Оцінка кількості ультрасубгармонік двовимірної майже автономної періодичної за часом гамільтонової системи

С помощью метода Арнольда обнаружения неподвижных точек симплектических диффеоморфизмов найдены оценки снизу количества ультрасубгармоник гамильтоновой системы на двумерном симплектическом многообразии с почти автономным периодическим по времени гамильтонианом. Показано, что асимптотика этих оценок...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2012
Hauptverfasser:	Вакал, Ю.Є., Парасюк, І.О.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2012
Schriftenreihe:	Український математичний журнал
Schlagworte:	Статті
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164166
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Оцінка кількості ультрасубгармонік двовимірної майже автономної періодичної за часом гамільтонової системи/ Ю.Є. Вакал, І.О. Парасюк // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 4. — С. 463-489. — Бібліогр.: 13 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164166
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1641662025-02-09T11:47:16Z Оцінка кількості ультрасубгармонік двовимірної майже автономної періодичної за часом гамільтонової системи Estimation of the number of ultrasubharmonics for a two-dimensional almost autonomous Hamiltonian system periodic in time Вакал, Ю.Є. Парасюк, І.О. Статті С помощью метода Арнольда обнаружения неподвижных точек симплектических диффеоморфизмов найдены оценки снизу количества ультрасубгармоник гамильтоновой системы на двумерном симплектическом многообразии с почти автономным периодическим по времени гамильтонианом. Показано, что асимптотика этих оценок при стремлении малого параметра возмущения к нулю зависит от того, к какой из четырех зон кольцевой области, расслоенной замкнутыми линиями уровня невозмущенного гамильтониана, принадлежат порождающие невозмущенные ультра- субгармоники. The Arnold method for the detection of fixed points of symplectic diffeomorphisms is used to establish lower estimates for the number of ultrasubharmonics in a Hamiltonian system on a two-dimensional symplectic manifold with an almost autonomous Hamiltonian periodic in time. It is shown that the asymptotic behavior of these estimates (as the small parameter of perturbation tends to zero) depends on the zone (from the set four zones of an annular domain foliated by the closed level curves of the unperturbed Hamiltonian) containing the generating unperturbed ultrasubharmonics. 2012 Article Оцінка кількості ультрасубгармонік двовимірної майже автономної періодичної за часом гамільтонової системи/ Ю.Є. Вакал, І.О. Парасюк // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 4. — С. 463-489. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164166 517.9 uk Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Вакал, Ю.Є. Парасюк, І.О. Оцінка кількості ультрасубгармонік двовимірної майже автономної періодичної за часом гамільтонової системи Український математичний журнал
description	С помощью метода Арнольда обнаружения неподвижных точек симплектических диффеоморфизмов найдены оценки снизу количества ультрасубгармоник гамильтоновой системы на двумерном симплектическом многообразии с почти автономным периодическим по времени гамильтонианом. Показано, что асимптотика этих оценок при стремлении малого параметра возмущения к нулю зависит от того, к какой из четырех зон кольцевой области, расслоенной замкнутыми линиями уровня невозмущенного гамильтониана, принадлежат порождающие невозмущенные ультра- субгармоники.
format	Article
author	Вакал, Ю.Є. Парасюк, І.О.
author_facet	Вакал, Ю.Є. Парасюк, І.О.
author_sort	Вакал, Ю.Є.
title	Оцінка кількості ультрасубгармонік двовимірної майже автономної періодичної за часом гамільтонової системи
title_short	Оцінка кількості ультрасубгармонік двовимірної майже автономної періодичної за часом гамільтонової системи
title_full	Оцінка кількості ультрасубгармонік двовимірної майже автономної періодичної за часом гамільтонової системи
title_fullStr	Оцінка кількості ультрасубгармонік двовимірної майже автономної періодичної за часом гамільтонової системи
title_full_unstemmed	Оцінка кількості ультрасубгармонік двовимірної майже автономної періодичної за часом гамільтонової системи
title_sort	оцінка кількості ультрасубгармонік двовимірної майже автономної періодичної за часом гамільтонової системи
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Статті
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164166
citation_txt	Оцінка кількості ультрасубгармонік двовимірної майже автономної періодичної за часом гамільтонової системи/ Ю.Є. Вакал, І.О. Парасюк // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 4. — С. 463-489. — Бібліогр.: 13 назв. — укр.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT vakalûê ocínkakílʹkostíulʹtrasubgarmoníkdvovimírnoímajžeavtonomnoíperíodičnoízačasomgamílʹtonovoísistemi AT parasûkío ocínkakílʹkostíulʹtrasubgarmoníkdvovimírnoímajžeavtonomnoíperíodičnoízačasomgamílʹtonovoísistemi AT vakalûê estimationofthenumberofultrasubharmonicsforatwodimensionalalmostautonomoushamiltoniansystemperiodicintime AT parasûkío estimationofthenumberofultrasubharmonicsforatwodimensionalalmostautonomoushamiltoniansystemperiodicintime
first_indexed	2025-11-25T22:33:59Z
last_indexed	2025-11-25T22:33:59Z
_version_	1849803450103103488
fulltext	УДК 517.9 Ю. Є. Вакал, I. О. Парасюк (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка) ОЦIНКА КIЛЬКОСТI УЛЬТРАСУБГАРМОНIК ДВОВИМIРНОЇ МАЙЖЕ АВТОНОМНОЇ ПЕРIОДИЧНОЇ ЗА ЧАСОМ ГАМIЛЬТОНОВОЇ СИСТЕМИ Using the Arnold method of detection of fixed points of symplectic diffeomorphisms, we find lower estimates for the number of ultrasubharmonics in a Hamiltonian system on a two-dimensional symplectic manifold with almost autonomous time-periodic Hamiltonian. We show that the asymptotic behavior of these estimates as the perturbation parameter tends to zero depends on which of the four zones of a ring domain foliated by closed level curves of the unperturbed Hamiltonian the generating unperturbed ultrasubharmonics belong to. С помощью метода Арнольда обнаружения неподвижных точек симплектических диффеоморфизмов найдены оцен- ки снизу количества ультрасубгармоник гамильтоновой системы на двумерном симплектическом многообразии с почти автономным периодическим по времени гамильтонианом. Показано, что асимптотика этих оценок при стрем- лении малого параметра возмущения к нулю зависит от того, к какой из четырех зон кольцевой области, расслоенной замкнутыми линиями уровня невозмущенного гамильтониана, принадлежат порождающие невозмущенные ультра- субгармоники. 1. Вступ. Нехай на двовимiрному симплектичному многовидiM2 [1] задано 2π-перiодичну за часом неавтономну гамiльтонову систему з гамiльтонiаном Hε, залежним вiд малого параметра ε ≥ 0. Припустимо, що незбурений гамiльтонiан H = H0 не залежить вiд часу i деяка область D ⊂M2 розшаровується регулярними замкненими лiнiями рiвня Mz := {x ∈ D : H = z} , z ∈ (z∗, z ∗) ⊂ H(M2). Тодi рух кожної точки x ∈ Mz пiд дiєю потоку незбуреної системи перiодичний з перiодом T (z) та частотою ω(z) := 2π/T (z), що залежать у загальному випадку вiд z. Рухи з рацiональ- ною частотою ω(zm/n) = m/n називають (n/m)-ультрасубгармонiками (n-субгармонiками при m = 1). Як вiдомо з теорiї збурень Пуанкаре, загальним є випадок, коли лише певна дискретна множина (n/m)-ультрасубгармонiк допускає продовження за малим параметром на деякий iн- тервал 0 ≤ ε < εm/n,що залежить вiдm/n, породжуючи збуренi ультрасубгармонiки. Водночас при ε → 0 спостерiгається так зване явище буферностi: загальна кiлькiсть ультрасубгармонiк з рiзними частотами прямує до нескiнченностi, причому це явище можна спостерiгати i при негамiльтонових збуреннях [2 – 6]. У зазначених роботах йшлося про збуренi ультрасубгармо- нiки, якi концентруються поблизу гомо- або гетероклiнiчних контурiв незбуреної гамiльтоно- вої системи, а iснування таких коливних розв’язкiв пов’язувалося з наявнiстю нулiв функцiй Мельникова та їхнiх модифiкацiй. Зокрема, в [3] розглядався випадок гамiльтонових збурень i в околi гомоклiнiчного контура встановлювалося iснування лише n-субгармонiк; водночас зазначалося, що в рамках запропонованого в цiй роботi пiдходу не вдається виявити збуренi (n/m)-ультрасубгармонiки з m 6= 1. Мета даної роботи полягає в тому, щоб оцiнити швидкiсть зростання сумарної кiлькостi збурених ультрасубгармонiк гамiльтонової системи з гамiльтонiаном Hε при ε→ 0. На вiдмiну вiд [7], де розглядалися негамiльтоновi збурення, ми не будемо використовувати для доведення iснування збурених ультрасубгармонiк модифiкованi функцiї Мельникова, натомiсть застосову- ватимемо метод В. I. Арнольда [1]. Такий пiдхiд дасть змогу встановлювати iснування не лише c© Ю. Є. ВАКАЛ, I. О. ПАРАСЮК, 2012 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4 463 464 Ю. Є. ВАКАЛ, I. О. ПАРАСЮК збурених ультрасубгармонiк, що концентруються поблизу гомо- чи гетероклiнiчних контурiв, але й розподiлених по всiй областi D. Статтю побудовано таким чином. У п. 2 викладено варiант методу Арнольда доведення iснування нерухомих точок симплектичних дифеоморфiзмiв. У п. 3 описано спосiб побудови змiнних (неканонiчних) типу дiя-кут автономної гамiльтонової системи на площинi без викорис- тання апарату твiрних функцiй та запропоновано формули для обчислення похiдних вихiдних канонiчних змiнних за змiнними типу дiя-кут. У п. 4 для фiксованого рацiонального числа m n встановлено оцiнки мализни малого параметра, що гарантують iснування принаймнi двох 2πn- перiодичних розв’язкiв збуреної системи, якi при ε→ 0 трансформуються в породжуючi (n/m)- ультрасубгармонiки незбуреної системи. Пункт 5 мiстить основнi результати. Тут множину незбурених ультрасубгармонiк в залежностi вiд розташування вiдповiдних лiнiй рiвня функцiї H подiлено на чотири пiдмножини i для кожної з цих пiдмножин встановлено оцiнки знизу кiлькостi збурених ультрасубгармонiк. Нарештi, в п. 6 доведно низку допомiжних лем, якi суттєво використовуються при обґрунтуваннi основних результатiв. 2. Нерухомi точки симплектичних дифеоморфiзмiв. Нехай (M2, dΛ) — двовимiрний симплектичний многовид з точною симплектичною структурою ω2 = dΛ, де Λ — 1-форма. При- пустимо, що на цьому многовидi визначено сiм’ю симплектичних дифеоморфiзмiв {χt}t∈[0,T ] , χ0 = Id. Нас цiкавить питання: чи має нерухому точку звуження дифеоморфiзму χT на деяку кiльцеву область, дифеоморфну [−δ, δ] × S1? Для так званих симплектичних дифеоморфiзмiв закручування це питання вирiшується за допомогою теорем Пуанкаре та Бiркгофа принаймнi у двох випадках: 1) кiльцева область iнварiантна вiдносно χT , а замкненi кривi, що її обме- жують, дифеоморфiзм χT повертає в рiзнi боки; 2) зазначена область, можливо, неiнварiантна, але дифеоморфiзм χT близький до тотожного i для нього iснує крива, що обмежує однозв’язну область вM2, змiщуючись пiд дiєю χT „радiально” (тобто так, що вiдповiднi точки кривої та її образу мають однаковi проекцiї на S1) [8]. Для розв’язання поставленого питання скористаємося методом, запропонованим В. I. Арнольдом. Цей метод дає змогу пов’язати iснування нерухомих точок дифеоморфiзму χT з iснуванням критичних точок деякої функцiї на колi i не вимагає, щоб „радiально” змiщувана крива обмежувала однозв’язну область. Натомiсть потрiбно, щоб дифеоморфiзм χT задоволь- няв умову гомологiчностi тотожному вiдображенню. Це означає, що в кожен момент t ∈ [0, T ] поле швидкостей ∂ ∂t χt := χ̇t ∈ TχtM2 повинно мати глобальний гамiльтонiан Ft: χ∗t ( ι(χ̇t)ω 2 ) = dFt, (1) де ι — операцiя внутрiшнього добутку вектора та диференцiальної форми, χ∗t — „pull-back”- вiдображення, iндуковане на диференцiальних формах дифеоморфiзмом χt. Зокрема, якщо на (M2, dΛ) задано неавтономну гамiльтонову систему з гамiльтонiаномH(t, x), для якої при кож- ному x0 ∈ M2 розв’язок x = χt(x0) початкової задачi x ∣∣ t=0 = x0 iснує на [0, T ], то {χt}t∈[0,T ] є сiм’єю симплектичних дифеоморфiзмiв, гомологiчних тотожному [1]. Опишемо варiант методу Арнольда, в якому, на вiдмiну вiд першоджерела, не використо- вується явно поняття твiрної функцiї симплектичного дифеоморфiзму. Насамперед зауважимо, що при виконаннi умови (1) 1-форма χ∗tΛ − Λ буде точною. Справдi, симплектичнiсть χt за ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4 ОЦIНКА КIЛЬКОСТI УЛЬТРАСУБГАРМОНIК ДВОВИМIРНОЇ МАЙЖЕ АВТОНОМНОЇ . . . 465 означенням виливається в рiвнiсть χ∗tω 2 = ω2. Тодi 0 = χ∗tω 2 − ω2 = d (χ∗tΛ− Λ) , звiдки d d dt χ∗tΛ = 0. З iншого боку, за основною формулою диференцiального числення [9] d dt χ∗tΛ = χ∗t ( ι(χ̇t)ω 2 ) + d (χ∗t (ι(χ̇t)Λ)) = d [Ft + χ∗t (ι(χ̇t)Λ)] . Iнтегруванням вiд 0 до t переконуємося, що форма χ∗tΛ− Λ є точною: χ∗tΛ− Λ = d t∫ 0 [Fs + χ∗s (ι(χ̇s)Λ)] ds. Далi, нехай (y, ψ\| mod 2π) — такi (неканонiчнi) координати в кiльцевiй областi, в яких 1-форма Λ та дифеоморфiзм χT набирають вiдповiдно вигляду Λ = λ(y)dψ, χT : (y, ψ) 7→ (Υ(y, ψ),Φ(y, ψ)) , де λ′(y) 6= 0, y ∈ (−δ, δ). Наслiдком точностi форми χ∗tΛ− Λ є рiвнiсть λ ◦ΥdΦ− λdψ = dFT . (2) Припустимо додатково, що iснує „радiально” змiщувана крива, задана рiвнянням y = v(ψ), де v(·) — 2π-перiодична функцiя зi значеннями в (−δ, δ) така, що Φ(v(ψ), ψ) ≡ ψ. Тодi, як наслiдок (2), отримуємо рiвнiсть [λ ◦Υ(v(ψ), ψ)− λ ◦ v(ψ)] dψ = dFT (v(ψ), ψ), з якої внаслiдок строгої монотонностi λ випливає, що в кожнiй критичнiй точцi ψ∗ функцiї FT (v(ψ), ψ) виконується рiвнiсть Υ(v(ψ∗), ψ∗) = v(ψ∗). Отже, (v(ψ∗), ψ∗) — нерухома точка вiдображення χT . Насамкiнець слiд зауважити, що 2π-перiодична функцiя FT (v(ψ), ψ) (функцiя на колi) має принаймнi двi критичнi точки ψ±, яким з огляду на наведенi вище мiркування вiдповiдає пара нерухомих точок дифеоморфiзму χT . 3. Про неканонiчнi змiннi типу дiя-кут незбуреної системи. Розглянемо на двовимiрному симплектичному многовидi ( M2, ω2 ) автономну гамiльтонову систему, яка задовольняє такi умови: a) гамiльтонiан системи H належить класу C5 ( M2 7→R ) ; б) деяка область D ⊂ M2 допускає введення канонiчних координат p, q, у яких симплек- тична структура набирає вигляду dp ∧ dq, а деяка пiдобласть D така, що D̄ := D ∪ ∂D ⊂ D, має кiльцеву структуру — розшаровується замкненими лiнiями рiвня функцiї H та не мiстить положень рiвноваги; при цьому має мiсце типовий випадок, коли межу областi D утворює пара компактних зв’язних критичних множин рiвня гамiльтонiана ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4 466 Ю. Є. ВАКАЛ, I. О. ПАРАСЮК Mz∗ = {x ∈ D : H(x) = z∗} , Mz∗ = { x ∈ D2 : H(x) = z∗ } , де z∗ < z∗ — критичнi значення функцiї H, i всi критичнi точки функцiї H, якi належать Mz∗ ∩Mz∗ , є невиродженими; крiм того, припускаємо, що на Mz∗ розташованi одна або кiлька точок гiперболiчного типу, а Mz∗ вироджується в єдину точку елiптичного типу; в) перiод руху системи з гамiльтонiаном H по лiнiї рiвня Mz як функцiя T (z) параметра z, який нумерує фазовi кривi, задовольняє умову невиродженостi∣∣T ′(z)∣∣+ ∣∣T ′′(z)∣∣ 6= 0 ∀z ∈ (z∗, z ∗) , (3) до того ж, щоб не ускладнювати подальший аналiз, припускаємо, що функцiя T ′(z) дорiвнює нулю лише в однiй точцi z0 ∈ (z∗, z ∗). Наведемо кiлька роз’яснень щодо зроблених припущень. Припущення щодо гладкостi функ- цiї H суттєво використовується в п. 6 при встановленнi оцiнок функцiї T (z) для значень z, близьких до критичних. Оскiльки T (z)→∞ при z → z∗−0, то в точцi z0 функцiя T (z) досягає мiнiмуму. Далi, отриманi в цiй роботi результати автоматично стосуються i випадку, коли Mz∗ складається з однiєї або кiлькох точок гiперболiчного типу. При цьому область D може бути неоднозв’язною. Наприклад, досить часто зустрiчається випадок, коли область D дифеоморф- на цилiндру R × S1. Тодi координата p пробiгає iнтервал, а q — кутова координата на колi i, як наслiдок, функцiя H є 2π-перiодичною за змiнною q. Класичний приклад — гамiльтонiан математичного маятника: H = p2/2 + sin q. Вiдомо, що в областi D можна ввести канонiчнi змiннi дiя-кут (I, ϕ\| mod 2π). Змiнна дiї є монотонною функцiєю вiд гамiльтонiана: I = I ◦H . Iнодi, зокрема i в розглядуваному випадку, замiсть I за координату, яка нумерує фазовi кривi, зручно брати z = H . Для подальшого важливо вмiти виражати похiднi координат p, q за змiнними z, ϕ знову через координати p, q. Лема 1. Припустимо, що D розшаровується регулярними замкненими лiнiями рiвня Mz = {(p, q) ∈ D : H(p, q) = z} ∀z ∈ (z∗, z ∗), [∣∣H ′p∣∣+ ∣∣H ′q∣∣]Mz 6= 0. Тодi в областi D можна ввести неканонiчнi координати типу дiя-кут (z, ϕ\| mod 2π), у яких функцiя H перетворюється на z, а симплектична структура i дужки Пуассона мають вiдпо- вiдно вигляд ω2 = T (z) 2π dz ∧ dϕ, {ϕ, z} = 2π T (z) . Крiм того, в координатах (p, q) справджуються рiвностi p′z = H ′p( H ′p )2 + ( H ′q )2 + ( T ◦H 2π )2 fH ′q, q′z = H ′q( H ′p )2 + ( H ′q )2 − (T ◦H2π )2 fH ′p, (4) p′ϕ = −T ◦H 2π H ′q, q′ϕ = T ◦H 2π H ′p (5) з функцiєю f ∈ C2 (D 7→R) , яка визначається рiвностями f ∣∣ ϕ=0 = 0 та ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4 ОЦIНКА КIЛЬКОСТI УЛЬТРАСУБГАРМОНIК ДВОВИМIРНОЇ МАЙЖЕ АВТОНОМНОЇ . . . 467 f ′ϕ = 2πg T ◦H − 2πT ′ ◦H (T ◦H)2 , (6) де g := ∂ ∂p [ H ′p( H ′p )2 + ( H ′q )2 ] + ∂ ∂q [ H ′q( H ′p )2 + ( H ′q )2 ] . Доведення. На фазовiй кривiй (p(t), q(t)) системи з гамiльтонiаном H, яка належить лiнiї рiвня Mz, форма τ = H ′pdq −H ′qdp( H ′p )2 + ( H ′q )2 iндукує форму [ H ′pq̇ −H ′qṗ( H ′p )2 + ( H ′q )2dt ] p=p(t),q=q(t) = dt. Тому iнтеграл форми τ по лiнiї рiвня Mz, орiєнтованiй за напрямком руху, дає перiод T (z) = ∮ H=z τ. Змiнна дiї — це гамiльтонiан вигляду I = I ◦H, де I ∈ C2 ((z∗, z ∗) 7→R) , для якого кожен рух має перiод 2π. Для нього роль форми τ вiдiграє форма ϑ := I ′pdq − I ′qdp( I ′p )2 + ( I ′q )2 = τ I ′ ◦H . Тому iнтеграл форми ϑ по лiнiї рiвня Mz, орiєнтованiй за напрямком руху, даватиме перiод 2π, якщо T (z) I ′(z) = 2π, звiдки I(z) = 1 2π ∫ T (z)dz. Тодi ϑ = 2π T ◦H H ′pdq −H ′qdp( H ′p )2 + ( H ′q )2 . (7) Кутову координату ϕ введемо так. Побудуємо сiчну Γ, яка ортогонально перетинається в єдинiй точцi з кожною лiнiєю рiвня гамiльтонiана H . Зручно задати її параметрично Γ : p = p̃(s), q = q̃(s) як фазову криву системи ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4 468 Ю. Є. ВАКАЛ, I. О. ПАРАСЮК p′ = I ′p( I ′p )2 + ( I ′q )2 , q′ = I ′q( I ′p )2 + ( I ′q )2 , оскiльки тодi справджуватимуться рiвнoстi I(p̃(s), q̃(s)) = s, ϑ\|Γ = 0. Кожнiй точцi (p, q) вiдповiдає єдина точка (p0(p, q), q0(p, q)) на кривiй Γ, яка визначається значенням параметра s = I(p, q). Тодi ϕ = ϕ(p, q) — час, за який зазначена точка на Γ потрапляє в точку (p, q) пiд дiєю потоку гамiльтонової системи з гамiльтонiаном I . Iншими словами, ϕ(p, q) = (p,q)∫ (p0(p,q),q0(p,q)) ϑ\|Γ. Навпаки, якщо (P (s, t), Q(s, t)) як функцiя t — залежний вiд параметра s розв’язок задачi Кошi p\|t=0 = p̃(s), q\|t=0 = q̃(s) для системи з гамiльтонiаном I◦H, то координати (p, q) виражаються через змiннi (I, ϕ): p = P (I, ϕ), q = Q(I, ϕ). Координати (I, ϕ) канонiчнi. Справдi, беручи до уваги рiвностi P ′ϕ = −(I ◦H)′q, Q′ϕ = (I ◦H)′p, I ◦H(p, q) = I, (8) маємо ∂ ∂I I ◦H(p, q) = 1, звiдки Q′ϕP ′ I − P ′ϕQ′I = 1, а тодi dP ∧ dQ = ( P ′IQ ′ ϕ −Q′IP ′ϕ ) dI ∧ dϕ = dI ∧ dϕ. Замкнену форму, яка локально є диференцiалом кутової координати, ми умовно позначимо dϕ. Її можна розкласти за лiнiйно незалежними формами ϑ, dI, подавши у виглядi dϕ = ϑ+fdI, де функцiя f повинна задовольняти умову замкненостi dϑ + df ∧ dI = 0, або еквiвалентну їй умову dϑ = {f, I}dI ∧ dϕ = {f, I}dp ∧ dq, i, крiм того, f ∣∣ ϕ=0 = 0 за побудовою сiчної Γ. Тут {·, ·} — дужки Пуассона, асоцiйованi з симплектичною структурою. Якщо в координатах (p, q) форму ϑ подати у виглядi ϑ = αdp + + βdq, де з огляду на (7) α := − 2πH ′q[( H ′p )2 + ( H ′q )2] T ◦H , β := 2πH ′p[( H ′p )2 + ( H ′q )2] T ◦H , ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4 ОЦIНКА КIЛЬКОСТI УЛЬТРАСУБГАРМОНIК ДВОВИМIРНОЇ МАЙЖЕ АВТОНОМНОЇ . . . 469 то в координатах I, ϕ ця умова набирає вигляду( β′p − α′q ) (P (I, ϕ), Q(I, ϕ)) = ∂ ∂ϕ f(P (I, ϕ), Q(I, ϕ)), звiдки дiстаємо (6). З 2π-перiодичностi функцiї f випливають рiвностi 2π∫ 0 ( β′p − α′q ) (P (I, ϕ), Q(I, ϕ))dϕ = 0, f(P (I, ϕ), Q(I, ϕ)) = ϕ∫ 0 ( β′p − α′q ) (P (I, s), Q(I, s))ds. Таким чином, для коефiцiєнтiв форми dϕ = ϕ′pdp+ ϕ′qdq := ϑ+ T ◦H 2π fdH в координатах (p, q) отримуємо вирази ϕ′p = − 2πH ′q[( H ′p )2 + ( H ′q )2] T ◦H + T ◦H 2π fH ′p, ϕ′q = 2πH ′p[( H ′p )2 + ( H ′q )2] T ◦H + T ◦H 2π fH ′q. (9) Тепер зауважимо, що оскiльки I ′(z) > 0, то замiсть координати I можна ввести координату z = I−1(I), а оскiльки {ϕ, I} = 1, то {ϕ, I(z)} = I ′(z){ϕ, z} = 1, звiдки {ϕ, z} = 2π T (z) . Вiдтак в координатах (z, ϕ) {ϕ, p} = p′z{ϕ, z} = p′z · 2π T , {ϕ, q} = q′z{ϕ, z} = q′z · 2π T . З iншого боку, оскiльки {q, p} = 1, то в координатах (p, q) {ϕ, p} = ϕ′q, {ϕ, q} = −ϕ′p, звiдки p′z = T 2π ϕ′q, q′z = − T 2π ϕ′p. Звiдси з огляду на (9) випливають формули (4). Рiвностi (5) одержуємо з (8). Лему 1 доведено. Наслiдок 1. Справджується рiвнiсть f ′z = 2π T ϕ∫ 0 [ g′pp ′ z + g′qq ′ z − gT ′ T ] (P (I, s), Q(I, s))ds− 2πϕ d dz T ′ T 2 , ϕ ∈ [0, 2π]. (10) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4 470 Ю. Є. ВАКАЛ, I. О. ПАРАСЮК 4. Iснування пари збурених (n/m)-ультрасубгармонiк. Нехай гамiльтонiан H зазнає малого 2π-перiодичного за часом збурення H 7→ H + εh, яке задовольняє умову: г) функцiя h належить класу C2 ( S1 ×M2 7→R ) . Зi зроблених припущень випливає, що в координатах (p, q) функцiї H та h мають обмеженi на множинi D̄ частиннi похiднi за змiнними p, q до порядку 5 та 2 вiдповiдно. В координатах (z, ϕ) частиннi похiднi за змiнними z, ϕ можуть необмежено зростати, якщо z → z∗ та z → z∗. Вiдповiднi оцiнки похiдних наведено в п. 6 Запишемо збуренi рiвняння в координатах z, ϕ: ż = ε{z, h}, ϕ̇ = {ϕ, z + εh}. Поклавши ω(z) := 2π/T (z), матимемо ż = −εω(z)h′ϕ(t, z, ϕ), ϕ̇ = ω(z) [ 1 + εh′z(t, z, ϕ) ] . Для кожного рацiонального числа m n з областi значень частотної функцiї ω(z) знайдеться число zm/n ∈ (z∗, z ∗) таке, що ω(zm/n) = m n . (11) При цьому, оскiльки вiдповiдно до припущень, зроблених у п. 3 щодо T (z), в точцi z0 функ- цiя ω(z) досягає єдиного екстремального значення, а саме глобального максимуму ω0 := := ω(z0) > ω∗ := ω(z∗ + 0), а далi монотонно спадає до нуля, кожному рацiональному числу m/n ∈ [ω∗, ω0) вiдповiдає пара точок, якi задовольняють рiвнiсть (11). Для будь-якого iншого рацiонального числа m/n ∈ (0, ω0] рiвнiсть (11) задовольняє лише одна така точка. Зафiксувавши деяку точку zm/n i достатньо мале число δ = δm/n, пiсля замiни z = zm/n+y, ϕ = m n t+ ψ, де \|y\| ≤ δ, отримаємо систему ẏ = −εω ( zm/n + y ) h′ϕ ( t, zm/n + y, m n t+ ψ ) := εY (t, y, ψ), ψ̇ = ω ( zm/n + y ) − ω ( zm/n ) + εω ( zm/n + y ) h′z ( t, zm/n + y, m n t+ ψ ) := (12) := θ(y) + εΨ(t, y, ψ), де θ(y) := ω ( zm/n + y ) − ω ( zm/n ) . Зрозумiло, що функцiї θ, Y, Ψ залежать вiд m/n, однак задля спрощення позначень ми не будемо цього вказувати. Будемо шукати 2πn-перiодичний розв’язок системи (12). Досить показати, що породжене нею за перiод Tn = 2πn вiдображення Пуанкаре має нерухому точку. Позначимо через y = = y0 + u(t, y0, ψ0), ψ = ψ0 + φ(t, y0, ψ0) розв’язок задачi Кошi y\|t=0 = y0, ψ\|t=0 = ψ0. Функцiї u(t, y, ψ), φ(t, y, ψ) задовольняють систему iнтегральних рiвнянь u(t) = ε t∫ 0 Y (s, y + u(s), ψ + φ(s))ds, ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4 ОЦIНКА КIЛЬКОСТI УЛЬТРАСУБГАРМОНIК ДВОВИМIРНОЇ МАЙЖЕ АВТОНОМНОЇ . . . 471 φ(t) = t∫ 0 θ(y + u(s))ds+ ε t∫ 0 Ψ(s, y + u(s), ψ + φ(s))ds. Вiдображення Пуанкаре має вигляд χTn : (y, ψ) 7→ (Υ(y, ψ),Φ(y, ψ)) := (y + u(Tn, y, ψ), ψ + φ(Tn, y, ψ)) . Нехай ρ — додатне число, яке задовольняє нерiвнiсть ρ+ εTn \|Y \|δ ≤ δ, (13) де \|·\|δ = maxt∈R,\|y\|≤δ,ψ∈[0,2π] \|·\|. За умови, що \|y\| ≤ ρ, методом послiдовних наближень вста- новлюємо iснування розв’язку, який задовольняє оцiнки \|u(t)\| ≤ εTn \|Y \|δ , \|φ(t)\| ≤ Tn \|θ\|δ + εTn \|Ψ\|δ , t ∈ [0, Tn]. Згiдно з методом Арнольда, для доведення iснування нерухомої точки вiдображення Пуан- каре χTn , тобто розв’язку системи рiвнянь u(Tn, y, ψ) = 0, φ(Tn, y, ψ) = 0 вiдносно змiнних y, ψ, достатньо показати, що вибором δ = δm/n, ρ = ρm/n та ε = εm/n можна забезпечити виконання нерiвностi (13) i таких двох умов: 1) для всiх ψ ∈ [0, 2π] знак φ(Tn, ρ, ψ) протилежний знаку φ(Tn,−ρ, ψ); 2) для всiх ψ ∈ [0, 2π], y ∈ [−ρ, ρ] похiдна φ′y(Tn, y, ψ) вiдмiнна вiд нуля. Справдi, тодi при кожному ψ функцiя φ̂(y) = φ(Tn, y, ψ) буде строго монотонною i змiнюватиме знак на вiдрiзку [−ρ, ρ], а отже, матиме єдиний нуль y = v(ψ). Диференцiйовнiсть функцiї v(ψ) випливає з теореми про неявну функцiю, а її 2π-перiодичнiсть — з єдиностi такої функцiї. Принагiдно зауважимо, що в даному випадку Λ = I(zm/n + y)dψ, λ′(y) = I ′(zm/n + y) = T (zm/n + y) 2π > 0. (14) Для виконання умови 1 достатньо, щоб знак виразу θ(±ρ+ u(s)) + εΨ(s,±ρ+ u(s), ψ + φ(s)) = = ±ρθ′(±ρλ1) + θ′(±ρ+ λ2u(s))u(s) + εΨ(s,±ρ+ u(s), ψ + φ(s)), де λ1, λ2 ∈ [0, 1], збiгався зi знаком ±ρθ′(±ρλ1), а для цього, в свою чергу, достатньо, щоб ε (∣∣θ′∣∣ δ \|Y \|δ Tn + \|Ψ\|δ ) ≤ min \|y\|≤ρ ∣∣θ′(y) ∣∣ ρ. (15) Для забезпечення умови 2 оцiнимо спочатку похiднi u′y, φ ′ y. Вони задовольняють систему iнтегральних рiвнянь ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4 472 Ю. Є. ВАКАЛ, I. О. ПАРАСЮК u′y(t) = ε t∫ 0 [ Y ′y(s, η(s), ϕ(s))(1 + u′y(s)) + Y ′ψ(s, η(s), ϕ(s))φ′y(s) ] ds, φ′y(t) = t∫ 0 θ′(η(s))(1 + u′y(s))ds+ +ε t∫ 0 [ Ψ′y(s, η(s), ϕ(s))(1 + u′y(s)) + Ψ′ψ(s, η(s), ϕ(s))φ′y(s) ] ds, де η(s) := y + u(s), ϕ(s) = ψ + φ(s). Для вiдмiнностi вiд нуля похiдної φ′y(t) достатньо, щоб maxt∈[0,Tn] ∣∣u′y(t)∣∣ < 1 i( min \|y\|≤δ ∣∣θ′(y) ∣∣− ε ∣∣Ψ′y∣∣δ)(1− max t∈[0,Tn] ∣∣u′y(t)∣∣) > ε ∣∣Ψ′ψ∣∣δ max t∈[0,Tn] ∣∣φ′y(t)∣∣ . (16) Скористаємось тепер наслiдком 2 з леми 10, поклавши v1(t) = 1 + ∣∣u′y(t)∣∣ , v2(t) = ∣∣φ′y(t)∣∣ , a0 = ∣∣θ′∣∣ δ , T = 2πn, a11 = ∣∣Y ′y∣∣δ , a12 = ∣∣Y ′ψ∣∣δ , a21 = ∣∣Ψ′y∣∣δ , a22 = ∣∣Ψ′ψ∣∣δ . Тодi за умови, що max { ε ∣∣Y ′y∣∣δ , ε ∣∣Ψ′ψ∣∣δ , √ ε ∣∣∣Y ′ψ∣∣∣ δ ( \|θ′\|δ + ε ∣∣Ψ′y∣∣δ)} ≤ ln 2 4πn , (17) маємо ∣∣u′y(t)∣∣ ≤ 1 2 , ∣∣φ′y(t)∣∣ ≤ 3πn (∣∣θ′∣∣ δ + ε ∣∣Ψ′y∣∣δ) . Отже, для виконання умови (16) достатньо, щоб ε [ 3πn (∣∣θ′∣∣ δ + ε ∣∣Ψ′y∣∣δ) ∣∣Ψ′ψ∣∣δ + 1 2 ∣∣Ψ′y∣∣δ] < 1 2 min \|y\|≤δ ∣∣θ′(y) ∣∣ . (18) Якщо всi умови мализни ε виконано, то згiдно з п. 2 iснують принаймнi двi точки ψ± = = ψ±m/n(ε) ∈ [0, 2π), якi породжують 2πn-перiодичнi розв’язки збуреної системи (12), i цi розв’язки зображуються у виглядi y = v(ψ±) + u ( t, v(ψ±), ψ± ) , ψ = ψ± + φ ( t, v(ψ±), ψ± ) . Щоб упевнитися, що при ε → 0 зазначенi розв’язки трансформуються в незбуренi (n/m)- ультрасубгармонiки, оцiнимо функцiю v(ψ). Записавши рiвнiсть φ(Tn, v(ψ), ψ) = 0 у виглядi ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4 ОЦIНКА КIЛЬКОСТI УЛЬТРАСУБГАРМОНIК ДВОВИМIРНОЇ МАЙЖЕ АВТОНОМНОЇ . . . 473 Tn [θ(v(ψ))− θ(0)] + Tn∫ 0 [θ (v(ψ) + u(s, v(ψ), ψ))− θ(v(ψ))] ds+ +ε Tn∫ 0 Ψ(s, v(ψ) + u(s, v(ψ), ψ), ψ + φ(s, v(ψ), ψ))ds = 0, одержимо потрiбну нерiвнiсть \|v(ψ)\| ≤ ε [ Tn max \|y\|≤δ ∣∣θ′(y) ∣∣ \|Y \|δ + \|Ψ\|δ ] [ min \|y\|≤δ ∣∣θ′(y) ∣∣]−1 . Наведенi вище мiркування доводять таку теорему. Теорема 1. Нехай виконано умови а) – г) пп. 3, 4, m/n ∈ (0, ω0) \ {ω∗}. Якщо додатнi числа ε, δ, ρ задовольняють нерiвностi (13), (15), (17) та (18), то система (12) має принаймнi два 2πn-перiодичнi розв’язки (y±(t), ψ±(t)) такi, що ∣∣y±(t) ∣∣ ≤ ε [Tn max\|y\|≤δ \|θ′(y)\| \|Y \|δ + ε \|Ψ\|δ min\|y\|≤δ \|θ′(y)\| + Tn \|Y \|δ ] ∀t ∈ R. Уточнимо вигляд функцiї FTn(v(ψ), ψ) у п. 2 в розглядуваному випадку. Оскiльки u(t, v(ψ), ψ) = O(ε), v(ψ) = O(ε), θ(0) = 0, то φ(t, v(ψ), ψ) = O(ε), а тому з урахуванням рiвностей φ(Tn, v(ψ), ψ) = 0 та λ′(0) = n m (остання випливає з (14)) маємо Υ(v(ψ), ψ) = v(ψ)− εm n 2πn∫ 0 h′ϕ ( t, zm/n, ψ + m n t ) dt+ o(ε), λ ◦Υ(v(ψ), ψ)− λ ◦ v(ψ) = −ε 2πn∫ 0 h′ϕ ( t, zm/n, ψ + m n t ) dt+ o(ε), звiдки FTn(v(ψ), ψ) = −ε 2πn∫ 0 h ( t, zm/n, ψ + m n t ) dt+ o(ε) =: −εFm/n(ψ) + o(ε). Функцiя Fm/n(ψ) має перiод 2π n . Справдi, визначивши цiлi числа k, l так, щоб km+ ln = −1, дiстанемо Fm/n ( ψ + 2π n ) = 2πn∫ 0 h ( t, zm/n, ψ + 2π n + m n t ) dt = ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4 474 Ю. Є. ВАКАЛ, I. О. ПАРАСЮК = 2π(n+k)∫ 2πk h ( t, zm/n, ψ + 2π n + m n t ) dt = = 2πn∫ 0 h ( t+ 2πk, zm/n, ψ + 2π n + m n t+ 2πmk n + 2πl ) dt = Fm/n (ψ) . Функцiя Fm/n(ψ) має тодi принаймнi двi критичнi точки на промiжку [ 0, 2π n ) . А тому в загальному випадку, коли обидвi цi критичнi точки невиродженi, можна вказати таке εm/n, що при всiх ε ∈ (0, εm/n] функцiя FT (v(ψ), ψ) матиме 2n критичних точок, i вiдтак насправдi iснуватимуть 2n збурених (n/m)-ультрасубгармонiк. Однак εm/n залежить, зокрема, вiд оцiнки знизу величини ∣∣∣F ′′m/n(0) ∣∣∣ , яка в свою чергу певним чином виражається через коефiцiєнти Фур’є функцiї h(t, zm/n, ψ) i може вкрай нерегулярно залежати вiд m/n. Лише за певних додаткових умов для zm/n, близьких до z∗, величину ∣∣∣F ′′m/n(0) ∣∣∣ вдається виразити через функцiї Мельникова та їхнi модифiкацiї [3, 4, 7]. Через цю обставину в подальшому будемо враховувати iснування двох (а не 2n) критичних точок функцiї FTn(v(ψ), ψ). 5. Основнi теореми. Зафiксувавши достатньо мале δ0 > 0 так, щоб ω(z∗ + 2δ0) < ω(z0 − 2δ0), ω(z0 + 2δ0) > ω(z∗ − 2δ0), розiб’ємо множину ультрасубгармонiк i вiдповiдних точок zm/n на чотири пiдмножини: I. Ультрасубгармонiки зони строго регулярних значень частотної функцiї визначаються точками zm/n, для яких при деякому фiксованому δ0 > 0 справджуються нерiвностi min { z∗ − zm/n, zm/n − z∗ } > 2δ0, ∣∣z0 − zm/n ∣∣ ≥ 2δ0. Точки першої пiдмножини знаходяться у взаємно однозначнiй вiдповiдностi з рацiональними числами незв’язного об’єднання пiвiнтервалiв I11 := ( ω(z∗ + 2δ0), ω(z0 − 2δ0) ] , I12 := ( ω(z∗ − 2δ0), ω(z0 + 2δ0) ] . II. Ультрасубгармонiки зони слабкорегулярних значень частотної функцiї визначаються точками zm/n, якi задовольняють нерiвностi 0 < ∣∣z0 − zm/n ∣∣ ≤ 2δ0. Точки другої пiдмножини знаходяться у взаємно однозначнiй вiдповiдностi з рацiональними числами незв’язного об’єд- нання iнтервалiв I21 := (ω(z0 − 2δ0), ω(z0)) , I22 := (ω(z0 + 2δ0), ω(z0)) . III. Ультрасубгармонiки примежової зони гiперболiчного типу визначаються точками zm/n ∈ ∈ [z∗ − 2δ0, z ∗). Точки третьої пiдмножини знаходяться у взаємно однозначнiй вiдповiдностi з рацiональними числами пiвiнтервалу I3 := ( 0, ω(z∗ − 2δ0) ] . ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4 ОЦIНКА КIЛЬКОСТI УЛЬТРАСУБГАРМОНIК ДВОВИМIРНОЇ МАЙЖЕ АВТОНОМНОЇ . . . 475 IV. Ультрасубгармонiки примежової зони елiптичного типу визначаються точками zm/n ∈ ∈ (z∗, z∗ + 2δ0]. Точки четвертої пiдмножини знаходяться у взаємно однозначнiй вiдповiдностi з рацiональними числами пiвiнтервалу I4 := ( ω∗, ω(z∗ + 2δ0) ] . Щоб використати теорему 1 для досягнення нашої мети — встановлення оцiнки знизу для залежностi вiд ε кiлькостi збурених ультрасубгармонiк, необхiдно мати оцiнки норм \|·\|δ правих частин системи (12) та їхнiх похiдних. Вiдповiднi оцiнки залежать вiд того, до якої пiдмножини належить точка zm/n. Для їх встановлення, використовуючи лему 1, потрiбно спершу оцiнити похiднi функцiй p = P (z, ϕ), q = Q(z, ϕ), якi виражають канонiчнi змiннi (p, q) через неканонiчнi змiннi (z, ϕ) типу дiя-кут. Вiдповiднi обґрунтування наведено в п. 6. Основнi результати щодо оцiнки кiлькостi збурених ультрасубгармонiк будуть сформульо- ванi з використанням важливої теоретико-числової функцiї Φ(N) := N∑ n=1 ϕ(n), де ϕ(·) — функцiя Ейлера (ϕ(n) — кiлькiсть натуральних чисел, взаємно простих з натуральним n, якi не перевищують n). Вiдомо, що Φ(N) ∼ 3N2/π2. Бiльше того, в [10] встановлено: iснує абсолютна стала CΦ така, що 3N2 π2 ( 1− CΦ √ ln lnN N ) ≤ Φ(N) ≤ 3N2 π2 ( 1 + CΦ √ ln lnN N ) . (19) За допомогою функцiї Φ(·) побудуємо функцiю Ξ(·, ·) двох аргументiв — натурального числа та пiвiнтервалу (iнтервалу) — за правилом Ξ(N, I) :=  ( (b− a) + IZ(b) + IZ(a)− 2 N ) Φ(N), якщо I = (a, b],( (b− a) + IZ(b) + IZ(a)− 2 N ) Φ(N)− IQ(b), якщо I = (a, b), (20) де через IA(·) позначено iндикатор (характеристичну функцiю) множини A. Зрозумiло, що Ξ(N, I) ∼ 3N2 π2 \|I\| , N →∞, де \|I\| := (b − a), а формули (19), (20) дають достатньо вичерпне уявлення про поведiнку похибки Ξ(N, I)− 3N2 π2 \|I\|. Збурення ультрасубгармонiк зони строго регулярних значень частотної функцiї. Оче- видно, що можна вказати такi додатнi сталi c0, C0, щоб для всiх точок першої пiдмножини i всiх (t, y, ψ) ∈ R× [−δ0, δ0]× [0, 2π] справджувалися нерiвностi \|θ′\| ≥ c0 та max { \|Y \| , ∣∣Y ′y∣∣ , ∣∣Y ′ψ∣∣ , \|Ψ\| , ∣∣Ψ′y∣∣ , ∣∣Ψ′ψ∣∣ , ∣∣θ′∣∣} ≤ C0. (21) Проаналiзувавши умови, якi необхiдно накласти на мализну ε, природно покласти ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4 476 Ю. Є. ВАКАЛ, I. О. ПАРАСЮК ε1 = µ1 n2 , δ = δ0, ρ = δ 2 . Тодi одночасно для всiх точок першої пiдмножини значення µ1 можна вибрати так, щоб при ε < ε1 задовольнити всi чотири нерiвностi в умовах теореми 1. Звiдси випливає, що при ε < ε1 кiлькiсть збурених ультрасубгармонiк, породжених точками першої пiдмножини, не менша за загальну кiлькiсть тих рацiональних чисел iз промiжкiв I11 та I12, у яких знаменники не перевищують √ µ1/ε. Позначивши через bac цiлу частину числа a, з огляду на лему 12 дiстаємо такий результат. Теорема 2. Нехай виконано умови а) – г) пп. 3, 4. Тодi iснують додатнi числа µ1, ε1 такi, що при ε ∈ (0, ε1) кiлькiсть збурених ультрасубгармонiк зони строго регулярних значень частотної функцiї не менша за Ξ (⌊√ µ1 ε ⌋ , I11 ) + Ξ (⌊√ µ1 ε ⌋ , I12 ) ∼ 3µ1 π2ε ( \|I11\|+ \|I12\| ) , ε→ 0. Збурення ультрасубгармонiк зони слабкорегулярних значень частотної функцiї. Для кожного zm/n знайдеться точка ζm/n у промiжку мiж zm/n i z0 така, що∣∣∣m n − ω0 ∣∣∣ = ∣∣ω(zm/n)− ω(z0) ∣∣ = ∣∣ω′′(ζm/n) ∣∣ (zm/n − z0)2. Враховуючи припущення невиродженостi (3), отримуємо c1 := min z∈[z0−2δ0,z0+2δ0] ∣∣ω′′(z)∣∣ > 0. (22) Покладаючи C1 := maxz∈[z0−2δ0,z0+2δ0] \|ω′′(z)\| , маємо 1 C1 √∣∣∣m n − ω0 ∣∣∣ ≤ ∣∣zm/n − z0 ∣∣ ≤ 1 c1 √∣∣∣m n − ω0 ∣∣∣. Як бачимо, оцiнка знизу для ∣∣zm/n − z0 ∣∣ залежить вiд арифметичних властивостей числа ω0. Розглянемо найхарактернiший випадок: iснують сталi γ0 > 0, κ0 ≥ 1 такi, що∣∣∣m n − ω0 ∣∣∣ ≥ γ0 nκ0 ∀m n ∈ Q, m n 6= ω0. (23) Наприклад, якщо ω0 = m0/n0 є рацiональним, то κ0 = 1, γ0 = 1. З iншого боку, як вiдомо [11], при κ0 > 2 розглядуваний випадок має мiсце для майже всiх iррацiональних чисел. Тепер, забезпечивши вибором δ0 виконання нерiвностi δ0 ≤ √ γ0/(2C1), покладемо δ = δm/n := ∣∣zm/n − z0 ∣∣ 2 , ρ = δ 2 . Тодi для будь-якої точки zm/n другої пiдмножини виконуватиметься нерiвнiсть δ0n −κ0/2 ≤ δ ≤ δ0. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4 ОЦIНКА КIЛЬКОСТI УЛЬТРАСУБГАРМОНIК ДВОВИМIРНОЇ МАЙЖЕ АВТОНОМНОЇ . . . 477 Зрозумiло, що нерiвнiсть (21) можна вважати виконаною i для точок другої пiдмножини, а з урахуванням (22) маємо c1δ ≤ min \|y\|≤δ ∣∣θ′(y) ∣∣ . Вiдтак, проаналiзувавши умови, якi необхiдно накласти на мализну ε, природно покласти ε2 = µ2 nκ0+1 , i тодi одночасно для всiх точок zm/n другої пiдмножини значення µ2 можна вибрати так, щоб при ε ≤ ε2 задовольнити всi чотири нерiвностi в умовах теореми 1. Звiдси випливає, що при ε < ε2 кiлькiсть збурених ультрасубгармонiк зони слабкорегулярних значень частотної функцiї дорiвнює загальнiй кiлькостi тих рацiональних чисел iз промiжкiв I21 та I22, у яких знаменник не перевищує (µ2/ε) 1/(κ0+1). Отже, з урахуванням леми 12 маємо такий результат. Теорема 3. Нехай виконано умови а) – г) пп. 3, 4 i число ω0 задовольняє нерiвностi (23). Тодi iснують додатнi числа µ2, ε2 такi, що при ε ∈ (0, ε2) кiлькiсть збурених ультрасубгар- монiк зони слабкорегулярних значень частотної функцiї не менша за Ξ (⌊µ2 ε ⌋1/(κ0+1) , I21 ) + Ξ (⌊µ2 ε ⌋1/(κ0+1) , I22 ) ∼ 3 π2 (µ2 ε )2/(κ0+1) (\|I11\|+ \|I12\|) , ε→ 0. Для аналiзу випадку з точками третьої та четвертої пiдмножин скористаємося наведеним нижче твердженням, яке безпосередньо випливає з лем 6, 9. Лема 2. Нехай H ∈ C5 ( M2 7→R ) i z∗ — таке критичне значення функцiї H, що множина ∂D ∩ H−1(z∗) мiстить скiнченну кiлькiсть критичних точок цiєї функцiї, до того ж всi вони гiперболiчнi й невиродженi. Тодi iснують такi додатнi числа r∗, C∗ i c∗, що для всiх рацiональних m/n таких, що ∣∣z∗ − zm/n∣∣ < r∗ при δ = δm/n := 1 2 ∣∣z∗ − zm/n∣∣ , справджуються оцiнки \|Y \|δ ≤ C ∗, ∣∣Y ′y∣∣δ ≤ C∗ δ , ∣∣Y ′ψ∣∣δ ≤ C∗ \|ln δ\| , ∣∣θ′∣∣ δ ≤ C∗ δ ln2 δ , \|Ψ\|δ ≤ C∗ δ \|ln δ\| , ∣∣Ψ′y∣∣δ ≤ C∗ δ2 \|ln δ\| , ∣∣Ψ′ψ∣∣δ ≤ C∗ δ , min y∈[−δ,δ] ∣∣θ′∣∣ ≥ c∗ δ ln2 δ . Якщо ж z∗ — таке критичне значення функцiї H, що ∂D ∩ H−1(z∗) = {(p∗, q∗)} — критич- на точка елiптичного типу, то iснують такi додатнi числа r∗ > 0, C∗ i c∗, що для всiх рацiональних m/n таких, що ∣∣z∗ − zm/n∣∣ < r∗ при δ = δm/n := 1 2 ∣∣z∗ − zm/n∣∣ , справджуються оцiнки \|Y \|δ ≤ C∗ √ δ, ∣∣Y ′y∣∣δ ≤ C∗√ δ , ∣∣Y ′ψ∣∣δ ≤ C∗√δ, ∣∣θ′∣∣ δ ≤ C∗, \|Ψ\|δ ≤ C∗√ δ , ∣∣Ψ′y∣∣δ ≤ C∗ δ3/2 , ∣∣Ψ′ψ∣∣δ ≤ C∗√ δ , min y∈[−δ,δ] ∣∣θ′∣∣ ≥ c∗. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4 478 Ю. Є. ВАКАЛ, I. О. ПАРАСЮК Зауваження 1. Усi сталi, якi фiгурують у цьому твердженнi, можна в явному виглядi виразити у виглядi рацiональних функцiй вiд сталих, якi фiгурують у лемах 3, 7, 6 та 9. Наприклад, c∗ = 2πc [1] T 3 ( C [0] T )2 . Далi можемо вважати, що r∗ = r∗ = 2δ0. Збурення ультрасубгармонiк примежової зони гiперболiчного типу. Згiдно з лемою 3, для кожної точки zm/n третьої пiдмножини маємо c [0] T ln 1 z∗ − zm/n ≤ T (zm/n) = 2πn m ≤ C [0] T ln 1 z∗ − zm/n , звiдки exp [ − 2πn c [0] T m ] ≤ z∗ − zm/n ≤ exp [ − 2πn C [0] T m ] . З оцiнок леми 2 та умов на мализну ε випливає, що ε = O ( min { δ \|ln δ\| n2 , δ n , δ \|ln δ\| }) . Тому, якщо покласти ε3 = µ3 n exp [ −2πn c [0] T ] , (24) то одночасно для всiх точок третьої пiдмножини значення µ3 можна вибрати так, щоб при ε < ε3 задовольнити всi чотири нерiвностi в умовах теореми 1. Звiдси випливає, що при ε < ε3 кiлькiсть збурених ультрасубгармонiк примежової зони гiперболiчного типу дорiвнює кiлькостi тих рацiональних чисел з промiжку I3, у яких знаменник не перевищує кореня n = N∗(ε) рiвняння щодо n вигляду (24). Зауваження 2. З огляду на зауваження 3 за рахунок мализни δ0 сталу c[0] T можна зробити як завгодно близькою до числа 1/λ∗. Позначимо через G(·) функцiю, обернену до g(u) = u+lnu, u > 0. Очевидно, що G(u) ∼ u при u → ∞. На пiдставi наведених вище мiркувань та з урахуванням леми 12 дiстаємо таке твердження. Теорема 4. Нехай виконано умови а) – г) пп. 3, 4. Тодi iснують додатнi числа µ3, ε3 такi, що при ε ∈ (0, ε3) кiлькiсть збурених ультрасубгармонiк примежової зони гiперболiчного типу не менша за Ξ (⌊ c [0] T 2π G ◦ ln ( 2πµ3 c [0] T ε )⌋ , I3 ) ∼ 3 4 [ c [0] T π2 ]2 \|I3\| ln2 1 ε , ε→ 0. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4 ОЦIНКА КIЛЬКОСТI УЛЬТРАСУБГАРМОНIК ДВОВИМIРНОЇ МАЙЖЕ АВТОНОМНОЇ . . . 479 Збурення ультрасубгармонiк примежової зони елiптичного типу. Перенесемо початок координат у критичну точку елiптичного типу. Так само, як i при розглядi точок другої пiдмно- жини, припустимо, що iснують сталi γ∗ > 0, κ∗ ≥ 1 такi, що∣∣∣m n − ω∗ ∣∣∣ ≥ γ∗ nκ∗ ∀ m n ∈ Q, m n 6= ω∗. (25) Оскiльки гамiльтонiан H(p, q) 5 разiв неперервно диференцiйовний в околi початку коор- динат, то в деякому околi точки (0, 0) iснує канонiчна замiна змiнних p = u+O(u2 + v2), q = v +O(u2 + v2), яка зводить його до нормальної форми степеня 5 [1]: H = H̄5 (u, v) + o(\|u\|+ \|v\|)5, (26) де H̄5 (u, v) = 1 2b [ ( u2 + v2 ) + Ω 4 ( u2 + v2 )2 ] . (27) Припустимо, що має мiсце невироджений випадок, коли Ω 6= 0. Тодi згiдно з лемою 7 для точок четвертої пiдмножини маємо нерiвностi γ∗ nκ∗ ≤ ∣∣∣m n − ω∗ ∣∣∣ = ∣∣ω(zm/n)− ω(z∗) ∣∣ = ∣∣T (zm/n)− 2πb ∣∣ bT (zm/n) ≤ C̄ [0] T bT (z0) ( zm/n − z∗ ) . Забезпечивши вибором δ0 виконання нерiвностi δ0 ≤ 1 2 [ bT (z0) C̄ [0] T ] i поклавши δ = δm/n := zm/n − z∗ 2 , ρ = δ 2 , дiстанемо δ0n −κ∗ ≤ δ ≤ δ0. З оцiнок леми 2 та умов на мализну ε випливає, що ε = O ( min {√ δ n , δ3/2, 1√ δn2 }) . Тому, якщо покласти ε4 = µ4 n3κ∗/2 , то одночасно для всiх точок четвертої пiдмножини значення µ4 можна вибрати так, щоб при ε < ε4 задовольнити всi чотири нерiвностi в умовах теореми 1. Звiдси випливає, що при ε < ε4 кiлькiсть збурених ультрасубгармонiк примежової зони елiптичного типу дорiвнює кiлькостi тих рацiональних чисел з промiжку I4, у яких знаменник не перевищує (µ4/ε) 2/(3κ∗). Як наслiдок, маємо таке твердження. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4 480 Ю. Є. ВАКАЛ, I. О. ПАРАСЮК Теорема 5. Нехай виконано умови а) – г) пп. 3, 4, число ω∗ задовольняє нерiвностi (25) i коефiцiєнт Ω в нормальнiй формi гамiльтонiана (26) в околi елiптичного положення рiвноваги вiдмiнний вiд 0. Тодi iснують додатнi числа µ4, ε4 такi, що при ε ∈ (0, ε4) кiлькiсть збурених ультрасубгармонiк примежової зони елiптичного типу не менша за Ξ (⌊µ4 ε ⌋1/(2κ∗) , I4 ) ∼ 3 π2 (µ4 ε )4κ∗/3 \|I4\| , ε→ 0. 6. Допомiжнi леми. В [4] було отримано зображення перiоду T (z) як функцiї вiддалi замкненої кривої H−1(z) до сепаратриси — межi областi D. При цьому припускалося, що гамiльтонiан H нескiнченно диференцiйовний. Лему, яку наведено нижче, можна розглядати як певний аналог зазначеного результату для випадку, коли H має п’ять неперервних похiдних. При доведеннi цiєї леми використовується скiнченно диференцiйовний варiант леми Морса. Оскiльки у вiдомих нам джерелах (див., наприклад, [12]) наводиться гладкий варiант леми Морса, ми повнiстю наводимо вiдповiдне доведення для скiнченно диференцiйовних функцiй у кiнцi цього пункту (лема 11). Лема 3. Нехай H ∈ C5 ( M2 7→R ) i z∗ — таке критичне значення функцiї H, що множина ∂D ∩H−1(z∗) мiстить скiнченну кiлькiсть критичних точок цiєї функцiї, до того ж всi вони гiперболiчнi й невиродженi. Тодi знайдуться додатнi сталi r∗, c[j] T , C [j] T , j = 0, 1, 2, такi, що при z ∈ (z∗ − r∗, z∗) справджуються нерiвностi c [0] T ln 1 z∗ − z ≤ T (z) ≤ C [0] T ln 1 z∗ − z , c [j] T (z∗ − z)j ≤ T (j)(z) ≤ C [j] T (z∗ − z)j , j = 1, 2. Доведення. Розглянемо випадок, коли критичною гiперболiчною невиродженою точкою гамiльтонiана є початок координат, до того жH(0, 0) = 0. Тодi можна ввести локальнi канонiчнi координати, в яких гамiльтонiан записується у виглядi H(p, q) = pq/a+O ( (p2 + q2)3/2 ) , де a — дiйсне число. За лемою Морса iснує (неканонiчна) локальна замiна змiнних класу C3 p = u+O(u2 + v2), q = v +O(u2 + v2) така, що в деякому r-квадратi Sr = [−r, r]2, де r ∈ (0, 1), гамiльтонiан набирає вигляду H = uv/a. Позначимо через ∆(u, v) якобiан зазначеної замiни. Очевидно, що ∆(u, v) = = 1 + O (√ u2 + v2 ) . Тодi симплектична структура в координатах u, v набирає вигляду ω2 = = ∆(u, v)du ∧ dv, а рiвняння руху з гамiльтонiаном uv/a — вигляду u̇ = − u a∆(u, v) , v̇ = v a∆(u, v) . Обчислимо час проходження дiлянки лiнiї рiвня uv = z, де 0 < z < r2, яка розташована в перетинi Sr ∩ {u > 0, v > 0}. Внаслiдок замiни часу t→ s за формулою dt = ∆(u, v)ds отримуємо систему ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4 ОЦIНКА КIЛЬКОСТI УЛЬТРАСУБГАРМОНIК ДВОВИМIРНОЇ МАЙЖЕ АВТОНОМНОЇ . . . 481 du ds = −u, dv ds = v, i дугу, про яку йшлося вище, можна задати рiвняннями u = re−s, v = z r es, s ∈ [ 0, ln r2 z ] . Тодi час проходження цiєї дуги дорiвнює τ(z) = a ln r2/z∫ 0 ∆ ( re−s, z r es ) ds. Як наслiдок, ∣∣∣∣τ(z)− a ln r2 z ∣∣∣∣ ≤ a ln r2/z∫ 0 ∣∣∣∆(re−s, z r es ) − 1 ∣∣∣ ds ≤ ≤ amax Sr (∣∣∆′u∣∣+ ∣∣∆′v∣∣) ln r2/z∫ 0 ( re−s + z r es ) ds = = 2ar ( 1− z r2 ) max Sr (∣∣∆′u∣∣+ ∣∣∆′v∣∣) , 0 < z ≤ r2. Враховуючи, що ∆ ∈ C2 (Sr 7→R) , маємо τ ′(z) = −a z ∆ (z r , r ) + a ln r2/z∫ 0 ∆′v ( re−s, z r es ) es r ds, τ ′′(z) = + a z2 ∆ (z r , r ) − a rz ∆′u (z r , r ) − ar z2 ∆′v (z r , r ) + a ln r2/z∫ 0 ∆′′vv ( re−s, z r es ) e2s r2 ds, звiдки при вiдповiдному виборi r дiстаємо −3a 2 ≤ −amax Sr \|∆\| − armax Sr ∣∣∆′v∣∣ ≤ zτ ′(z) ≤ ≤ −amin Sr \|∆\|+ armax Sr ∣∣∆′v∣∣ ≤ −a2 , 0 < z ≤ r2, i аналогiчно a 2 ≤ z2τ ′′(z) ≤ 3a 2 , 0 < z ≤ r2. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4 482 Ю. Є. ВАКАЛ, I. О. ПАРАСЮК Подальшi мiркування збiгаються з тими, що мiстяться в [4] i ґрунтуються на тому, що загальний час проходження дiлянок лiнiї Mz, якi не перетинають r-квадратiв з центрами в гiперболiчних критичних точках, можна при 0 ≤ z∗ − z ≤ r2 рiвномiрно обмежити деякою сталою. При цьому слiд зауважити, що оскiльки T (z) → +∞ при z → z∗ − 0, то похiднi перiоду при цьому прямують саме до +∞. Лему 3 доведено. Зауваження 3. За рахунок мализни числа r∗ < r сталу c[0] T можна зробити як завгодно близькою до числа a = 1/λ∗, де λ∗ — мiнiмальне з додатних власних чисел матриць лiнеа- ризацiй незбуреної системи в гiперболiчних критичних точках функцiї H, розташованих на множинi Mz∗ . Оцiнимо похiднi змiнних p, q за змiнними z, ϕ до другого порядку включно поблизу критичної множини рiвня Mz∗ . Зокрема, з’ясуємо, як поводять себе цi похiднi при z → z∗ − 0. З цiєю метою насамперед оцiнимо знизу функцiю ( H ′p )2 + ( H ′q )2 на кривiй Mz . Зауважимо, що аналогiчнi оцiнки для цiєї функцiї справджуватимуться i при z → z∗ + 0. Лема 4. Покладемо x = (p, q) i припустимо, що x∗ — невироджена iзольована критична точка функцiї H . Тодi можна вказати замкнений круг Ū з центром в x∗ i додатнi числа k∗, k∗ такi, що k∗ \|z − z∗\| ≤ [ H ′(x) ]2 ≤ k∗ \|z − z∗\| ∀x ∈ Ū ∩Mz. Доведення. Без обмеження загальностi вважаємо, що x∗ = 0. Нехай Ū — замкнений круг з центром у початку координат, який не мiстить iнших критичних точок функцiї H i в якому матриця Гессе цiєї функцiї невироджена. В Ū маємо зображення [ H ′(x) ]2 = 〈A(x)x, x〉, A(x) :=  1∫ 0 H ′′(sx)ds 2 , i H(x)− z∗ = 〈B(x)x, x〉 , z∗ := H(0), B(x) := 1∫ 0 t 1∫ 0 H ′′(tsx)dsdt. Якщо круг Ū досить малий, то обидвi матрицi A(x), B(x) невиродженi в ньому. Множина Mz в Ū задається рiвнянням 〈B(x)x, x〉 = z − z∗. Отже, знайдуться додатнi сталi λB,ΛB такi, що в точках цiєї множини справджуються нерiвностi λB ‖x‖2 ≤ \|z − z∗\| ≤ ΛB ‖x‖2 . З iншого боку, знайдуться додатнi сталi λA,ΛA такi, що в Ū маємо λA ‖x‖2 ≤ [ H ′(x) ]2 ≤ ΛA ‖x‖2 . Таким чином, лему 4 доведено, до того ж k∗ = λA ΛB , k∗ = ΛA λB . Тепер доведемо таке твердження. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4 ОЦIНКА КIЛЬКОСТI УЛЬТРАСУБГАРМОНIК ДВОВИМIРНОЇ МАЙЖЕ АВТОНОМНОЇ . . . 483 Лема 5. За виконання умов леми 3 додатнi числа r∗, Cz, Cϕ, Czz, Czϕ, Cϕϕ можна вибрати так, щоб для всiх ϕ ∈ [0, 2π] при \|z − z∗\| ≤ r∗ справджувалися нерiвностi max {∣∣p′z∣∣ , ∣∣q′z∣∣} ≤ Cz \|z − z∗\| , max {∣∣p′ϕ∣∣ , ∣∣q′ϕ∣∣} ≤ Cϕ \|ln \|z − z∗\|\| , max {∣∣p′′zz∣∣, ∣∣q′′zz∣∣} ≤ Czz \|z − z∗\|2 , max {∣∣p′′zϕ∣∣, ∣∣q′′zϕ∣∣} ≤ Czϕ \|ln \|z − z∗\|\|\|z − z∗\| , max {∣∣p′′ϕϕ∣∣, ∣∣q′′ϕϕ∣∣} ≤ Cϕϕ ln2 \|z − z∗\| . Доведення. Використавши формули (6), (10), нерiвнiсть \|f \| ≤ 2π ∣∣f ′ϕ∣∣ та лему 3, оцiнимо \|f \| та \|f ′z\|. При цьому слiд взяти до уваги, що в околi кожної критичної точки функцiя ( H ′p )2 + + ( H ′q )2 на кривiй Mz допускає оцiнку знизу, встановлену лемою 4. Як наслiдок, отримуємо оцiнки f = O ( 1 \|z − z∗\| \|ln \|z − z∗\|\| ) , f = O ( 1 \|z − z∗\| ln2 \|z − z∗\| ) вiдповiдно в околах та поза околами критичних точок. Пiсля цього за формулами (4), (5) дiста- ємо оцiнки в околах та поза околами критичних точок для похiдних p′z, q ′ z, p ′ ϕ, q ′ ϕ, наслiдком яких є першi двi нерiвностi леми 5. Двi останнi нерiвностi цiєї леми одержимо, здиференцi- ювавши вiдповiдно за змiнними z та ϕ рiвностi (5). Для похiдної f ′z оцiнки в околах та поза околами критичних точок з урахуванням (10) вiдповiдно мають вигляд f ′z = O ( 1 \|z − z∗\|2 ) , f ′z = O ( 1 \|z − z∗\|2 ln2 \|z − z∗\| ) . Нарештi, використавши цi оцiнки та здиференцiювавши за змiнною z рiвностi (4), одержимо потрiбнi оцiнки для p′′zz, q ′′ zz . Лему 5 доведено. Як наслiдок доведеної леми дiстаємо оцiнки частинних похiдних функцiї h за змiнними z, ϕ до другого порядку включно поблизу критичної множини рiвня Mz∗ . Лема 6. За виконання умов леми 3 додатнi числа r∗, Kz, Kϕ, Kzz, Kzϕ, Kϕϕ можна вибрати так, щоб для всiх ϕ ∈ [0, 2π] при \|z − z∗\| ≤ r∗ справджувалися нерiвностi ∣∣h′z∣∣ ≤ Kz \|z − z∗\| , ∣∣h′ϕ∣∣ ≤ Kϕ \|ln \|z − z∗\|\| , ∣∣h′′zz∣∣ ≤ Kzz \|z − z∗\|2 , ∣∣h′′zϕ∣∣ ≤ Kzϕ \|ln \|z − z∗\|\| \|z − z∗\| , ∣∣h′′ϕϕ∣∣ ≤ Kϕϕ ln2 \|z − z∗\| . Проаналiзуємо тепер випадок, коли z∗ — критичне значення функцiї H i ∂D ∩H−1(z∗) = = {(p∗, q∗)} — критична точка елiптичного типу. Без обмеження загальностi мiркувань далi вважаємо, що {(p∗, q∗)} = (0, 0) i z∗ = 0. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4 484 Ю. Є. ВАКАЛ, I. О. ПАРАСЮК Перейшовши до канонiчної полярної системи координат u = √ 2r cosϕ, v = √ 2r sinϕ, дiстанемо H = [ H5 (ρ cosϕ, ρ sinϕ) + o ( ρ5 )] ρ= √ 2r . Тут функцiя змiнних ρ, ϕ у квадратних дужках 5 разiв неперервно диференцiйовна на множинi [0, ρ0)× R при деякому додатному ρ0 > 0 i 2π-перiодична щодо ϕ. Розглянемо тепер функцiю F (z, r, ϕ) = H (√ 2r cosϕ, √ 2r sinϕ ) − z. Ця функцiя є двiчi неперервно диференцiйовною щодо (r, ϕ) ∈ [0, ρ2 0/2)×R i 5 разiв неперервно диференцiйовною на множинi (r, ϕ) ∈ (0, ρ2 0/2)× × R. Оскiльки F ′r(0, 0, ϕ) = 1/b 6= 0, то за теоремою про неявну функцiю при деякому z0 > > 0 лiнiю рiвня H = z можна однозначно подати у виглядi r = R (z, ϕ) з двiчi неперервно диференцiйовною на множинi [0, z0) × R i 2π-перiодичною щодо ϕ функцiєю R (· , ·) , яка допускає зображення R = bz − Ω 2 (bz)2 + o ( z5/2 ) . Водночас ця функцiя 5 разiв неперервно диференцiйовна на множинi (0, z0)× R. Далi, здиференцiювавши тотожнiсть H\|r=R(z, ϕ) ≡ z тричi по змiннiй z, можна знайти асимптотичнi зображення для похiдних R′z, R ′′ zz, R ′′′ zzz при z → +0. Оскiльки система з гамiль- тонiаном H в полярних координатах має вигляд ṙ = −H ′ϕ, ϕ̇ = H ′r ≡ 1 b [ 1 + Ωr + o ( r3/2 )] , то з другого рiвняння вздовж лiнiї r = R (z, ϕ) знаходимо перiод T (z) як функцiю z: T (z) = 2π∫ 0 dϕ H ′r\|r=R(z, ϕ) = 2π∫ 0 R′zdϕ = 2πb [ 1− Ωbz − o ( z3/2 )] , звiдки отримуємо T ′ (z) = 2π∫ 0 R′′zzdϕ = −2πΩb2 + o ( z1/2 ) , T ′′ (z) = 2π∫ 0 R′′′zzzdϕ = −2πb2√ z o (1) . Звiдси випливає таке твердження. Лема 7. Нехай H ∈ C5 ( M2 7→R ) i z∗ — таке критичне значення функцiї H, що множина ∂D ∩H−1(z∗) є невиродженою критичною точкою локального мiнiмуму, до того ж у форму- лi (27) Ω 6= 0. Тодi знайдуться додатнi сталi r∗, C̄ [j] T , j = 0, 1, 2, такi, що при \|z − z∗\| < r∗ справджуються нерiвностi \|T (z)− 2πb\| ≤ C̄ [0] T \|z − z∗\|, ∣∣T ′(z) + 2πΩb2 ∣∣ ≤ C̄ [1] T √ \|z − z∗\|, ∣∣T ′′(z)∣∣ ≤ C̄ [2] T√ \|z − z∗\| . ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4 ОЦIНКА КIЛЬКОСТI УЛЬТРАСУБГАРМОНIК ДВОВИМIРНОЇ МАЙЖЕ АВТОНОМНОЇ . . . 485 Тепер, мiркуючи, як i при доведеннi леми 5, отримуємо такий результат. Лема 8. За виконання умов леми 7 додатнi числа r∗, C̄z, C̄ϕ, C̄zz, C̄zϕ, C̄ϕϕ можна вибрати так, щоб для всiх ϕ ∈ [0, 2π] при \|z − z∗\| ≤ r∗ справджувалися нерiвностi max {∣∣p′z∣∣ , ∣∣q′z∣∣} ≤ C̄z√ \|z − z∗\| , max {∣∣p′ϕ∣∣ , ∣∣q′ϕ∣∣} ≤ C̄ϕ√\|z − z∗\|, max {∣∣p′′zz∣∣, ∣∣q′′zz∣∣} ≤ C̄zz \|z − z∗\|3/2 , max {∣∣p′′zϕ∣∣, ∣∣q′′zϕ∣∣} ≤ C̄zϕ√ \|z − z∗\| , max {∣∣p′′ϕϕ∣∣, ∣∣q′′ϕϕ∣∣} ≤ C̄ϕϕ√\|z − z∗\|. У свою чергу з цiєї леми випливає наступна лема. Лема 9. За виконання умов леми 7 додатнi числа r, K̄z, K̄ϕ, K̄zz, K̄zϕ, K̄ϕϕ можна вибрати так, щоб для всiх ϕ ∈ [0, 2π] при \|z − z∗\| ≤ r∗ справджувалися нерiвностi ∣∣h′z∣∣ ≤ K̄z√ \|z − z∗\| , ∣∣h′ϕ∣∣ ≤ K̄ϕ √ \|z − z∗\|, ∣∣h′′zz∣∣ ≤ K̄zz \|z − z∗\|3/2 , ∣∣h′′zϕ∣∣ ≤ K̄zϕ√ \|z − z∗\| , ∣∣h′′ϕϕ∣∣ ≤ K̄ϕϕ √ \|z − z∗\|. Доведемо лему про систему iнтегральних нерiвностей. Лема 10. Нехай неперервнi i невiд’ємнi на [0, T ] функцiї v1(t) та v2(t) задовольняють на цьому вiдрiзку нерiвностi v1(t) ≤ 1 + ε a11 t∫ 0 v1(s)ds+ a12 t∫ 0 v2(s)ds , v2(t) ≤ (a0 + εa21) t∫ 0 v1(s)ds+ εa22 t∫ 0 v2(s)ds з невiд’ємними числами a0 та akj , k, j = 1, 2. Тодi v1(t) ≤ eεāT ch ( T √ εa12 (a0 + εa21) ) , v2(t) ≤ (a0 + εa)eεāT sh ( T √ εa12 (a0 + εa21) ) / √ εa12 (a0 + εa21), де ā := maxi=1,2 aii. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4 486 Ю. Є. ВАКАЛ, I. О. ПАРАСЮК Доведення. Використовуючи векторну нерiвнiсть Гронуолла, дiстаємо( v1(t) v2(t) ) ≤ exp [ T ( εa11 εa12 a0 + εa21 εa22 )]( 1 0 ) ≤ ≤ eεāT exp [ T ( 0 εa12 a0 + εa21 0 )]( 1 0 ) = =  eεāT ch ( T √ εa12 (a0 + εa21) ) (a0 + εa21)eεāT sh ( T √ εa12 (a0 + εa21) ) / √ εa12 (a0 + εa21) . Лему 10 доведено. Оскiльки при 0 < x ≤ ln √ 2 справджуються нерiвностi exshx/x < exchx ≤ 3/2, отримує- мо такий наслiдок. Наслiдок 2. Якщо max { εāT, T √ εa12 (a0 + εa21) } ≤ ln √ 2, то v1(t) ≤ 3 2 i v2(t) ≤ 3 2 (a0 + + εa21)T . Наступна лема стверджує, що показник гладкостi дифеоморфiзму, який приводить функцiю до квадратичної форми в околi невиродженої критичної точки, максимум на двi одиницi менший за гладкiсть самої функцiї. Лема 11 (лема Морса). Нехай B(0) — окiл нуля в Rn, H(x) ∈ Ck (B(0) 7→R) , H(0) = 0, H ′(0) = 0 i H ′′(0) невироджена. Тодi iснують окiл нуля B̂(0) ∈ Rn i дифеоморфiзм ξ(·) ∈ Ck−2 ( B̂(0) 7→ξ ( B̂(0) ) ⊂ B(0) ) такий, що ξ(0) = 0, ξ′(0) = E i H(ξ(x)) = 1 2 H ′′(0)x2. Доведення. Як i в [12], застосуємо гомотопiчний метод. Запишемо H(x) у виглядi H(x) = 1 2 H ′′(0)x2 + ϕ(x), ϕ(x) := H(x)− 1 2 H ′′(0)x2. Тодi ϕ′(x) = H ′(x)−H ′′(0)x = H ′(x)−H ′(0)−H ′′(0)x = =  1∫ 0 ( H ′′(θx)−H ′′(0) ) dθ x = G(x)x, i очевидно, щоG(x) ∈ Ck−2 (B(0) 7→Hom (Rn)) , G(0) = 0. Далi шукаємо систему ẋ = f(t, x) таку, що f(t, 0) ≡ 0, i її розв’язок χ(t, x) задачi Кошi χ(0, x) = x, який би мав властивiсть 1 2 H ′′(0)χ2(t, x) + tϕ(χ(t, x)) ≡ 1 2 H ′′(0)x2. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4 ОЦIНКА КIЛЬКОСТI УЛЬТРАСУБГАРМОНIК ДВОВИМIРНОЇ МАЙЖЕ АВТОНОМНОЇ . . . 487 Тодi шуканим дифеоморфiзмом буде ξ(·) = χ(1, ·). Диференцiюємо〈 χ,H ′′(0)f(t, χ) 〉 + t 〈 ϕ′(χ), f(t, χ) 〉 = −ϕ(χ), звiдки 〈 χ,H ′′(0)f(t, χ) 〉 + t 〈χ,G(χ)f(t, χ)〉 = − 〈 χ, 1∫ 0 ϕ′(θχ)dθ 〉 . Отже, за праву частину шуканої системи достатньо взяти вектор-функцiю, яка задовольняє рiвнiсть [ H ′′(0) + tG(χ) ] f(t, χ) = − 1∫ 0 ϕ′(θχ)dθ, тобто покласти f(t, x) := − [ H ′′(0) + tG(x) ]−1 1∫ 0 ϕ′(θx)dθ ∈ Ck−2 ( B̃(0) 7→Rn ) , вiдповiдним чином вибравши окiл B̃(0) ⊂ B(0). При цьому f(t, 0) ≡ 0, а тодi можна вказати такий окiл B̂(0) ⊂ B̃(0), що χ(t, x) iснує i набуває значень в B̃(0) при всiх x ∈ B̂(0) i t ∈ [0, 1]. Нарештi, легко бачити, що χ(1, x) = x+O(x2). Лему 11 доведено. Кiлькiсть елементiв скiнченної множини A позначимо через #A; для дiйсного числа a позначимо через bac його цiлу частину, а через dae найменше цiле число, не менше за a. Елементарним наслiдком результатiв роботи [13] є наведене нижче твердження про кiлькiсть додатних рацiональних чисел зi знаменниками, що не перевищують N ∈ N, тобто кiлькiсть елементiв множини QN := {m n : m, n ∈ N, gcd(m,n) = 1, n ≤ N } , якi мiстяться в заданому пiвiнтервалi (iнтервалi) I ⊂ (0,∞). Лема 12. Нехай 0 ≤ a < b < ∞, I := (a, b] або I := (a, b). Тодi # (QN ∩ I) ≥ Ξ(N, I), де функцiю Ξ(·, ·) визначено формулою (20). Доведення. Насамперед зауважимо, що множина QN одержується з послiдовностi Ферi (Фарея) FN (множини QN ∩ (0, 1], впорядкованої за зростанням) усiма можливими зсувами на цiлi невiд’ємнi числа, до того ж #FN = Φ(N) i послiдовнiсть Ферi симетрична вiдносно елемента 1/2. Вiдтак можна важати, що a ∈ [0, 1). Нехай I = (a, b]. В [13] показано, що при b ≤ 1 справджуються нерiвностi( b− 1− IZ(b) N ) Φ(N) ≤ # (QN ∩ (0, b]) ≤ ( b+ 1− IZ(b) N ) Φ(N), ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4 488 Ю. Є. ВАКАЛ, I. О. ПАРАСЮК а тому в цьому випадку # (QN ∩ I) = # (QN ∩ (0, b])−# (QN ∩ (0, a]) ≥ ≥ ( b− 1− IZ(b) N ) Φ(N)− ( a+ 1− IZ(a) N ) Φ(N) = Ξ(N, I). Якщо ж b > 1, то Q ∩ I = ( QN ∩ ( a, dae ]) ∪ ( QN ∩ ( dae , bbc ]) ∪ ( QN ∩ ( bbc , b ]) , до того ж вважаємо (c, c] := ∅ для довiльного дiйсного c. Тодi # (QN ∩ I) ≥ daeΦ(N)− ( a+ 1− IZ(a) N ) Φ(N)+ + (bbc − dae)Φ(N) + ( b− bbc − 1− IZ(b) N ) Φ(N) = Ξ(N, I). Якщо тепер I = (a, b), то при b 6∈ Q всi оцiнки не змiнюються, а при b ∈ Q, очевидно, # (QN ∩ I) = # (QN ∩ (a, b])− 1 ≥ Ξ(N, I). Лему 12 доведено. 7. Висновки. В данiй роботi iз застосуванням методу Арнольда виявлення нерухомих то- чок симплектичних дифеоморфiзмiв встановлено нижнi оцiнки числа ультрасубгармонiк га- мiльтонової системи на двовимiрному симплектичному многовидi з майже автономним 2π- перiодичним за часом гамiльтонiаном. Показано, що асимптотика цих оцiнок при прямування малого параметра збурення до нуля залежить вiд того, до якої з чотирьох зон кiльцевої областi D ⊂ M2 належать породжуючi незбуренi ультрасубгармонiки. Для всiх зон, крiм примежової зони гiперболiчного типу, вiдповiднi оцiнки демонструють степеневий характер залежностi вiд 1/ε, до того ж, як i можна було очiкувати, найбiльша швидкiсть зростання числа ультрасуб- гармонiк при ε → 0 притаманна зонi строго регулярних значень. Для зони слабкорегулярних значень частотної функцiї та примежової зони елiптичного типу вiдповiднi оцiнки залежать вiд арифметичних властивостей значень частототної функцiї ω(z) на лiнiї виродження Mz0 (на цiй лiнiї ω′(z0) = 0) та в критичнiй точцi елiптичного типу. Для примежової зони гiперболiч- ного типу оцiнка знизу для кiлькостi збурених ультрасубгармонiк при ε → 0 асимптотично еквiвалентна C ln2 1 ε , при цьому отримано явний вираз для сталої C. Ця оцiнка повнiстю уз- годжується з аналогiчною оцiнкою в [7], де розглядалися негамiльтоновi збурення, однак без жодних додаткових умов щодо iснування нулiв модифiкованих функцiй Мельникова. 1. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. – М.: Наука, 1989. – 472 с. 2. Guckenheimer J., Holmes Ph. Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields. – New York: Springer, 1983. – 453 p. 3. Козлов В. В. Расщепление сепаратрис и рождение изолированных периодических решений в гамильтоновых системах с полутора степенями свободы // Успехи мат. наук. – 1986. – 41, № 5. – С. 177 – 178. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4 ОЦIНКА КIЛЬКОСТI УЛЬТРАСУБГАРМОНIК ДВОВИМIРНОЇ МАЙЖЕ АВТОНОМНОЇ . . . 489 4. Колесов А. Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Явление буферности в системах, близких к двумерным гамильто- новым // Труды Ин-та математики и механики УРО РАН. – 2006. – 12, № 1. – C. 109 – 141. 5. Глызин С. Д., Колесов А. Ю., Розов Н. Х. Явление буферности в системах с полутора степенями свободы // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 2006. – 46, № 9. – С. 1582 – 1593. 6. Глызин С. Д., Колесов А. Ю., Розов Н. Х. О предельных значениях функций Мельникова на периодических орбитах // Дифференц. уравнения. – 2007. – 43, № 2. – С. 176 – 190. 7. Вакал Ю. Є., Парасюк I. О. Оцiнка кiлькостi збурених ультрасубгармонiк системи з пiвтора ступенями вiль- ностi, близької до гамiльтонової // Нелiнiйнi коливання. – 2011. – 14, № 2. – C. 147 – 180. 8. Арнольд В. И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики. – Ижевск, 1999. – 284 с. 9. Гийемин В., Стернберг С. Геометрические асимптотики. – М.: Мир, 1981. – 500 с. 10. Montgomery H. L. Fluctuations in the mean of Euler’s phi function // Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.). – 1987. – 97, № 1-3. – Р. 239 – 245. 11. Хинчин А. Я. Цепные дроби. – М.: Наука, 1978. – 112 с. 12. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. Классифи- кация критических точек, каустик и волновых фронтов. – М.: Наука, 1982. – 304 с. 13. Dress F. Discrepance des suites de Farey // J. Theor. Nombres Bordeaux. – 1999. – 11, № 2. – P. 345 – 367. Одержано 15.07.11 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4

Оцінка кількості ультрасубгармонік двовимірної майже автономної періодичної за часом гамільтонової системи

Institution

Ähnliche Einträge