Прості сильно зв'язні сагайдаки та їх власні вектори
Изучается связь между изоморфизмом колчанов и свойствами их спектров. Доказано, что простые сильно связ- ные колчаны на не более чем четырех вершинах изоморфны тогда и только тогда, когда их характеристические многочлены совпадают, а нормированные левые и правые положительные собственные векторы, со...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Datum: | 2012 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164149 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Прості сильно зв'язні сагайдаки та їх власні вектори / І.В. Дудченко, В.В. Кириченко, М.В. Плахотник // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 3. — С. 291-306. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164149 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Дудченко, І.В. Кириченко, В.В. Плахотник, М.В. 2020-02-08T17:10:07Z 2020-02-08T17:10:07Z 2012 Прості сильно зв'язні сагайдаки та їх власні вектори / І.В. Дудченко, В.В. Кириченко, М.В. Плахотник // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 3. — С. 291-306. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164149 519.61, 512.5 Изучается связь между изоморфизмом колчанов и свойствами их спектров. Доказано, что простые сильно связ- ные колчаны на не более чем четырех вершинах изоморфны тогда и только тогда, когда их характеристические многочлены совпадают, а нормированные левые и правые положительные собственные векторы, соответствующие индексу, равны с точностью до перестановки их координат. Приведен пример, показывающий, что это утверждение не выполняется для колчанов с пятью вершинами. We study the relationship between the isomorphism of quivers and properties of their spectra. It is proved that strongly connected simply laced quivers with at most four vertices are isomorphic to one another if and only if their characteristic polynomials coincide and their left and right normalized positive eigenvectors that correspond to the index can be obtained from one another by the permutation of their coordinates. An example showing that this statement is not true for quivers with five vertices is given. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Прості сильно зв'язні сагайдаки та їх власні вектори Strongly connected simply laced quivers and their eigenvectors Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Прості сильно зв'язні сагайдаки та їх власні вектори |
| spellingShingle |
Прості сильно зв'язні сагайдаки та їх власні вектори Дудченко, І.В. Кириченко, В.В. Плахотник, М.В. Статті |
| title_short |
Прості сильно зв'язні сагайдаки та їх власні вектори |
| title_full |
Прості сильно зв'язні сагайдаки та їх власні вектори |
| title_fullStr |
Прості сильно зв'язні сагайдаки та їх власні вектори |
| title_full_unstemmed |
Прості сильно зв'язні сагайдаки та їх власні вектори |
| title_sort |
прості сильно зв'язні сагайдаки та їх власні вектори |
| author |
Дудченко, І.В. Кириченко, В.В. Плахотник, М.В. |
| author_facet |
Дудченко, І.В. Кириченко, В.В. Плахотник, М.В. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2012 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Strongly connected simply laced quivers and their eigenvectors |
| description |
Изучается связь между изоморфизмом колчанов и свойствами их спектров. Доказано, что простые сильно связ- ные колчаны на не более чем четырех вершинах изоморфны тогда и только тогда, когда их характеристические многочлены совпадают, а нормированные левые и правые положительные собственные векторы, соответствующие индексу, равны с точностью до перестановки их координат. Приведен пример, показывающий, что это утверждение не выполняется для колчанов с пятью вершинами.
We study the relationship between the isomorphism of quivers and properties of their spectra. It is proved that strongly connected simply laced quivers with at most four vertices are isomorphic to one another if and only if their characteristic polynomials coincide and their left and right normalized positive eigenvectors that correspond to the index can be obtained from one another by the permutation of their coordinates. An example showing that this statement is not true for quivers with five vertices is given.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164149 |
| citation_txt |
Прості сильно зв'язні сагайдаки та їх власні вектори / І.В. Дудченко, В.В. Кириченко, М.В. Плахотник // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 3. — С. 291-306. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT dudčenkoív prostísilʹnozvâznísagaidakitaíhvlasnívektori AT kiričenkovv prostísilʹnozvâznísagaidakitaíhvlasnívektori AT plahotnikmv prostísilʹnozvâznísagaidakitaíhvlasnívektori AT dudčenkoív stronglyconnectedsimplylacedquiversandtheireigenvectors AT kiričenkovv stronglyconnectedsimplylacedquiversandtheireigenvectors AT plahotnikmv stronglyconnectedsimplylacedquiversandtheireigenvectors |
| first_indexed |
2025-11-26T20:30:08Z |
| last_indexed |
2025-11-26T20:30:08Z |
| _version_ |
1850773592904564736 |
| fulltext |
УДК 519.61, 512.5
I. В. Дудченко (Слов’ян. держ. пед. ун-т),
В. В. Кириченко, М. В. Плахотник (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ПРОСТI СИЛЬНО ЗВ’ЯЗНI САГАЙДАКИ ТА ЇХ ВЛАСНI ВЕКТОРИ
We study the relationship between the isomorphism of quivers and properties of their spectra. It is proved that two simple
strongly connected quivers with at most four vertices are isomorphic to one another if and only if their characteristic
polynomials coincide and their left and right normalized positive eigenvectors that correspond to the index can be obtained
from one another by the permutation of their coordinates. An example showing that this statement is not true for quivers
with five vertices is given.
Изучается связь между изоморфизмом колчанов и свойствами их спектров. Доказано, что простые сильно связ-
ные колчаны на не более чем четырех вершинах изоморфны тогда и только тогда, когда их характеристические
многочлены совпадают, а нормированные левые и правые положительные собственные векторы, соответствующие
индексу, равны с точностью до перестановки их координат. Приведен пример, показывающий, что это утверждение
не выполняется для колчанов с пятью вершинами.
1. Вступ. В монографiї Ф. Харарi [4] (додаток II) наведено дiаграми всiх неiзоморфних орi-
єнтованих графiв, що мають не бiльше чотирьох вершин та не мають кратних ребер i петель.
Дотримуючись термiнологiї, запропонованої Габрiелем [5], називатимемо орiєнтованi графи
сагайдаками.
О. Г. Ганюшкiн звернув увагу авторiв на те, що список сагайдакiв, що мiстяться в книзi [4],
має неточностi. Так, сагайдаки з номерами 18 та 22 iзоморфнi. Цi сагайдаки мають вигляд
• //
�� ��@
@@
@@
@@
•
��~~
~~
~~
~
• //
�� ��@
@@
@@
@@
•oo
��~~
~~
~~
~
��
•
??~~~~~~~
•oo
OO__@@@@@@@
• // •oo
Вони iзоморфнi, оскiльки збiгаються, якщо в одному з них лiву верхню та лiву нижню вершини
помiняти мiсцями.
Крiм того, пропущено сагайдак
• // •
��~~
~~
~~
~
•
OO ??~~~~~~~
// •
__@@@@@@@
OO
oo
Зауважимо, що наведенi сагайдаки з номерами 18 та 22 з роботи [4] не є сильно зв’язними,
а пропущений сагайдак сильно зв’язний.
Iз сагайдаком Q природно зiставити його матрицю сумiжностi. Матрицею сумiжностi са-
гайдака Q називається така матриця (qij), елемент qij якої дорiвнює кiлькостi стрiлок, котрi
в сагайдаку Q починаються у вершинi з номером i та закiнчуються у вершинi з номером j.
При цьому qij = 0 в тому випадку, коли з вершини з номером i у вершину з номером j
не йде жодної стрiлки. Матрицю сумiжностi сагайдака Q позначатимемо через [Q], а через
c© I. В. ДУДЧЕНКО, В. В. КИРИЧЕНКО, М. В. ПЛАХОТНИК, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3 291
292 I. В. ДУДЧЕНКО, В. В. КИРИЧЕНКО, М. В. ПЛАХОТНИК
Q(A) позначатимемо сагайдак, матрицею сумiжностi якого є матриця A з цiлими невiд’ємними
елементами.
Сагайдаком невiд’ємної матрицi називається сагайдак, матриця сумiжностi якого утворена
з вихiдної матрицi замiною кожного додатного її елемента на одиницю.
Вiдносно сагайдака використовуватимемо термiни характеристичний многочлен, власний
вектор, власне число та iндекс i розумiтимемо пiд ними вiдповiдно характеристичний много-
член, власний вектор, власне число та iндекс матрицi сумiжностi цього сагайдака.
В роботi [2] доведено таку теорему.
Теорема 1. Сильно зв’язнi cагайдаки на чотирьох вершинах iзоморфнi тодi i лише тодi,
коли їх характеристичнi многочлени збiгаються, а лiвi та правi додатнi власнi вектори однiєї
норми збiгаються з точнiстю до перестановки компонент.
Основним результатом даної роботи є доведення теореми 1 числовими методами та зведення
до мiнiмуму вiдповiдних розрахункiв i перебору, необхiдного для доведення цiєї теореми.
В [2] цю теорему було доведено методом, що ґрунтується на ручному пiдрахунку харак-
теристичного многочлена та знаходженнi формул, якi виражають власнi вектори через власнi
значення сагайдака. Цей метод уперше було запропоновано в роботi [10]. В кiнцi статтi ми
наведемо приклад того, як згаданий метод працює.
Самi сагайдаки при пiдготовцi препринта [2] було взято з монографiї [4] та враховано згада-
не вище зауваження О. Г. Ганюшкiна. Числовими методами, описаними в [6], було перевiрено
те, що розглянутий список є повним i зайвих сагайдакiв в цьому списку немає.
Крiм того, доводити теорему 1 значно коротше не методами ручного знаходження формул
для елементiв власних векторiв (тобто так, як це було зроблено в [2]), а суто числовими
методами (з використанням комп’ютера).
Теорема 1 не узагальнюється на випадок сагайдакiв iз п’ятьма вершинами.
2. Спосiб доведення основного результату. Наслiдуючи [7], введемо поняття перестановоч-
но незвiдної та перестановочно звiдної матриць. Такi матрицi в книзi [1] (гл. 13) називаються
нерозкладними та розкладними вiдповiдно.
Нехай eij ∈Mn(R) — матрична одиниця, тобто матриця, що має одиницю на перетинi i-го
рядка та j-го стовпчика i решта елементiв якої дорiвнюють нулю.
Нехай τ — перестановка чисел 1, 2, . . . , n. Позначимо через Pτ ∈ Mn(R) матрицю Pτ =
=
∑n
i=1
eiτ(i). Очевидно, P Tτ Pτ = PτP
T
τ = E. Матриця Pτ називається матрицею перестанов-
ки τ, або перестановочною матрицею. Також Pτ−1 = P−1τ .
Звернемо увагу на те, що для довiльної матрицi A = (αij) ∈ Mn(R) та перестановочної
матрицi Pτ матрицю A′ = P Tτ APτ = (α′ij) отримано з матрицi A перестановкою τ рядкiв та
стовпчикiв, тобто α′ij = ατ(i)τ(j) для всiх i, j.
Означення 1. Матриця B ∈ Mn(R) називається перестановочно звiдною, якщо iснує
така перестановочна матриця Pτ , що P Tτ BPτ =
(
B1 B12
0 B2
)
, де B1 та B2 — квадратнi
матрицi порядку меншого за n. Iнакше матриця B називається перестановочно незвiдною.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
ПРОСТI СИЛЬНО ЗВ’ЯЗНI САГАЙДАКИ ТА ЇХ ВЛАСНI ВЕКТОРИ 293
Означення 2. Сагайдак Q, в якому множина ребер не порожня, називається сильно
зв’язним, якщо iснує орiєнтований шлях з довiльної вершини сагайдака Q в довiльну iншу його
вершину (можливо, таку, що збiгається з вихiдною).
Має мiсце така теорема (див. [7], § 7.7).
Теорема 2. Матриця B ∈ Mn(R) перестановочно незвiдна тодi i лише тодi, коли її
сагайдак Q(B) сильно зв’язний.
Нагадаємо, що два сагайдаки Q1 та Q2 називаються iзоморфними, якщо iснує взаємно
однозначна вiдповiднiсть ϕ мiж множиною вершин сагайдака Q1 та сагайдака Q2, а також
взаємно однозначна вiдповiднiсть ψ мiж множиною стрiлок сагайдака Q1 та сагайдака Q2, до
того ж взаємно однозначнi вiдповiдностi ϕ та ψ вiдображають вершини та стрiлки узгоджено,
тобто якщо стрiлка a сагайдака Q1 iде з його вершини vi у вершину vj , то стрiлка ψ(a)
сагайдака Q2 iде з вершини ϕ(vi) у вершину ϕ(vj).
Позначимо через 1, . . . , s всi вершини сагайдакаQ та припустимо, що iснує точно tij стрiлок
з вершини i у вершину j. Якщо немає стрiлок з i в j, то tij = 0. Матриця T = (tij) називається
матрицею сумiжностi сагайдака Q.
Враховуючи введенi поняття, попередню теорему можна переформулювати так.
Наслiдок 1. Сагайдак Q сильно зв’язний тодi i лише тодi, коли його матриця сумiжностi
[Q] перестановочно незвiдна.
Всi вектори вважатимемо векторами-стовпцями. Через aT позначатимемо транспонування
вектора.
Числовий вектор a = (a1, . . . , an)
T називається додатним, якщо ai > 0 для i = 1, . . . , n.
Нехай σ : i → σ(i) — перестановка чисел 1, 2, . . . , n. Позначимо через aσ n-вимiрний чис-
ловий вектор, який отримується з вектора aσ перестановкою координат за правилом aσ =
= (aσ(1), . . . , aσ(n))
T . Два n-вимiрнi числовi вектори a и b називаються еквiвалентними, якщо
b = aσ для деякої перестановки σ. Зауважимо, що Pσa = aσ. Нагадаємо, що нормою ||a||
вектора a = (a1, . . . , an) називається число ||a|| =
√
a21 + . . .+ a2n. Зауважимо, що ||aσ|| = ||a||.
Твердження 1. Нехай сагайдаки Q1 та Q2 iзоморфнi, до того ж [Q2] = P Tσ [Q1]Pσ.
Нехай a — власний вектор матрицi [Q2] з власним значенням λ. Тодi aσ є власним вектором
матрицi [Q1] з тим же власним значенням. Якщо b є власним вектором матрицi [Q1] з власним
значенням λ, то bσ−1 є власним вектором матрицi [Q2] з власним значенням λ.
Доведення. Нехай λ — власне число матрицi [Q2], яке вiдповiдає її власному вектору a. Роз-
глянемо вектор Pσ [Q2] a. Маємо Pσ [Q2] a = λPσa = λaσ. Втiм Pσ [Q2] a = Pσ(P
T
σ [Q1]Pσ)a =
= [Q1]Pσa = [Q1]aσ. Таким чином, справджується рiвнiсть [Q1]aσ = λaσ, яка доводить першу
частину твердження.
Друга частина твердження випливає з рiвностi P−1σ = Pσ−1 .
Крiм цього, для невiд’ємних та, зокрема, додатних матриць мають мiсце важливi теореми,
доведенi Перроном та Фробенiусом на початку 20-го столiття.
Теорема 3 (теорема Перрона). Додатна матриця A = (αij) розмiру n завжди має дiйсне
i до того ж додатне власне число r, яке є простим коренем характеристичного многочлена, i
модуль цього числа бiльший за модуль кожного iншого характеристичного числа матрицi A.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
294 I. В. ДУДЧЕНКО, В. В. КИРИЧЕНКО, М. В. ПЛАХОТНИК
Цьому числу r вiдповiдає власний вектор z = (z1, . . . , zn) матрицi A з додатними координа-
тами.
Цю теорему вперше було сформульовано та доведено в [11, 12].
Теорема 4 (теорема Фробенiуса). Нерозкладна невiд’ємна матриця A = (αij) розмiру n
завжди має додатне власне число r, яке є простим коренем характеристичного многочлена.
Модулi всiх iнших власних чисел не бiльшi за r. Цьому максимальному власному числу вiдповiдає
власний вектор з додатними координатами.
Якщо при цьому матриця A має h характеристичних чисел λ0 = r, λ1, . . . , λh−1, модулi
яких дорiвнюють r, то всi цi числа є рiзними коренями рiвняння λh − rh = 0. При h > 0
матрицю A перестановкою рядкiв i стовпцiв можна звести до вигляду
A =
0 A12 0 · · · 0
0 0 A23 · · · 0
... . . .
. . . . . .
...
0 . . . 0
. . . Ah−1,h
Ah,1 . . . 0 0 0
,
де на дiагоналi знаходяться квадратнi блоки.
Цю теорему вперше було сформульовано та доведено в [8, 9].
Має мiсце таке твердження [1, с. 347] (зауваження 3).
Твердження 2. Нерозкладна невiд’ємна матриця не може мати двох лiнiйно незалежних
невiд’ємних власних векторiв.
Врахувавши наведенi факти та зауваження, можемо довести теорему 1 в такий спосiб. Ви-
писуємо всi неiзоморфнi сагайдаки з двома, трьома та чотирма вершинами, пiсля чого шукаємо
серед них тi, якi мають однаковi характеристичнi многочлени, а також лiвi та правi власнi
вектори, що вiдповiдають iндексу. При цьому за теоремою Фробенiуса координати власного
вектора можемо вважати невiд’ємними, а за твердженням 2 побудований власний вектор єдиний
з точнiстю до множника, який можна вибрати так, щоб норма вектора дорiвнювала одиницi.
3. Списки сагайдакiв та калькуляцiя. Звернемо увагу на те, що для сагайдакiв з двома
та трьома вершинами теорема 1 справджується тому, що характеристичнi многочлени цих
сагайдакiв рiзнi, що видно з наведеної нижче таблицi, яка мiстить усi неiзоморфнi сагайдаки
вiдповiдно до перевiреного нами списку з роботи [4] (додаток II). Для кожного з сагайдакiв
запишемо номер, пiд яким його розглянуто в роботi [2], а в дужках — подвiйний номер цього
самого сагайдака вiдповiдно до нумерацiї, наведеної у [4] (додаток II) (номер q.r означає, що
сагайдак має q ребер та номер r у списку сагайдакiв з q ребрами, наведеному в додатку до
цитованої книги).
№ 2.1 (2.2)
λ2 − 1
(
0 1
1 0
)
№ 3.1 (3.3)
λ3 − 1
0 1 0
0 0 1
1 0 0
№ 3.2 (3.4)
λ3 − 2λ
0 1 0
1 0 1
0 1 0
№ 3.3 (3.4)
λ3 − λ− 1
0 1 1
0 0 1
1 0 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
ПРОСТI СИЛЬНО ЗВ’ЯЗНI САГАЙДАКИ ТА ЇХ ВЛАСНI ВЕКТОРИ 295
№ 3.4 (3.5)
λ3 − 2λ− 1
0 1 1
0 0 1
1 1 0
№ 3.5 (3.6)
λ3 − 3λ− 2
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Бачимо, що характеристичнi многочлени сагайдакiв рiзнi, що i доводить теорему 1 для
сагайдакiв з двома та трьома вершинами.
Для доведення теореми 1 для сагайдакiв з чотирма вершинами, розiб’ємо сагайдаки на
групи тих, що мають однаковi характеристичнi многочлени. Нумерувати сагайдаки будемо так
само, як i сагайдаки, що мають двi та три вершини. Крiм того, через vl та vr позначатимемо
лiвий та правий власнi вектори сагайдака (при цьому координати вектора vr записуватимемо в
рядок), через λ0 позначатимемо iндекс сагайдака.
Група 1. Сагайдаки, характеристичнi многочлени яких дорiвнюють λ4 − 2λ2 − λ, λ0 =
= 1,618.
№ 4.10 (6.11)
vr = (0,447; 0,724;
0,447; 0,276)
vl = (0,372; 0,602;
0,602; 0,372)
0 1 0 0
1 0 1 1
0 1 0 0
0 0 1 0
№ 4.12 (6.16)
vr = (0,372; 0,602;
0,372; 0,602)
vl = (0,447; 0,724;
0,276; 0,447)
0 1 0 0
1 0 0 1
0 1 0 0
0 1 1 0
№ 4.27 (7.8)
vr = (0,724; 0;276;
0;447; 0;447)
vl = (0;336; 0;544;
0;544; 0;544)
0 1 1 1
0 0 1 0
0 1 0 1
1 0 0 0
№ 4.28 (7.10)
vr = (0,336; 0,544;
0,544; 0,544)
vl = (0,724; 0,276;
0,447; 0,447)
0 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 0 1 0
Група 2. Сагайдаки, характеристичнi многочлени яких дорiвнюють λ4 − λ2 − λ − 1,
λ0 = 1,466.
№ 4.13 (6.22)
vr = (0,284; 0,611;
0,611; 0,417)
vl = (0,623; 0,370;
0,543; 0,425)
0 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
0 0 1 0
№ 4.17 (6.33)
vr = (0,349; 0,511;
0,749; 0,238)
vl = (0,517; 0,660;
0,450; 0,307)
0 1 0 0
0 0 1 0
1 1 0 1
1 0 0 0
№ 4.18 (6.34)
vr = (0,517; 0,660;
0,450; 0,307)
vl = (0,349; 0,511;
0,749; 0,238)
0 0 1 1
1 0 1 0
0 1 0 0
0 0 1 0
№ 4.19 (6.37)
vr = (0,623; 0,370;
0,543; 0,425)
vl = (0,284; 0,611;
0,611; 0,417)
0 1 1 0
0 0 1 0
0 1 0 1
1 0 0 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
296 I. В. ДУДЧЕНКО, В. В. КИРИЧЕНКО, М. В. ПЛАХОТНИК
Група 3. Сагайдаки, характеристичнi многочлени яких дорiвнюють λ4 − λ2 − 2λ, λ0 =
= 1,521.
№ 4.14 (6.28)
vr = (0,392; 0,650;
0,597; 0,258)
vl = (0,535; 0,407;
0,619; 0,407)
0 0 1 0
1 0 1 0
0 1 0 1
1 0 0 0
№ 4.15 (6.30)
vr = (0,744; 0,322;
0,489; 0,322)
vl = (0,489; 0,322;
0,744; 0,322)
0 1 1 1
0 0 1 0
1 0 0 0
0 0 1 0
№ 4.16 (6.31)
vr = (0,535; 0,407;
0,619; 0,407)
vl = (0,392; 0,650;
0,597; 0,258)
0 1 0 1
0 0 1 0
1 1 0 0
0 0 1 0
Зауважимо, що в роботi [2] до цiєї групи не вiднесено сагайдак № 4.15 (6.30), який помил-
ково вiднесено до наступної групи, оскiльки неправильно пораховано його характеристичний
многочлен λ4 − 2λ2 − 2λ замiсть потрiбного λ4 − λ2 − 2λ.
Група 4. Сагайдаки, характеристичнi многочлени яких дорiвнюють λ4− 2λ2− 2λ, λ0 =
= 1,769.
№ 4.31 (7.15)
vr = (0,381; 0,215;
0,674; 0,596)
vl = (0,685; 0,322;
0,569; 0,322)
0 0 1 0
1 0 0 0
1 1 0 1
1 0 1 0
№ 4.32 (7.17)
vr = (0,447; 0,395;
0,699; 0,395)
vl = (0,333; 0,521;
0,589; 0,521)
0 1 0 1
0 0 1 0
1 1 0 1
0 0 1 0
№ 4.35 (7.21)
vr = (0,333; 0,521;
0,589; 0,521)
vl = (0,447; 0,395;
0,699; 0,395)
0 0 1 0
1 0 1 0
0 1 0 1
1 0 1 0
№ 4.58 (8.17)
vr = (0,438; 0,685;
0,247; 0,527)
vl = (0,527; 0,247;
0,685; 0,438)
0 0 1 1
1 0 1 1
1 0 0 0
0 1 1 0
Група 5. Сагайдаки, характеристичнi многочлени яких дорiвнюють λ4 − λ2 − 2λ − 1,
λ0 = 1,618.
№ 4.20 (6.42)
vr = (0,602; 0,372;
0,602; 0,372)
vl = (0,602; 0,372;
0,602; 0,372)
0 1 1 0
0 0 1 0
1 0 0 1
1 0 0 0
№ 4.39 (7.30)
vr = (0,219; 0,572;
0,354; 0,707)
vl = (0,544; 0,544;
0,544; 0,336)
0 0 1 0
1 0 0 1
0 1 0 0
1 1 1 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
ПРОСТI СИЛЬНО ЗВ’ЯЗНI САГАЙДАКИ ТА ЇХ ВЛАСНI ВЕКТОРИ 297
№ 4.41(7.33)
vr = (0,447; 0,724;
0,276; 0,447)
vl = (0,276; 0,447;
0,447; 0,724)
0 0 1 1
1 0 1 1
0 0 0 1
0 1 0 0
№ 4.43 (7.38)
vr = (0,544; 0,544;
0,544; 0,336)
vl = (0,354; 0,572;
0,219; 0,707)
0 0 1 1
1 0 0 1
0 1 0 1
0 1 0 0
Група 6. Сагайдаки, характеристичнi многочлени яких дорiвнюють λ4 − 3λ2 − λ + 1,
λ0 = 1,802,
№ 4.22 (7.1)
vr = (0,264; 0,476;
0,593; 0,593)
vl = (0,379; 0,682;
0,304; 0,547)
0 1 0 0
1 0 0 1
0 1 0 1
0 1 1 0
№ 4.24 (7.3)
vr = (0,379; 0,682;
0,304; 0,547)
vl = (0,264; 0,476;
0,593; 0,593)
0 1 0 0
1 0 1 1
0 0 0 1
0 1 1 0
Група 7. Сагайдаки, характеристичнi многочлени яких дорiвнюють λ4 − 3λ2 − λ, λ0 =
= 1,879.
№ 4.25 (7.6)
vr = (0,356; 0,670;
0,356; 0,546)
vl = (0,356; 0,670;
0,546; 0,356)
0 1 0 0
1 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 0
№ 4.47 (8.4)
vr = (0,657; 0,228;
0,429; 0,577)
vl = (0,263; 0,494;
0,666; 0,494)
0 1 1 1
0 0 1 0
0 1 0 1
1 0 1 0
№ 4.52 (8.9)
vr = (0,263; 0,494;
0,666; 0,494)
vl = (0,657; 0,228;
0,429; 0,577)
0 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
Група 8. Сагайдаки, характеристичнi многочлени яких дорiвнюють λ4 − 2λ2 − 2λ − 1,
λ0 = 1,839.
№ 4.29 (7.12)
vr = (0,565; 0,307;
0,673; 0,366)
vl = (0,485; 0,314;
0,577; 0,577)
0 0 1 1
1 0 0 0
1 1 0 1
0 0 1 0
№ 4.33 (7.18)
vr = (0,577; 0,314;
0,485; 0,577)
vl = (0,673; 0,307;
0,565; 0,366)
0 0 1 1
1 0 0 0
1 1 0 0
1 0 1 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
298 I. В. ДУДЧЕНКО, В. В. КИРИЧЕНКО, М. В. ПЛАХОТНИК
№ 4.37 (7.25)
vr = (0,577; 0,314;
0,485; 0,577)
vl = (0,485; 0,314;
0,577; 0,577)
0 0 1 1
1 0 0 0
0 1 0 1
1 0 1 0
№ 4.59 (8.19)
vr = (0,443; 0,684;
0,443; 0,372)
vl = (0,443; 0,372;
0,443; 0,684)
0 0 1 1
1 0 1 1
1 0 0 1
0 1 0 0
№ 4.64 (8.26)
vr = (0,438; 0,676;
0,521; 0,283)
vl = (0,191; 0,352;
0,648; 0,648)
0 0 1 1
1 0 1 1
0 1 0 1
0 0 1 0
Група 9. Сагайдаки, характеристичнi многочлени яких дорiвнюють λ4 − 2λ2 − λ − 1,
λ0 = 1,711.
№ 4.30 (7.13)
vr = (0,237; 0,545;
0,694; 0,406)
vl = (0,497; 0,314;
0,537; 0,605)
0 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
0 0 1 0
№ 4.34 (7.20)
vr = (0,497; 0,605;
0,537; 0,314)
vl = (0,237; 0,406;
0,694; 0,545)
0 0 1 1
1 0 1 0
0 1 0 1
0 0 1 0
№ 4.38 (7.27)
vr = (0,354; 0,207;
0,682; 0,606)
vl = (0,682; 0,207;
0,354; 0,606)
0 0 0 1
1 0 0 0
1 1 0 1
1 0 1 0
Група 10. Сагайдаки, характеристичнi многочлени яких дорiвнюють λ4 − 3λ2 − 2λ,
λ0 = 2.
№ 4.46 (8.3)
vr = (0,500; 0,500;
0,500; 0,500)
vl = (0,431; 0,323;
0,647; 0,539)
0 0 1 1
1 0 1 0
0 1 0 1
1 0 1 0
№ 4.48 (8.5)
vr = (0,500; 0,500;
0,500; 0,500)
vl = (0,632; 0,316;
0,632; 0,316)
0 0 1 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 0 1 0
№ 4.50 (8.7)
vr = (0,632; 0,316;
0,632; 0,316)
vl = (0,500; 0,500;
0,500; 0,500)
0 1 1 1
0 0 1 0
1 1 0 1
1 0 0 0
№ 4.51 (8.8)
vr = (0,431; 0,323;
0,647; 0,539)
vl = (0,500; 0,500;
0,500; 0,500)
0 1 0 1
0 0 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
ПРОСТI СИЛЬНО ЗВ’ЯЗНI САГАЙДАКИ ТА ЇХ ВЛАСНI ВЕКТОРИ 299
№ 4.55 (8.14)
vr = (0,324; 0,487;
0,649; 0,487)
vl = (0,632; 0,316;
0,632; 0,316)
0 0 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
№ 4.71 (9.6)
vr = (0,209; 0,626;
0,417; 0,626)
vl = (0,626; 0,417;
0,626; 0,209)
0 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
Група 11. Сагайдаки, характеристичнi многочлени яких дорiвнюють λ4 − 3λ2 − 3λ− 1,
λ0 = 2,148.
№ 4.53 (8.11)
vr = (0,611; 0,248;
0,532; 0,532)
vl = (0,532; 0,248;
0,611; 0,532)
0 1 1 1
0 0 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
№ 4.70 (9.5)
vr = (0,428; 0,627;
0,428; 0,491)
vl = (0,611; 0,284;
0,417; 0,611)
0 0 1 1
1 0 1 1
1 0 0 1
1 1 0 0
№ 4.72 (9.7)
vr = (0,284; 0,611;
0,611; 0,417)
vl = (0,627; 0,428;
0,491; 0,428)
0 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 0 0
№ 4.76 (9.13)
vr = (0,284; 0,417;
0,611; 0,611)
vl = (0,611; 0,417;
0,611; 0,284)
0 0 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0
Група 12. Сагайдаки, характеристичнi многочлени яких дорiвнюють λ4 − 2λ2 − 3λ− 2,
λ0 = 2.
№ 4.60 (8.23)
vr = (0,550; 0,275;
0,642; 0,458)
vl = (0,500; 0,500;
0,500; 0,500)
0 0 1 1
1 0 0 0
1 1 0 1
0 1 1 0
№ 4.62 (8.24)
vr = (0,500; 0,500;
0,500; 0,500)
vl = (0,458; 0,275;
0,642; 0,550)
0 0 1 1
1 0 1 0
1 0 0 1
0 1 1 0
Група 13. Сагайдаки, характеристичнi многочлени яких дорiвнюють λ4 − 2λ2 − 3λ− 1,
λ0 = 1,950.
№ 4.61 (8.23)
vr = (0,511; 0,436;
0,659; 0,338)
vl = (0,431; 0,285;
0,555; 0,652)
0 0 1 1
1 0 0 1
1 1 0 1
0 0 1 0
№ 4.63 (8.25)
vr = (0,431; 0,652;
0,555; 0,285)
vl = (0,511; 0,338;
0,659; 0,436)
0 0 1 1
1 0 1 1
1 1 0 0
0 0 1 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
300 I. В. ДУДЧЕНКО, В. В. КИРИЧЕНКО, М. В. ПЛАХОТНИК
Група 14. Сагайдаки, характеристичнi многочлени яких дорiвнюють λ4 − 4λ2 − 3λ,
λ0 = 2,303.
№ 4.66 (9.1)
vr = (0,461; 0,461;
0,601; 0,461)
vl = (0,583; 0,253;
0,583; 0,506)
0 0 1 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
№ 4.67 (9.2)
vr = (0,583; 0,253;
0,583; 0,506)
vl = (0,461; 0,461;
0,601; 0,461)
0 1 1 1
0 0 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
Група 15. Сагайдаки, характеристичнi многочлени яких дорiвнюють λ4 − 3λ2 − 4λ− 2,
λ0 = 2,270.
№ 4.73 (9.9)
vr = (0,227; 0,584;
0,515; 0,584)
vl = (0,421; 0,477;
0,606; 0,477)
0 0 1 0
1 0 1 1
0 1 0 1
1 1 1 0
№ 4.74 (9.10)
vr = (0,421; 0,606;
0,477; 0,477)
vl = (0,227; 0,515;
0,584; 0,584)
0 0 1 1
1 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
Група 16. Сагайдаки, характеристичнi многочлени яких дорiвнюють λ4 − 4λ2 − 4λ− 1,
λ0 = 2,414.
№ 4.79 (10.3)
vr = (0,408; 0,577;
0,408; 0,577)
vl = (0,562; 0,233;
0,562; 0,562)
0 0 1 1
1 0 1 1
1 0 0 1
1 1 1 0
№ 4.80 (10.4)
vr = (0,562; 0,233;
0,562; 0,562)
vl = (0,408; 0,577;
0,408; 0,577)
0 1 1 1
0 0 0 1
1 1 0 1
1 1 1 0
Група 17. Сагайдаки, характеристичнi многочлени яких не збiгаються з характеристич-
ними многочленами жодної з наведених груп сагайдакiв i не збiгаються мiж собою.
№ 4.1 (4.16)
λ4 − 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
№ 4.2 (5.7)
λ4 − λ2 − 1
0 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
№ 4.3 (5.25)
λ4 − λ2 − λ
0 1 0 0
1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0
№ 4.4 (5.32)
λ4 − λ− 1
0 1 1 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
ПРОСТI СИЛЬНО ЗВ’ЯЗНI САГАЙДАКИ ТА ЇХ ВЛАСНI ВЕКТОРИ 301
№ 4.5 (5.35)
λ4 − 2λ
0 1 0 1
0 0 1 0
1 0 0 0
0 0 1 0
№ 4.6 (6.1)
λ4 − 3λ2
0 0 1 0
0 0 1 0
1 1 0 1
0 0 1 0
№ 4.7 (6.3)
λ4 − 3λ2 + 1
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
1 0 1 0
№ 4.8 (6.4)
λ4 − 2λ2
0 1 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
1 0 0 0
№ 4.9 (6.7)
λ4 − 2λ2 − 1
0 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 1 0
№ 4.11 (6.14)
λ4 − 2λ2 − λ+ 1
0 1 0 0
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 0
№ 4.21 (6.45)
λ4 − 2λ− 1
0 0 0 1
1 0 0 1
1 1 0 0
0 0 1 0
№ 4.23 (7.2)
λ4 − 3λ2
0 1 0 1
1 0 1 0
0 1 0 0
1 0 1 0
№ 4.26 (7.7)
λ4 − 2λ2 − 2λ+ 1
0 0 1 1
1 0 1 0
0 1 0 1
1 0 0 0
№ 4.36 (7.23)
λ4 − 2λ2 − 2λ
0 0 1 1
1 0 0 0
1 1 0 1
1 0 0 0
№ 4.40 (7.32)
λ4 − λ2 − 3λ− 1
0 0 1 1
1 0 0 1
0 1 0 0
0 1 1 0
№ 4.42 (7.35)
λ4 − λ2 − 2λ− 2
0 0 1 1
1 0 1 0
1 0 0 1
0 1 0 0
№ 4.44 (8.1)
λ4 − 4λ2 − 2λ+ 1
0 1 0 0
1 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
№ 4.45 (8.2)
λ4 − 4λ2
0 1 0 1
1 0 1 0
0 1 0 1
1 0 1 0
№ 4.49 (8.6)
λ4 − 3λ2 − 2λ+ 1
0 0 1 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 0 0 0
№ 4.54 (8.13)
λ4 − 3λ2 − 2λ− 1
0 0 1 1
1 0 1 0
1 1 0 1
0 0 1 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
302 I. В. ДУДЧЕНКО, В. В. КИРИЧЕНКО, М. В. ПЛАХОТНИК
№ 4.56 (8.15)
λ4 − 3λ2 − 2λ
0 1 1 1
0 0 1 0
1 1 0 1
0 0 1 0
№ 4.57 (8.16)
λ4 − 2λ2 − 4λ
0 0 1 1
1 0 0 1
1 1 0 0
0 1 1 0
№ 4.65
(пропущено)
λ4 − 2λ2 − 2λ− 1
0 1 1 1
0 0 1 0
1 0 0 0
1 1 1 0
№ 4.68 (9.3)
λ4 − 4λ2 − 2λ
0 1 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
№ 4.69 (9.4)
λ4 − 3λ2 − 4λ− 1
0 0 1 1
1 0 1 1
1 1 0 0
0 1 1 0
№ 4.75 (9.12)
λ4 − 3λ2 − 4λ− 3
0 0 1 1
1 0 1 0
1 1 0 1
0 1 1 0
№ 4.77 (10.1)
λ4 − 5λ2 − 4λ
0 1 1 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
№ 4.78 (10.2)
λ4 − 4λ2 − 5λ− 2
0 0 1 1
1 0 0 1
1 1 0 1
1 1 1 0
№ 4.81 (10.5)
λ4 − 4λ2 − 4λ− 1
0 0 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 0 0
№ 4.82 (11.1)
λ4 − 5λ2 − 6λ− 2
0 1 1 1
0 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
№ 4.83 (12.1)
λ4 − 6λ2 − 8λ− 3
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
Зауважимо, що для доведення теореми 1 у випадку сагайдакiв iз чотирма вершинами дос-
татньо вивчити нормованi власнi вектори сагайдакiв в межах кожної групи окремо та зробити
висновок, що теорема є правильною.
Звiсно, значення елементiв власних векторiв, що наведенi вище, є наближеними. Втiм для
доведення теореми 1 потрiбно робити висновок про те, що деякi вектори є рiзними (у даному
випадку — не є еквiвалентними). Для такого висновку, тобто для висновку про те, що вектори
вiдрiзняються, достатньо порiвнювати їхнi наближенi значення до третього знаку пiсля коми
в десятковому записi i констатувати факт їх вiдмiнностi. Для висновку ж про те, що вектори
збiгаються, необхiдно проводити аналiтичнi, а не наближенi розрахунки.
4. Про неможливiсть узагальнення теореми 1 на випадок сагайдакiв iз п’ятьма вер-
шинами. В [3] звернуто увагу на те, що вже при розглядi сагайдакiв iз п’ятьма вершинами
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
ПРОСТI СИЛЬНО ЗВ’ЯЗНI САГАЙДАКИ ТА ЇХ ВЛАСНI ВЕКТОРИ 303
теорема 1 не справджується. Там же наведено приклад двох неiзоморфних сильно зв’язних са-
гайдакiв iз п’ятьма вершинами, характеристичнi многочлени яких збiгаються та власнi вектори,
що вiдповiдають iндексу, також збiгаються. Матрицi сумiжностi цих сагайдакiв мають вигляд
A =
0 0 0 0 1
0 0 0 0 1
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
1 0 0 1 0
, B =
0 0 0 0 1
0 0 0 0 1
0 1 0 1 0
1 0 1 0 0
0 1 0 1 0
.
Звернемо увагу на те, що сагайдаки Q(A) та Q(B) не iзоморфнi. Так, кожен з них має двi
вершини такi, що в кожну з них входить лише одна стрiлка (в обох сагайдаках — це перша
та третя вершини). Втiм в сагайдаку Q(B) вiдповiднi двi стрiлки в першу та третю вершину
виходять з однiєї i тiєї самої (четвертої) вершини, при тому що сагайдак Q(A) такої властивостi
не має. Це означає, що сагайдаки Q(A) та Q(B) не iзоморфнi.
Знайдемо характеристичнi многочлени матриць A та B методом, запропонованим в [10].
Саме цим методом було знайдено власнi вектори та характеристичнi многочлени в роботi [2].
Те, що вектор v = (v1, . . . , v5)
t є правим власним вектором матрицi A, рiвносильно вико-
нанню умови Av = λv для невiдомого (ще не знайденого) числа λ. Рiвнiсть Av = λv доцiльно
записати у виглядi системи рiвнянь
v5 = λv1,
v5 = λv2,
v2 + v4 = λv3,
v2 + v3 = λv4,
v1 + v4 = λv5.
Рiзниця перших двох рiвнянь системи дає рiвнiсть λ(v2 − v1) = 0, з якої з урахуванням додат-
ностi iндексу матрицi отримуємо рiвнiсть
v2 = v1.
Таким чином, систему рiвнянь для матрицi Av = λv, де λ — iндекс матрицi A, пiсля
пiдстановки v2 = v1 та очевидних перетворень записуємо у виглядi
v2 = v1,
v3 = (λ3 − λ− 1)v1,
v4 = (λ2 − 1)v1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
304 I. В. ДУДЧЕНКО, В. В. КИРИЧЕНКО, М. В. ПЛАХОТНИК
v5 = λv1,
v1 + v4 = λv3.
Таким чином, власний вектор матрицiA, який вiдповiдає iндексу (точнiше — власний вектор,
який вiдповiдає кожному ненульовому власному числу матрицi A), має вигляд
v = (1; 1; λ3 − λ− 1; λ2 − 1; λ)t.
Безпосереднiй пiдрахунок показує, що характеристичний многочлен як матрицi A, так i матрицi
B дорiвнює
λ5 − 2λ3 − λ2.
Проведемо аналогiчнi розрахунки для матрицi B. Рiвнiсть Bv = λv запишемо у виглядi
системи рiвнянь
v5 = λv1,
v5 = λv2,
v2 + v4 = λv3,
v1 + v3 = λv4,
v2 + v4 = λv5.
З цiєї системи за умови, що λ 6= 0, так само, як i вище, випливає система
v2 = v1,
v3 = (λ3 − λ− 1)v1,
v4 = (λ2 − 1)v1,
v5 = λv1,
v1 + v4 = λv3,
яка збiгається з аналогiчною системою рiвнянь, що вiдповiдала рiвностi Av = λv. Це означає,
що збiгаються не лише характеристичнi многочлени та власнi вектори, що вiдповiдають iндексу
матриць A та B, а й усi правi власнi вектори матриць A та B (з точнiстю до множення на
ненульове число), якi вiдповiдають ненульовому власному числу матрицi.
Перейдемо до знаходження лiвих власних векторiв матриць A та B.
Враховуючи властивостi транспонування добутку матриць, для знаходження лiвих власних
векторiв матриць A та B можемо знайти згаданим методом правi власнi вектори матриць
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
ПРОСТI СИЛЬНО ЗВ’ЯЗНI САГАЙДАКИ ТА ЇХ ВЛАСНI ВЕКТОРИ 305
At =
0 0 0 0 1
0 0 1 1 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 1
1 1 0 0 0
та Bt =
0 0 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 1
1 1 0 0 0
.
У припущеннi λ 6= 0 систему рiвнянь Atv = λv записуємо у виглядi
v5 = λv1,
v2 =
λ+ 1
λ
v3,
v4 = λv3,
v1 =
λ2 − 1
λ
v3,
λ2 − 1
λ
+
λ+ 1
λ
= λ2
λ2 − 1
λ
.
Систему рiвнянь, що вiдповiдає рiвностi Btv = λv, у припущеннi λ 6= 0 записуємо у виглядi
v1 = v3,
v2 = λv3,
v4 = λv3,
v5 = (λ2 − 1)v3.
Таким чином, лiвi власнi вектори, що вiдповiдають матрицям A та B, мають вигляд
vA =
(
λ2 − 1
λ
;
λ+ 1
λ
; 1; λ; λ2 − 1
)
,
vB = (1; λ; 1; λ; λ2 − 1).
Врахуємо, що характеристичний многочлен матриць A та B набирає вигляду
λ2(λ3 − 2λ− 1) = λ2(λ+ 1)(λ2 − λ− 1).
Тому для iндексу кожного з сагайдакiв виконується рiвнiсть
λ2 − λ− 1 = 0,
враховуючи яку, лiвi власнi вектори, що вiдповiдають iндексовi, записуємо у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
306 I. В. ДУДЧЕНКО, В. В. КИРИЧЕНКО, М. В. ПЛАХОТНИК
vA = vB =
(
1; λ; 1; λ; λ2 − 1
)
.
Зауважимо, що лiвi власнi вектори матрицьA таB, якi вiдповiдають власному числу λ = −1
(котре, звiсно, не є iндексом сагайдакiв), не є рiвними.
5. Висновки. Серед сагайдакiв iз чотирма вершинами, що вiднесенi нами до 16-ти груп
сагайдакiв, котрi мають однаковi характеристичнi многочлени, є такi, чиї правi власнi вектори
еквiвалентнi. Це свiдчить про те, що у формулюваннi теореми 1 неможливо вiдмовитися вiд
вимоги еквiвалентностi як лiвих, так i правих власних векторiв сильно зв’язних сагайдакiв для
того, щоб сагайдаки були iзоморфними.
Так, є еквiвалентними правi власнi вектори таких сагайдакiв:
1) сагайдакiв № 4.33 (7.18) та № 4.37 (7.25) з групи № 8,
2) сагайдакiв № 4.48 (8.3) та № 4.48 (8.5) з групи № 10,
3) сагайдакiв № 4.72 (9.7) та № 4.76 (9.13) з групи № 11,
4) сагайдакiв № 4.61 (8.23) та № 4.63 (8.25) з групи № 13.
Звернемо увагу на те, що оскiльки характеристичний многочлен матрицi збiгається з ха-
рактеристичним многочленом транспонованої до неї матрицi, то з правила транспонування
добутку матриць маємо такий наслiдок.
Наслiдок 2. Якщо для двох неiзоморфних сагайдакiв A та B з n вершинами характерис-
тичнi многочлени збiгаються i дорiвнюють f(λ), а правi власнi вектори, що вiдповiдають
одному i тому ж влаcному числу λ1, еквiвалентнi, то iснують неiзоморфнi сагайдаки A1 та
B1 з n вершинами, чиї характеристичнi многочлени також дорiвнюють f(λ) та лiвi власнi
вектори, що вiдповiдають влаcному числу λ1, еквiвалентнi.
1. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1966. – 576 с.
2. Дудченко И. В. Сильносвязные колчаны, их индексы и собственные векторы. – Киев, 2007. – 28 с. – (Препринт
/ НАН Украины. Ин-т математики).
3. Дудченко I. В., Плахотник М. В. Сильно зв’язнi сагайдаки та їх власнi вектори // Тези доп. 4-ї конференцiї
молодих учених iз сучасних проблем механiки i математики iменi академiка Я. С. Пiдстригача (Львiв, 24 –
27 травня 2011 р.). – С. 265 – 266.
4. Харари Ф. Теория графов. – Пер. с англ. – М., 1973.
5. Gabriel P. Unserlegbare Darstellungen 1 // Manuscr. Math. – 1972. – 6. – S. 71 – 103.
6. Dudchenko I., Plakhotnyk M. A linear algorithm of checking of the graph connectness // Algebra and Diskrete Math.
– 2012. – № 1.
7. Hazewinkel M., Gubareni N., Kirichenko V. V. Algebras, rings and modules // Math. and Appl. – Kluwer Acad. Publ.,
2004. – 575. – 380 p.
8. Frobenius G. Über Matrizen aus positiven Elementen // Sitzungsber. Akad. Wiss. Phys.-math. Kl. – Berlin, 1908. –
S. 471 – 476; 1909. – S. 514 – 518.
9. Frobenius G. Über Matrizen aus nicht-negativen Elementen // Sitzungsber. Akad. Wiss. Phys.-math. Kl. – Berlin,
1912. – S. 456 – 477.
10. Dokuchaev M. A., Gubareni N. M., Futorny V. M., Khibina M. A., Kirichenko V. V. Dynkin diagrams and spectra of
graphs. – Brazil, 2010. – Preprint.
11. Perron О. Jacobischer Kettenbruchalgorithmus // Math. Ann. – 1907. – 64. – S. 1 – 76.
12. Perron О. Ueber Matrizen // Math. Ann. – 1907. – 64. – S. 248 – 263.
Одержано 12.12.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
|