ak
m
k
m
1
11
∑
/
≤ ak
m
k
m
2
21
∑
/
, ak ≥ 0, 1 ≤ m2 ≤ m1 < ∞ , (19)
budemo maty
I << 2 2 21 2 1
1
1
1
n q n
s n
s
s pf x( / / )
( , )
( , )
/
( ) ( ) ( , )− −
>
− −∑
ω ω δθ θ
θ
<<
<< 2 21 2 1n q n
Bf
p
( / / ) ( )
,
− −ω
θ
Ω ≤ ω ( ) ( / / )2 2 1 2 1− −n n q .
Takym çynom, zhidno z oznaçennqm linijnoho popereçnyka, my otrymaly v
(10) ocinku zverxu.
Perejdemo do vstanovlennq vidpovidno] ocinky znyzu.
Oskil\ky 1 < p ≤ 2, to Bp,θ
Ω ⊃ B2,θ
Ω
i pry θ ≥ 2 vykonu[t\sq B2,θ
Ω ⊃ B2 2,
Ω .
Tomu dlq toho wob otrymaty ocinku znyzu popereçnyka λ θM p qB L( ), ,Ω , dostat-
n\o ocinyty znyzu popereçnyk λM qB L( ), ,2 2
Ω .
Zadamo M i vyberemo çyslo l iz umovy M � 2 1l dl − , 2 1l dl − ≥ 2M. Poklade-
mo S = { }: ( , )s s l1 = , S — kil\kist\ elementiv mnoΩyny S, i poznaçymo çerez
Tl mnoΩynu tryhonometryçnyx polinomiv z nomeramy harmonik iz
ρ( )s
s S∈∪ .
Todi za oznaçennqm linijnoho popereçnyka
λM qB L( , ),2 2
Ω ≥ λM l qB T L( , ),2 2
Ω ∩ . (20)
Qkwo Pl — operator ortohonal\noho proektuvannq na Tl
, to dlq f ∈ Lq i
tL∈ Tl vykonu[t\sq spivvidnoßennq
f t q− >> P f tl q− . (21)
Tomu z (20) i (21) otrymu[mo
λM qB L( , ),2 2
Ω ≥ λM l q lB T L T( , ),2 2
Ω ∩ ∩ . (22)
Nexaj teper f ∈ L Tl2 ∩ . Zhidno z teoremog B ma[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 1
LINIJNI POPEREÇNYKY KLASIV Bp,θ
Ω
PERIODYÇNYX FUNKCIJ … 101
f B2,θ
Ω �
( , )
( , )
/
( , ) ( )
s l
s
sf x
1
2
2 2 1
1 2
2
=
− −∑
δ ω = ω δ− −
=
∑
1
1
2
2
1 2
2( ) ( , )
( , )
/
l
s l
s f x �
� ω δ− −
=
−
=
∑ ∑
1
1
1
1
2 2
1 2
2 2
1
( )
( , )
( , )
/( , )
l
s l
s
j
s
j
s
f � ω δ− − −
= =
∑ ∑
1 2
1 1
2 2
1 2
2 2
1
( ) /
( , )
/( , )
l l
s l j
s
j
s
f .
(23)
Iz (23) robymo vysnovok, wo qkwo f L Tl∈ 2 ∩ i
( , )
/( , )
s l j
s
j
s
f
1 1
2 2
1 21
= =
∑ ∑
δ ≤ ω ( ) /2 2 2−l l , (24)
to C11 f ∈ B Tl2 2,
Ω ∩ , C11 > 0.
Inßymy slovamy, dovil\nij kuli C Bl l Sl
11
2
2
22 2ω ( ) /−
radiusa C l l
11
22 2ω ( ) /−
z
prostoru l
l S
2
2
stavyt\sq u vidpovidnist\ odynyçna kulq iz B Tl2 2,
Ω ∩ . Krim toho,
qkwo g L Tq l∈ ∩ , q ≥ 2, to na pidstavi teoremy Littlvuda – Peli, nerivnosti
(19) i teoremy B oderΩu[mo
g q >>
s S
s
q
g x
∈
∑
δ ( , )
/
2
1 2
=
( , )
/ /
( , )
s l
s
q q
g x
1
2
2
1
1
=
∑
δ ≥
≥
( , )
/
( , )
s l
s
q
q
g x
1 1
1
=
∑ δ =
( , )
/
( , )
s l
s q
q
q
g x
1
1
=
∑
δ �
�
( , )
( , )
/( , )
s l
s
j
s
j q
qs
f
1
1
1
2
1
2
1
=
−
=
∑ ∑
δ � 2
1 1
2
11
−
= =
∑ ∑
l q
s l j
s
j q
qs
f/
( , )
/( , )
δ . (25)
Takym çynom, iz (22) – (25) otrymu[mo ocinku
λM qB L( , ),2 2
Ω >> ω λ( ) ,( / / )2 2 1 2 1
2
2 2− − ( )l l q
M
S
q
SB l
l l
.
Dali, beruçy do uvahy vidome spivvidnoßennq (dyv., napryklad, [13])
λM
S
q
SB l
l l
2
2 2,( ) = λM q
S SB l
l l
′( )2
2
2, ,
1 1
q q
+
′
= 1,
a potim nerivnist\ (5), ma[mo
λM qB L( , ),2 2
Ω >> ω ( ) ,( / / )2 2 1 2 1 2
2
2− −
′( )l l q
M q
S Sd B l
l l
. (26)
Vykorystovugçy teper spivvidnoßennq (8), oderΩu[mo
d B lM q
S Sl l
′( )2
2
2, >> min , ( ) ( )/ /1 2 2 1
2
1 1 2
12
1 1 2
1
l d l d
l dl C l
M
l
− − −
−{ } − ≥ C13 > 0. (27)
Iz (26) i (27) otrymu[mo ßukanu ocinku znyzu
λ θM p qB L( , ),
Ω >> ω ( ) ( / / )2 2 1 2 1− −l l q .
Takym çynom, ocinku znyzu, a razom z neg i teoremu, dovedeno.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 1
102 O. V. FEDUNYK
ZauvaΩennq/1. Qkwo Ω( )t t j
r
j
d= =∏ 1
1
, 1 < p ≤ 2, p ′ < q < ∞ , 2 ≤ θ ≤ q i
α = r1 > 1 – 1 / q, to vykonu[t\sq spivvidnoßennq
λ θM p qB L( , ),
Ω � ( )log / /M Md r q− − − +1 1 1 2 11 ,
vstanovlene A. S. Romangkom [10].
ZauvaΩennq/2. Pry porivnqnni teoremy 1 z vidpovidnog ocinkog kolmoho-
rovs\koho popereçnyka [2] robymo vysnovok, wo dlq 1 < p ≤ 2, p ′ < q < ∞ ,
2 ≤ θ ≤ q, α > 1 – 1 / q ma[ misce porqdkova rivnist\
λ θM p qB L( , ),
Ω � 2 1 1 1 1 1 2n p q d
M p qn d B L( / / ) ( )( / / )
,( , )′ − − −θ
θ
Ω ,
de M � 2 1n dn − .
Teorema/2. Nexaj 2 ≤ p < q < ∞ , 2 ≤ θ ≤ q, Ω ( t ) = ω ( t1 … td ) , de ω ( τ )
zadovol\nq[ umovy ( S ) z deqkym α > 1 / p – 1 / q ta ( Sl ) . Todi dlq bud\-qkyx
natural\nyx M ta n takyx, wo M � 2 1n dn − , ma[ misce spivvidnoßennq
λ θM p qB L( , ),
Ω � ω ( ) ( / / )2 2 1 1− −n n p q . (28)
Dovedennq. Ocinka zverxu v (28) vyplyva[ z vidpovidno] ocinky nablyΩennq
klasu Bp,θ
Ω
sxidçasto-hiperboliçnymy sumamy Fur’[ S f xQn
( , ) [2].
Vstanovymo ocinku znyzu. Nexaj f ( x ) — dovil\na funkciq z klasu Bp,θ
Ω
. Vy-
korystovugçy dlq „blokiv” δs f x( , ) lemu 4 i pokladagçy v nerivnosti (9) q = 2,
oderΩu[mo
δs pf x( , ) << 2 1 1 2 1
2
( , )( / / ) ( , )s p
s f x− δ .
Z ostann\oho spivvidnoßennq vyplyva[
f Bp,θ
Ω �
s
s
s pf x∑ − −
ω δθ θ
θ
( ) ( , )( , )
/
2 1
1
<<
<<
s
s s p
s f x∑ − − −
ω δθ θ θ
θ
( ) ( , )( , ) ( , )( / / )
/
2 21 1 1 2 1
2
1
=
=
s
s
s f x∑ − −
ω δθ θ
θ
1
1
2
1
2( ) ( , )( , )
/
� f B2
1
,θ
Ω ,
de Ω1( )t = ω1 ( t1 … td ) , ω τ1( ) = ω τ τ( ) / /1 2 1− p .
Oçevydno, wo funkciq ω τ1( ) [ funkci[g typu modulq neperervnosti
porqdku l + 1, qka zadovol\nq[ umovy ( S ) z deqkym α1 = α + 1 / 2 – 1 / p >
> 1 / 2 – 1 / q ta ( Sl + 1 ) .
Iz navedenyx vywe mirkuvan\ robymo vysnovok, wo vykonu[t\sq vklgçen-
nqLLLL B Bp2
1
, ,θ θ
Ω Ω⊂ , tomu λ θM qB L( , ),2
1Ω ≤ λ θM p qB L( , ),
Ω . Wob otrymaty ocinku
λ θM B( ,,2
1Ω Lq ) znyzu, skorysta[mos\ teoremog 1:
λ θM qB L( , ),2
1Ω >> ω1
1 2 12 2( ) ( / / )− −n n q =
= ω ( ) ( / / ) ( / / )2 2 21 2 1 1 2 1− − − −n n p n q = ω ( ) ( / / )2 2 1 1− −n n p q .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 1
LINIJNI POPEREÇNYKY KLASIV Bp,θ
Ω
PERIODYÇNYX FUNKCIJ … 103
Takym çynom, ocinku znyzu v (28) dovedeno.
ZauvaΩennq/3. Qkwo Ω( )t t j
r
j
d= =∏ 1
1
, 2 ≤ p < q < ∞ , 2 ≤ θ ≤ q i α =
= r1 > 1 / p – 1 / q, to vykonu[t\sq porqdkova rivnist\ [10]
λ θM p qB L( , ),
Ω � ( )log / /M Md r p q− − − +1 1 1 11 .
ZauvaΩennq/4. Iz teoremy 2 i ocinok d B LM p q( , ),θ
Ω
[2] pry 2 ≤ p < q < ∞ ,
2 ≤ θ ≤ q, α > 1 / 2 vyplyva[ spivvidnoßennq
λ θM p qB L( , ),
Ω � 2 1 1 1 1 1 2n p q d
M p qn d B L( / / ) ( )( / / )
,( , )− − −θ
θ
Ω ,
de M � 2 1n dn − .
Navedemo we ocinky linijnyx popereçnykiv, qki [ naslidkamy vidomyx ocinok
inßyx aproksymatyvnyx xarakterystyk.
Teorema/3. Nexaj Ω ( t ) = ω ( t1 … td ) , de ω ( τ ) zadovol\nq[ umovy ( S ) z
deqkym α > 0 ta ( Sl ) . Todi dlq bud\-qkyx natural\nyx M t a n takyx,
wo M � 2 1n dn − , vykonu[t\sq:
a) qkwo 1 < q ≤ 2 ≤ p < ∞ , 2 ≤ θ ≤ ∞ , to
λ θM p qB L( , ),
Ω � ω θ( ) ( )( / / )2 1 1 2 1− − −n dn ;
b) qkwo 2 < q ≤ p < ∞ , 1 ≤ θ ≤ ∞ , to
λ θM p qB L( , ),
Ω � ω θ( ) ( )( / / )2 1 1 2 1− − − +n dn ,
de a+ = max{ , }a 0 .
U teoremi 3 ocinky zverxu v obox vypadkax vyplyvagt\ iz vidpovidnyx ocinok
nablyΩennq klasiv Bp,θ
Ω
sxidçasto-hiperboliçnymy sumamy Fur’[, a znyzu — iz
ocinok kolmohorovs\kyx popereçnykiv [19].
Takym çynom, pry vykonanni umov teoremy 3 ma[ misce spivvidnoßennq
d B LM p q( , ),θ
Ω � λ θM p qB L( , ),
Ω .
Naslidok. Pry θ = ∞ iz teoremy 3 u vypadku 1 < q ≤ p < ∞ , p ≥ 2,
otrymu[mo ocinku
λM p qH L( , )Ω � ω ( ) ( )/2 1 2− −n dn .
1. Bary N. K., Steçkyn S. B. Nayluçßye pryblyΩenyq y dyfferencyal\n¥e svojstva dvux
soprqΩenn¥x funkcyj // Tr. Mosk. mat. ob-va. – 1956. – 5. – S.L483 – 522.
2. Sun Youngsheng, Wang Heping. Representation and approximation multivariate periodic functions
with bounded mixed moduli of smoothness // Tr. Mat. yn-ta RAN. – 1997. – 219. – S.L356 – 377.
3. Lyzorkyn P. Y., Nykol\skyj S. M. Prostranstva funkcyj smeßannoj hladkosty s dekompo-
zycyonnoj toçky zrenyq // Tr. Mat. yn-ta AN SSSR. – 1989. – 187. – S.L143 – 161.
4. Pustovojtov N. N. Predstavlenye y pryblyΩenye peryodyçeskyx funkcyj mnohyx pere-
menn¥x s zadann¥m smeßann¥m modulem neprer¥vnosty // Anal. Math. – 1994. – 20. –
P. 35 – 48.
5. Tyxomyrov V. M. Popereçnyky mnoΩestv v funkcyonal\nom prostranstve y teoryq nay-
luçßyx pryblyΩenyj // Uspexy mat. Ωurn. – 1960. – 15, # 3. – S.L81 – 120.
6. Hluskyn E. D. Norm¥ sluçajn¥x matryc y popereçnyky koneçnomern¥x mnoΩestv // Mat.
sb. – 1983. – 120, # 2. – S.L180 – 189.
7. Kaßyn B. S. O nekotor¥x svojstvax matryc ohranyçenn¥x operatorov yz prostranstva ln
2
v lm
2 // Yzv. ArmSSR. Matematyka. – 1980. – 15, #L5. – S.L379 – 394.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 1
104 O. V. FEDUNYK
8. Haleev ∏. M. Lynejn¥e popereçnyky klassov Hel\dera – Nykol\skoho peryodyçeskyx
funkcyj mnohyx peremenn¥x // Mat. zametky. – 1996. – 59, #L2. – S.L189 – 199.
9. Romangk A. S. Lynejn¥e popereçnyky klassov Besova peryodyçeskyx funkcyj mnohyx pe-
remenn¥x. I // Ukr. mat. Ωurn. – 2001. – 53, # 5. – S.L647 – 661.
10. Romangk A. S. Lynejn¥e popereçnyky klassov Besova peryodyçeskyx funkcyj mnohyx pe-
remenn¥x. II // Tam Ωe. – # 6. – S.L820 – 829.
11. Kornejçuk N. P. Toçn¥e konstant¥ v teoryy pryblyΩenyq. – M.: Nauka, 1987. – 424Ls.
12. Tyxomyrov V. M. Nekotor¥e vopros¥ teoryy pryblyΩenyj. – M.: Yzd-vo Mosk. un-ta, 1976.
– 307Ls.
13. Tyxomyrov V. M. Teoryq pryblyΩenyj // Ytohy nauky y texnyky. Sovrem. probl. matema-
tyky. Fundam. napravlenyq / VYNYTY. – 1987. – 14. – S.L103 – 260.
14. Haleev ∏. M. Popereçnyky po Kolmohorovu klassov peryodyçeskyx funkcyj mnohyx
peremenn¥x W̃p
r
y H̃p
r
v prostranstve L̃p // Yzv. AN SSSR. Ser. mat. – 1985. – 49, #L5. –
S.L916 – 934.
15. Zyhmund A. Tryhonometryçeskye rqd¥: V 2 t. – M.: Myr, 1965. – T. 1, 2.
16. Nykol\skyj S. M. PryblyΩenye funkcyj mnohyx peremenn¥x y teorem¥ vloΩenyq. – M.:
Nauka, 1969. – 480Ls.
17. Temlqkov V. N. PryblyΩenye funkcyj s ohranyçennoj smeßannoj proyzvodnoj // Tr. Mat.
yn-ta AN SSSR. – 1986. – 178. – 112Ls.
18. Xardy H., Lyttl\vud D., Polya H. Neravenstva. – M.: Yzd-vo ynostr. lyt., 1948. – 456Ls.
19. Stasgk S. A. Najkrawi nablyΩennq, kolmohorovs\ki ta tryhonometryçni popereçnyky
klasiv Bp,θ
Ω
periodyçnyx funkcij bahat\ox zminnyx // Ukr. mat. Ωurn. – 2004. – 56, # 11. –
S.L1557 – 1568.
OderΩano 24.12.2004
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 1
|