До теорії PT-симетричних операторів
Развивается общая теория PT-симметрических операторов. Основное внимание уделяется PT-симметрическим квазисамосопряженным расширениям симметрического оператора с индексом дефекта 〈 2, 2 〉. Для таких расширений исследуется возможность их интерпретации как самосопряженных операторов в пространствах Кр...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний журнал |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Український математичний журнал
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164094 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | До теорії PT-симетричних операторів / С.О. Кужіль, О.М. Пацюк // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 1. — С. 32-49. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859624659508527104 |
|---|---|
| author | Кужіль, С.О. Пацюк, О.М. |
| author_facet | Кужіль, С.О. Пацюк, О.М. |
| citation_txt | До теорії PT-симетричних операторів / С.О. Кужіль, О.М. Пацюк // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 1. — С. 32-49. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | Развивается общая теория PT-симметрических операторов. Основное внимание уделяется PT-симметрическим квазисамосопряженным расширениям симметрического оператора с индексом дефекта 〈 2, 2 〉. Для таких расширений исследуется возможность их интерпретации как самосопряженных операторов в пространствах Крейна, дается описание недействительных собственных значений. Полученные абстрактные результаты применяются к оператору Шредингера с кулоновским потенциалом на вещественной оси.
This article develops a general theory of PT -symmetric operators. Special attention is given to PT -symmetric quasiself-adjoint extensions of symmetric operator with deficiency indices 〈 2, 2 〉. For these extensions, the possibility of their
interpretation as self-adjoint operators in Krein spaces is investigated, and a description of nonreal eigenvalues is given.
These abstract results are applied to the Schrodinger operator with Coulomb potential on the real axis.
|
| first_indexed | 2025-11-29T09:40:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.98
С. О. Кужель (Iн-т математики НАН України, Нац. пед. ун-т iм. М. П. Драгоманова, Київ),
О. М. Пацюк (Iн-т математики НАН України, Київ)
ДО ТЕОРIЇ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ
This article develops a general theory of PT -symmetric operators. Special attention is given to PT -symmetric quasi-
self-adjoint extensions of symmetric operator with deficiency indices 〈2, 2〉. For these extensions, the possibility of their
interpretation as self-adjoint operators in Krein spaces is investigated, and a description of nonreal eigenvalues is given.
These abstract results are applied to the Schrödinger operator with Coulomb potential on the real axis.
Развивается общая теория PT -симметрических операторов. Основное внимание уделяется PT -симметрическим
квазисамосопряженным расширениям симметрического оператора с индексом дефекта 〈2, 2〉. Для таких расширений
исследуется возможность их интерпретации как самосопряженных операторов в пространствах Крейна, дается
описание недействительных собственных значений. Полученные абстрактные результаты применяются к оператору
Шредингера с кулоновским потенциалом на вещественной оси.
1. Вступ. Використання несамоспряжених операторiв у квантовiй механiцi сягає початкового
етапу її розвитку [1]. Стiйкий iнтерес до несамоспряжених гамiльтонiанiв значно посилився
пiсля того, як було помiчено за допомогою наближених обчислень [2] i незабаром строго
доведено [3], що спектр несамоспряженого у просторi L2(R) оператора
H = − d2
dx2
+ x2(ix)ε, 0 ≤ ε < 2,
є дiйсним i додатним. Iнтуїтивне пояснення цього факту полягало у припущеннi [2], що дiйсний
спектр оператора H зумовлений його властивiстю PT -симетрiї:
PT H = HPT ,
де оператор парностi P та оператор комплексного спряження T визначено таким чином:
Pf(x) = f(−x), T f(x) = f(x) ∀f ∈ L2(R).
Ґрунтуючись на цьому, було побудовано так зване комплексне розширення звичайної кван-
тової механiки до PT -симетричної квантової механiки, в якiй PT -симетричнi гамiльтонiани
вiдiграють важливу роль (див., наприклад, оглядову роботу [4]).
Для рiзних фiзичних моделей оператори P i T в означеннi PT -симетрiї можуть бути рiз-
ними, але лiнiйний оператор P завжди є iнволюцiєю: P2 = I, i має властивiсть унiтарностi:
(Pf,Pg) = (f, g). В свою чергу, антилiнiйний оператор T є оператором спряження в сенсi озна-
чення [5] (пункт 104). У зв’язку з цим виникає природна задача дослiдження PT -симетричних
операторiв iз абстрактної точки зору як операторiв, що дiють у довiльному гiльбертовому про-
сторi. Слiд зазначити, що поняття PT -симетричних операторiв є цiкавим i з математичної точки
зору, оскiльки воно дозволяє поєднати рiзноманiтнi методи теорiї просторiв Крейна [6], теорiї
збурень [7] та апарат алгебр Клiфорда [8, 9] для iнтерпретацiї i дослiдження PT -симетричних
операторiв.
Метою даної роботи є розвиток загальної теорiї PT -симетричних операторiв. На початку
наступного пункту наведено абстрактне означення PT -симетричних операторiв у гiльберто-
вому просторi H, де замiсть оператора парностi в L2(R) використовується довiльна унiтарна
c© С. О. КУЖЕЛЬ, О. М. ПАЦЮК, 2012
32 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
ДО ТЕОРIЇ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ 33
iнволюцiя, а замiсть оператора спряження — довiльний оператор спряження в H. Далi наведе-
но загальнi властивостi PT -симетричних операторiв та дослiджено можливiсть iнтерпретацiї
PT -симетричних операторiв як самоспряжених у просторi Крейна операторiв. Зауважимо, що
PT -симетричнi оператори не завжди будуть самоспряженими вiдносно iндефiнiтної метрики,
породженої у просторi H оператором P, а тому для їх iнтерпретацiї як самоспряжених опе-
раторiв у деякому просторi Крейна необхiдно знаходити iншi iндефiнiтнi метрики простору
H. У роботах [9, 10] було показано, що важливу роль у побудовi таких iндефiнiтних метрик
вiдiграють певнi алгебраїчнi структури, зокрема алгебра Клiфорда Cl2(P,R).
Пункт 3 є основним у данiй роботi. Тут вивчаються PT -симетричнi квазiсамоспряженi роз-
ширенняH симетричного оператора S у припущеннi, що S єPT -симетричним i комутує з усiма
елементами алгебри Клiфорда Cl2(P,R). За умови, що S має iндекс дефекту 〈2, 2〉, показано,
що довiльне PT -симетричне квазiсамоспряжене розширення H можна iнтерпретувати як са-
моспряжений оператор у просторi Крейна з iндефiнiтною метрикою, що породжена унiтарною
iнволюцiєю Pξ = eiξRP, побудованою в термiнах Cl2(P,R) (теорема 3.1). Оператори Pξ також
є PT -симетричними. Показано, що можливiсть iнтерпретацiї деяких PT -симетричних квазi-
самоспряжених розширень H як самоспряжених операторiв у просторi Крейна з iндефiнiтною
метрикою, породженою унiтарною iнволюцiєю J ∈ Cl2(P,R) без властивостi PT -симетрiї,
означає, що спектр таких операторiв H збiгається з комплексною площиною (теорема 3.2).
Теорема 3.3 мiстить опис недiйсних власних значень PT -симетричних квазiсамоспряжених
розширень H, що дає можливiсть сформулювати просту достатню умову дiйсностi спектра
оператора H (зауваження 3.1). У пунктi 4 як iлюстрацiю отриманих результатiв розглянуто
випадок PT -симетричних операторiв Шредiнгера iз сингулярними потенцiалами.
2. Aбстрактнi PT -симетричнi оператори. 2.1. Означення PT -симетричних операторiв
та їх елементарнi властивостi. Нехай H — комплексний гiльбертiв простiр. Елементи H
позначатимемо малими латинськими лiтерами f, g, h, . . . .
Довiльний оператор P, визначений на всьому просторi H, будемо називати унiтарною
iнволюцiєю, якщо
(i) P2 = I, (ii) (Pf,Pg) = (f, g). (2.1)
Iз рiвностей (2.1) випливає, що P є лiнiйним обмеженим оператором у просторi H.
Незначна модифiкацiя умови (ii) в (2.1) веде до означення оператора спряження (або анти-
унiтарної iнволюцiї).
Довiльний оператор T , визначений на всьому просторi H, називатимемо оператором спря-
ження, якщо
(i) T 2 = I, (ii) (T f, T g) = (g, f). (2.2)
Оператор спряження T є обмеженим оператором в H, але, на вiдмiну вiд унiтарних iнво-
люцiй, T є антилiнiйним, тобто
T (αf + βg) = αT f + βT g ∀α, β ∈ C. (2.3)
Зафiксуємо деяку унiтарну iнволюцiю P та оператор спряження T в H i припустимо, що
вони комутують:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
34 С. О. КУЖЕЛЬ, О. М. ПАЦЮК
PT = T P. (2.4)
Означення 2.1. Замкнений щiльно визначений у просторi H лiнiйний оператор H нази-
ватимемо PT -симетричним, якщо рiвнiсть
PT Hf = HT Pf
виконується для всiх елементiв f з областi визначення D(H) оператора H.
Зауваження 2.1. Умова PT -симетрiї використовується в PT -симетричнiй квантовiй ме-
ханiцi як деякий аналог математичної умови самоспряженостi [4].
Iз (2.4) випливає, що оператор PT також буде оператором спряження. Iнодi лiнiйний опе-
ратор, який комутує iз деяким оператором спряження PT , називають PT -дiйсним [5]. Отже,
поняття PT -симетричностi еквiвалентне поняттю PT -дiйсного оператора. Враховуючи можли-
вi фiзичнi застосування, ми вiддаватимемо перевагу першому з них.
Iз означення 2.1 випливає, що точковий, залишковий i неперервний спектриPT -симетричного
оператора H є симетричними вiдносно дiйсної осi, тобто
λ ∈ σα(H) ⇐⇒ λ ∈ σα(H), α ∈ {p, r, c}.
Властивiсть PT -симетричностi зберiгається при переходi до спряженого оператора, що
випливає з наступної леми.
Лема 2.1. Якщо оператор H є PT -симетричним у гiльбертовому просторi H, то спря-
жений до нього оператор H∗ також є PT -симетричним.
Доведення. Нехай H — PT -симетричний оператор. Iз (2.1) – (2.3) випливає, що для всiх
f ∈ D(H) i g ∈ D(H∗)
(PT Hf, g) = (HPT f, g) = (PT f,H∗g) = (PT H∗g, f).
З iншого боку, (PT Hf, g) = (T Hf,Pg) = (T Pg,Hf) = (PT g,Hf). Порiвнюючи отриманi
спiввiдношення, приходимо до висновку, що PT g ∈ D(H∗) i PT H∗g = H∗PT g для всiх
g ∈ D(H∗). Отже, спряжений оператор H∗ також є PT -симетричним.
Лему доведено.
2.2. Iнтерпретацiя PT -симетричних операторiв як самоспряжених у просторах Крей-
на. Поняття PT -симетрiї є досить загальним, i множина PT -симетричних операторiв може мi-
стити оператори з рiзноманiтними властивостями. Зокрема, в багатьох випадкахPT -симетричнi
оператори можна iнтерпретувати як самоспряженi у просторах Крейна.
Нагадаємо, що за допомогою довiльної унiтарної iнволюцiї J в гiльбертовому просторi H
можна визначити пiвторалiнiйну форму
[f, g]J := (J f, g).
Якщо J є нетривiальною унiтарною iнволюцiєю (тобто J 6= ±I), то форма [f, f ]J буде на-
бувати як додатних, так i вiд’ємних значень при рiзних f ∈ H, тобто [·, ·]J буде iндефiнiт-
ною метрикою. Гiльбертiв простiр H iз iндефiнiтною метрикою [·, ·]J будемо позначати через
(H, [·, ·]J ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
ДО ТЕОРIЇ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ 35
Простiр (H, [·, ·]J ) називається простором Крейна, якщо
dim ker(I + J ) = dim ker(I − J ) =∞. (2.5)
Умова (2.5) означає, що простiр Крейна (H, [·, ·]J ) мiстить „однакову” кiлькiсть як додатних,
так i вiд’ємних значень [f, f ]J . Iнакше (якщо (2.5) не виконується) простiр (H, [·, ·]J ) називають
простором Понтрягiна.
Рiзноманiтнi iндефiнiтнi метрики зручно будувати за допомогою алгебр Клiфорда. Пояснимо
це детальнiше, розглянувши наступний простий випадок.
Нехай унiтарнi iнволюцiї P та R антикомутують в H:
PR = −RP. (2.6)
Цi оператори можна розглядати як породжуючi елементи комплексної алгебри Клiфорда [9]
Cl2(P,R) := span{I,P,R, iRP}. Звiдси випливає, що довiльний оператор J ∈ Cl2(P,R) має
вигляд
J = α0I + α1P + α2R+ α3iRP, αj ∈ C, j = 0, 3. (2.7)
Зокрема, J буде нетривiальною унiтарною iнволюцiєю в H тодi i тiльки тодi, коли [11]
α0 = 0, α1, α2, α3 ∈ R i α2
1 + α2
2 + α2
3 = 1.
Таким чином, множина нетривiальних унiтарних iнволюцiй, побудована у термiнах алгебри
Клiфорда Cl2(P,R), складається з операторiв вигляду
J = α1P + α2R+ α3iRP, (2.8)
де ~α = (α1, α2, α3) — довiльний вектор одиничної сфери S2 в R3.
Визначаючи iндефiнiтнi метрики як [·, ·]J := (J ·, ·), де J задається (2.8), отримуємо мно-
жину рiзних просторiв Крейна (H, [·, ·]J ).
Далi вважатимемо, що унiтарнi iнволюцiї P та R комутують iз оператором спряження T ,
тобто
PT = T P, RT = T R. (2.9)
Зображення (2.8) нетривiальних унiтарних iнволюцiй J значно спрощується, якщо додат-
ково припустити, що оператор J є PT -симетричним.
Лема 2.2. Нетривiальна унiтарна iнволюцiя J ∈ Cl2(P,R) є PT -симетричною тодi i
тiльки тодi, коли iснує таке ξ ∈ [0, 2π), що
J ≡ Pξ :=
∞∑
n=0
in
n!
ξnRnP = eiξRP. (2.10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
36 С. О. КУЖЕЛЬ, О. М. ПАЦЮК
Як правило, коли PT -симетричнi оператори є гамiльтонiанами PT -симетричної кванто-
вої механiки, цi оператори можна трактувати як самоспряженi у деяких просторах Крейна
(H, [·, ·]J ) [4]. Зауважимо, що тут J не обов’язково дорiвнює P. Зокрема, для певних моделей
[9] вiдповiднi PT -симетричнi гамiльтонiани можуть бути iнтерпретованi як самоспряженi у
просторах Крейна (H, [·, ·]J ) з iндефiнiтними метриками, якi визначаються через унiтарнi iнво-
люцiї J з алгебри Клiфорда Cl2(P,R). Наступний результат показує, що при доведеннi такої
властивостi достатньо обмежитись лише пiдмножиною унiтарних iнволюцiй {Pξ}, що означена
рiвнiстю (2.10).
Лема 2.3. Якщо PT -симетричний оператор H є самоспряженим у просторi Крейна
(H, [·, ·]J ) при деякому виборi унiтарної iнволюцiї J iз множини (2.8), то оператор H також
буде самоспряженим у просторi Крейна (H, [·, ·]Pξ
) при деякiй Pξ, визначенiй за допомогою
(2.10).
Доведення. Самоспряженiсть оператора H у просторi Крейна (H, [·, ·]J ) еквiвалентна вико-
нанню тотожностi [6]
JHf = H∗J f ∀f ∈ D(H), (2.11)
де H∗ — спряжений до H у гiльбертовому просторi H.
Згiдно з лемою 2.1, операторH∗ також єPT -симетричним, а отже, рiвнiстьPT H∗ = H∗PT
виконується на D(H∗). Тодi, дiючи оператором PT на обидвi частини рiвностi (2.11) i беручи
до уваги спiввiдношення (2.6) та (2.9), отримуємо
ĴHPT f = H∗Ĵ PT f ∀f ∈ D(H), (2.12)
де Ĵ = α1P − α2R+ α3iRP.
Оскiльки оператор H є PT -симетричним, оператор спряження PT вiдображає D(H) на
D(H). Таким чином, рiвнiсть (2.12) можна записати у виглядi
ĴHf = H∗Ĵ f ∀f ∈ D(H). (2.13)
Додаючи рiвностi (2.11) i (2.13) та враховуючи, що оператор J визначається за допомогою
(2.8), отримуємо
(α1P + α3iRP)Hf = H∗(α1P + α3iRP)f
або
PξHf = H∗Pξf ∀f ∈ D(H),
де
Pξ =
α1√
1− α2
2
P +
α3√
1− α2
2
iRP = (cos ξ · I + i sin ξ · R)P = eiξRP.
Таким чином, H є самоспряженим оператором у просторi Крейна (H, [·, ·]Pξ
).
Лему доведено.
3. PT -симетричнi розширення симетричного оператора S. 3.1. Опис PT -симетричних
розширень за допомогою методу просторiв граничних значень. Нехай S — замкнений щiльно
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
ДО ТЕОРIЇ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ 37
визначений у гiльбертовому просторi H симетричний оператор iз принаймнi однiєю дiйсною
точкою регулярного типу [5, с. 349]. Остання умова означає, що S має рiвнi iндекси дефекту
[5, с. 352].
Розширення H симетричного оператора S називається власним, якщо S ⊂ H ⊂ S∗. Для
опису власних розширень зручно використовувати метод просторiв граничних значень (ПГЗ).
Нагадаємо [12], що ПГЗ оператора S∗ називається трiйка (H,Γ0,Γ1), де Γ0, Γ1 — лiнiйнi
вiдображення D(S∗) у допомiжний гiльбертiв простiр H, що задовольняють умови:
1) (S∗f, g)− (f, S∗g) = (Γ1f,Γ0g)H − (Γ0f,Γ1g)H ∀f, g ∈ D(S∗);
2) вiдображення (Γ0,Γ1) : D(S∗)→ H⊕H сюр’єктивне.
Далi припускатимемо, що оператор S є PT -симетричним i комутує з усiма елементами
алгебри Клiфорда Cl2(P,R), або, що еквiвалентно, для всiх f ∈ D(S) виконуються тотожностi
PT Sf = SPT f, SPf = PSf, SRf = RSf. (3.1)
Лема 3.1. Нехай симетричний оператор S iз принаймнi однiєю дiйсною точкою регу-
лярного типу задовольняє умови (3.1). Тодi iснує такий ПГЗ (H,Γ0,Γ1) оператора S∗, що
формули
THΓj = ΓjT , PHΓj = ΓjP, RHΓj = ΓjR, j = 0, 1, (3.2)
коректно визначають оператор спряження TH та унiтарнi iнволюцiї PH i RH iз наступними
властивостями в гiльбертовому просторi H:
THPH = PHTH, THRH = RHTH, PHRH = −RHPH. (3.3)
Доведення. Покажемо, що iснує такий ПГЗ (H,Γ0,Γ1), що формули (3.2) коректно визна-
чають оператори PH,RH i TH. Спочатку встановимо, що
P : N±i → N±i, R : N±i → N±i, T : N±i → N∓i, (3.4)
де N−i := ker (S∗ + iI), Ni := ker (S∗ − iI).
Справдi, якщо f ∈ Ni, то S∗f = if, а тому PS∗f = Pif = iPf внаслiдок лiнiйностi
оператора P. Врахувавши, що S∗P = PS∗, матимемо S∗Pf = iPf, звiдки й випливає, що
P : Ni → Ni. Аналогiчно доводяться й iншi спiввiдношення (3.4).
Якщо S має дiйснi точки регулярного типу, то його iндекси дефекту є рiвними. Звiдси
випливає, що dim N−i = dim Ni, а тому iснують унiтарнi оператори V : N−i → Ni.
Згiдно iз формулами фон Неймана, мiж самоспряженими розширеннями H оператора S
та унiтарними вiдображеннями V простору N−i на простiр Ni можна встановити взаємно
однозначну вiдповiднiсть за допомогою формули
D(H) = D(S)+̇{f−i + V f−i | f−i ∈ N−i}. (3.5)
Використовуючи це спiввiдношення, можна побудувати ПГЗ (H,Γ0,Γ1) оператора S∗ таким
чином:
H = Ni, Γ0f = fi − V f−i, Γ1f = ifi + iV f−i, (3.6)
де f = f0 + f−i + fi ∈ D(S∗), f0 ∈ D(S), f−i ∈ N−i, fi ∈ Ni.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
38 С. О. КУЖЕЛЬ, О. М. ПАЦЮК
Зрозумiло, що рiзноманiтнi додатковi властивостi самоспряженого розширенняH приводять
до додаткових властивостей оператора V в (3.5) i, далi, до додаткових властивостей ПГЗ (3.6).
Зафiксуємо дiйсну точку регулярного типу r оператора S i розглянемо оператор
H = S∗ �D(H), D(H) = D(S)+̇ ker(S∗ − rI). (3.7)
Вiдомо, що формули (3.7) визначають самоспряжене розширення оператора S. Бiльше того,
з комутацiї оператора S∗ з операторами P, R, T (що очевидним чином випливає зi спiввiдно-
шень (3.1) та леми 2.1) та з того факту, що точка r є дiйсною, випливає, що оператор H комутує
з P, R, T , тобто
HP = PH, HR = RH, HT = T H. (3.8)
Оскiльки H є самоспряженим розширенням, то його область визначення задається деяким унi-
тарним вiдображенням V у формулi (3.5). Покажемо, що для цього оператора V спiввiдношення
(3.8) еквiвалентнi наступним спiввiдношенням:
V P = PV, VR = RV, T V = V −1T . (3.9)
Розглянемо останнє зi спiввiдношень (3.8). З нього випливає, що T : D(H) → D(H). А
оскiльки T : N±i → N∓i (див. (3.4)), то з (3.5) випливає, що оператор T переводить множину
{f−i+V f−i | f−i ∈ N−i} в себе, тобто T (f−i+V f−i) = T f−i+T V f−i. Знову врахувавши третє
зi спiввiдношень (3.4), отримаємо T f−i = V T V f−i, звiдки T = V T V. Отже, T V = V −1T .
Аналогiчно доводяться й iншi спiввiдношення з (3.9).
Розглянемо ПГЗ (H,Γ0,Γ1), який визначається формулою (3.6) з оператором V, що має
додатковi властивостi (3.9). Тодi, як легко бачити, граничнi оператори Γj задовольняють спiв-
вiдношення (3.2) з1
PH = P �H, RH = R �H, TH = −V T �H .
Покажемо, наприклад, що ΓjP = P �H Γj . Справдi, для будь-якого f ∈ D(S∗):
Γ0Pf = Γ0P(f0 + fi + f−i) = Γ0(Pf0 + Pfi + Pf−i) =
= Pfi − V Pf−i = Pfi − PV f−i = PΓ0f = P �H Γ0f.
Так само переконуємося, що Γ1P = P �H Γ1.
Тепер iз формул (2.6), (2.9) i (3.2) одержуємо спiввiдношення (3.3). А подвiйне використання
(3.2) i умови P2 = R2 = T 2 = I приводить до аналогiчних спiввiдношень для операторiв PH,
RH i TH.
Покладемо
H0 = S∗ � ker Γ0, H1 = S∗ � ker Γ1. (3.10)
Iз загальної теорiї ПГЗ вiдомо [13], що Hj є самоспряженими розширеннями оператора S
(зауважимо, що iз формул (3.5) та (3.6) випливає, що H0 збiгається з оператором H, визначеним
1Символ �H означає звуження вiдповiдного оператора на H.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
ДО ТЕОРIЇ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ 39
за допомогою (3.7)). Iз рiвностей (3.2) випливає, що оператори Hj комутують iз операторами
P,R, T .
Покладемо
∆(f, g) = (S∗f, g)− (f, S∗g), f, g ∈ D(S∗). (3.11)
Iз означення ПГЗ випливає, що
∆(f0, f1) = (H0f0, f1)− (f0, H1f1) = (Γ1f0,Γ0f1)H ∀fj ∈ D(Hj).
Пiдставляючи в цей вираз елементи Pfj замiсть fj та використовуючи (3.2), одержуємо
∆(Pf0,Pf1) = (Γ1Pf0,Γ0Pf1)H = (PHΓ1f0,PHΓ0f1)H.
З iншого боку,
∆(Pf0,Pf1) = (H0Pf0,Pf1)− (Pf0, H1Pf1) = (PH0f0,Pf1)− (Pf0,PH1f1) = ∆(f0, f1).
Порiвнюючи отриманi рiвностi, отримуємо
(PHΓ1f0,PHΓ0f1)H = (Γ1f0,Γ0f1)H ∀fj ∈ D(Hj).
Звiдси та зi спiввiдношення P2
H = I �H випливає, що PH є унiтарною iнволюцiєю в H (див.
(2.1)). Аналогiчно можна показати, щоRH також буде унiтарною iнволюцiєю вH, а врахувавши
(2.2) — що TH є оператором спряження в H.
Лему доведено.
Зауважимо, що iснування ПГЗ iз властивостями, наведеними в лемi 3.1, можна також дове-
сти, спираючись на результати роботи [14].
Формули (2.7) та (3.2) встановлюють взаємно однозначну вiдповiднiсть мiж елементами
початкової алгебри Клiфорда Cl2(P,R) та її „образом” Cl2(PH,RH) у допомiжному просторi
H. Зокрема, для кожної унiтарної iнволюцiї Pξ, визначеної за допомогою (2.10), її образом буде
унiтарна iнволюцiя PξH в H, що визначається формулами
PξHΓj = ΓjPξ, j = 0, 1. (3.12)
Бiльше того, граничнi оператори Γj iз ПГЗ, який задовольняє умови леми 3.1, дозволяють
отримати „образ” оператора спряження PT у виглядi оператора спряження PHTH, що дiє в H.
Такi властивостi дозволяють легко описувати рiзноманiтнi спецiальнi класи власних розширень
оператора S.
Твердження 3.1. Нехай ПГЗ (H,Γ0,Γ1) оператора S∗ задовольняє умови леми 3.1, а
власнi розширення H оператора S задаються як звуження H = S∗ �D(H) на одну з множин
D(H) = {f ∈ D(S∗) | TΓ0f = Γ1f}, D(H) = {f ∈ D(S∗) | T ′Γ1f = Γ0f}, (3.13)
де T та T ′ — замкненi щiльно визначенi оператори в H. Тодi:
1) оператор H є PT -симетричним в H тодi i тiльки тодi, коли оператор T (або T ′) є
PHTH-симетричним в H;
2) оператор H є самоспряженим у просторi Крейна (H, [·, ·]Pξ
) тодi i тiльки тодi, коли
оператор T (або T ′) є самоспряженим у просторi Крейна (H, [·, ·]PξH
), де унiтарнi iнволюцiї
Pξ та PξH визначено формулами (2.10) та (3.12) вiдповiдно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
40 С. О. КУЖЕЛЬ, О. М. ПАЦЮК
Доведення. Доведемо перше твердження.
Якщо оператор H є PT -симетричним в H, то виконується рiвнiсть PT H = HPT , звiдки
випливає, зокрема, що оператор PT переводить область D(H) у себе. Звiдси маємо, що для
будь-якого f ∈ D(H) виконується рiвнiсть TΓ0PT f = Γ1PT f. Iз (3.2) випливає, що тодi й
TPHTHΓ0f = PHTHΓ1f, або THPHTPHTHΓ0f = Γ1f. Оскiльки за означенням D(H) має
виконуватися рiвнiсть TΓ0f = Γ1f, то THPHTPHTH = T, або TPHTH = PHTHT, звiдки й
випливає PHTH-симетричнiсть оператора T.
Навпаки, якщо оператор T є PHTH-симетричним, то, мiркуючи у зворотному напрямку,
переконуємося в тому, що оператор PT переводить множину D(H) у себе. А оскiльки оператор
S є PT -симетричним, то за лемою 2.1 оператор S∗ також є PT -симетричним. Врахувавши,
що оператор H є звуженням оператора S∗ на D(H), дiстанемо, що H є PT -симетричним
оператором.
Аналогiчнi мiркування мають мiсце й для оператора T ′.
Доведемо друге твердження. Якщо оператор H є Pξ-самоспряженим в H, то виконується
рiвнiсть PξH = H∗Pξ, звiдки випливає, зокрема, що оператор Pξ переводить область D(H) у
D(H∗). Iз теорiї просторiв граничних значень [13] вiдомо, що D(H∗) = {f ∈ D(S∗) | T ∗Γ0f =
= Γ1f}. Тому для будь-якого f ∈ D(H) виконується рiвнiсть T ∗Γ0Pξf = Γ1Pξf. Iз (3.12)
випливає, що тодi й T ∗PξHΓ0f = PξHΓ1f, або PξHT
∗PξHΓ0f = Γ1f. Оскiльки за означенням
D(H) має виконуватись рiвнiсть TΓ0f = Γ1f, то PξHT
∗PξH = T, або T ∗PξH = PξHT, звiдки
й випливає PξH-самоспряженiсть оператора T у просторi H.
Навпаки, якщо оператор T є PξH-самоспряженим у просторi H, то, мiркуючи у зворотному
напрямку, переконуємося в тому, що оператор Pξ переводить множину D(H) у D(H∗). А
оскiльки оператор S комутує з усiма елементами алгебри Клiфорда Cl2(P,R), то S комутує i з
Pξ, звiдки випливає, що S∗Pξ = PξS∗. Тодi S∗Pξ �D(H)= PξS∗ �D(H), або H∗Pξ = PξH, тобто
H є Pξ-самоспряженим в H оператором.
Подiбним чином проводиться доведення й для оператора T ′.
Твердження доведено.
3.2. Випадок iндексу дефекту 〈2, 2〉. Iнтерпретацiя PT -симетричних операторiв як
самоспряжених у просторах Крейна. Твердження 3.1 зводить перевiрку можливої iнтерпре-
тацiї PT -симетричного розширення H оператора S як самоспряженого оператора у просторi
Крейна (H, [·, ·]Pξ
) до перевiрки вiдповiдної властивостi для операторного параметра T (або
T ′). Це суттєво спрощує дослiдження у випадку скiнченних дефектних чисел оператора S, а у
випадку iндексу дефекту 〈2, 2〉 дозволяє показати, що довiльне PT -симетричне квазiсамоспря-
жене розширення можна iнтерпретувати як самоспряжений оператор у просторi Крейна. Перед
формулюванням вiдповiдного результату нагадаємо [5] (пункт 114), що власне розширення H
оператора S називається квазiсамоспряженим, якщо H не є самоспряженим оператором i його
область визначення D(H) задовольняє умову
dimD(H) = n (mod dimD(S)),
де n — дефектне число оператора S.
Теорема 3.1. Нехай симетричний оператор S iз принаймнi однiєю дiйсною точкою ре-
гулярного типу має iндекс дефекту 〈2, 2〉. Тодi довiльне PT -симетричне квазiсамоспряжене
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
ДО ТЕОРIЇ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ 41
розширення H оператора S можна iнтерпретувати як самоспряжений оператор у просторi
Крейна (H, [·, ·]Pξ
) при певному виборi параметра ξ ∈ [0, 2π).
Доведення. Згiдно з лемою 3.1, iснує ПГЗ (H,Γ0,Γ1) оператора S∗ iз властивостями (3.2),
(3.3).
Припустимо, що квазiсамоспряжене розширення H задається першою з формул (3.13).
Оскiльки S має iндекс дефекту 〈2, 2〉, розмiрнiсть допомiжного простору H дорiвнює 2. Це
означає, що алгебра Клiфорда Cl2(PH,RH) iз породжуючими операторами PH iRH збiгається
з множиною усiх операторiв, визначених на H. Tаким чином, оператор T в (3.13) можна
записати як
T = α0I + α1PH + α2RH + α3iRHPH, αj ∈ C, (3.14)
де I — тотожний оператор в H.
ЯкщоH єPT -симетричним у просторi H, то за твердженням 3.1 T будеPHTH-симетричним
в H. Але з (3.3) та (3.14) випливає, що
PHTHT = (α0I + α1PH − α2RH + α3iRHPH)PHTH.
Отже, T може бути PHTH-симетричним тодi i тiльки тодi, коли
α0 = α0, α1 = α1, α2 = −α2, α3 = α3. (3.15)
Розглянемо унiтарну iнволюцiю Pξ, визначену за допомогою (2.10). Згiдно з твердженням
3.1, оператор H буде самоспряженим у просторi Крейна (H, [·, ·]Pξ
) тодi i тiльки тодi, коли
оператор T буде самоспряженим в (H, [·, ·]PξH
). Остання умова еквiвалентна операторному
рiвнянню TPξH = PξHT
∗. Враховуючи, що PξH = eiξRHPH, одержуємо
TPξH = TeiξRHPH = T (cos ξ · PH + i sin ξ · RHPH) = (α1 cos ξ + α3 sin ξ)I+
+(α0 cos ξ + iα2 sin ξ)PH + (iα3 cos ξ − iα1 sin ξ)RH + (α0 sin ξ − iα2 cos ξ)iRHPH,
PξHT
∗ = eiξRHPHT ∗ = (cos ξ · PH + i sin ξ · RHPH)T ∗ = (α1 cos ξ + α3 sin ξ)I+
+(α0 cos ξ − iα2 sin ξ)PH + (iα1 sin ξ − iα3 cos ξ)RH + (α0 sin ξ + iα2 cos ξ)iRHPH.
Порiвнюючи отриманi вирази i беручи до уваги (3.15), отримуємо, що PHTH-симетричний
оператор T самоспряжений у просторi Крейна (H, [·, ·]PξH
) тодi i тiльки тодi, коли
α1 sin ξ = α3 cos ξ. (3.16)
Таким чином, кожний PT -симетричний оператор T можна iнтерпретувати як самоспряжений
у просторi Крейна (H, [·, ·]PξH
), де параметр ξ визначається за допомогою (3.16). Це озна-
чає, що довiльне PT -симетричне квазiсамоспряжене розширення H, яке визначається першою
iз формул (3.13), можна реалiзувати як самоспряжений оператор у деякому просторi Крей-
на (H, [·, ·]Pξ
). Зрозумiло, що це твердження залишається правильним i для PT -симетричних
квазiсамоспряжених розширень H, якi визначаються другою iз формул (3.13).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
42 С. О. КУЖЕЛЬ, О. М. ПАЦЮК
Розглянемо тепер PT -симетричне квазiсамоспряжене розширення H, яке не можна ви-
значити за допомогою формул (3.13). Це означає, що iснують такi елементи fj ∈ D(H), що
fj ∈ ker Γj , але fj 6∈ D(S). Оскiльки S має iндекс дефекту 〈2, 2〉, то
D(H) = D(S)+̇span{f0, f1}, fj ∈ ker Γj \ D(S). (3.17)
Окрiм того, елементи fj належать до областi визначення самоспряжених операторiв Hj , визна-
чених формулами (3.10). Цi оператори є також i PT -симетричними розширеннями оператора
S (завдяки твердженню 3.1). Це означає, що множини
D(H) ∩ D(Hj) = D(S)+̇span{fj}
є iнварiантними вiдносно дiї оператора PT . Отже, PT fj = uj + α(fj)fj , де uj ∈ D(S), а
ненульове число α(fj) ∈ C залежить вiд вибору вектора fj .
Подiємо оператором Γk (k 6= j ∈ {0, 1}) на останню рiвнiсть i використаємо (3.2). Як
результат, отримаємо PHTHΓkfj = α(fj)Γkfj . Звiдси випливає, що |α(fj)| = 1.
Розглянемо тепер вектор f ′j = γfj , де γ ∈ C. В цьому випадку PT f ′j = u′j + α(f ′j)f
′
j , де
α(f ′j) = α(fj)
γ
γ
. У цiй формулi |α(fj)| = 1, а γ є довiльним комплексним числом. Таким чином,
без обмеження загальностi мiркувань можемо вважати, що вектори fj у (3.17) задовольняють
спiввiдношення
PHTHΓkfj = Γkfj k 6= j, k, j ∈ {0, 1}. (3.18)
Використовуючи позначення (3.11) та беручи до уваги, що S∗ комутує з Pξ, приходимо
до висновку, що оператор H, визначений формулою (3.17), буде самоспряженим у просторi
Крейна (H, [·, ·]Pξ
) тодi i тiльки тодi, коли бiлiнiйна форма
∆(Pξf, g) = (S∗Pξf, g)− (Pξf, S∗g)
буде обертатись у нуль на множинi span{f0, f1}.
Зауважимо, що вектори fj належать областям визначення самоспряжених операторiв Hj ,
якi комутують iз Pξ. Це означає, що ∆(Pξfj , fj) = 0. Отже, форма ∆(Pξf, g) є нульовою
на span{f0, f1} тодi i тiльки тодi, коли ∆(Pξf0, f1) = 0. Використовуючи (3.12), одержуємо
∆(Pξf0, f1) = (PξHΓ1f0,Γ0f1)H. Таким чином, H буде самоспряженим у просторi Крейна
(H, [·, ·]Pξ
) тодi i тiльки тодi, коли
(PξHΓ1f0,Γ0f1)H = 0. (3.19)
Оскiльки PξH = eiξRHPH = cos ξ · PH + i sin ξ · RHPH, то (3.19) набирає вигляду
cos ξ · (PHΓ1f0,Γ0f1)H = − sin ξ · (iRHPHΓ1f0,Γ0f1)H. (3.20)
Тут вираз (PHΓ1f0,Γ0f1)H є дiйсним числом. Дiйсно, з (3.18) отримуємо
(PHΓ1f0,Γ0f1)H = (THΓ1f0, THPHΓ0f1)H = (PHΓ0f1,Γ1f0)H = (Γ0f1,PHΓ1f0)H.
Аналогiчно переконуємося, що й вираз (iRHPHΓ1f0,Γ0f1)H є дiйсним. Це випливає з наступ-
ного спiввiдношення:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
ДО ТЕОРIЇ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ 43
(iRHPHΓ1f0,Γ0f1)H = (−THiRHΓ1f0, THPHΓ0f1)H =
= (PHΓ0f1,−iRHΓ1f0)H = (Γ0f1, iRHPHΓ1f0)H.
Таким чином, множники бiля cos ξ та sin ξ у (3.20) є дiйсними числами. В такому разi завжди
знайдеться принаймнi одне ξ ∈ [0, 2π), для якого буде виконуватись (3.20), а отже, i рiвнiсть
(3.19). При такому виборi ξ операторH, визначений за допомогою (3.17), буде самоспряженим у
просторi Крейна (H, [·, ·]Pξ
). Теорему 3.1 доведено для всiх можливих класiв PT -симетричних
квазiсамоспряжених розширень оператора S.
3.3. Властивостi PT -симетричного розширення у випадку iснування його самоспря-
жених iнтерпретацiй у рiзних просторах Крейна. Неважко бачити, що Pξ = −P
ξ̃
при
|ξ − ξ̃| = π. Таким чином, якщо PT -симетричне розширення H є самоспряженим у про-
сторi Крейна (H, [·, ·]Pξ
), то те ж саме розширення H буде самоспряженим i у просторi Крейна
(H, [·, ·]P
ξ̃
). Отже, формально кажучи, довiльне PT -симетричне розширення H має самоспря-
женi iнтерпретацiї у просторах Крейна (H, [·, ·]Pξ
) i (H, [·, ·]P
ξ̃
). Зрозумiло, що така властивiсть
нiяк не впливає на спектр оператора H.
Ситуацiя докорiнно змiнюється у випадку, коли PT -симетричне розширення H можна
iнтерпретувати як самоспряжений оператор у просторi Крейна (H, [·, ·]J ) iз унiтарною iнво-
люцiєю J , яка задається загальною формулою (2.8), але не має властивостi PT -симетрiї:
PT J 6= JPT . Це призводить до „катастрофiчних” спектральних наслiдкiв.
Теорема 3.2. Нехай симетричний оператор S iз принаймнi однiєю дiйсною точкою ре-
гулярного типу має iндекс дефекту 〈2, 2〉 i PT -симетричне квазiсамоспряжене розширення
H оператора S можна iнтерпретувати як самоспряжений оператор у просторi Крейна
(H, [·, ·]J ), де унiтарна iнволюцiя J задається формулою (2.8), але не має властивостi PT -
симетрiї. Тодi спектр оператора H збiгається з комплексною площиною: σ(H) = C.
Доведення. Якщо J задається формулою (2.8), але не має властивостi PT -симетрiї, то J
не належить до пiдмножини {Pξ}ξ∈[0,2π) унiтарних iнволюцiй (див. лему 2.2). Нагадаємо, що
Pξ = eiξRP = (cos ξ · I + i sin ξ · R)P. Оскiльки оператор J не може бути зображений як
J = Pξ, то у формулi (2.8) для J коефiцiєнт α2 є вiдмiнним вiд нуля.
Самоспряженiсть H у просторi Крейна (H, [·, ·]J ) означає, що
(α1P + α2R+ α3iRP)H = H∗(α1P + α2R+ α3iRP), α2 6= 0.
Дiючи оператором PT на обидвi частини останньої рiвностi та беручи до уваги, що, згiдно
з лемою 2.1, спряжений оператор H∗ теж має властивiсть PT -симетрiї, отримуємо
(α1P − α2R+ α3iRP)H = H∗(α1P − α2R+ α3iRP).
Вiднявши вiд першої рiвностi другу i врахувавши, що α2 6= 0, дiстанемо RH = H∗R.
З iншого боку, згiдно з теоремою 3.1, PξH = H∗Pξ для певного ξ ∈ [0, 2π). Отже,
iRPξH = iRH∗Pξ = HiRPξ,
тобто H комутує з iRPξ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
44 С. О. КУЖЕЛЬ, О. М. ПАЦЮК
Зауважимо, що оператори R та Pξ антикомутують. Отже, оператор iRPξ є унiтарною
iнволюцiєю в H i простiр H може бути розкладений у пряму суму пiдпросторiв:
H = (I + iRPξ)H⊕ (I − iRPξ)H. (3.21)
Оскiльки H комутує з iRPξ, то оператор H допускає матричне зображення
H =
(
H+ 0
0 H−
)
, H+ = H �(I+iRPξ)H, H− = H �(I−iRPξ)H (3.22)
вiдносно розкладу (3.21).
Зауважимо, що симетричний оператор S також комутує з iRPξ, а отже, S+⊆H+⊆S∗+ i
S−⊆H−⊆S∗−, де S+ = S �(I+iRPξ)H є симетричним оператором з iндексом дефекту < 1, 1>
у пiдпросторi (I + iRPξ)H гiльбертового простору H, а S− = S �(I−iRPξ)H — симетричним
оператором з iндексом дефекту <1, 1> у пiдпросторi (I − iRPξ)H.
Унiтарна iнволюцiя iRPξ комутує з оператором PT . Тому iз властивостi PT -симетричностi
оператора H випливають наступнi спiввiдношення для операторiв H± в (3.22):
PT H+ = H+PT , PT H− = H−PT . (3.23)
Покажемо, що за таких умов H+ збiгається з S+ або з S∗+.
Припустимо протилежне: H+ є власним розширенням оператора S+, тобто S+⊂H+⊂S∗+.
Нехай ПГЗ (H,Γ0,Γ1) оператора S∗ задовольняє умови леми 3.1. Тодi трiйка (H′,Γ0 �D(S∗+),
Γ1 �D(S∗+)), де H′ = (I + iRHPξH)H, буде ПГЗ оператора S∗+. Оскiльки S+ має iндекс дефекту
<1, 1>, то умова S+⊂H+⊂S∗+ означає, що
D(H+) = {f ∈ D(S∗+) | tΓ0f = Γ1f} або D(H+) = {f ∈ D(S∗+) | Γ0f = tΓ1f},
де t ∈ C. Припустимо для визначеностi, що D(H+) визначається першою з формул. Беручи
до уваги властивостi (3.2) i враховуючи (3.23), одержуємо tPHTH = PHTHtI = tPHTH. Отже,
число t може бути тiльки дiйсним. Це означає, що H+ буде самоспряженим розширенням.
Зазначимо, що якщо S+⊂H+⊂S∗+, то обов’язково S−⊂H−⊂S∗− (iнакше буде суперечнiсть з
умовою квазiсамоспряженостi H). Повторюючи попереднi мiркування, переконуємося, що H−
теж буде самоспряженим розширенням. Але тодi H — самоспряжений оператор, що суперечить
умовi квазiсамоспряженостi. Отримана суперечнiсть приводить до висновку, що H+ = S+ i
H− = S∗−, або H+ = S∗+ i H− = S−. Легко бачити, що при таких H± спектр вiдповiдного
оператора H збiгається з C (див. [10]).
Теорему доведено.
3.4. Спектральний аналiз. Нехай (H,Γ0,Γ1) є довiльним ПГЗ оператора S∗.Функцiя Вейля
M(·) оператора S, асоцiйована з ПГЗ (H,Γ0,Γ1), визначається таким чином [15]:
M(µ)Γ0fµ = Γ1fµ ∀fµ ∈ ker(S∗ − µI) ∀µ ∈ C \ R. (3.24)
Значеннями функцiї Вейля M(µ) є оператори в H, i її вигляд залежить вiд вибору ПГЗ.
Зокрема, має мiсце така лема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
ДО ТЕОРIЇ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ 45
Лема 3.2. Якщо iндекс дефекту оператора S є 〈2, 2〉, а ПГЗ (H,Γ0,Γ1) задовольняє умови
леми 3.1, то вiдповiдна функцiя Вейля має виглядM(µ) = m(µ)I, деm(µ) є комплекснозначною
аналiтичною функцiєю в C± такою, що m(µ) = m(µ).
Доведення. Оскiльки у випадку iндексу дефекту 〈2, 2〉 алгебра Клiфорда Cl2(PH,RH) iз
породжуючими операторами PH i RH збiгається з множиною усiх операторiв, визначених на
H, то оператор M(µ) можна записати як
M(µ) = m0(µ)I +m1(µ)PH +m2(µ)RH +m3(µ)iRHPH,
де I — тотожний оператор в H.
Iз леми 2.13 у [10] випливає, що M(µ) комутує iз операторами PH i RH.
Оскiльки PHM(µ) = (m0(µ)I +m1(µ)PH−m2(µ)RH−m3(µ)iRHPH)PH = M(µ)PH, то
m2(µ) = m3(µ) = 0, а оскiлькиRHM(µ) = (m0(µ)I−m1(µ)PH+m2(µ)RH−m3(µ)iRHPH)×
×RH = M(µ)RH, то m1(µ) = m3(µ) = 0.
Звiдси випливає, що M(µ) = m(µ)I, де m(µ) := m0(µ) є комплекснозначною аналiтичною
функцiєю в C±. Покажемо тепер, що функцiя m(µ) має властивiсть m(µ) = m(µ).
Очевидно, що якщо fµ ∈ ker(S∗ − µI), то PT fµ ∈ ker(S∗ − µI). Позначимо PT fµ
через fµ. Далi, iз (3.24) маємо M(µ)Γ0fµ = Γ1fµ. Звiдси M(µ)Γ0PT fµ = Γ1PT fµ, або
M(µ)PHTHΓ0fµ = PHTHΓ1fµ.Врахувавши (3.24), матимемоM(µ)PHTHΓ0fµ = PHTHM(µ)×
×Γ0fµ. Отже, M(µ)PHTH = PHTHM(µ). А оскiльки M(µ) = m(µ)I, то m(µ)PHTH =
= PHTHm(µ) = m(µ)PHTH, звiдки m(µ) = m(µ).
Лему доведено.
Iз теореми 3.2 випливає, що множина PT -симетричних розширень оператора S мiстить
оператори, спектр яких заповнює всю комплексну площину. Наступне твердження показує, що
такi оператори не визначаються формулами (3.13).
Твердження 3.2. Нехай iндекс дефекту оператора S є 〈2, 2〉 а ПГЗ (H,Γ0,Γ1) задоволь-
няє умови леми 3.1. Тодi PT -симетричнi квазiсамоспряженi розширення оператора S, спектр
яких заповнює всю комплексну площину, не можуть задаватися формулами (3.13).
Доведення. Нехай спектр PT -симетричного квазiсамоспряженого розширенняH оператора
S збiгається з C. Оскiльки H є PT -симетричним розширенням, то, згiдно з теоремою 3.1, його
можна iнтерпретувати як Pξ-самоспряжений оператор для деякого ξ ∈ [0, 2π). Iз результатiв
[10] випливає, що область D(H) може бути задана як звуження D(S∗) на множину i(U +
+ I)Γ0f + (U − I)PξHΓ1f = 0, де U — така унiтарна iнволюцiя в H, що антикомутує з PξH.
Покажемо, що останню формулу не можна записати у виглядi жодної з формул (3.13). Для
цього, очевидно, достатньо показати, що iснують такi елементи f0, f1 ∈ D(H), що fj ∈ ker Γj ,
але fj 6∈ D(S).
Запишемо область визначення розширення H у виглядi
D(H) = {f ∈ D(S∗) | i(U + I)Γ0f = PξH(U + I)Γ1f} (3.25)
i подамо простiр H у виглядi H = H+ +H−, де H+ = (I + U)H,H− = (I − U)H.
Iз сюр’єктивностi вiдображення (Γ0,Γ1) : D(S∗) → H ⊕H випливає iснування таких еле-
ментiв f0 i f1, що Γ0f0 = 0,Γ1f0 6= 0, до того ж Γ1f0 ∈ H− i Γ0f1 6= 0,Γ1f1 = 0, а Γ0f1 ∈ H−.
Iз (3.25) одержуємо, що вектори f0, f1 належать D(H). Отже, елементи f0 i f1 є шуканими.
Твердження доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
46 С. О. КУЖЕЛЬ, О. М. ПАЦЮК
Враховуючи твердження 3.2, доцiльно проводити спектральний аналiз лише для PT -симет-
ричних квазiсамоспряжених розширень H, якi задаються однiєю iз формул (3.13). Без обмежен-
ня загальностi будемо вважати, що такi розширення задаються першою формулою в (3.13).
Отже,
H = S∗ �D(H), D(H) = {f ∈ D(S∗) | TΓ0f = Γ1f}. (3.26)
Лема 3.3. ОператорH, визначений за допомогою (3.26), одночасно будеPT -симетричним
i самоспряженим у просторi Крейна (H, [·, ·]Pξ
) тодi i тiльки тодi, коли
T = β0I + β1PξH + β2RH, (3.27)
де коефiцiєнти β0, β1 є дiйсними, а коефiцiєнт β2 — чисто уявним.
Доведення. Згiдно iз твердженням 3.1, оператор H одночасно буде PT -симетричним та
самоспряженим у просторi Крейна (H, [·, ·]Pξ
) тодi i тiльки тодi, коли
TPHTH = PHTHT та TPξH = PξHT
∗.
Зауважимо, що фундаментальнi симетрiї PξH iRH антикомутують у гiльбертовому просторi
H. Тому алгебра Клiфорда Cl2(PξH,RH) iз породжуючими операторами PξH i RH збiгається
з множиною усiх операторiв, визначених на H. Таким чином, оператор T можна записати як
T = β0I + β1PξH + β2RH + β3iRHPξH, βj ∈ C, (3.28)
де I — тотожний оператор в H. Мiркуючи, як i при доведеннi теореми 3.1, одержуємо, що
перша та друга рiвностi в (3.28) еквiвалентнi умовам
β0 = β0, β1 = β1, β2 = −β2, β3 = β3 (3.29)
i
β0 = β0, β1 = β1, β2 = −β2, β3 = −β3 (3.30)
вiдповiдно. Порiвнюючи (3.29) i (3.30), завершуємо доведення леми.
Теорема 3.3. Нехай S є симетричним оператором iз принаймнi однiєю дiйсною точкою
регулярного типу та iндексом дефекту 〈2, 2〉, ПГЗ (H,Γ0,Γ1) оператора S∗ задовольняє умови
леми 3.1, а M(µ) = m(µ)I є вiдповiдною функцiєю Вейля. Оператор H, визначений за допо-
могою (3.26) та (3.27), буде мати недiйсне власне значення µ ∈ C \R тодi i тiльки тодi, коли
коефiцiєнти βj у (3.27) задовольняють спiввiдношення
β0 = Re m(µ), |β2|2 = β21 + (Im m(µ))2. (3.31)
Доведення. Вiдомо [12], що µ ∈ C \ R належить до точкового спектра оператора H, визна-
ченого формулою (3.26), тодi i тiльки тодi, коли рiвняння (T −M(µ))h = 0 має нетривiальний
розв’язок h ∈ H. З огляду на те, що оператор T визначається формулою (3.27), а функцiя Вейля
має вигляд M(µ) = m(µ)I, запишемо це рiвняння у виглядi
(β0 −m(µ))h+ β1PξHh+ β2RHh = 0. (3.32)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
ДО ТЕОРIЇ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ 47
Оскiльки простiр H має розмiрнiсть 2, то його можна ототожнити з C2. Бiльше того,
враховуючи, що PξH та RH є антикомутуючими унiтарними iнволюцiями в H, це ототожнення
можна визначити таким чином, що оператори PξH i RH переходять в оператори множення на
матрицi Паулi σ1 =
(
0 1
1 0
)
i σ3 =
(
1 0
0 −1
)
вiдповiдно. Отже,
h↔
(
h1
h2
)
, hj ∈ C, PξH ↔ σ1, RH ↔ σ3.
Врахувавши цi ототожнення в (3.32), отримаємо еквiвалентну систему рiвнянь
(β0 −m(µ) + β2)h1 + β1h2 = 0,
β1h1 + (β0 −m(µ)− β2)h2 = 0.
′
Пiдраховуючи дискримiнант, приходимо до висновку, що система має нетривiальнi розв’язки
hj тодi i тiльки тодi, коли
(β0 −m(µ))2 − β21 − β22 = 0.
Беручи до уваги, що β0 та β1 є дiйсними числами, а β2 — суто уявним числом (лема 3.3),
а отже, −β22 = |β2|2, та обчислюючи уявну та дiйсну частини даного рiвняння, отримуємо
спiввiдношення (3.31).
Теорему доведено.
Зауваження 3.1. У зображеннi (3.27) оператора T параметри β0 та β1 характеризують
його дiйсну (самоспряжену) частину, а параметр β2 описує уявну (антисамоспряжену) частину.
Якщо |β2| ≤ |β1|, то друга рiвнiсть у (3.31) не може виконуватись, i тодi вiдповiдний оператор
H буде мати лише дiйсний спектр.
4. Приклад. Розглянемо оператор Шредiнгера з кулонiвським потенцiалом на дiйснiй осi
l(u) = −d
2u
dx2
− 1
|x|
u. (4.1)
Кулонiвський потенцiал V (x) = − 1
|x|
має сингулярнiсть у точцi x = 0 i вiдповiдає випадку
граничного кола з обох бокiв точки x = 0. На нескiнченностi цей потенцiал вiдповiдає випадку
граничної точки.
Позначимо через S+ та S− мiнiмальнi оператори, породженi виразом (4.1) у просто-
рах L2(0,+∞) та L2(−∞, 0) вiдповiдно. Цi оператори є симетричними з iндексами дефекту
< 1, 1 >. Таким чином, оператор S, визначений рiвнiстю S = S− + S+ вiдносно розкладу
L2(R) = L2(−∞, 0)⊕L2(0,+∞), буде симетричним у просторi L2(R) iз iндексом дефекту
〈2, 2〉.
Оператор S є мiнiмальним оператором для виразу (4.1), що розглядається на дiйснiй осi. З
означення S випливає, що D(S) = D(S−) ⊕ D(S+). Тому область визначення максимального
оператора S∗, асоцiйованого з виразом (4.1), також можна записати у виглядi D(S∗) = D(S∗−)⊕
⊕D(S∗+).
У просторi L2(R) розглянемо антикомутуючi унiтарнi iнволюцiї
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
48 С. О. КУЖЕЛЬ, О. М. ПАЦЮК
Pu(x) = u(−x), Ru(x) = sgn(x)u(x).
Легко бачити, що оператори S та S∗ комутують iз алгеброю Клiфорда Cl2(P,R), а також
виконуються спiввiдношення P : D(S∗−)→ D(S∗+) i
PS∗−f− = S∗+Pf− ∀f− ∈ D(S∗−). (4.2)
Покладемо
η0(x) = −x, η1(x) = x lnx+ 1, x ≥ 0.
Вiдомо [16], що для всiх f+ ∈ D(S∗+) iснують границi
[f+, ηj ]0 := lim
x→0+
f+(x)η′j(x)− f ′+(x)ηj(x), j = 0, 1.
Зауважимо, що функцiї f− ∈ D(S∗−) мають носiй, зосереджений на (−∞, 0). Тому функцiї
f−(−x) = Pf−(x) є вiдмiнними вiд нуля на (0,+∞) i належать D(S∗+). Отже, границi
[f−, ηj ]0 := lim
x→0+
f−(−x)η′j(x)− f ′−(−x)ηj(x), j = 0, 1,
також iснують.
Довiльний елемент f ∈ D(S∗) запишемо у виглядi f = f− + f+, f± ∈ D(S∗±) i покладемо
Γ0f =
(
[f+, η0]0
[f−, η0]0
)
, Γ1f =
(
[f+, η1]0
[f−, η1]0
)
. (4.3)
Лема 4.1. Трiйка (C2,Γ0,Γ1), де оператори Γj визначенi за допомогою (4.3), є ПГЗ
оператора S∗ iз властивостями (3.2), тобто
TC2Γj = ΓjT , σ1Γj = ΓjP, σ3Γj = ΓjR, (4.4)
де TC2 — оператор комплексного спряження в C2, а σ1, σ3 — матрицi Паулi.
Доведення. Покладемо Γ+
j = [f+, ηj ]0. Тодi формули (4.3) можна записати у виглядi
Γ0f =
(
Γ+
0 f+
Γ+
0 Pf−
)
, Γ1f =
(
Γ+
1 f+
Γ+
1 Pf−
)
. (4.5)
Вiдомо [17] (теорема 4), що трiйка (C,Γ+
0 ,Γ
+
1 ) є ПГЗ оператора S∗+. Звiдси, враховуючи
(4.2), отримуємо, що трiйка (C,Γ+
0 P,Γ
+
1 P) є ПГЗ оператора S∗−. Беручи до уваги те, що S∗ є
ортогональною сумою операторiв S∗− i S∗+, та формули (4.5), приходимо до висновку, що трiйка
(C2,Γ0,Γ1) є ПГЗ оператора S∗. Формули (4.4) перевiряються безпосередньо з використанням
(4.3) та означення [f±, ηj ]0.
Лему 4.1 доведено.
Порiвнюючи рiвностi (3.2) та (4.4), отримуємо PH = σ1 i RH = σ3. Тодi, враховуючи, що
PξH = (cos ξ · I + i sin ξ · RH)PH, одержуємо
PξH =
(
0 eiξ
e−iξ 0
)
.
Тепер iз лем 3.3, 4.1 та теореми 3.3 одержуємо, що формула
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
ДО ТЕОРIЇ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ 49
H = S∗ �D(H),
D(H) =
{
f ∈ D(S∗)
∣∣∣∣∣
(
β0 + β2 β1e
iξ
β1e
−iξ β0 − β2
)(
[f+, η0]0
[f−, η0]0
)
=
(
[f+, η1]0
[f−, η1]0
)}
,
де f = f−+f+ (f± ∈ D(S∗±)), а β0, β1 ∈ R, β2 ∈ iR, визначає породженi диференцiальним вира-
зом (4.1) PT -симетричнi оператори, якi є самоспряженими у просторi Крейна (L2(R), [·, ·]Pξ
),
ξ ∈ [0, 2π). Цi оператори мають дiйсний спектр, якщо |β2| ≤ |β1|. Якщо ця нерiвнiсть не ви-
конується, наявнiсть недiйсних власних значень визначається рiвняннями (3.31). Легко бачити,
що в цих рiвняннях функцiя m(·) є функцiєю Вейля симетричного оператора S+, яка визначена
за допомогою ПГЗ (C,Γ+
0 ,Γ
+
1 ).
Зауваження 4.1. За незначних модифiкацiй (змiна функцiй ηj(x)) подiбнi результати мо-
жуть бути одержанi для широкого класу операторiв Шредiнгера з парними сингулярними по-
тенцiалами, розглянутих у роботi А. Н. Кочубея [17]. Єдиною принциповою вiдмiннiстю таких
моделей є рiзнi функцiї Вейля m(µ) у рiвняннях (3.31), якi будуть давати рiзнi розташування
недiйсних власних значень.
1. Dirac P. A. M. Bakerian lecture. The physical interpretation of quantum mechanics // Proc. Roy. Soc. London A. –
1942. – 180, № 980. – P. 1 – 40.
2. Bender C. M., Boettcher S. Real spectra in non-Hermitian Hamiltonians having PT -symmetry // Phys. Rev. Lett. –
1998. – 80, № 24. – P. 5243 – 5246.
3. Dorey P., Dunning C., Tateo R. Spectral equivalence, Bethe ansatz, and reality properties in PT -symmetric quantum
mechanics // J. Phys. A: Math. and Gen. – 2001. – 34, № 28. – P. 5679 – 5704.
4. Bender C. M. Making sense of non-Hermitian Hamiltonians // Repts Progr. Phys. – 2007. – 70, № 6. – P. 947 – 1018.
5. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. – Изд. 2-е, перераб.
и доп. – М.: Наука, 1966. – 544 с.
6. Азизов Т. Я., Иохвидов И. С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой.
– М.: Наука, 1986. – 352 с.
7. Caliceti E., Cannata F., Graffi S. PT -symmetric Schrodinger operators, reality of the perturbed eigenvalues //
SIGMA. – 2010. – 6. – P. 9 – 17.
8. Lounesto P. Clifford algebras and spinors. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2001. – 338 p.
9. Günther U., Kuzhel S. PT -symmetry, Cartan decompositions, Lie triple systems and Krein space related Clifford
algebras // J. Phys. A: Math. and Theor. – 2010. – 43, № 39. – P. 392002 – 392011.
10. Kuzhel S., Patsiuk O. On self-adjoint operators in Krein spaces constructed by Clifford algebra Cl2 // Opusc. Math.
– 2012. – 32, № 2. – P. 297 – 316.
11. Kuzhel S., Trunk C. On a class of J-self-adjoint-operators with empty resolvent set // J. Math. Anal. and Appl. –
2011. – 379, № 1. – P. 272 – 289.
12. Горбачук В. И., Горбачук М. Л., Кочубей А. Н. Теория расширений симметрических операторов и граничные
задачи для дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. — 1989. – 41, № 10. – С. 1299 – 1313.
13. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. – Киев:
Наук. думка, 1984. – 284 с.
14. Кочубей А. Н. О расширениях J-симметрических операторов // Теория функций, функцион. анализ и прил. –
1979. – 31. – С. 74 – 80.
15. Derkach V. A., Malamud M. M. Generalized resolvents and the boundary value problems for Hermitian operators
with gaps // J. Funct. Anal. – 1991. – 95, № 1. – P. 1 – 95.
16. Zettl A. Sturm-Liouville theory. – Providence: Amer. Math. Soc., 2005. – 330 p.
17. Кочубей А. Н. Самосопряженные расширения оператора Шредингера с сингулярным потенциалом // Сиб. мат.
журн. – 1991. – 32, № 3. – С. 60 – 69.
Одержано 13.10.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164094 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-29T09:40:06Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Український математичний журнал |
| record_format | dspace |
| spelling | Кужіль, С.О. Пацюк, О.М. 2020-02-08T12:13:22Z 2020-02-08T12:13:22Z 2012 До теорії PT-симетричних операторів / С.О. Кужіль, О.М. Пацюк // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 1. — С. 32-49. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164094 517.98 Развивается общая теория PT-симметрических операторов. Основное внимание уделяется PT-симметрическим квазисамосопряженным расширениям симметрического оператора с индексом дефекта 〈 2, 2 〉. Для таких расширений исследуется возможность их интерпретации как самосопряженных операторов в пространствах Крейна, дается описание недействительных собственных значений. Полученные абстрактные результаты применяются к оператору Шредингера с кулоновским потенциалом на вещественной оси. This article develops a general theory of PT -symmetric operators. Special attention is given to PT -symmetric quasiself-adjoint extensions of symmetric operator with deficiency indices 〈 2, 2 〉. For these extensions, the possibility of their interpretation as self-adjoint operators in Krein spaces is investigated, and a description of nonreal eigenvalues is given. These abstract results are applied to the Schrodinger operator with Coulomb potential on the real axis. uk Український математичний журнал Український математичний журнал Статті До теорії PT-симетричних операторів On the theory of PT-symmetric operators Article published earlier |
| spellingShingle | До теорії PT-симетричних операторів Кужіль, С.О. Пацюк, О.М. Статті |
| title | До теорії PT-симетричних операторів |
| title_alt | On the theory of PT-symmetric operators |
| title_full | До теорії PT-симетричних операторів |
| title_fullStr | До теорії PT-симетричних операторів |
| title_full_unstemmed | До теорії PT-симетричних операторів |
| title_short | До теорії PT-симетричних операторів |
| title_sort | до теорії pt-симетричних операторів |
| topic | Статті |
| topic_facet | Статті |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164094 |
| work_keys_str_mv | AT kužílʹso doteorííptsimetričnihoperatorív AT pacûkom doteorííptsimetričnihoperatorív AT kužílʹso onthetheoryofptsymmetricoperators AT pacûkom onthetheoryofptsymmetricoperators |