Про одну екстремальну задачу В. М. Дубініна
Получено частное решение известной гипотезы В. Н. Дубинина о неналегающих областях на комплексной плоскости.
Saved in:
| Date: | 2012 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Український математичний журнал
2012
|
| Series: | Український математичний журнал |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164093 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про одну екстремальну задачу В. М. Дубініна / Я.В. Заболотний // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 1. — С. 24-31. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164093 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1640932025-02-09T10:59:06Z Про одну екстремальну задачу В. М. Дубініна On one Dubinin extreme problem Заболотний, Я.В. Статті Получено частное решение известной гипотезы В. Н. Дубинина о неналегающих областях на комплексной плоскости. We obtain a particular solution of the known conjecture of V. N. Dubinin about nonoverlapping domains on a complex area 2012 Article Про одну екстремальну задачу В. М. Дубініна / Я.В. Заболотний // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 1. — С. 24-31. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164093 517.5 uk Український математичний журнал application/pdf Український математичний журнал |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Заболотний, Я.В. Про одну екстремальну задачу В. М. Дубініна Український математичний журнал |
| description |
Получено частное решение известной гипотезы В. Н. Дубинина о неналегающих областях на комплексной плоскости. |
| format |
Article |
| author |
Заболотний, Я.В. |
| author_facet |
Заболотний, Я.В. |
| author_sort |
Заболотний, Я.В. |
| title |
Про одну екстремальну задачу В. М. Дубініна |
| title_short |
Про одну екстремальну задачу В. М. Дубініна |
| title_full |
Про одну екстремальну задачу В. М. Дубініна |
| title_fullStr |
Про одну екстремальну задачу В. М. Дубініна |
| title_full_unstemmed |
Про одну екстремальну задачу В. М. Дубініна |
| title_sort |
про одну екстремальну задачу в. м. дубініна |
| publisher |
Український математичний журнал |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164093 |
| citation_txt |
Про одну екстремальну задачу В. М. Дубініна / Я.В. Заболотний // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 1. — С. 24-31. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT zabolotnijâv proodnuekstremalʹnuzadačuvmdubínína AT zabolotnijâv ononedubininextremeproblem |
| first_indexed |
2025-11-25T20:49:55Z |
| last_indexed |
2025-11-25T20:49:55Z |
| _version_ |
1849796903074529280 |
| fulltext |
УДК 517.5
Я. В. Заболотний (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРО ОДНУ ЕКСТРЕМАЛЬНУ ЗАДАЧУ В. М. ДУБIНIНА
We obtain a particular solution of the known conjecture of V. N. Dubinin about nonoverlapping domains on a complex
area.
Получено частное решение известной гипотезы В. Н. Дубинина о неналегающих областях на комплексной плоско-
сти.
Одним iз класичних напрямкiв розвитку геометричної теорiї функцiй комплексної змiнної є
розв’язання екстремальних задач на класах областей, що не перетинаються. Першим важливим
результатом даної тематики була теорема Лаврентьєва [1]. Значний вклад у розвиток цього
напрямку було зроблено багатьма авторами (див., наприклад, [1 – 13]).
Нехай N, C — множини натуральних i комплексних чисел вiдповiдно, C = C
⋃
{∞} —
розширена комплексна площина або сфера Рiмана, Cl = C× C× C× . . .× C︸ ︷︷ ︸
l разiв
— l-вимiрний
комплексний простiр, який є добутком l комплексних площин (див., наприклад, [14]), Cl =
= C× C× C× . . .× C︸ ︷︷ ︸
l разiв
— компактифiкований l-вимiрний комплексний простiр, де множина
нескiнченно вiддалених точок має комплексну розмiрнiсть n − 1, Ω(ω1, ω2, . . . , ωl) — точка
простору Cl з координатами ωk. Полiцилiндричною областю в Cl, як вiдомо [14], називається
область B = B1×B2×B3× . . .×Bl, де Bk ⊂ C, Bk, k = 1, l, будемо називати координатними
областями.
Узагальненим внутрiшнiм p-радiусом, p ∈ N, p ≤ l, полiцилiндричної областi B в точцi Ω
(Ω ∈ B) будемо називати величину
Rp(B,Ω) :=
[
p∏
k=1
r(Bk, ωk)
]1/p
, p ∈ N, p ≤ l,
де r(Bk, ωk) — внутрiшнiй радiус координатної областi Bk в точцi ωk (див., наприклад, [9,
с. 70, 71]). У випадку, коли p = l, узагальнений внутрiшнiй p-радiус будемо називати просто
узагальненим внутрiшнiм радiусом R(B,Ω) =
[∏l
k=1
r(Bk, ωk)
]1/l
.
У роботi [7] було сформульовано наступну екстремальну задачу.
Задача 1. Довести, що максимум функцiонала
Iγ = rγ(B0, a0)
n∏
k=1
r(Bk, ak), (1)
де B0, B1, B2, . . . , Bn, n ≥ 2, — попарно неперетиннi областi в C, a0 = 0, |ak| = 1, k = 1, n,
r(Bj , aj) — внутрiшнiй радiус областi Bj у точцi aj , aj ∈ Bj , j = 0, n i γ ≤ n, досягається для
деякої конфiгурацiї областей, якi мають n-кратну симетрiю.
В данiй роботi доведено наступнi теореми.
c© Я. В. ЗАБОЛОТНИЙ, 2012
24 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
ПРО ОДНУ ЕКСТРЕМАЛЬНУ ЗАДАЧУ В. М. ДУБIНIНА 25
Теорема 1. При n = 3 i γ ∈ (0; 1, 5] максимум функцiонала Iγ досягається на системi
областей D0, D1, D2, D3 в точках a0, a1, a2, a3, де Dk, ak ∈ Dk, k = 0, 3, — вiдповiдно круговi
областi i полюси квадратичного диференцiала
Q(w)dw2 = −(9− γ)w3 + γ
w2(w3 − 1)2
dw2.
Теорема 2. При n = 4 i γ ∈ (0; 1,7] максимум функцiонала Iγ досягається на системi
областей D0, D1, D2, D3, D4 в точках a0, a1, a2, a3, a4, де Dk, ak ∈ Dk, k = 0, 4, — вiдповiдно
круговi областi i полюси квадратичного диференцiала
Q(w)dw2 = −(16− γ)w4 + γ
w2(w4 − 1)2
dw2.
Теорема 3. Нехай у просторi Cl маємо систему полiцилiндричних областей Bk = B
(k)
1 ×
×B
(k)
2 ×B
(k)
3 × . . .×B
(k)
l , k = 0, n, i точок Ωk =
(
ω
(k)
1 , ω
(k)
2 , . . . , ω
(k)
l
)
, k = 0, n, якi задоволь-
няють наступнi умови:
1) Ω0 = (0, 0, . . . , 0),
2) Ωk ∈ Bk,
3) дляm = 1, l B0
m,B
1
m,B
2
m, . . . ,B
n
m, n ≥ 2, — попарно неперетиннi областi в C, |ωkm| = 1,
k = 1, n, i число γ ∈ (0; 1].
Тодi виконується нерiвнiсть
Rγ(B0,Ω0)
n∏
k=1
R(Bk,Ωk) ≤
(
4
n
)n (
4γ
n2
)γ/n
(
1− γ
n2
)n+γ/n
1−
√
γ
n
1 +
√
γ
n
2
√
γ
. (2)
Доведення теореми 1. Для γ = 1 задачу 1 розв’язано в роботi [7]. Методом, використаним
у цiй роботi, можна встановити, що цей результат є правильним i для 0 < γ < 1.
Встановимо спочатку, що дане твердження є правильним для γ = 1, 5. Як i у випадку теоре-
ми 5.2.3 з роботи [9], доведення спирається на застосування методу роздiляючого перетворення
областей, який детально розроблено в роботi [7].
Згiдно з умовою задачi a0 = 0, |ak| = 1, k = 1, 3. Припустимо для конкретностi, що
0 = arg a1 < arg a2 < arg a3 < 2π.
Далi, означимо числа αk таким чином:
α1 :=
1
π
(arg a2 − arg a1), α2 :=
1
π
(arg a3 − arg a2), α3 :=
1
π
(2π − arg a3).
Нехай Pk := {w : arg ak < argw < arg ak+1}, k = 1, 3, arg a4 = 2π, P0 := P3, P4 := P1,
α1 + α2 + α3 = 2.
Для кожного k = 1, 3 позначимо через zk(w) ту гiлку багатозначної аналiтичної функцiї
z = −i(e−i arg akw)1/αk , z0 := z3, z4 := z1, яка конформно i однолисто вiдображає областi Pk,
k = 1, 3, на праву пiвплощину Re z > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
26 Я. В. ЗАБОЛОТНИЙ
Тодi для областей Bk, k = 1, 3, таких, як i в задачi 1, позначимо через D(1)
k об’єднання
зв’язної компоненти множини zk(Bk
⋂
Pk), що мiстить точку zk(ak), з її вiдображенням вiд-
носно уявної осi, а через D(1)
k об’єднання зв’язної компоненти множини zk−1
(
Bk
⋂
Pk−1
)
,
що мiстить точку zk−1(ak), з її вiдображенням вiдносно уявної осi, D(2)
0 := D
(2)
2 . Сiм’ю двох
симетричних вiдносно уявної осi областей
{
D
(1)
k ;D
(2)
k−1
}
будемо називати результатом роздi-
ляючого перетворення областi Bk. Для утворених областей, згiдно з теоремою 3 роботи [8],
виконується нерiвнiсть
3∏
k=1
r(Bk, ak) ≤
3∏
k=1
αk
(
r(D
(i)
k+1, i
)
r
(
D
(2)
k ,−i)
)1/2
.
Аналогiчно проводимо роздiляюче перетворення областi B0 i отримуємо нерiвнiсть
r(B0, 0) ≤
∏3
k=1
(
r(D
(k)
0 ; 0)
)α2
k/2
.
Далi, як i при доведеннi теореми 5.2.3 [9], за допомогою роздiляючого перетворення отри-
муємо нерiвнiсть
Iγ ≤
[
3∏
k=1
αkr
γα2
k · (D0, 0) · r(D1, i) · r(D2,−i)
]1/2
, (3)
де Dk — круговi областi квадратичного диференцiала
Q(w)dw2 = −(9− γ)w3 + γ
w2(w3 − 1)2
dw2.
Дана нерiвнiсть виконується для γ ≤ 1 на основi результатiв роботи [8]. Для γ > 1 її засто-
сування, взагалi кажучи, некоректне. Воно можливе у випадку αk
√
γ ≤ 2, k = 1, n. Знайдемо
умови виконання цiєї нерiвностi для γ = 1, 5.
Нехай для конкретностi r(B0, 0) = p. Тодi
Iγ = rγ(B0, a0)
n∏
k=1
r(Bk, ak) = pγ
n∏
k=1
r(Bk, ak) ≤ pγ
64
81
√
3
|a1 − a2||a1 − a3||a2 − a3|. (4)
Остання нерiвнiсть виконується на основi теореми Голузiна [2, c. 165].
Доведемо, що областi, якi можуть бути екстремальними, задовольняють умову α0 ≤
2
√
γ
,
де α0 = max{αk}, k = 1, n. Припустимо протилежне, а саме, α0 >
2
√
γ
. Обчислимо значення
функцiонала
I0γ = rγ(D0, a0)
3∏
k=1
r(Dk, ak).
Згiдно з теоремою 5.2.3 роботи [9]
I0γ =
(
4
n
)n (
4γ
n2
)γ/n
(
1− γ
n2
)n+γ/n
1−
√
γ
n
1 +
√
γ
n
2
√
γ
. (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
ПРО ОДНУ ЕКСТРЕМАЛЬНУ ЗАДАЧУ В. М. ДУБIНIНА 27
Пiдставивши в (5) γ = 1, 5 i n = 3, отримаємо I01,5 ≈ 0, 9423.
Далi нам потрiбне наступне твердження.
Лема . Нехай B0, B1, B2, . . . , Bn, n ≥ 2, — попарно неперетиннi областi в C, a0 = 0,
|ak| = 1, k = 1, n, aj ∈ Bj , j = 0, n, q > 0, q ∈ R, r(Bj , aj) — внутрiшнiй радiус областi Bj у
точцi aj , aj ∈ Bj i γ < n. Тодi за умови, що r(B0, a0) ≥ q1/(γ−n), виконується нерiвнiсть
rγ(B0, a0)
n∏
k=1
r(Bk, ak) ≤ q.
Доведення. Нехай r(B0, a0) = p ≥ q1/(γ−n). Застосувавши теорему Лаврентьєва [1] для
областей B0 i B1, отримаємо нерiвнiсть r(B0, 0)r(B1, a1) ≤| a1 |= 1. Оскiльки r(B0, 0) = p, то
r(B1, a1) ≤
1
p
. Так само r(Bk, ak) ≤
1
p
для k = 1, n. Тодi
rγ(B0, a0)
n∏
k=1
r(Bk, ak) ≤ pγ
1
pn
= pγ−n ≤ (q1/(γ−n))γ−n = q.
Лему доведено.
Далi, для γ = 1, 5 i n = 3 застосуємо лему, взявши q = I01,5. Таким чином отримаємо, що при
r(B0, a0) ≥ (I01,5)
1/(γ−n) ≈ 1, 0404 виконується нерiвнiсть rγ(B0, a0)
∏n
k=1
r(Bk, ak) ≤ I01,5,
тому конфiгурацiї областей для таких значень r(B0, a0) не можуть бути екстремальними.
Нехай тепер p ≤ p0 = (I01,5)
1/(γ−n). Тодi згiдно з (4)
Iγ ≤ 4pγ · 64
81
√
3
|a1 − a2||a1 − a3||a2 − a3|.
Далi, нехай α0 ≥
2
√
γ
. Вiзьмемо для конкретностi α1 = α0. Тодi
|a1 − a2| = 2 sin
α1π
2
≤ 2 sin
2− 2
√
γ
π
2
= 2 sin
(
1− 1
√
γ
)
π = 2 sin
π
√
γ
.
Далi, оскiльки α2 + α3 = 2− α1 ≤
2
√
γ
, за нерiвнiстю Кошi максимальне значення добутку
|a1−a3||a2−a3| отримаємо у випадку, коли |a1−a3| = |a2−a3|, тобто при α2 = α3 ≤ 1− 1
√
γ
.
Звiдси |a1 − a3| = |a2 − a3| ≤ 2 sin
(
1− 1
√
γ
)
π
2
. Отже, для α0 ≥
2
√
γ
Iγ ≤ pγ0 ·
64
81
√
3
|a1 − a2||a1 − a3||a2 − a3| ≤ 8pγ0 ·
64
81
√
3
sin
π
√
γ
sin2
(
1− 1
√
γ
)
π
2
.
Пiдставивши вiдповiднi значення γ i p0, отримаємо Iγ ≤ 0, 3665� I01,5, тобто для α0 ≥
2
√
γ
конфiгурацiї областей не можуть бути екстремальними.
Тому α0 ≤
2
√
γ
, i ми можемо застосовувати нерiвнiсть (3).
Далi запишемо нерiвнiсть, отриману при доведеннi теореми 4 iз [8]:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
28 Я. В. ЗАБОЛОТНИЙ
Iγ ≤
1
√
γ
[
3∏
k=1
2σk+6σσk+2
k (2− σk)−
1
2
(2−σk)2(2 + σk)
− 1
2
(2+σk)
2
]1/2
,
де σk =
√
γαk. Введемо функцiю
Ψ(σ) = 2σ+6σσ+2(2− σ)−
1
2
(2−σ)2(2 + σ)−
1
2
(2+σ)2
для σ ∈ [0, 2] i, використавши її поведiнку на цьому промiжку, доведемо екстремальнiсть
конфiгурацiї областей D0, D1, D2, D3.
Функцiя Ψ(σ) логарифмiчно опукла на промiжку [0;x0], де x0 ≈ 1, 32. На промiжку [0;x1],
де x1 ≈ 1, 05, вона зростає вiд Ψ(0) = 0 до Ψ(x1) ≈ 0, 9115, спадає на промiжку [x1;x2], де
x2 ≈ 1, 6049, до Ψ(x2) ≈ 0, 86, а на промiжку [x2; 2] зростає до Ψ(2) = 1. Для точки x3 ≈ 1, 9
Ψ(x3) = Ψ(x1) ≈ 0, 9115. Тепер, використавши рiвнiсть σ1 + σ2 + σ3 = 2
√
γ, доведемо,
що Ψ(σ1)Ψ(σ2)Ψ(σ3) ≤
(
Ψ
(
2
3
√
γ
))3
≈ 0, 8367. Для σk ∈ [0;x0] вiдповiдний висновок
робимо на пiдставi логарифмiчної опуклостi функцiї Ψ(σ). Для σ3 ∈ [x0;x3] вiн випливає iз
властивостей графiка функцiї Ψ(σ), Ψ(σk) ≤ Ψ
(
2
3
√
γ
)
, k = 1, 3, а тому Ψ(σ1)Ψ(σ2)Ψ(σ3) ≤
≤
(
Ψ
(
2
3
√
γ
))3
. Якщо ж σ3 ∈ [x3; 2], то Ψ(σ3) < Ψ(2) = 1, Ψ(σ1) < Ψ(0, 2) � 0, 4,
Ψ(σ2) < Ψ(0, 2)� 0, 4, звiдки Ψ(σ1)Ψ(σ2)Ψ(σ3) < 0, 16 <
(
Ψ
(
2
3
√
γ
))3
. Отже, Iγ ≤ I0γ(x1),
тому екстремальних конфiгурацiй областей ми не отримаємо.
Для γ = 1, 5 теорему доведено.
Доведемо, що функцiонал I0γ , як функцiя вiд γ, монотонно спадає на промiжку [1; 1, 5]. Для
цього вiзьмемо логарифмiчну похiдну вiд виразу
I0γ =
(
4
n
)n (
4γ
n2
)γ/n
(
1− γ
n2
)n+γ/n
1−
√
γ
n
1 +
√
γ
n
2
√
γ
для n = 3. В результатi отримаємо(
ln (I0γ)
)′
=
1
3
ln
4γ
9
− 1
3
− γ
3
ln
(
1− γ
9
)
+
9 + γ
27− 3γ
+
1
√
γ
ln
(
1−
√
γ
3
)
−
− 1
3−√γ
− 1
√
γ
ln
(
1 +
√
γ
3
)
− 1
3 +
√
γ
.
На промiжку [1; 1, 5](
ln (I0γ)
)′ ≤ 1
3
ln
6
9
− 1
3
− 1, 5
3
ln
(
1− 1, 5
9
)
+
9 + 1, 5
27− 31, 5
− 1
3−
√
1
≈
≈ −0, 1351− 1
3
+ 0, 0922 + 0, 4667− 1
2
≈ −0, 4095 < 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
ПРО ОДНУ ЕКСТРЕМАЛЬНУ ЗАДАЧУ В. М. ДУБIНIНА 29
тому дана функцiя є монотонно спадною, а отже, I0γ > I01,5 при γ ∈ [1; 1, 5]. За властивостями
функцiї sinx отримаємо
Iγ ≤ 8pγ0
64
81
√
3
sin
π
√
γ
sin2
(
1− 1
√
γ
)
π
2
≤ I1,5.
Таким чином,
Iγ
I0γ
≤ I1,5
I01,5
< 1. Звiдси для γ ∈ [1; 1, 5] Iγ ≤ I0γ , а тому I0γ — шукана
екстремальна конфiгурацiя областей.
Теорему доведено.
Доведення теореми 2 аналогiчне доведенню попередньої теореми. Для γ = 1 задачу розв’я-
зано в роботi [7]. Методом, використаним у цiй роботi, можна встановити цей результат i для
0 < γ < 1.
Встановимо спочатку теорему при γ = 1, 7. Використавши метод роздiляючого перетворен-
ня областей, як i вище, отримаємо нерiвнiсть (3).
Пiдставивши γ = 1, 7 i n = 4, одержимо I01,7 ≈ 0, 1957.
Далi, при γ = 1, 7 i n = 4 застосуємо лему 1, взявши q = I01,7. Таким чином отримаємо,
що для r(B0, a0) ≥ (I01,7)
1/(γ−4) ≈ 2, 0324 rγ(B0, a0)
∏n
k=1
r(Bk, ak) ≤ I01,7, тому конфiгурацiї
областей при таких значеннях r(B0, a0) не можуть бути екстремальними.
Нехай тепер p ≤ p0 = (I01,7)
1/(γ−n). Тодi за теоремою Кузьмiної [15] Iγ ≤ pγ
9
48/3
(|a1 −
− a2||a1 − a3||a2 − a3||a1 − a4||a2 − a4||a3 − a4|)2/3. Далi, за нерiвнiстю Кошi максимальне
значення добутку отримаємо у випадку, коли |a1−a2| = |a2−a3| = |a3−a4|. Звiдси |a1−a2| =
= |a2 − a3| = |a3 − a4| = 2 sin
(
1− 1
√
γ
)
π
6
. Отже, для α0 ≥
2
√
γ
Iγ ≤ pγ0 · 16
9
48/3
(|a1 − a2||a1 − a3||a2 − a3||a1 − a4||a2 − a4||a3 − a4|)2/3 ≤
≤ pγ0 · 16
9
48/3
sin2
(
2− 2
√
γ
)(π
6
)
sin4/3
(
2− 2
√
γ
)(π
3
)
sin2/3
(
2− 2
√
γ
)(π
2
)
.
Пiдставивши вiдповiднi значення γ i p0, одержимо Iγ ≤ 0, 1939 < I01,7, тобто для α0 ≥
2
√
γ
конфiгурацiї областей не можуть бути екстремальними.
Отже, α0 ≤
2
√
γ
, i ми можемо застосувати нерiвнiсть (3).
Далi нам буде потрiбна нерiвнiсть, отримана при доведеннi теореми 5.2.3 iз [9]:
Iγ ≤
1
√
γ
[
4∏
k=1
2σk+6σσk+2
k (2− σk)−
1
2
(2−σk)2(2 + σk)
− 1
2
(2+σk)
2
]1/2
,
де σk =
√
γαk. Введемо функцiю
Ψ(σ) = 2σ+6σσ+2(2− σ)−
1
2
(2−σ)2(2 + σ)−
1
2
(2+σ)2
для σ ∈ [0, 2] i, використовуючи її поведiнку на цьому промiжку, доведемо екстремальнiсть
конфiгурацiї областей D0, D1, D2, D3, D4.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
30 Я. В. ЗАБОЛОТНИЙ
Функцiя Ψ(σ) логарифмiчно опукла на промiжку [0;x0], де x0 ≈ 1, 32. На промiжку [0;x1],
де x1 ≈ 1, 05, вона зростає вiд Ψ(0) = 0 до Ψ(x1) ≈ 0, 9115, спадає на промiжку [x1;x2], де
x2 ≈ 1, 6049, до Ψ(x2) ≈ 0, 86, а на промiжку [x2; 2] зростає до Ψ(2) = 1. Для точки x3 ≈ 1, 9
Ψ(x3) = Ψ(x1) ≈ 0, 9115. Тепер, використавши рiвнiсть σ1 + σ2 + σ3 + σ4 = 2
√
γ, доведемо,
що Ψ(σ1)Ψ(σ2)Ψ(σ3)Ψ(σ4) ≤
(
Ψ
(√
γ
2
))4
≈ 0, 0125. Виконуючи тi ж самi операцiї, що i при
доведеннi попередньої теореми, переконуємося, що i в такому випадку iнших екстремальних
конфiгурацiй областей ми не отримаємо.
Для γ = 1, 7 теорему доведено.
Як i при доведеннi попередньої теореми, покажемо, що
Iγ
I0γ
≤ I1,7
I01,7
< 1. Звiдси для γ ∈
∈ [1; 1, 7] Iγ ≤ I0γ , а тому I0γ — шукана екстремальна конфiгурацiя областей.
Теорему 2 доведено.
Доведення теореми 3. Виконаємо наступнi перетворення:
Rγ(B0,Ω0)
n∏
k=1
R(Bk,Ωk) =
[
l∏
m=1
r(B(0)
m ,Ω(0)
m )
]γ/l n∏
k=1
[
l∏
m=1
r(B(k)
m ,Ω(k)
m )
]1/l
=
=
[
l∏
m=1
[
(r(B(0)
m ,Ω(0)
m ))γ
n∏
k=1
r(B(k)
m ,Ω(k)
m )
]]1/l
.
Тодi для m = 1, l областi B(k)
m , k = 0, n, утворюють систему неперетинних областей, для якої
виконуються всi умови теореми 1 [8]. Тому
[
(r(B(0)
m ,Ω(0)
m ))γ
n∏
k=1
r(B(k)
m ,Ω(k)
m )
]
≤
(
4
n
)n (
4γ
n2
)γ/n
(
1− γ
n2
)n+γ/n
1−
√
γ
n
1 +
√
γ
n
2
√
γ
.
Пiдставивши отриманий вираз у попередню рiвнiсть, одержимо
Rγ(B0,Ω0)
n∏
k=1
R(Bk,Ωk) ≤
l∏
m=1
(
4
n
)n (
4γ
n2
)γ/n
(
1− γ
n2
)n+γ/n
1−
√
γ
n
1 +
√
γ
n
2
√
γ
1/l
=
=
(
4
n
)n (
4γ
n2
)γ/n
(
1− γ
n2
)n+γ/n
1−
√
γ
n
1 +
√
γ
n
2
√
γ
.
Теорему 3 доведено.
Автор висловлює подяку О. К. Бахтiну за постановку задач та цiннi поради i зауваження
щодо написання даної роботи.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
ПРО ОДНУ ЕКСТРЕМАЛЬНУ ЗАДАЧУ В. М. ДУБIНIНА 31
1. Лаврентьев М. А. К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат. ин-та АН СССР. – 1934. – 5. – С. 159 –
245.
2. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – М: Наука, 1966. – 628 с.
3. Хейман В К. Многолистные функции. – М.: Изд-во иностр. лит., 1960. – 180 с.
4. Дженкинс Дж. А. Однолистные функции и конформные отображения. – М.: Изд-во иностр. лит., 1962. – 256 с.
5. Колбина Л. И. Конформное отображение единичного круга на неналегающие области // Вестн. Ленингр. ун-та.
– 1955. – 5. – С. 37 – 43.
6. Бахтина Г. П. Вариационные методы и квадратичные дифференциалы в задачах о неналегающих областях:
Автореф. дис. . . . канд. физ.-мат. наук. – Киев, 1975. – 11 с.
7. Дубинин В. Н. Метод симметризации в геометрической теории функций комплексного переменного // Успехи
мат. наук. – 1994. – 49, № 1(295). – С. 3 – 76.
8. Дубинин В. Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об экстремальном разбиении // Зап. науч. сем.
Ленингр. отд-ния Мат. ин-та АН СССР. – 1988. – 168. – С. 48 – 66.
9. Бахтин А. К., Бахтина Г. П., Зелинский Ю. Б. Тополого-алгебраические структуры и геометрические методы
в комплексном анализе // Працi Iн-ту математики НАН України. – 2008. – 73. – 308 с.
10. Бахтин А. К. Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей и открытых множеств // Доп.
НАН України. – 2006. – № 10. – С. 7 – 13.
11. Бахтин А. К. Экстремальные задачи о неналегающих областях со свободными полюсами на окружности //
Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 7. – С. 868 – 886.
12. Бахтин А. К. Точные оценки для внутренних радиусов систем неналегающих областей и открытых множеств
// Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 12. – С. 1601 – 1618.
13. Бахтiн О. К. Нерiвностi для внутрiшнiх радiусiв неперетинних областей та вiдкритих множин // Укр. мат.
журн. – 2009. – 61, № 5. – С. 596 – 610.
14. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. – М.: Наука, 1972. – 571 с.
15. Кузьмина Г. В. К вопросу об экстремальном разбиении римановой сферы // Зап. науч. сем. ЛОМИ. – 1990. –
185. – С. 96 – 110.
Отримано 28.12.10,
пiсля доопрацювання — 23.12.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
|