Эллиптические псевдодифференциальные операторы в уточненной шкале пространств на замкнутом многообразии
Вивчаються лінійні еліптичні псевдодиференціальні оператори в уточненій шкалі функціональних гільбертових просторів на гладкому замкненому многовиді. Елементами цієї шкали є ізотропні простори Хермандера – Волевіча – Панеяха. Досліджено локальну гладкість розв'язку еліптичного рівняння в уточне...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Datum: | 2007 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164194 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Эллиптические псевдодифференциальные операторы в уточненной шкале пространств на замкнутом многообразии / А.А. Мурач // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 6. — С. 798–814. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164194 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Мурач, А.А. 2020-02-08T19:07:37Z 2020-02-08T19:07:37Z 2007 Эллиптические псевдодифференциальные операторы в уточненной шкале пространств на замкнутом многообразии / А.А. Мурач // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 6. — С. 798–814. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164194 517.9 Вивчаються лінійні еліптичні псевдодиференціальні оператори в уточненій шкалі функціональних гільбертових просторів на гладкому замкненому многовиді. Елементами цієї шкали є ізотропні простори Хермандера – Волевіча – Панеяха. Досліджено локальну гладкість розв'язку еліптичного рівняння в уточненій шкалі. Вивчено також еліптичні псевдодиференціальні оператори з параметром. We study linear elliptic pseudodifferential operators in the refined scale of functional Hilbert spaces over a smooth closed manifold. Elements of this scale are presented by the Hörmander – Volevich – Paneyakh isotropic spaces. The local smoothness of a solution of an elliptic equation in the refined scale is investigated. Elliptic pseudodifferential operators with a parameter are also studied. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Эллиптические псевдодифференциальные операторы в уточненной шкале пространств на замкнутом многообразии Elliptic pseudodifferential operators in the improved scale of spaces on a closed manifold Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Эллиптические псевдодифференциальные операторы в уточненной шкале пространств на замкнутом многообразии |
| spellingShingle |
Эллиптические псевдодифференциальные операторы в уточненной шкале пространств на замкнутом многообразии Мурач, А.А. Статті |
| title_short |
Эллиптические псевдодифференциальные операторы в уточненной шкале пространств на замкнутом многообразии |
| title_full |
Эллиптические псевдодифференциальные операторы в уточненной шкале пространств на замкнутом многообразии |
| title_fullStr |
Эллиптические псевдодифференциальные операторы в уточненной шкале пространств на замкнутом многообразии |
| title_full_unstemmed |
Эллиптические псевдодифференциальные операторы в уточненной шкале пространств на замкнутом многообразии |
| title_sort |
эллиптические псевдодифференциальные операторы в уточненной шкале пространств на замкнутом многообразии |
| author |
Мурач, А.А. |
| author_facet |
Мурач, А.А. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2007 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Elliptic pseudodifferential operators in the improved scale of spaces on a closed manifold |
| description |
Вивчаються лінійні еліптичні псевдодиференціальні оператори в уточненій шкалі функціональних гільбертових просторів на гладкому замкненому многовиді. Елементами цієї шкали є ізотропні простори Хермандера – Волевіча – Панеяха. Досліджено локальну гладкість розв'язку еліптичного рівняння в уточненій шкалі. Вивчено також еліптичні псевдодиференціальні оператори з параметром.
We study linear elliptic pseudodifferential operators in the refined scale of functional Hilbert spaces over
a smooth closed manifold. Elements of this scale are presented by the Hörmander – Volevich – Paneyakh isotropic spaces. The local smoothness of a solution of an elliptic equation in the refined scale is
investigated. Elliptic pseudodifferential operators with a parameter are also studied.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164194 |
| citation_txt |
Эллиптические псевдодифференциальные операторы в уточненной шкале пространств на замкнутом многообразии / А.А. Мурач // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 6. — С. 798–814. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT muračaa élliptičeskiepsevdodifferencialʹnyeoperatoryvutočnennoiškaleprostranstvnazamknutommnogoobrazii AT muračaa ellipticpseudodifferentialoperatorsintheimprovedscaleofspacesonaclosedmanifold |
| first_indexed |
2025-11-24T20:48:41Z |
| last_indexed |
2025-11-24T20:48:41Z |
| _version_ |
1850493120703102976 |
| fulltext |
UDK 517.9
A. A. Muraç (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev; Çernyhov. texnol. un-t)
∏LLYPTYÇESKYE PSEVDODYFFERENCYAL|NÁE
OPERATORÁ V UTOÇNENNOJ ÍKALE PROSTRANSTV
NA ZAMKNUTOM MNOHOOBRAZYY
We study linear elliptic pseudodifferential operators in the refined scale of functional Hilbert spaces over
a smooth closed manifold. Elements of this scale are presented by the Hörmander – Volevich – Pane-
yakh isotropic spaces. The local smoothness of a solution of an elliptic equation in the refined scale is
investigated. Elliptic pseudodifferential operators with a parameter are also studied.
Vyvçagt\sq linijni eliptyçni psevdodyferencial\ni operatory v utoçnenij ßkali funkcio-
nal\nyx hil\bertovyx prostoriv na hladkomu zamknenomu mnohovydi. Elementamy ci[] ßkaly [
izotropni prostory Xermandera – Voleviça – Paneqxa. DoslidΩeno lokal\nu hladkist\ rozv’qz-
ku eliptyçnoho rivnqnnq v utoçnenij ßkali. Vyvçeno takoΩ eliptyçni psevdodyferencial\ni
operatory z parametrom.
Vvedenye. V nastoqwej stat\e yzuçaetsq lynejn¥j πllyptyçeskyj psevdo-
dyfferencyal\n¥j operator (PDO) na zamknutom (kompaktnom) hladkom mno-
hoobrazyy. Yzvestno (sm., naprymer, [1, 2]), çto ukazann¥j PDO ohranyçen y
fredhol\mov v podxodqwyx parax sobolevskyx prostranstv y poroΩdaet v dvu-
storonnej sobolevskoj ßkale prostranstv nabor topolohyçeskyx yzomorfyz-
mov. V stat\e πtot klassyçeskyj rezul\tat utoçnqetsq prymenytel\no k hyl\-
bertovoj ßkale nekotor¥x yzotropn¥x prostranstv Xermandera – Volevyça –
Paneqxa [3, 4]. ∏ta ßkala xarakteryzuet hladkostn¥e svojstva raspredelenyj
posredstvom par¥ parametrov: vewestvennoho çyslovoho y dopolnytel\noho
funkcyonal\noho, kotor¥j medlenno menqetsq na + ∞ po Karamata. Ukazan-
naq ßkala vvedena y yzuçena v [5 – 7]. Ee estestvenno naz¥vat\ utoçnennoj.
Ona soderΩyt v sebe klassyçeskug sobolevskug ßkalu y qvlqetsq suwestven-
no bolee tonkoj. Otmetym, çto prostranstva, xarakteryzugwye hladkost\ ras-
predelenyj posredstvom funkcyonal\n¥x parametrov (t. e. prostranstva funk-
cyonal\noj y obobwennoj hladkosty), qvlqgtsq v nastoqwee vremq predmetom
mnohyx yssledovanyj (sm., naprymer, [8 – 10] y pryvedennug tam lyteraturu).
Stat\q sostoyt yz 6 punktov. V p.@1 sformulyrovan osnovnoj rezul\tat ra-
bot¥ — utverΩdenye o topolohyçeskom yzomorfyzme, kotor¥j zadaet πllyp-
tyçeskyj PDO v utoçnennoj ßkale prostranstv na zamknutom mnohoobrazyy.
V@p.@2 pryvedeno opredelenye utoçnennoj ßkal¥ y sformulyrovan rqd ee
svojstv. Punkt 3 posvqwen ynterpolqcyy s funkcyonal\n¥m parametrom, kak
osnovnomu metodu yssledovanyq lynejn¥x ohranyçenn¥x operatorov v utoçnen-
noj ßkale. V p. 4 dokazan osnovnoj rezul\tat rabot¥. V p. 5 yssledovana
utoçnennaq lokal\naq hladkost\ reßenyq πllyptyçeskoho psevdodyfferency-
al\noho uravnenyq. Punkt 6 posvqwen πllyptyçeskym PDO s parametrom.
Otmetym, çto dlq πllyptyçeskyx dyfferencyal\n¥x operatorov uravnenyq
y kraev¥e zadaçy systematyçesky yssledovalys\ v utoçnenn¥x ßkalax pro-
stranstv v rabotax [5, 7, 11 – 15].
1. Postanovka zadaçy y osnovnoj rezul\tat. Pust\ Γ — zamknutoe bes-
koneçno hladkoe mnohoobrazye razmernosty n ≥ 1. (Napomnym, çto mnohoobra-
zye naz¥vaetsq zamknut¥m, esly ono kompaktno y bez kraq.) Predpolahaetsq,
çto na Γ zadana nekotoraq C∞ -plotnost\ dx . Oboznaçym çerez ′D ( )Γ lynej-
noe topolohyçeskoe prostranstvo vsex raspredelenyj (obobwenn¥x funkcyj)
na Γ, t. e. prostranstvo, antydvojstvennoe k prostranstvu C∞( )Γ otnosytel\-
no polutoralynejnoj form¥
( , )f v Γ : =
f x x dx( ) ( )v
Γ
∫ .
© A. A. MURAÇ, 2007
798 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
∏LLYPTYÇESKYE PSEVDODYFFERENCYAL|NÁE OPERATORÁ … 799
Poslednqq prodolΩaetsq po neprer¥vnosty do form¥ ( , )f v Γ arhumentov
f ∈ ′D ( )Γ y v ∈ ∞C ( )Γ , ravnoj znaçenyg raspredelenyq f na osnovnoj funk-
cyy v.
Sleduq [2] (p.@2.1), oboznaçym çerez Ψ Γph
m ( ) klass polyodnorodn¥x (yly,
druhymy slovamy, klassyçeskyx) PDO vewestvennoho porqdka m, zadann¥x na
mnohoobrazyy Γ. Napomnym, çto dlq PDO A m∈Ψ Γph( ) opredelen hlavn¥j sym-
vol a x0( ), ξ , qvlqgwyjsq beskoneçno hladkoj kompleksnoznaçnoj funkcyej
arhumentov x ∈ Γ y ξ ∈ ∗Tx Γ \ { }0 odnorodnoj stepeny m po peremennoj ξ .
Zdes\, kak ob¥çno, çerez Tx
∗Γ oboznaçeno kokasatel\noe prostranstvo k mno-
hoobrazyg Γ v toçke x . Nam udobno prynqt\, çto v kaçestve hlavnoho symvo-
la dopuskaetsq takΩe funkcyq, toΩdestvenno ravnaq nulg. Tohda Ψ Γph
m ( ) ⊂
⊂ Ψ Γph
r ( ) pry m < r. PDO A lyneen y neprer¥ven v kaΩdom yz topolohyçes-
kyx prostranstv C∞( )Γ y ′D ( )Γ . Napomnym, çto dlq raspredelenyq
u ∈ ′D ( )Γ obraz Au ∈ ′D ( )Γ opredelqetsq po formule ( , )Au v Γ = ( , )u A+v Γ ,
hde v — proyzvol\naq funkcyq yz prostranstva C∞( )Γ , a A+
— PDO klassa
Ψ Γph
m ( ), formal\no soprqΩenn¥j k operatoru A otnosytel\no plotnosty dx .
Çastn¥m y vaΩn¥m sluçaem PDO klassa Ψ Γph
m ( ), m ≥ 1, qvlqetsq lynejn¥j
dyfferencyal\n¥j operator na mnohoobrazyy Γ porqdka ≤ m s beskoneçno
hladkymy kompleksn¥my koπffycyentamy.
PredpoloΩym dalee, çto PDO A m∈Ψ Γph( ), hde m — proyzvol\noe fyksy-
rovannoe vewestvennoe çyslo, qvlqetsq πllyptyçeskym na mnohoobrazyy Γ,
t. e. a x0( ), ξ ≠ 0 dlq lgb¥x toçky x ∈Γ y kovektora ξ ∈ ∗Tx Γ \ { }0 .
Naßa zadaça — yzuçyt\ otobraΩenye u � Au v utoçnennoj ßkale prost-
ranstv na mnohoobrazyy Γ. ∏ta ßkala obrazovana hyl\bertov¥my prostranst-
vamy H
s, ( )ϕ Γ , hde çyslovoj parametr s proyzvol\n¥j vewestvenn¥j, a funk-
cyonal\n¥j parametr ϕ probehaet nekotor¥j klass M funkcyj, medlenno
menqgwyxsq po Karamata na + ∞ . Opredelenye utoçnennoj ßkal¥ pryvedeno v
p.@2. Zdes\ otmetym lyß\, çto ona soderΩyt v sebe hyl\bertovu ßkalu pro-
stranstv Soboleva: Hs( )Γ = H
s, ( )1 Γ y daet znaçytel\no bolee tonkug hra-
dacyg hladkostn¥x svojstv raspredelenyj, çem πto vozmoΩno v sobolevskoj
(stepennoj) ßkale.
Sformulyruem osnovnoj rezul\tat stat\y. PoloΩym
N : =
{ ( ) }:u C Au∈ =∞ Γ Γ0 na , N
+
: = { ( ) }:v v∈ =∞ +C AΓ Γ0 na .
Poskol\ku PDO A y A+
odnovremenno πllyptyçn¥ na Γ, prostranstva N y
N
+
koneçnomern¥ [2, c. 28].
Teorema01.1. PredpoloΩym, çto prostranstva N y N
+
tryvyal\n¥.
Tohda dlq proyzvol\n¥x parametrov s ∈R y ϕ ∈M spravedlyv topolohyçe-
skyj yzomorfyzm
A : Hs m+ , ( )ϕ Γ ↔ H
s, ( )ϕ Γ . (1.1)
Bolee obwee utverΩdenye pryvedeno v p.@4. Kak vydym, PDO (1.1) ostavlqet
ynvaryantn¥m funkcyonal\n¥j parametr ϕ. Teorema@1.1 utoçnqet yzvestn¥j
rezul\tat o svojstvax πllyptyçeskoho PDO v sobolevskoj ßkale (sm. [1, c. 262;
2, c. 28] y pryvedennug tam lyteraturu). Ona takΩe pozvolqet yssledovat\ lo-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
800 A. A. MURAÇ
kal\nug hladkost\ reßenyq u ∈ ′D ( )Γ πllyptyçeskoho uravnenyq Au = f v
utoçnennoj ßkale.
2. Utoçnenn¥e ßkal¥ prostranstv vveden¥ y yzuçalys\ v [5, 7, 12]. Pry-
vedem (dlq udobstva çytatelq) opredelenyq y nekotor¥e svojstva πtyx ßkal.
Oboznaçym çerez M sovokupnost\ vsex funkcyj ϕ : [ 1, + ∞ ) → ( 0, + ∞ ) ta-
kyx, çto:
a) ϕ yzmeryma po Borelg na poluosy [ 1, + ∞ ) ;
b) funkcyy ϕ y 1 / ϕ ohranyçen¥ na kaΩdom otrezke ( 1, b ) , hde 1 < b <
< + ∞ ;
v) funkcyq ϕ medlenno menqgwaqsq po Karamata na + ∞ , t. e. [16, c. 9]
lim
( )
( )t
t
t→ +∞
ϕ λ
ϕ
= 1 dlq lgboho λ > 0.
Pust\ s ∈R , ϕ ∈M . Oboznaçym çerez Hs n, ( )ϕ
R mnoΩestvo vsex takyx
raspredelenyj w medlennoho rosta, zadann¥x v evklydovom prostranstve R
n ,
çto preobrazovanye Fur\e ŵ raspredelenyq w qvlqetsq lokal\no summyrue-
moj po Lebehu v R
n
funkcyej, udovletvorqgwej uslovyg
〈 〉 〈 〉∫ ξ ϕ ξ ξ ξ2 2 2s w d
n
( ) ( )ˆ
R
< ∞ .
Zdes\ 〈 〉ξ = 1 1
2 2 1 2
+ + … +( )ξ ξn
/
— shlaΩenn¥j modul\ vektora ξ = ( ), ,ξ ξ1 … n @∈
∈ R
n . V prostranstve Hs n, ( )ϕ
R opredeleno skalqrnoe proyzvedenye po for-
mule
( , ) , ( )
w w
H s n1 2 ϕ
R
: =
$$
2〈 〉 〈 〉∫ ξ ϕ ξ ξ ξ ξ2 2
1
s w w d
n
( ) ( ) ( )
R
.
Ono estestvenn¥m obrazom poroΩdaet normu v Hs n, ( )ϕ
R .
Prostranstvo Hs n, ( )ϕ
R — πto çastn¥j yzotropn¥j hyl\bertov sluçaj pro-
stranstv, rassmotrenn¥x L. Xermanderom [3, c. 54] y B.@P.@Volevyçem, L.@R.@Pa-
neqxom [4, c. 14]. V sluçae ϕ ≡ 1 prostranstvo Hs n, ( )ϕ
R sovpadaet s prost-
ranstvom Soboleva Hs n( )R . Yz vklgçenyj
Hs n+
>
ε
ε
( )R
0
∪ = : Hs n+( )R ⊂ Hs n, ( )ϕ
R ⊂ Hs n−( )R : =
Hs n−
>
ε
ε
( )R
0
∩
sleduet, çto v semejstve
H ss n, ( ) : ,ϕ ϕR R∈ ∈{ }M (2.1)
funkcyonal\n¥j parametr ϕ utoçnqet osnovnug (stepennug) s-hladkost\.
Poπtomu semejstvo estestvenno naz¥vat\ utoçnennoj ßkaloj v R
n
(po otno-
ßenyg k sobolevskoj ßkale).
Utoçnennaq ßkala prostranstv na mnohoobrazyy Γ stroytsq po ßkale (2.1)
sledugwym obrazom. Voz\mem koneçn¥j atlas yz C∞
-struktur¥ na Γ, obrazo-
vann¥j lokal\n¥my kartamy αj : R
n → Uj , j = 1, … , r. Zdes\ otkr¥t¥e mno-
Ωestva Uj sostavlqgt koneçnoe pokr¥tye mnohoobrazyq Γ. Pust\ funkcyy
χj ∈ C
∞
( Γ ) , j = 1, … , r, obrazugt razbyenye edynyc¥ na Γ, udovletvorqgwee
uslovyg supp χj = Uj .
PoloΩym
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
∏LLYPTYÇESKYE PSEVDODYFFERENCYAL|NÁE OPERATORÁ … 801
Hs, ( )ϕ Γ = f f H j rj j
s n∈ ′ ∈ = …{ }D ( ) ( ) ( ): , ,,Γ χ α ϕ� R dlq kaΩdoho 1 .
Zdes\ ( )χ αj jf � — predstavlenye raspredelenyq χ j f v lokal\noj karte αj .
V prostranstve Hs, ( )ϕ Γ opredeleno skalqrnoe proyzvedenye po formule
( , ) ,f f s1 2 ϕ : =
( , )( ) ( ) , ( )
χ α χ α ϕj j j j H
j
r
f f s n1 2
1
� �
R
=
∑ .
Ono standartn¥m obrazom zadaet normu: f s,ϕ : = ( , ) ,
/f f s ϕ
1 2 . V sobolevskom
sluçae ϕ ≡ 1 yndeks ϕ v oboznaçenyqx budem opuskat\.
Prostranstvo Hs, ( )ϕ Γ separabel\noe hyl\bertovo, neprer¥vno vloΩeno v
topolohyçeskoe prostranstvo ′D ( )Γ y s toçnost\g do πkvyvalentnosty norm
ne zavysyt ot v¥bora atlasa y razbyenyq edynyc¥. Semejstvo funkcyonal\n¥x
prostranstv
H ss, ( ) : ,ϕ ϕΓ ∈ ∈{ }R M
naz¥vaetsq utoçnennoj ßkaloj na mnohoobrazyy Γ. Otmetym sledugwye ee
svojstva.
PredloΩenye02.1 [7, 12]. Pust\ s ∈R y ϕ ϕ, 1 ∈M . Tohda:
a) mnoΩestvo C∞( )Γ plotno v Hs, ( )ϕ Γ ;
b) spravedlyv¥ kompaktn¥e plotn¥e vloΩenyq
H H Hs s s+ −ε ϕ ε( ) ( ) ( ),Γ Γ ΓO O y H Hs s+ε ϕ ϕ, ,( ) ( )1 Γ ΓO pry ε > 0 ;
v) esly ϕ ( t ) ≤ c ϕ1 ( t ) pry t >> 1 dlq nekotoroho çysla c > 0, to spra-
vedlyvo neprer¥vnoe plotnoe vloΩenye H Hs s, ,( ) ( )ϕ ϕ1 Γ ΓO ; πto vloΩenye
kompaktno, esly ϕ ( t ) / ϕ1 ( t ) → 0 pry t → + ∞ ;
h) esly
dt
t tϕ2
1
( )
+∞
∫ < ∞ , (2.2)
to dlq lgboho celoho çysla ρ ≥ 0 spravedlyvo kompaktnoe vloΩenye
H nρ ϕ+ / , ( )2 Γ O Cρ( )Γ ; (2.3)
obratno, dlq kaΩdoho celoho ρ ≥ 0 yz vklgçenyq (2.3) v¥tekaet uslovye
(2.2);
d) prostranstva Hs, ( )ϕ Γ y H s− , / ( )1 ϕ Γ vzaymno soprqΩen¥ otnosytel\-
no form¥ ( , )⋅ ⋅ Γ s toçnost\g do πkvyvalentn¥x norm.
V svqzy s punktom d) otmetym, çto ϕ ∈M ⇔ 1/ ϕ ∈M . Sledovatel\no,
prostranstvo H s− , / ( )1 ϕ Γ opredeleno korrektno.
3. Ynterpolqcyq s funkcyonal\n¥m parametrom par hyl\bertov¥x pro-
stranstv — πto estestvennoe obobwenye klassyçeskoho ynterpolqcyonnoho me-
toda [17, c. 21 – 23] na sluçaj, kohda v kaçestve parametra ynterpolqcyy vmesto
stepennoj beretsq bolee obwaq funkcyq. Pryvedem zdes\ opredelenye takoj
ynterpolqcyy (sm. [6, 11, 18]). Pry πtom dostatoçno ohranyçyt\sq separabel\-
n¥my hyl\bertov¥my prostranstvamy.
Uporqdoçennug paru [ X0 , X1 ] kompleksn¥x hyl\bertov¥x prostranstv X0
y X1 budem naz¥vat\ dopustymoj, esly prostranstva X0 , X1 separabel\n¥ y
spravedlyvo neprer¥vnoe plotnoe vloΩenye
X X1 0O . Esly, krome toho,
u uX X0 1
≤ dlq lgboho u X∈ 1, to dopustymug paru [ X0 , X1 ] nazovem nor-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
802 A. A. MURAÇ
mal\noj. Zametym, çto kaΩdug dopustymug paru [ X0 , X1 ] moΩno sdelat\
normal\noj, zamenyv, naprymer, normu u X1
na πkvyvalentnug normu c u X1
,
hde c — dostatoçno bol\ßoe poloΩytel\noe çyslo.
Pust\ zadana dopustymaq para X = [ X0 , X1 ] hyl\bertov¥x prostranstv. Kak
yzvestno [17, c. 22], dlq X suwestvuet takoj yzometryçeskyj yzomorfyzm J :
X1 ↔ X0 , çto J qvlqetsq samosoprqΩenn¥m poloΩytel\no opredelenn¥m
operatorom v prostranstve X0 s oblast\g opredelenyq X1 . Operator J naz¥-
vaetsq poroΩdagwym dlq par¥ X, πtot operator opredelqetsq paroj X odno-
znaçno.
Oboznaçym çerez B mnoΩestvo vsex poloΩytel\n¥x funkcyj, zadann¥x y
yzmerym¥x po Borelg na poluosy ( 0, + ∞ ) . Pust\ ψ ∈ B . Poskol\ku spektr
operatora J qvlqetsq podmnoΩestvom poluosy ( 0, + ∞ ) , v prostranstve X0
opredelen kak funkcyq ot J operator ψ ( J ) . Oblast\ opredelenyq operatora
ψ ( J ) est\ lynejnoe mnoΩestvo, plotnoe v X0 . Oboznaçym çerez [ X0 , X1 ] ψ yly,
koroçe, Xψ oblast\ opredelenyq operatora ψ ( J ) , nadelennug skalqrn¥m pro-
yzvedenyem hrafyka:
( , )u Xv
ψ
=
( , ) ( , )( ) ( )u J u JX Xv v
0 0
+ ψ ψ .
Prostranstvo Xψ hyl\bertovo separabel\noe.
Budem naz¥vat\ funkcyg ψ ynterpolqcyonn¥m parametrom, esly dlq
proyzvol\n¥x dopustym¥x par X = [ X0 , X1 ] , Y = [ Y0 , Y1 ] hyl\bertov¥x pro-
stranstv y dlq lgboho lynejnoho otobraΩenyq T, zadannoho na X0 , v¥polnq-
etsq sledugwee uslovye. Esly pry j = 0, 1 suΩenye otobraΩenyq T na prost-
ranstvo Xj qvlqetsq ohranyçenn¥m operatorom T : Xj → Yj , to y suΩenye
otobraΩenyq T na prostranstvo Xψ qvlqetsq ohranyçenn¥m operatorom T :
X ψ → Y ψ .
Yn¥my slovamy, funkcyq ψ qvlqetsq ynterpolqcyonn¥m parametrom toh-
da y tol\ko tohda, kohda otobraΩenye X � X ψ qvlqetsq ynterpolqcyonn¥m
funktorom, zadann¥m na katehoryy dopustym¥x par X hyl\bertov¥x prost-
ranstv. V πtom sluçae budem hovoryt\, çto prostranstvo X ψ poluçeno v
rezul\tate ynterpolqcyy par¥ X s funkcyonal\n¥m parametrom ψ.
Klassyçeskyj rezul\tat [17, c. 41] v teoryy ynterpolqcyy hyl\bertov¥x
prostranstv sostoyt v tom, çto stepennaq funkcyq ψ ( t ) = t
θ
porqdka θ ∈ ( 0,
1 ) qvlqetsq ynterpolqcyonn¥m parametrom (v πtom sluçae θ estestvenn¥m ob-
razom yhraet rol\ çyslovoho parametra ynterpolqcyy). Yn¥e, znaçytel\no bo-
lee ßyrokye klass¥ ynterpolqcyonn¥x funkcyonal\n¥x parametrov najden¥
v [6, 11, 18]. Sredy takov¥x nam ponadobytsq sledugwyj klass.
PredloΩenye03.1 [6] (p.@2), [15] (p.@7). PredpoloΩym, çto funkcyq ψ ∈ B :
a) ohranyçena na kaΩdom otrezke [ a, b ] , hde 0 < a < b < + ∞ ;
b) pravyl\no menqgwaqsq po Karamata na + ∞ porqdka θ, hde 0 < θ < 1,
t. e. [16, c. 9]
lim
( )
( )t
t
t→ +∞
ψ λ
ψ
= λ
θ dlq lgboho λ > 0.
Tohda ψ — ynterpolqcyonn¥j parametr, pryçem suwestvuet çyslo cψ > 0
takoe, çto
T X Yψ ψ→ ≤ c T jX Yj jψ max : ,→ ={ }0 1 .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
∏LLYPTYÇESKYE PSEVDODYFFERENCYAL|NÁE OPERATORÁ … 803
Zdes\ X = [ X0 , X1 ] y Y = [ Y0 , Y1 ] — proyzvol\n¥e dopustym¥e par¥ hyl\-
bertov¥x prostranstv, a T — proyzvol\noe lynejnoe otobraΩenye, zadannoe
na X0 y takoe, çto operator¥ T : Xj → Yj ohranyçen¥ pry j = 0, 1. Çyslo
cψ > 0 ne zavysyt ot T , a takΩe ot par X y Y , esly πty par¥ normal\-
n¥e.
Ynterpolqcyq s funkcyonal\n¥m parametrom ustanavlyvaet tesnug svqz\
meΩdu klassyçeskoj sobolevskoj ßkaloj y utoçnennoj ßkaloj prostranstv.
A ymenno, spravedlyvo sledugwee predloΩenye.
PredloΩenye03.2 [7] (p.@3). Pust\ zadan¥ funkcyq ϕ ∈M y poloΩytel\-
n¥e çysla ε, δ . PoloΩym ψ ( t ) = t tε ε δ ε δϕ/( ) /( )( )+ +1
pry t ≥ 1 y ψ ( t ) = ϕ ( 1 )
pry 0 < t < 1. Tohda:
a) funkcyq ψ ∈ B udovletvorqet vsem uslovyqm predloΩenyq 3.1, hde θ =
= ε ε δ/ ( )+ y, sledovatel\no, qvlqetsq ynterpolqcyonn¥m parametrom;
b) dlq proyzvol\noho s ∈R spravedlyv¥ sledugwye ravenstva prost-
ranstv s toçnost\g do πkvyvalentnosty norm v nyx@:
[ ( ) ( )],H Hs n s n− +ε δ
ψR R = Hs n, ( )ϕ
R y [ ( ) ( )],H Hs s− +ε δ
ψΓ Γ = Hs, ( )ϕ Γ . (3.1)
Otmetym, çto soderΩawyesq v formule (3.1) par¥ prostranstv qvlqgtsq
normal\n¥my.
Dalee ponadobqtsq sledugwye dva utverΩdenyq ob ynterpolqcyy fredhol\-
mov¥x operatorov y prqm¥x proyzvedenyj prostranstv [18] (p.@3). Napomnym,
çto lynejn¥j ohranyçenn¥j operator T : X → Y , hde X, Y — banaxov¥ prost-
ranstva, naz¥vaetsq fredhol\mov¥m, esly eho qdro koneçnomerno, a oblast\
znaçenyj T ( X ) zamknuta v Y y ymeet tam koneçnug korazmernost\. Fredhol\-
mov operator T ymeet koneçn¥j yndeks ind T = dim ker T – dim ( Y / T ( X )) .
PredloΩenye03.3. Pust\ zadan¥ dve dopustym¥e par¥ X = [ X0 , X1 ] y
Y = [ Y0 , Y1 ] hyl\bertov¥x prostranstv. Pust\, krome toho, na X 0 zadano
lynejnoe otobraΩenye T , dlq kotoroho suwestvugt ohranyçenn¥e fredhol\-
mov¥ operator¥ T : Xj → Yj , j = 0, 1, ymegwye obwee qdro N y odynakov¥j
yndeks κ . Tohda dlq proyzvol\noho ynterpolqcyonnoho parametra ψ ∈ B oh-
ranyçenn¥j operator T : X ψ → Y ψ fredhol\mov s qdrom N , oblast\g zna-
çenyj Y T Xψ ∩ ( )0 y tem Ωe yndeksom κ.
PredloΩenye03.4. Pust\ zadano koneçnoe çyslo dopustym¥x par
[ ]( ) ( ),X Xk k
0 1 , k = 1, … , r, hyl\bertov¥x prostranstv. Tohda dlq lgboj funk-
cyy ψ ∈ B spravedlyvo
X Xk
k
r
k
k
r
0
1
1
1
( ) ( ),
= =
∏ ∏
ψ
= X Xk k
k
r
0 1
1
( ) ( ),[ ]
=
∏ ψ
s ravenstvom norm.
4. ∏llyptyçeskyj operator v utoçnennoj ßkale. Vernemsq k PDO
A m∈Ψ Γph( ), πllyptyçeskomu na mnohoobrazyy Γ. Spravedlyvo sledugwee
utverΩdenye, soderΩawee v sebe, kak çastn¥j sluçaj, teoremu@1.1.
Teorema04.1. Dlq proyzvol\n¥x parametrov s ∈R , ϕ ∈M operator
A : Hs m+ , ( )ϕ Γ → H
s, ( )ϕ Γ (4.1)
ohranyçen y fredhol\mov. Eho qdro sovpadaet s prostranstvom N, a oblast\
znaçenyj ravna mnoΩestvu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
804 A. A. MURAÇ
f H f Ns∈ = ∈{ }+, ( ) ( ): ,ϕ Γ Γv v0 dlq lgboho . (4.2)
Yndeks operatora (4.1) raven çyslu dim N – dim N
+
y, znaçyt, ne zavysyt ot
s, ϕ.
Dokazatel\stvo. V sluçae ϕ ≡ 1 (sobolevskaq ßkala) πta teorema yz-
vestna [1, c. 262 – 263; 2, c. 25 – 31]. Otsgda obwyj sluçaj ϕ ∈M poluçaetsq
s pomow\g ynterpolqcyy s podxodqwym funkcyonal\n¥m parametrom. A
ymenno, pust\ s ∈R . Ymeem ohranyçenn¥e fredhol\mov¥ operator¥
A : H
s m∓1+ ( )Γ → H
s∓1( )Γ (4.3)
s obwym qdrom N y odynakov¥m yndeksom κ : = dim N – dim N
+
. Pry πtom
A Hs m( ( ))∓1+ Γ = f H f Ns∈ = ∈{ }+∓1 0( ) ( ): ,Γ Γv vdlq lgboho . (4.4)
Prymenym k operatoram (4.3) ynterpolqcyg s funkcyonal\n¥m parametrom ψ
yz predloΩenyq@3.2, hde poloΩym ε = δ = 1. Poluçym ohranyçenn¥j operator
A : [ ( ) ( )],H Hs m s m− + + +1 1Γ Γ ψ → [ ( ) ( )],H Hs s− +1 1Γ Γ ψ ,
kotor¥j v sylu predloΩenyq@3.2 b) sovpadaet s operatorom (4.1). Sledovatel\-
no, sohlasno predloΩenyg@3.3, operator (4.1) fredhol\mov s qdrom N, yndek-
som κ = dim N – dim N
+
y oblast\g znaçenyj
A Hs m( ( )),+ ϕ Γ = H A Hs s m, ( ) ( ( ))ϕ Γ Γ∩ − +1 .
Poslednqq sovpadaet s mnoΩestvom (4.2) v sylu ravenstva (4.4) y vloΩenyq
H Hs s, ( ) ( )ϕ Γ ΓO
−1 .
Teorema@4.1 dokazana.
Sohlasno πtoj teoreme N
+
— defektnoe podprostranstvo operatora (4.1).
Zametym, çto v sylu predloΩenyq@2.1 d) operator
A
+
: H s− , / ( )1 ϕ Γ → H s m− − , / ( )1 ϕ Γ (4.5)
qvlqetsq soprqΩenn¥m k operatoru@(4.1) otnosytel\no form¥ ( , )⋅ ⋅ Γ . Po-
skol\ku PDO A
+
πllyptyçeskyj na Γ, v sylu teorem¥@4.1 ohranyçenn¥j ope-
rator (4.5) fredhol\mov y ymeet qdro N
+
y defektnoe podprostranstvo N.
Otmetym [19; 2, c. 32], çto v sluçae dim Γ ≥ 2 yndeks¥ operatorov (4.1) y
(4.5) ravn¥ nulg. V sluçae dim Γ = 1 yndeks PDO A moΩet b¥t\ nenulev¥m.
Esly operator A dyfferencyal\n¥j, to eho yndeks raven nulg vsehda.
Esly prostranstva N y N
+
tryvyal\n¥, to yz teorem¥@4.1 y teorem¥ Banaxa
ob obratnom operatore sleduet, çto operator (4.1) sovpadaet s topolohyçeskym
yzomorfyzmom (1.1). V obwem sluçae yzomorfyzm udobno zadavat\ s pomow\g
sledugwyx proektorov.
Predstavym prostranstva, v kotor¥x dejstvuet operator (4.1), v vyde prqm¥x
summ zamknut¥x podprostranstv:
Hs m+ , ( )ϕ Γ =
N u H u w w Ns m˙ : ,, ( ) ( )+ ∈ = ∈{ }+ ϕ Γ Γ 0 dlq lgboho ,
Hs, ( )ϕ Γ =
N f H f Ns+ ++ ∈ = ∈{ }˙ : ,, ( ) ( )ϕ Γ Γv v0 dlq lgboho .
Takye razloΩenyq v prqm¥e summ¥ suwestvugt, tak kak prostranstva N y N
+
koneçnomern¥. Oboznaçym çerez P y P
+
kos¥e proektor¥ sootvetstvenno
prostranstv Hs m+ , ( )ϕ Γ y Hs, ( )ϕ Γ na vtor¥e slahaem¥e v πtyx summax. ∏ty
proektor¥ ne zavysqt ot s y ϕ.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
∏LLYPTYÇESKYE PSEVDODYFFERENCYAL|NÁE OPERATORÁ … 805
Teorema04.2. Dlq proyzvol\n¥x parametrov s ∈R , ϕ ∈M suΩenye opera-
tora (4.1) na podprostranstvo P Hs m( ( )),+ ϕ Γ qvlqetsq topolohyçeskym
yzomorfyzmom
A : P Hs m( ( )),+ ϕ Γ ↔ P Hs+ ( ( )),ϕ Γ . (4.6)
Dokazatel\stvo. Sohlasno teoreme@4.1, N — qdro, a P Hs+ ( ( )),ϕ Γ —
oblast\ znaçenyj operatora (4.1). Sledovatel\no, operator (4.6) — byekcyq.
Krome toho, πtot operator ohranyçen. Znaçyt, v sylu teorem¥ Banaxa ob obrat-
nom operatore on qvlqetsq topolohyçeskym yzomorfyzmom.
Yz teorem¥@4.2 v¥tekaet sledugwaq apryornaq ocenka reßenyq πllyptyçe-
skoho uravnenyq Au = f.
Teorema04.3. Dlq proyzvol\n¥x fyksyrovann¥x parametrov s ∈R , ϕ ∈M
y çysla σ < s + m suwestvuet takoe çyslo c > 0, çto dlq lgboho rasprede-
lenyq u Hs m∈ + , ( )ϕ Γ v¥polnqetsq neravenstvo
u s m+ ,ϕ ≤ c Au us,ϕ σ+( ) . (4.7)
Dokazatel\stvo. Pust\ u Hs m∈ + , ( )ϕ Γ . Poskol\ku N — koneçnomernoe
podprostranstvo v prostranstvax Hs m+ , ( )ϕ Γ y Hσ( )Γ , norm¥ v πtyx prost-
ranstvax πkvyvalentn¥ na N. V çastnosty, dlq funkcyy u Pu N− ∈ v¥polnq-
etsq neravenstvo
u Pu s m− + ,ϕ ≤ c u Pu1 − σ
s postoqnnoj c1 > 0, ne zavysqwej ot u. Otsgda poluçaem
u s m+ ,ϕ ≤ u Pu Pus m s m− ++ +, ,ϕ ϕ ≤
≤ c u Pu Pu s m1 − + +σ ϕ, ≤ c c u Pu s m1 2 σ ϕ+ + , ,
hde c2 — norma proektora 1 – P, dejstvugweho v prostranstve Hσ( )Γ . Ytak,
u s m+ ,ϕ ≤ Pu c c us m+ +,ϕ σ1 2 . (4.8)
Dalee, poskol\ku APu = A u , Pu Hs m∈ + , ( )ϕ Γ — proobraz raspredelenyq
Au Hs∈ , ( )ϕ Γ pry topolohyçeskom yzomorfyzme@(4.6). Sledovatel\no,
Pu s m+ ,ϕ ≤ c Au s3 ,ϕ,
hde c3 — norma operatora, obratnoho k (4.6). Otsgda y yz neravenstva (4.8)
neposredstvenno sleduet ocenka (4.7).
Teorema@4.3 dokazana.
Otmetym, çto esly N = { }0 , t. e. uravnenye Au = f ymeet ne bolee odnoho
reßenyq, to velyçyna u σ v pravoj çasty ocenky (4.7) otsutstvuet. Esly Ωe
N ≠ { }0 , to dlq kaΩdoho raspredelenyq u πtu velyçynu moΩno sdelat\ kak
uhodno maloj za sçet v¥bora dostatoçno maloho çysla σ.
5. Lokal\naq hladkost\ reßenyq πllyptyçeskoho uravnenyq. Zadadym-
sq sledugwym voprosom. PredpoloΩym, çto pravaq çast\ πllyptyçeskoho
uravnenyq Au = f ymeet nekotorug lokal\nug hladkost\ v utoçnennoj ßkale
na zadannom otkr¥tom podmnoΩestve Γ0 mnohoobrazyq Γ. Çto tohda moΩno
skazat\ o lokal\noj hladkosty reßenyq u uravnenyq? Otvet na πtot vopros
budet poluçen nyΩe. Rassmotrym snaçala sluçaj, kohda Γ0 = Γ.
Teorema05.1. PredpoloΩym, çto raspredelenye u ∈ ′D ( )Γ qvlqetsq reße-
nyem uravnenyq Au = f na mnohoobrazyy Γ, hde f Hs∈ , ( )ϕ Γ dlq nekotor¥x
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
806 A. A. MURAÇ
parametrov s ∈R y ϕ ∈M . Tohda u Hs m∈ + , ( )ϕ Γ .
Dokazatel\stvo. Poskol\ku mnohoobrazye Γ kompaktno, prostranstvo
′D ( )Γ qvlqetsq obæedynenyem sobolevskyx prostranstv Hσ( )Γ , hde σ ∈ R .
Sledovatel\no, dlq raspredelenyq u ∈ ′D ( )Γ suwestvuet takoe çyslo σ , çto
u H m∈ +σ ( )Γ . V sylu teorem¥@4.1 (hde polahaem s = σ y ϕ ≡ 1) raspredelenye
f = Au udovletvorqet uslovyg ( ),f v Γ = 0 dlq lgboj funkcyy v ∈ +N . Ot-
sgda y yz uslovyq f Hs∈ , ( )ϕ Γ , sohlasno teoreme@4.1, v¥tekaet vklgçenye
f A Hs m∈ +( ( )),ϕ Γ . Takym obrazom, na mnohoobrazyy Γ narqdu s ravenstvom
Au = f v¥polnqetsq takΩe ravenstvo A v = f dlq nekotoroho raspredelenyq
v ∈ +Hs m, ( )ϕ Γ . Sledovatel\no, A ( u – v ) = 0 na Γ y, sohlasno teoreme@4.1,
spravedlyvo
w u N C Hs m: ( ) ( ),= − ∈ ⊂ ⊂∞ +v Γ Γϕ .
Znaçyt, u w Hs m= + ∈ +v , ( )ϕ Γ , çto y trebovalos\ dokazat\.
Rassmotrym teper\ obwyj sluçaj, kohda Γ0 — proyzvol\noe otkr¥toe
nepustoe podmnoΩestvo mnohoobrazyq Γ. Oboznaçym
Hs
loc
, ( )ϕ Γ0 : = f f H Cs∈ ′ ∈ ∈ ⊂{ }∞D ( ) ( ) ( ): ,,Γ Γ Γ Γχ χ χϕ
dlq lgboho supp 0 .
Teorema05.2. PredpoloΩym, çto raspredelenye u ∈ ′D ( )Γ qvlqetsq reße-
nyem uravnenyq Au = f na mnoΩestve Γ0
, hde f ∈ Hs
loc
, ( )ϕ Γ0 dlq nekotor¥x
parametrov s ∈R y ϕ ∈M . Tohda u ∈ Hs m
loc
+ , ( )ϕ Γ0 .
Dokazatel\stvo. PokaΩem snaçala, çto yz uslovyq f ∈ Hs
loc
, ( )ϕ Γ0 v¥tekaet
sledugwee svojstvo pov¥ßenyq lokal\noj hladkosty reßenyq uravnenyq Au =
= f : dlq kaΩdoho nomera r ≥ 1 spravedlyva ymplykacyq
u Hs m r∈ + −
loc
, ( )ϕ Γ0 ⇒ u Hs m r∈ + − +
loc
1
0
, ( )ϕ Γ . (5.1)
Proyzvol\no v¥berem takye funkcyy χ , η ∈ ∞C ( )Γ , çtob¥ supp χ, supp η ⊂
⊂ Γ0 y η = 1 v okrestnosty supp χ . Perestavlqq PDO A y operator umno-
Ωenyq na funkcyg χ , moΩem zapysat\ sledugwye ravenstva:
A χ u = A χ η u = χ A η u + A ′ η u = χ A u + χ A ( η – 1 ) u + A ′ η u =
= χ f + χ A ( η – 1 ) u + A ′ η u na Γ. (5.2)
Zdes\ A ′ — kommutator PDO A y operatora umnoΩenyq na funkcyg χ .
Poskol\ku A ′ ∈ Ψ Γph
m−1( ) , suwestvuet ohranyçenn¥j operator
A ′ : Hs m r+ − , ( )ϕ Γ → Hs r− +1, ( )ϕ Γ . (5.3)
∏to poluçaem s pomow\g ynterpolqcyy yz sledugweho yzvestnoho utverΩde-
nyq [2, c. 23]: PDO klassa Ψ Γph
m−1( ) qvlqetsq ohranyçenn¥m operatorom yz
prostranstva Hσ( )Γ v prostranstvo H mσ− +1( )Γ pry lgbom σ ∈ R . V samom
dele, voz\mem zdes\ σ : = s ∓ 1 + m – r y rassmotrym ohranyçenn¥e operator¥
A ′ : H
s m r∓1+ − ( )Γ → H
s r∓1 1− + ( )Γ .
Prymenym k nym ynterpolqcyg s funkcyonal\n¥m parametrom ψ yz teorem¥
3.2, hde prymem ε = δ = 1. Poluçym ohranyçenn¥j operator
A ′ : [ ( ) ( )],H Hs m r s m r− + − + + −1 1Γ Γ ψ → [ ( ) ( )],H Hs r s r− − + + − +1 1 1 1Γ Γ ψ ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
∏LLYPTYÇESKYE PSEVDODYFFERENCYAL|NÁE OPERATORÁ … 807
kotor¥j sohlasno punktu b) πtoj teorem¥ sovpadaet s operatorom (5.3).
ProdolΩym v¥vod formul¥ (5.1). V sylu (5.3) moΩem zapysat\ sledugwee:
u Hs m r∈ + −
loc
, ( )ϕ Γ0 ⇒ η ϕu Hs m r∈ + − , ( )Γ ⇒ ′ ∈ − +A u Hs rη ϕ1, ( )Γ . (5.4)
Na osnovanyy uslovyq f Hs∈ loc
, ( )ϕ Γ0 y v sylu neravenstva – r + 1 ≤ 0 ymeem
χ ϕf Hs∈ , ( )Γ O Hs r− +1, ( )ϕ Γ . (5.5)
Krome toho, tak kak nosytely funkcyj χ y η – 1 ne peresekagtsq, to
χ η ϕA u C Hs r( ) ( ) ( ),− ∈ ⊂∞ − +1 1Γ Γ . (5.6)
Takym obrazom, yz formul (5.2) y (5.4) – (5.6) sleduet ymplykacyq
u Hs m r∈ + −
loc
, ( )ϕ Γ0 ⇒ A u Hs rχ ϕ∈ − +1, ( )Γ . (5.7)
Dalee, sohlasno teoreme@5.1,
A u Hs rχ ϕ∈ − +1, ( )Γ ⇒ χ ϕu Hs r m∈ − + +1 , ( )Γ . (5.8)
Formul¥ (5.7), (5.8) vlekut ymplykacyg (5.1) vsledstvye proyzvol\nosty v¥bo-
ra funkcyy χ ∈ ∞C ( )Γ , udovletvorqgwej uslovyg supp χ ⊂ Γ0 .
Teper\ s pomow\g (5.1) lehko pokazat\, çto u Hs m∈ +
loc
, ( )ϕ Γ0 . Poskol\ku u
— raspredelenye na kompakte Γ, suwestvuet takoj dostatoçno bol\ßoj nomer
r0 , çto
u Hs m r∈ + − +0 1( )Γ ⊂ Hs m r+ − 0 , ( )ϕ Γ ⊂ Hs m r
loc
+ − 0
0
, ( )ϕ Γ .
Otsgda, prymenqq ymplykacyg (5.1) posledovatel\no dlq r = r0 , r0 – 1, … , 1,
poluçaem trebuemoe:
u ∈ Hs m r
loc
+ − 0
0
, ( )ϕ Γ ⇒ u ∈ Hs m r
loc
+ − +0 1
0
, ( )ϕ Γ ⇒ … ⇒ u ∈ Hs m
loc
+ , ( )ϕ Γ0 .
Teorema@5.2 dokazana.
Teorema@5.2 utoçnqet prymenytel\no k ßkale prostranstv { ( ):, ,H ss ϕ Γ ∈R
ϕ ∈M} yzvestn¥e utverΩdenyq o pov¥ßenyy lokal\noj hladkosty reßenyq
πllyptyçeskoho uravnenyq (sm., naprymer, [2, 3, 20] y pryvedennug tam byblyo-
hrafyg). Pry πtom, kak vydym, utoçnennaq lokal\naq hladkost\ ϕ pravoj
çasty πllyptyçeskoho uravnenyq nasleduetsq eho reßenyem. Teorema@5.2 v
soçetanyy s predloΩenyem@2.1 h) pozvolqet ustanovyt\ nalyçye klassyçeskyx
proyzvodn¥x u reßenyq πllyptyçeskoho uravnenyq.
Teorema05.3. PredpoloΩym, çto raspredelenye u ∈ ′D ( )Γ qvlqetsq reße-
nyem uravnenyq Au = f na mnoΩestve Γ0
, hde f H m n∈ − +
loc
ρ ϕ/ , ( )2
0Γ dlq neko-
tor¥x celoho çysla ρ ≥ 0 y funkcyonal\noho parametra ϕ ∈M , udovlet-
vorqgweho neravenstvu (2.2). Tohda u C∈ ρ( )Γ0 .
Dokazatel\stvo. Sohlasno teoreme@5.2, uslovye f ∈ H m n
loc
ρ ϕ− + / , ( )2
0Γ vle-
çet svojstvo u ∈ H n
loc
ρ ϕ+ / , ( )2
0Γ . Poslednee oznaçaet, çto χ u ∈ H nρ ϕ+ / , ( )2 Γ dlq
lgboj funkcyy χ ∈ C∞( )Γ , u kotoroj supp χ ⊂ Γ0 . Dalee, poskol\ku funk-
cyonal\n¥j parametr ϕ ∈M udovletvorqet neravenstvu (2.2), v sylu predlo-
Ωenyq 2.1 h) spravedlyvo vloΩenye H nρ ϕ+ / , ( )2 Γ O Cρ( )Γ . Takym obrazom,
χ u@∈ Cρ( )Γ . Otsgda, fyksyruq proyzvol\nug toçku x ∈ Γ0 y v¥byraq funk-
cyg χ, ravnug edynyce v okrestnosty πtoj toçky, poluçaem, çto raspredele-
nye u sovpadaet v okrestnosty toçky x s funkcyej klassa Cρ . Sledovatel\-
no, u C∈ ρ( )Γ0 , çto y trebovalos\ dokazat\.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
808 A. A. MURAÇ
Otmetym, çto esly yspol\zovat\ πtu teoremu lyß\ dlq sobolevskoj ßkal¥
prostranstv, to vmesto uslovyq f H m n∈ − +
loc
ρ ϕ/ , ( )2
0Γ sleduet potrebovat\, çto-
b¥ f ∈ H m n
loc
ρ ε− + +/ ( )2
0Γ dlq nekotoroho çysla ε > 0, t. e. zav¥syt\ osnovnug
hladkost\ pravoj çasty uravnenyq, çto suwestvenno ohrublqet rezul\tat.
Yz teorem¥@5.3 dlq ρ = m neposredstvenno v¥tekaet sledugwee dostatoç-
noe uslovye klassyçnosty reßenyq πllyptyçeskoho dyfferencyal\noho urav-
nenyq.
Sledstvye05.1. Pust\ A — πllyptyçeskyj lynejn¥j dyfferencyal\n¥j
operator na mnohoobrazyy Γ porqdka m s beskoneçno hladkymy kompleksn¥-
my koπffycyentamy. PredpoloΩym, çto raspredelenye u ∈ ′D ( )Γ qvlqetsq
(obobwenn¥m) reßenyem uravnenyq A u = f na mnoΩestve Γ 0
, h d e f@∈
∈ Hn
loc
/ , ( )2
0
ϕ Γ dlq nekotoroho funkcyonal\noho parametra ϕ ∈M , udovlet-
vorqgweho neravenstvu (2.2). Tohda u ∈ Cm( )Γ0 , t. e. reßenye u qvlqetsq
klassyçeskym na mnoΩestve Γ0
.
6. ∏llyptyçeskyj PDO s parametrom. ∏llyptyçeskye operator¥ y kra-
ev¥e zadaçy s parametrom yzuçalys\ v rabotax Í. Ahmona, L. Nyrenberha [21],
M. S. Ahranovyça, M. Y. Vyßyka [22], A. N. KoΩevnykova [23] y yx posledovate-
lej (sm. [2, 24, 25] y pryvedennug tam byblyohrafyg). Ymy b¥lo ustanovleno,
çto pry dostatoçno bol\ßyx po modulg znaçenyqx kompleksnoho parametra πl-
lyptyçeskyj operator qvlqetsq yzomorfyzmom v podxodqwyx parax sobolev-
skyx prostranstv, pryçem norma operatora dopuskaet nekotorug dvustoronngg
ocenku s postoqnn¥my, ne zavysqwymy ot parametra. M¥ pokaΩem, çto dlq πl-
lyptyçeskoho PDO s parametrom na zamknutom mnohoobrazyy spravedlyv ana-
loh πtoho rezul\tata v utoçnennoj ßkale prostranstv. Otmetym, çto πllypty-
çeskaq kraevaq zadaça s parametrom (dlq dyfferencyal\noho uravnenyq) v
utoçnennoj ßkale prostranstv yzuçalas\ v rabote [15].
Pry opredelenyy πllyptyçeskoho PDO s parametrom budem sledovat\ obzo-
ru [2, c. 57]. Proyzvol\no zafyksyruem çysla m > 0 y q ∈ N . Rassmotrym
PDO A ( λ ) klassa Ψ Γph
mq( ), kotor¥j zavysyt ot kompleksnoho parametra λ
sledugwym obrazom:
A ( λ ) = λq j
j
j
q
A−
=
∑
0
. (6.1)
Zdes\ Aj ∈ Ψ Γph
mj( ) dlq kaΩdoho nomera j = 0, … , q, pryçem A0 — operator
umnoΩenyq na nekotorug funkcyg a0 ∈ C∞( )Γ . (Poskol\ku m ( q – j ) + ord Aj =
= ord A ( λ ) , v formule (6.1) parametru λ prypys¥vaetsq ves m . )
Pust\ K — fyksyrovann¥j zamknut¥j uhol na kompleksnoj ploskosty s
verßynoj v naçale koordynat (ne ysklgçaetsq sluçaj, kohda K v¥roΩdaetsq v
luç). PredpoloΩym, çto PDO A ( λ ) qvlqetsq πllyptyçeskym s parametrom v
uhle K, t. e.
λ ξq j
j
j
q
a x−
=
∑ , ( ),0
0
≠ 0 dlq lgb¥x x ∈ Γ
, ξ ∈ Tx
∗Γ , λ ∈ K takyx, çto ( ),ξ λ ≠ 0.
(6.2)
Zdes\ a xj, ( ),0 ξ — hlavn¥j symvol PDO Aj ; pry πtom a x0 0, ( ),ξ ≡ a0 ( x ) , a
funkcyy a x1 0, ( ),ξ , a x2 0, ( ),ξ , … sçytagtsq ravn¥my 0 pry ξ = 0 (takoe do-
puwenye obuslovleno tem, çto hlavn¥e symvol¥ yznaçal\no ne opredelen¥ pry
ξ = 0 ).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
∏LLYPTYÇESKYE PSEVDODYFFERENCYAL|NÁE OPERATORÁ … 809
Naprymer, dlq PDO A – λ I
, hde A ∈ Ψ Γph
m ( )
, a I — toΩdestvenn¥j opera-
tor, uslovye πllyptyçnosty s parametrom v uhle K oznaçaet, çto a x0( ),ξ ∉ K
pry ξ ≠ 0. Zdes\, kak y preΩde, a x0( ),ξ — hlavn¥j symvol PDO A . ∏tot
prymer vaΩen v spektral\noj teoryy PDO.
Yz πllyptyçnosty s parametrom v uhle K PDO A ( λ ) v¥tekaet, çto pry
kaΩdom fyksyrovannom λ ∈ C πtot PDO πllyptyçeskyj na H. V samom dele,
hlavn¥j symvol PDO A ( λ ) raven a xq, ( ),0 ξ dlq kaΩdoho λ y, kak πto sleduet
yz (6.2) pry λ = 0, udovletvorqet neravenstvu a xq, ( ),0 ξ ≠ 0 dlq lgb¥x x ∈ Γ
y ξ ∈ Tx
∗Γ \ { }0 . Poslednee oznaçaet, çto PDO A ( λ ) πllyptyçeskyj na H. Ta-
kym obrazom, sohlasno teoreme@4.1, dlq proyzvol\n¥x λ ∈ C, s ∈ R, ϕ ∈M
operator
A ( λ ) : Hs mq+ , ( )ϕ Γ → Hs, ( )ϕ Γ (6.3)
ohranyçen y fredhol\mov. Bolee toho, poskol\ku A ( λ ) — πllyptyçeskyj s pa-
rametrom PDO, on ymeet sledugwye dopolnytel\n¥e svojstva.
Teorema06.1. 1. Suwestvuet takoe çyslo λ 0 > 0, çto dlq kaΩdoho znaçe-
nyq parametra λ ∈ K
, udovletvorqgweho uslovyg λ λ≥ 0 , pry lgb¥x
s ∈R , ϕ ∈M spravedlyv topolohyçeskyj yzomorfyzm
A ( λ ) : Hs mq+ , ( )ϕ Γ ↔ Hs, ( )ϕ Γ . (6.4)
2. Dlq proyzvol\n¥x fyksyrovann¥x parametrov s ∈R , ϕ ∈M najdetsq
çyslo c ≥ 1 takoe, çto
c A u s
−1 ( ) ,λ ϕ ≤ u us mq
q
s+ +( ), ,ϕ ϕλ ≤ c A u s( ) ,λ ϕ (6.5)
dlq lgboho λ ∈ K
, λ λ≥ 0 , y proyzvol\noho raspredelenyq u Hs mq∈ + , ( )ϕ Γ .
V sluçae ϕ ≡ 1 (sobolevskye prostranstva) πta teorema yzvestna [2, c. 58].
Otmetym,@çto levoe neravenstvo v dvustoronnej ocenke (6.5) spravedlyvo bez
predpoloΩenyq ob πllyptyçnosty s parametrom PDO A ( λ ) . Ono tryvyal\no
sleduet yz formul¥ (6.1) y ynterpolqcyonnoho neravenstva (sr. s [22, c. 62])
u s mj+ ≤ λ λj q
s mq
j
su u−
+ + , j = 0, … , q.
DokaΩem otdel\no punkt¥ 1 y 2 teorem¥@6.1.
Dokazatel\stvo punkta01. Pust\ s ∈R y ϕ ∈M . Poskol\ku dlq kaΩ-
doho λ ∈ C PDO A ( λ ) πllyptyçeskyj na Γ, v sylu teorem¥@4.1 ohranyçenn¥j
fredhol\mov operator (6.3) ymeet ne zavysqwye ot s y ϕ koneçnomern¥e qdro
N ( λ ) y defektnoe podprostranstvo N
+
( λ ) . No, kak otmeçalos\ v¥ße, v slu-
çae sobolevskoj ßkal¥ suwestvuet takoe çyslo λ0 > 0, çto dlq kaΩdoho λ @∈
∈ K
, udovletvorqgweho uslovyg λ λ≥ 0 , spravedlyv topolohyçeskyj yzo-
morfyzm
A ( λ ) : Hs mq+ ( )Γ ↔ Hs( )Γ .
Sledovatel\no, dlq ukazann¥x λ prostranstva N ( λ ) y N
+
( λ ) tryvyal\n¥,
t. e. lynejn¥j ohranyçenn¥j operator@(6.3) qvlqetsq byekcyej. Otsgda po
teoreme Banaxa ob obratnom operatore poluçaem topolohyçeskyj yzomor-
fyzm@(6.4). Punkt 1 dokazan.
Punkt 2 dokaΩem s pomow\g ynterpolqcyy s funkcyonal\n¥m parametrom.
Pry πtom vospol\zuemsq sledugwej ynterpolqcyonnoj lemmoj (sr. s [15] (lem-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
810 A. A. MURAÇ
ma@7.2)).
Pust\ zadan¥ funkcyq ϕ ∈M y çysla σ ∈ R , ρ > 0, θ > 0. Oboznaçym
çerez Hσ ϕ ρ θ, ( ), ,Γ prostranstvo Hσ ϕ, ( )Γ , kotoroe nadeleno normoj, zavysq-
wej ot çyslov¥x parametrov ρ y θ sledugwym obrazom:
u Hσ ϕ ρ θ, ( , , )Γ : = u uσ ϕ σ θ ϕρ, ,
/2 2 2 1 2
+( )− .
∏to opredelenye korrektno v sylu neprer¥vnoho vloΩenyq Hσ ϕ, ( )Γ O
O Hσ θ ϕ− , ( )Γ . Otsgda v¥tekaet, çto norm¥ v prostranstvax Hσ ϕ ρ θ, ( ), ,Γ y
Hσ ϕ, ( )Γ πkvyvalentn¥. Norma v prostranstve Hσ ϕ ρ θ, ( ), ,Γ poroΩdena ska-
lqrn¥m proyzvedenyem
( ), , ( , , )
u u
H1 2 σ ϕ ρ θΓ : = ( ) ( ), ,, ,u u u u1 2
2
1 2σ ϕ σ θ ϕρ+ − .
Sledovatel\no, πto prostranstvo hyl\bertovo. Kak y preΩde, v sluçae ϕ ≡ 1
yndeks ϕ v oboznaçenyqx opuskaem. Vozvrawaqs\ k formulyrovke teorem¥@6.1,
zametym, çto
u H mqs mq q+ , ( , , )ϕ λΓ ≤ u us mq
q
s+ +, ,ϕ ϕλ ≤ 2 u H mqs mq q+ , ( , , )ϕ λΓ . (6.6)
V sylu predloΩenyq@3.2 prostranstva
[ ( ) ( )], , , , ,H Hσ ε σ δ
ψρ θ ρ θ− +Γ Γ y Hσ ϕ ρ θ, ( ), ,Γ , ε > 0, δ > 0,
ravn¥ s toçnost\g do πkvyvalentn¥x norm. Okaz¥vaetsq, v ocenkax norm πtyx
prostranstv postoqnn¥e moΩno v¥brat\ tak, çtob¥ ony ne zavysely ot para-
metra ρ.
Lemma06.1. Pust\ σ ∈ R , ϕ ∈M y zadan¥ poloΩytel\n¥e çysla θ , ε, δ .
Tohda suwestvuet çyslo c0 ≥ 1 takoe, çto dlq proyzvol\n¥x ρ > 0, u @∈
∈ Hσ ϕ, ( )Γ spravedlyva dvustoronnqq ocenka norm
c u H0
1−
σ ϕ ρ θ, ( , , )Γ ≤ u H H[ ( , , ), ( , , )]σ ε σ δ
ψρ θ ρ θ− +Γ Γ ≤ c u H0 σ ϕ ρ θ, ( , , )Γ . (6.7)
Zdes\ ψ — ynterpolqcyonn¥j parametr yz formulyrovky predloΩenyq@3.2.
Dokazatel\stvo. Pust\ parametr ρ > 0. Ustanovym snaçala analoh ocen-
ky (6.7) dlq prostranstv raspredelenyj v R
n
, a zatem s pomow\g operatorov
„rasprqmlenyq” y „sklejky” perejdem k prostranstvam raspredelenyj na mno-
hoobrazyy Γ (sr. s dokazatel\stvom lemm¥@7.2 yz rabot¥ [15]). Oboznaçym çe-
rez H nσ ϕ ρ θ, ( ), ,R prostranstvo H nσ ϕ, ( )R , nadelennoe hyl\bertovoj normoj
u H nσ ϕ ρ θ, ( , , )R
: = u u
H Hn nσ ϕ σ θ ϕρ, ,( ) ( )
/
R R
2 2 2
1 2
+( )− =
= 〈 〉 + 〈 〉 〈 〉
−∫ ξ ρ ξ ϕ ξ ξ ξσ θ2 2 2 2 2
1 2
1( ) ( ) ˆ( )
/
u d
n
R
. (6.8)
Dlq kaΩdoho fyksyrovannoho ρ > 0 πta norma πkvyvalentna norme v pro-
stranstve H nσ ϕ, ( )R . Sledovatel\no, prostranstvo H nσ ϕ ρ θ, ( ), ,R hyl\berto-
vo. Analohyçno opredelqgtsq prostranstva H nσ ε ρ θ− ( ), ,R y H nσ δ ρ θ+ ( ), ,R .
V sylu predloΩenyq@3.2 prostranstva
[ ( ) ( )], , , , ,H Hn nσ ε σ δ
ψρ θ ρ θ− +
R R y H nσ ϕ ρ θ, ( ), ,R (6.9)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
∏LLYPTYÇESKYE PSEVDODYFFERENCYAL|NÁE OPERATORÁ … 811
ravn¥ s toçnost\g do πkvyvalentn¥x norm pry kaΩdom fyksyrovannom ρ > 0.
PokaΩem, çto v ocenkax norm πtyx prostranstv moΩno vzqt\ postoqnn¥e, ne za-
vysqwye ot parametra ρ.
V¥çyslym normu v pervom prostranstve (6.9) (sr. s [7, c. 354}). Oboznaçym
çerez J psevdodyfferencyal\n¥j operator v prostranstve R
n
s symvolom
〈 〉 +ξ ε δ , hde arhument ξ ∈ R
n
. Neposredstvenno proverqetsq, çto operator J qv-
lqetsq poroΩdagwym dlq par¥ prostranstv [ ( ) ( )], , , , ,H Hn nσ ε σ δρ θ ρ θ− +
R R .
S pomow\g yzometryçeskoho yzomorfyzma
F : H nσ ε ρ θ− ( ), ,R ↔ L dn
2
2 2 21( ( ) ), ( )
R 〈 〉 + 〈 〉− −ξ ρ ξ ξσ ε θ ,
hde F — preobrazovanye Fur\e, operator J pryvodytsq k vydu umnoΩenyq na
funkcyg 〈 〉 +ξ ε δ , a operator ψ ( J ) — k vydu umnoΩenyq na funkcyg
ψ ξ ε δ( )〈 〉 + = 〈 〉 〈 〉ξ ϕ ξε ( ). Sledovatel\no,
u
H Hn n[ ( , , ), ( , , )]σ ε σ δ
ψρ θ ρ θ− +
R R
2 = ψ σ ε σ ερ θ ρ θ
( ) ( , , ) ( , , )
J u uH H
n n− −+
R R
2 2 =
= 〈 〉 + 〈 〉 〈 〉 〈 〉− −∫ ξ ρ ξ ξ ϕ ξ ξ ξσ ε θ ε2 2 2 2
1( )( ) ( ) ˆ( )u d
n
R
+
+ 〈 〉 + 〈 〉− −∫ ξ ρ ξ ξ ξσ ε θ2 2 2 21( )( ) ˆ( )u d
n
R
=
= 〈 〉 + 〈 〉 〈 〉 + 〈 〉 〈 〉− − −∫ ξ ρ ξ ϕ ξ ξ ϕ ξ ξ ξσ θ ε2 2 2 2 2 2 21 1( ) ( ) ( ( )) ˆ( )u d
n
R
.
Poskol\ku ϕ ∈M , ε > 0, spravedlyvo [16, c. 24] t
ε
ϕ ( t ) → ∞ pry t → + ∞ y
poπtomu
c1 : = sup :{ ( ) }1 2 2+ 〈 〉 〈 〉 ∈− −ξ ϕ ξ ξε
R
n < ∞ .
Otsgda v sylu (6.8) poluçaem ocenku
u H nσ ϕ ρ θ, ( , , )R
≤ u H Hn n[ ( , , ), ( , , )]σ ε σ δ
ψρ θ ρ θ− +
R R
≤ c u H n1 σ ϕ ρ θ, ( , , )R
(6.10)
dlq proyzvol\n¥x u ∈ H nσ ϕ, ( )R y ρ > 0.
V¥vedem teper\ neravenstvo (6.7) yz ocenky (6.10). Obratymsq k opredele-
nyg utoçnennoj ßkal¥ na Γ, pryvedennomu v p.@2, y rassmotrym lynejnoe
otobraΩenye „rasprqmlenyq” mnohoobrazyq Γ :
T f f fr r: ( ) , , ( )( )� � �χ α χ α1 1 … , f ∈ ′D ( )Γ .
Neposredstvenno proverqetsq, çto πto otobraΩenye zadaet yzometryçeskye ope-
rator¥
T H H n
j
r
: , , , ,, ,( ) ( )σ ϕ σ ϕρ θ ρ θΓ →
=
∏ R
1
(6.11)
y
T H Hs s n
j
r
: , , , ,( ) ( )Γ ρ θ ρ θ→
=
∏ R
1
, s ∈ − +{ , }σ ε σ δ . (6.12)
Prymenyv k operatoram (6.12) ynterpolqcyg s parametrom ψ , poluçym ohrany-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
812 A. A. MURAÇ
çenn¥j operator
T H H H Hn
j
r
n
j
r
: , , , , , , , , , ,[ ( ) ( )] ( ) ( )σ ε σ δ
ψ
σ ε σ δ
ψ
ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ− + −
=
+
=
→
∏ ∏Γ Γ R R
1 1
.
(6.13)
Poskol\ku zapysann¥e zdes\ par¥ prostranstv normal\n¥, v sylu predloΩe-
nyq@3.1 norma operatora (6.13) ne prev¥ßaet nekotoroho çysla cψ
, zavysqweho
lyß\ ot funkcyy ψ y, znaçyt, ne zavysqweho ot parametra ρ. Otsgda na os-
novanyy predloΩenyq@3.4 y levoj çasty dvustoronnej ocenky (6.10) poluçaem
ohranyçenn¥j operator
T H H H n
j
r
: , , , , , , ,[ ( ) ( )] ( ),σ ε σ δ
ψ
σ ϕρ θ ρ θ ρ θ− +
=
→ ∏Γ Γ R
1
s normoj ≤ cψ
. (6.14)
Dalee, narqdu s otobraΩenyem T rassmotrym lynejnoe otobraΩenye „sklejky”
K w w wr j j j j
j
r
: ( , , ) ( )( )1
1
1
… −
=
∑� �Θ η α ,
hde w1 , … , wr — raspredelenyq v R
n
, funkcyq η j
nC∈ ∞( )R fynytna y rav-
na@@1 na mnoΩestve α χj j
−1( )supp , a Θ j — operator prodolΩenyq nulem na Γ.
Operator K qvlqetsq prav¥m obratn¥m k T :
KTf = Θ j j j j j
j
r
f( )(( ) )η χ α α� � −
=
( )∑ 1
1
= Θ j j j j
j
r
f( )χ α α� � −
=
( )∑ 1
1
= χ j
j
r
f
=
∑
1
= f
dlq proyzvol\noho raspredelenyq f ∈ ′D ( )Γ . Yz svojstv prostranstv
Soboleva sleduet ohranyçennost\ operatora
K H Hs n
j
r
s: ( ) ( )R
=
∏ →
1
Γ pry lgbom s ∈ R . (6.15)
Vzqv zdes\ s ∈ − +{ , }β ε β δ y prymenyv ynterpolqcyg s parametrom ψ , v sylu
predloΩenyj@3.2 y 3.4 poluçym ohranyçenn¥j operator
K H Hn
j
r
: , ,( ) ( )β ϕ β ϕ
R
=
∏ →
1
Γ pry lgbom β ∈ R . (6.16)
Pust\ c2 — maksymum norm operatorov (6.15), hde
s ∈ − − − + + −{ , , , }σ ε σ ε θ σ δ σ δ θ ,
y operatorov (6.16), hde β σ σ θ∈ −{ , }. Kak vydym, çyslo c2 ne zavysyt ot para-
metra ρ. Neposredstvenno proverqetsq, çto norm¥ operatorov
K H Hn
j
r
: , , , ,, ,( ) ( )σ ϕ σ ϕρ θ ρ θR
=
∏ →
1
Γ (6.17)
y
K H Hs n
j
r
s: , , , ,( ) ( )R ρ θ ρ θ
=
∏ →
1
Γ , s ∈ − +{ , }σ ε σ δ , (6.18)
ne prev¥ßagt çysla c2
. Prymenyv k operatoram (6.18) ynterpolqcyg s para-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
∏LLYPTYÇESKYE PSEVDODYFFERENCYAL|NÁE OPERATORÁ … 813
metrom ψ, poluçym ohranyçenn¥j operator
K H H H Hn
j
r
n
j
r
: , , , , , , , , , ,( ) ( ) [ ( ) ( )]σ ε σ δ
ψ
σ ε σ δ
ψρ θ ρ θ ρ θ ρ θ−
=
+
=
− +∏ ∏
→R R
1 1
Γ Γ ,
norma kotoroho, v sylu predloΩenyq@3.1, ne prev¥ßaet çysla c cψ 2 . Otsgda na
osnovanyy predloΩenyq@3.4 y pravoj çasty dvustoronnej ocenky (6.10) poluça-
em ohranyçenn¥j operator
K H H Hn
j
r
: , , , , , , ,, ( ) [ ( ) ( )]σ ϕ σ ε σ δ
ψρ θ ρ θ ρ θR
=
− +∏ →
1
Γ Γ s normoj ≤ c3
,
(6.19)
hde çyslo c3 : = c c c1 2ψ ne zavysyt ot parametra ρ.
Teper\, poskol\ku K T = I — toΩdestvenn¥j operator, v sylu (6.11)
(yzometryçeskyj operator) y (6.19) ymeem ohranyçenn¥j operator
I KT H H H= → − +: , , , , , , ,, ( ) [ ( ) ( )]σ ϕ σ ε σ δ
ψρ θ ρ θ ρ θΓ Γ Γ s normoj ≤ c3
.
Krome toho, v sylu (6.14) y (6.17) (norma vtoroho operatora ne prev¥ßaet çysla
c2
) ymeem ewe odyn ohranyçenn¥j operator
I KT H H H= →− +: , , , , , , ,[ ( ) ( )] ( ),σ ε σ δ
ψ
σ ϕρ θ ρ θ ρ θΓ Γ Γ s normoj ≤ c cψ 2
.
Otsgda neposredstvenno sleduet dvustoronnqq ocenka (6.7), hde çyslo c0 : =
: = max { 1, c3
, c2
cψ } ne zavysyt ot parametra ρ.
Lemma@6.1 dokazana.
ProdolΩym dokazatel\stvo punkta@2 teorem¥@6.1. Pust\ s ∈R y ϕ ∈M .
Napomnym, çto teorema@6.1 yzvestna v sluçae sobolevskoj ßkal¥ [2, c. 58]. Zna-
çyt, suwestvuet çyslo λ0 > 0 takoe, çto dlq kaΩdoho znaçenyq parametra λ@∈
∈ K
, udovletvorqgweho uslovyg λ λ≥ 0 , spravedlyv¥ topolohyçeskye yzo-
morfyzm¥
A H mq Hs mq q s( ) ( ) ( ): , ,λ λ∓ ∓1 1+ ↔Γ Γ , (6.20)
pryçem norm¥ operatora (6.20) y obratnoho operatora ohranyçen¥ ravnomerno
po parametru λ (sr. s formuloj (6.6)). Pust\ ψ — ynterpolqcyonn¥j para-
metr yz formulyrovky predloΩenyq@3.2, hde poloΩym ε = δ = 1. Prymenyv
ynterpolqcyg s πtym parametrom k operatoru (6.20), poluçym topolohyçeskyj
yzomorfyzm
A H mq H mq H Hs mq q s mq q s s( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]: , , , , , ,λ λ λ ψ ψ
− + + + − +↔1 1 1 1Γ Γ Γ Γ .
(6.21)
Pry πtom v sylu predloΩenyq@3.1 norm¥ operatora (6.21) y obratnoho k nemu
operatora ohranyçen¥ ravnomerno po parametru λ . Ostaetsq prymenyt\ lem-
mu@6.1, hde polahaem
σ : = s + mq, ρ : = λ q , θ : = mq,
y predloΩenye@3.2. Tohda operator (6.21) vleçet topolohyçeskyj yzomorfyzm
A H mq Hs mq q s( ) ( ) ( ): , ,, ,λ λϕ ϕ+ ↔Γ Γ (6.22)
takoj, çto norm¥ operatora (6.22) y obratnoho operatora ohranyçen¥ ravnomer-
no po parametru λ . ∏to v sylu neravenstva (6.6) y oznaçaet dvustoronngg
ocenku (6.5), hde çyslo c ne zavysyt ot parametra λ . Punkt@2 dokazan.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
814 A. A. MURAÇ
1. Xermander L. Analyz lynejn¥x dyfferencyal\n¥x operatorov s çastn¥my proyzvodn¥-
my: V 4 t. – T. 3. Psevdodyfferencyal\n¥e operator¥. – M.: Myr, 1987. – 696 s.
2. Ahranovyç M. S. ∏llyptyçeskye operator¥ na zamknut¥x mnohoobrazyqx // Ytohy nauky y
texnyky. Sovr. probl. matematyky. Fundam. napravlenyq / VYNYTY. – 1990. – 63. –
S.@5 – 129.
3. Xermander L. Lynejn¥e dyfferencyal\n¥e operator¥ s çastn¥my proyzvodn¥my. – M.:
Myr, 1965. – 380 s.
4. Volevyç L. R., Paneqx B. P. Nekotor¥e prostranstva obobwenn¥x funkcyj y teorem¥ vlo-
Ωenyq // Uspexy mat. nauk. – 1965. – 20, # 1. – S.@3 – 74.
5. Myxajlec V. A., Muraç A. A. ∏llyptyçeskye operator¥ v utoçnennoj ßkale funkcyonal\-
n¥x prostranstv // Ukr. mat. Ωurn. – 2005. – 57, # 5. – S.@689 – 696.
6. Myxajlec V. A., Muraç A. A. Utoçnenn¥e ßkal¥ prostranstv y πllyptyçeskye kraev¥e za-
daçy. I // Tam Ωe. – 2006. – 58, # 2. – S.@217 – 235.
7. Myxajlec V. A., Muraç A. A. Utoçnenn¥e ßkal¥ prostranstv y πllyptyçeskye kraev¥e za-
daçy. II // Tam Ωe. – # 3. – S.@352 – 370.
8. Lyzorkyn P. Y. Prostranstva obobwennoj hladkosty // Teoryq funkcyonal\n¥x pro-
stranstv / X. Trybel\. – M.: Myr, 1986. – S.@381 – 415.
9. Haroske D. D., Moura S. D. Continuity envelopes of spaces of generalized smoothness, entropy
and approximation numbers // J. Approxim. Theory. – 2004. – 128. – P. 151 – 174.
10. Farkas W., Leopold H.-G. Characterization of function spaces of generalized smoothness // Ann.
math. pura ed appl. – 2006. – 185, # 1. – P. 1 – 62.
11. Ílenzak H. ∏llyptyçeskye zadaçy v utoçnennoj ßkale prostranstv // Vestn. Mosk. un-ta.
– 1974. – # 4. – S.@48 – 58.
12. Myxajlec V. A., Muraç A. A. ∏llyptyçeskyj operator v utoçnennoj ßkale prostranstv na
zamknutom mnohoobrazyy // Dop. NAN Ukra]ny. – 2006. – # 10. – S.@27 – 33.
13. Myxajlec V. A., Muraç A. A. Rehulqrnaq πllyptyçeskaq hranyçnaq zadaça dlq odnorodnoho
uravnenyq v dvustoronnej utoçnennoj ßkale prostranstv // Ukr. mat. Ωurn. – 2006. – 58,
# 11. – S.@1536 – 1555.
14. Myxajlec V. A., Muraç A. A. ∏llyptyçeskyj operator s odnorodn¥my rehulqrn¥my hra-
nyçn¥my uslovyqmy v dvustoronnej utoçnennoj ßkale prostranstv // Ukr. mat. visn. – 2006.
– 3, # 4. – S.@547 – 580.
15. Myxajlec V. A., Muraç A. A. Utoçnenn¥e ßkal¥ prostranstv y πllyptyçeskye kraev¥e za-
daçy. III // Ukr. mat. Ωurn. – 2007. – 59, # 5. – S.@679 – 701.
16. Seneta E. Pravyl\no menqgwyesq funkcyy. – M.: Nauka, 1985. – 142 s.
17. Lyons Û. -L., MadΩenes ∏. Neodnorodn¥e hranyçn¥e zadaçy y yx pryloΩenyq. – M.: Myr,
1971. – S.@372 s.
18. Myxajlec V. A., Muraç A. A. Ynterpolqcyq s funkcyonal\n¥m parametrom y prostranstva
dyfferencyruem¥x funkcyj // Dop. NAN Ukra]ny. – 2006. – # 6. – S.@13 – 18.
19. Atiyah M. F., Singer I.M. The index of elliptic operators on compact manifolds // Bull. Amer.
Math. Soc. – 1963. – 69, # 3. – P. 422 – 433.
20. Berezanskyj G. M. RazloΩenye po sobstvenn¥m funkcyqm samosoprqΩenn¥x operatorov.
– Kyev: Nauk. dumka, 1965. – 800 s.
21. Agmon S. On the eigenfunctions and on the eigenvalues of general elliptic boundary value
problems // Communs Pure and Appl. Math. – 1962. – 15, # 2. – P. 119 – 147.
22. Ahranovyç M. S., Vyßyk M. Y. ∏llyptyçeskye zadaçy s parametrom y parabolyçeskye
zadaçy obweho vyda // Uspexy mat. nauk. – 1964. – 19, # 3. – S.@53 – 161.
23. KoΩevnykov A. N. Spektral\n¥e zadaçy dlq psevdodyfferencyal\n¥x system,
πllyptyçeskyx po Duhlysu – Nyrenberhu y yx pryloΩenyq // Mat. sb. – 1973. – 92(134),
# 1(9). – S.@60 – 88.
24. Grubb G. Functional calculus of pseudo-differential boundary problems. – Boston etc.:
Birkhäuser, 1996. – 522 p.
25. Roitberg Ya. A. Elliptic boundary value problems in the spaces of distributions. – Dordrecht:
Kluwer Acad. Publ., 1996. – 427 p.
Poluçeno 14.03.2007
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 6
|