Асимптотичні m-фазові солітоноподібні розв'язки сингулярно збуреного рівняння Кортевега - де Фріза зі змінними коефіцієнтами
Предложен алгоритм построения асимптотических m-фазовых солитоноподобных решений сингулярно возмущенного уравнения Кортевега – де Фриза с переменными коэффициентами и установлена точность, с которой главный член асимптотически удовлетворяет данному уравнению. We propose an algorithm for the construc...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Datum: | 2012 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Український математичний журнал
2012
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164452 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Асимптотичні m-фазові солітоноподібні розв'язки сингулярно збуреного рівняння Кортевега - де Фріза зі змінними коефіцієнтами / В.Г. Самойленко, Юл.І. Самойленко // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 7. — С. 970-87 . — Бібліогр.: 40 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164452 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Самойленко, В.Г. Самойленко, Юл.І. 2020-02-09T15:36:00Z 2020-02-09T15:36:00Z 2012 Асимптотичні m-фазові солітоноподібні розв'язки сингулярно збуреного рівняння Кортевега - де Фріза зі змінними коефіцієнтами / В.Г. Самойленко, Юл.І. Самойленко // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 7. — С. 970-87 . — Бібліогр.: 40 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164452 517.9 Предложен алгоритм построения асимптотических m-фазовых солитоноподобных решений сингулярно возмущенного уравнения Кортевега – де Фриза с переменными коэффициентами и установлена точность, с которой главный член асимптотически удовлетворяет данному уравнению. We propose an algorithm for the construction of asymptotic m-phase soliton-type solutions of a singularly perturbed Korteweg–de Vries equation with variable coefficients and establish the accuracy with which the main term asymptotically satisfies the considered equation. uk Український математичний журнал Український математичний журнал Статті Асимптотичні m-фазові солітоноподібні розв'язки сингулярно збуреного рівняння Кортевега - де Фріза зі змінними коефіцієнтами Asymptotic m-phase soliton-type solutions of a singularly perturbed Korteweg–de Vries equation with variable coefficients Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Асимптотичні m-фазові солітоноподібні розв'язки сингулярно збуреного рівняння Кортевега - де Фріза зі змінними коефіцієнтами |
| spellingShingle |
Асимптотичні m-фазові солітоноподібні розв'язки сингулярно збуреного рівняння Кортевега - де Фріза зі змінними коефіцієнтами Самойленко, В.Г. Самойленко, Юл.І. Статті |
| title_short |
Асимптотичні m-фазові солітоноподібні розв'язки сингулярно збуреного рівняння Кортевега - де Фріза зі змінними коефіцієнтами |
| title_full |
Асимптотичні m-фазові солітоноподібні розв'язки сингулярно збуреного рівняння Кортевега - де Фріза зі змінними коефіцієнтами |
| title_fullStr |
Асимптотичні m-фазові солітоноподібні розв'язки сингулярно збуреного рівняння Кортевега - де Фріза зі змінними коефіцієнтами |
| title_full_unstemmed |
Асимптотичні m-фазові солітоноподібні розв'язки сингулярно збуреного рівняння Кортевега - де Фріза зі змінними коефіцієнтами |
| title_sort |
асимптотичні m-фазові солітоноподібні розв'язки сингулярно збуреного рівняння кортевега - де фріза зі змінними коефіцієнтами |
| author |
Самойленко, В.Г. Самойленко, Юл.І. |
| author_facet |
Самойленко, В.Г. Самойленко, Юл.І. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2012 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Український математичний журнал |
| format |
Article |
| title_alt |
Asymptotic m-phase soliton-type solutions of a singularly perturbed Korteweg–de Vries equation with variable coefficients |
| description |
Предложен алгоритм построения асимптотических m-фазовых солитоноподобных решений сингулярно возмущенного уравнения Кортевега – де Фриза с переменными коэффициентами и установлена точность, с которой главный член асимптотически удовлетворяет данному уравнению.
We propose an algorithm for the construction of asymptotic m-phase soliton-type solutions of a singularly perturbed Korteweg–de Vries equation with variable coefficients and establish the accuracy with which the main term asymptotically satisfies the considered equation.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164452 |
| citation_txt |
Асимптотичні m-фазові солітоноподібні розв'язки сингулярно збуреного рівняння Кортевега - де Фріза зі змінними коефіцієнтами / В.Г. Самойленко, Юл.І. Самойленко // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 7. — С. 970-87 . — Бібліогр.: 40 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT samoilenkovg asimptotičnímfazovísolítonopodíbnírozvâzkisingulârnozburenogorívnânnâkortevegadefrízazízmínnimikoefícíêntami AT samoilenkoûlí asimptotičnímfazovísolítonopodíbnírozvâzkisingulârnozburenogorívnânnâkortevegadefrízazízmínnimikoefícíêntami AT samoilenkovg asymptoticmphasesolitontypesolutionsofasingularlyperturbedkortewegdevriesequationwithvariablecoefficients AT samoilenkoûlí asymptoticmphasesolitontypesolutionsofasingularlyperturbedkortewegdevriesequationwithvariablecoefficients |
| first_indexed |
2025-11-26T16:43:51Z |
| last_indexed |
2025-11-26T16:43:51Z |
| _version_ |
1850628782280409088 |
| fulltext |
УДК 517.9
В. Г. Самойленко, Ю. I. Самойленко (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
АСИМПТОТИЧНI m-ФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ
СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ КОРТЕВЕГА – ДЕ ФРIЗА
ЗI ЗМIННИМИ КОЕФIЦIЄНТАМИ
We propose an algorithm for the construction of asymptotic m-phase soliton-type solutions of a singularly perturbed
Korteweg – de Vries equation with varying coefficients and establish the accuracy with which the main term asymptotically
satisfies the considered equation.
Предложен алгоритм построения асимптотических m-фазовых солитоноподобных решений сингулярно возмущен-
ного уравнения Кортевега – де Фриза с переменными коэффициентами и установлена точность, с которой главный
член асимптотически удовлетворяет данному уравнению.
1. Вступ. У XX столiттi багато iнженерiв i фiзикiв вивчали питання про iснування та взаємодiю
хвиль у нелiнiйних середовищах, яке мало важливе значення для вирiшення рiзних проблем i
задач, зокрема при конструюваннi ламп бiжучих хвиль, плазмових установок, оптичних кванто-
вих пiдсилювачiв, при моделюваннi штучних нервових волокон та дослiдженнi iнших фiзичних
i бiологiчних процесiв [1].
Одним iз найцiкавiших видiв дослiджуваних хвиль у нелiнiйному середовищi є вiдокрем-
лена хвиля, яку вперше описав Дж. Скотт Рассел [2] у 1834 роцi. Це явище зацiкавило багатьох
дослiдникiв, включаючи Дж. Стокса, В. Буссiнеска, Дж. Б. Ейрi та iн., але лише в 1895 роцi
Д. Кортевег та Дж. де Фрiз [3] запропонували для опису такого виду хвиль диференцiальне
рiвняння вигляду
ut + auux + uxxx = 0, a ≡ const, (1)
яке згодом дiстало назву рiвняння Кортевега – де Фрiза.
У ХХ столiттi виявилося, що рiвняння (1) може використовуватися для опису найрiзноманiт-
нiших процесiв i явищ, зокрема таких, як iонно-звуковi хвилi [4], магнiтогiдродинамiчнi хвилi
в плазмi [5], коливання в ангармонiчнiй решiтцi [6], вихровi течiї в трубi [7] та iн. [1, 8]. Зазна-
чимо також, що до рiвняння Кортевега – де Фрiза зводиться широкий клас квазiгiперболiчних
диференцiальних рiвнянь [9].
У 60 – 80-х роках минулого столiття саме завдяки iнтенсивним дослiдженням рiвняння (1) та
iнших так званих iнтегровних моделей [10 – 29] було створено теорiю методу оберненої задачi
розсiювання (основи математичної теорiї солiтонiв), що дозволяє дослiджувати рiзноманiтнi
нелiнiйнi задачi. При цьому було з’ясовано, що крiм розв’язку у виглядi вiдокремленої хвилi
u(x, t) = u0 +A ch−2(β(x− ϕ(t))), (2)
де u0 — стала, ϕ(t) = (a2 + 6u0)t, A =
a2
2
, β =
a
2
, так званого односолiтонного розв’язку,
рiвняння Кортевега – де Фрiза також має багатосолiтоннi розв’язки [30, 31], найпростiшим
прикладом яких є так званий дублетний (двосолiтонний) розв’язок
u(x, t) =
72
a
4 ch (2x− 8t) + ch (4x− 64t) + 3
[3 ch (x− 28t) + ch (3x− 36t)]2
, (3)
де a — стала з рiвняння (1).
c© В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО, 2012
970 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
АСИМПТОТИЧНI m-ФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ . . . 971
Термiн двосолiтонний розв’язок пов’язаний з тим, що при великих значеннях часової змiн-
ної t розв’язок (3) можна розглядати (в певному сенсi) як суперпозицiю двох односолiтонних
розв’язкiв вигляду (2) [22]
ui(x, t) =
12κ2
i
a
ch−2
[
κi(x− 4κ2
i t) + δi
]
, δi = const, i = 1, 2,
де κ1 = 1, κ2 = 2.
З iншого боку, при моделюваннi хвильових процесiв у рiдинах з малою дисперсiєю виникає
[30, 31] рiвняння Кортевега – де Фрiза з малим параметром при старшiй похiднiй вигляду
ε2uxxx + 6uux + ut = 0, x ∈ R, t ∈ [0;T ], (4)
яке має солiтонний розв’язок [30]
u(x, t, ε) = u0 +A ch−2
(
a
2
x− ϕ(t)
ε
)
, (5)
де A =
a2
2
, ϕ(t) = (a2 + 6u0)t, a > 0, u0 — деякi константи.
Проте якщо для рiвняння (1), як i для рiвняння (4), можна знайти у явному виглядi їхнi
точнi розв’язки, то для бiльш складних систем, наприклад рiвняння Кортевега – де Фрiза з ма-
лим параметром i змiнними коефiцiєнтами, побудувати у явному виглядi розв’язок, як правило,
неможливо. Для подiбних задач при знаходженнi їхнiх наближених розв’язкiв успiшно вико-
ристовуються асимптотичнi методи [30 – 37]. При цьому, оскiльки такi рiвняння пов’язанi з
вивченням хвильових процесiв i при сталих коефiцiєнтах мають розв’язки солiтонного типу,
розглядається задача про побудову наближених розв’язкiв спецiального вигляду, якi за своєю
структурою подiбнi до солiтонних розв’язкiв вигляду (5). Такi наближенi розв’язки отримали
назву асимптотичних солiтоноподiбних розв’язкiв [31].
Термiн асимптотичнi солiтоноподiбнi розв’язки вперше було запропоновано В. П. Масло-
вим та його учнями в [30, 31], де розглянуто задачу про побудову асимптотичних одно-, дво- i
багатофазових солiтоноподiбних розв’язкiв для рiвняння руху рiдини вигляду
ut + (ρ1 + 3ρ2u)ux + ε2ρ3uxxx + ρ4u = 0. (6)
Тут
ρ1 =
√
gH(x), ρ2 =
1
2
√
gH−1(x), ρ3 =
1
6
√
gH5(x), ρ4 =
1
2
ρ1x,
H(x) — глибина незбуреної рiдини, g — прискорення вiльного падiння. Зауважимо, що в [30,
31] для багатофазового (m > 2) випадку побудовано лише головний член асимптотики.
Розвиваючи iдеї статтi [30], в [32, 33] побудовано асимптотичнi однофазовi солiтоноподiбнi
розв’язки для сингулярно збуреного рiвняння Кортевега – де Фрiза зi змiнними коефiцiєнтами
вигляду
εn uxxx = a(x, ε)ut + b(x, ε)uux, n ∈ N, (7)
де коефiцiєнти a(x, ε), b(x, ε) записуються у виглядi асимптотичних рядiв
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
972 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
a(x, ε) =
∞∑
k=0
ak(x)εk, b(x, ε) =
∞∑
k=0
bk(x)εk,
функцiї ak(x), bk(x) ∈ C(∞)(R), k ≥ 0, t ∈ [0;T ], ε > 0 — малий параметр.
У [34, 35] знайдено асимптотичнi однофазовi солiтоноподiбнi розв’язки задачi Кошi для
рiвняння (7), а в [36] — асимптотичнi двофазовi солiтоноподiбнi розв’язки рiвняння (7). Крiм
того, в [37] отримано асимптотичнi однофазовi солiтоноподiбнi розв’язки для рiвняння (7) у
випадку, коли коефiцiєнти цього рiвняння залежать як вiд просторової, так i вiд часової змiнної.
У згаданих працях також дано обґрунтування побудованих асимптотик.
У данiй статтi розглядається питання про побудову асимптотичних m-фазових (m > 2)
солiтоноподiбних розв’язкiв рiвняння Кортевега – де Фрiза зi змiнними коефiцiєнтами вигляду
ε2uxxx = a(x, t, ε)ut + b(x, t, ε)uux, (8)
де
a(x, t, ε) =
∞∑
k=0
εkak(x, t), b(x, t, ε) =
∞∑
k=0
εkbk(x, t), (9)
функцiї ak(x, t), bk(x, t) ∈ C∞(R× [0, T ]), k ≥ 0, T > 0.
2. Основнi припущення i позначення. Як i в [30, 31], позначимо через G1 = G1(R ×
× [0;T ] × R) лiнiйний простiр таких нескiнченно диференцiйовних функцiй f = f(x, t, τ),
(x, t, τ) ∈ R× [0;T ]×R, що для довiльних невiд’ємних цiлих чисел n, p, q, r рiвномiрно щодо
(x, t) на кожнiй компактнiй множинi K ⊂ R× [0;T ] виконуються двi умови:
1) справджується спiввiдношення
lim
τ→+∞
τn
∂p
∂xp
∂q
∂tq
∂r
∂τ r
f(x, t, τ) = 0, (x, t) ∈ K;
2) iснує така нескiнченно диференцiйовна функцiя f−(x, t), що
lim
τ→−∞
τn
∂p
∂xp
∂q
∂tq
∂r
∂τ r
(
f(x, t, τ)− f−(x, t)
)
= 0, (x, t) ∈ K.
Нехай G0
1 = G0
1(R × [0;T ] × R) ⊂ G1 — простiр таких нескiнченно диференцiйовних
функцiй f = f(x, t, τ) ∈ G1, (x, t, τ) ∈ R × [0;T ] ×R, що рiвномiрно щодо змiнних (x, t) на
кожному компактi K ⊂ R× [0;T ] виконується умова
lim
τ→−∞
f(x, t, τ) = 0.
Позначимо також при кожному натуральному n ≥ 2 за допомогою G0
n = G0
n(R × [0;T ] ×
×Rn) лiнiйний простiр таких нескiнченно диференцiйовних функцiй f = f(x, t, τ1, τ2, . . . , τn),
(x, t, τ1, τ2, . . . , τn) ∈ R× [0;T ]×Rn, якi задовольняють умову: при кожному k = 1, n iснують
такi функцiї f±k = f±k (x, t, τ1, τ2, . . . , τk−1, τk+1, . . . , τn) ∈ G0
n−1(R × [0;T ] × Rn−1), що для
довiльних невiд’ємних цiлих чисел α, β, σ та мультиiндексу γ = (γ1, γ2, . . . , γn) має мiсце
спiввiдношення
lim
τk→±∞
ταk
∂β
∂xβ
∂σ
∂tσ
∂γ
∂τγ
(f − f±k ) = 0. (10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
АСИМПТОТИЧНI m-ФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ . . . 973
Цю рiвнiсть i аналогiчнi їй далi слiд розумiти як два спiввiдношення — окремо для f+
k i
окремо для f−k , у яких змiнна, за якою обчислюється границя, прямує вiдповiдно до +∞ i −∞.
Означення 1 [30, 31, 34 – 37]. Функцiя u(x, t, ε) називається асимптотичною m-фазовою
солiтоноподiбною, якщо для довiльного цiлого числа N ≥ 0 для функцiї u(x, t, ε) має мiсце
зображення вигляду
u(x, t, ε) = YN
(
x, t,
S1(x, t)
ε
,
S2(x, t)
ε
, . . . ,
Sm(x, t)
ε
, ε
)
+O(εN+1), (11)
де
YN (x, t, τ1, τ2, . . . , τm, ε) =
N∑
j=0
εj [uj(x, t) + Vj(x, t, τ1, τ2, . . . , τm)] ,
τ1 =
S1(x, t)
ε
, τ2 =
S2(x, t)
ε
, . . . , τm =
Sm(x, t)
ε
,
(12)
Sk = Sk(x, t), k = 1,m, — деякi нескiнченно диференцiйовнi функцiї змiнних (x, t) ∈ R× [0;T ],
до того ж
∂Sk
∂x
∣∣∣
Γk
6= 0, Γk = {(x, t) ∈ R× [0;T ], Sk(x, t) = 0},
k = 1,m; uj(x, t), (x, t) ∈ R × [0;T ], j = 1, N, — нескiнченно диференцiйовнi функцiї ;
Vj(x, t, τ1, τ2, . . . , τm) ∈ G0
m, j = 0, N.
При цьому змiннi τ1, τ2, . . . , τm в (12) вважаються незалежними.
Кривi Sk(x, t) = 0, k = 1,m, називають кривими розриву. Цей термiн виник у зв’язку
з тим, що при побудовi асимптотичного однофазового солiтоноподiбного розв’язку рiвняння
Кортевега – де Фрiза, тобто у випадку m = 1, крива S(x, t) = x− ϕ(t) = 0, де ϕ(t), t ∈ [0;T ],
— деяка функцiя, є лiнiєю розриву для розв’язку породжуючого рiвняння, тобто рiвняння (8)
при ε = 0.
В подальшому використовується стандартне для асимптотичного аналiзу позначення: запис
Ψ(x, t, ε) = O
(
εN
)
при ε → 0 означає, що iснують такi величина ε0 > 0 i стала C > 0, що
залежить вiд числа N i вiд компакта K ⊂ R× [0;T ], що |Ψ(x, t, ε)| ≤ C εN для всiх ε ∈ (0; ε0)
i (x, t) ∈ K.
3. Побудова асимптотичного розв’язку. Асимптотичний m-фазовий солiтоноподiбний
розв’язок рiвняння (8) шукаємо у виглядi
u(x, t, ε) = YN (x, t, ε) +O(εN+1), (13)
де
YN (x, t, ε) =
N∑
j=0
εj [uj(x, t) + Vj(x, t, τ1, τ2, . . . , τm)] ,
τ1 =
x− ϕ1(t)
ε
, τ2 =
x− ϕ2(t)
ε
, . . . , τm =
x− ϕm(t)
ε
,
(14)
N — довiльне (фiксоване) натуральне число.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
974 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
Функцiя
UN (x, t, ε) =
N∑
j=0
εjuj(x, t)
називається регулярною частиною асимптотики (13), а функцiя
VN (x, t, τ1, τ2, . . . , τm, ε) =
N∑
j=0
εjVj(x, t, τ1, τ2, . . . , τm),
— сингулярною частиною асимптотики (13). При цьому
YN (x, t, ε) = UN (x, t, ε) + VN (x, t, τ1, τ2, . . . , τm, ε).
Для визначення коефiцiєнтiв асимптотичного розкладу (13), вiдповiдно до загальної методо-
логiї асимптотичних методiв, знаходимо похiднi ut(x, t, ε), ux(x, t, ε), uxxx(x, t, ε), пiдставляємо
цi значення в рiвняння (8) i враховуємо (9). Пiсля домноження отриманого виразу на ε будемо
мати
ε3
∂3UN
∂x3
+
∂3VN
∂x3
+
3
ε
m∑
p=1
∂3VN
∂x2∂τp
+
3
ε2
m∑
p, q=1
∂3VN
∂x∂τp∂τq
+
1
ε3
m∑
p,q,r=1
∂3VN
∂τp ∂τq∂τr
=
= εa(x, t, ε)
(
∂UN
∂t
+
∂VN
∂t
− 1
ε
m∑
k=1
∂VN
∂τk
ϕ′k(t)
)
+
+εb(x, t, ε) (UN + VN )
(
∂UN
∂x
+
∂VN
∂x
+
1
ε
m∑
k=1
∂VN
∂τk
)
+O
(
εN+2
)
. (15)
Як i у випадку асимптотичних однофазових солiтоноподiбних розв’язкiв рiвняння (8), коефi-
цiєнти регулярної частини асимптотики (13) визначаються з системи диференцiальних рiвнянь
з частинними похiдними вигляду
a0(x, t)
∂u0
∂t
+ b0(x, t)u0
∂u0
∂x
= 0, (16)
a0(x, t)
∂uj
∂t
+ b0(x, t)u0
∂uj
∂x
+ b0(x, t)uj
∂u0
∂x
= Fj(x, t), j = 1, N, (17)
де функцiї Fj(x, t), j = 1, N, визначаються рекурентним чином пiсля знаходження функцiй
u0(x, t), u1(x, t), . . . , uj−1(x, t), j = 1, N .
Процедуру визначення членiв регулярної частини асимптотики з системи диференцiальних
рiвнянь (16), (17) описано в [37].
Пiсля знаходження регулярної частини асимптотики iз спiввiдношення (15), враховуючи
(16), (17), шляхом зрiвнювання коефiцiєнтiв при однакових степенях малого параметра ε отри-
муємо систему диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними для визначення членiв син-
гулярної частини асимптотики. Задачi про знаходження сингулярної частини асимптотики у
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
АСИМПТОТИЧНI m-ФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ . . . 975
випадку асимптотичного одно- та двофазового солiтоноподiбних розв’язкiв рiвняння Кортеве-
га – де Фрiза вигляду (8) розглянуто у статтях [32 – 36], на вiдмiну вiд яких випадок m > 2
суттєво ускладнюється.
4. Визначення сингулярної частини асимптотики. При визначеннi функцiй сингулярної
частини асимптотики (13) враховується, що Vj(x, t, τ1, τ2, . . . , τm) ∈ G0
m, j = 0, N, згiдно з
означенням 1. Тому викликає iнтерес побудова цих функцiй лише в околi кривих розриву.
Коефiцiєнти сингулярної частини асимптотики в околi кожної з кривих x = ϕs(t), s = 1,m,
задовольняють систему диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними вигляду
m∑
p,q,r=1
∂3V0
∂τp∂τq∂τr
= −a0(ϕs(t), t)
m∑
k=1
ϕ′k(t)
∂V0
∂τk
+
+b0(ϕs(t), t)u0(ϕs(t), t)
m∑
k=1
∂V0
∂τk
+ b0(ϕs(t), t)
m∑
k=1
V0
∂V0
∂τk
, s = 1,m, (18)
m∑
p,q,r=1
∂3Vj
∂τp∂τq∂τr
=
m∑
k=1
(
b0(ϕs(t), t)u0(ϕs(t), t)− a0(ϕs(t), t)ϕ
′
k(t)
) ∂Vj
∂τk
+
+b0(ϕs(t), t)
m∑
k=1
(
V0
∂Vj
∂τk
+ Vj
∂V0
∂τk
)
+ Fjs(t, τ1, τ2, . . . , τm), j = 1, N, s = 1,m, (19)
де значення функцiй Fjs(t, τ1, τ2, . . . , τm), j = 1, N, при кожному s = 1,m знаходять реку-
рентним чином пiсля вiдповiдного визначення функцiй V0(x, t, τ1, τ2, . . . , τm), V1(x, t, τ1, τ2, . . .
. . . , τm), . . . , Vj−1(x, t, τ1, τ2, . . . , τm) iз рiвнянь (18), (19). При цьому функцiї Fjs, j = 1, N,
s = 1,m, залежать (певним чином) вiд коефiцiєнтiв рiвняння (8).
Для функцiї F1s = F1s(t, τ1, τ2, . . . , τm), s = 1,m, зокрема, маємо
F1s = −
m∑
p,q=1
∂3V0
∂x∂τp ∂τq
+ a0(ϕs(t), t)
∂V0
∂t
− τsa0x(ϕs(t), t)
m∑
k=1
ϕ′k(t)
∂V0
∂τk
+
+τs
m∑
k=1
[b0x(ϕs(t), t)V0 + (b0(ϕs(t), t)u0(ϕs(t), t))x]
∂V0
∂τk
+
+b0(ϕs(t), t)u0x(ϕs(t), t)V0 −
m∑
k=1
[
a1(ϕs(t), t)ϕ
′
k(t)− b1(ϕs(t), t)V0
] ∂V0
∂τk
+
+b0(ϕs(t), t)u0(ϕs(t), t)
∂V0
∂x
+ b0(ϕs(t), t)V0
∂V0
∂x
+
+ [b0(ϕs(t), t)u1(ϕs(t), t) + b1(ϕs(t), t)u0(ϕs(t), t)]
m∑
k=1
∂V0
∂τk
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
976 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
Якщо у випадку m = 1 розв’язок рiвняння (18) можна побудувати явно [33, 34], а розв’язок
кожного з рiвнянь системи (19) знайти за допомогою методу, що описаний у [34], то у випадку
m > 1 метод статтi [34] не можна застосувати через те, що невiдомi функцiї в рiвняннях (18),
(19) залежать вiд m (m > 2) незалежних змiнних. Бiльш того, рiвняння (18) i система (19) є
складними для iнтегрування, оскiльки цi рiвняння є диференцiальними рiвняннями третього
порядку з частинними похiдними для функцiй багатьох змiнних, а рiвняння (18) — нелiнiйним
щодо невiдомої функцiї. Тому в подальшому на коефiцiєнти цих рiвнянь накладаються певнi
умови, при яких можна побудувати у просторi G0
m(R× [0;T ]×Rm) розв’язки рiвняння (18) i
системи (19). Тим самим показується, що рiвняння Кортевега – де Фрiза (8) має асимптотичнi
багатофазовi солiтоноподiбнi розв’язки.
Припустимо, що для кожного t ∈ [0;T ] далi виконуються умови узгодження вигляду [30, 31]
a0(t) := a0(ϕk(t), t) = a0(ϕs(t), t), k, s = 1,m, (20)
b0(t) := b0(ϕk(t), t) = b0(ϕs(t), t), k, s = 1,m, (21)
u0(t) := u0(ϕk(t), t) = u0(ϕs(t), t), k, s = 1,m, (22)
Fjk(t, τ1, τ2, . . . , τm) = Fjs(t, τ1, τ2, . . . , τm), j = 1, N, k, s = 1,m. (23)
У випадку V0(x, t, τ1, τ2, . . . , τm) = V0(t, τ1, τ2, . . . , τm) рiвнiсть (23) при j = 1 справджу-
ється, зокрема, якщо додатково до (20) – (22) виконуються умови
a0x(ϕs(t), t) = 0, a1(ϕk(t), t) = a1(ϕs(t), t), k, s = 1,m, (24)
u0x(ϕs(t), t) = 0, u1(ϕk(t), t) = u1(ϕs(t), t), k, s = 1,m, (25)
b0x(ϕs(t), t) = 0, b1(ϕk(t), t) = b1(ϕs(t), t), k, s = 1,m. (26)
Цi умови виконуються, наприклад, у випадку, коли
a0(x, t) = exp
(
−
m∏
k=1
(x− ϕk(t))2
)
, b0(x, t) = exp
(
−
m∏
k=1
(x− ϕk(t))4
)
,
а в якостi так званих фонових функцiй вибрано u0(x, t) ≡ 0, u1(x, t) ≡ 0.
Зрозумiло, що умови (20) – (22), (24) – (26) виконуються також, наприклад, у випадку, коли
коефiцiєнти a0(x, t), b0(x, t), a1(x, t), b1(x, t) в (9) та функцiї u0(x, t), u1(x, t) в (12) не зале-
жать вiд змiнної x. Очевидно, що умови (20) – (22), (24) – (26) мають мiсце i у багатьох iнших
випадках.
4.1. Визначення головного члена сингулярної частини асимптотики. Для знаходжен-
ня головного члена сингулярної частини асимптотики в (13) скористаємося формулами для
солiтонних розв’язкiв рiвняння Кортевега – де Фрiза зi сталими коефiцiєнтами вигляду (1). Ви-
конаємо в (18) редукцiю для змiнних τ1, τ2, . . . , τm згiдно з формулами
τs = ξ − γs(t)η, s = 1,m, (27)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
АСИМПТОТИЧНI m-ФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ . . . 977
де
γs(t) = −a0(ϕs(t), t)ϕ
′
s(t) + b0(ϕs(t), t)u0(ϕs(t), t), (28)
ξ, η — новi незалежнi змiннi.
Очевидно, що у випадку, коли функцiя
V0(ξ, η) = V0(ξ − γ1(t)η, ξ − γ2(t)η, . . . , ξ − γm(t)η) (29)
задовольняє рiвняння
∂3V0
∂ξ3
− b0(t)V0
∂V0
∂ξ
+
∂V0
∂η
= 0, (30)
функцiя V0(t, τ1, τ2, . . . , τm) також задовольняє рiвняння (18) при τs = ξ − γs(t)η, s = 1,m. А
отже, у такому випадку необхiдно знайти розв’язок рiвняння (30) вигляду (29).
Рiвняння (30) за допомогою масштабних перетворень ξ = αξ1, η = βη1, де
α =
(
6
b0(t)
)1/2
, β =
(
6
b0(t)
)3/2
, (31)
зводиться до класичного рiвняння Кортевега – де Фрiза (1) при a = −6:
∂3V0
∂x3
− 6V0
∂V0
∂x
+
∂V0
∂s
= 0. (32)
Тут для зручностi виконано перепозначення змiнних: η1 на s, а ξ1 на x.
Для знаходження головного члена сингулярної частини асимптотики (13) в явному вигля-
дi скористаємося вiдомою формулою для m-солiтонного розв’язку рiвняння (32), який має
вигляд [38]
V0(x, s) = −2
∂2
∂x2
ln det (E +G(x, s)), (33)
де E — одинична (m × m)-матриця, коефiцiєнти (m × m)-матрицi G = (gij)i,j=1,m мають
вигляд
gij = gij(x, s) = ci(s) cj(s)
e−(κi+κj)x
κi + κj
.
Тут cj(s) = cj(0) exp (4κ3
js); κj > 0, j = 1,m, — власнi значення задачi Штурма – Лiувiлля,
асоцiйованої з рiвнянням (32).
Враховуючи (27) – (29), (31), в якостi κj = κj(t) > 0, j = 1,m, де t ∈ [0;T ] — параметр,
можна взяти величини, що визначаються iз спiввiдношення
κ2
j =
3
2
γj(t)
b0(t)
. (34)
Тут γj(t), j = 1,m, заданo формулами (28).
Оскiльки права частина в (33) залежить вiд виразiв вигляду αx− βγjs, x, s ∈ R, j = 1,m,
то, враховуючи (27) i формули
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
978 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
τj = αx− βγjs, x, s ∈ R, j = 1,m, (35)
переконуємося, що функцiя (33) залежить вiд параметра t ∈ [0;T ] i змiнних τ1, τ2, . . . , τm.
Таким чином,m-солiтонний розв’язок рiвняння (18) можна записати за допомогою формули
V0(t, τ1, τ2, . . . , τm) = −2
(
∂2
∂x2
ln det (E +G(x, s))
) ∣∣∣∣∣
τj=αx−βγjs, j=1,m
. (36)
Покажемо тепер, що функцiя V0(t, τ1, τ2, . . . , τm) належить простору G0
m. Зауважимо, що у
випадку m = 1, тобто при розглядi асимптотичних однофазових солiтоноподiбних розв’язкiв
рiвняння (8), функцiя V0(t, τ1) належить простору G0
1 за побудовою, а у випадку m = 2 таке
доведення наведено в [36]. Спочатку доведемо допомiжну лему.
Лема 1. Нехай виконуються умови
γj(t) = −a0(t)ϕ′j(t) + b0(t)u0(t) > 0, j = 1,m.
Тодi функцiя V0(t, τ1, τ2, . . . , τm), що визначена формулою (36), для довiльного цiлого невiд’-
ємного значення n при кожному k = 1,m задовольняє спiввiдношення
lim
τk→+∞
τnk
(
V0(t, τ1, τ2, . . . , τm)− V +
0k(t, τ1, τ2, . . . , τk−1, τk+1, . . . , τm)
)
= 0, (37)
lim
τk→−∞
τnk
(
V0(t, τ1, τ2, . . . , τm)− V −0k(t, τ1, τ2, . . . , τk−1, τk+1, . . . , τm)
)
= 0. (38)
Тут
V +
0k(t, τ1, τ2, . . . , τk−1, τk+1, . . . , τm) =
= −2
(
d2
dx2
ln det (E +G+
k (x, s))
)∣∣∣∣∣
τj=αx−βγjs, j=1,m, j 6=k
, (39)
V −0k(t, τ1, τ2, . . . , τk−1, τk+1, . . . , τm) =
= −2
(
d2
dx2
ln detG−k (x, s)
)∣∣∣∣∣
τj=αx−βγjs, j=1,m, j 6=k
, (40)
E — одинична (m − 1) × (m − 1)-матриця, G+
k (x, s) — алгебраїчне доповнення елемента
gkk(x, s), k = 1,m, матрицi G(x, s) в (33); (m×m)-матриця G−k (x, s) = (g−kij)
m
i,j=1 задається
елементами
g−kij = g−kij(x, s) =
1
κi + κj
, i 6= j,
1
2κi
+
e2κix
c2
i
, i = j, i 6= k,
1
2κi
, i = j = k.
i, j = 1,m,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
АСИМПТОТИЧНI m-ФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ . . . 979
Доведення. Не втрачаючи загальностi, проведемо доведення для випадку, коли у формулах
(37), (38) k = 1, тобто коли τ1 → +∞ в (37) та τ1 → −∞ в (38).
Тодi матрицi G+
k (x, s), G−k (x, s) (при k = 1) мають вiдповiдно вигляд
G+
1 (x, s) = (g+
1ij)
m−1
ij=1 , де g+
1ij = g+
1ij(x, s) = c2
i+1(s) c2
j+1(s)
e−(κi+1+κj+1)x
κi+1 + κj+1
,
G−1 (x, s) =
1
2κ1
1
κ1 + κ2
. . .
1
κ1 + κm−1
1
κ1 + κm
1
κ1 + κ2
1
2κ2
+
e2κ2x
c2
2
. . .
1
κ2 + κm−1
1
κ2 + κm
. . . . . . . . . . . . . . .
1
κ1 + κm−1
1
κ2 + κm−1
. . .
1
2κm−1
+
e2κm−1x
c2
m
1
κm−1 + κm
1
κ1 + κm
1
κ2 + κm
. . .
1
κm−1 + κm
1
2κm
+
e2κmx
c2
m
.
Обчислимо границi limτ1→+∞ V0(t, τ1, τ2, . . . , τm), limτ1→−∞ V0(t, τ1, τ2, . . . , τm). З цiєю ме-
тою розглянемо функцiю
g(x, s) = det (E +G(x, s)) =
= det
c2
1
2κ1
e−2κ1x + 1
c1c2
κ1 + κ2
e−(κ1+κ2)x . . .
c1cm
κ1 + κm
e−(κ1+κm)x
c1c2
κ1 + κ2
e−(κ1+κ2)x c2
2
2κ1
e−2κ2x + 1 . . .
c2cm
κ2 + κm
e−(κ2+κm)x
. . . . . . . . . . . .
c1cm
κ1 + κm
e−(κ1+κm)x c2cm
κ2 + κm
e−(κ2+κm)x . . .
c2
m
2κm
e−2κmx + 1
,
де величини cj(s), j = 1,m, описано вище при записi формули (33).
Розклавши цей визначник за першим стовпчиком, отримаємо спiввiдношення
g(x, s) =
(
c2
1
2κ1
e−2κ1x + 1
)
c2
2c
2
3 . . . c
2
me
−2(κ2+κ3+...+κm)xD1−
− 1
κ1 + κ2
c2
1c
2
2 . . . c
2
me
−2(κ1+κ2+...+κm)xD2 + . . .
. . .+ (−1)m+1 1
κ1 + κm
c2
1c
2
2 . . . c
2
me
−2(κ1+κ2+...+κm)xDm, (41)
де Dk = Dk(x, s), k = 1,m, — мiнори порядку m− 1 вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
980 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
D1(x, s) = det
1
2κ2
+
e2κ2x
c2
2
1
κ2 + κ3
. . .
1
κ2 + κm
1
κ2 + κ3
1
2κ3
+
e2κ3x
c2
3
. . .
1
κ3 + κm
. . . . . . . . . . . .
1
κ2 + κm
1
κ3 + κm
. . .
1
2κm
+
e2κmx
c2
m
,
D2(x, s) = det
1
κ1 + κ2
1
κ1 + κ3
. . .
1
κ1 + κm
1
κ2 + κ3
1
2κ3
+
e2κ3x
c2
3
. . .
1
κ3 + κm
. . . . . . . . . . . .
1
κ2 + κm
1
κ3 + κm
. . .
1
2κm
+
e2κmx
c2
m
,
. . .
Dm(x, s) = det
1
κ1 + κ2
1
κ1 + κ3
. . .
1
κ1 + κm
1
2κ2
+
e2κ2x
c2
2
1
κ2 + κ3
. . .
1
κ2 + κm
. . . . . . . . . . . .
1
κ2 + κm−1
1
κ3 + κm−1
. . .
1
κm−1 + κm
.
Враховуючи формулу (41), позначення (35) i рiвнiсть
∂2
∂x2
ln g(x, s) =
ggxx − (gx)2
g2
,
отримуємо спiввiдношення
lim
τ1→+∞
V0(t, τ1, τ2, . . . , τm) = −2
(
d2
dx2
lnD1(x, s)
)∣∣∣∣∣
τj=αx−βγjs, j=2,m
. (42)
Оскiльки вираз у правiй частинi (42) визначає (m− 1)-солiтонний розв’язок рiвняння (18)
(це випливає з вигляду матрицi (E + G(x, s))), то при τ1 → +∞ функцiя V0(t, τ1, τ2, . . . , τm)
прямує до (m− 1)-солiтонного розв’язку рiвняння (18).
Аналогiчно для k = 2,m доводиться спiввiдношення
lim
τk→+∞
V0(t, τ1, τ2, . . . , τm) = −2
(
d2
dx2
lnDk(x, s)
)∣∣∣∣∣
τj=τj=αx−βγjs, j=1,m, j 6=k
. (43)
Якщо в якостi функцiй
V +
0k(t, τ1, τ2, . . . , τk−1, τk+1, . . . , τm), k = 1,m,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
АСИМПТОТИЧНI m-ФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ . . . 981
вибрати вiдповiднi функцiї у правих частинах спiввiдношень (41), (42), то отримаємо (37).
Аналогiчно доводиться спiввiдношення (38). При цьому функцiї
V −0k = V −0k(t, τ1, τ2, . . . , τk−1, τk+1, . . . , τm), k = 1,m,
мають вигляд
V −0k = −2
(
d2
dx2
ln detG−k (x, s)
)∣∣∣∣∣
τj=αx−βγjs,j=1,m,j 6=k
.
Оскiльки функцiя g(x, s) є полiномом вiд виразiв c2
j (s)e
−2κjx, j = 1,m, то, очевидно, що
лемa 1 є справедливою для довiльного цiлого невiд’ємного значення n.
Лему 1 доведено.
Теорема 1. Нехай виконуються умови леми 1. Тодi функцiя V0(t, τ1, τ2, . . . , τm) належить
простору G0
m.
Доведення. Властивiсть V0(t, τ1, τ2, . . . , τm) ∈ G0
m, згiдно з визначенням простору G0
m,
еквiвалентна iснуванню при кожному k = 1,m таких функцiй
V ±0k = V ±0k(x, t, τ1, τ2, . . . , τk−1, τk+1, . . . , τm) ∈ G0
m−1(R× [0;T ]×Rm−1),
що для довiльних невiд’ємних цiлих чисел n, α, β та мультиiндексу γ = (γ1, γ2, . . . , γm) має
мiсце спiввiдношення (10).
З леми 1 випливає, що в якостi функцiй V +
0k, V
−
0k можна взяти функцiї
V ±0k = V ±0k(t, τ1, τ2, . . . , τk−1, τk+1, . . . , τm),
якi визначенi формулами (39), (40). Залишилося показати, що цi функцiї належать простору
G0
m−1 i для них виконуються спiввiдношення (10).
Враховуючи формулу (36) для багатосолiтонного розв’язку, записуємо функцiю
∂2
∂x2
ln det (E +G(x, s)) у виглядi
∂2
∂x2
ln det (E +G(x, s)) =
∂2
∂x2
ln detP (x, s), (44)
де
P (x, s) =
1
2κ1
+
e2κ1x
c2
1
1
κ1 + κ2
. . .
1
κ1 + κm
1
κ1 + κ2
1
2κ2
+
e2κ2x
c2
2
. . .
1
κ2 + κm
. . . . . . . . . . . .
1
κ1 + κm
1
κ2 + κm
. . .
1
2κm
+
e2κmx
c2
m
.
Справедливiсть рiвностi (44) перевiряється безпосереднiми обчисленнями.
Тодi маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
982 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
V +
0k(t, τ1, τ2, . . . , τk−1, τk+1, . . . , τm) = −2 lim
τk→+∞
∂2
∂x2
ln detG+
k (x, s)
∣∣∣∣∣
τj=αx−βγjs, j=1,m, j 6=k
,
де G+
k = G+
k (x, s) — алгебраїчне доповнення елемента pkk = pkk(x, s) матрицi P (x, s), i
V −0k(t, τ1, τ2, . . . , τk−1, τk+1, . . . , τm) = −2 lim
τk→−∞
∂2
∂x2
ln detG−k (x, s)
∣∣∣∣∣
τj=αx−βγjs, j=1,m, j 6=k
,
де (m × m)-матрицю G−k = G−k (x, s) отримано з матрицi P (x, s) замiною елемента pkk на
елемент
1
2κk
.
Обчислимо границi limτp→±∞ V
±
0k(t, τ1, τ2, . . . , τm) при кожному p = 1,m, k 6= p.
Згiдно з лемою 1, враховуючи (42), отримуємо
V ++
0kp (t, τ1, τ2, . . . , τm) = lim
τp→+∞
V +
0k(t, τ1, τ2, . . . , τk−1, τk+1, . . . , τm) =
= −2
∂2
∂x2
ln detG++
kl (x, s)
∣∣∣∣∣
τj=αx−βγjs, j=1,m, j 6=k,j 6=p
,
де G++
kp (x, s) — алгебраїчне доповнення елемента gkpp у випадку k > p та елемента gk,p−1, p−1
у випадку k < p матрицi G+
k (x, s), i
V +−
0kp (t, τ1, τ2, . . . , τm) = lim
τp→−∞
V +
0k(t, τ1, τ2, . . . , τk−1, τk+1, . . . , τm) =
= −2
∂2
∂x2
ln detG+−
kp (x, s)
∣∣∣∣∣
τj=αx−βγjs, j=1,m, j 6=k,j 6=p
,
де G+−
kp (x, s) отримано з матрицi G+
k (x, s) замiною елемента, що дорiвнює
1
2κp
+
e2κpx
c2
p
, на
елемент
1
2κp
.
Розглянемо тепер функцiю V −0k(t, τ1, τ2, . . . , τm), що задається формулою (40). Розклавши
визначник detG−k (x, s) за p-м стовпчиком, де p = 1,m, p 6= k, i спрямувавши τp → +∞,
одержимо
V −+
0kp (t, τ1, τ2, . . . , τm) = lim
τp→+∞
V −0k(t, τ1, τ2, . . . , τk−1, τk+1, . . . , τm) =
= −2
∂2
∂x2
ln detG−+
kp (x, s)
∣∣∣∣∣
τj=αx−βγjs, j=1,m, j 6=k,j 6=p
,
де G−+
kp (x, s) — алгебраїчне доповнення елемента gkpp матрицi G−k (x, s), i
V −−0kp (t, τ1, τ2, . . . , τm) = lim
τp→−∞
V −0k(t, τ1, τ2, . . . , τk−1, τk+1, . . . , τm) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
АСИМПТОТИЧНI m-ФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ . . . 983
= −2
∂2
∂x2
ln detG−−kp (x, s)
∣∣∣∣∣
τj=αx−βγjs, j=1,m, j 6=k,j 6=p
,
де G−−kp (x, s) отримано з матрицi G−k (x, s) замiною елемента, що дорiвнює
1
2κp
+
e2κpx
c2
p
, на
елемент
1
2κp
.
Продовжуючи цю процедуру далi i обчисливши m− 1 границю, отримаємо 2m−1 функцiй,
що залежать вiд параметра t ∈ [0;T ] i однiєї змiнної з набору τ1, τ2, . . . , τm. Такi функцiї мають
вигляд
v0(t, τq) = −2
∂2
∂x2
ln
(
A+B
e2κqx
c2
q
)∣∣∣∣∣
τq=αx−βγqs
,
де q = 1,m — деяке число, A, B — деякi додатнi сталi.
Очевидно, що функцiя v0(t, τq) задовольняє спiввiдношення вигляду (10) i, отже, належить
простору G0
1.
Аналогiчно, на попередньому кроцi, пiсля обчислення m−2 границь, матимемо 2m−2 функ-
цiй, що залежать вiд параметра t ∈ [0;T ] i двох змiнних з набору τ1, τ2, . . . , τm. Кожна з цих
функцiй задовольняє спiввiдношення вигляду (10) — це можна показати за допомогою безпо-
середнiх обчислень похiдних i вiдповiдних границь, тобто цi функцiї належать простору G0
2.
За допомогою аналогiчних мiркувань, за iндукцiєю, можна показати, що функцiї
V0(t, τ1, τ2, . . . , τm), V ±0k(t, τ1, τ2, . . . , τk−1, τk+1, . . . , τm),
якi визначенi формулами (39), (40), задовольняють спiввiдношення (10) для довiльних не-
вiд’ємних цiлих чисел n, α, β та мультиiндексу γ = (γ1, γ2, . . . , γm), а отже, функцiя
V0(t, τ1, τ2, . . . , τm) належить простору G0
m(R× [0;T ]×Rm).
Теорему 1 доведено.
Лема 2. Нехай f = f(t, τ1, τ2, . . . , τm) ∈ G0
m — довiльна функцiя. Тодi для будь-якого
ε > 0 i будь-якого n ∈ N iснують така стала Cn, яка не залежить вiд значення ε, i таке
дiйсне число τ0 > 0, що для всiх (τ1, τ2, . . . , τm) ∈ Tδ1 = {(τ1, τ2, . . . , τm) ∈ Rm : |τk| > εδ1−1τ0}
виконується нерiвнiсть |f(t, τ1, τ2, . . . , τm)| ≤ Cnεn , де δ1 ∈ (0; 1) — довiльне фiксоване число.
Доведення. Оскiльки функцiя f(t, τ1, τ2, . . . , τm) належить простору G0
m, то iснують (двi)
такi функцiї f1,±(t, τ2, τ3, . . . , τm) ∈ G0
m−1 i стала c1 > 0, що для деякого τ10 > 0 виконуються
нерiвностi
|f(t, τ1, τ2, . . . , τm)| ≤
∣∣f1,+(t, τ2, τ3, . . . , τm)
∣∣+
c1
τ1
для всiх τ1 > εδ1−1τ10, τj ∈ R, j = 2,m, i
|f(t, τ1, τ2, . . . , τm)| ≤
∣∣∣f1,−
j (t, τ2, τ3, . . . , τm)
∣∣∣+
c1
|τ1|
при всiх τ1 < −εδ1−1τ10, τj ∈ R, j = 2,m.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
984 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
Аналогiчно, оскiльки функцiї f1,±(t, τ2, τ3, . . . , τm) належать G0
m−1, то iснують (чотири)
такi функцiї f2,±,±(t, τ3, τ4, . . . , τm) ∈ G0
m−2 i стала c2 > 0, що для деякого τ2 > 0 виконуються
нерiвностi ∣∣f1,+(t, τ2, τ3, . . . , τm)
∣∣ ≤ ∣∣f2,+,+(t, τ3, . . . , τm)
∣∣+
c2
τ2
,
∣∣f1,−(t, τ2, τ3, . . . , τm)
∣∣ ≤ ∣∣f2,−,+(t, τ3, . . . , τm)
∣∣+
c2
τ2
для всiх τ2 > εδ1−1τ20, τj ∈ R, j = 3,m, i∣∣f1,+(t, τ2, τ3, . . . , τm)
∣∣ ≤ ∣∣f2,+,−(t, τ3, . . . , τm)
∣∣+
c2
|τ2|
,
∣∣f1,−(t, τ2, τ3, . . . , τm)
∣∣ ≤ ∣∣f2,−,−(t, τ3, . . . , τm)
∣∣+
c2
|τ2|
для всiх τ2 < −εδ1−1τ20, τj ∈ R, j = 3,m.
Продовжуючи цi мiркування далi, переконуємося, що iснують такi сталi cj > 0, j = 3,m,
i дiйснi числа τj0 > 0, j = 3,m, що з урахуванням записаних вище нерiвностей у випадках
j = 1 i j = 2 для всiх |τj | > εδ1−1τj0, j = 1,m, виконується нерiвнiсть
|f(t, τ1, τ2, τ3, . . . , τm)| ≤
m∑
j=1
2j
cj
|τj |
. (45)
Позначимо τ∗ = max (τ10, τ20, . . . , τm0). Очевидно, що iснують такi числа ρj , j = 1,m, що
для всiх j = 1,m виконуються нерiвностi ρjτj0 > εδ1−1τ∗. Тодi якщо
C1 =
m∑
j=1
cjρj2
j ,
то з (45) випливає, що для всiх (τ1, τ2, . . . , τm) ∈ Tδ1 = {(τ1, τ2, . . . , τm) ∈ Rm : |τk| > εδ1−1τ0}
виконується нерiвнiсть |f(t, τ1, τ2, . . . , τm)| ≤ C1ε .
Лема 2 при n > 1 доводиться за допомогою аналогiчних мiркувань з використанням спiв-
вiдношення (10).
Лему 2 доведено.
Теорема 2. Нехай функцiї a0(x, t), b0(x, t), u0(x, t) обмеженi на R × [0;T ], x = ϕj(t),
t ∈ [0;T ], j = 1,m, — такi нескiнченно диференцiйовнi функцiї, що ϕk(0) = 0, k = 1,m, i
виконуються умови (20) – (22) та умови леми 1. Тодi функцiя
Y0(x, t, ε) = u0(x, t) + V0
(
t,
x− ϕ1(t)
ε
,
x− ϕ2(t)
ε
, . . . ,
x− ϕm(t)
ε
)
, (46)
задовольняє спiввiдношення (15) з точнiстю O(ε).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
АСИМПТОТИЧНI m-ФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ . . . 985
Доведення. Пiдставимо функцiю Y0 = Y0(x, t, ε) у рiвняння (8) i домножимо отриманий
вираз на ε. Враховуючи рiвняння (16) для u0 = u0(x, t) i (18) для V0 = V0 (t, τ1, τ2, . . . , τm) , в
околi довiльної кривої x = ϕs(t), s = 1,m, знаходимо
ε
(
ε2∂
3Y0
∂x3
− a(x, t, ε)
∂Y0
∂t
− b(x, t, ε)Y0
∂Y0
∂x
)
=
= ε3∂
3u0
∂x3
− εa(x, t, ε)
∂u0
∂t
− εa(x, t, ε)
∂V0
∂t
− εb(x, t, ε)(u0 + V0)
∂u0
∂x
+
+
m∑
k=1
[
(a(x, t, ε)ϕ′k − b(x, t, ε)(u0 + V0))
] ∂V0
∂τk
−
+
[
(a0(x, t)− a0(ϕs(t), t))
m∑
k=1
ϕ′k
∂V0
∂τk
]
−
−
[
(b0(x, t)u0(x, t)− b0(ϕs(t), t)u0(ϕs(t), t))
m∑
k=1
∂V0
∂τk
]
−
−
[
(b0(x, t)− b0(ϕs(t), t))V0
m∑
k=1
∂V0
∂τk
]
=
=: g0(x, t, τ1, τ2, . . . , τm, ε)
∣∣∣∣∣
τk=
x−ϕk(t)
ε
,k=1,m
=: g0(x, t, ε) , (47)
де
a = ε
∞∑
k=1
εk−1ak(x, t), b = ε
∞∑
k=1
εk−1bk(x, t),
функцiя V0(t, τ1, τ2, . . . , τm), та її частиннi похiднi за змiнними t i τk, k = 1,m, обчисленi при
значеннях τk =
x− ϕk(t)
ε
, k = 1,m.
Встановимо асимптотичну оцiнку функцiї g0 = g0(x, t, ε) при ε→ 0 для всiх значень x ∈ R,
t ∈ [0;T ].
Розглянемо доданок у (47) вигляду[
(a0(x, t)− a0(ϕs(t), t))
m∑
k=1
ϕ′k
∂V0
∂τk
]
.
В околi кожної кривої x = ϕs(t), s = 1,m, вiдповiдно до умов (20) – (22) маємо
|a0(x, t)− a0(ϕs(t), t)| ≤ Ck|x− ϕk| (48)
для довiльних k, s = 1,m. Бiльш того, внаслiдок обмеженостi функцiй a0(x, t), b0(x, t), u0(x, t)
на множинi R× [0;T ] iснують такi сталi Ck, k = 1,m, що нерiвнiсть (48) виконується для всiх
(x, t) ∈ R× [0;T ].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
986 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
Крiм того, з умови V0 ∈ G0
m випливає, що має мiсце спiввiдношення
lim
τs→±∞
τns f = 0, n ∈ N ∪ {0}, s = 1,m,
де функцiя f =
∂V0
∂τs
, а отже, згiдно з властивостями функцiй iз простору швидко спадних
функцiй S та просторiв Sp, p ≥ 0 [40, с. 88], функцiя
∂V0
∂τs
належить простору швидко спадних
функцiй щодо змiнної τs для всiх τ1, τ2, . . . , τs−1, τs+1, . . . , τm ∈ R.
Таким чином, iснують такi сталi C0k, k = 1,m, що[
(a0(x, t)− a0(ϕs(t), t))
m∑
k=1
ϕ′k
∂V0
∂τk
]
≤
m∑
k=1
C0k|x− ϕk(t)|
∣∣∣∣∂V0
∂τk
∣∣∣∣ = ε
m∑
k=1
C0k|τk|
∣∣∣∣∂V0
∂τk
∣∣∣∣ ≤ Cε.
Аналогiчнi властивостi мають мiсце i для iнших доданкiв функцiї g0 = g0(x, t, ε).
Враховуючи записанi вище оцiнки, переконуємося, що функцiя (46) задовольняє асимпто-
тичну рiвнiсть (15) з точнiстю O(ε).
Теорему 2 доведено.
Висновки. Розглянуто сингулярно збурене рiвняння Кортевега – де Фрiза зi змiнними ко-
ефiцiєнтами. Запропоновано алгоритм побудови асимптотичних m-фазових солiтоноподiбних
розв’язкiв даного рiвняння, встановлено точнiсть, з якою головний член асимптотики задоволь-
няє це рiвняння.
1. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. – М.: Сов. радио, 1977. –
368 с.
2. Scott-Russel J. Report on waves // Repts Fourteenth Meeting Brit. Assoc. Adv. Sci. – London: John Murray, 1834. –
P. 311 – 390.
3. Korteweg D. J., de Vries G. On the change in form of long waves advancing in a rectangular canal and a new type
of long stationary waves // Phil. Mag. – 1895. – № 39. – P. 422 – 433.
4. Tappert F. D. Improved Korteweg – de Vries equation for ion acoustic waves // Phys. Fluids. – 1975. – 15. –
P. 2446 – 2447.
5. Kever H., Morikawa G. K. Korteweg – de Vries equation for nonlinear hydromagnetic waves in a warm collision
free plasma // Phys. Fluids. – 1969. – 12. – P. 2090 – 2093.
6. Zabusky N. J. Solitons and energy transport in nonlinear lattices // Comput. Phys. Comm. – 1973. – 5. – P. 1 – 10.
7. Leibovich S. Weakly nonlinear waves in rotating fluids // J. Fluid. Mech. – 1970. – 42. – P. 803 – 822.
8. Заславский Г. М., Сагдеев Р. З. Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса. – М.:
Наука, 1988. – 368 с.
9. Su C. S., Gardner C. S. The Korteweg – de Vries equation and generalizations. III. Derivation of the Korteweg – de
Vries equation and Burger’s equation // J. Math. Phys. – 1969. – 10. – P. 536 – 539.
10. Zabusky N. J., Kruskal M. D. Interaction of “solitons” in a collisionless plasma and the recurrence of initial states //
Phys. Rev. Lett. – 1965. – 15. – P. 240 – 243.
11. Gardner C. S., Green J. M., Kruskal M. D., Miura R. M. Method for solving the Korteweg – de Vries equation //
Phys. Rev. Lett. – 1967. – 19. – P. 1095 – 1097.
12. Lax P. D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Communs Pure and Appl. Math. –
1968. – 21, № 15. – P. 467 – 490. (Переклад рос. мовою: Интегралы нелинейных эволюционных уравнений и
уединенные волны // Математика. – 1969. – 13, № 15. – С. 128 – 150.)
13. Захаров В. Е., Фаддеев Л. Д. Уравнение Кортевега – де Фриза — вполне интегрируемая гамильтонова система
// Функцион. анализ и его прил. – 1971. – 5, № 4. – С. 18 – 27.
14. Lax P. D. Periodic solutions of the Korteweg – de Vries equation // Lect. Appl. Math. – 1974. – 15. – P. 467 – 490.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
АСИМПТОТИЧНI m-ФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ . . . 987
15. Марченко В. А. Периодическая задача Кортевега – де Фриза // Мат. сб. – 1974. – 95, № 3. – С. 331 – 356.
16. Новиков С. П. Периодическая задача для уравнения Кортевега – де Фриза // Функцион. анализ и его прил. –
1974. – 8, № 3. – С. 54 – 66.
17. Захаров В. Е., Манаков С. В. Обобщение метода обратной задачи теории рассеивания // Теор. и мат. физика. –
1976. – 27, № 3. – C. 283 – 287.
18. Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов: метод обратной задачи. –
М.: Наука, 1980. – 320 с.
19. Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. – М.: Мир, 1983. – 294 с.
20. Солитоны / Под ред. Р. Буллафа, Ф. Кодри. – М.: Мир, 1983. – 408 с.
21. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. – М.: Наука, 1986. – 527 с.
22. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. – М.: Мир, 1987. – 480 с.
23. Митропольский Ю. А., Боголюбов Н. Н.(мл.), Прикарпатский А. К., Самойленко В. Г. Интегрируемые дина-
мические системы: спектральные и дифференциально-алгебраические аспекты. – Киев: Наук. думка, 1987. –
296 с.
24. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. – М.: Мир, 1988.
– 696 с.
25. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. – М.: Мир, 1989. – 326 с.
26. Нижник Л. П. Обратные задачи рассеяния для гиперболических уравнений. – Киев: Наук. думка, 1991. – 232 с.
27. Dye J. M., Parker A. An inverse scattering scheme for the regularized long-wave equation // J. Math. Phys. – 2000.
– 41, № 5. – P. 2889 – 2904.
28. Мива Т., Джимбо М., Датэ Э. Солитоны: дифференциальные уравнения, симметрии и бесконечные алгебры.
– М.: Изд-во МЦНМО, 2005. – 112 с.
29. Blacmore D., Prykarpatsky A. K., Samoylenko V. Hr. Nonlinear dynamical systems of mathematical physics. Spectral
and symplectic integrability analysis. – Singapore: World Sci., 2011. – 564 p.
30. Маслов В. П., Омельянов Г. А. Асимптотические солитонообразные решения уравнений с малой дисперсией
// Успехи мат. наук. – 1981. – Вып. 36 (219), № 2. – С. 63 – 124.
31. Maslov V. P., Omel’yanov G. A. Geometric asymptotics for PDE. I. – Providence: Amer. Math. Soc., 2001. – 243 p.
32. Samoylenko Yul. Asymptotical expansions for one-phase soliton-type solution to perturbed Korteweg – de Vries
equation // Proc. Fifth Int. Conf. “Symmetry in Nonlinear Math. Phys.”. – Kyiv: Inst. Math. Nat. Acad. Sci. Ukraine,
2004. – 3. – P. 1435 – 1441.
33. Самойленко В. Г., Самойленко Ю. I. Асимптотичнi розвинення для однофазових солiтоноподiбних розв’язкiв
рiвняння Кортевега – де Фрiза зi змiнними коефiцiєнтами // Укр. мат. журн. – 2005. – 58, № 1. – C. 111 – 124.
34. Самойленко В. Г., Самойленко Ю. I. Асимптотичнi розв’язки задачi Кошi для сингулярно збуреного рiвняння
Кортевега – де Фрiза зi змiнними коефiцiєнтами // Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 1. – C. 122 – 132.
35. Самойленко Ю. I. Асимптотичнi розвинення для однофазових солiтоноподiбних розв’язкiв задачi Кошi для
рiвняння Кортевега – де Фрiза зi змiнними коефiцiєнтами та малою дисперсiєю // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту.
Математика. – 2007. – Вип. 336 – 337. – C. 170 – 177.
36. Самойленко В. Г., Самойленко Ю. I. Асимптотичнi двофазовi солiтоноподiбнi розв’язки сингулярно збуреного
рiвняння Кортевега – де Фрiза зi змiнними коефiцiєнтами // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 3. – C. 378 – 387.
37. Самойленко Ю. I. Асимптотичнi розв’язки сингулярно збуреного рiвняння Кортевега – де Фрiза зi змiнними
коефiцiєнтами (загальний випадок) // Мат. вiсн. НТШ. – 2010. – 7. – С. 227 – 242.
38. Miura R. M. The Korteweg – de Vries equation: a survey of results // SIAM Rev. – 1976. – 18, № 3. – P. 412 – 459.
39. de Kerf F. Asymptotic analysis of a class of perturbed Korteweg – de Vries initial value problems. – Amsterdam:
Centrum voor Wiskunde en Informatica, 1988. – 50. – 180 p.
40. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. – М.: Наука, 1976. – 280 с.
Одержано 15.07.11,
пiсля доопрацювання — 22.05.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
|