Знакозмінні функції Ляпунова в теорії лінійних розширень динамічних систем на торі

Знакозмінні функції Ляпунова в теорії лінійних розширень динамічних систем на торі

Рассмотрен ряд проблем, возникающих при применении функций Ляпунова в виде квадратичных форм к исследованию свойств регулярности линейных расширений динамических систем на торе. A number of problems are considered that arise in applying the quadratic-form Lyapunov functions to the study of regular...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Published in:Український математичний журнал
Date:2007
Main Authors: Кулик, В.Л., Степаненко, Н.В.
Format: Article
Language:Ukrainian
Published: Інститут математики НАН України 2007
Subjects:
Статті
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164114
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Знакозмінні функції Ляпунова в теорії лінійних розширень динамічних систем на торі / В.Л. Кулик, Н.В. Степаненко // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 4. — С. 488–500. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164114
record_format dspace
spelling Кулик, В.Л.
Степаненко, Н.В.
2020-02-08T12:36:06Z
2020-02-08T12:36:06Z
2007
Знакозмінні функції Ляпунова в теорії лінійних розширень динамічних систем на торі / В.Л. Кулик, Н.В. Степаненко // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 4. — С. 488–500. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
1027-3190
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164114
517.938
Рассмотрен ряд проблем, возникающих при применении функций Ляпунова в виде квадратичных форм к исследованию свойств регулярности линейных расширений динамических систем на торе.
A number of problems are considered that arise in applying the quadratic-form Lyapunov functions to the study of regularity properties of linear extensions of dynamical systems on a torus.
uk
Інститут математики НАН України
Український математичний журнал
Статті
Знакозмінні функції Ляпунова в теорії лінійних розширень динамічних систем на торі
Alternating Lyapunov functions in the theory of linear extensions of dynamical systems on a torus
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Знакозмінні функції Ляпунова в теорії лінійних розширень динамічних систем на торі
spellingShingle Знакозмінні функції Ляпунова в теорії лінійних розширень динамічних систем на торі
Кулик, В.Л.
Степаненко, Н.В.
Статті
title_short Знакозмінні функції Ляпунова в теорії лінійних розширень динамічних систем на торі
title_full Знакозмінні функції Ляпунова в теорії лінійних розширень динамічних систем на торі
title_fullStr Знакозмінні функції Ляпунова в теорії лінійних розширень динамічних систем на торі
title_full_unstemmed Знакозмінні функції Ляпунова в теорії лінійних розширень динамічних систем на торі
title_sort знакозмінні функції ляпунова в теорії лінійних розширень динамічних систем на торі
author Кулик, В.Л.
Степаненко, Н.В.
author_facet Кулик, В.Л.
Степаненко, Н.В.
topic Статті
topic_facet Статті
publishDate 2007
language Ukrainian
container_title Український математичний журнал
publisher Інститут математики НАН України
format Article
title_alt Alternating Lyapunov functions in the theory of linear extensions of dynamical systems on a torus
description Рассмотрен ряд проблем, возникающих при применении функций Ляпунова в виде квадратичных форм к исследованию свойств регулярности линейных расширений динамических систем на торе. A number of problems are considered that arise in applying the quadratic-form Lyapunov functions to the study of regularity properties of linear extensions of dynamical systems on a torus.
issn 1027-3190
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164114
citation_txt Знакозмінні функції Ляпунова в теорії лінійних розширень динамічних систем на торі / В.Л. Кулик, Н.В. Степаненко // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 4. — С. 488–500. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
work_keys_str_mv AT kulikvl znakozmínnífunkcíílâpunovavteoríílíníinihrozširenʹdinamíčnihsistemnatorí
AT stepanenkonv znakozmínnífunkcíílâpunovavteoríílíníinihrozširenʹdinamíčnihsistemnatorí
AT kulikvl alternatinglyapunovfunctionsinthetheoryoflinearextensionsofdynamicalsystemsonatorus
AT stepanenkonv alternatinglyapunovfunctionsinthetheoryoflinearextensionsofdynamicalsystemsonatorus
first_indexed 2025-11-24T16:26:48Z
last_indexed 2025-11-24T16:26:48Z
_version_ 1850483902703992832
fulltext UDK 517.938 V. L. Kulyk (Silez. texn. un-t, Hlivice, Pol\wa), N. V. Stepanenko (Nac. texn. un-t Ukra]ny „KPI”, Ky]v) ZNAKOZMINNI FUNKCI} LQPUNOVA V TEORI} LINIJNYX ROZÍYREN| DYNAMIÇNYX SYSTEM NA TORI A number of problems are considered that arise in applying the quadratic-form Lyapunov functions to the study of regularity properties of linear extensions of dynamical systems on a torus. Rassmotren rqd problem, voznykagwyx pry prymenenyy funkcyj Lqpunova v vyde kvadratyç- n¥x form k yssledovanyg svojstv rehulqrnosty lynejn¥x rasßyrenyj dynamyçeskyx system na tore. U teori] linijnyx bahatoçastotnyx kolyvan\ vynyka[ rqd pytan\, pov’qzanyx z doslidΩennqm invariantnyx toriv avtonomnyx system dyferencial\nyx rivnqn\. Odnymy z vaΩlyvyx pytan\ [ zbereΩennq invariantnyx toriv pry malyx zburen- nqx, a takoΩ povedinka rozv’qzkiv system na samyx torax i v ]x okoli. Porqd z hlybokymy doslidΩennqmy v danomu naprqmku [1 – 9] isnu[ rqd problem, qki i s\ohodni ne vda[t\sq povnistg vyrißyty. Cg stattg prysvqçeno doslidΩenng deqkyx zadaç, qki vynykagt\ pry zastosuvanni funkcij Lqpunova v teori] linij- nyx rozßyren\ dynamiçnyx system na tori. Rozhlqnemo systemu dyferencial\nyx rivnqn\ d dt ϕ = a ( ϕ ) , dx dt = A ( ϕ ) x , (1) de ϕ = ( ϕ1, … , ϕm ) i x = ( x1, … , xn ) — vidpovidno m- i n-vymirnyj vektory, vektor-funkciq a ( ϕ ) vyznaçena, neperervna pry vsix ϕ ∈ R m i periodyçna za koΩnog zminnog ϕj , j = 1, m , z periodom 2π. Pryjnqto hovoryty, wo funkciq a ( ϕ ) vyznaçena na m-vymirnomu tori T m , tobto naleΩyt\ prostoru nepererv- nyx funkcij C ( Tm ) . Dali budemo prypuskaty, wo zadaça Koßi d dt ϕ = a ( ϕ ) , ϕ t = 0 = ϕ ma[ [dynyj rozv’qzok ϕt ( ϕ ) dlq koΩnoho fiksovanoho znaçennq ϕ ∈ ∈ Tm . Cej rozv’qzok zavΩdy bude vyznaçenyj pry vsix t ∈ R, R = ( – ∞, + ∞ ) , i neperervno zaleΩatyme vid poçatkovyx danyx ϕ . V systemi (1) A ( ϕ ) — kvad- ratna matrycq, elementamy qko] [ neperervni i 2π-periodyçni funkci], tobto A ( ϕ ) ∈ C ( Tm ) . Systemu (1) pryjnqto nazyvaty linijnym odnoridnym rozßyren- nqm dynamiçno] systemy na tori. Porqd z systemog (1) budemo rozhlqdaty vid- povidnu neodnoridnu systemu d dt ϕ = a ( ϕ ) , dx dt = A ( ϕ ) x + f ( ϕ ) , (2) de vektor-funkciq f ( ϕ ) ∈ C ( Tm ) . Nahada[mo oznaçennq prostoru ′C T am( ; ) , invariantnoho tora systemy (2) i funkci] Hrina zadaçi pro invariantni tory G0 ( τ, ϕ ) systemy (1) [1, 2]. Oznaçennq*1. ′C T am( ; ) [ pidprostorom C ( Tm ) neperervnyx funkcij F ( ϕ ) takyx, wo superpozyciq F ( ϕt ( ϕ )) [ neperervno dyferencijovnog funkci[g za zminnog t, t ∈ R . Pry c\omu dF dt t t ( ( ))ϕ ϕ = 0 df= ˙ ( )F ϕ ∈ C ( Tm ) . © V. L. KULYK, N. V. STEPANENKO, 2007 488 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4 ZNAKOZMINNI FUNKCI} LQPUNOVA V TEORI} LINIJNYX … 489 Oznaçennq*2. Hovorqt\, wo systema (2) ma[ invariantnyj tor, vyznaçenyj rivnistg x = u ( ϕ ) , (3) qkwo u ( ϕ ) ∈ ′C T am( ; ) i vykonu[t\sq totoΩnist\ ˙ ( )u ϕ ≡ A u f( ) ( ) ( )ϕ ϕ ϕ+ ∀ ϕ ∈ Tm . Poznaçagçy çerez Ωτ ϕt ( ) ( )( ) ( ; )Ω Ωτ τϕ ϕt t A= fundamental\nu matrycg rozv’qzkiv linijno] systemy dx dt = A xt( )( )ϕ ϕ , normovanu v toçci t = τ, tobto Ωτ τ ϕt t ( ) = = In ( In — n-vymirna odynyçna matrycq), nahada[mo oznaçennq funk- ci] Hrina [2]. Oznaçennq*3. Qkwo isnu[ n -vymirna kvadratna matrycq C C Tm( ) ( )ϕ ∈ taka, wo dlq funkci] G0( , )τ ϕ = Ω Ω τ τ τ τ ϕ ϕ ϕ τ ϕ ϕ ϕ τ 0 0 0 0 ( ) ( ) , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) C C In ≤ −[ ] >    (4) vykonu[t\sq ocinka G0( , )τ ϕ ≤ K exp −{ }γ τ , K, λ = const > 0, ∀ ∈τ R, ∀ ∈ϕ Tm , (5) to funkcig (4) nazyvagt\ funkci[g Hrina zadaçi pro invariantni tory syste- my (1). Systemy (1), qki magt\ [dynu funkcig Hrina (4) z ocinkog (5), pryjnqto na- zyvaty rehulqrnymy, a systemy, wo magt\ xoça b odnu funkcig Hrina, — slab- korehulqrnymy. Rozhlqnemo pryklad systemy (1) d dt ϕ = sin ϕ , dx dt = λ ϕ(cos ) x , λ = const > 0. (6) PokaΩemo, wo cq systema ma[ bezliç riznyx funkcij Hrina (4), i zapyßemo deqki z nyx. Zapysugçy rozv’qzky perßoho rivnqnnq ϕ ϕt ( ) = π ϕ π ϕ π π ϕ π m m m Z e n n n n Zt , , , , ( ) ( ) , , = arc tg tg < < ∈     + − − ∈     2 2 2 2 1 2 1 i pidstavlqgçy ]x v druhe, otrymu[mo Ωτ ϕt ( ) = exp cos ( ) τ σλ ϕ ϕ σ t d∫         = = e e e et t− − − +    +    τ τ λ λϕ ϕ ϕ ϕ cos sin cos sin2 2 2 2 2 2 2 2 . Dlq znaxodΩennq skalqrno] funkci] C ( ϕ ) , qka vxodyt\ do struktury funkci] Hrina (4), zapyßemo vidpovidni ocinky e e Ct t− − +   cos sin ( )2 2 2 2 ϕ ϕ ϕ λ ≤ Ke t−γ , t ≥ 0, (7) e e Ct t− − +    −cos sin ( )2 2 2 2 1 ϕ ϕ ϕ λ ≤ Ke tγ , t ≤ 0. Vybyragçy γ = λ , ma[mo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4 490 V. L. KULYK, N. V. STEPANENKO C( )ϕ ≤ K e t− +    2 2 2 2 2 cos sin ϕ ϕ λ , t ≥ 0, C( )ϕ − 1 ≤ K e tcos sin2 2 2 2 2 ϕ ϕ λ +    , t ≤ 0. Perexodqçy do hranyci vidpovidno pry t → + ∞ i t → – ∞ , oderΩu[mo systemu dvox nerivnostej C( )ϕ ≤ K sin2 2 ϕ λ    , C( )ϕ − 1 ≤ K cos2 2 ϕ λ    . (8) Dovil\na neperervna skalqrna funkciq C ( ϕ ) , qka zadovol\nq[ nerivnosti (8), bude takoΩ zadovol\nqty ocinky (7) pry γ = λ . Zvidsy vyplyva[ vykonannq ocinky (5) dlq vidpovidno] funkci] Hrina. Qkwo bude znajdeno qku-nebud\ funkcig C ( ϕ ) = ˜ ( )C ϕ , wo zadovol\nq[ ocinky (8), to i koΩna z nastupnyx funkcij Cn ( ϕ ) = ˜ ( )Cn ϕ , n = 2, 3, … , takoΩ bude zadovol\nqty ocinky (8), til\ky, moΩlyvo, uΩe z inßog stalog K . Qkwo parametr λ zadovol\nq[ ne- rivnosti 0 < λ ≤ 1, to odni[g z funkcij C = ˜ ( )C ϕ , wo zadovol\nq[ ocinky (8), [ ˜ ( )C ϕ = sin2 2 ϕ , a u vypadku λ > 1 funkcig C = ˜ ( )C ϕ moΩna vybraty u vyhlqdi ˜ ( )C ϕ = cos ( ) ( ) 2 2 1 0 1 1 1 1 ϕ σ σ σ σ σ σ∫ ∫− −       − k k k kd d ≡ ≡ 0 2 0 1 1 2 1 1 sin ( ) ( ) ϕ σ σ σ σ σ σ∫ ∫− −       − k k k kd d , de k = λ – 1, koly λ — cile çyslo, i k = [ λ ] pry k < λ < k + 1, [ λ ] — cila çastyna çysla λ > 1. Takym çynom, systema (6) ma[ funkci] Hrina vyhlqdu G0( , )τ ϕ = e e e e e e − − − − − +    ≤ − +    >      τ τ λ τ τ τ λ τ ϕ ϕ ϕ τ ϕ ϕ ϕ τ cos sin sin , , cos sin cos , , 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 0 2 2 2 0 pry 0 < λ ≤ 1 i G0( , )τ ϕ = e e e e e e e e e e − − − − − +    +         ≤ − +    +         >         τ τ λ τ τ τ τ τ λ τ τ τ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ τ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ τ cos sin sin cos sin , , cos sin cos cos sin , , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 Θ Θ  pry λ > 1, de Θ ( x ) = 0 0 1 1 1 1 x k k k kd d∫ ∫− −       − ( ) ( )σ σ σ σ σ σ . Dlq system vyhlqdu ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4 ZNAKOZMINNI FUNKCI} LQPUNOVA V TEORI} LINIJNYX … 491 d dt ϕ = a bcos sinϕ ϕ+ , dx dt = a a j b j x j n j j0 1 + +       = ∑ ( )cos sinϕ ϕ ( 6 ′ ) z deqkymy dijsnymy koefici[ntamy a, b, aj, bj, j = 0, n , i = 1, n , doslidΩeno pytannq isnuvannq funkci] Hrina. Vidmitymo, wo qkwo v systemi ( 6 ′ ) a = b = = 0, to vona moΩe maty lyße [dynu funkcig Hrina pry umovi a0 + j n j ja j b j = ∑ + 1 ( )cos sinϕ ϕ ≠ 0 ∀ ∈ϕ R . Prypustymo, wo a b2 2 0+ ≠ , i poznaçymo M1 = a b a b1 1 3 33 3cos sin cos sinθ θ θ θ− + − + … … + a l b ll l2 1 2 12 1 2 1− −− − −cos( ) sin( )θ θ , M2 = a a b a b0 2 2 4 42 2 4 4+ − + −cos sin cos sinθ θ θ θ + … … + a m b mm m2 22 2cos sinθ θ− , de max{ , }2 1 2l m− = n , sin θ = a a b2 2+ , cos θ = b a b2 2+ . TeoremaN1 [6]. Pry vykonanni nerivnosti M M1 2< systema ( 6 ′ ) ma[ [dynu funkcig Hrina, a qkwo vykonu[t\sq nerivnist\ M M1 2> , to systema ( 6 ′ ) ma[ bezliç riznyx funkcij Hrina. U vypadkax M M1 2= , M M1 2< − systema ( 6 ′ ) funkci] Hrina (4) ne ma[. Pry isnuvanni funkci] Hrina (4) systema (2) bude maty invariantnyj tor (3) pry koΩnij funkci] f C Tm( ) ( )ϕ ∈ , i cej tor zapysu[t\sq u vyhlqdi x = u ( ϕ ) = = G f d0( , ) ( ( ))τ ϕ ϕ ϕ ττ−∞ +∞ ∫ . ZauvaΩymo, wo zustriçagt\sq vypadky, koly systema (2) ma[ invariantnyj tor (3) pry koΩnij funkci] f C Tm( ) ( )ϕ ∈ , a funkci] Hrina (4) ne isnu[. Vidomo, wo qkwo isnu[ kvadratyçna forma V = 〈 〉S x x( ) ,ϕ (9) z symetryçnog matryceg koefici[ntiv S ( ϕ ) , S C T am( ) ( ; )ϕ ∈ ′ , poxidna qko] v sylu systemy (1) [ dodatno vyznaçenog, tobto [ ]˙( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,S S A A S x xTϕ ϕ ϕ ϕ ϕ+ + ≥ β x 2 , β = const > 0, (10) i pry c\omu matrycq S ( ϕ ) [ nevyrodΩenog det S ( ϕ ) ≠ 0 ∀ ∈ϕ Tm , (11) to systema (1) [ rehulqrnog. V c\omu vypadku (i lyße v c\omu vypadku) matry- cq C ( ϕ ) , wo vxodyt\ do struktury funkci] Hrina (4), zadovol\nq[ totoΩnosti C 2 ( ϕ ) ≡ C ( ϕ ) , C( ( ))ϕ ϕτ ≡ Ω Ω0 0τ τϕ ϕ ϕ( ) ( ) ( )C ∀ ∈ϕ Tm , ∀ ∈τ R . (12) Qkwo funkcig Hrina (4) znajdeno i vona [ [dynog, to matryci S ( ϕ ) , wo zado- vol\nqgt\ nerivnosti (10), moΩna zapysaty u vyhlqdi S ( ϕ ) = −∞ ∫ −{ } −{ } 0 0 0Ω Ωt n T t t nC I H C I dt( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )[ ] [ ]ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ – ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4 492 V. L. KULYK, N. V. STEPANENKO – 0 0 0 ∞ ∫ { } { }Ω Ωt T t tC H C dt( ) ( ( )) ( )ϕ ϕ ϕ ϕ , (13) de H ( ϕ ) — dovil\na symetryçna, dodatno vyznaçena matrycq, H C Tm( ) ( )ϕ ∈ . Pry c\omu koΩna z matryc\ (13) bude nevyrodΩenog. MoΩna bulo b v dodan- kax pravo] çastyny (13) zapysaty dvi rizni dodatno vyznaçeni matryci H1 ( ϕ ) , H2 ( ϕ ) ∈ C ( Tm ) , ale todi mnoΩyna matryc\ (13) ne rozßyryt\sq, oskil\ky zavΩ- dy moΩna vybraty spil\nu dodatno vyznaçenu matrycg H ( ϕ ) vyhlqdu H ( ϕ ) = [ ( ) ] ( )[ ( ) ] ( ) ( ) ( )C I H C I C H Cn T n Tϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− − +1 2 . Vynyka[ pytannq: çy koΩnu nevyrodΩenu symetryçnu matrycg S C Tm( ) ( )ϕ ∈ , wo zadovol\nq[ umovu (10), moΩna zapysaty u vyhlqdi (13), pidbyragçy vidpovid- nym çynom dodatno vyznaçenu matrycg H ( ϕ ) ? Z metog doslidΩennq c\oho py- tannq rozhlqnemo systemu (1) z bloçno-diahonal\nog matryceg A ( ϕ ) = = diag{ }( ), ( )A A1 2ϕ ϕ− z dodatno vyznaçenymy blokamy A1 ( ϕ ) , A2 ( ϕ ) vidpovid- no n1 - i n2 -vymirnymy. V c\omu vypadku funkciq Hrina (4) ma[ bloçno-diaho- nal\nyj vyhlqd i pry c\omu matrycq C ( ϕ ) = diag{ },0 2 In [ stalog. Zapysugçy pravu çastynu rivnosti (13), ma[mo 0 0 2 11 12 21 22 0 2 0 0 0 0 0 0 +∞ ∫ −         −    Ω Ωt T t t t t tA H H H H A dt ( ; ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ; )ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ – – −∞ ∫             0 0 1 11 12 21 22 0 10 0 0 0 0 0 Ω Ωt T t t t t tA H H H H A dt ( ; ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ; )ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = = S S 1 2 0 0 ( ) ( ) ϕ ϕ     , (14) de S1( )ϕ = – −∞ ∫ 0 0 1 11 0 1[ ]( ; ) ( ( )) ( ; )Ω Ωt T t tA H A dtϕ ϕ ϕ ϕ , S2( )ϕ = 0 0 2 22 0 2 +∞ ∫ − −[ ]( ; ) ( ( )) ( ; )Ω Ωt T t tA H A dtϕ ϕ ϕ ϕ . Zvidsy vyplyva[, wo v rozhlqduvanomu vypadku formula (13) nada[ moΩlyvist\ zapysuvaty matryci S ( ϕ ) lyße v bloçno-diahonal\nomu vyhlqdi (14), a z umovy (10) vydno, wo matryci S ( ϕ ) ne obov’qzkovo magt\ bloçno-diahonal\nyj vyh- lqd, oskil\ky mali zburennq S S( ) ( )ϕ ε ϕ+ takoΩ budut\ zadovol\nqty neriv- nist\ (10). Takym çynom, pryxodymo do nastupnoho vysnovku. Vysnovok. Qkwo isnu[ [dyna funkciq Hrina (4) i ]] vΩe znajdeno, to rivnistg (13) vyznaçagt\sq ne vsi symetryçni matryci S C T am( ) ( ; )ϕ ∈ ′ , qki zadovol\nq- gt\ rivnist\ (10). ZauvaΩennq*1. Rivnist\ (13) vyznaça[ rozv’qzok X S C T am= ∈ ′( ) ( ; )ϕ mat- ryçnoho rivnqnnq ˙ ( ) ( )X XA A XT+ +ϕ ϕ = F ( ϕ ) , (15) de matrycq F ( ϕ ) ma[ vyhlqd F ( ϕ ) = [ ( )] ( )[ ( )] ( ) ( ) ( )I C H I C C H Cn T n T− − +ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ . (16) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4 ZNAKOZMINNI FUNKCI} LQPUNOVA V TEORI} LINIJNYX … 493 Takym çynom, pry isnuvanni [dyno] funkci] Hrina (4) rivnqnnq (15) matyme rozv’qzky, qkwo prava çastyna F ( ϕ ) zapysu[t\sq u vyhlqdi (16). Zvernemo uvahu na te, wo vidpovidne do (15) odnoridne rivnqnnq ˙ ( ) ( )X XA A XT+ +ϕ ϕ = 0 (17) moΩe maty netryvial\ni rozv’qzky u vyhlqdi nevyrodΩenyx stalyx matryc\. Napryklad, qkwo zminna matrycq A ( ϕ ) bude maty vyhlqd A ( ϕ ) = P B B PT ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ ϕ ϕ ϕ 2 1 −     , de Bi ( ϕ ) — symetryçni matryci, to rivnqnnq (17) ma[ stalyj rozv’qzok X = 0 0 −    I I n n . Qkwo Ω matrycq A ( ϕ ) zapysu[t\sq u vyhlqdi A ( ϕ ) = M ( ϕ ) L , (18) de M ( ϕ ) — kososymetryçna matrycq: M MT ( ) ( )ϕ ϕ≡ − , a L — nevyrodΩena, stala, symetryçna matrycq, to rivnqnnq (17) matyme stalyj rozv’qzok X L= . ZauvaΩymo, wo systemy (1) z matryceg A ( ϕ ) vyhlqdu (18) moΩut\ maty funkcig Hrina (4), pryçomu vona obov’qzkovo bude [dynog. Napryklad, pokla- dagçy M ( ϕ ) = 0 0 −      P P T ( ) ( ) ϕ ϕ , L = 0 0 1 1 I I n n     i prypuskagçy, wo systema d dt ϕ = a ( ϕ ) , dx dt = M ( ϕ ) Lx (19) ma[ xoça b odnu funkcig Hrina, my tym samym prypuska[mo, wo obydvi vza[mno sprqΩeni systemy d dt a dx dt P xT ϕ ϕ ϕ = = −     ( ), ( ) ,1 1 d dt a dx dt P x ϕ ϕ ϕ = =     ( ), ( )1 1 magt\ funkci] Hrina G0( , )τ ϕ , ˜ ( , )G0 τ ϕ . Zvidsy vyplyva[, wo ci funkci] Hrina budut\ [dynymy i systema (19) teΩ bude maty [dynu funkcig Hrina G0( , )τ ϕ = = diag G G0 0( , ), ˜ ( , )τ ϕ τ ϕ{ } . Prypustyvßy, wo systema (1) ma[ xoça b odnu funkcig Hrina (4), rozhlqnemo symetryçnu matrycg S ( )ϕ = S H H( ; , )ϕ 1 2 = −∞ ∫ { } { } 0 0 1 0Ω Ωτ τ τ τϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ τ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ( ))C H C dt T – – 0 0 2 0 +∞ ∫ −{ } −{ }Ω Ωτ τ τ τϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ τ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ( ))[ ] [ ]C I H C I dn t n T , (20) de H1 ( ϕ ) , H 2 ( ϕ ) ∈ C ( Tm ) — deqki dodatno vyznaçeni symetryçni matryci. Lehko perekonatys\, wo dlq matryci (20) vykonu[t\sq nerivnist\ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4 494 V. L. KULYK, N. V. STEPANENKO [ ]˙ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,S S A A S x xTϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− − ≥ β x 2 , β = const > 0. (21) Nerivnist\ (21) oznaça[, wo poxidna kvadratyçno] formy W = S y y( ) ,ϕ (22) v sylu systemy, sprqΩeno] do systemy (1), d dt ϕ = a ( ϕ ) , dy dt = – A yT ( )ϕ [ dodatno vyznaçenog. U vypadku isnuvannq ne [dyno] funkci] Hrina (4) dlq matryc\ C ( ϕ ) vΩe ne budut\ vykonuvatys\ totoΩnosti (12), i pry c\omu v rivnosti (20) spil\nu matrycg H ( ϕ ) ne zavΩdy moΩna vybraty. Doslidymo ce pytannq u skalqrnomu vypadku n = 1. TeoremaN2. Nexaj systema (1) u vypadku n = 1 ma[ funkcig Hrina (4) i vona ne [ [dynog (skalqrna funkciq C ( ϕ ) ne zadovol\nq[ Ωodnu z totoΩnos- tej (12)). Todi dlq toho wob dlq dvox dodatnyx funkcij H1 ( ϕ ) , H 2 ( ϕ ) ∈ ∈ C ( Tm ) v rivnosti (20) isnuvala odna funkciq H ( ϕ ) ∈ C ( Tm ) , pry qkij vyko- nu[t\sq totoΩnist\ S H H( ; , )ϕ 1 2 ≡ S H H( ; , )ϕ , (23) neobxidno i dostatn\o vykonannq umovy −∞ +∞ ∫ ∫− − + −         [ ] [ ] [ ] ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) exp ( ( )) H H C C C C A d d2 1 2 2 2 2 0 1 1 2 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ σ ττ τ τ τ τ τ σ τ ≡ 0. (24) Pry c\omu funkciq H ( ϕ ) vyznaça[t\sq rivnistg H ( ϕ ) = C H C H C C 2 1 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + − + − . (25) Dovedennq. V danomu vypadku Ωτ ϕt ( ) = exp ( ( )) τ σϕ ϕ σ t A d∫{ } [ skalqrnog funkci[g. Z uraxuvannqm (20) zapyßemo totoΩnist\ (23) u vyhlqdi −∞ ∫ ∫         0 1 2 0 2H C A d d( ( )) ( ( )) exp ( ( ))ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ σ ττ τ τ σ – – 0 2 2 0 1 2 +∞ ∫ ∫−         H C A d d( ( )) ( ( )) exp ( ( ))[ ]ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ σ ττ τ τ σ ≡ ≡ −∞ ∫ ∫         0 2 0 2H C A d d( ( )) ( ( )) exp ( ( ))ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ σ ττ τ τ σ – – 0 2 0 1 2 +∞ ∫ ∫−         H C A d d( ( )) ( ( )) exp ( ( ))[ ]ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ σ ττ τ τ σ . (26) U totoΩnist\ (26) pidstavymo ϕ → ϕ ϕt ( ), potim skorotymo vsi dodanky na spil\nyj mnoΩnyk exp ( ( ))2 0 t A d∫{ }ϕ ϕ σσ , zdyferencig[mo po zminnij t obydvi çastyny i pidstavymo t = 0. V rezul\tati otryma[mo C H C H2 1 2 21( ) ( ) ( ) ( )[ ]ϕ ϕ ϕ ϕ+ − ≡ C H C H2 21( ) ( ) ( ) ( )[ ]ϕ ϕ ϕ ϕ+ − . (27) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4 ZNAKOZMINNI FUNKCI} LQPUNOVA V TEORI} LINIJNYX … 495 Zvidsy vyplyva[ neobxidnist\ rivnosti (25). Pidstavlqgçy rivnist\ (25) u pravu çastynu totoΩnosti (26), rozhlqda[mo okremo dva dodanky: −∞ ∫ + − + − 0 2 1 2 2 2 2 21 1 C H C H C C C ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) [ ] [ ] ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕτ τ τ τ τ τ τ × × exp ( ( ))2 0 A d dϕ ϕ σ τσ τ ∫         = −∞ ∫ ∫         0 1 2 0 2H C A d d( ( )) ( ( )) exp ( ( ))ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ σ ττ τ τ σ + + −∞ ∫ ∫− − + −         0 2 1 2 2 2 2 0 1 1 2 [ ] [ ] [ ] ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) exp ( ( )) H H C C C C A d d ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ σ ττ τ τ τ τ τ σ τ , 0 2 1 2 2 2 2 21 1 1 +∞ ∫ + − + − −C H C H C C C ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) [ ] [ ] [ ]ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕτ τ τ τ τ τ τ × × exp ( ( ))2 0 A d dϕ ϕ σ τσ τ ∫         = H C A d d2 0 2 0 1 2( ( )) ( ( )) exp ( ( ))[ ]ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ σ ττ τ σ τ +∞ ∫ ∫−         + + 0 1 2 2 2 2 2 0 1 1 2 +∞ ∫ ∫− − + −         [ ] [ ] [ ] ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) exp ( ( )) H H C C C C A d d ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ σ ττ τ τ τ τ τ σ τ . Dali, pidstavlqgçy otrymani rivnosti v totoΩnist\ (26), oderΩu[mo totoΩnist\ (24), wo j potribno bulo dovesty. ZauvaΩennq*2. Rozhlqdagçy vypadok n ≥ 2, moΩna otrymaty totoΩnist\, analohiçnu (27): C H C C I H C IT n n T( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ]ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ1 2+ − − ≡ ≡ C H C C I H C IT n n T( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ]ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ+ − − . Pry c\omu zapysaty v qvnomu vyhlqdi (analohiçnomu (25)) matrycg H ( ϕ ) i pid- stavyty ]] v matryçnu totoΩnist\ (23) ne zavΩdy vda[t\sq. Pry doslidΩenni pytannq isnuvannq funkci] Hrina (4) systemy z dodatnym parametrom λ d dt ϕ = λ a ( ϕ ) , dx dt = A ( ϕ ) x vyqvylos\, wo pry deqkyx znaçennqx parametra λ systemy moΩut\ buty rehu- lqrnymy, a pry inßyx znaçennqx λ > 0 vΩe ne budut\ rehulqrnymy. Napryk- lad, systema d dt ϕ1 = λ , d dt ϕ2 = λ 2, dx dt dx dt 1 2         = = cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 2 1 + − + + +         − −       + + − + +             x x ne [ rehulqrnog pry λ = −2 1, a pry vsix dijsnyx znaçennqx λ ≠ −2 1 bude rehulqrnog, oskil\ky zamina zminnyx ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4 496 V. L. KULYK, N. V. STEPANENKO y y 1 2     = cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 + + − + +             x x zapysanu vywe systemu zvodyt\ do vyhlqdu d dt ϕ1 = λ , d dt ϕ2 = λ 2, dy dt dy dt 1 2         = − + − + −             1 1 2 2 1 2 1 1 2 ( ) ( ) λ λ y y . Povernemos\ do nerivnosti (10) i prypustymo, wo v nij matrycq S S( )ϕ ≡ [ stalog: [ ]( ) ( ) ,SA A S x xTϕ ϕ+ ≥ β x 2 , β = const > 0. (28) Todi matrycq S bude nevyrodΩenog i pry c\omu systema (1) matyme [dynu funkcig Hrina (4) dlq koΩno] fiksovano] vektor-funkci] a C Tm( ) ( )ϕ ∈ Lip . Qk- wo teper rozhlqnuty obernene pytannq: nexaj systema (1) ma[ funkcig Hrina (4) pry koΩnij fiksovanij vektor-funkci] a C Tm( ) ( )ϕ ∈ Lip , to çy zavΩdy znaj- det\sq taka stala matrycq S, dlq qko] vykonu[t\sq nerivnist\ (28) ? Vyqvlq- [t\sq, wo u vypadku n ≥ 2 ne zavΩdy isnu[ taka stala matrycq S. Deqki klasy takyx zminnyx matryc\ A ( ϕ ) bulo znajdeno, napryklad A ( ϕ ) = P B B P m m T m sin( ) ( )cos ( ) ( ) sin( ) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 1 2 2 1 1 1 +…+ +…+ − +…+       , de obydvi symetryçni matryci Bi ( )ϕ [ dodatno vyznaçenymy, a dijsni çastyny vsix vlasnyx çysel stalo] matryci P [ vidminnymy vid nulq. Do teperißn\oho çasu ne pidtverdΩeno i ne sprostovano nastupnu hipotezu: koΩna systema (1), qka ma[ funkcig Hrina (4) pry bud\-qkij fiksovanij vektor-funkci] a C Tm( ) ( )ϕ ∈ Lip i pry c\omu ne isnu[ stalo] symetryçno] matryci S, qka b za- dovol\nqla umovu (28), pry pevnyx qk zavhodno malyx zburennqx zminno] matryci A ( ϕ ) vΩe ne matyme funkci] Hrina (4) pry vsix a C Tm( ) ( )ϕ ∈ Lip . Zvernemo uvahu na te, wo poslablennq nerivnosti (10), a same prypuwennq vykonannq umovy [ ]˙( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,S S A A S x xTϕ ϕ ϕ ϕ ϕ+ + ≥ 0 (29) z nevyrodΩenog symetryçnog matryceg S ( ϕ ) , ne nada[ moΩlyvosti stverdΩu- vaty isnuvannq funkci] Hrina (4). Pry c\omu navit\ povedinka na neskinçennosti netryvial\nyx rozv’qzkiv linijno] systemy dx dt A xt= ( ( ))ϕ ϕ moΩe buty ne eks- ponencial\nog. V c\omu moΩna perekonatys\, rozhlqdagçy tryvial\nyj vypa- dok A( )ϕ ≡ 0, S In( )ϕ ≡ . Isnugt\ matryci A ( ϕ ) , dlq qkyx ne isnu[ nevyrodΩe- no] symetryçno] matryci S C T am( ) ( , )ϕ ∈ ′ , dlq qko] b vykonuvalas\ nerivnist\ (29). PokaΩemo ce na nastupnomu prykladi: d dt ϕ = sinϕ , d dt x x 1 2         = cos cos ϕ ϕ 0 0 2 1 2               x x . (30) Zapysugçy symetryçnu matrycg S ( ϕ ) u vyhlqdi S ( ϕ ) = s s s s 1 12 12 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ ϕ ϕ ϕ         i pidraxovugçy W ( ϕ ) = Ṡ SA A ST+ + , otrymu[mo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4 ZNAKOZMINNI FUNKCI} LQPUNOVA V TEORI} LINIJNYX … 497 W = w w w w 1 12 12 2         = ˙ ( ) ( )cos ˙ ( ) ( )cos ˙ ( ) ( )cos ˙ ( ) ( )cos s s s s s s s s 1 1 12 12 12 12 2 2 2 3 3 4 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + + + +         . (31) Oskil\ky kvadratyçna forma, wo vidpovida[ matryci (31), povynna buty ne- vid’[mnog, to vykonugt\sq nerivnosti w1 = ˙ ( ) ( )coss s1 12ϕ ϕ ϕ+ ≥ 0, w2 = ˙ ( ) ( )coss s2 24ϕ ϕ ϕ+ ≥ 0. (32) Ce oznaça[, wo neodnoridna systema d dt ϕ = sinϕ , d dt y y 1 2         = − −               +         cos cos ( ) ( ) ϕ ϕ ϕ ϕ 0 0 2 1 2 1 2 y y w w (33) ma[ invariantnyj tor y sj j= ( )ϕ , j = 1, 2, pry deqkyx nevid’[mnyx funkciqx wj ( )ϕ , a ce moΩlyvo lyße u vypadku, koly funkci] wj ( )ϕ [ ortohonal\nymy do netryvial\nyx invariantnyx toriv x cj j= sin ϕ , j = 1, 2, systemy (30), tobto povynna vykonuvatys\ totoΩnist\ −∞ +∞ − − ∫ +   w e e dj j j( ( )) cos sin sinϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ττ τ τ2 2 2 2 ≡ 0, j = 1, 2. Zapysana totoΩnist\ pry umovi wj ( )ϕ ≥ 0 vykonuvatymet\sq lyße pry vyko- nanni totoΩnosti wj ≡ 0 , a oskil\ky kvadratyçna forma, qka vidpovida[ mat- ryci (31), povynna buty nevid’[mnog, to i w12 0≡ . Zvidsy vyplyva[, wo sj ≡ 0 i s12 0≡ , tobto matrycq S( )ϕ ≡ 0. Qkwo isnu[ nevyrodΩena symetryçna matrycq S C T am( ) ( , )ϕ ∈ ′ , qka zado- vol\nq[ nerivnist\ (29), to systemu rivnqn\ (1) moΩna zapysaty v ekvivalentnij formi d dt ϕ = a ( ϕ ) , S dx dt S x( ) , ˙( )ϕ ϕ+ 0 5 = B M x( ) ( )ϕ ϕ+[ ] , x Rn∈ , (34) de B ( ϕ ) = 0 5, ˙( ) ( ) ( ) ( ) ( )S S A A STϕ ϕ ϕ ϕ ϕ+ +[ ], (35) M ( ϕ ) = 0 5, ( ) ( ) ( ) ( )S A A STϕ ϕ ϕ ϕ−[ ]. Rozhlqdagçy teper systemu (34) qk samostijnu (vΩe ne prypuska[mo vykonannq rivnostej (35)) z deqkog symetryçnog B C Tm( ) ( )ϕ ∈ i kososymetryçnog M C Tm( ) ( )ϕ ∈ matrycqmy, sformulg[mo nastupne tverdΩennq. TeoremaN3 [7]. Nexaj systema rivnqn\ (34) pry B( )ϕ ≡ 0 i z deqkog koso- symetryçnog matryceg M ( ϕ ) M MT ( ) ( )ϕ ϕ≡ −( ) [ slabkorehulqrnog. Todi n [ parnym i systema (34) bude rehulqrnog pry bud\-qkij symetryçnij matryci B C Tm( ) ( )ϕ ∈ , wo zadovol\nq[ umovu B x x( ) ,ϕ ≥ 0 . Rozhlqnemo teper systemu (1) z matryceg A ( ϕ ) bloçno-trykutnoho vyhlqdu d dt ϕ = a ( ϕ ) , dx dt 1 = B x1 1( )ϕ , dx dt 2 = B x B x12 1 2 2( ) ( )ϕ ϕ+ , x Rr 1 ∈ , x Rp 2 ∈ .(36) Qkwo pry zamini zminnyx x y1 1= , x U y y2 1 2= +( )ϕ systema (36) zvodyt\sq do bloçno-diahonal\noho vyhlqdu d dt ϕ = a ( ϕ ) , dy dt 1 = B y1 1( )ϕ , dy dt 2 = B y2 2( )ϕ , ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4 498 V. L. KULYK, N. V. STEPANENKO to dlq prqmokutno] matryci U C T am( ) ( ; )ϕ ∈ ′ vykonu[t\sq totoΩnist\ ˙ ( )U ϕ ≡ ≡ B U U B B2 1 21( ) ( ) ( ) ( ) ( )ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− + . U zv’qzku z cym vynyka[ problema isnuvannq invariantnoho tora X U= ( )ϕ systemy rivnqn\ d dt ϕ = a ( ϕ ) , dX dt = A X XB F( ) ( ) ( )ϕ ϕ ϕ+ + , (37) de A ( ϕ ) , B C Tm( ) ( )ϕ ∈ — kvadratni matryci rozmiriv vidpovidno n n× , p p× , X — nevidoma prqmokutna matrycq, qka sklada[t\sq z n rqdkiv i p stovpciv, F C Tm( ) ( )ϕ ∈ — zadana prqmokutna matrycq. Cikavi doslidΩennq struktury funkci] Hrina dlq systemy (37) provodylys\ u roboti [3]. Tut my zaproponu[mo dostatni umovy isnuvannq invariantnoho tora X = U ( ϕ ) (38) pry koΩnij fiksovanij matryci F ( ϕ ) ∈ C ( Tm ) . TeoremaN4. Nexaj dlq normovanyx fundamental\nyx matryc\ rozv’qzkiv Ωτ ϕt A( ; ), Ωτ ϕt B( ; ) vidpovidnyx linijnyx system dx dt = A xt( ( ))ϕ ϕ , dy dt = = – B yt( ( ))ϕ ϕ vykonugt\sq umovy Ωt A0( ; )ϕ ≤ K texp γ1{ } , t ≥ 0, Ω0 t B( ; )ϕ ≤ K texp γ 2{ } , t ≥ 0, (39) γ1 + γ2 < 0, γj = const, K = const. Todi systema (37) ma[ [dynyj invariantnyj tor (38) pry koΩnij fiksovanij matryci F ( ϕ ) ∈ C ( Tm ) i cej tor zapysu[t\sq u vyhlqdi X = U ( ϕ ) = – 0 0 0 +∞ ∫ Ω Ωτ τ τϕ ϕ ϕ ϕ τ( ; ) ( ( )) ( ; )A F B d . (40) Qkwo Ω umovy (39) zaminyty takymy: Ωt A0( ; )ϕ ≤ K texp γ1{ } , t ≤ 0, Ω0 t B( ; )ϕ ≤ K texp γ 2{ } , t ≤ 0, (41) γ1 + γ2 > 0, γj = const, K = const, to systema (37) takoΩ matyme invariantnyj tor X = U ( ϕ ) = −∞ ∫ 0 0 0Ω Ωτ τ τϕ ϕ ϕ ϕ τ( ; ) ( ( )) ( ; )A F B d . (42) Dovedennq. Zahal\nyj rozv’qzok rivnqnnq dX dt = A X XB Ft t t( ( )) ( ( )) ( ( ))ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ+ + zapysu[t\sq u vyhlqdi X = U ( t ; ϕ ) = Ω Ω Ω Ω0 0 0 t t t t tA C B A F B d( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ( )) ( ; )ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ττ τ τ+ ∫ = = Ω Ω Ω Ω0 0 0 0 0t t tA C A F B d B( ; ) ( ; ) ( ( )) ( ; ) ( ; )ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ τ ϕτ τ τ+         ∫ , (43) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4 ZNAKOZMINNI FUNKCI} LQPUNOVA V TEORI} LINIJNYX … 499 de C — dovil\na stala prqmokutna matrycq (moΩe buty zaleΩnog til\ky vid parametriv ϕ ) . Zvidsy otrymu[mo Ω Ωt tA U t B0 0( ; ) ( ; ) ( ; )ϕ ϕ ϕ = C A F B d t + ∫ 0 0 0Ω Ωτ τ τϕ ϕ ϕ ϕ τ( ; ) ( ( )) ( ; ) . (44) Nexaj vykonugt\sq ocinky (39), todi v rivnosti (44) perejdemo do hranyci pry t → + ∞ . Prypuskagçy, wo matrycq U ( t ; ϕ ) [ obmeΩenog, otrymu[mo 0 = C A F B d+ +∞ ∫ 0 0 0Ω Ωτ τ τϕ ϕ ϕ ϕ τ( ; ) ( ( )) ( ; ) . Zvidsy ma[mo C = – 0 0 0 +∞ ∫ Ω Ωτ τ τϕ ϕ ϕ ϕ τ( ; ) ( ( )) ( ; )A F B d = U ( ϕ ) . (45) Z vlastyvostej matrycantiv Ω Ωτ τϕ ϕ ϕt z z t zB B( ( ); ) ( ; )≡ + + vyplyva[, wo funkciq (45) naleΩyt\ prostoru ′C T am( ; ) i zadovol\nq[ totoΩnist\ ˙ ( )U ϕ ≡ A U U B F( ) ( ) ( ) ( ) ( )ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ+ + , tobto rivnist\ (40) vyznaça[ tor systemy (37). Qkwo Ω teper prypustyty vyko- nannq ocinok (41), to v rivnosti (44) perejdemo do hranyci pry t → – ∞ . Pry c\omu prqmokutna matrycq C (zaleΩna til\ky vid vektora parametriv ϕ ) bude maty vyhlqd C = −∞ ∫ 0 0 2 12 0 1Ω Ωτ τ τϕ ϕ ϕ ϕ τ( ; ) ( ( )) ( ; )B B B d = U ( ϕ ) . Otrymana matrycq teΩ qk funkciq, zaleΩna vid vektora parametriv ϕ, nale- Ωyt\ prostoru ′C T am( ; ) , i rivnistg (42) vyznaça[t\sq invariantnyj tor sys- temyN(37). Naslidok. Dlq bud\-qko] fiksovano] matryci A ( ϕ ) ∈ C ( Tm ) zavΩdy znaj- det\sq matrycq B ( ϕ ) ∈ C ( Tm ) taka, wo rivnqnnq (37) matyme [dynyj invari- antnyj tor (38) pry koΩnij fiksovanij matryci F ( ϕ ) ∈ C ( Tm ) . Teper prypustymo, wo systema (1) z dopomohog deqko] nevyrodΩeno] zaminy zminnyx x = L x( )ϕ , L C T am( ) ( ; )ϕ ∈ ′ sprowu[t\sq, zvodqçy matrycg A ( ϕ ) do bloçno-trykutnoho vyhlqdu L A L L− −[ ]1( ) ( ) ( ) ˙( )ϕ ϕ ϕ ϕ = A A A 1 12 2 0( ) ( ) ( ) ϕ ϕ ϕ     . (46) Analohiçno prypuska[mo isnuvannq ( )p p× -vymirno] nevyrodΩeno] matryci Q C T am( ) ( ; )ϕ ∈ ′ , dlq qko] vykonu[t\sq rivnist\ Q B Q Q( ) ( ) ˙( ) ( )ϕ ϕ ϕ ϕ−[ ] −1 = B B B 1 12 20 ( ) ( ) ( ) ϕ ϕ ϕ     . (47) U rivnostqx (46), (47) A1, B1 — kvadratni matryci rozmiriv vidpovidno n n1 1× , p p1 1× . Systema rivnqn\ (37) pry zamini zminnyx X = L ( ϕ ) Y Q ( ϕ ) (48) zvodyt\sq do vyhlqdu ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4 500 V. L. KULYK, N. V. STEPANENKO d dt ϕ = a ( ϕ ) , dY dt 11 = A Y Y B F1 11 11 1 11( ) ( ) ( )ϕ ϕ ϕ+ + , dY dt 12 = Y B A Y Y B F11 12 1 12 12 2 12( ) ( ) ( ) ( )ϕ ϕ ϕ ϕ+ + + , (49) dY dt 21 = A Y A Y Y B F21 11 2 21 21 1 21( ) ( ) ( ) ( )ϕ ϕ ϕ ϕ+ + + , dY dt 22 = A Y Y B A Y Y B F21 12 21 12 2 22 22 2 22( ) ( ) ( ) ( ) ( )ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ+ + + + , de Y = Y Y Y Y 11 12 21 22     , L F Q− −1 1( ) ( ) ( )ϕ ϕ ϕ = F ( )ϕ = F F F F 11 12 21 22 ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ ϕ ϕ ϕ     . Isnuvannq invariantnoho tora (38) systemy (37) ekvivalentne isnuvanng tora sys- temy (49). Z vyhlqdu systemy (49) vydno, wo dostatn\og umovog isnuvannq tora systemy (49) [ isnuvannq tora systemy dY dt 11 = A Y Y B F1 11 11 1 11( ) ( ) ( )ϕ ϕ ϕ+ + , dY dt 12 = A Y Y B F1 12 12 2 12( ) ( ) ( )ϕ ϕ ϕ+ + , d dt ϕ = a ( ϕ ) , (50) dY dt 21 = A Y Y B F2 21 21 1 21( ) ( ) ( )ϕ ϕ ϕ+ + , dY dt 22 = A Y Y B F2 22 22 2 22( ) ( ) ( )ϕ ϕ ϕ+ + pry bud\-qkyx fiksovanyx funkciqx Fij ( )ϕ ∈ C ( Tm ) . Isnugt\ pryklady, qki pokazugt\, wo systema (49) moΩe maty invariantnyj tor pry bud\-qkyx fiksova- nyx funkciqx Fij ( )ϕ ∈ C ( Tm ) , a systema (50) ne pry vsix Fij ( )ϕ ∈ C ( Tm ) ma[ invariantnyj tor. 1. Samojlenko A. M. ∏lement¥ matematyçeskoj teoryy mnohoçastotn¥x kolebanyj. – M.: Nauka, 1987. – 304 s. 2. Samojlenko A. M. K teoryy vozmuwenyq ynvaryantn¥x mnohoobrazyj dynamyçeskyx system // Tr. V MeΩdunar. konf. po nelynejn¥m kolebanyqm. – T. 1. Analytyçeskye metod¥. – Kyev: Yn-t matematyky AN USSR, 1970. – S. 495 – 499. 3. Mytropol\skyj G. A., Samojlenko A. M. Nekotor¥e vopros¥ teoryy mnohoçastotn¥x kolebanyj. – Kyev, 1977. – 46 s. – (Preprynt / AN USSR. Yn-t matematyky; 77.14). 4. Mitropolsky Yu. A., Samoilenko A. M., Kulik V. L. Dichotomies and stability in nonautonomous linear systems. – London: Taylor & Francis Inc., 2003. 5. Samojlenko A. M. O nekotor¥x problemax teoryy vozmuwenyj hladkyx ynvaryantn¥x torov dynamyçeskyx system // Ukr. mat. Ωurn. – 1994. – 46, # 12. – S.N1665 – 1699. 6. Bojçuk A. A. Uslovye suwestvovanyq edynstvennoj funkcyy Hryna – Samojlenko zadaçy ob ynvaryantnom tore // Tam Ωe. – 2001. – 53, # 4. – S.N556 – 559. 7. Kenneth J. Palmer. On the reducibility of almost periodic systems of linear differential systems // J. Different. Equat. – 1980. – 36, # 3. – P. 374 – 390. 8. Kulyk H. M., Kulyk V. L. Isnuvannq funkcij Hrina – Samojlenka deqkyx linijnyx rozßyren\ dynamiçnyx system // Nelinijni kolyvannq. – 2004. – 7, # 4. – S.N468 – 474. 9. Kulyk V. L., Stepanenko N. V. Pro vlastyvist\ rehulqrnosti na osi deqkyx linijnyx system dyferencial\nyx rivnqn\ // Ukr. mat. Ωurn. – 2002. – 54, # 4. – S.N568 – 574. OderΩano 08.11.2006 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4

Similar Items