Усереднення початкової і багатоточкової задач для коливних систем із повільно змінними частотами і відхиленим аргументом

New theorems on substantiation of the method of averaging over all fast variables on a segment and a semiaxis are proved for multifrequency systems with deviated argument in slow and fast variables. An algorithm for the solution of a multipoint problem with parameters is investigated and an estima...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Український математичний журнал
Datum:	2007
Hauptverfasser:	Самойленко, А.М., Петришин, Р.І., Данилюк, І.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainisch
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2007
Schlagworte:	Статті
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164085
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Усереднення початкової і багатоточкової задач для коливних систем із повільно змінними частотами і відхиленим аргументом / А.М. Самойленко, Р.І. Петришин, І.М. Данилюк // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 3. — С. 412–430. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859710750672551936
author	Самойленко, А.М. Петришин, Р.І. Данилюк, І.М.
author_facet	Самойленко, А.М. Петришин, Р.І. Данилюк, І.М.
citation_txt	Усереднення початкової і багатоточкової задач для коливних систем із повільно змінними частотами і відхиленим аргументом / А.М. Самойленко, Р.І. Петришин, І.М. Данилюк // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 3. — С. 412–430. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Український математичний журнал
description	New theorems on substantiation of the method of averaging over all fast variables on a segment and a semiaxis are proved for multifrequency systems with deviated argument in slow and fast variables. An algorithm for the solution of a multipoint problem with parameters is investigated and an estimate for the difference of solutions of the original and averaged problems is obtained. Доказаны новые теоремы обоснования метода усреднения по всем быстрым переменным на отрезке и полуоси для многочастотных систем с отклоненным аргументом в медленных и быстрых переменных. Исследован алгоритм решения многоточечной задачи с параметрами и установлена оценка разности решений исходной и усредненной задач.
first_indexed	2025-12-01T05:22:20Z
format	Article
fulltext	UDK 517.929 A. M. Samojlenko (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v), R. I. Petryßyn, I. M. Danylgk (Çerniv. nac. un-t) USEREDNENNQ POÇATKOVO} I BAHATOTOÇKOVO} ZADAÇ DLQ KOLYVNYX SYSTEM IZ POVIL\|NO ZMINNYMY ÇASTOTAMY I VIDXYLENYM ARHUMENTOM New theorems on substantiation of the method of averaging over all fast variables on a segment and a semiaxis are proved for multifrequency systems with deviated argument in slow and fast variables. An algorithm for the solution of a multipoint problem with parameters is investigated and an estimate for the difference of solutions of the original and averaged problems is obtained. Dokazan¥ nov¥e teorem¥ obosnovanyq metoda usrednenyq po vsem b¥str¥m peremenn¥m na otrezke y poluosy dlq mnohoçastotn¥x system s otklonenn¥m arhumentom v medlenn¥x y b¥str¥x peremenn¥x. Yssledovan alhorytm reßenyq mnohotoçeçnoj zadaçy s parametramy y ustanovlena ocenka raznosty reßenyj ysxodnoj y usrednennoj zadaç. Metod userednennq vyqvyvsq plidnym pry doslidΩenni dyferencial\nyx riv- nqn\ u riznyx funkcional\nyx prostorax. Dlq bahatotoçkovyx system zvyçaj- nyx dyferencial\nyx rivnqn\, qkym vlastyve qvywe rezonansu, i takyx Ωe sys- tem z impul\snog di[g cej metod i joho zastosuvannq do rozv’qzannq krajovyx zadaç dosyt\ povno ob©runtovano v monohrafi] [1]. U vypadku bahatoçastotnyx system iz zapiznennqm rizni sxemy userednennq vyvçalys\ u pracqx [2 – 5], a use- rednennq krajovyx zadaç dlq rivnqn\ z peretvorenym arhumentom — u [6, 7]. Analohiçni pytannq doslidΩuvalys\ takoΩ u robotax [8, 9]. U danij statti oderΩano novi ocinky poxybky metodu userednennq za vsima ßvydkymy zminnymy na vidrizku ta pivosi v kolyvnyx systemax z povil\no zminnymy çastotamy i vidxy- lenym arhumentom ta doslidΩeno ]x vykorystannq dlq pobudovy rozv’qzku odni- [] bahatotoçkovo] zadaçi z parametramy. Rozhlqnemo systemu n + m dyferencial\nyx rivnqn\ iz vidxylenym arhumen- tom vyhlqdu dx dτ = a ( x, xλ , ϕ, ϕλ , τ ) , d d ϕ τ = ω τ ε ϕ ϕ τλ λ ( ) ( , , , , )+ b x x , (1) de τ ∈ [ 0, L ] , ε ≤ ε0 << 1 — malyj dodatnyj parametr, x = x ( τ, ε ) ∈ D ⊂ R n, ϕ = ϕ ( τ, ε ) ∈ R m, xλ = x ( λ ( τ ) , ε ) , ϕλ = ϕ ( λ ( τ ) , ε ) , λ = λ ( τ ) — neperervno dyferencijovna na [ 0, L ] funkciq, qka zadovol\nq[ umovy λ ( τ ) < τ, λ ( 0 ) = – ∆ < 0, 0 < σ1 1− < d d λ τ τ ( ) < σ1 = const, (2) λ ( τ0 ) = 0, τ0 ∈ ( 0, L ) , D — vidkryta obmeΩena oblast\, dijsni funkci] a i b zadovol\nqgt\ umovu Lipßycq po x, xλ , ϕ, ϕλ v oblasti G = D 2 × R 2m × [ 0, L ] , obmeΩeni stalog σ1 i naleΩat\ pevnym klasam majΩe periodyçnyx po ϕ, ϕλ funkcij. Zadamo dlq (1) poçatkovu umovu x ( τ, ε ) = f ( τ, ε ) , ϕ ( τ, ε ) = g t dt( , ) ( )τ ε ε τ + ∫1 0 Ω , τ ∈ [ – ∆, 0 ] , (3) v qkij funkci] f i g [ neperervno dyferencijovnymy po τ i d f d dg d ( , ) ( , )τ ε τ τ ε τ + ≤ σ1 , τ ∈ [ – ∆, 0 ] , ε ∈ ( 0, ε0 ] . (4) © A. M. SAMOJLENKO, R. I. PETRYÍYN, I. M. DANYLGK, 2007 412 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3 USEREDNENNQ POÇATKOVO} I BAHATOTOÇKOVO} ZADAÇ DLQ KOLYVNYX … 413 Tut i dali pid normog vektora rozumi[mo evklidovu normu, a norma matryci uz- hodΩena z evklidovog normog vektora. Nexaj ω ( τ ) = ( )( ), , ( )ω τ ω τ1 … m ∈ C L p [ , ]0 1− , (5) Ω ( τ ) = ( )( ), , ( )ω τ ω τ1 … m ∈ C p [ , ]− − ∆ 0 1 , λ ( τ ) ∈ C L p [ , ]0 pry deqkomu p ≥ 2 m i poznaçymo çerez A( )τ , A( )τ i B( )τ ( p × m ) -vymirni matryci A( )τ = d d l l l p m− − =     1 1 1τ ω τν ν ( ) , , , τ ∈ [ 0, L ] , A( )τ = d d d d l l l p m− − =         1 1 1τ ω λ τ λ τ τν ν ( ( )) ( ) , , , τ ∈ [ τ0, L ] , B( )τ = d d d d l l l p m− − =         1 1 1τ λ τ λ τ τν ν Ω ( ( )) ( ) , , , τ ∈ [ 0, τ0 ] , a çerez A ( τ ) i B ( τ ) matryci vymiru p × 2 m : A ( τ ) = ( )( ) ( )A Bτ τ , τ ∈ [ 0, τ0 ] , B ( τ ) = ( )( ) ( )A Aτ τ , τ ∈ [ τ0, L ] . Prypustymo, wo det ( ) ( )( )A AT τ τ > 0, τ ∈ [ τ0, L ] , (6) det ( ) ( )( )B BT τ τ > 0, τ ∈ [ 0, τ0 ] . Rozhlqnemo dali oscylqcijnyj intehral [1] I tk ( ), , ,τ τ ε = F t i k l dl dt t t ( ) exp ( , ˜ ( )) ε ω τ τ ∫∫         , v qkomu τ ∈ [ 0, L ] , τ ∈ [ 0, L ] , t ∈ [ 0, L ] , ε ∈ ( 0, ε0 ] , k — nenul\ovyj 2m- vymirnyj vektor, i = −1 — uqvna odynycq, ˜ ( )ω τ — 2m -vymirnyj vektor z koordynatamy ω τ1( ) , … , ω τm( ), Ω1( ( )) ( )λ τ λ τ τ d d , … , Ωm d d ( ( )) ( )λ τ λ τ τ pry τ ∈ [ 0, τ0 ] i ω τ1( ) , … , ω τm( ), ω λ τ λ τ τ1( ( )) ( )d d , … , ω λ τ λ τ τm d d ( ( )) ( ) pry τ ∈ ( τ0, L ] , ( , ˜ )k ω — skalqrnyj dobutok v R m2 , F — zadana na [ 0, L ] vek- tor-funkciq. Lema)1. Qkwo vykonugt\sq nerivnosti (6) i F ( τ ) ma[ na [ 0, L ] kuskovo- neperervnu poxidnu, to isnugt\ taki dodatni stali ε1 i σ0 , ne zaleΩni vid τ, τ , t , k, ε i F, wo I tk ( ), , ,τ τ ε ≤ σ ε τ τ τ0 1 0 0 1 1 1/ [ , ] [ , ] sup ( ) sup ( )p L Lk F k dF d +    +       (7) dlq vsix τ ∈ [ 0, L ] , τ ∈ [ 0, L ] , t ∈ [ 0, L ] , k ≠ 0, ε ∈ ( 0, ε1 ] . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3 414 A. M. SAMOJLENKO, R. I. PETRYÍYN, I. M. DANYLGK Qkwo Ω F ( τ ) [ kuskovo-hel\derovog na [ 0, L ] z pokaznykom α ∈ ( 0, 1 ] i stalog Hel\dera σ̃0, to I tk ( ), , ,τ τ ε ≤ σ ε τ σα 0 1 1 1 0 0 1 1/ ( ) [ , ] sup ( ) ˜p p Lk k F+ +    +       . (8) Dovedennq. Na pidstavi nerivnostej (6) ocinku (7) oderΩano u monohrafi] [1, c. 18]. Dovedemo ocinku (8). Zhidno z oznaçennqm kuskovo-hel\derovo] funk- ci] [10, c. 340] vidrizok [ 0, L ] moΩna rozbyty na skinçenne çyslo vidrizkiv toç- kamy τ0 = 0 < τ1 < … < τn0 = L i na koΩnomu z vidrizkiv [ ],τ τr r+1 funkciq F zadovol\nq[ nerivnist\ F F( ) ( )′ − ′′τ τ ≤ σ̃ τ τ α 0 ′ − ′′ , ′ ′′ ∈ +τ τ τ τ, ,[ ]r r 1 , r = 0 10, n − . Pry c\omu pid znaçennqmy funkci] na kincqx vidrizka rozumi[mo hranyçni zna- çennq F r( )τ + 0 i F r( )τ + −1 0 . Nexaj [ ],τ τr r+1 ⊂ [ , ]τ τ . Vyberemo dosyt\ male dodatne çyslo h, qke oznaçymo nyΩçe, i podamo [ ],τ τr r+1 u vyhlqdi [ ],τ τr r+1 = [ ]˜ , ˜α αν ν ν + = 1 0 q ∪ , de α̃0 = τr , ˜ ˜α αν ν+ −1 = h pry ν < q, α̃q+1 = τr+1, q — cila çastyna çysla ( )τ τr r h+ −−1 1, q ≤ Lh−1. Todi F t l t t dtk r r ( ) ( , , )ε τ τ + ∫ 1 = ν ν α α α ε ν ν = ∑ ∫ +   0 1q kF l t t dt( ˜ ) ( , , ) ˜ ˜ + + ( )( ) ( ˜ ) ( , , ) ˜ ˜ F t F l t t dtk−     + ∫ α εν α α ν ν 1 , de l t tk ( , , )ε = exp ( , ˜ ( )) i k l dl t t ε ω∫         . (9) Vraxovugçy ocinku oscylqcijnoho intehrala [1, c. 81] l t t dtk ( , , )ε τ τ ∫ ≤ σ ε0 1 1 1/ p pk k +    , (10) qka pokrawu[ ocinku (7) pry F ( t ) ≡ 1 dlq vypadku k → ∞ , oderΩu[mo ne- rivnist\ F t l t t dtk r r ( ) ( , , )ε τ τ + ∫ 1 ≤ 2 1 1 1 0 1 1L h k pσ α ε+ +          −/ + + 1 0 0k F t hp L   +   sup ( ) ˜ [ , ] σ α . Najkrawyj porqdok po ε ostann\o] ocinky bude v tomu vypadku, koly h α = = ε1 1/ p h− abo h = ε α1 1/ ( )p + . Zvidsy vyplyva[ nerivnist\ (8) zi stalog σ0 1 = = 2 10 0 1Ln ( )( )σ α+ + − . Lemu dovedeno. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3 USEREDNENNQ POÇATKOVO} I BAHATOTOÇKOVO} ZADAÇ DLQ KOLYVNYX … 415 Prypustymo, wo ( n + m ) -vymirna vektor-funkciq c y( , , )θ τ = ( ( , , )a y θ τ , b y( , , ))θ τ , de y = ( , )x xλ , θ = ( , )θ θλ , naleΩyt\ klasu majΩe periodyçnyx po θ funkcij, qki rozkladagt\sq v rivnomirno po θ zbiΩnyj rqd Fur’[ c y( , , )θ τ = c y es i k s s( , ) ( , )τ θ = ∞ ∑ 0 , (11) v qkomu k0 = 0, ks ≠ 0 pry s ≥ 1, ( , )ks θ — skalqrnyj dobutok v R m2 . Rozhlqnemo userednenu za vsima ßvydkymy zminnymy ϕ, ϕλ systemu dx dτ = a x x0( , , )λ τ , d d ϕ τ = ω τ ε τλ ( ) ( , , )+ b x x0 , τ ∈ [ 0, L ] , (12) de ( )( , ), ( , )a y b y0 0τ τ = c y0( , )τ = lim ( , , ) T m T T mT c y d d →∞ − ∫ ∫… …2 0 0 1 2θ τ θ θ , i vidpovidnu ]j poçatkovu umovu x ( τ, ε ) = f ( τ, ε ) , ϕ ( τ, ε ) = g t dt( , ) ( )τ ε ε τ + ∫1 0 Ω , τ ∈ [ – ∆, 0 ] . (13) U nastupnij teoremi x ( τ, ε ), ϕ ( τ, ε ) i x ( τ, ε ), ϕ ( τ, ε ) poznaçagt\ roz- v’qzky zadaç (1), (3) i (12), (13). Teorema)1. Nexaj: 1) kryva x = x ( τ, ε ) leΩyt\ u D razom iz svo]m ρ- okolom pry τ ∈ [ – ∆, L ] , ε ∈ ( 0, ε0 ] ; 2) vykonugt\sq umovy (2), (5) i nerivnosti (4), (6); 3) funkciq c y( , , )θ τ ma[ obmeΩeni v G stalog σ1 çastynni poxidni perßoho porqdku po y, θ, τ, rozklada[t\sq v rqd (11), pryçomu s s G s s G s k c y k c y y= ∞ ∑ +        + ∂ ∂  1 1 1 1 1 1 sup ( , ) sup ( , )τ τ + + sup ( , ) G sc y 1 ∂ ∂      τ τ ≤ σ1 , G1 = D 2 × [ 0, L ] . Todi pry dosyt\ malomu ε0 > 0 dlq vsix τ ∈ [ 0, L ] , ε ∈ ( 0, ε0 ] spravdΩu- [t\sq ocinka x x( , ) ( , ) ( , ) ( , )τ ε τ ε ϕ τ ε ϕ τ ε− + − ≤ σ ε2 1/ p (14) zi stalog σ2 , ne zaleΩnog vid ε . Dovedennq. Iz vyxidno] ta useredneno] system dlq funkci] v( , )τ ε = = ( )( , ) ( , ), ( , ) ( , )x xτ ε τ ε ϕ τ ε ϕ τ ε− − dista[mo nerivnist\ v( , )τ ε ≤ σ ε λ ε ε θ ε τ τ 1 0 0 ( )( , ) ( ( ), ) ˜( ( , ), ( , ), )v vt t dt c y t t t dt+ +∫ ∫ , (15) v qkij y x x( , ) ( ( , ), ( ( ), ))τ ε τ ε λ τ ε= , θ τ ε ϕ τ ε ϕ λ τ ε( , ) ( ( , ), ( ( ), ))= , ˜( , , )c y θ τ = = c y c y( , , ) ( , )θ τ τ− 0 . Oskil\ky v( ( ), )λ τ ε ≡ 0 pry τ τ≤ 0 i v( ( ), )λ ε τ t dt 0 ∫ ≤ σ ε λ τ 1 v( , ) ( ) t dt − ∫ ∆ = σ ε λ τ 1 0 v( , ) ( ) t dt∫ ≤ σ ε τ 1 0 v( , )t dt∫ , to z (15) oderΩu[mo nerivnist\ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3 416 A. M. SAMOJLENKO, R. I. PETRYÍYN, I. M. DANYLGK v( , )τ ε ≤ σ σ ε τ 1 1 0 1( ) ( , )+ ∫ v t dt + s s i k t kc y t t e l t dts s = ∞ ∑ ∫ 1 0 0 ( ( , ), ) ( , , )( , ( , ))ε τ εψ ε τ , (16) de ψ τ ε ψ τ ε ψ τ ε( , ) ( ˜ ( , ), ˜ ( , ))= — 2m-vymirnyj vektor, ˜ ( , )ψ τ ε = g t dt b x t x t t dt( , ) ( ) ( ( , ), ( ( ), ), )0 1 0 00 0 ε ε ω ε λ ε ττ + + ∫∫ , τ ≥ 0, ˜ ( , )ψ τ ε = g( ( ), )λ τ ε , τ ∈ [ 0, τ0 ] , ˜ ( , )ψ τ ε = g b x t x t t dt( , ) ( ( , ), ( ( ), ), ) ( ) 0 0 0 ε ε λ ε λ τ + ∫ , τ > τ0 . Na pidstavi prypuwennq 3 teoremy 1 i ocinky (7) dlq F ( t ) = c y t t es i k ts( ( , ), ) ( , ( , ))ε ψ ε iz (16) otrymu[mo v( , )τ ε ≤ σ σ ε τ 1 1 0 1( ) ( , )+ ∫ v t dt + σ σ σ ε0 1 2 1 12( ) /+ p , ( τ, ε ) ∈ [ 0, L ] × ( 0, ε0 ] . Zvidsy z uraxuvannqm nerivnosti Hronuolla – Bellmana dista[mo ocinku (14) zi stalog σ2 = e Lσ σ σ σ σ1 11 0 1 2 12( ) ( )+ + . Malyzna çysla ε0 vyznaça[t\sq lemog 1 i nerivnistg σ ε2 0 p ≤ ρ / 2 , qka razom z ocinkog (14) i umovog λ ( τ ) < τ haran- tu[, wo rozv’qzok x ( τ, ε ) , ϕ ( τ, ε ) zadaçi (1), (3) vyznaçeno dlq vsix τ ∈ [ – ∆, L ] , εT∈ ( 0, ε0 ] . Teoremu dovedeno. Vidmovymos\ teper vid prypuwennq 3 teoremy 1 i vvaΩatymemo, wo funkciq c ( y, θ, τ ) zadovol\nq[ umovu Lipßycq c y c y( , , ) ( ˜, ˜ , ˜ )θ τ θ τ− ≤ σ θ θ τ τ1 y y− + − + −( )˜ ˜ ˜ , (17) ( , , )y θ τ ∈ G, ( ˜, ˜ , ˜ )y θ τ ∈ G, a koefici[nty c ys( , )τ rivnomirno zbiΩnoho po θ rqdu (11) spravdΩugt\ neriv- nist\ s s s s n c y k k= ∞ ∑ +    1 1 1 ( , )τ ≤ σ1 , ( y, τ ) ∈ G1 . (18) Qk i pry dovedenni lemyT1, rozib’[mo vidrizok [ 0, τ ] na skladovi za formu- log [ 0, τ ] = [ ]˜ , ˜β βν ν ν + = 1 0 q ∪ , de β̃0 0= , ˜ ˜β βν ν+ − =1 h pry ν < q , β̃ τq+ =1 , q — cila çastyna çysla τh−1 . Todi ˜( ( , ), ( , ), )c y t t t dtε θ ε τ 0 ∫ ≤ ν β β τν ν ε ψ ε ε ω = ∑ ∫ ∫ + +           0 1 0 1q t c y t t l dl t ˜ ˜ ˜ ( , ), ( , ) ˜ ( ) , – – ˜ ˜ , , ˜ , ˜ ( ) , ˜( ) ( )c y l dl dt t β ε ψ β ε ε ω βν ν τ ν+      ∫1 0 + ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3 USEREDNENNQ POÇATKOVO} I BAHATOTOÇKOVO} ZADAÇ DLQ KOLYVNYX … 417 + s s kc y l t dt s = ∞ ∑ ∫ +     1 0 1 ( ( ))˜ , ( , , ) ˜ ˜ β ε τ εν β β ν ν . Vraxovugçy nerivnosti (10), (17), (18) i y t y( , ) ˜ ,( )ε β εν− ≤ σ σ1 11( )+ h , ψ ε ψ β εν( , ) ˜ ,( )t − ≤ σ σ1 11( )+ h , t ∈ [ ]˜ , ˜β βν ν+1 , oderΩu[mo ˜( ( , ), ( , ), )c y t t t dtε θ ε τ 0 ∫ ≤ σ ε3 1 1( )/h hp+ − , de σ3 = Lσ σ σ σ1 0 1 12 1 1( ( ) )+ + + . Teper z (15) otrymu[mo nerivnist\ v( , )τ ε ≤ σ σ ε σ ε τ 1 1 0 3 1 11( ) ( , ) ( )/+ + +∫ −v t dt h hp , qka pryvodyt\ do ocinky v( , )τ ε ≤ σ εσ σ 3 1 1 11 1e h hL p( ) /( )+ −+ , τ ∈ [ 0, L ] , ε ∈ ( 0, ε0 ] . }] najkrawyj porqdok po ε bude pry h = ε1 2/ p . OtΩe, dovedeno taku teoremu. Teorema)2. Qkwo vykonugt\sq umovy 1, 2 teoremy T1 i nerivnosti (17), (18), to isnugt\ taki stali σ4 > 0 i ε2 > 0, wo pry ε0 ≤ ε2 x x( , ) ( , ) ( , ) ( , )τ ε τ ε ϕ τ ε ϕ τ ε− + − ≤ σ ε4 1 2/ p dlq vsix τ ∈ [ 0, L ] i ε ∈ ( 0, ε0 ] . Nexaj systemu (1) zadano pry τ ∈ [ 0, ∞ ) = R + . Vyvçymo dali metod usered- nennq na pivosi. Rozhlqnemo userednenu systemu dlq povil\nyx zminnyx dx dτ = a x x0( , , )λ τ , τ ∈ R + , (19) i prypustymo, wo dlq deqko] neperervno dyferencijovno] na [ – ∆, 0 ] funkci] f ( τ ) rozv’qzok x = x0( )τ systemy (19), qkyj spravdΩu[ umovu x0( )τ = f ( τ ) pry τ ∈ [ – ∆, 0 ] , vyznaçeno dlq vsix τ ∈ [ – ∆, ∞ ) . VvaΩatymemo, wo normal\na fundamental\na matrycq Q ( τ, t ) linijno] sys- temy dz dτ = H z1( )τ , H1( )τ = ∂ ∂ a x x x 0 0 0( )( ), ( ( )),τ λ τ τ , zadovol\nq[ nerivnist\ Q t( , )τ ≤ Ke t− −γ τ( ) , τ ≥ t ≥ 0, (20) z deqkymy stalymy K ≥ 1 i γ > 0, a çyslo σ0 = sup ( ) τ τ ∈ +R H2 , H2( )τ = ∂ ∂ a x x x 0 0 0( )( ), ( ( )),τ λ τ τ λ , nastil\ky male, wo γ – K σ0 > 0. (21) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3 418 A. M. SAMOJLENKO, R. I. PETRYÍYN, I. M. DANYLGK Prypustymo takoΩ, wo funkciq a ( y, θ, τ ) rozklada[t\sq v G̃ = D 2 × × R Rm2 × + u rqd Fur’[ a ( y, θ, τ ) = s s i ka y e s = ∞ ∑ 0 ( , ) ( , )τ θ , koefici[nty qkoho spravdΩugt\ nerivnist\ s s G s s G s k a y k a y y= ∞ ∑ +        + ∂ ∂  1 1 1 1 1 1 sup ( , ) sup ( , ) ˜ ˜ τ τ + + sup ( , ) G̃ sa y 1 ∂ ∂      τ τ ≤ σ1 , G̃1 = D R2 × + . (22) Teorema)3. Nexaj: 1) funkci] d d l lτ τνΩ ( ) [ neperervnymy na [ – ∆, 0 ] , a funkci] d d l lτ ω τν( ( )) i d d d d l lτ ω λ τ λ τ τν( ( )) ( )    — rivnomirno neperervnymy na R + pry l = 0 1, p − , ν = = 1, m i ( )( ) ( ) ( )A A AT Tτ τ τ−1 ≤ σ̃1 = const, τ ∈ [ τ0, ∞ ) , det ( ) ( )( )B BT τ τ > 0, τ ∈ [ 0, τ0 ] ; 2) isnu[ rozv’qzok x x= 0( )τ useredneno] systemy (19), x f0( ) ( )τ τ= pry τ ∈ [ – ∆, 0 ] , qkyj vyznaçenyj dlq vsix τ ∈ [ – ∆, ∞ ) i leΩyt\ u D razom iz svo]m ρ1 -okolom; 3) funkciq ∂ ∂ a y y 0( , )τ rivnomirno neperervna po ( , )y Dτ ∈ × + 2 R , a funk- ciq c ( y, θ , τ ) ta ]] çastynni poxidni perßoho porqdku neperervni v G̃ i obme- Ωeni stalog σ1 ; 4) vykonugt\sq umovy (2) pry τ ∈ R + i nerivnosti (20) – (22). Todi isnugt\ taki dodatni stali ε2 , σ5 i ρ ρ2 1< , wo pry ε ε0 2≤ : a) dlq dovil\no] neperervno dyferencijovno] po τ ∈ [ – ∆, 0 ] funkci] g ( τ, ε ) , qka zadovol\nq[ nerivnist\ dg d ( , )τ ε τ ≤ σ1 , τ ∈ [ – ∆, 0 ] , ε ∈ ( 0, ε0 ] , rozv’qzok x ( τ, ε ) , ϕ ( τ, ε ) systemy (1) z poçatkovog umovog x ( τ, ε ) = f ( τ ) , ϕ ( τ, ε ) = g t dt( , ) ( )τ ε ε τ + ∫1 0 Ω , τ ∈ [ – ∆, 0 ] , (23) [ vyznaçenym dlq vsix τ ∈ [ – ∆, ∞ ) , ε ∈ ( 0, ε0 ] i vykonu[t\sq nerivnist\ x x( , ) ( )τ ε τ− 0 ≤ σ ε5 1/ p, τ ∈ [ 0, ∞ ) , ε ∈ ( 0, ε0 ] , (24) b) dlq dovil\nyx neperervno dyferencijovnyx po τ ∈ [ – ∆, 0 ] funkcij h ( τ, ε ) i g ( τ, ε ) , qki zadovol\nqgt\ nerivnosti ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3 USEREDNENNQ POÇATKOVO} I BAHATOTOÇKOVO} ZADAÇ DLQ KOLYVNYX … 419 h f( , ) ( )τ ε τ− ≤ ρ2 , ∂ ∂ + ∂ ∂ h g( , ) ( , )τ ε τ τ ε τ ≤ σ1 , τ ∈ [ – ∆, 0 ] , ε ∈ ( 0, ε0 ] , povil\na komponenta x ( τ, ε ) rozv’qzku x ( τ, ε ) , ϕ ( τ, ε ) systemy (1) z poçat- kovog umovog x ( τ, ε ) = h ( τ, ε ) , ϕ ( τ, ε ) = g t dt( , ) ( )τ ε ε τ + ∫1 0 Ω , τ ∈ [ – ∆, 0 ] , (25) rivnomirno obmeΩena pry τ ∈ [ – ∆, ∞ ) , ε ∈ ( 0, ε0 ] . Dovedennq. Nexaj [ 0, T1 ) , T1 = T1 ( ε ) , — maksymal\nyj pivinterval, dlq qkoho komponenta x ( τ, ε ) rozv’qzku x ( τ, ε ) , ϕ ( τ, ε ) zadaçi (1), (25) zadovol\nq[ nerivnist\ x x( , ) ( )τ ε τ− 0 < ρ3 , τ ∈ [ 0, T1 ) , z dodatnog stalog ρ3 , qku bude oznaçeno nyΩçe. Todi dlq funkci] z ( τ, ε ) = = x ( τ, ε ) – x0 ( τ ) ma[mo zobraΩennq z ( τ, ε ) = h ( τ, ε ) – f ( τ ) , τ ∈ [ – ∆, 0 ] , (26) z ( τ, ε ) = Q h f Q t H t z t( , )[ ( , ) ( )] ( , ) ( ) ( ( ), )τ ε τ λ ε τ 0 0 0 0 2− + [∫ + + F z t z t t dt I1( )( , ), ( ( ), ), ( , )ε λ ε τ ε] + , τ > 0 , de I ( τ, ε ) = 0 τ τ ε θ ε∫ Q t a y t t t dt( , ) ˜ ( , ), ( , ),( ) , y ( t, ε ) = ( x ( t, ε ) , x ( λ ( t ) , ε )) , θ ( t, ε ) = ( ϕ ( t, ε ) , ϕ ( λ ( t ) , ε )) , ˜ ( , , )a y tθ = a ( y, θ, t ) – a0 ( y, t ) , F1 ( z, zλ , t ) = a0 ( z + x0 ( t ) , zλ + x0 ( λ ( t )) , t ) – – a0 ( x0 ( t ), x0 ( λ ( t )) , t ) – H1 ( t) z – H2 ( t) zλ . Zhidno z navedenymy vywe prypuwennqmy i nerivnistg sup ( ( ), ) [ , )τ λ τ ε 0 1T z ≤ sup ( , ) [ , )0 1T z τ ε , otrymu[mo 0 2 τ τ λ ε∫ Q t H t z t dt( , ) ( ) ( ( ), ) ≤ K e h t f t dttσ λ ε λ τ γ τ0 0 0 ∫ − − −( ) ( ( ), ) ( ( )) ≤ σ σ ρ0 6 2 pry τ ∈ [ 0, τ0 ] i 0 2 τ τ λ ε∫ Q t H t z t dt( , ) ( ) ( ( ), ) ≤ σ σ ρ τ ε τ τ γ τ0 6 2 0 0 1 +      ∫ − −K e z dtt T ( ) [ , ) sup ( , ) ≤ ≤ σ σ ρ σ γ τ ε0 6 2 0 0 1 + K z T sup ( , ) [ , ) pry τ > τ0 . Tut σ6 = K eγ γτ− −1 0 1( ). Oskil\ky ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3 420 A. M. SAMOJLENKO, R. I. PETRYÍYN, I. M. DANYLGK F z t1(˜, ) = 0 1 0 0 0 0 ∫ ∂ + ∂ − ∂ ∂     a y lz t y a y t y dl z ( ) ( )˜ ˜, ˜ , ˜ , de z̃ = ( z ( t, ε ) , z ( λ ( t ) , ε )) , ỹ0 = ( x0 ( t ) , x0 ( λ ( t ))) , a funkciq ∂ ∂ a y t y 0( , ) rivnomirno neperervna po ( , )y t D∈ × + 2 R , tobto dlq dovil\noho çysla µ̃1 > 0 isnu[ take dodatne µ̃2 = ˜ ˜( )µ µ2 1 , ne zaleΩne vid ỹ0 i t, wo ∂ + ∂ − ∂ ∂ a y lz t y a y t y 0 0 0 0( ) ( )˜ ˜, ˜ , < µ̃1, t ∈ R + , pry z̃ ≤ z t z t( , ) ( ( ), )ε λ ε+ < µ̃2 , to F z t1(˜, ) ≤ ˜ ( , ) ( ( ), )( )µ ε λ ε1 z t z t+ . Çyslo µ̃1 oznaçymo nyΩçe. U zv’qzku z cym 0 1 τ τ ε λ ε∫ Q t F z t z t t dt( , ) ( , ), ( ( ), ),( ) ≤ σ ρ µ σ µ τ ε6 2 1 7 1 0 1 ˜ ˜ sup ( , ) [ , ) + T z , de σ7 = 2 1Kγ − . Todi z (26) znaxodymo sup ( , ) [ , )0 1T z τ ε ≤ σ σ γ σ µ ρ8 0 1 7 1 21− −−K ˜ + 1 1 0 1 7 1 0 1 − −−K I Tσ γ σ µ τ ε ˜ sup ( , ) [ , ) . (27) Tut σ8 = K + +σ σ µ σ0 6 1 6˜ . Zhidno z prypuwennqm (21) çyslo σ̃0 = 1 0 1− −Kσ γ [ dodatnym, tomu poklademo µ̃1 = σ̃ σ 0 72 . Podamo dali I ( τ, ε ) u vyhlqdi I ( τ, ε ) = s q s q sr t dt r t dt = ∞ = − + ∑ ∑ ∫ ∫+       1 0 1 1 0 0 0ν ντ ν τ τ τ τ ε τ ε ( ) ( , , ) ( , , ) , (28) de r ts( , , )τ ε = Q t a y t t e l ts i k t k s s ( , ) ( ( , ), ) ( , , )( , ( , ))τ ε τ εεΨ 0 , y ( t, ε ) = ( x ( t, ε ) , x ( λ ( t ) , ε )) , θ ( t, ε ) = ( ϕ ( t, ε ) , ϕ ( λ ( t ) , ε )) , q — cila çastyna çysla ττ0 1− , funkciq l tks ( , , )τ ε0 oznaçena formulog (9), a 2m-vymirnyj vektor Ψ ( t, ε ) = ( )˜ ( , ), ˜ ( , )Ψ Ψt tε ε , ˜ ( , )Ψ t ε = g d b y d t ( , ) ( ) ( ( , ), ( , ), )0 1 0 0 0 ε ε ω τ τ τ ε θ τ ε τ τ τ + +∫ ∫ , t ≥ 0 , ˜ ( , )Ψ t ε = g ( λ ( t ) , ε ) , t ∈ [ 0, τ0 ] , ˜ ( , )Ψ t ε = g b y d t ( , ) ( ( , ), ( , ), ) ( ) 0 0 ε τ ε θ τ ε τ τ λ + ∫ , t ≥ τ0 . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3 USEREDNENNQ POÇATKOVO} I BAHATOTOÇKOVO} ZADAÇ DLQ KOLYVNYX … 421 Na pidstavi prypuwennq 1 teoremy 3 ocinka (7) oscylqcijnoho intehrala [ spravedlyvog i v tomu vypadku, koly zamist\ vidrizka [ 0, L ] vzqty dovil\nyj vidrizok [ ξ, ξ + τ0 ] , ξ ∈ R + , dovΩyny τ0 [1, c. 18]. Pry c\omu stala σ0 zale- Ωyt\ vid τ0 , ale ne zaleΩyt\ vid ξ . Tomu, vraxovugçy, wo dQ t dt ( , )τ = – Q t H t( , ) ( )τ 1 , dQ t dt ( , )τ ≤ K e tσ γ τ 1 − −( ), τ ≥ t > 0, d dt tΨ( , )ε ≤ σ σ1 11( )+ , t ∈ R + , ε ∈ ( 0, ε0 ] , ma[mo nerivnist\ ντ ν τ τ ε 0 01( ) ( , , ) + ∫ r t dts ≤ ε σ τγ τ ντ1 9 0 1 1 1/ ( ) ˜ sup ( , )p s G se k a y− − +       + + 1 1 1 k a y y a y s G s G ssup ( , ) sup ( , ) ˜ ˜ ∂ ∂ + ∂ ∂        τ τ τ zi stalog σ9 = K eσ σ σγ τ 0 1 1 20 1( )+ + . Taku Ω nerivnist\ zadovol\nq[ intehral vid funkci] r ts( , , )τ ε po vidrizku [ q τ0, τ ] . OtΩe, vraxovugçy nerivnist\ (22), iz (28) otrymu[mo ocinku I( , )τ ε ≤ σ ε10 1/ p, τ ∈ [ 0, T1 ) , ε ∈ ( 0, ε0 ] , (29) v qkij σ10 = σ σ γ τ γ τ1 9 0 0 1 e e − . Povernemos\ do nerivnosti (27) i poklademo v nij ρ2 = σ̃ ρ σ 0 3 86 , ρ3 = min , ˜ ( ˜ ) 1 2 1 41 2 1ρ µ µ{ }, a dodatne ε0 vyberemo nastil\ky malym, wo 2 10 0 1σ σ ε ˜ / p ≤ 1 3 3ρ . Todi z (27) i (29) oderΩu[mo nerivnist\ sup ( , ) ( ) [ , )0 0 1T x xτ ε τ− ≤ 2 3 3ρ . Qkwo prypustyty, wo pry deqkomu ε ∈ ( 0, ε0 ] çyslo T1 = T1 ( ε ) [ skinçen- nym, to na pidstavi ostann\o] nerivnosti i nerivnosti min ( ) [ , ] ( ) τ τ λ τ ∈ + − 0 11T ≡ ∆1 ( ε ) > 0 rozv’qzok x ( τ, ε ) , ϕ ( τ, ε ) zadaçi (1), (25) metodom krokiv z dovΩynog kroku ∆1 ( ε ) moΩna prodovΩyty na deqkyj promiΩok [ ], ˜0 1 1T + ∆ , de ∆̃1 = ˜ ( )∆1 ε > 0, pryçomu sup ( , ) ( ) [ , ˜ ]0 0 1 1T x x + − ∆ τ ε τ ≤ 3 4 3ρ . A ce supereçyt\ oznaçenng çysla T1 . OtΩe, T1 = ∞ dlq vsix ε ∈ ( 0, ε0 ] i x( , )τ ε < ρ τ3 0+ + sup ( ) R x , τ ∈ [ 0, ∞ ) , ε ∈ ( 0, ε0 ] . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3 422 A. M. SAMOJLENKO, R. I. PETRYÍYN, I. M. DANYLGK Ocinka (24) zi stalog σ5 = 2 10 0 1σ σ( )˜ − vyplyva[ z nerivnostej (27) pry ρ2 = 0 i (29). Teoremu dovedeno. Vykorysta[mo oderΩani vywe rezul\taty ta rozroblenu v [1] metodyku dlq doslidΩennq rozv’qznosti bahatotoçkovo] zadaçi z parametramy vyhlqdu dx dτ = a x x( , , , , , )λ λϕ ϕ ξ τ , d d ϕ τ = ω τ ε ϕ ϕ ξ τλ λ ( ) ( , , , , , )+ b x x , τ ∈ [ 0, L ] , (30) x ( τ, ε ) = f x x r( ( , ), , ( , ), , )τ ε τ ε ξ τ1 … , (31) ϕ ( τ, ε ) = g x x t dt Ar k r k k( ( , ), , ( , ), , , ) ( ) ( , )τ ε τ ε ξ τ ε ε ϕ τ ε τ 1 0 1 1… + +∫ ∑ = Ω , τ ∈ [ – ∆, 0 ] , η ϕ ϕ ξ τ τλ λ( , , , , , )x x d L 0 ∫ = 0, (32) v qkij – ∆ ≤ < < … < ≤τ τ τ1 2 r L , r ≥ 1, ξ = ( ), ,ξ ξ1 … l ∈ D̃ ⊂ R l — nevido- myj vektor parametriv, D̃ — obmeΩena vidkryta oblast\, η — l -vymirna vektor-funkciq, Ak , k = 1, r , — stali ( m × m ) -matryci. Prypustymo, wo ( n + m + l ) -vymirna vektor-funkciq d ( y , θ , ξ , τ ) = ( a ( y , θ , ξ , τ ) , b ( y , θ , ξ , τ ) , η ( y , θ , ξ , τ )) ma[ neperervni obmeΩeni stalog σ1 çastynni poxidni po vsix zminnyx do druhoho porqdku vklgçno na mnoΩyni D 2 × R 2m × × D̃ × [ 0, L ] i rozklada[t\sq v rqd Fur’[ d ( y , θ , ξ , τ ) = d y es i k s s( , , ) ( , )ξ τ θ = ∞ ∑ 0 , de, qk i vywe, k0 = 0 i ks ≠ 0 pry s ≥ 1, koefici[nty ds ( M ) , M = ( y , ξ , τ )T∈ ∈ D 2 × D̃ × [ 0, L ] = B1 , qkoho zadovol\nqgt\ nerivnist\ s s s B s s B sk k d M k d M M≥ ∑ +    + +    ∂ ∂    1 1 1 1 1 1 sup ( ) sup ( ) + + 1 1 1 1 2 2 1 2 2 k d M y d M d M y ys B s B s j n B s j sup ( ) sup ( ) sup ( )∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂      = ∑τ ξ τ + + sup ( ) B s j d M y 1 2∂ ∂ ∂       ξ ≤ σ1 . (33) VvaΩatymemo takoΩ, wo pry koΩnomu ε ∈ ( 0, ε0 ] funkci] f ( µ, ξ , τ ) i g ( µ, ξ , τ , ε ) , de µ = ( µ1, … , µr ) ∈ D r, µk ∈ D , k = 1, r , magt\ neperervni çastynni poxidni po µ, ξ, τ takoΩ do druhoho porqdku vklgçno i f M f M M g M M f M ( ˜ ) ( ˜ ) ˜ ( ˜ , ) ˜ ( ˜ )+ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ε µ τ 2 + (34) + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ 2 2 2f M g M g M( ˜ ) ( ˜ , ) ( ˜ , ) ξ τ ε µ τ ε ξ τ ≤ σ1 , M̃ = ( µ , ξ , τ ) ∈ D r × D̃ × [ – ∆, 0 ] , ε ∈ ( 0, ε0 ] . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3 USEREDNENNQ POÇATKOVO} I BAHATOTOÇKOVO} ZADAÇ DLQ KOLYVNYX … 423 Zapyßemo userednenu po ϕ, ϕλ zadaçu dx dτ = a x x0( ), , ,λ ξ τ , τ ∈ [ 0, L ] , (351 ) x( )τ = f x x r( )( ), , ( ), ,τ τ ξ τ1 … , τ ∈ [ – ∆, 0 ] , (352 ) 0 0 L x x d∫ η ξ τ τλ( ), , , = 0, (353 ) d d ϕ τ = ω τ ε ξ τλ ( ) , , ,( )+ b x x0 , τ ∈ [ 0, L ] , (354 ) ϕ τ ε( , ) = g x x t dtr( )( ), , ( ), , , ( )τ τ ξ τ ε ε τ 1 0 1… + ∫ Ω + k r k kA = ∑ 1 ϕ τ ε( , ), τ ∈ [ – ∆, 0 ] , (355 ) v qkij ( a0 , b0 , η0 ) = d0 . Oçevydno, wo zadaça (351 ) – (355 ) znaçno prostißa, niΩ zadaça (30) – (32), nasampered tomu, wo perßa z nyx rozpada[t\sq na dvi za- daçi. Zadaçu (351 ) – (353 ) moΩna rozv’qzuvaty nezaleΩno vid zadaç (354 ), (355 ), pislq çoho rozv’qzok zadaçi (354 ), (355 ) budu[t\sq alhebra]çnym metodom. Qkwo rozhlqnuty poçatkovu zadaçu dx dτ = a x x0( ), , ,λ ξ τ , τ ∈ [ 0, L ] , x( )τ = f ( , , )µ ξ τ , τ ∈ [ – ∆, 0 ] , i prypustyty, wo ]] rozv’qzok x( )τ ≡ x( , , )τ µ ξ [ vyznaçenym dlq vsix τ ∈ [ – ∆, L ] , ξ ∈D̃, µ ∈Dr 0 ( D0 — deqka vidkryta pidoblast\ oblasti D ) , to para x ( ), ,τ µ ξ , ξ bude rozv’qzkom zadaçi (351 ) – (353 ) pry umovi, wo systema rivnqn\ µ1 = x( , , )τ µ ξ1 , … , µr = x r( , , )τ µ ξ , (36) 0 0 L x x d∫ η τ µ ξ λ τ µ ξ ξ τ τ( )( , , ), ( ( ), , ), , = 0 ma[ rozv’qzok µ = µ = ( ), ,µ µ1 0… ∈r rD , ξ = ξ ∈ D̃ . Nexaj dali ϕ τ ε( , ) ≡ ϕ τ µ ξ ν ε( ), , , , — rozv’qzok poçatkovo] zadaçi d d ϕ τ = ω τ ε τ µ ξ λ τ µ ξ ξ τ( ) ( , , ), ( ( ), , ), ,( )+ b x x0 , τ ∈ [ 0, L ] , ϕ τ µ ξ ν ε( ), , , , = g t dt A k r k k( ), , , ( )µ ξ τ ε ε ν τ + +∫ ∑ = 1 0 1 Ω , τ ∈ [ – ∆, 0 ] , de ν = ( ν1, … , νr ) ∈ R mr . Dlq toho wob funkciq ϕ τ µ ξ ν ε( ), , , , bula rozv’qz- kom krajovo] zadaçi (354 ), (355 ), dosyt\, wob systema rivnqn\ ν1 = ϕ τ µ ξ ν ε( ), , , ,1 , … , νr = ϕ τ µ ξ ν ε( ), , , ,r , abo, wo te same, linijna alhebra]çna systema ( )A E A Ar r1 1 2 2− + + … +ν ν ν = – α1 , A A E Ar r1 1 2 2ν ν ν+ − + … +( ) = – α2 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (37) A A A Er r1 1 2 2ν ν ν+ + … + −( ) = – αr , ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3 424 A. M. SAMOJLENKO, R. I. PETRYÍYN, I. M. DANYLGK v qkij E — odynyçna matrycq, ϕ τ µ ξ ν ε( ), , , , = g A t dt k r k k( ), , , ( )µ ξ ε ν ε ω τ 0 1 1 0 + + = ∑ ∫ + + 0 0 τ µ ξ λ µ ξ ξ∫ b x t x t t dt( )( , , ), ( ( ), , ), , , τ ∈ [ 0, L ] , αs = ϕ τ µ ξ ν ε ν( ), , , ,s k r k kA− = ∑ 1 , s = 1, r , mala rozv’qzok ν = ν = ( ), ,ν ν1 … r . Dlq isnuvannq [dynoho rozv’qzku systemy (37) dosyt\ prypustyty, wo det E Ak k r −    = ∑ 1 ≠ 0. (38) Todi νs = α αs k k r k k k r E A A+ −    = − = ∑ ∑ 1 1 1 , s = 1, r . OtΩe, spravedlyvog [ nastupna lema, v qkij x( )τ ≡ x ( ), ,τ µ ξ , ϕ τ ε( , ) ≡ ≡ ϕ τ µ ξ ν ε( ), , , , . Lema)2. Qkwo systema rivnqn\ (36) ma[ rozv’qzok µ , ξ , dlq qkoho kryva x = x( )τ leΩyt\ u D dlq vsix τ ∈ [ – ∆, L ] , i vykonu[t\sq nerivnist\ (38), to userednena zadaça (351 ) – (355 ) ma[ rozv’qzok x( )τ , ϕ τ ε( , ), ξ . Poznaçymo çerez P ( )rn l+ -vymirnu kvadratnu matrycg ∂ ∂ − ∂ ∂         X E X P P ( , ) ( , )µ ξ µ µ ξ ξ 1 2 , de X( ),µ ξ = ( )( , , ), , ( , , )x x rτ µ ξ τ µ ξ1 … , P1 = 0 0 0 L x x x x x x x x d∫ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂     η ξ τ µ η ξ τ µ τλ λ λ λ( , , , ) ( , , , ) , P2 = 0 0 0 0 L x x x x x x x x x x d∫ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂     η ξ τ ξ η ξ τ ξ η ξ τ ξ τλ λ λ λ λ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) , x x= ( , , )τ µ ξ , x xλ λ τ µ ξ= ( ( ), , ) . Nexaj x( , , , , )τ µ ξ ν ε , ϕ τ µ ξ ν ε( , , , , ) — toj rozv’qzok systemy (30), qkyj pry τ ∈ [ – ∆, 0 ] zbiha[t\sq z funkci[g f ( , , )µ ξ τ , g t dt Ak k k r ( , , , ) ( )µ ξ τ ε ε ν τ + +∫ ∑ = 1 0 1 Ω . Dlq pobudovy rozv’qzku krajovo] zadaçi (30) – (32) potribno ocinyty funk- cig v = ( )( , , , , ) ( , , ), ( , , , , ) ( , , , , )x xτ µ ξ ν ε τ µ ε ϕ τ µ ξ ν ε ϕ τ µ ξ ν ε− − ta ]] çastynni poxidni perßoho porqdku po µ , ξ , ν . Oçevydno, wo v ≡ 0 pry τT∈ [ – ∆, 0 ] . Dlq τ > 0 ma[mo rivnosti ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3 USEREDNENNQ POÇATKOVO} I BAHATOTOÇKOVO} ZADAÇ DLQ KOLYVNYX … 425 x f a x x t dt( , , ) ( , , ) ( , , , )τ µ ξ µ ξ ξ τ λ= + ∫0 0 0 , x f a x x t dt( , , , , ) ( , , ) ( , , , , , )τ µ ξ ν ε µ ξ ϕ ϕ ξ τ λ λ= + ∫0 0 , ϕ τ µ ξ ν ε µ ξ ε ν ε ω ξ τ τ λ( , , , , ) ( , , , ) ( ) ( , , , )= + + + = ∑ ∫ ∫g A t dt b x x t dtk k k r 0 1 1 0 0 0 , ϕ τ µ ξ ν ε µ ξ ε ν ε ω ϕ ϕ ξ τ τ λ λ( , , , , ) ( , , , ) ( ) ( , , , , , )= + + + = ∑ ∫ ∫g A t dt b x x t dtk k k r 0 1 1 0 0 , v qkyx x x t= ( , , )µ ξ , x x tλ λ µ ξ= ( ( ), , ), x x t= ( , , , , )µ ξ ν ε , x x tλ λ µ ξ ν ε= ( ( ), , , , ) , ϕ ϕ µ ξ ν ε= ( , , , , )t , ϕ ϕ λ µ ξ ν ελ = ( ( ), , , , )t . Vykorystovugçy ci rivnosti, ocinku (7) oscylqcijnoho intehrala, obmeΩennq (33) na koefici[nty Fur’[ ta metod dovedennq teoremyT1, za analohi[g z [1, c. 30] vstanovlg[mo nastupne tverdΩennq. Teorema)4. Qkwo vykonugt\sq umovy (2), (5), nerivnosti (6), (33), (34) i kryva x x= ( , , )τ µ ξ leΩyt\ u D razom iz svo]m ρ-okolom pry τ ∈ [ – ∆, L ] , µ ∈Dr 0 , ξ ∈D̃ , to pry dosyt\ malomu ε0 0> spravdΩu[t\sq ocinka v v v v+ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂µ ξ ν ≤ σ ε11 1/ p (39) dlq vsix ( , , , , ) [ , ] ˜ ( , ]τ µ ξ ν ε ε∈ × × × ×0 00 0L D D Rr mr z deqkog stalog σ11, ne zaleΩnog vid ε . Zhidno z lemogT2 x D( , , )τ µ ξ ∈ pry τ ∈ [ – ∆, L ] . Oskil\ky D — vidkryta oblast\, to isnu[ take dodatne çyslo ρ , wo kryva x x= ( , , )τ µ ξ leΩyt\ u D razom iz svo]m 2ρ-okolom. Vyberemo dali ρ1 0> nastil\ky malym, wob dlq vsix τ ∈ [ – ∆, L ] i µ ∈Dr , ξ ∈D̃ , qki zadovol\nqgt\ nerivnist\ µ µ ξ ξ− + − < ρ1 , kryva x x= ( , , )τ µ ξ mistylasq v D razom iz svo]m ρ-okolom. Perejdemo do rozv’qzannq zadaçi (30) – (32). Poznaçymo ]] rozv’qzok x ( τ , µ , ξ , ν , ε ) , ϕ ( τ , µ , ξ , ν , ε ) , ξ, a nevidomi parametry µ i ξ pidberemo tak, wob µk = x ( τk , µ , ξ , ν , ε ) , k = 1, r , 0 L x x d∫ η ϕ ϕ ξ τ τλ λ( , , , , , ) = 0 abo hk = x x xk k k ( , , ) ( )τ µ ξ µ τ τ− + − = , k = 1, r , (40) P h P z1 2+ = – 0 0 0 0 L L x x d x x x x d∫ ∫− −[ ]˜ ( , , , , , ) ( , , , ) ( , , , )η ϕ ϕ ξ τ τ η ξ τ η ξ τ τλ λ λ λ – – 0 0 1 2 1 L x x L P h P z d∫ − +    η ξ τ τλ( , , , ) ( ) , (41) de x = x ( τ , µ , ξ , ν , ε ) , ϕ = ϕ ( τ , µ , ξ , ν , ε ) , x = x( , , )τ µ ξ , η̃ = η η− 0 , µk = = µk kh+ , ( h1, … , hr ) = h, ξ = ξ + z . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3 426 A. M. SAMOJLENKO, R. I. PETRYÍYN, I. M. DANYLGK Oskil\ky a0 i f magt\ neperervni obmeΩeni çastynni poxidni do druhoho porqdku vklgçno, to spravdΩugt\sq rivnosti x( , , )τ µ ξ = x x h x z R u( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , )τ µ ξ τ µ ξ µ τ µ ξ ξ τ+ ∂ ∂ + ∂ ∂ + 1 , (42) ∂ ∂ x( , , )τ µ ξ µ = ∂ ∂ +x R u ( , , ) ( , ) τ µ ξ µ τ2 , ∂ ∂ x( , , )τ µ ξ ξ = ∂ ∂ +x R u ( , , ) ( , ) τ µ ξ ξ τ3 , v qkyx u = ( h, z ) , τ ∈ [ – ∆, L ] , u < ρ1 , R u1( , )τ ≤ σ12 2u , R u2( , )τ + + R u3( , )τ ≤ σ12 u , a σ12 — stala, ne zaleΩna vid τ, u. Z rivnostej (41) oderΩu[mo ∂ ∂ −    + ∂ ∂ X E h X z ( , ) ( , )µ ξ µ µ ξ ξ = R u4( , , )ν ε , (43) de R u4( , , )ν ε = – R u x x R u x xr r1 1 11 ( , ) ( ) , , ( , ) ( )τ ττ τ τ τ+ − … + −( )= = . Ob’[dnugçy (41) i (43) ta prypuskagçy, wo matrycq P [ nevyrodΩenog, ma[mo rivnqnnq u = F2 ( u, ν , ε ) , (44) v qkomu F2 ( u, ν , ε ) = P R u R u−1 4 5( )( , , ), ( , , )ν ε ν ε , a R u5( , , )ν ε poznaça[ pravu çastynu rivnosti (41). Na pidstavi rozkladu η τ0( ),N N+ = η τ η τ τ0 0 6( ) ( ) , , ( , )N N N N R N+ ∂ ∂ + , de N x x( )( , , ), ( ( ), , ),τ µ ξ λ τ µ ξ ξ , N = ( , , )( )N N zτ λ τ , Nτ = ∂ ∂ + ∂ ∂ +x h x z R u ( , , ) ( , , ) ( , ) τ µ ξ µ τ µ ξ ξ τ1 , R6 ( τ, N ) = 0 1 0 0∫ ∂ + ∂ − ∂ ∂     η τ η τ( ) ( ), ,N Nt N N N dt N , R N6( , )τ ≤ σ̃12 2u , ocinky (39) i nerivnosti 0 L x x d∫ ˜ ( , , , , , )η ϕ ϕ ξ τ τ∆ ∆ ≤ ˜ /σ ε12 1 p, qka vyplyva[ z ocinky (7) oscylqcijnoho intehrala, otrymu[mo nerivnist\ F u2( , , )ν ε ≤ σ ε13 2 1( )/u p+ , ε ∈ ( 0, ε0 ] , ν ∈ R mr , u < ρ1 , (45) zi stalog σ13 , ne zaleΩnog vid u, ν, ε. Zvidsy robymo vysnovok, wo pry koΩnyx fiksovanyx ν ∈ R mr i ε ∈ ( 0, ε0 ] F u2( , , )ν ε vidobraΩa[ mnoΩynu K1 = = { }, /u u R unr l p∈ ≤+ 2 13 1σ ε v sebe, de ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3 USEREDNENNQ POÇATKOVO} I BAHATOTOÇKOVO} ZADAÇ DLQ KOLYVNYX … 427 ε0 < min ; ( ) ρ σ σ1 13 13 2 2 2             − p p . Doslidymo dali vidobraΩennq F K K2 1 1: → na stysk. Ma[mo rivnosti ∂ ∂u R u4( , , )ν ε = ∂ ∂ ∂ ∂     − ∂ + + ∂ ∂ + + ∂     X X X h z X h z( , ) ( , ) ( , ) ( , )µ ξ µ µ ξ ξ µ ξ µ µ ξ ξ – – ∂ ∂ − … −( )= =u x x x x r ( ) , , ( )τ τ τ τ1 , ∂ ∂u R u5( , , )ν ε = – 0 L y y y u u y y u u∫ ∂ ∂ ∂ − ∂ + ∂ ∂ ∂ − ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂   η η θ θ θ η η θ θ( ) ( ) ˜ ˜ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂     ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂   + ˜ ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ˜ ˜( )η η ξ τ η ξ τ η ξ τ η ξ τ τ u y y y y y u y u y u d P P0 0 0 0 1 2 , v qkyx y = ( , )x xλ , y = ( , )x xλ , θ = ( , )ϕ ϕλ , θ = ( , )ϕ ϕλ , η = η θ ξ τ( , , , )y , η̃ = ˜ ( , , , )η θ ξ τy , P̃1 = P x x x x x x x x d L 1 0 0 0− ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂    ∫ η ξ τ µ η ξ τ µ τλ λ λ λ( , , , ) ( , , , ) , P̃2 = P x x x x x x x x x x d L 2 0 0 0 0− ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂    ∫ η ξ τ ξ η ξ τ ξ η ξ τ ξ τλ λ λ λ λ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) . Zastosovugçy ocinku vyhlqdu (7) do intehrala 0 L y y u u u d∫ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂     ˜ ˜ ˜η η θ θ η τ ta vraxovugçy ocinku (39), dista[mo nerivnist\ ∂ ∂ + ∂ ∂u R u u R u4 5( , , ) ( , , )ν ε ν ε ≤ σ ε14 1( )/u p+ (46) dlq vsix u < ρ1 , ν ∈ R mr , ε ∈ ( 0, ε0 ] z deqkog stalog σ14 , ne zaleΩnog vid ε, ν, u. Todi ∂ ∂u F u2( , , )ν ε ≤ 1 2 , u ∈ K 1 , ν ∈ R mr , ε ∈ ( 0, ε0 ] , (47) pry umovi, wo ε0 < 2 1 214 1 13σ σP p− − +( )( ) . Takym çynom, rivnqnnq (44) ma[ [dynyj rozv’qzok u = u ( ν, ε ) = ( h ( ν, ε ) , z ( ν, ε )) ∈ K 1 , qkyj moΩna vyznaçyty metodom poslidovnyx nablyΩen\ za dopomohog formul u0 ( ν, ε ) ≡ 0, uk + 1 ( ν, ε ) = F2 ( uk ( ν, ε ), ν, ε ) , k ≥ 0, (48) u ( ν, ε ) = lim ( , ) k ku →∞ ν ε . Oskil\ky ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3 428 A. M. SAMOJLENKO, R. I. PETRYÍYN, I. M. DANYLGK ∂ ∂ν ν εR u5( , , ) = – 0 0 0 L y y y A A d∫ ∂ ∂ ∂ − ∂ + ∂ ∂ ∂ − ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂     η ν η θ θ θ ν η ϕ η ϕ τ λ ( ) ( ) , ∂ ∂ν ν εR u4( , , ) = – ∂ ∂ − … −( )= =ν τ τ τ τ( ) , , ( )x x x x r1 , A0 = A A Ar 1 2 �             , to ∂ ∂ν ν εF u2( , , ) ≤ σ ε15 1/ p , u ∈ K 1 , ν ∈ R mr , ε ∈ ( 0, ε0 ] . (49) Z (48) oderΩu[mo rivnist\ ∂ ∂ +uk 1( , )ν ε ν = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ F u u u F uk k k2 2( ( , ), , ) ( , ) ( ( , ), , )ν ε ν ε ν ε ν ν ε ν ε ν , qka zhidno z (47) i (49) pryvodyt\ do nerivnosti ∂ ∂ +uk 1( , )ν ε ν ≤ 1 2 15 1∂ ∂ +uk p( , ) /ν ε ν σ ε abo ∂ ∂ uk ( , )ν ε ν ≤ 2 15 1σ ε / p, ν ∈ R mr , ε ∈ ( 0, ε0 ] , k ≥ 0. C\oho dosyt\ [11], wob hranyçna funkciq u ( ν, ε ) zadovol\nqla umovu Lipßycq u u( , ) ( ˜ , )ν ε ν ε− ≤ 2 15 1σ ε ν ν/ ˜p − (50) dlq vsix ν ∈ R mr , ν̃ ∈ R mr , ε ∈ ( 0, ε0 ] . Nareßti pidberemo ν = ( ν1, … , νr ) ∈ R mr tak, wob ϕ ( τk , µ , ξ , ν , ε ) = νk , k = 1, r , (51) de µ = µ ν ε+ h( , ), ξ = ξ ν ε+ z( , ). Poklademo ν = ν γ+ ˜ , γ̃ = ( )˜ , , ˜γ γ1 … r . Vraxovugçy rivnist\ ϕ ( τ , µ , ξ , ν , ε ) = ϕ µ ξ ν ε γτ( ), , , , ˜+ = ∑As s s r 1 , perepysu[mo (49) u vyhlqdi s r s s kA = ∑ − 1 ˜ ˜γ γ = – β γ εk (˜ , ), k = 1, r , (52) de β γ εk (˜ , ) = ϕ τ µ ξ ν ε ϕ τ µ ξ ν ε ϕ τ µ ξ ν ε ϕ τ µ ξ ν ε( , , , , ) ( , , , , ) ( , , , , ) ( , , , , )k k k k− + − . Pry vykonanni prypuwennq (38) z systemy rivnqn\ (52) otrymu[mo rivnqnnq γ̃ = δ γ ε(˜ , ), (53) v qkomu δ γ ε(˜ , ) = δ γ ε1(˜ , ) , … , δ γ εr (˜ , ), ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3 USEREDNENNQ POÇATKOVO} I BAHATOTOÇKOVO} ZADAÇ DLQ KOLYVNYX … 429 δ γ εk (˜ , ) = β γ ε β γ εk s s r s s s r E A A(˜ , ) ( ˜ , )+ −    = − = ∑ ∑ 1 1 1 . Na pidstavi nerivnostej (39), (50) i µ µ ξ ξ− + − ≤ 2 13 1σ ε / p (54) robymo vysnovok pro isnuvannq tako] stalo] σ16 , wo δ γ ε(˜ , ) ≤ σ ε16 1/ p, δ γ ε δ γ ε(˜ , ) ( , )− ≤ σ ε γ γ16 1/ ˜p − dlq vsix γ̃ ∈Rmr , γ ∈Rmr , ε ∈ ( 0, ε0 ] . Tomu pry ε0 ≤ ( )2 16σ − p rivnqnnq (53) ma[ v Rmr [dynyj rozv’qzok γ̃ = ˜ ( )γ ε , pryçomu ˜ ( )γ ε ≤ σ ε16 1/ p. OtΩe, pobudovano rozv’qzok x ( τ, ε ) , ϕ ( τ, ε ) , ξ ( ε ) zadaçi (30) – (32), de x ( τ, ε ) ≡ x ( τ, µ ( ε ), ξ ( ε ), ν ( ε ), ε ) , ϕ ( τ, ε ) = x ( τ, µ ( ε ), ξ ( ε ), ν ( ε ), ε ) , µ ( ε ) = µ ν ε ε+ h( ( ), ), ξ ( ε ) = ξ ν ε ε+ z ( ( ), ), ν ( ε ) = ν γ ε+ ˜ ( ). Zaznaçymo, wo z nerivnostej (39), (52) i ν ε ν( ) − ≤ σ ε16 1/ p vyplyvagt\ neriv- nosti x x( , ) ( )τ ε τ− ≤ x x( , ) ( , ( ), ( ))τ ε τ µ ε ξ ε− + + x x( , ( ), ( )) ( , , )τ µ ε ξ ε τ µ ξ− ≤ σ ε17 1/ p , ϕ τ ε ϕ τ ε( , ) ( , )− ≤ ˜ /σ ε17 1 p dlq vsix τ ∈ [ – ∆, L ] , ε ∈ ( 0, ε0 ] , v qkyx σ17 = σ σ τ µ ξ µ τ µ ξ ξ11 132+ ∂ ∂ + ∂ ∂     sup ( , , ) sup ( , , )x x , σ̃17 = σ σ σ11 13 162+ +( ) × × sup ( , , , , ) sup ( , , , , )∂ ∂ + ∂ ∂ +    = ∑ϕ τ µ ξ ν ε µ ϕ τ µ ξ ν ε ξ k r kA 1 , a supremum beretsq po τ, µ, ξ, ε iz mnoΩyny τ ∈ [ – ∆, L ] , µ µ ξ ξ− + − < ρ1 , ε ∈ ( 0, ε0 ] . Nareßti, qkwo vvaΩaty dodatni çysla ρ1 i ε0 nastil\ky malymy, wo ρ1 ≤ min ; 1 2 1 413 1 14σ σP−         , ε0 ≤ min ;ρ σ0 2 1 14 1 4 p p P− −            , to na pidstavi nerivnostej (45) i (46) znajdene vywe znaçennq u = u ( ν, ε ) [ [dy- nym rozv’qzkom rivnqnnq (44) v kuli u < ρ1 . Zvidsy robymo vysnovok, wo ko- ly zadaça (30) – (32) ma[ takoΩ rozv’qzok ˜ ( , )x τ ε , ˜ ( , )ϕ τ ε , ˜ ( )ξ ε , qkyj ne zbiha- [t\sq z rozv’qzkom x ( , )τ ε , ϕ τ ε( , ) , ξ ε( ) , to pry koΩnomu ε ∈ ( 0, ε0 ] xoç v odnij toçci τ ∈ [ – ∆, L ] vykonu[t\sq nerivnist\ ˜( , ) ( , ) ˜ ( ) ( )x xτ ε τ ε ξ ε ξ ε− + − ≥ ρ1 2r . Takym çynom, ma[ misce taka teorema. Teorema)5. Nexaj vykonugt\sq umovy (2), (5), prypuwennq lemyT2, nerivno- sti (6), (33), (34) i matrycq P [ nevyrodΩenog. Todi isnugt\ taki dodatni ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3 430 A. M. SAMOJLENKO, R. I. PETRYÍYN, I. M. DANYLGK stali ε0 i σ18 , wo pry koΩnomu ε ∈ ( 0, ε0 ] , ε0 ≤ ε0, v malomu okoli roz- v’qzku x( )τ , ϕ τ ε( , ), ξ useredneno] zadaçi (351 ) – (355 ) isnu[ [dynyj rozv’qzok x( , )τ ε , ϕ τ ε( , ) , ξ ε( ) zadaçi (30) – (32), pryçomu x x( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( )τ ε τ ϕ τ ε ϕ τ ε ξ ε ξ− + − + − ≤ σ ε18 1/ p dlq vsix τ ∈ [ – ∆, L ] , ε ∈ ( 0, ε0 ] . 1. Samojlenko A. M., Petryßyn R. I. Matematyçni aspekty teori] nelinijnyx kolyvan\. – Ky]v: Nauk. dumka, 2004. – 474 s. 2. Mytropol\skyj G. A., Mart¥ngk D. Y. Peryodyçeskye y kvazyperyodyçeskye kolebanyq system s zapazd¥vanyem. – Kyev: Vywa ßk., 1979. – 247 s. 3. Xapaev M. M. Usrednenye v teoryy ustojçyvosty. – M.: Nauka, 1986. – 192 s. 4. Samojlenko A. M., Byhun Q. Y. Obosnovanye pryncypa usrednenyq dlq mnohoçastotn¥x sys- tem dyfferencyal\n¥x uravnenyj s zapazd¥vanyem // Dyfferenc. uravnenyq. – 1999. – 35, # 1. – S.T8 – 14. 5. Ípakovyç V. P. Metod usrednenyq dlq mnohoçastotn¥x system s zapazd¥vanyem // Ukr. mat. Ωurn. – 1985. – 37, # 4. – S.T535 – 539. 6. Filipçuk M. P. Metod userednennq v krajovyx zadaçax dlq dyferencial\nyx rivnqn\ z vid- xylenym arhumentom: Dys. … kand. fiz.-mat. nauk. – Çernivci, 1999. – 142 s. 7. Bihun Q. J. Userednennq v bahatoçastotnyx systemax z linijno peretvorenym arhumentom ta intehral\nymy krajovymy umovamy // Nauk. visn. Çerniv. un-tu. Matematyka. – 2005. – Vyp.T269. – S. 5-10. 8. Bajnov D. D., Mylußeva S. D. O nekotor¥x prymenenyqx metoda usrednenyq dlq reßenyq naçal\n¥x y kraev¥x zadaç dlq ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x, yntehro-dyfferency- al\n¥x y dyfferencyal\no-funkcyonal\n¥x uravnenyj // Proc. VIII Int. Conf. Nonlinear Os- cillations. – Prague, 1978. – P. 771 – 789. 9. Konstantynov M. M., Bajnov D. D. O prymenenyy metoda usrednenyq k nekotor¥m mnohoto- çeçn¥m kraev¥m zadaçam // Bull. Soc. Math. R. S. Roumanie. – 1974. – 18 (66), # 1-2. – P. 307 – 310. 10. Yl\yn V. A., Poznqk ∏. H. Osnov¥ matematyçeskoho analyza. – M.: Nauka, 1973. – Ç. 2. – 448Ts. 11. Kolmohorov A. N., Fomyn S. V. ∏lement¥ teoryy funkcyj y funkcyonal\noho analyza. – M.: Nauka, 1967. – 575 s. OderΩano 28.03.2006 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 3
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164085
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1027-3190
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-01T05:22:20Z
publishDate	2007
publisher	Інститут математики НАН України
record_format	dspace
spelling	Самойленко, А.М. Петришин, Р.І. Данилюк, І.М. 2020-02-08T11:20:30Z 2020-02-08T11:20:30Z 2007 Усереднення початкової і багатоточкової задач для коливних систем із повільно змінними частотами і відхиленим аргументом / А.М. Самойленко, Р.І. Петришин, І.М. Данилюк // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 3. — С. 412–430. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164085 517.929 New theorems on substantiation of the method of averaging over all fast variables on a segment and a semiaxis are proved for multifrequency systems with deviated argument in slow and fast variables. An algorithm for the solution of a multipoint problem with parameters is investigated and an estimate for the difference of solutions of the original and averaged problems is obtained. Доказаны новые теоремы обоснования метода усреднения по всем быстрым переменным на отрезке и полуоси для многочастотных систем с отклоненным аргументом в медленных и быстрых переменных. Исследован алгоритм решения многоточечной задачи с параметрами и установлена оценка разности решений исходной и усредненной задач. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Усереднення початкової і багатоточкової задач для коливних систем із повільно змінними частотами і відхиленим аргументом Averaging of initial-value and multipoint problems for oscillation systems with slowly varying frequencies and deviated argument Article published earlier
spellingShingle	Усереднення початкової і багатоточкової задач для коливних систем із повільно змінними частотами і відхиленим аргументом Самойленко, А.М. Петришин, Р.І. Данилюк, І.М. Статті
title	Усереднення початкової і багатоточкової задач для коливних систем із повільно змінними частотами і відхиленим аргументом
title_alt	Averaging of initial-value and multipoint problems for oscillation systems with slowly varying frequencies and deviated argument
title_full	Усереднення початкової і багатоточкової задач для коливних систем із повільно змінними частотами і відхиленим аргументом
title_fullStr	Усереднення початкової і багатоточкової задач для коливних систем із повільно змінними частотами і відхиленим аргументом
title_full_unstemmed	Усереднення початкової і багатоточкової задач для коливних систем із повільно змінними частотами і відхиленим аргументом
title_short	Усереднення початкової і багатоточкової задач для коливних систем із повільно змінними частотами і відхиленим аргументом
title_sort	усереднення початкової і багатоточкової задач для коливних систем із повільно змінними частотами і відхиленим аргументом
topic	Статті
topic_facet	Статті
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164085
work_keys_str_mv	AT samoilenkoam userednennâpočatkovoííbagatotočkovoízadačdlâkolivnihsistemízpovílʹnozmínnimičastotamiívídhilenimargumentom AT petrišinrí userednennâpočatkovoííbagatotočkovoízadačdlâkolivnihsistemízpovílʹnozmínnimičastotamiívídhilenimargumentom AT danilûkím userednennâpočatkovoííbagatotočkovoízadačdlâkolivnihsistemízpovílʹnozmínnimičastotamiívídhilenimargumentom AT samoilenkoam averagingofinitialvalueandmultipointproblemsforoscillationsystemswithslowlyvaryingfrequenciesanddeviatedargument AT petrišinrí averagingofinitialvalueandmultipointproblemsforoscillationsystemswithslowlyvaryingfrequenciesanddeviatedargument AT danilûkím averagingofinitialvalueandmultipointproblemsforoscillationsystemswithslowlyvaryingfrequenciesanddeviatedargument

Усереднення початкової і багатоточкової задач для коливних систем із повільно змінними частотами і відхиленим аргументом

Institution

Ähnliche Einträge