Multiplicative relations with conjugate algebraic numbers

• Veröffentlicht in: Український математичний журнал
• Datum: 2007
• 1. Verfasser: Dubickas, A.
• Format: Artikel
• Sprache: Englisch
• Veröffentlicht: Інститут математики НАН України 2007
• Schlagworte: Статті
• Online Zugang: https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164212
• Назва журналу: Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
• Zitieren: Multiplicative relations with conjugate algebraic numbers / A. Dubickas // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 7. — С. 890–900. — Бібліогр.: 20 назв. — англ.

We study which algebraic numbers can be represented by a product of conjugate over a fixed number field K algebraic numbers in fixed integer powers. The problem is nontrivial if the sum of these integer powers is equal to zero. The norm over K of such number must be a root of unity. We show that there are infinitely many algebraic numbers whose norm over K is a root of unity and which cannot be represented by such product. Conversely, every algebraic number can be expressed by every sufficiently long product in conjugate over K algebraic numbers. We also construct nonsymmetric algebraic numbers, i.e., such that none elements of the respective Galois group acting on the full set of their conjugates form a Latin square. Досліджено, які алгебраїчні числа можуть бути зображені у вигляді добутку спряжених над фіксованим числовим полем K алгебраїчних чисел у фіксованих цілих степенях. Розглядувана задача є нетривіальною, якщо сума цих цілих степенів дорівнює нулю. Норма над K такого числа має бути коренем з одиниці. Показано, що існує нескінченно багато алгебраїчних чисел, норма над K яких є коренем з одиниці і які не можуть бути зображені згаданим добутком. Навпаки, кожне алгебраїчне число можна виразити будь-яким достатньо довгим добутком спряжених над K алгебраїчних чисел. Побудовано також несиметричні алгебраїчні числа, тобто такі, що жоден елемент відповідної групи Галуа, яка діє на повній множині їхніх спряжень, не формує Латинський квадрат.