Разрешимость полулинейных дифференциальных уравнений с сингулярностью
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Datum: | 2008 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164475 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Разрешимость полулинейных дифференциальных уравнений с сингулярностью / А.Г. Руткас// Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 2. — С. 225–239. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164475 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Руткас, А.Г. 2020-02-09T16:11:27Z 2020-02-09T16:11:27Z 2008 Разрешимость полулинейных дифференциальных уравнений с сингулярностью / А.Г. Руткас// Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 2. — С. 225–239. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164475 517.98 ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Разрешимость полулинейных дифференциальных уравнений с сингулярностью Solvability of semilinear differential equations with singularity Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Разрешимость полулинейных дифференциальных уравнений с сингулярностью |
| spellingShingle |
Разрешимость полулинейных дифференциальных уравнений с сингулярностью Руткас, А.Г. Статті |
| title_short |
Разрешимость полулинейных дифференциальных уравнений с сингулярностью |
| title_full |
Разрешимость полулинейных дифференциальных уравнений с сингулярностью |
| title_fullStr |
Разрешимость полулинейных дифференциальных уравнений с сингулярностью |
| title_full_unstemmed |
Разрешимость полулинейных дифференциальных уравнений с сингулярностью |
| title_sort |
разрешимость полулинейных дифференциальных уравнений с сингулярностью |
| author |
Руткас, А.Г. |
| author_facet |
Руткас, А.Г. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Solvability of semilinear differential equations with singularity |
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164475 |
| citation_txt |
Разрешимость полулинейных дифференциальных уравнений с сингулярностью / А.Г. Руткас// Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 2. — С. 225–239. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT rutkasag razrešimostʹpolulineinyhdifferencialʹnyhuravneniissingulârnostʹû AT rutkasag solvabilityofsemilineardifferentialequationswithsingularity |
| first_indexed |
2025-11-25T02:01:27Z |
| last_indexed |
2025-11-25T02:01:27Z |
| _version_ |
1850504307574571008 |
| fulltext |
УДК 517.98
А. Г. Руткас (Харьков. нац. ун-т)
РАЗРЕШИМОСТЬ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С СИНГУЛЯРНОСТЬЮ
Local theorems on the existence of solutions of the Cauchy problem for the singular equations of the form
d
dt
(Au(t)) + Bu(t) = f(t, u) in Banach spaces are proved. The conditions for the solvability depend on
a type of the singularity of the sheaf λA + B of closed linear operators A, B. Examples and applications
to finite-dimensional differential algebraic equations, infinite systems of differential equations, and partial
differential equations of non-Kovalevskaya type are presented.
Доведено локальнi теореми iснування розв’язкiв задачi Кошi для сингулярних рiвнянь вигляду
d
dt
(Au(t)) + Bu(t) = f(t, u) у банахових просторах. Умови розв’язностi залежать вiд типу сингу-
лярностi жмутка λA + B лiнiйних замкнених операторiв A, B. Наведено приклади та застосування
до скiнченновимiрних диференцiально-алгебраїчних рiвнянь, нескiнченних систем диференцiаль-
них рiвнянь та рiвнянь з частинними похiдними не типу Ковалевської.
1. Введение. В настоящей статье исследуются дифференциально-алгебраические
уравнения и уравнения в частных производных не типа Ковалевской, абстрактная
форма которых имеет вид
d
dt
(Au(t)) +Bu(t) = f(t, u). (1.1)
Здесь A, B — линейные замкнутые операторы из комплексного банахова про-
странства X в комплексное банахово пространство Y, f(t, u) : Θ → Y — нелиней-
ное отображение,Θ ⊂ R × X. В конечномерных пространствах теория линейных
и полулинейных дифференциально-алгебраических уравнений содержит много ре-
зультатов в случае регулярного матричного пучка λA + B (см. монографию [1] и
библиографию в ней). В случае сингулярного матричного пучка λA + B класси-
ческие результаты для линейного уравнения принадлежат Л. Кронекеру [2, 3]. В
бесконечномерном случае (1.1) называется также полулинейным уравнением Со-
болева; различные классы таких уравнений и приложения исследовались в [4 – 7]
в предположении регулярности операторного пучка λA + B, т. е. нетривиально-
сти открытого множества ρ = ρ(A,B) = {λ} регулярных точек λ : (λA + B)−1 ∈
∈ L(Y,X). В настоящей статье рассматриваются уравнения (1.1) с сингулярным
пучком λA + B таким, что ρ(A,B) = ∅. Хотя упрощения некоторых условий
для конечномерных дифференциально-алгебраических уравнений (1.1) отдельно
не обсуждаются, применения абстрактных теорем к конечномерным уравнениям
продемонстрированы на соответствующих примерах.
Обозначим через DA, DB(⊂ X) области определения операторов A, B и через
D их пересечение, т. е. область определения пучка:
(λA+B) : D → Y (∀λ), D = DA ∩DB 6= {0}. (1.2)
Аннулирующей функцией пучка λA+B назовем определенную в области Ω(⊂ C)
функцию v(λ) : Ω → D такую, что
c© А. Г. РУТКАС, 2008
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2 225
226 А. Г. РУТКАС
(λA+B)v(λ) = 0 ∀λ ∈ Ω; v(λ) 6= 0. (1.3)
Дефектная функция f(λ) : E → Y ∗(E ⊂ C) — это такая функция f(λ) 6= 0 , что
〈(λA+B)u, f(λ)〉 = 0 ∀λ ∈ E ∀u ∈ D. (1.4)
Здесь 〈y, f〉 — значение линейного непрерывного функционала f ∈ Y ∗ на элементе
y ∈ Y. Аннулирующая функция v(1.3) (соответственно дефектная f (1.4)) называ-
ется сингулярной, если ее область определения плотна в C, т. е. Ω = C(E = C).
Существование хотя бы одной сингулярной функции, аннулирующей или дефект-
ной, является достаточным признаком сингулярности пучка. Классический при-
мер в гильбертовом пространстве H = X = Y порождается замкнутым сим-
метрическим оператором T (⊂ T ∗) с ненулевыми индексами дефекта: выбирая
для каждого λ : Imλ 6= 0 ненулевой вектор f(λ) в дефектном подпространстве
Nλ =
[
(T − λE)DT
]⊥
, получаем сингулярную дефектную функцию f(λ) пучка
T − λE и соответственно аннулирующую функцию v(µ) = f(µ) пучка (T ∗ − µE),
Imµ 6= 0, если f(λ) ∈ DT∗ . В конечномерном случае пучок λA + B : X → Y
сингулярен, если и только если он имеет полиномиальные сингулярные функции
— одну или несколько [2, 3]. При этом существуют разложения пространств X,
Y в прямые суммы подпространств, которые расщепляют пучок на два блока —
регулярный и чисто сингулярный. Подобное расщепление сингулярного пучка
замкнутых операторов в бесконечномерных пространствах может не иметь места
и потому является предположением. Приведем его точную формулировку [8].
Пучок λA+B из X в Y допускает RS-расщепление, если существуют прямые
разложения пространств на замкнутые подпространства
X = Xs+̇Xr, Y = Ys+̇Yr (1.5)
такие, что пары подпространств (Xs, Ys) и (Xr, Yr) инвариантны относительно
отображений A,B, причем пучок λAs + Bs, индуцированный в подпространствах
(Xs, Ys), является простым сингулярным, а пучок λAr + Br, индуцированный
в подпространствах (Xr, Yr), — регулярным. Обозначим через S : X → Xs,
P : X → Xr и F : Y → Ys, Q : Y → Yr две пары взаимно дополнительных проек-
торов на подпространства (1.5), EX = S + P, EY = F + Q. Инвариантность пар
подпространств означает, что P (DA) ⊂ DA, P (DB) ⊂ DB , QA = AP, FA = AS,
QB = BP, FB = BS. Индуцированные пучки действуют как отображения
λAs +Bs = λA+B : S(D) → Ys, λAr +Br = λA+B : P (D) → Yr. (1.6)
Простота сингулярного пучка λAs + Bs означает, что от него нельзя отщепить
нетривиальный регулярный блок.
Заметим, что если T — симметрический оператор с ненулевыми индексами
дефекта, то RS-расщепление сингулярного пучка T − λE связано с нахождением
максимальной самосопряженной части и простой симметрической части оператора
T [9] (п. 103).
2. Некоторые типы сингулярностей, сингулярные цепочки. Для исследо-
вания конкретных классов уравнений (1.1) удобно выделить несколько типов син-
гулярностей. Множество D0 = KerA ∩ KerB назовем 0-сингулярным подпрост-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
РАЗРЕШИМОСТЬ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ... 227
ранством; пучок λA+B обладает 0-сингулярностью, если D0 нетривиально. Пу-
чок обладает полиномиальной аннулирующей сингулярностью, если существует ан-
нулирующий полином v(λ) степени k ≥ 1, удовлетворяющий (1.3) на нетривиаль-
ном открытом множестве Ω. Понятно, что полином v(λ) в этом случае аннулирует
пучок при всех λ ∈ C, поэтому аннулирующий на Ω полином всегда продолжается
до сингулярной функции
v(λ) =
k∑
i=0
(−1)iλixi, λ ∈ C, xk 6= 0, k ≥ 1. (2.1)
Ясно, что xi ∈ D и (2.1) эквивалентно системе равенств
Bx0 = 0, Ax0 = Bx1, Ax1 = Bx2, . . . , Axk−1 = Bxk, Axk = 0.
(2.2)
Следующие линейные оболочки образуют пару конечномерных подпространств,
инвариантную относительно пучка:
X(v) = span{xi}k
0 , Y (v) = span{Axi}k−1
0 = span{Bxi}k
1 ,
(λA+B)X(v) ⊂ Y (v).
(2.3)
Поскольку существует многочлен минимальной степени [2, 3] с векторными ко-
эффициентами из X(v), который аннулирует пучок λA + B, можно в качестве
аннулирующего многочлена v(λ) (2.1) выбрать именно минимальный, сужая в слу-
чае необходимости инвариантную пару подпространствX(v), Y (v). Тогда системы
векторов {xi}k
0 , {Axi}k−1
0 линейно независимы, образуют базисы своих линейных
оболочек X(v), Y (v) соответственно. Относительно этих базисов матрица инду-
цированного пучка (λA + B) : X(v) → Y (v) является канонической сингулярной
клеткой Л. Кронекера {σij} размера k×(k+1), у которой ненулевые элементы есть
σii = λ, σi,i+1 = 1, i = 1, . . . , k. Цепочка векторов {xi}k
0 , для которой выполне-
ны равенства (2.2) и векторы {Axi}k−1
0 линейно независимы, называется базисной
сингулярной цепочкой длины k + 1 для пучка λA+B.
Пусть в нетривиальной окрестности |λ| < r сходятся ряды
v(λ) =
∞∑
n=0
(−1)nλnxn,
∞∑
n=0
(−1)nλnAxn,
∞∑
n=0
(−1)nλnBxn. (2.4)
Сумма первого ряда v(λ) аннулирует пучок λA+ B в смысле (1.3), если и только
если векторные коэффициенты удовлетворяют соотношениям Bx0 = 0; Axk−1 =
= Bxk, k = 1, 2, . . . . Система векторов {xk}∞0 , удовлетворяющих указанным со-
отношениям, в [10] названа A-жордановой цепочкой оператора B, а в [11] — сис-
темой из собственного и присоединенных векторов (с.п.в.) пучка B − λA в точке
λ = 0. Если ряды (2.4) сходятся при всех λ ∈ C и Axk−1 = Bxk, Bx0 = 0, то
будем называть систему векторов {xk}∞0 бесконечной сингулярной цепочкой пуч-
ка λA + B в точке λ = 0 и одновременно бесконечной сингулярной цепочкой
пучка A + µB в точке µ = ∞. Сингулярная цепочка {xn}∞0 называется базисной,
если системы векторов {xn}∞0 , {Axn}∞0 образуют базисы Рисса своих линейных
замкнутых оболочек X(v), Y (v) соответственно. Относительно пары этих базисов
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
228 А. Г. РУТКАС
индуцированный пучок (λA+B) : X(v) → Y (v) задается бесконечной матрицей
λE + T ; τij = 0, j 6= i+ 1, τi,i+1 = 1, i = 1, 2, . . . . (2.5)
Матрица T является бесконечной клеткой Жордана.
Если рассматривать операторы, определяемые матрицами E, T не в паре бази-
сов {xn}, {Axn}, а в одном координатном базисе {en = (0, . . . , 1, 0, . . .)} прост-
ранства l2, то соответствующий пучок ограниченных операторов λE+T оказывает-
ся регулярным. Последовательность {en}∞1 является несингулярной бесконечной
жордановой цепочкой оператора T , ряд
∑∞
0
(−1)nλnxn = v(λ) сходится к анну-
лирующей функции пучка λE + T лишь в круге |λ| < 1.
Рассмотрим в пространстве l2 матричный пучок
λE + T̂ ; τ̂n,j = 0, j 6= n+ 1; τ̂n,n+1 = n, n = 1, 2, . . . . (2.6)
Соответствующий замкнутый оператор T̂ неограничен, последовательность векто-
ров xn =
1
n!
en+1, n = 0, 1, 2, . . . , является бесконечной сингулярной цепочкой
пучка λE + T̂ в точке λ = 0. Сумма ряда
v(λ) =
∞∑
0
(−1)nλnxn =
∞∑
0
(−1)nλ
n
n!
en+1, xn =
en+1
n!
, (2.7)
существует и аннулирует пучок λE+T̂ при всех λ ∈ C. Иначе говоря, в l2 оператор
T̂ из (2.6) не имеет регулярных точек.
Для дефектных сингулярностей и дефектных функций f(λ) (1.4) со значени-
ями в пространстве функционалов Y ∗ можно ввести понятия и получить свой-
ства, двойственные по отношению к изложенным выше для аннулирующих син-
гулярностей и сингулярных цепочек. Практически двойственность использует-
ся с помощью следующего факта. Если существуют сопряженные операторы
A∗, B∗ и f(λ) является аннулирующей функцией сопряженного пучка, так что
(λ̄A∗ +B∗)f(λ) = 0, то f(λ) — дефектная функция пучка λA+B в смысле (1.4).
3. Уравнения с 0-сингулярностью. Рассмотрим случай нулевой сингулярной
компоненты вRS-разложении (1.5), (1.6) пучка λA+B : Xs = KerA
⋂
KerB, As =
= Bs = 0. Относительно регулярной компоненты λAr +Br : PD → Yr, PD ⊂ Xr,
предполагается существование и ограниченность резольвенты для больших λ:
∥∥(λAr +Br)−1
∥∥ ≤ C, |λ| > M. (3.1)
Тогда в пространствах Xr, Yr существуют две пары взаимно дополнительных про-
екторов Pk : PD → Dk, Qk : Yr → Yk, k = 1, 2, и прямые разложения линеалов
PD = D1+̇D2 (Dk ⊂ PD), Yr = Y1+̇Y2, (3.2)
относительно которых регулярная компонента расщепляется на два блока
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
РАЗРЕШИМОСТЬ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ... 229
λAk +Bk = (λAr +Br) : Dk → Yk;
A2 = 0, ∃A−1
1 ∈ L(Y1, Xr), ∃B−1
2 ∈ L(Y2, Xr).
(3.3)
Конструктивно проекторы Pk, Qk могут быть вычислены контурным интегрирова-
нием [7] (подраздел 2.3), а подпространства Dk, Yk явно задаются формулами
Y1 = A(PD), D1 = (λ0Ar +Br)−1Y1, D2 = KerAr ∩ PD, Y2 = BD2.
(3.4)
Заметим, что P, Q, F, S, Qk — ограниченные проекторы.
Теперь мы можем сформулировать два условия разрешимости задачи Коши для
уравнения (1.1).
Теорема 3.1. Пусть выполнены следующие условия:
1◦. Функция f(t, u) непрерывна и имеет непрерывную производную
∂f
∂u
в облас-
ти 0 ≤ t ≤ τ, ‖u− u0‖ ≤ r, u0 ∈ D. Для пучка λA+B в RS-разложении (1.5), (1.6)
регулярная компонента удовлетворяет условию (3.1) и сингулярная компонента
тождественно вырождена (As = 0, Bs = 0).
2◦. Существуют разложения проектора S = S1 + S2 и соответственно син-
гулярного пространства Xs = Xs1+̇Xs2 в прямую сумму замкнутых подпрост-
ранств такие, что Xsk
= SkXs, k = 1, 2, и отображение
Φ ≡ (F +Q2)
(
∂f
∂u
(0, u0)−B
)
: Xs1+̇D2 → Ys+̇Y2 (3.5)
имеет ограниченный обратный оператор Φ−1 ∈ L(Ys+̇Y2, X).
Если (F + Q2)f(0, u0) = BP2u0, то существует решение u(t), 0 ≤ t ≤ τ0,
τ0 > 0, уравнения (1.1), удовлетворяющее начальному условию u(0) = u0.
Доказательство. Напомним, что F — проектор на сингулярное подпростран-
ство Ys (1.5), Q2 — проектор на подпространство Y2, порождаемое аннулятором
KerAr регулярной компоненты пучка (см. (3.4)). Если u ∈ D, то u = us + ur, где
ur = Pu, us = Su ∈ D. В силу (3.2), (3.3) ur = u1 + u2, uk ∈ Dk ⊂ D. Далее,
us = us1 +us2 , usk
∈ Xsk
, k = 1, 2, причем вследствие замкнутости операторов A,
B их общий аннулятор Xs(⊃ Xsk
) содержится в линеале D. Представим вектор
u ∈ D в виде
u = us1 + us2 +A−1
1 v1 +B−1
2 v2, v1 = A1u1 = Q1Au, v2 = B2u2 = Q2Bu.
(3.6)
Применим последовательно к уравнению (1.1) проекторы F, Q2, Q1 с учетом ра-
венств FA = 0, FB = 0, Q1Bu = B1u1. Получим систему трех уравнений
v2 −Q2f(t, u) = 0, Ff(t, u) = 0,
dv1
dt
+B1A
−1
1 v1 = Q1f(t, u), (3.7)
где u имеет представление (3.6). Первое и второе уравнения запишем в виде
алгебраического уравнения
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
230 А. Г. РУТКАС
ψ(t, v1, v2, us1 , us2) = 0, ψ ≡
(
Ff(t, u)
v2 −Q2f(t, u)
)
. (3.8)
Поскольку Φ (3.5) обратим, оператор
V =
∂ψ
∂(us1 , v2)
(0, S1u0, S2u0, Q1Au0, Q2Bu0) = Φ(Es1 ⊕B−1
2 )
имеет ограниченный обратный V −1 ∈ L(Ys+̇Y2, Xs1+̇Y2). Здесь Es1 — единичный
оператор в Xs1 . Действительно, оператор V −1 = (Es1 ⊕B2)Φ−1 определен всюду
на Ys+̇Y2 и замкнут вместе с B2 : D2 → Y2. По условию ψ(0, S1u0, S2u0, Q1Au0,
Q2Bu0) = 0. На основании теоремы о неявной функции [12] (теоремы 25 – 27)
существуют положительные числа τ1, r1, r2 и непрерывные функции us1 = ϕ1(t, v1,
us2), v2 = ϕ2(t, v1, us2) такие, что равенство (3.8) выполняется в некоторой области
Ω =
{
(t, us2 , v1) : 0 ≤ t ≤ τ1, ‖v1 −Q1Au0‖ ≤ r1, ‖us2 − S2u0‖ ≤ r2
}
.
Функции ϕ1, ϕ2 имеют непрерывные производные в Ω. Подставив эти функции в
третье уравнение (3.7), получим задачу Коши
dv1
dt
+ Tv1(t) = h(t, v1, us2), v1(0) = Q1Au0, (3.9)
где h ≡ Q1f(t, ϕ1(t, v1, us2)+us2+A
−1
1 v1+B−1
2 ϕ2(t, v1, us2)). Ясно, что T ∈ L(Y1),
а функция h(t, v1, us2) непрерывна и имеет непрерывную частную производную
Фреше
∂h
∂v1
в области Ω. Выберем непрерывную функцию g(t) ∈ C
(
[0, τ1], Xs2
)
так, чтобы g(0) = S2u0, и подставим us2 = g(t) в (3.9). Тогда задача (3.9) имеет
единственное (при выбранной g(t)) непрерывно дифференцируемое решение v1(t)
на нетривиальном интервале 0 ≤ t ≤ τ0(≤ τ1). Функция u(t) = ϕ1(t, v1(t), g(t))+̇
+̇g(t)+̇A−1
1 v1(t)+̇B−1
2 ϕ2(t, v1(t), g(t)) является искомым локальным решением за-
дачи Коши для уравнения (1.1).
Замечание 3.1. По построению u(t) имеет следующую гладкость: проекции
Sku(t), P2u(t) непрерывны, проекция P1u(t) непрерывно дифференцируема. Как
следует из доказательства, решение u(t) не является единственным, так как зави-
сит от свободного функционального параметра g(t). Параметр отсутствует, если
Xs2 = {0}, и хотя в этом случае единственность решения u(t) из приведенно-
го доказательства не усматривается, ее можно получить иначе. Именно, можно
перейти к интегральной форме третьего уравнения в (3.7) и далее анализировать
разрешимость всех трех уравнений одновременно по аналогии с доказательством
теоремы 2 из [13], не разрешая предварительно два алгебраических уравнения.
В случае конечномерных сингулярных подпространств, в частности конечно-
мерных пространствX, Y, условия теоремы 3.1 предполагают соотношение размер-
ностей dimXs ≥ dimYs. Следующая теорема предусматривает противоположное
включение dimXs ≤ dimYs.
Теорема 3.2. Пусть выполнено условие 1◦ теоремы 3.1. Предположим, что
существуют разложения проектора F = F1 +F2 и соответственно сингулярного
пространства Ys = Ys1+̇Ys2 в прямую сумму замкнутых подпространств Ysk
=
= FkYs такие, что отображение
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
РАЗРЕШИМОСТЬ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ... 231
Φ ≡ (F1 +Q2)
[
∂f
∂u
(0, u0)−B
]
: Xs+̇D2 → Ys1+̇Y2 (3.10)
имеет ограниченный обратный оператор Φ−1 ∈ L(Ys1+̇Y2, Xs+̇D2). Если равен-
ство F2f(t, u) = 0 выполнено для всех t, u, а равенство (F1+Q2)[f(0, u0)−Bu0] =
= 0 справедливо в точке (0, u0), то уравнение (1.1) имеет единственное локальное
решение с начальным условием u(0) = u0.
Доказательство может быть получено путем соответствующих изменений в до-
казательстве теоремы 3.1.
Пример 3.1. Система дифференциально-алгебраических уравнений
√
u3 − u1u5 = 0, u2u4 −
√
u3 = 0, u1u5 − u2u4 = 0,
u2
1u3 − te6t = u3,
du4
dt
+ u4 = tu1u4,
du5
dt
= t2u2u5 (3.11)
в векторной форме представляется как уравнение (1.1), где
X = C5, Y = C6, u(t) = (u1, u2, u3, u4, u5)tr(t) ∈ C5, f(t, u) ∈ C6.
Компонентами f являются функции f1 =
√
u3 − u1u5, f2 = u2u4 −
√
u3, f3 =
= u1u5 − u2u4, f4 = u2
1u3 − te6t, f5 = tu1u4, f6 = t2u2u5. Здесь выбирается
такая ветвь функции
√
x, для которой
√
1 = +1. Заметим, что f1 + f2 + f3 = 0 и
вследствие линейной зависимости любое из первых трех уравнений можно было
бы удалить из системы. Однако, мы сохраняем все шесть уравнений для демон-
страции общности метода, тем более что в случае удаления оставшаяся систе-
ма из пяти дифференциально-алгебраических уравнений также имеет сингуляр-
ную линейную часть. Элементы прямоугольных (6 × 5)-матриц A, B таковы:
a54 = a65 = 1, b43 = b54 = 1, остальные элементы равны нулю. Обозначим
через e1 = (10000)tr, . . . , e5 = (00001)tr координатный базис в C5 = X, а че-
рез h1, . . . , h6 соответственно координатный базис в C6 = Y. Имеем разложе-
ния (1.5) такие, что Xs = KerA
⋂
KerB = span{e1, e2}, Ys = KerA∗
⋂
KerB∗ =
= span{h1, h2, h3}, Xr = span{e3, e4, e5}, Yr = span{h4, h5, h6}. Операторы Ar,
Br (1.6) представляются в указанных базисах пространств Xr, Yr матрицами
Ar =
0 0 0
0 1 0
0 0 1
, Br =
1 0 0
0 1 0
0 0 0
: {e3, e4, e5} → {h4, h5, h6}.
В разложении (3.2) имеем PD = Xr, D1 = X1 = span{e4, e5}, D2 = X2 =
= span{e3} = KerAr, Y1 = span{h5, h6}, Y2 = span{h4}. Проекторы F : Y →
→ Ys(1.5), F2 : Y → Ys2 , Q2 : Y → Y2 из теоремы 3.2 имеют в базисе {hi}6
1
представление в виде (6 × 6)-матриц F = {fij}, F2 = {f2
ij}, Q2 = {q2ij} с эле-
ментами f11 = f22 = f33 = 1, f2
11 = f2
12 = f2
13 = 1, q244 = 1 и остальными
элементами, равными нулю. Здесь проекционные матрицы F, Q2 определяются
из требований разложимости (1.5), (3.2), проекционная матрица F2 однозначно за-
дается условиями F2f(t, u) ≡ 0, F2F = F2. Для компонент начального вектора
u0 = (u01, u02, u03, u04, u05) равенство (F1 + Q2)[f(0, u0) − Bu0] = 0 из условия
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
232 А. Г. РУТКАС
теоремы 3.2 эквивалентно зависимостям u2
01 = 1, u02u04 =
√
u03 = u01u05, если
только u03 6= 0. Потребовав выполнение этих зависимостей, получим следующее
матричное представление для оператора (3.10) относительно указанных базисов:
Φ =
−u05 0
1
2
√
u03
0 u04 − 1
2
√
u03
u05 −u04 0
2u01u03 0 0
: {e1, e2, e3} → {h1, h2, h3, h4}.
Предположим далее, что u04 6= 0, u05 6= 0. Тогда (4 × 3)-матрица Φ имеет мак-
симальный ранг 3, и поскольку dimY2 = 1, dimYs1 = rank(F − F2) = 2, ото-
бражение Φ (3.10) является взаимно однозначным. По теореме 3.2 при указанных
ограничениях на начальный вектор u0 и надлежащей гладкости функции f(t, u)
система (3.11) имеет единственное локальное решение в окрестности вектора u0.
Пример 3.2. Рассмотрим смешанную задачу
∂3u
∂t∂x2
− ∂u
∂t
+
∂u
∂x
− u(t, x) = f(t, u), 0 ≤ t ≤ τ, 0 ≤ x ≤ 1, (3.12)
u(t, 1) = eu(t, 0), u(0, x) = u0(x). (3.13)
Пусть u0(x) ∈ C2[0, 1], вещественная функция f(t, u) непрерывна вместе со
своей производной на множестве [0, τ ]×{u ∈ R : a ≤ u ≤ b}, где a < inf u0(x)− r,
b > supu0(x) + r, r > 0. Выберем X = Y = C[0, 1]. Отображение f(t, u) : [0, τ ]×
× {u ∈ X : ‖u − u0‖ ≤ r} → Y является непрерывным и имеет непрерывную
производную Фреше
∂f
∂u
(t, u) в указанной области. Введем в C[0, 1] линейные
операторы
A =
d2
dx2
− 1, DA =
{
u ∈ C2[0, 1], u(1) = eu(0)
}
,
B =
d
dx
− 1, DB =
{
u ∈ C1[0, 1], u(1) = eu(0)
}
.
Тогда краевая задача для уравнения (3.12) записывается в абстрактной форме (1.1).
Операторный пучок λA+B с областью определения D = DA является 0-сингуляр-
ным: Xs = KerA = KerB = span{ex}. В (1.5), (1.6) имеем Ys = {0}, F = 0,
Su =
2ex
e2 − 1
∫ 1
0
u(x)exdx, P = E − S,DA = PD. Оператор Ar = A|Xr
, действу-
ющий из Xr = PX в Y, имеет ограниченный обратный оператор A−1
r ∈ L(Y,Xr),
явный вид которого приведен ниже. Следовательно, в (3.2), (3.4) P2 = 0, D2 = {0},
D1 = PD,D1 = Xr, Y2 = {0}, Q2 = 0. Благодаря представлению A = ArP с замк-
нутым Ar и ограниченным P оператор A замкнут в C[0, 1]. Легко проверить, что
(B + E)−1 =
∫ x
0
(·)ds +
1
e− 1
∫ 1
0
(·)ds, поэтому оператор B также замкнут. Все
условия теоремы 3.1 выполняются, если u0 ∈ D = DA. Следовательно, существу-
ет решение u(t, x) смешанной задачи (3.12), (3.13) с произвольной компонентой
g(t, x) = Su(t, x) = β(t)ex, где β(t) — любая непрерывная на [0, τ ] скалярная
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
РАЗРЕШИМОСТЬ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ... 233
функция с начальным условием β(0) =
2
e2 − 1
∫ 1
0
u0(x)exdx. После выбора такой
функции β(t), т. е. компоненты g(t, x) = Su(t, x), компонента Pu(t, x) решения на-
ходится однозначно на нетривиальном интервале времени 0 ≤ t ≤ τ0(≤ τ). Точнее,
u(t, x) = β(t)ex + A−1
r v(t, x), где функция v(t, x) является решением полулиней-
ного абстрактного уравнения
dv
dt
+ Π · v(t) = f(t, β(t)ex + A−1
r v) в пространстве
Y = C[0, 1] с ограниченным оператором Π = BA−1
r ∈ L(Y ). Здесь A−1
r ,Π —
интегральные операторы
(Πy)(x) = e−x
1∫
0
y(s)
[
es
e2 − 1
+
e−s
e−2 − 1
]
ds+ e−x
x∫
0
y(s)esds,
A−1
r y(x) =
ex
e2 − 1
1∫
0
(Πy)(s)esds+ ex
x∫
0
(Πy)(s)e−sds.
4. Общие блочные представления сингулярностей. Характеристический
пучок λA + B линейной части уравнения (1.1) может иметь различные сингуляр-
ные аннулирующие (дефектные) функции, представимые полиномами (2.1) или
рядами (2.4). С помощью соответствующих сингулярных цепочек можно полу-
чать различные частные признаки разрешимости полулинейных уравнений (1.1),
как в [8]. Здесь приводятся общие теоремы разрешимости с помощью „универ-
сальных” блочных представлений аннулирующей сингулярности (4.1) и дефектной
сингулярности (4.2).
Для операторов пучка λAs + Bs(Xs → Ys) с областью определения Ds = SD
(⊂ Xs) рассматривается одно из двух блочных представлений
As =
[
M 0
]
, Bs =
[
N N2
]
(Xs1+̇Xs2 → Ys), (4.1)
As =
[
M
0
]
, Bs =
[
N
N2
]
: Ds → Ys1+̇Ys2 . (4.2)
Представление (4.1) соответствует прямому разложению Xs = Xs1+̇Xs2 , пред-
ставление (4.2) — прямому разложению Ys = Ys1+̇Ys2 на замкнутые подпростран-
ства, так что проекционные операторы Sk : Xs → Xsk
= SkXs, Fk : Ys → Ysk
=
= FkYs ограничены и S1S2 = 0, F1F2 = 0. Для корректности представления (4.1)
предполагается, что проектирование Sk не выводит элементы из области опреде-
ления пучка: SkDs ⊂ Ds, k = 1, 2. Представление (4.1) назовем каноническим,
если операторный блок M : S1Ds → Ys имеет ограниченный обратный M−1 ∈
∈ L(Ys, Xs1), блок N2 ∈ L(Xs2 , Ys) ограничен, а регулярное множество ρ(M,N)
пучка λM+N : S1Ds → Ys всюду плотно в комплексной плоскости C. Аналогично
блочное представление (4.2) считается каноническим, если блокM : Ds → Ys1 име-
ет ограниченный обратный M−1 ∈ L(Ys1 , Xs) и регулярное множество ρ(M,N)
пучка λM + N : Ds → Ys1 плотно в C. Каждое из канонических представле-
ний (4.1), (4.2) гарантирует сингулярность соответствующего пучка λAs +Bs. Дей-
ствительно, в случае (4.1) существует голоморфная вектор-функция x2(λ) : ρ(M,
N) → S2Ds такая, что x2(λ) 6= 0 и функции Ax2(λ), Bx2(λ) также голоморфны.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
234 А. Г. РУТКАС
Например, достаточно выбрать x2(λ) = x2 = const ∈ S2Ds, x2 6= 0. Функция
v(λ) =
[
(λM +N)−1N2x2(λ)
−x2(λ)
]
: ρ(M,N) → Xs1+̇Xs2 является голоморфной и ан-
нулирующей пучок λAs+Bs на множестве ρ(M,N). Соответственно для представ-
ления (4.2) можно задать сингулярную дефектную функцию f(λ) : ρ(M,N) → Y ∗s
пучка λAs +Bs.
Конкретные сингулярности из [2, 3, 8, 10] и из пункта 2 допускают канони-
ческие блочные представления (4.1) или (4.2). Для пучка λAs + Bs, имеющего
каноническую клетку Л. Кронекера в базисах {xi}, {Axi} (2.3), блоки представле-
ния (4.1) имеют матричную форму
M =
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 1
, N =
0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 0
, N2 =
0
0
. . .
1
.
Пусть T̂ — бесконечная матрица, определенная в (2.6). Сингулярный пучок
λAs + Bs = λT̂ + E в пространстве l2 = Xs = Ys имеет блочное представ-
ление (4.1) относительно подпространств Xs1 = span{en}∞2 , Xs2 = span{e1},
так что Men+1 = n · en, Nen+1 = en+1, n = 1, 2, . . . , N2e1 = e1. Поскольку
M−1en = NM−1en =
1
n
en+1, оператор M−1 : l2 → Xs1 ограничен и вполне
непрерывен, оператор NM−1 является вполне непрерывным и квазинильпотент-
ным в l2. Следовательно, при любом λ 6= 0 существует ограниченный оператор
(λM +N)−1 = M−1(λE+NM−1)−1 : l2 → Xs1 , так что указанное блочное пред-
ставление (4.1) является каноническим.
Аналогично конструируются канонические блочные представления (4.2) для
соответствующих конечномерных сингулярных клеток Л. Кронекера и бесконечно-
мерной клетки λT̂ ∗ + E с сопряженным матричным оператором T̂ ∗.
Прямая сумма блочных операторов вида (4.1) имеет такую же блочную структу-
ру в соответствующей прямой сумме пространств. При этом для суммы конечного
числа слагаемых сингулярных клеток свойство каноничности блоков сохраняется
без дополнительных ограничений. Для того чтобы счетная сумма клеток имела ка-
нонические блоки, могут потребоваться некоторые естественные предположения.
Аналогичное свойство имеют блочные операторы вида (4.2). Это замечание харак-
теризует общность канонических представлений (4.1), (4.2) для аннулирующих и
дефектных сингулярностей соответственно.
В дальнейшем области определения проекторов Pk, Sk в (3.2), (4.1) расширяют-
ся по правилу Pk ∼ PkP, Sk ∼ SkS, проекторов Qk, Fk в (3.2), (4.2) — по правилу
Qk ∼ QkQ, Fk ∼ FkF. Замкнутый шар радиуса r с центром u0 в пространстве X
обозначается через B(X,u0, r).
Теорема 4.1. Пусть в уравнении (1.1) характеристический пучок λA + B :
D → Y имеет RS-расщепление (1.5), (1.6) с регулярной компонентой класса (3.1),
а сингулярная компонента допускает каноническое блочное представление (4.1).
Предположим, что в окрестности начального вектора u0 ∈ D на множестве
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
РАЗРЕШИМОСТЬ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ... 235
[0, τ ]× U функция f(t, u) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица∥∥f(t, u1)− f(t, u2)
∥∥ ≤ b
∥∥u1 − u2
∥∥ , uk ∈ U, t ∈ [0, τ ], (4.3)
где U = U(u0, rs, r1, r2) = B(Xs, Su0, rs)+̇B(X1, P1u0, r1)+̇B(X2, 0, r2) — прямая
сумма шаров, причем r2 > ‖P2u0‖ . Далее, пусть на том же множестве [0, τ ]×U
компонента Q2f удовлетворяет условию Липшица и условию ограниченности∥∥Q2f(t, u1)−Q2f(t, u2)
∥∥ ≤ b2
∥∥u1 − u2
∥∥ , ‖Q2f(t, u)‖ ≤ k (4.4)
с постоянными b2 <
∥∥B−1
2
∥∥−1
, k < r2
∥∥B−1
2
∥∥−1
.
Если начальный вектор u0 согласован с уравнением так, что Q2Bu0 = Q2f(0,
u0), то на нетривиальном интервале [0, τ0] существует решение u(t) задачи Коши
для уравнения (1.1) с начальным условием u(0) = u0.
Доказательство. Представим подобно (3.6) любой вектор u ∈ D в виде суммы
двух сингулярных и двух регулярных компонент usk
, uk, где usk
= Sku, k = 1, 2,
— сингулярные компоненты, соответствующие разложению (4.1). Положим vs =
= Mus1 ∈ Ys, v1 = A1u1, v2 = B2u2. Применяя к (1.1) слева проекторы F, Qk,
получаем три уравнения
dvs
dt
+NM−1vs = Ff(t, u)−N2us2 ,
dv1
dt
+B1A
−1
1 v1 = Q1f(t, u), (4.5)
v2 = Q2f(t, u) (u = M−1vs + us2 +A−1
1 v1 +B−1
2 v2). (4.6)
Алгебраическое уравнение (4.6) трактуется как уравнение v2 = Φ(v2) относительно
функции v2(t) в пространствеC([0, τ ], Y2), где отображение Φ(v2) = Q2f(·, B−1
2 v2)
зависит от параметров vs, us2 , v1. Введем шар
V2 =
{
v2(t) ∈ C([0, τ ], Y2) : ‖v2‖ ≤ r2
∥∥B−1
2
∥∥−1 }
. (4.7)
Если значения параметров vs, us2 , v1 принадлежат замкнутым шарам
‖vs −AS1u0‖ ≤
rs
2 ‖M−1‖
, ‖us2 − S2u0‖ ≤
rs
2
, ‖v1 −AP1u0‖ ≤
r1∥∥A−1
1
∥∥ ,
(4.8)
то Φ(V2) ⊂ V2 и Φ — сжатие на V2. Следовательно, существует неподвижная точка
v2 = Φ(v2), v2 = v̂2(t; vs, us2 , v1) при каждом значении параметров из (4.8). В силу
свойств функций f, Q2f функция v̂2 непрерывна по совокупности переменных t,
vs, us2 , v1 и липшицева по переменным vs, us2 , v1 на множестве (4.8) равномерно
относительно t ∈ [0, τ ].Подставим функцию v2 = v̂2(t; vs, us2 , v1) в уравнения (4.5)
и запишем их в форме
dw
dt
+ Tw(t) = g(t, us2 , w), g =
[
Ff −N2us2
Q1f
]
, (4.9)
где w = (vs; v1), T = NM−1 ⊕ B1A
−1
1 . Ясно, что T ∈ L(Ys+̇Y1), а функция g
непрерывна по совокупности переменных t, us2 , w и удовлетворяет условию Лип-
шица
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
236 А. Г. РУТКАС
‖g(t, us2 , w
1)− g(t, us2 , w
2)‖ ≤ β‖w1 − w2‖
для всех t ∈ [0, τ ] и us2 , w
k = (vk
s ; vk
1 ) из шаров (4.8). Выберем любую не-
прерывную функцию ϕ(t) : [0, τ ] → B
(
Xs2 , S2u0,
rs
2
)
с начальным значением
ϕ(0) = S2u0 и подставим us2 = ϕ(t) в правую часть (4.9). Тогда на некотором
нетривиальном интервале 0 ≤ t ≤ τ0 уравнение (4.9) будет иметь единственное
решение w(t) = (vs(t); v1(t)) с начальным условием w(0) = (AS1u0;AP1u0). Не-
прерывная функция
u(t) = M−1vs(t) + ϕ(t) +A−1
1 v1(t) +B−1
2 v̂2(t, vs(t), ϕ(t), v1(t)), 0 ≤ t ≤ τ0,
является решением уравнения (1.1). Начальное условие u(0) = u0 выполняется
благодаря согласованию Q2Bu0 = BP2u0 = Q2f(0, u0).
Теорема доказана.
Теорема 4.2. Предположим, что в формулировке теоремы 4.1 для сингуляр-
ной компоненты вместо представления (4.1) содержится каноническое блочное
представление (4.2), а вместо согласования начального данного u0 с правой ча-
стью в начальный момент t = 0 справедливо согласование [Bu − f(t, u)] ∈ ImA
с замыканием образа оператора A для всех (t, u) ∈ [0, τ ]× U. Если все остальные
предположения теоремы 4.1 выполнены, то для любого y0 ∈ ImA уравнение (1.1)
на нетривиальном интервале 0 ≤ t ≤ τ0 имеет единственное решение u(t), удов-
летворяющее начальному условию Au(0) = y0.
Умножение уравнения (1.1) на проекторы Fk, Qk, k = 1, 2, приводит к четырем
уравнениям, из которых уравнение с F2 оказывается тождеством благодаря усло-
вию согласования. Остальные три уравнения имеют вид (4.5), (4.6), где us2 = 0,
vs = Mus. Вместо (4.8) рассматриваются шары
‖vs − F1y0‖ ≤ rs‖M−1‖−1, ‖v1 −Q1y0‖ ≤ r1.
Далее доказательство проводится так, как и в теореме 4.1, с учетом ϕ(t) ≡ 0,
us2 = 0.
5. Приложения. 5.1. На рисунке изображена электрическая цепь с известным
источником тока I(t), неизвестным напряжением U на входе и неизвестным импе-
дансом Z на выходе. Уравнения нелинейных индуктивностей и емкости в неуста-
новившемся режиме колебаний есть
IC =
d
dt
(CUC) + ψ(UC), ULk
=
d
dt
(LkILk
) + ϕk(ILk
), k = 1, 2, (5.1)
где ψ, ϕk — нелинейные функции. Уравнения Кирхгофа связывают токи (напряже-
ния) различных элементов:
IL1 = I, IC = IL1 + IL2 , UC + UL2 + UZ = 0,
UC + UL1 − U = 0, IZ = IL2 .
(5.2)
Если ввести вектор состояний u(t) = (IL1 , IL2 , UC , UZ)tr, то через его компо-
ненты однозначно выражаются остальные токи и напряжения цепи ULk
, IC , IZ ,
U. Для нахождения вектора u(t) с четырьмя компонентами имеются только три
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
РАЗРЕШИМОСТЬ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ... 237
� �� �� � � �� �� �
�
�
�
�
6I
6
U
6IZ
?
UZ
Z
-
IL1
�
UL1
�
IL2
-
UL2
L2
C
?
IC
L1
6
UC
уравнения
IL1 = I,
d
dt
(L2IL2)+UC+UZ = −ϕ2(IL2),
d
dt
(CUC)−IL1−IL2 = −ψ(UC).
(5.3)
Эта система уравнений имеет векторную форму (1.1), где
A =
0 0 0 0
0 L2 0 0
0 0 C 0
, B =
1 0 0 0
0 0 1 1
−1 −1 0 0
, f =
I(t)
−ϕ2(IL2)
−ψ(UC)
.
Отображения A, B действуют из пространства X = C4 в пространство Y = C3.
Положим h1 = (0 0 1 − 1)tr, h2 = (0 1 0 0)tr, h3 = (0 0 0 1)tr, h4 = (1 0 0 0)tr,
g1 = (0 0 1)tr, g2 = (0 1 0)tr, g3 = (1 0 − 1)tr. Если обозначить x1 = h1,
x2 = −Ch2, x3 = −L2Ch3, то Bx1 = 0, Ax1 = Bx2, Ax2 = Bx3, Ax3 = 0.
Следовательно, {x1, x2, x3} — базисная сингулярная цепочка пучка λA + B (2.2).
Подпространства (1.5) и соответствующие проекторы таковы:
Xs = span{hk}3
1, Xr = span{h4}, Ys = span{g1, g2}, Yr = span{g3},
S(a b c d)tr = (0 b c d)tr, F (y1, y2, y3)tr = (0, y2, y1 + y3)tr, Q = E − F.
Для разложения (4.1) и теоремы 4.1 имеем
Xs1 = span{h1, h2}, Xs2 = span{h3},
X1 = {0}, X2 = Xr, Y2 = Yr, Q2 = Q,
As = FAS |Xs =
L2 0 | 0
0 C | 0
=
(
M | 0
)
: Xs1+̇Xs2 −→ Ys,
Bs = FBS |Xs =
0 1 | 1
−1 0 | 0
=
(
N | N2
)
: Xs1+̇Xs2 −→ Ys.
Поскольку L2 6= 0, C 6= 0, оператор M : Xs1 −→ Ys обратим. Далее, Ar =
= A2 = QA|Xr
= 0. Если xr = (a 0 0 0)tr — ненулевой вектор в Xr = X2, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
238 А. Г. РУТКАС
B2Xr = QBxr = (a 0 − a)tr — ненулевой вектор в Yr = Y2. Следовательно, пучок
λAr +Br : Xr −→ Yr является регулярным, причем Ar = 0.
Предположим, что функция входного тока I(t) непрерывна при t ∈ [0,∞),
функции ϕ2(ξ), ψ(ξ) нелинейных элементов цепи (5.1) удовлетворяют услови-
ям Липшица для всех ξ ∈ C. Тогда (4.3) выполнено для τ = +∞, U = C4.
Поскольку Q2f(t, u) = I(t)g3, то (4.4) также всюду выполнено, а из равенств
Q2Bu(t) = IL1(t)g3, Q2f(t, u(t)) = I(t)g3 и первого уравнения Кирхгофа в
(5.2) следует условие согласования начального вектора u0 и правой части f(t, u).
По теореме 4.1 на некотором нетривиальном интервале 0 ≤ t ≤ τ0 в электри-
ческой цепи существуют переменные непрерывные токи и напряжения, имеющие
произвольные начальные значения IL2(0), UC(0), UZ(0) и единственное допусти-
мое начальное значение IL1(0) = I(0). При этом функции IL1(t), UC(t)
непрерывно дифференцируемы. Если выбрать и зафиксировать непрерывную
функцию UZ(t), то эволюция остальных токов и напряжений в цепи однозначно
определяется начальными значениями IL2(0), UC(0), которые можно выбирать
произвольно.
5.2. Бесконечная система полулинейных дифференциальных уравнений
n
dun+1(t)
dt
+un = fn(t, u), n = 1, 2, . . . , u = (u1, u2, . . .), 0 ≤ t ≤ τ, (5.4)
записывается как неявное дифференциальное векторное уравнение в l2 с неогра-
ниченным матричным оператором T̂ из (2.6)
d
dt
(T̂ u) + u = f(t, u), f = (f1, f2, . . .). (5.5)
Характеристический пучок λT̂ + E в l2 имеет аннулирующую голоморфную при
всех λ 6= 0 функцию w(λ) = v(λ−1) и бесконечную сингулярную цепочку {xk}∞0
в точке λ = ∞, где xk и v(z) определены в (2.7). Используя блочное канони-
ческое представление сингулярного пучка λT̂ + E, построенное в пункте 4, мы
можем исследовать разрешимость уравнения (5.5) с помощью теоремы 4.1. Имен-
но, здесь X = Xs = Y = Ys = l2, As = A = T̂ , Bs = B = E, S = F = E,
Q = Q1 = Q2 = 0, Xs2 = span{e1}, Xs1 = X⊥
s2
. Проекторы Sk, k = 1, 2,
ортогональны: S1
(∑∞
n=1
xnen
)
=
∑∞
n=2
xnen, S2
(∑∞
n=1
xnen
)
= x1e1. Ли-
неал D является областью определения оператора T̂ в l2. Если u0 ∈ D, а функ-
ция f(t, u) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица в области [0, τ ] × U,
U = {u ∈ l2 : ‖u − u0‖ < r}, то все условия теоремы 4.1 выполнены. Следо-
вательно, на некотором интервале 0 ≤ t ≤ τ0 существует решение u(t) уравне-
ния (5.5) с начальным условием u(0) = u0. Мы можем выбрать в качестве компо-
ненты S2u(t) любую непрерывную функцию α(t)e1, α(t) : [0, τ0] → C, такую, что
α(0)e1 = S2u0. Компонента S1u(t) = u(t) − α(t)e1 есть непрерывно дифферен-
цируемая функция. В частности, линейное уравнение (5.5) с непрерывной правой
частью f(t), 0 ≤ t ≤ τ, имеет решение u(t) с указанными свойствами всюду в
интервале [0, τ ], которое допускает явное представление
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
РАЗРЕШИМОСТЬ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ... 239
u(t) = α(t)e1 +M−1e−NM−1tMS1u0 +M−1
t∫
0
eNM−1(s−t)
[
f(s)− α(s)e1
]
ds.
Здесь матричные операторы M−1, NM−1 определены в пункте 4.
Заметим, что после выбора конкретной сингулярной компоненты решения
u1(t) = α(t) система (5.4) превращается в бесконечную регулярную систему по-
лулинейных уравнений. Более общие признаки ее разрешимости и качественные
свойства решений можно получить как следствие результатов, содержащихся в
монографии [14].
1. Самойленко A. М., Шкiль М. I., Яковець В. П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з
виродженням. – Київ: Вища шк., 2000. – 296 с.
2. Kronecker L. Algebraische Reduktion der Scharen bilinearer Formen // Sitzungber. Akademie Berlin.
– 1890. – S. 763 – 776.
3. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1966. – 576 с.
4. Caroll R. W., Showalter R. E. Singular and degenerate Cauchy problem. – New York; London:
Acad. Press, 1976.
5. Favini A., Yagi A. Degenerate differential equations in Banach spaces. – New York; Basel; Hong
Kong: Marcel Dekker, Inc., 1999. – 313 p.
6. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач: Пер. с франц. – М.:
Мир, 1972. – 588 с.
7. Власенко Л. А. Эволюционные модели с неявными и вырожденными дифференциальными
уравнениями. – Днепропетровск: Систем. технологии, 2006. – 273 с.
8. Кабалянц П. С., Руткас А. Г. Две теоремы существования решения квазилинейного сингу-
лярного дифференциально-операторного уравнения // Нелiнiйнi коливання. – 2000. – 3, № 3. –
C. 358 – 364.
9. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. –
М.: Наука, 1966. – 544 с.
10. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. – М.:
Наука, 1969. – 528 с.
11. Келдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамо-
сопряженных уравнений // Докл. АН СССР. – 1951. – 77, № 1. – C. 11 – 14.
12. Шварц Л. Анализ: В 2 т. – М.: Мир, 1972. – Т. 1. – 824 с.
13. Rutkas A. G., Vlasenko L. A. Existence, uniqueness and continuous dependence for implicit semili-
near functional differential equations // Nonlinear Anal. – 2003. – 55. – P. 125 – 139.
14. Самойленко А. М., Теплинский Ю. В. Счетные системы дифференциальных уравнений. – Киев:
Ин-т математики НАН Украины,1993. – 308 с.
Получено 10.10.07
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 2
|