Теорема Фрагмена – Ліндельофа для розв'язків еліптичних диференціальних рівнянь у банаховому просторі

Для дифференциального уравнения второго порядка эллиптического типа на полуоси в банаховом пространстве показано, что если порядок роста на бесконечности его решения не выше экспоненциального, то это решение экспоненциально стремится к нулю на бесконечности. For a second-order elliptic differential...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Український математичний журнал
Datum:	2007
1. Verfasser:	Горбачук, М.Л.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainisch
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2007
Schlagworte:	Статті
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164183
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Теорема Фрагмена – Ліндельофа для розв'язків еліптичних диференціальних рівнянь у банаховому просторі / М.Л. Горбачук // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 5. — С. 650–657. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859769333728673792
author	Горбачук, М.Л.
author_facet	Горбачук, М.Л.
citation_txt	Теорема Фрагмена – Ліндельофа для розв'язків еліптичних диференціальних рівнянь у банаховому просторі / М.Л. Горбачук // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 5. — С. 650–657. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Український математичний журнал
description	Для дифференциального уравнения второго порядка эллиптического типа на полуоси в банаховом пространстве показано, что если порядок роста на бесконечности его решения не выше экспоненциального, то это решение экспоненциально стремится к нулю на бесконечности. For a second-order elliptic differential equation considered on the semiaxis in a Banach space, we show that if the order of growth of its solution at infinity is not higher than the exponential order, then this solution exponentially tends to zero at infinity.
first_indexed	2025-12-02T06:20:59Z
format	Article
fulltext	UDK 517.9 M. L. Horbaçuk (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v) TEOREMA FRAHMENA – LINDEL\|OFA DLQ ROZV’QZKIV ELIPTYÇNYX DYFERENCIAL\|NYX RIVNQN\| U BANAXOVOMU PROSTORI ∗∗∗∗ For a second-order elliptic differential equation considered on the semiaxis in a Banach space, we show that if the order of growth of its solution at infinity is not higher than the exponential order, then this solution exponentially tends to zero at infinity. Dlq dyfferencyal\noho uravnenyq vtoroho porqdka πllyptyçeskoho typa na poluosy v bana- xovom prostranstve pokazano, çto esly porqdok rosta na beskoneçnosty eho reßenyq ne v¥ße πksponencyal\noho, to πto reßenye πksponencyal\no stremytsq k nulg na beskoneçnosty. Prototypom prostoru rozv’qzkiv abstraktnoho dyferencial\noho rivnqnnq eliptyçnoho typu u banaxovomu prostori, rozhlqduvanoho na pivosi, [ prostir harmoniçnyx funkcij u ( t, x ) v oblasti G = ( 0, ∞ ) × [ 0, 1 ] , wo zadovol\nqgt\ krajovi umovy u ( t, 0 ) = u ( t, 1 ) = 0. Klasyçnyj pryncyp Frahmena – Lindel\o- fa u c\omu vypadku stverdΩu[: qkwo taka funkciq pry t → ∞ prqmu[ do ne- skinçennosti povil\niße za e tπ , to vona [ obmeΩenog u pivsmuzi G i navit\ prqmu[ do nulq na neskinçennosti qk e t− π . U cij statti zaznaçenyj pryncyp po- ßyrg[t\sq na rozv’qzky dyferencial\noho rivnqnnq vyhlqdu ′′y t( ) = By t( ), t ∈ ( 0, ∞ ) , (1) de B — pozytyvnyj operator u banaxovomu prostori X . Ce da[ zmohu dovesty, wo pryncyp Frahmena – Lindel\ofa spravdΩu[t\sq i dlq rozv’qzkiv dostatn\o ßyrokoho klasu dyferencial\nyx rivnqn\ iz çastynnymy poxidnymy ne obov’qz- kovo eliptyçnoho typu. Vidmitymo, wo abstraktnyj pidxid do poßyrennq c\oho pryncypu dlq harmoniçnyx funkcij na rozv’qzky deqkoho klasu eliptyçnyx riv- nqn\ u pivcylindri, buv zaproponovanyj v [1]. Cej pidxid bazu[t\sq na moΩlyvo- sti kompaktnoho vkladennq prostoru takyx rozv’qzkiv u prostir rozv’qzkiv toho samoho rivnqnnq, ale u pivcylindri, stroho vuΩçomu za vyxidnyj. U vypadku, ko- ly dim X = ∞ (a ce vaΩlyvo z ohlqdu na zastosuvannq), take vkladennq moΩly- ve lyße todi, koly operator B ma[ kompaktnu rezol\ventu. Pidxid, wo propo- nu[t\sq, vykorystovu[ opys usix rozv’qzkiv rivnqnnq (1) na ( 0, ∞ ) i klasyçnyj pryncyp Frahmena – Lindel\ofa dlq skalqrnyx analityçnyx useredyni kuta funkcij. 1. Nexaj X — banaxiv prostir z normog ⋅ , E ( X ) — mnoΩyna vsix wil\no vyznaçenyx v X zamknenyx linijnyx operatoriv, L ( X ) — alhebra obmeΩenyx linijnyx operatoriv u X, I — odynyçnyj operator, D ( ⋅ ) — oblast\ vyznaçennq operatora, ρ ( ⋅ ) , σ ( ⋅ ) , σc ( ⋅ ) , σp ( ⋅ ) — joho rezol\ventna mnoΩyna, spektr, ne- perervnyj ta toçkovyj spektry vidpovidno. Navedemo deqki neobxidni u podal\ßomu vidomosti z teori] odnoparametryç- nyx pivhrup operatoriv. Sim’q ( ( ))T t t ≥0 linijnyx neperervnyx operatoriv u X utvorg[ C0 -pivhrupu, qkwo: a) T I( )0 = ; b) ∀ ≥t t1 2 0, : T t t T t T t( ) ( ) ( )1 2 1 2+ = ; c) dlq dovil\noho x=∈ X T t x x( ) − → 0 pry t → 0. Henerator A C 0 -pivhrupy ( ( ))T t t ≥0 vyznaça[t\sq qk Ax = lim ( ) t T t x x t→ − 0 , x A∈D ( ), ∗ Vykonano za pidtrymky DerΩavnoho fondu fundamental\nyx doslidΩen\ Ukra]ny (proekt 14.1-003). © M. L. HORBAÇUK, 2007 650 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 TEOREMA FRAHMENA – LINDEL\|OFA DLQ ROZV’QZKIV … 651 de D ( )A — sukupnist\ vektoriv x ∈ X , dlq qkyx cq hranycq isnu[. Henerator A zavΩdy naleΩyt\ do E ( X ) . C 0 -pivhrupu z heneratorom A poznaçatymemo çerez ( )etA t ≥0 . Pivhrupa ( )etA t ≥0 nazyva[t\sq rivnomirno obmeΩenog, qkwo isnu[ stala M ≥ 1 taka, wo ∀ ≥t 0 : etA ≤ M . Zhidno z [2], pivhrupa ( )etA t ≥0 nazyva[t\sq obmeΩenog analityçnog z kutom ϕ π∈( , / ]0 2 , qkwo etA dopuska[ prodovΩennq do operator-funkci] ezA , anali- tyçno] v sektori Σϕ = { }: argz z∈ <C ϕ , syl\no neperervno] v nuli na bud\- qkomu promeni c\oho sektora, i dlq bud\-qkoho ′ <ϕ ϕ isnu[ stala c ′ >ϕ 0 taka, wo ezA ≤ c ′ϕ pry z ∈ ′Σϕ = { }: argz z∈ ≤ ′C ϕ . Operator A E X∈ ( ) [ heneratorom obmeΩeno] analityçno] C0 -pivhrupy z kutom ϕ todi i til\ky todi, koly Σϕ π ρ+ ⊂/ ( )2 A i dlq dovil\noho ′ ∈ϕ ϕ( , )0 isnu[ stala M ′ϕ taka, wo ∀ ∈ ′ +λ ϕ πΣ /2 : RA( )λ ≤ M ′ϕ λ , de RA( )λ = ( )A I− −λ 1 — rezol\venta operatora A . TverdΩennq,1 [2, c. 61]. Pivhrupa ( )etA t ≥0 [ obmeΩenog analityçnog to- di i til\ky todi, koly vona dyferencijovna na ( 0, ∞ ) i isnu[ stala c > 0 taka, wo ∀ >t 0 ∀ ∈n N : A en tA ≤ c n tn n n− . Skriz\ u podal\ßomu vvaΩatymemo, wo dlq pivhrupy ( )etA t ≥0 vykonu[t\sq umova ker etA = { }0 dlq bud\-qkoho t > 0 . Poznaçymo çerez X At− ( ) popovnennq X za normog x t− = e xtA , t > 0. Normy ⋅ −t [ uzhodΩenymy i porivnql\nymy. Pry t t< ′ ma[mo wil\ne i nepe- rervne vkladennq X A X At t− − ′⊂( ) ( ). Poklademo X A−( ) = proj lim t tX A → − 0 ( ) (wodo proektyvno] hranyci banaxovyx prostoriv dyv. [3]). X A−( ) — povnyj zli- çenno-normovanyj prostir. NevaΩko perekonatys\, wo operator etA dopuska[ neperervne rozßyrennq S t( ) z X na X At− ( ), pryçomu pry t t< ′ S t X At ( ) ( )′ − � = = S t( ) . Vyznaçymo na X A−( ) operator êtA ( )t ≥ 0 qk ê xtA = S t x( ) . V [4] pokaza- no, wo sim’q ( )êtA t ≥0 utvorg[ C0 -pivhrupu v X A−( ) (]] henerator poznaçymo çerez Â ). Pivhrupa ( ) ˆ etA t ≥0 = ( )êtA t ≥0 ma[ taki vlastyvosti: 1) ∀ >t 0 : e X A XtÂ ( )− ⊆ ; 2) e x e xtA tAˆ = dlq x ∈ X , t ≥ 0; ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 652 M. L. HORBAÇUK 3) ∀ ∈ −x X A( ) ∀ >t s, 0 : e xt s A( ) ˆ+ = e e xtA sÂ = e e xsA tÂ . Rozhlqnemo rivnqnnq ′y t( ) = Ay t F t( ) ( )+ , t ∈ ∞( , )0 , (2) de F C X∈ ∞1 0([ , ), ). Vektor-funkcig y ( t ) : ( 0, ∞ ) � D ( A ) nazyvatymemo rozv’qzkom rivnqnnq (2) na ( 0, ∞ ) , qkwo vona syl\no neperervno dyferencijovna na ( 0, ∞ ) i tam za- dovol\nq[ ce rivnqnnq. ZauvaΩymo, wo Ωodni umovy na povedinku y ( t ) v okoli toçky 0 ne nakladagt\sq. Vzahali kaΩuçy, v toçci nul\ y ( t ) moΩe buty nevy- znaçenym. V [4] dovedeno take tverdΩennq. TverdΩennq,2. Qkwo pivhrupa ( )etA t ≥0 zadovol\nq[ umovu ker { }etA = 0 dlq bud\-qkoho t > 0, to vektor-funkciq y ( t ) [ rozv’qzkom rivnqnnq (2) na ( 0, ∞ ) todi i til\ky todi, koly vona zobraΩu[t\sq u vyhlqdi y ( t ) = e y e F s dstA t t s Aˆ ( ) ( )0 0 + ∫ − , y X A0 ∈ −( ). 2. Nexaj A — dovil\nyj operator z E ( X ) . Çerez X A+( ) poznaçymo mnoΩy- nu vsix cilyx vektoriv operatora A : X A+( ) = = x A c c x k A x c k n n k k k∈ ∀ > ∃ = > ∀ ∈ = ≤        ∈N N N∩ ∪D ( ) ( , ) { } :α α α0 0 00 . U prostori X A+( ) vvedemo topolohig proektyvno] hranyci banaxovyx pro- storiv X Aα( ) = x A c c x k A x c k n n k k k∈ ∃ = > ∀ ∈ ≤        ∈N N∩ D ( ) ( ) :0 0 α , α > 0, z normog x X Aα ( ) = sup k k k k A x k∈N0 α . OtΩe, X A+( ) = proj lim t X A →0 α( ). Qkwo operator A obmeΩenyj, to X A+( ) = X . U vypadku, koly X = L a b2(( , )) , – ∞ < a < b < ∞ , A x ( t ) = dx t dt ( ) , D ( A ) = W a b2 1([ , ]) , prostir X A+( ) zbiha[t\sq z mnoΩynog vsix cilyx funkcij, qka [ wil\nog v X . Ostann[, vzahali kaΩuçy, moΩe ne vykonuvatys\ dlq dovil\noho A ; napryklad, dlq zvuΩennq A0 zaznaçenoho vywe operatora A na D ( A0 ) = { ( )x A∈D x b( ) }= 0 X A+( )0 = { }0 . ZauvaΩymo, wo A0 [ heneratorom pivhrupy styskiv. Prote dlq heneratora analityçno] C0 -pivhrupy ma[ misce take tverdΩennq (dyv. [5]). TverdΩennq,3. Qkwo pivhrupa ( )etA t ≥0 [ analityçnog, to mnoΩyna X A+( ) vsix cilyx vektoriv operatora A [ wil\nog v X . Operator-funkciq ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 TEOREMA FRAHMENA – LINDEL\|OFA DLQ ROZV’QZKIV … 653 exp ( )zA : = z k A k k k != ∞ ∑ 0 [ cilog v prostori X A+( ) . Sim’q (exp ( ))zA z∈C utvorg[ hrupu linijnyx nepe- rervnyx operatoriv v X A+( ), i qkwo t ∈R1, a x X∈ + , to exp ( )t A x = e xtA pry t ≥ 0 i exp ( )t A x = ( )e xtA− −1 pry t < 0. U prostori X A+( ) vvedemo cilu operator-funkcig sinh ( )zA A = z k A k k k 2 1 2 0 2 1 + = ∞ +∑ ( )! . NevaΩko pereviryty, wo sinh ( )zA A = 0 2 z z s A ds∫ −exp(( ) ) . (3) V [5] dovedeno nastupne tverdΩennq. TverdΩennq,4. Nexaj – A — henerator analityçno] C 0 -pivhrupy v X . Dlq toho wob vektor-funkciq y ( t ) bula rozv’qzkom rivnqnnq (2) z F t( ) ≡ 0, neobxidno i dostatn\o, wob y ( t ) = exp ( )At y0 , y X A0 ∈ +( ). 3. Nexaj teper B — pozytyvnyj operator v X . Ce oznaça[, wo B E X∈ ( ), ( , ] ( )− ∞ ⊂0 ρ B i isnu[ stala M > 0 taka, wo ∀ ≥λ 0 : RB( )− λ ≤ M 1 + λ . (4) Qk pokazano v [6], ∃ >γ 0 ∃ ∈θ π[ , )0 : Σγ θ, = z z∈ − ≤{ }C : arg( )γ θ ⊇ σ ( B ) , a zovni sektora Σ ′ ′γ θ, ( , )0 < ′ < < ′ <γ γ θ θ π dlq rezol\venty operatora B vy- konu[t\sq ocinka (4) z konstantog M = M ′ ′γ θ, . Velyçyny γ = γ ( B ) = inf :{�λ λ σ∈ ( )}B i θ θ= ( )B nazyvatymemo verßynog i pivkutom operatora B . Dlq operatora B vyznaçeno stepeni B α, 0 ≤ α ≤ 1, i γ α( )B = ( ( ))γ αB , θ α( )B = αθ( )B . Zvidsy vyplyva[, wo operator A B= − 1 2/ heneru[ obmeΩenu analityçnu C0 --pivhrupu z kutom π θ− 2 , typ qko] ω = ω ( A ) : = lim ln t tAe t→∞ = – γ ( )B , tobto ∀ >ε 0 ∃ >cε 0 : etA ≤ c e t ε ω ε( )+ . (5) Teorema,1. Nexaj B — pozytyvnyj operator v X z verßynog γ i pivkutom θ , a y ( t ) — rozv’qzok rivnqnnq (1) na ( 0, ∞ ) , qkyj pry t ≥ t0 > 0 ( t0 fiksovane) zadovol\nq[ umovu ∃ >a 0 ∃ >ca 0 : y t( ) ≤ c ea atβ , t t∈ ∞( , )0 , (6) de β < π π θ+ . Todi dlq dovil\noho ε > 0 isnu[ stala cε > 0 taka, wo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 654 M. L. HORBAÇUK y t( ) ≤ c e t ε ω ε( )+ pry t ≥ t0 > 0, (7) de ω ω= ( )A — typ pivhrupy ( )etA t ≥0 . Dovedemo spoçatku dvi lemy, qki magt\ i samostijnyj interes. Lema,1. Vektor-funkciq y ( t ) [ rozv’qzkom rivnqnnq (1) na ( 0, ∞ ) todi i til\ky todi, koly ]] moΩna podaty u vyhlqdi y ( t ) = e f e ftA tAˆ 1 2+ − , f X A1 ∈ −( ), f X A2 ∈ +( ) , (8) de A = – B1 2/ . Dovedennq. Nexaj y ( t ) — rozv’qzok rivnqnnq (1) na ( 0, ∞ ) . Oskil\ky A B2 = , to rivnqnnq (1) moΩna zapysaty qk d dt A d dt A y t+    −    ( ) = 0. Poklademo z ( t ) = d dt A y t−    ( ). Zrozumilo, wo vektor-funkciq z ( t ) naleΩyt\ do C X1 0(( , ), )∞ i [ rozv’qzkom rivnqnnq dz t dt ( ) = – Az t( ), t ∈ ∞( , )0 . Vraxovugçy, wo operator A = – ( – A ) heneru[ obmeΩenu analityçnu C0 -piv- hrupu, i tverdΩennq=4, pryxodymo do vysnovku, wo z ( t ) = exp ( )− t A f , f X A∈ +( ), a tomu vektor-funkciq y ( t ) na ( 0, ∞ ) zadovol\nq[ rivnqnnq (2), v qkomu F ( t ) = = exp ( )− t A f — cila vektor-funkciq. Todi tverdΩennq=2 i formula (3) zumov- lggt\ rivnist\ y ( t ) = e g e e f dstA t t s A s Aˆ ( )+ ∫ − − 0 = e g t A A ftÂ sinh ( )+ , (9) de g X A∈ −( ), f X A∈ +( ). Poklademo f g f1 2= + , f A f2 1= − . Oskil\ky 0 ∈ρ( )A , to A X A− + 1 ( ) = = X A+( ), a otΩe, z (9) oderΩu[mo zobraΩennq (8). Bezposeredn\og perevirkog nevaΩko perekonatysq, wo vektor-funkciq vyhlqdu (8) [ rozv’qzkom rivnqnnq (1) na ( 0, ∞ ) , wo j zaverßu[ dovedennq lemy. Lema,2. Nexaj B — pozytyvnyj operator v X z pivkutom θ , A = – B1 2/ , x X A∈ +( ). Qkwo isnu[ stala a > 0 taka, wo e xtA− ≤ c ea atβ , t ∈ ( 0, ∞ ) , de β < π π θ+ , 0 < ca = const, to x = 0. Dovedennq. Zafiksu[mo dovil\ne t0 > 0. Iz hrupovo] vlastyvosti e t A− u prostori X A+( ) i tverdΩennq=3 vyplyva[ y ( t ) = e xt A− = e y tt t A( ) ( )0 0 − , t ∈ [ 0, t0 ] , zvidky y tn( )( ) = A e y tn t t A( ) ( )0 0 − . Todi, zhidno z tverdΩennqm=1, ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 TEOREMA FRAHMENA – LINDEL\|OFA DLQ ROZV’QZKIV … 655 y tn( )( ) = A e y tn t t A( ) ( )0 0 − ≤ c n t t y tn n n( ) ( )0 0− − . Pokladagçy t = 0, t0 = n1/β, pryxodymo do spivvidnoßennq A xn 0 = y n( )( )0 ≤ c n c e nn n a an n− /β = c c e na n an n( / )1 1− β . Cq ocinka pokazu[, wo vektor-funkciq h ( z ) = ( )I zA x− −1 = z A xk k k = ∞ ∑ 0 [ cilog. Porqdok ]] rostu ρ : = lim n nn n n A x→∞ −( ) ln ln 1 ≤ lim n n n n n→∞ − ln ln ( / )1 1β = β β1 − ≤ π π θ π π θ + − + 1 = π θ . Oskil\ky A heneru[ obmeΩenu analityçnu C0 -pivhrupu z kutom π θ− 2 , joho rezol\venta R zA( ) [ analityçnog v sektori Σπ θ− /2 , i qkwo 0 < ε < 2π θ− , to h z( ) = z A z I x− − −−1 1 1( ) ≤ Mε pry z ∈ − +Σπ θ ε( )/2 . (10) Beruçy do uvahy, wo porqdok rostu ρ vektor-funkci] h ( z ) menßyj za π θ/ , vybyra[mo ε π θ∈ −( , )0 2 tak, wob vykonuvalas\ nerivnist\ ρ π θ ε < + . Todi z (10) vyplyva[, wo cila vektor-funkciq h ( z ) , porqdok qko] ρ π θ ε < + , [ obme- Ωenog na storonax kuta z z∈ − ≤ +{ }C : arg( ) ( ) /θ ε 2 . Za teoremog Frahmena – Lindel\ofa (dyv. [7, c. 69]) h z( ) < Mε vseredyni c\oho kuta, a nerivnist\ (10) obumovlg[ obmeΩenist\ h z( ) u vsij kompleksnij plowyni. Za teoremog Liuvillq h ( z ) = ( )I zA x− −1 ≡ x1 ∈ D ( A ) , tobto x x zAx= −1 1, a ce moΩlyvo lyße pry Ax1 0= . Vraxovugçy, wo 0 ∈ρ( )A , pryxodymo do vysnovku, wo x1 0= , a otΩe, x0 0= . Lemu dovedeno. Dovedennq teoremy,1. Nexaj y ( t ) — rozv’qzok rivnqnnq (1) na ( 0, ∞ ) . Za lemog=1 y ( t ) moΩna zobrazyty u vyhlqdi (8). Iz vlastyvostej=1 i 3 pivhrupy ( ) ˆ etA t ≥0 i nerivnosti (5) vyplyva[, wo dlq dovil\nyx t ≥ t0 > 0 i ε ∈ ( 0, ω ) e ftÂ 1 = e e ft t A t A( ) ˆ− 0 0 1 ≤ c e e ft t t A ε ω ε( )( ) ˆ+ − 0 0 1 ≤ �c e t ε ω ε( )+ , (11) de �cε = e e ft t A− +( ) ˆω ε 0 0 1 . Todi nerivnosti (6) ta (11) zumovlggt\ pry t ≥ t0 > > 0 ocinku e ft A− 2 ≤ �c ea atβ . Zhidno z lemog=2, e ft A− ≡2 0, a otΩe, y t e ft A( ) ˆ = 1 i zavdqky (11) spravdΩu[t\- sq ocinka (7), wo j potribno bulo dovesty. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 656 M. L. HORBAÇUK U vypadku, koly X = � — hil\bertiv prostir, a B — normal\nyj pozytyv- nyj operator v � , teorema=1 dopuska[ utoçnennq. Teorema,2. Nexaj B — pozytyvnyj normal\nyj operator v � z verßynog γ i pivkutom θ . Qkwo rozv’qzok y ( t ) rivnqnnq (1) na ( 0, ∞ ) pry t ≥ 1 za - dovol\nq[ umovu y t( ) ≤ c e t ε γ ε( )− (12) z deqkymy cε > 0 i ε γ∈( , )0 , to ∀ ≥t 1 : y t( ) ≤ ce t− γ . (13) Dovedennq. Qk i v teoremi=1, moΩna pokazaty, wo ocinky (5) i (12) dlq roz- v’qzku y ( t ) zumovlggt\ nerivnist\ e ft A− 2 ≤ �c e t ε γ ε( )− . (14) Poznaçymo çerez E ( λ ) spektral\nu miru operatora –=A . Todi nerivnist\ (14) ekvivalentna spivvidnoßenng e e ft t A− − −2 2 2( )γ ε = σ γ λ ε λ ( ) ( Re ) ( ( ) , ) − − − −∫ A te d E f f2 2 2 ( ( , )⋅ ⋅ — skalqrnyj dobutok v � ). Oskil\ky dlq λ ∈ σ( )− A e t− − −2( Re )γ λ ε → → ∞ pry t → ∞ , to za lemog Fatu pro hranyçnyj perexid pid znakom in- tehrala v nerivnostqx ( ( ) , )E f f∆ 2 2 = 0 dlq dovil\no] borel\ovo] mnoΩyny ∆ ∈ −σ ( )A , a tomu j f2 0= . Vraxovugçy, wo dlq f ∈� e ftA = σ λ λ ( ) Re ( ˜ ( ) , ) A te d E f f∫ ≤ e ft− γ 2 ( ˜ ( )E λ — spektral\na mira operatora A ), dlq y t e ftA( ) = 1, f X A1 ∈ −( ), na osnovi rivnosti e ftÂ 1 = e e ft t A t A( ) ˆ− 0 0 1, de e f Xt A0 1 ˆ ∈ , oderΩu[mo (13). Teoremu dovedeno. 4. Proilgstru[mo navedeni vywe rezul\taty na prykladi krajovo] zadaçi ∂ ∂ 2 2 u x t t ( , ) = ( ) ( , )− ∂ ∂ 1 2 2 m m m u x t x , m ∈N , (15) u tk( )( , )2 0 = u t lk( )( , )2 = 0, k = 0, 1, … , m – 1, u smuzi t ∈ ( 0, ∞ ) , x ∈ [ 0, l ] , 0 < l < ∞ . Poklademo X = L l2 0(( , )), ( B f ) ( x ) = ( ) ( )( ) ( )−1 2 2m mf x , D ( B ) = f W l f f l k mm k k∈ = = = … −{ }2 2 2 20 0 0 0 1 1([ , ]) : ( ) ( ) , , , ,( ) ( ) . Operator B [ samosprqΩenym i dodatno vyznaçenym, a tomu pozytyvnym. Joho spektr σ ( B ) = σp ( B ) = { / }( )λ πk m kl= ∈ 2 N dyskretnyj i prostyj, γ ( B ) = = ( )/π l m2 . Z teoremy=2 todi ma[mo takyj naslidok: qkwo rozv’qzok u ( t , x ) zadaçi (15) pry t ≥ 1 zadovol\nq[ umovu ∃ >ε 0 : 0 2 l u t x dx∫ ( , ) ≤ c e l tm ε π ε2(( / ) )− , to ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5 TEOREMA FRAHMENA – LINDEL\|OFA DLQ ROZV’QZKIV … 657 0 2 l u t x dx∫ ( , ) ≤ ce l tm−2( / )π , t ≥ 1, 0 < c = const. Analohiçne tverdΩennq moΩna otrymaty, qkwo prostir L 2 ( [ 0, l ] ) zaminyty na Lp ( [ 0, l ] ) ( p > 1 ) , abo C ( [ 0, l ] ) . Pry m = 1 rozv’qzky zadaçi (15) [ harmoniçnymy funkciqmy v pivsmuzi G = = ( 0, ∞ ) × [ 0, l ] , wo zadovol\nqgt\ umovu u ( t, 0 ) = u ( t, l ) = 0. Takym çynom, pry m = 1 oderΩu[mo zhadanyj u vstupi rezul\tat. ZauvaΩymo takoΩ, wo v zadaçi (15) zamist\ operatora ( )− ∂ ∂ 1 2 2 m m mx moΩna vzqty eliptyçnyj dyferencial\nyj operator v obmeΩenij oblasti. 5. Teoremy=1 i 2 vtraçagt\ pravyl\nist\, qkwo zamist\ umovy pozytyvnosti dlq operatora B vymahaty lyße joho slabku pozytyvnist\ (dyv. [6]), tobto za- minyty (4) na umovu ∀ >λ 0 =: RB(– )λ ≤ M λ z deqkog stalog M > 0. Qkwo 0 ∈σc B( ), to rozv’qzky, wo zadovol\nqgt\ ocinku (6) ((12)) v teoremi=1 (teoremi=2), prqmugt\ do nulq na neskinçennosti, ale porqdok c\oho prqmuvannq moΩe buty qkym zavhodno. 1. Lax P. D. A Fragmen – Lindelöf theorem in harmonic analysis and its applications to some questions in the theory of elliptic equations // Communs Pure and Appl. Math. – 1957. – 10 . – P. 361 – 389. 2. Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. – New York etc.: Springer, 1983. – 300 p. 3. Kantorovyç L. V., Akylov H. P. Funkcyonal\n¥j analyz v normyrovann¥x prostranstvax. – M.: Fyzmathyz, 1959. – 684 s. 4. Horbaçuk M. L., Horbaçuk V. I. Pro odne uzahal\nennq evolgcijnoho kryterig Berezans\ko- ho samosprqΩenosti operatora // Ukr. mat. Ωurn. – 2000. – 52, # 5. – S.=608 – 615. 5. Gorbachuk V. I., Gorbachuk M. L. Boundary value problems for operator differential equations. – Dordrecht etc.: Kluwer Acad. Publ., 1991. – 347 p. 6. Krejn S. H. Lynejn¥e dyfferencyal\n¥e uravnenyq v banaxovom prostranstve. – M.: Nau- ka, 1967. – 464 s. 7. Levyn B. Q. Raspredelenye kornej cel¥x funkcyj. – M.: Hostexteoryzdat, 1956. – 632 s. OderΩano 27.02.2007 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 5
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164183
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1027-3190
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-02T06:20:59Z
publishDate	2007
publisher	Інститут математики НАН України
record_format	dspace
spelling	Горбачук, М.Л. 2020-02-08T18:51:37Z 2020-02-08T18:51:37Z 2007 Теорема Фрагмена – Ліндельофа для розв'язків еліптичних диференціальних рівнянь у банаховому просторі / М.Л. Горбачук // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 5. — С. 650–657. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164183 517.9 Для дифференциального уравнения второго порядка эллиптического типа на полуоси в банаховом пространстве показано, что если порядок роста на бесконечности его решения не выше экспоненциального, то это решение экспоненциально стремится к нулю на бесконечности. For a second-order elliptic differential equation considered on the semiaxis in a Banach space, we show that if the order of growth of its solution at infinity is not higher than the exponential order, then this solution exponentially tends to zero at infinity. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Теорема Фрагмена – Ліндельофа для розв'язків еліптичних диференціальних рівнянь у банаховому просторі Phragmén-Lindelöf theorem for solutions of elliptic differential equations in a banach space Article published earlier
spellingShingle	Теорема Фрагмена – Ліндельофа для розв'язків еліптичних диференціальних рівнянь у банаховому просторі Горбачук, М.Л. Статті
title	Теорема Фрагмена – Ліндельофа для розв'язків еліптичних диференціальних рівнянь у банаховому просторі
title_alt	Phragmén-Lindelöf theorem for solutions of elliptic differential equations in a banach space
title_full	Теорема Фрагмена – Ліндельофа для розв'язків еліптичних диференціальних рівнянь у банаховому просторі
title_fullStr	Теорема Фрагмена – Ліндельофа для розв'язків еліптичних диференціальних рівнянь у банаховому просторі
title_full_unstemmed	Теорема Фрагмена – Ліндельофа для розв'язків еліптичних диференціальних рівнянь у банаховому просторі
title_short	Теорема Фрагмена – Ліндельофа для розв'язків еліптичних диференціальних рівнянь у банаховому просторі
title_sort	теорема фрагмена – ліндельофа для розв'язків еліптичних диференціальних рівнянь у банаховому просторі
topic	Статті
topic_facet	Статті
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164183
work_keys_str_mv	AT gorbačukml teoremafragmenalíndelʹofadlârozvâzkívelíptičnihdiferencíalʹnihrívnânʹubanahovomuprostorí AT gorbačukml phragmenlindeloftheoremforsolutionsofellipticdifferentialequationsinabanachspace

Теорема Фрагмена – Ліндельофа для розв'язків еліптичних диференціальних рівнянь у банаховому просторі

Institution

Ähnliche Einträge