Shape-preserving projections in low-dimensional settings and the q-monotone case

• Published in: Український математичний журнал
• Date: 2012
• Main Authors: Prophet, M.P., Shevchuk, I.A.
• Format: Article
• Language: English
• Published: Інститут математики НАН України 2012
• Subjects: Статті
• Online Access: https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164420
• Journal Title: Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
• Cite this: Shape-preserving projections in low-dimensional settings and the q-monotone case / M.P. Prophet, I.A. Shevchuk // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 5. — С. 674-684. — Бібліогр.: 8 назв. — англ.

Let P:X → V be a projection from a real Banach space X onto a subspace V and let S ⊂ X. In this setting, one can ask if S is left invariant under P, i.e., if PS ⊂ S. If V is finite-dimensional and S is a cone with particular structure, then the occurrence of the imbedding PS ⊂ S can be characterized through a geometric description. This characterization relies heavily on the structure of S, or, more specifically, on the structure of the cone S * dual to S. In this paper, we remove the structural assumptions on S * and characterize the cases where PS ⊂ S. We note that the (so-called) q-monotone shape forms a cone that (lacks structure and thus) serves as an application for our characterization. Нехай P:X→V — проекцiя дiйсного банахового простору X на пiдпростiр V i, крiм того, S⊂X. У цiй постановцi виникає питання: чи є S лiвоiнварiантним пiд дiєю P, тобто чи має мiсце вкладення PS⊂S? Якщо пiдпростiр V є скiнченновимiрним, а S є конусом iз певною структурою, то вкладення PS⊂S може бути охарактеризовано шляхом геометричного опису. Ця характеризацiя iстотно залежить вiд структури S, або, точнiше, вiд структури конуса S∗, спряженого до S. У цiй роботi усунено структурнi припущення щодо S∗ i охарактеризовано випадки, у яких PS⊂S. Вiдзначено, що (так звана) q-монотонна форма утворює конус, який (не має структури i тому) може бути використаний для застосування нашої характеризацiї.