Об эквивалентных базисах в банаховых пространствах

Об эквивалентных базисах в банаховых пространствах

Наведено деякі узагальнення для банахових просторів класичної теореми H. К. Барі щодо базисності Рісса близьких систем у гільбертових просторах. Введено відповідні означення, сформульовано теореми про базисність близьких систем у банахових просторах. We give some generalizations of the classical the...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Український математичний журнал
Datum:2007
Hauptverfasser: Билалов, Б.Т., Мурадов, Т.Р.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут математики НАН України 2007
Schlagworte:
Короткі повідомлення
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164120
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Об эквивалентных базисах в банаховых пространствах / Б.Т. Билалов, Т.Р. Мурадов // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 4. — С. 551–554. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164120
record_format dspace
spelling Билалов, Б.Т.
Мурадов, Т.Р.
2020-02-08T12:50:06Z
2020-02-08T12:50:06Z
2007
Об эквивалентных базисах в банаховых пространствах / Б.Т. Билалов, Т.Р. Мурадов // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 4. — С. 551–554. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.
1027-3190
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164120
517.9
Наведено деякі узагальнення для банахових просторів класичної теореми H. К. Барі щодо базисності Рісса близьких систем у гільбертових просторах. Введено відповідні означення, сформульовано теореми про базисність близьких систем у банахових просторах.
We give some generalizations of the classical theorem of N. K. Bari on the Riesz basis property of close systems in Hilbert spaces to Banach spaces. Appropriate definitions are introduced, theorems on basis property of close systems in Banach spaces are formulated.
ru
Інститут математики НАН України
Український математичний журнал
Короткі повідомлення
Об эквивалентных базисах в банаховых пространствах
On equivalent bases in Banach spaces
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Об эквивалентных базисах в банаховых пространствах
spellingShingle Об эквивалентных базисах в банаховых пространствах
Билалов, Б.Т.
Мурадов, Т.Р.
Короткі повідомлення
title_short Об эквивалентных базисах в банаховых пространствах
title_full Об эквивалентных базисах в банаховых пространствах
title_fullStr Об эквивалентных базисах в банаховых пространствах
title_full_unstemmed Об эквивалентных базисах в банаховых пространствах
title_sort об эквивалентных базисах в банаховых пространствах
author Билалов, Б.Т.
Мурадов, Т.Р.
author_facet Билалов, Б.Т.
Мурадов, Т.Р.
topic Короткі повідомлення
topic_facet Короткі повідомлення
publishDate 2007
language Russian
container_title Український математичний журнал
publisher Інститут математики НАН України
format Article
title_alt On equivalent bases in Banach spaces
description Наведено деякі узагальнення для банахових просторів класичної теореми H. К. Барі щодо базисності Рісса близьких систем у гільбертових просторах. Введено відповідні означення, сформульовано теореми про базисність близьких систем у банахових просторах. We give some generalizations of the classical theorem of N. K. Bari on the Riesz basis property of close systems in Hilbert spaces to Banach spaces. Appropriate definitions are introduced, theorems on basis property of close systems in Banach spaces are formulated.
issn 1027-3190
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164120
citation_txt Об эквивалентных базисах в банаховых пространствах / Б.Т. Билалов, Т.Р. Мурадов // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 4. — С. 551–554. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT bilalovbt obékvivalentnyhbazisahvbanahovyhprostranstvah
AT muradovtr obékvivalentnyhbazisahvbanahovyhprostranstvah
AT bilalovbt onequivalentbasesinbanachspaces
AT muradovtr onequivalentbasesinbanachspaces
first_indexed 2025-11-25T23:55:31Z
last_indexed 2025-11-25T23:55:31Z
_version_ 1850590237229580288
fulltext K�O�R�O�T�K�I���P�O�V�I�D�O�M�L�E�N�N�Q UDK 517.9 B. T. Bylalov, T. R. Muradov (Yn-t matematyky y mexanyky NAN AzerbajdΩana, Baku) OB ∏KVYVALENTNÁX BAZYSAX V BANAXOVÁX PROSTRANSTVAX We give some generalizations of the classical theorem of N. K. Bari on the Riesz basis property of close systems in Hilbert spaces to Banach spaces. Appropriate definitions are introduced, theorems on basis property of close systems in Banach spaces are formulated. Navedeno deqki uzahal\nennq dlq banaxovyx prostoriv klasyçno] teoremy N. K. Bari wodo bazysnosti Rissa blyz\kyx system u hil\bertovyx prostorax. Vvedeno vidpovidni oznaçennq, sformul\ovano teoremy pro bazysnist\ blyz\kyx system u banaxovyx prostorax. Xoroßo yzvestn¥ klassyçeskye teorem¥ Pπly – Vynera y N. K. Bary o bazys- nosty Ryssa blyzkyx v nekotorom sm¥sle system v hyl\bertovom prostranstve. Mnohymy avtoramy pryveden¥ razlyçn¥e pryznaky bazysnosty blyzkyx system (sm., naprymer, [1, 2]). Nekotor¥e obobwenyq nazvann¥x teorem Pπly – Vynera y N. K. Bary v banaxov¥x y hyl\bertov¥x prostranstvax poluçen¥ v rabote [3]. V ukazann¥x rabotax blyzost\, v osnovnom, zadana v termynax samyx system. V sylu dvojstvennosty s toçky zrenyq bazysnosty byortohonal\n¥e system¥ v nekotorom sm¥sle ravnoznaçn¥. Poskol\ku heometryq banaxov¥x prostranstv znaçytel\no otlyçaetsq ot heometryy hyl\bertov¥x, çtob¥ yssledovat\ bazys- n¥e svojstva konkretn¥x system v opredelennom banaxovom prostranstve, neobxodymo uçest\ strukturu soprqΩennoho prostranstva. Umestno pryvesty sledugwee obobwenye klassyçeskoj teorem¥ Krejna – Myl\mana – Rutmana (KMR) o mal¥x vozmuwenyqx bazysa. Teorema KMR [2] (teorema 10.2). Esly xn{ }∞ 1 — bazys banaxova prostran- stva X, xn *{ }∞ 1 — koordynatn¥e funkcyonal¥ πtoho bazysa y byortohonal\- naq posledovatel\nost\ y yn n, *{ }∞ 1 ⊂ X × X* blyzka k xn{ }∞ 1 v sledugwem sm¥sle: n n n nx y x = ∞ ∑ − < + ∞ 1 * , (KMR) to yn{ }∞ 1 takΩe obrazuet bazys prostranstva X, πkvyvalentn¥j ysxodnomu bazysu xn{ }∞ 1 . V nastoqwej rabote ustanavlyvaetsq bazysnost\ system s yspol\zovanyem blyzosty soprqΩenn¥x system. Perv¥j osnovnoj rezul\tat posvqwen dokazatel\stvu analoha teorem¥ KMR s zamenoj uslovyq (KMR) na dvojstvennoe uslovye. Otmetym, çto rezul\tat © B. T. BYLALOV, T. R. MURADOV, 2007 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4 551 552 B. T. BYLALOV, T. R. MURADOV predstavlqet nauçnug cennost\ tol\ko v sluçae nerefleksyvn¥x prostranstv, tak kak v refleksyvnom sluçae soprqΩennaq k bazysu systema qvlqetsq ba- zysom, y dlq poluçenyq upomqnutoho rezul\tata dostatoçno pomenqt\ rolqmy X y X* . PreΩde çem formulyrovat\ osnovnoj rezul\tat, vvedem sledugwye obozna- çenyq: N — mnoΩestvo natural\n¥x çysel; B — nekotoroe banaxovo pros- transtvo s normoj ⋅ ; B* — soprqΩennoe k B prostranstvo. Snaçala dokaΩem sledugwye lemm¥. Lemma 1. Pust\ ϕn n N B{ } ⊂∈ — nekotor¥j bazys v B y mynymal\naq v B systema ψn n N{ } ∈ blyzka k ϕn n N{ } ∈ v tom sm¥sle, çto n n n n ≥ ∑ − < + ∞ 1 ψ ϕ ϕ* * , hde ψn n N *{ } ∈ , ϕn n N B* *{ } ⊂ ∈ — sootvetstvugwye byortohonal\n¥e k ψn n N{ } ∈ , ϕn n N{ } ∈ system¥. Tohda v¥raΩenye Tf f n n n n≡ −( ) ≥ ∑df 1 ψ ϕ ϕ* * ( ) opredelqet nekotor¥j vpolne neprer¥vn¥j operator T : B → B. Dokazatel\stvo. Dejstvytel\no, N N p n n nf + ∑ −( )ψ ϕ ϕ* * ( ) ≤ N N p n n nf + ∑ −( )ψ ϕ ϕ* * ( ) ≤ ≤ N N p n n n f + ∑ −     ψ ϕ ϕ* * . Yz πtoho neravenstva sleduet, çto rqd Tf = n n n nf ≥ ∑ −( ) 1 ψ ϕ ϕ* * ( ) sxodytsq v B, pryçem qsno, çto T ≤ n n n n≥∑ − 1 ψ ϕ ϕ* * . Pust\ Tn = n N n n n=∑ −( ) ⋅ 1 ψ ϕ ϕ* * ( ) . Oçevydno, çto T Tn− ≤ ≤ n N n n n≥ +∑ − 1 ψ ϕ ϕ* * � 0, n → ∞. Yz koneçnomernosty y neprer¥vnosty v B operatorov Tn sleduet vpolne neprer¥vnost\ T : B → B. Lemma dokazana. Lemma 2. Pust\ v¥polnen¥ vse uslovyq lemm¥ 1. Tohda v¥raΩenye Ff f n n n≡ ≥ ∑df 1 ψ ϕ*( ) opredelqet fredhol\mov¥j operator F : B → B. Dokazatel\stvo. Lehko ubedyt\sq, çto Ff = n n nf ≥ ∑ 1 ψ ϕ*( ) = n n n nf ≥ ∑ −( ) 1 ψ ϕ ϕ* * ( ) + n n nf ≥ ∑ 1 ϕ ϕ*( ) = ( )T I f+ , hde I : B � B — edynyçn¥j operator. Fredhol\movost\ F oçevydna. Lemma dokazana. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4 OB ∏KVYVALENTNÁX BAZYSAX V BANAXOVÁX PROSTRANSTVAX 553 Lemma 3. Pust\ F : B → B — nekotor¥j fredhol\mov¥j operator y F nψ G= ϕn dlq lgboho n N∈ , hde ϕn n N{ } ∈ polna v B. Tohda F obratym y ψn n N{ } ∈ takΩe polna v B ( yzomorfna systeme ϕn n N{ } )∈ . Dejstvytel\no, yz x F* *∈Ker ymeem 0 = F x n * * ( )ϕ = x F n * ( )ψ = x n *( )ϕ . Yz polnot¥ ϕn n N{ } ∈ v B sleduet x* = 0. Opredelenye 1. Mynymal\n¥e v B system¥ ψn n N{ } ∈ , ϕn n N{ } ∈ nazovem *ϕ -blyzkymy, esly n n n n ≥ ∑ − < + ∞ 1 ψ ϕ ϕ* * , y *-blyzkymy, esly n n n≥∑ − 1 ψ ϕ* * < + ∞, hde ψn n N *{ } ∈ , ϕn n N B* *{ } ⊂ ∈ — sootvetstvugwye byortohonal\n¥e system¥. S pomow\g πtyx lemm lehko dokaz¥vaetsq sledugwaq teorema. Teorema 1. Pust\ mynymal\naq v B systema ψn n N{ } ∈ *ϕ -blyzka k nekotoromu bazysu ϕn n N{ } ∈ v B. Tohda ψn n N{ } ∈ toΩe obrazuet bazys v B, yzomorfn¥j k ϕn n N{ } ∈ . Dejstvytel\no, rassmatryvaq fredhol\mov¥j F : B → B operator Ff f n n n= ≥ ∑ 1 ψ ϕ*( ) , hde ψn n N B* *{ } ⊂ ∈ — soprqΩennaq k ψn n N{ } ∈ systema, analohyçno lemme 3 dokaz¥vaetsq, çto Ker F* = 0 y, sledovatel\no, operator F ohranyçenno obra- tym. Oçevydno, çto F n( )ψ = ϕn , y, sledovatel\no, ψn{ } toΩe obrazuet bazys v B. Yz πtoj teorem¥ neposredstvenno poluçaem sledugwyj analoh klassyçes- koj teorem¥ N. K. Bary. Sledstvye 1. Pust\ mynymal\naq v nekotorom hyl\bertovom prostranst- ve H systema ψn n N{ } ∈ *-blyzka k nekotoromu bazysu Ryssa ϕn n N{ } ∈ v H . Tohda ψn n N{ } ∈ obrazuet bazys Ryssa v H. V sylu toho, çto bazys Ryssa udovletvorqet uslovyg 0 < c−1 ≤ ϕn ≤ c < < + ∞ pry nekotoroj poloΩytel\noj postoqnnoj c > 0, spravedlyvost\ lemm 1, 2 otnosytel\no system ϕn n N{ } ∈ , ψn n N{ } ∈ oçevydna. Dlq formulyrovky teorem¥ 2 nam ponadobqtsq sledugwye opredele- nyqG[2, 3]. Opredelenye 2. Mynymal\nug v B systemu xn n N{ } ∈ s soprqΩennoj x Bn n N * *{ } ⊂ ∈ nazovem p-besselevoj, esly dlq lgboho f B∈ ymeem ∑( ) ≤x f M fn p p * / ( ) 1 , 1 ≤ p < + ∞, hde ⋅ — norma v B. Opredelenye 3. System¥ xn n N{ } ∈ , y Bn n N{ } ⊂∈ nazovem p - blyzkymy, esly ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4 554 B. T. BYLALOV, T. R. MURADOV n n n px y ≥ ∑ − < + ∞ 1 pry 1 < p < + ∞ y max n n nx y− < + ∞ pry p = + ∞. Teorema 2. Pust\ p -besseleva systema x Bn n N{ } ⊂∈ q -blyzka k bazysu yn n N{ } ∈ v B, 1 1 p q + = 1. Tohda xn n N{ } ∈ obrazuet bazys v B, yzomorfn¥j k yn n N{ } ∈ . Dejstvytel\no, pust\ x Bn n N * *{ } ⊂ ∈ — soprqΩennaq k xn n N{ } ∈ systema. Tohda yz neravenstva ∑ −x f x yn n n *( )( ) ≤ ∑ −x f x yn n n *( ) ≤ ≤ ∑( )x fn p p * / ( ) 1 ∑ −( )x yn n q q1/ ≤ M x y fn n q q∑ −( )1/ sleduet, çto Tf = ∑ −x f x yn n n *( )( ) vpolne neprer¥vn¥j, a znaçyt, F = I – T — fredhol\mov¥j operator. Qsno, çto Fxn = yn . Sohlasno lemme 3 F ohranyçenno obratym, v rezul\tate çeho utverΩdenye teorem¥ oçevydno. Zameçanye. Ynteresno sravnyt\ πtu teoremu s rezul\tatamy §G11 monohra- fyy [2]. V utverΩdenyqx teorem [2] besselevost\ yly p-besselevost\ trebu- etsq ot bazysa. 1. Myl\man V. D. Heometryçeskaq teoryq prostranstv Banaxa // Uspexy mat. nauk. – 1970. – 25, v¥p. 3. – S. 113 – 174. 2. Zinger I. Bases in Banach spaces. I. – Berlin: Springer, 1970. – 668 p. 3. Bylalov B. T. Bazys¥ yz πksponent, kosynusov y synusov, qvlqgwyesq sobstvenn¥my funkcyqmy dyfferencyal\n¥x operatorov // Dyfferenc. uravnenyq. – 2003. – 39, # 5. – S. 1 – 5. Poluçeno 16.05.2005, posle dorabotky — 29.06.2005 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 4

Ähnliche Einträge