Несвободные колебания бесконечномерного осциллятора при импульсных возмущениях
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний журнал |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164478 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Несвободные колебания бесконечномерного осциллятора при импульсных возмущениях / Л.А. Власенко // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 2. — С. 155–166. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164478 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Власенко, Л.А. 2020-02-09T16:13:22Z 2020-02-09T16:13:22Z 2008 Несвободные колебания бесконечномерного осциллятора при импульсных возмущениях / Л.А. Власенко // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 2. — С. 155–166. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164478 517.9 ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Несвободные колебания бесконечномерного осциллятора при импульсных возмущениях Forced oscillations of an infinite-dimensional oscillator under impulsive perturbations Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Несвободные колебания бесконечномерного осциллятора при импульсных возмущениях |
| spellingShingle |
Несвободные колебания бесконечномерного осциллятора при импульсных возмущениях Власенко, Л.А. Статті |
| title_short |
Несвободные колебания бесконечномерного осциллятора при импульсных возмущениях |
| title_full |
Несвободные колебания бесконечномерного осциллятора при импульсных возмущениях |
| title_fullStr |
Несвободные колебания бесконечномерного осциллятора при импульсных возмущениях |
| title_full_unstemmed |
Несвободные колебания бесконечномерного осциллятора при импульсных возмущениях |
| title_sort |
несвободные колебания бесконечномерного осциллятора при импульсных возмущениях |
| author |
Власенко, Л.А. |
| author_facet |
Власенко, Л.А. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Forced oscillations of an infinite-dimensional oscillator under impulsive perturbations |
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164478 |
| citation_txt |
Несвободные колебания бесконечномерного осциллятора при импульсных возмущениях / Л.А. Власенко // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 2. — С. 155–166. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT vlasenkola nesvobodnyekolebaniâbeskonečnomernogooscillâtorapriimpulʹsnyhvozmuŝeniâh AT vlasenkola forcedoscillationsofaninfinitedimensionaloscillatorunderimpulsiveperturbations |
| first_indexed |
2025-11-26T01:43:58Z |
| last_indexed |
2025-11-26T01:43:58Z |
| _version_ |
1850605813502050304 |
| fulltext |
UDK 517.9
L. A. Vlasenko (Xar\kov. nac. un-t)
NESVOBODNÁE KOLEBANYQ BESKONEÇNOMERNOHO
OSCYLLQTORA PRY YMPUL|SNÁX VOZMUWENYQX
Existence and uniqueness theorems for the impulsive differential operator equation
d
dt
Au t
2
2 ( )[ ] +
+ Bu t( ) = f t u t, ( )( ) are obtained. The operator A is allowed to be noninvertible. The results are
applied to differential algebraic equations and partial differential equations, which are not equations of
Kovalevskaya type.
OderΩano teoremy isnuvannq ta [dynosti dlq dyferencial\no-operatornoho rivnqnnq
d
dt
Au t
2
2 ( )[ ] + Bu t( ) = f t u t, ( )( ) z impul\snym vplyvom. Operator A moΩe buty neoborotnym.
Rezul\taty zastosovano do dyferencial\no-alhebra]çnyx rivnqn\ ta dyferencial\nyx rivnqn\ z
çastynnymy poxidnymy ne typu Kovalevs\ko].
1. Vvedenye. Rqd zadaç fyzyky y texnyky pryvodyt k yzuçenyg uravnenyq os-
cyllqtora ˙̇u + ω2u = 0 s ympul\sn¥my vozdejstvyqmy. Takye uravnenyq ys-
sledovan¥ v [1, 2]. Esly kolebanyq ne svobodn¥e, to v pravoj çasty soderΩytsq
nekotoraq funkcyq, voobwe hovorq, nelynejno zavysqwaq ot u. Matematyçes-
kye modely rezonansn¥x πlektryçeskyx cepej [3] v¥z¥vagt ynteres k bolee
ßyrokym klassam dyfferencyal\n¥x uravnenyj, a ymenno, uravnenyj, ne raz-
reßenn¥x otnosytel\no starßej proyzvodnoj. Process¥ v systemax s raspre-
delenn¥my parametramy, mhnovenno menqgwye svoe sostoqnye v opredelenn¥e
moment¥ vremeny, opys¥vagtsq ympul\sn¥my uravnenyqmy s çastn¥my proyz-
vodn¥my. V obwem sluçae πty uravnenyq qvlqgtsq ne razreßenn¥my otnosy-
tel\no starßej proyzvodnoj po vremeny, t.8e. uravnenyqmy ne typa Kovalevskoj
yly typa Soboleva [4]. V abstraktnoj forme uravnenyq ne typa Kovalevskoj
zapys¥vagtsq v vyde neqvnoho dyfferencyal\no-operatornoho uravnenyq, u
kotoroho proyzvodn¥e po prostranstvenn¥m peremenn¥m zamenqgtsq dyffe-
rencyal\n¥my operatoramy.
V dannoj rabote budem rassmatryvat\ polulynejnoe dyfferencyal\no-ope-
ratornoe uravnenye
d
dt
Au t
2
2 ( )[ ] + Bu t( ) = f t u t, ( )( ) dlq poçty vsex t0 ≤ t ≤ t0 + τ0 (1)
s ympul\sn¥my vozdejstvyqmy
∆k Au t( )[ ] = � k k kAu t Au t0 0 0( )( – ), ( ) ( – )′( ),
(2)
∆k Au t( ) ( )′[ ] = � k k kAu t Au t1 0 0( )( – ), ( ) ( – )′( ), k m= …1, , ,
© L. A. VLASENKO, 2008
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2 155
156 L. A. VLASENKO
y naçal\n¥my uslovyqmy
( )( )Au t0 = y0, ( ) ( )Au t′ 0 = y1. (3)
Zdes\
∆k tv( )[ ] = v( )tk + 0 – v( – )tk 0 ; (4)
zamknut¥e lynejn¥e operator¥ A, B dejstvugt yz kompleksnoho banaxova
prostranstva X v kompleksnoe banaxovo prostranstvo Y y ymegt oblasty op-
redelenyq DA, DB sootvetstvenno; f t( , )v — funkcyq yz t t0 0 0, +[ ]τ × X v Y ;
� k
j ( , )v ω — funkcyy yz Ωk
1
× Ωk
2
v Y ( AD DA B∩ � Ω Ωk k
1 2, � Y); moment¥
vremeny tk zanumerovan¥ tak: t0 < t1 < … < tm < tm +1 = t0 + τ0. Uravnenye (1) ne
qvlqetsq poln¥m, tak kak ne soderΩyt çlena s pervoj proyzvodnoj. Voobwe
hovorq, uravnenye (1) nel\zq razreßyt\ otnosytel\no proyzvodnoj v sylu
v¥roΩdennosty operatora A (nalyçyq netryvyal\noho qdra). K yssledovanyg
v¥roΩdenn¥x uravnenyj neposredstvenno neprymenyma teoryq kosynus-opera-
tor-funkcyj, kak πto delaetsq dlq qvn¥x uravnenyj s edynyçn¥m operatorom
A = E [5]. Neqvn¥e, a takΩe v¥roΩdenn¥e uravnenyq (1) voznykagt, naprymer,
v πvolgcyonnoj πlektrodynamyke [6]. V ympul\sn¥x vozdejstvyqx (2) y na-
çal\n¥x uslovyqx (3) soderΩytsq operator A v otlyçye ot sootvetstvugwyx
uslovyj dlq ympul\sn¥x v¥roΩdenn¥x uravnenyj yz [7] (podrazdel¥ 6.1, 6.2).
Sm¥sl uslovyj (2), (3) m¥ poqsnym pozΩe. Zdes\ tol\ko zametym, çto dlq qvno-
ho uravnenyq s edynyçn¥m operatorom A = E πty uslovyq sohlasovan¥ s obwy-
my poloΩenyqmy teoryy system s tolçkamy [8].
Budem yspol\zovat\ sledugwye oboznaçenyq: L( , )Y X — prostranstvo oh-
ranyçenn¥x lynejn¥x operatorov yz Y v X , L( , )Y Y = L( )Y ; L t t1 0 0( , +
+ τ0; )Y 8— prostranstvo Y -znaçn¥x funkcyj, yntehryruem¥x na t t0 0 0, +[ ]τ ;
W t tm
1 0 0( , + τ0; )Y — prostranstvo Soboleva funkcyj yz L t t Y1 0 0 0( , ; )+ τ , u
kotor¥x obobwenn¥e proyzvodn¥e do porqdka m vklgçytel\no prynadleΩat
L t t1 0 0( , + τ0; )Y ; C I Xp( , ) , p = 0, 1, … , — klass X-znaçn¥x funkcyj, p raz
neprer¥vno dyfferencyruem¥x na I ⊂ R , C I X( , ) = C I X0( , ) .
2. RazloΩenyq prostranstv. S uravnenyem (1) svqzan puçok operatorov
λA + B, kotor¥j opredelen na D = DA ∩ DB ≠ 0{ }. V dal\nejßem budem pred-
polahat\, çto v nekotoroj okrestnosty beskoneçno udalennoj toçky ( )λ > C2
puçok operatorov λA + B ymeet rezol\ventu ( )λA B+ −1 ∈ L( , )Y X y pry neko-
torom celom r ≥ 0 v¥polnena ocenka
( )λA B+ −1 ≤ C r
1 λ , λ > C2. (5)
V sluçae ocenky (5) v lemmax82.1, 2.2 yz [7] utoçnqetsq vozmoΩnost\ pryme-
nenyq metoda spektral\n¥x proektorov typa Ryssa [9]. Spravedlyv¥ prqm¥e
razloΩenyq lyneala D = D1 +̇ D2 y prostranstva Y = Y1 +̇ Y2 takye, çto D2
est\ lyneal sobstvenn¥x y prysoedynenn¥x vektorov puçka µB + A v toçke µ =
= 0, Y2 = BD2, Y1 = AD1, Ker A ∩ D1 = 0{ }, Ker B ∩ D2 = 0{ }, operator¥ A, B
otobraΩagt Dj v Yj, j = 1, 2. Pust\ P1, P2 y Q1, Q 2 — par¥ vzaymno dopol-
nytel\n¥x proektorov na D1, D2 y Y1, Y2 sootvetstvenno. Zamknut¥j lynej-
n¥j operator
G = AP1 + B P2 = Q A1 + Q2B : D → Y, DG = D,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
NESVOBODNÁE KOLEBANYQ BESKONEÇNOMERNOHO OSCYLLQTORA … 157
otobraΩaet Dj v Yj, ymeet ohranyçenn¥j obratn¥j G Y X– ( , )1 ∈L , xaraktery-
zugwyjsq sledugwymy svojstvamy:
G AP−1
1 = P1, G BP−1
2 = P2, AG Q−1
1 = Q1, BG Q−1
2 = Q2,
(6)
( )F r +1
= 0, F = AG Q−1
2 .
3. Razreßymost\ abstraktnoho uravnenyq bez ympul\sn¥x vozdejstvyj.
Budem predpolahat\, çto f t( , )v , kak funkcyq ot t, pry kaΩdom v ∈ X pry-
nadleΩyt klassu L t t1 0 0( , + τ0; )Y . Reßenyem naçal\noj zadaçy (1), (3) naz¥va-
etsq funkcyq u t( ) ∈ L t t1 0 0( , + τ0; )X takaq, çto Au t( ) ∈ W t t1
2
0 0( , + τ0; )Y ,
funkcyq u t( ) poçty vsgdu udovletvorqet uravnenyg (1) y v¥polnen¥ naçal\-
n¥e uslovyq (3). Yz opredelenyq reßenyq u t( ) sleduet, çto u t D( ) ∈ pry
poçty vsex t ∈ t t0 0 0, +[ ]τ . Dlq reßenyq yz klassa L t t1 0 0( , + τ0; )X , m¥, voob-
we hovorq, ne moΩem rassmatryvat\ naçal\n¥e uslovyq vyda
u t( )0 = u0, ′u t( )0 = u1. (7)
Naçal\n¥e uslovyq (3) ymegt sm¥sl, poskol\ku funkcyq Au t( ) ∈ W t t1
2
0 0( , +
+ τ0; )Y qvlqetsq neprer¥vno dyfferencyruemoj na t t0 0 0, +[ ]τ , t. e. Au t( ) ∈
∈ C t1
0[( , t0 + τ0], Y ), posle vozmoΩnoho yzmenenyq na mnoΩestve mer¥ nul\.
Dlq qvnoho uravnenyq s edynyçn¥m operatorom A = E, sohlasno pryvedennomu
v¥ße opredelenyg reßenyq, naçal\n¥e uslovyq prynymagt vyd (7), çto sovpa-
daet s yzvestn¥my postanovkamy naçal\n¥x zadaç v sluçae reßenyj, prynadle-
Ωawyx prostranstvu Soboleva vtoroho porqdka [10] (hl. 3, razdel 8). Naçal\-
n¥e uslovyq na funkcyg Au t( ) dlq psevdoparabolyçeskyx dyfferencyal\-
n¥x uravnenyj, razreßym¥x otnosytel\no proyzvodnoj, takΩe yspol\zovalys\
v8[11].
V prostranstve Y rassmotrym vspomohatel\noe uravnenye
′′v ( )t = W tv( ) + ϕ( )t dlq poçty vsex t0 ≤ t ≤ t0 + τ0, W = − −Q BG1
1, (8)
s yntehryruemoj po Boxneru na t t0 0 0, +[ ]τ vektor-funkcyej ϕ( )t . Pust\
C t( ), S t( ) — kosynus- y synus-operator-funkcyy (razreßagwye operator¥)
uravnenyq (8), kotor¥e opredelqgtsq sledugwymy rqdamy, ravnomerno sxodq-
wymysq po operatornoj norme na kaΩdom kompaktnom otrezke yz – ∞ < t < ∞ [5]
(hl.82):
C t( ) = ch W t1 2( ) = W t
j
j j
j
2
0 2( )!=
∞
∑ , S t( ) = W W t− ( )1 2 1 2sh = W t
j
j j
j
2 1
0 2 1
+
=
∞
+∑ ( )!
. (9)
Suwestvugt poloΩytel\n¥e postoqnn¥e C0 0> , ω0 0> takye, çto
C t( ) ≤ C e t
0
0ω , S t( ) ≤ C e t
0
0ω
. (10)
Pryvedem nekotor¥e svojstva operator-funkcyj C t( ), S t( ) [5]:
S t( ) = C s ds
t
( )
0
∫ , ′C t( ) = WS t( ) , ′S t( ) = C t( ), C( )0 = E,
S( )0 = 0, C t( ) = C t( )− , S t( ) = – S t( )− , (11)
2C s S t( ) ( ) = 2S t C s( ) ( ) = S t s( )+ 8+8 S t s( – ) ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
158 L. A. VLASENKO
2C t C s( ) ( ) = C t s( )+ + C t s( – ) , 2WS t S s( ) ( ) = C t s( )+ – C t s( – ) .
Lgboe reßenye v( )t uravnenyq (8) dopuskaet predstavlenye v vyde
v( )t = C t t t( – ) ( )0 0v + S t t t( – ) ( )0 0′v +
+ S t s s ds
t
t
( – ) ( )
0
∫ ϕ dlq poçty vsex t0 ≤ t ≤ t0 + τ0. (12)
Zameçanye 1. Yz predstavlenyq (12), v¥raΩenyj (9) dlq C t( ), S t( ) y opre-
delenyq operatora W v (8) vydno, çto esly v naçal\n¥j moment vremeny t0
ymegt mesto vklgçenyq v( )t0 , ′v ( )t0 ∈ Y1, a takΩe dlq poçty vsex t ∈ t0[ , t0 +
+ τ0] pravaq çast\ ϕ( )t leΩyt v Y1, to y reßenye v( )t leΩyt v Y1 dlq
poçty vsex t ∈ t t0 0 0, +[ ]τ .
Teorema 1. Pust\ v¥polneno ohranyçenye (5); funkcyq f t( , )v : t0[ , t0 +
+ τ0] × X → Y po arhumentu t prynadleΩyt prostranstvu L t1 0( , t0 + τ0; Y )
pry kaΩdom v ∈ X , a po arhumentu v udovletvorqet uslovyg Lypßyca
f t f t w( , ) – ( , )v ≤ M wv – ∀v , w X∈ y poçty vsex t0 ≤ t ≤ t0 + τ0,
(13)
s konstantoj M, ne zavysqwej ot t y takoj, çto
M G Q–1
2 < 1; (14)
funkcyq Ff t( , )v = h t( ) ne zavysyt ot v y F jh t( ) ∈ W t t Yj
1
2 1
0 0 0
+ +( , : )τ , j =
= 0, … , r. Tohda dlq lgb¥x naçal\n¥x vektorov y0, y1 v (3) takyx, çto
Q y2 0 = (– ) ( )1
2
2
0 0
j
j
j
j
t t
j
r
d
dt
F h t[ ] =
=
∑ , Q y2 1 = (– ) ( )1
2 1
2 1
0
0
j
j
j
j
t t
j
r
d
dt
F h t
+
+ =
=
[ ]∑ , (15)
suwestvuet edynstvennoe reßenye u t( ) naçal\noj zadaçy (1), (3). Razreßy-
most\ zadaçy (1), (3) πkvyvalentna razreßymosty yntehral\noho uravnenyq
u t( ) = Φ( )( )u t ≡ G C t t Q y S t t Q y S t s Q f s u s ds
t
t
– ( – ) ( – ) ( – ) , ( )1
0 1 0 0 1 1 1
0
+ + ( )
∫ +
+ G d
dt
F Q f t u tj
j
r j
j
j−
=
∑ ( )[ ]1
0
2
2 21(– ) , ( ) dlq poçty vsex t0 ≤ t ≤ t0 + τ0. (16)
Pry proçyx uslovyqx teorem¥ sootnoßenyq (15) qvlqgtsq neobxodym¥my dlq
razreßymosty naçal\noj zadaçy (1), (3).
Zameçanye 2. Yz svojstva (13) sleduet, çto funkcyq t → f t u t, ( )( ) qvlqet-
sq πlementom prostranstva L t t1 0 0( , + τ0; )Y , esly u t( ) ∈ L t t1 0 0( , + τ0; )X .
Zameçanye 3. Esly ocenka (5) v¥polnqetsq pry r = 0, to operator F v (6)
tryvyalen: F = 0. Poπtomu funkcyq Ff t( , )v = 0 ne zavysyt ot v, a uslovyq
sohlasovanyq (15) na naçal\n¥e vektor¥ y0, y1 prynymagt vyd
Q y2 0 = 0, Q y2 1 = 0.
V πtom sluçae sootnoßenye (16) s uçetom F
0 = 00 = E prynymaet vyd
u t( ) = G C t t y S t t y S t s Q f s u s ds Q f t u t
t
t
– ( – ) ( – ) ( – ) , ( ) , ( )1
0 0 0 1 1 2
0
+ + ( ) + ( )
∫ .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
NESVOBODNÁE KOLEBANYQ BESKONEÇNOMERNOHO OSCYLLQTORA … 159
Dokazatel\stvo teorem¥ 1. Prymenenye proektorov Q1, Q 2 k levoj y
pravoj çastqm uravnenyq (1) pryvodyt k πkvyvalentnoj systeme uravnenyj
d
dt
Q Au t
2
2 1 ( )[ ] = W Q Au t1 ( )[ ] + Q f t u t1 , ( )( ) , (17)
d
dt
FQ Bu t
2
2 2 ( )[ ] + Q Bu t2 ( ) = Q f t u t2 , ( )( ). (18)
Yspol\zuq formulu (12) dlq predstavlenyq reßenyq neodnorodnoho uravnenyq
(8), uravnenye (17) s naçal\n¥my uslovyqmy (3) perepyßem v πkvyvalentnoj
forme
Q Au t1 ( ) = C t t Q y( – )0 1 0 + S t t Q y( – )0 1 1 + S t s Q f s u s ds
t
t
( – ) , ( )1
0
( )∫ . (19)
Poskol\ku r — yndeks nyl\potentnosty operatora F (6), uravnenye (18)
preobrazuetsq v uravnenye
Q Bu t2 ( ) = (– ) , ( )1
0
2
2 2
j
j
r j
j
jd
dt
F Q f t u t
=
∑ ( )[ ]. (20)
Otsgda sleduet neobxodymost\ ohranyçenyj (15) na naçal\n¥e dann¥e (3).
Takym obrazom, uravnenye (1) πkvyvalentno systeme uravnenyj (19), (20).
Sledovatel\no, pry sdelann¥x predpoloΩenyqx funkcyq u t( ) ∈ L t t1 0 0( , + τ0;
X ) qvlqetsq reßenyem naçal\noj zadaçy (1), (3), esly y tol\ko esly ona udov-
letvorqet uravnenyg (16).
V prostranstve L t t1 0 0( , + τ1; )X , hde çyslo τ τ1 00∈( ], budet opredeleno
nyΩe, rassmotrym otobraΩenye Φ, opredelennoe na funkcyqx u t( ) po formu-
le (16). PokaΩem, çto pry podxodqwem v¥bore τ τ1 00∈( ], otobraΩenye Φ bu-
det sΩymagwym. S pomow\g neravenstv (10), (13) ocenyvaem normu
Φ Φ( ) – ( )u Lv
1
≤
MC G Q e ds M G Q us
L0
1
1
1
2
0
0
1
1
− ⋅ +
∫ ω
τ
– – v .
Sootnoßenye (14) pozvolqet v¥brat\ çyslo τ1 ∈ 0 0, τ( ] tak, çtob¥ otobraΩe-
nye Φ b¥lo sΩymagwym
MC G Q e0
1
1
0 1 1– –⋅ ( )ω τ < 1 1
2 0– –M G Q( )ω .
Poπtomu suwestvuet edynstvennaq nepodvyΩnaq toçka u ∈ L t t1 0 0( , + τ1; )X ,
kotoraq qvlqetsq reßenyem uravnenyq (16), a potomu y zadaçy (1), (3) na t0[ ,
t0 8+ τ1]. Esly τ1 < τ0, to, rassuΩdaq, kak y v¥ße, m¥ prodolΩym reßenye u t( )
na t0 1+[ τ , t0 1 02+ { }]min ,τ τ . Ponqtno, çto za koneçnoe çyslo ßahov m¥ odno-
znaçno prodolΩym reßenye na ves\ otrezok t t0 0 0, +[ ]τ .
Teorema dokazana.
Zameçanye 4. Yz dokazatel\stva teorem¥81 vydno, çto uslovye (14) moΩno
zamenyt\ na uslovye M̃ < 1, hde M̃ qvlqetsq konstantoj Lypßyca funkcyy
G Q f t– ( , )1
2 v : G Q f t– ( , )1
2 v – G Q f t w– ( , )1
2 ≤
˜ –M wv .
4. Razreßymost\ uravnenyq s ympul\sn¥my vozdejstvyqmy. Reßenyem
naçal\noj zadaçy (1), (3) s ympul\sn¥my vozdejstvyqmy (2) na otrezke t0[ ,
t0 8+ τ0] naz¥vaetsq funkcyq u t( ) ∈ L t1 0( , t0 + τ0; X ) takaq, çto Au t( ) ∈
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
160 L. A. VLASENKO
∈ W t t Yk k1
2
1, ;+( ) , k = 0, 1, … , m, funkcyq u t( ) udovletvorqet uravnenyg (1)
dlq poçty vsex t ∈ t t0 0 0, +[ ]τ , ympul\sn¥m vozdejstvyqm (2) y naçal\n¥m us-
lovyqm (3). Yz opredelenyq reßenyq sleduet, çto posle vozmoΩnoho yzmenenyq
na mnoΩestve mer¥ nul\ funkcyq Au t( ) neprer¥vno dyfferencyruema pry
t ≠ t1, … , tm. V toçkax t ≠ t1, … , tm funkcyq Au t( ) y ee proyzvodnaq Au t( )′ ( )
ymegt skaçky. Poπtomu ympul\sn¥e vozdejstvyq (2) ymegt sm¥sl. Pry yssle-
dovanyy neqvnoho uravnenyq v klasse yntehryruem¥x funkcyj m¥, voobwe ho-
vorq, ne moΩem rassmatryvat\ operacyy ∆k (4) nad reßenyqmy v otlyçye ot
qvnoho uravnenyq s edynyçn¥m operatorom A = E, kak, naprymer, v [12], y ot
yssledovanyq neqvn¥x uravnenyj v klase kusoçno-neprer¥vn¥x funkcyj [7]
(podrazdel¥ 6.2, 6.3).
Teorema 2. Pust\ v¥polneno ohranyçenye (5); funkcyq f t( , )v : t0[ , t0 8+
+ τ0] × X → Y po arhumentu t prynadleΩyt prostranstvu L t t Y1 0 0 0( , ; )+ τ
pry kaΩdom v ∈ X , a po arhumentu v udovletvorqet uslovyg Lypßyca (13)
s konstantoj M, ne zavysqwej ot t y udovletvorqgwej neravenstvu (14);
funkcyq Ff t( , )v = h t( ) ne zavysyt ot v y F h tj ( ) ∈ W t t Yj
1
2 1
0 0 0
+ +( , ; )τ , j =
= 0, … , r ; naçal\n¥e vektor¥ y0, y1 v (3) udovletvorqgt ohranyçenyg (15);
dlq ympul\sn¥x vozdejstvyj � k
i w( , )v : Ωk
1 × Ωk
2 → Y v (2) v¥polnen¥ soot-
noßenyq
Q wk
i
2� ( , )v = 0, k = 1, 2, … , m, i = 0, 1, v ∈Ωk
1 , w k∈Ω2 . (21)
Tohda suwestvuet edynstvennoe reßenye zadaçy (1) – (3) na otrezke t0[ , t0 8+
τ0], y πto reßenye udovletvorqet uravnenyg
u t( ) = G C t t Q y S t t Q y S t s Q f s u s ds
t
t
– ( – ) ( – ) ( – ) , ( )1
0 1 0 0 1 1 1
0
+ + ( )
∫ +
+ G d
dt
F Q f t u tj
j
j
j
j
r
– – , ( )1
2
2 2
0
1( ) ( )[ ]
=
∑ +
+
G C t t Au t Au tk k k k
t t tk
– ( – ) ( )( – ), ( ) ( – )1 0 0 0
0
� ′( )
< <
∑ +
+
G S t t Au t Au tk k k k
t t tk
– ( – ) ( )( – ), ( ) ( – )1 1 0 0
0
� ′( )
< <
∑ (22)
dlq poçty vsex t0 ≤ t ≤ t0 + τ0.
Dokazatel\stvo. Pust\ u tk ( ) — reßenye uravnenyq (1) na otrezke [tk ,
tk +1] s naçal\n¥my uslovyqmy Au tk k( )( ) = yk
0
, Au tk k( )′ ( ) = yk
1, k = 0, 1, … , m,
hde
y yi
i0 = , yk
i = Au tk
i
k–
( )
( )1( ) + � k
i
k k k kAu t Au t( )( ), ( ) ( )– –1 1 ′( ), (23)
k = 1, 2, … , m, i = 0, 1.
PokaΩem, çto v¥polnen¥ sootnoßenyq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
NESVOBODNÁE KOLEBANYQ BESKONEÇNOMERNOHO OSCYLLQTORA … 161
Q yk
i
2 = −( ) [ ]
+
+
=
=∑ 1
2
2
0
j
j i
j i
j
r
j
t t
d
dt
F h t
k
( ) , i = 0, 1. (24)
Tohda v sylu teorem¥81 suwestvuet edynstvennoe reßenye u tk ( ), kotoroe udov-
letvorqet yntehral\nomu uravnenyg
u tk ( ) = G C t t Q y S t t Q y S t s Q f s u s dsk k k k k
t
t
k
– ( – ) ( – ) ( – ) , ( )1
1
0
1
1
1+ + ( )
∫ +
+ G d
dt
F Q f t u tj
j
j
j
r
j
k
– , ( )1
2
2
0
21−( ) ( )[ ]
=
∑ dlq poçty vsex t t tk k≤ ≤ +1. (25)
Poskol\ku v¥polnen¥ ohranyçenyq (15), sootnoßenyq (24) spravedlyv¥ pry
k = 0. Sledovatel\no, suwestvuet edynstvennoe reßenye u t0( ). Yz (25) pry
k = 0 poluçaem
Q Au ti
2 0 1( )( )( ) = −( ) [ ]
+
+
=
=∑ 1
2
2
0
1
j
j i
j i
j
r
j
t t
d
dt
F h t( ) , i = 0, 1.
Otsgda, a takΩe yz predpoloΩenyj (21) y opredelenyj (23) pry k = 1 sleduet
spravedlyvost\ ravenstv (24) pry k = 1. Tohda suwestvuet edynstvennoe reße-
nye u t1( ) , kotoroe udovletvorqet yntehral\nomu uravnenyg (25) pry k = 1.
RassuΩdaq analohyçn¥m obrazom, posledovatel\no odnoznaçno naxodym reße-
nyq u t2( ), … , u tm( ) y ubeΩdaemsq, çto ony qvlqgtsq reßenyqmy yntehral\n¥x
uravnenyj (25) sootvetstvenno pry k = 2, … , m. Reßenye u t( ) zadaçy (1) – (3)
sovpadaet s u tk ( ) poçty vsgdu na t tk k, +[ ]1 , k = 0, 1, … , m.
Ubedymsq v spravedlyvosty formul¥ (22). Yz (23), (25) pry k = 0 poluçaem,
çto u t( ) udovletvorqet uravnenyg (22) pry poçty vsex t0 ≤ t ≤ t1. S pomow\g
(22) naxodym y1
0
, y1
1
. Ymeem
Q y1 1
0
= C t t Q y( – )1 0 1 0 + S t t Q y( – )1 0 1 1 + S t s Q f s u s ds
t
t
( – ) , ( )1 1
0
1
( )∫ +
+ �1
0
1 10 0( )( – ), ( ) ( – )Au t Au t′( ),
(26)
Q y1 1
1 = WS t t Q y( – )1 0 1 0 + C t t Q y( – )1 0 1 1 + C t s Q f s u s ds
t
t
( – ) , ( )1 1
0
1
( )∫ +
+ �1
1
1 10 0( )( – ), ( ) ( – )Au t Au t′( ) .
Yz (23), (25) pry k = 1 s yspol\zovanyem predstavlenyj (26) y svojstv kosynus-
y synus-operator-funkcyj C t( ) y S t( ) (11) ustanavlyvaem, çto funkcyq u t( )
udovletvorqet uravnenyg (22) pry poçty vsex t1 ≤ t ≤ t2. Provodq analohyçn¥e
rassuΩdenyq posledovatel\no dlq otrezkov [ , ]t t2 3 , … , [ , ]t tm m +1 , poluçaem
trebuem¥j rezul\tat.
Teorema dokazana.
Zameçanye 5. Ohranyçenyq na funkcyy � k
i w( , )v (21) qvlqgtsq ne tol\ko
dostatoçn¥my dlq razreßymosty zadaçy (1) – (3), no y neobxodym¥my pry v =
= ( )( – )Au tk 0 , w = ( ) ( – )Au tk′ 0 . Ohranyçenyq (21) xaraktern¥ tol\ko dlq v¥-
roΩdennoho uravnenyq s ympul\sn¥m vozdejstvyem, kohda Q2 ≠ 0.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
162 L. A. VLASENKO
Dejstvytel\no, reßenye u t( ) pry poçty vsex t t tk k≤ ≤ +1, k = 1, … , m,
udovletvorqet uravnenyg (1) y naçal\n¥m uslovyqm
( ) ( )( )Au ti
k + 0 = ( ) ( – )( )Au ti
k 0 + � k
i
k kAu t Au t( )( – ), ( ) ( – )0 0′( ), i = 1, 2. (27)
Prymenqq teoremu81 na otrezkax [ , ]t tk k +1 , poluçaem neobxodym¥e ohranyçenyq
na reßenye u t( ) zadaçy (1) – (3):
Q Au ti
k2 0( ) ( )( ) + = Q Au ti
k2 0( ) ( – )( ) = −( ) [ ]
+
+
=
=∑ 1
2
2
0
j
j i
j i
j
r
j
t t
d
dt
F h t
k
( ) .
Otsgda y yz (27) sleduet trebuem¥j rezul\tat.
Pry yssledovanyy zadaçy (1) – (3) v vewestvenn¥x prostranstvax X, Y sle-
duet perejty k kompleksn¥m oboloçkam prostranstv X, Y y kompleksn¥m ras-
ßyrenyqm operatorov A, B, kak, naprymer, v [13].
5. PryloΩenyq. Rassmotrym pryloΩenyq poluçenn¥x rezul\tatov k urav-
nenyqm v koneçnomern¥x prostranstvax — dyfferencyal\no-alhebrayçeskym
y k uravnenyqm v çastn¥x proyzvodn¥x, ne razreßenn¥m otnosytel\no starßej
proyzvodnoj po vremeny, — ne typa Kovalevskoj.
5.1. PryloΩenye k ympul\sn¥m dyfferencyal\no-alhebrayçeskym urav-
nenyqm. Dyfferencyal\no-alhebrayçeskye yly v¥roΩdenn¥e uravnenyq v
koneçnomernom prostranstve v poslednee vremq qvlqgtsq oblast\g yntensyv-
noho yssledovanyq (sm. monohrafyg [14], hde pryveden obzor sootvetstvugwyx
rezul\tatov). Zdes\ m¥ rassmotrym systemu dyfferencyal\n¥x uravnenyj
′′u t2( ) + u t1( ) = f t u t u t1 1 2, ( ), ( )( ) , ′′u t2( ) + u t2( ) = f t u t u t2 1 2, ( ), ( )( ) (28)
dlq poçty vsex t t tm0 1≤ ≤ +
s ympul\sn¥my vozdejstvyqmy
∆k u t2( )[ ] = u tk2 0( )+ – u tk2 0( – ) = d u t u tk k k2 20 0( – ), ( – )′( ),
(29)
∆k u t′[ ]2( ) = ′ +u tk2 0( ) – ′u tk2 0( – ) = e u t u tk k k2 20 0( – ), ( – )′( ) , k = 1, … , m,
y naçal\n¥my uslovyqmy
u t2 0( ) = a, ′u t2 0( ) = b. (30)
Funkcyy f t x yi( , , ) ; [ , ]t tm0 1+ × C × C → C, i = 1, 2, pry fyksyrovann¥x x, y ∈
∈ C qvlqgtsq πlementamy kompleksnoho prostranstva L t tm1 0 1( , )+ y dlq poç-
ty vsex t t tm0 1≤ ≤ + udovletvorqgt uslovyqm Lypßyca
f t x y f t x yi i( , , ) – ( , , )1 1 2 2 ≤ M x x y yi 1 2
2
1 2
2– –+ , i = 1, 2,
∀ ∈x y x y1 1 2 2, , , C ,
s konstantamy Mi , ne zavysqwymy ot t; funkcyy d x yk ( , ) , e x yk ( , ) , k =
= 1, … , m, dejstvugt yz C
2
v C. V prostranstve C
2
zadaça (28) – (30) zapy-
s¥vaetsq v abstraktnoj forme (1) – (3):
A =
0 1
0 1
, B =
1 0
0 1
, f t( , )v =
f t
f t
1 1 2
2 1 2
( , , )
( , , )
v v
v v
, y0 =
a
a
,
y1 =
b
b
, � k w0 ( , )v =
d t w
d t w
k
k
( , , )
( , , )
v
v
2 2
2 2
, � k w1 ( , )v =
e t w
e t w
k
k
( , , )
( , , )
v
v
2 2
2 2
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
NESVOBODNÁE KOLEBANYQ BESKONEÇNOMERNOHO OSCYLLQTORA … 163
Reßenye u t1( ) , u t2( ) zadaçy (28) – (30) ponymaem v sm¥sle reßenyq abstrakt-
noj zadaçy (1) – (3): u t1( ) , u t2( ) ∈ L t tm1 0 1( , )+ ; u t2( ) ∈8 W t tk k1
2
1( , )+ , k = 0, 1, … m;
funkcyy u t1( ) , u t2( ) udovletvorqgt uravnenyg (28) dlq poçty vsex
t t tm0 1≤ ≤ + ; funkcyq u t2( ) udovletvorqet ympul\sn¥m vozdejstvyqm (29) y
naçal\n¥m uslovyqm (30). Uslovye (5) v¥polneno s r = 0. Naxodym
D1 = Y1 = Lin
1
1
, D2 = Y2 = Lin
1
0
, Q1 = P1 = A,
Q2 = P2 =
1 1
0 0
–
, G = G–1 =
1 0
0 1
, W = – A,
C t( ) =
1 1
0
cos –
cos
t
t
, S t( ) =
t t t
t
sin –
sin0
.
PredpoloΩym, çto M1 + M2 < 1. S uçetom zameçanyq 4 uslovyq teorem¥82 v¥-
polnen¥. Poπtomu zadaça (28) – (30) ymeet edynstvennoe reßenye u t1( ) , u t2( ),
pry πtom
u t2( ) = a t tcos ( – )0 8+8 b t tsin ( – )0 8+8 sin ( – ) , ( ), ( )t s f s u s u s ds
t
t
2 1 2
0
( )∫ +
+ cos ( – ) ( – ), ( – ) sin ( – ) ( – ), ( – )t t d u t u t t t e u t u tk k k k k k k k
t t tk
2 2 2 20 0 0 0
0
′( ) + ′( )[ ]
< <
∑ ,
u t1( ) = u t2( ) 8+8 f t u t u t1 1 2, ( ), ( )( ) 8–8 f t u t u t2 1 2, ( ), ( )( ).
5.2. PryloΩenyq k dyfferencyal\n¥m uravnenyqm v çastn¥x proyzvod-
n¥x ne typa Kovalevskoj s ympul\sn¥my vozdejstvyqmy. Pry yssledova-
nyy πvolgcyonn¥x reΩymov πlektromahnytnoho polq v cylyndryçeskom volno-
vode s dyspersnoj sredoj [6] voznykaet odnorodnoe uravnenye ne typa Kova-
levskoj. Zdes\ m¥ yssleduem nelynejnoe vozmuwenye πtoho uravnenyq
ε ∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
2t
u t x
x
u t x
( , )
( , )+
+ –
( , )
( , )
∂
∂
2
2
2u t x
x
k u t x+
=
= g t x u t x, , ( , )( ) dlq poçty vsex t t tm0 1≤ ≤ + , 0 ≤ x ≤ π, (31)
hde ε2
, k2
— poloΩytel\n¥e postoqnn¥e, g t x z( , , ) — funkcyq yz t0[ , tm + ]1 ×
× 0, π[ ] × C v C. Oboznaçym
l u0[ ] = l u t x0[ ]( )( , ) =
∂
∂
2
2
u t x
x
u t x
( , )
( , )+
,
l u1[ ] = l u t x1[ ]( )( , ) = ∂
∂
∂
∂t
u t x
x
u t x
2
2
( , )
( , )+
.
Lgbug funkcyg u : t, x → u t x( , ) budem takΩe rassmatryvat\ kak funkcyg
ot t so znaçenyqmy v prostranstve funkcyj ot x y zapys¥vat\ kak u t x( )( ).
Dlq uravnenyq (31) rassmatryvaem kraev¥e uslovyq
u t( , )0 = u t( , )π = 0 dlq poçty vsex t t tm0 1≤ ≤ + , (32)
naçal\n¥e uslovyq
l u x0 0[ ]( )( , ) = y x0( ), l u x1 0[ ]( )( , ) = y x1( ) dlq poçty vsex 0 ≤ x ≤ π, (33)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
164 L. A. VLASENKO
y ympul\sn¥e vozdejstvyq
∆k il u x[ ]( )[ ]( , )0 = l u t xi k[ ]( ) +( , )0 – l u t xi k[ ]( )( – , )0 =
= J x l u t x l u t xk
i
k i k, ( – , ), ( – , )0 0 0[ ]( ) [ ]( )( ) , k = 1, … , m, i = 0, 1, (34)
dlq poçty vsex 0 ≤ x ≤ π,
hde J x z zk
i ( , , )1 2 — funkcyy yz 0, π[ ] × C × C v C. Budem predpolahat\, çto
funkcyq g t x z( , , ) pry fyksyrovannom z prynadleΩyt klassu g t z x( , )( ) ∈
∈8 L t1 0( , tm +1; L2 0( , )π ) , hde L2 0( , )π — prostranstvo yntehryruem¥x s kvadra-
tom funkcyj; funkcyy J x z zk
i ( , , )1 2 pry fyksyrovann¥x z1, z 2 prynymagt
znaçenyq v L2 0( , )π . Pust\ v¥polnqgtsq uslovyq Lypßyca
g t x z g t x z( , , ) – ( , , )1 2 ≤ M z z1 2– , (35)
z1, z2 ∈C , dlq poçty vsex t t tm∈[ ]+0 1, , x ∈[ ]0, π ,
s konstantoj M, ne zavysqwej ot t, x, y
J x z z J x z zk
i
k
i( , , ) – ( , , )1 2 1 2′ ′ ≤ M z z z zk
i
1 1 2 2– –′ + ′( ), (36)
z1, ′z1, z2, ′ ∈z2 C , dlq poçty vsex x ∈[ ]0, π ,
s konstantamy Mk
i
, ne zavysqwymy ot x.
Pry sdelann¥x predpoloΩenyqx funkcyq g : x → g t x x, , ( )v( ) pry poçty
vsex fyksyrovann¥x t y funkcyy Jk
i : x → J x x w xk
i , ( ), ( )v( ) qvlqgtsq πlemen-
tamy prostranstva L2 0( , )π , esly v( )x , w x( ) ∈ L2 0( , )π . V prostranstve X =
= Y = L2 0( , )π smeßannaq zadaça (31) – (34) zapys¥vaetsq v abstraktnoj forme
(1) – (3). Dyfferencyal\n¥e operator¥ A, B opredelqgtsq kak
Av = ε2
2
2
d x
dx
xv
v
( ) ( )+
, Bv = – ( ) ( )d x
dx
k x
2
2
2v
v+
,
D = DA = DB =
�
W2
2 0( , )π =
v v v( ) ( , ), ( ) ( )x W∈ = ={ }2
2 0 0 0π π ,
hde W2
2 0( , )π — prostranstvo Soboleva porqdka 2 funkcyj yz L2 0( , )π . Pola-
haem f t( , )v : t, v( )x → g t x x, , ( )v( ), � k
i w( , )v : v( )x , w x( ) → J x x w xk
i , ( ), ( )v( ) .
Reßenye smeßannoj zadaçy (31) – (34) budem ponymat\ v sm¥sle reßenyq abs-
traktnoj zadaçy (1) – (3).
Dlq vsex
λ ≠ λn
2 =
n k
n
2 2
2 2 1
+
ε ( – )
, n = 2, 3, … ,
suwestvuet rezol\venta
( ) ( )–λ A B x+ 1v =
vn
n
nx
k n n
sin
( – )2 2 2 2
1 1+ +=
∞
∑ λε
, vn =
2
0
π
π
v( ) sinx nx dx∫ ,
dlq kotoroj v¥polnena ocenka (5) s r = 0. V dannom sluçae
Y2 = D2 = Ker A = sin x{ }, Y1 = Ker A( )⊥ , D1 = Ker A( )⊥ ∩ D,
P x2v( ) = Q x2v( ) = v1 sin x , P1 = Q1 = E – P2,
G xv( ) = ε
2 ′′ +( )v v( ) ( )x x +
1 2
1+( )k xv sin ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
NESVOBODNÁE KOLEBANYQ BESKONEÇNOMERNOHO OSCYLLQTORA … 165
G x– ( )1v =
v1
21 + k
xsin +
n
n
n
nx
=
∞
∑
2
2 21
v
ε ( – )
sin , W xv( ) =
n
n n nx
=
∞
∑
2
2λ v sin ,
C t x( ) ( )v =
n
n n t nx
=
∞
∑
2
v ch λ sin , S t x( ) ( )v =
n
n n
n
t
nx
=
∞
∑
2
v sh λ
λ
sin .
V¥polnqetsq neravenstvo
G Q f t x G Q f t w x
L
– –( , )( ) – ( , )( )1
2
1
2
2
v ≤
M
k
x w x L1 2 2+
v( ) – ( ) .
Budem predpolahat\, çto
M < 1 + k2
. (37)
Pust\ dlq vsex i = 0, 1, k = 1, … , m, v( )x , w x L( ) ( , )∈ 2 0 π v¥polnqgtsq soot-
noßenyq
y x x dxi( ) sin
0
π
∫ = 0, J x x w x x dxk
i , ( ), ( ) sinv( )∫
0
π
= 0. (38)
S pomow\g zameçanyq 4 y teorem¥82 moΩno sformulyrovat\ sledugwyj re-
zul\tat.
UtverΩdenye. Pust\ znaçenyq g t z x( , )( ) , kak funkcyy ot t, pry fyksy-
rovann¥x z prynadleΩat L t tm1 0 1, +( ; L2 0( , )π ) ; funkcyy J x z zk
i ( , , )1 2 , k =
= 1, … , m, i = 0, 1, pry fyksyrovann¥x z1, z2 prynymagt znaçenyq v L2 0( , )π ;
spravedlyv¥ uslovyq Lypßyca (35), (36) s konstantamy M , Mk
i
, ne zavysq-
wymy ot t, x, y neravenstvo (37); dlq vsex i = 0, 1, k = 1, … , m, v( )x , w x( ) ∈
∈ L2 0( , )π v¥polnqgtsq sootnoßenyq (38). Tohda smeßannaq zadaça (31) –
(34) ymeet edynstvennoe reßenye u t x( , ) takoe çto, u t x( )( ) ∈ L t tm1 0 1, +( ;
L2 0( , )π ) , u t x( )( ) ∈ 8
�
W2
2 0( , )π dlq poçty vsex t y l u t x0[ ]( )( ) ∈ W t tk k1
2
1, +( ;
L2 0( , )π ) , k = 0, … , m. Pry poçty vsex t t tm0 1≤ ≤ + y 0 ≤ x ≤ π reßenye
u t x( , ) udovletvorqet uravnenyg
u t x( , ) =
y
n
t t nxn
n
n
0
2 2
2
01ε
λ
( – )
( – ) sin
=
ch
∞
∑ +
+
y
n
t t nxn
nn
n
1
2 2
2
01ε λ
λ
( – )
( – ) sin
=
sh
∞
∑ +
+
g s u
n
t s nx dsn
nn
n
t
t
( , )
( – )
( – ) sin
ε λ
λ2 2
2 1
0 =
sh
∞
∑∫
+
+
g t u
k
x1
21
( , )
sin
+
+
J u
n
t t nxkn
n
n k
t t tk
0
2 2
2 1
0
( )
( – )
( – ) sin
ε
λ
=
ch
∞
< <
∑∑ +
+
J u
n
t t nxkn
nn
n k
t t tk
1
2 2
2 1
0
( )
( – )
( – ) sin
ε λ
λ
=
sh
∞
< <
∑∑ ,
hde
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
166 L. A. VLASENKO
yin = 2
0
π
π
y x nx dxi( ) sin∫ ,
J ukn
i ( ) =
2 0 00 1
0
π
π
J x l u t x l u t x nx dxk
i
k k, ( – , ), ( – , ) sin[ ] [ ]( )∫ ,
g t un( , ) = 2
0
π
π
g t x u t x nx dx, , ( , ) sin( )∫ , k = 1, … , m, i = 0, 1, n = 1, 2, … .
V svqzy s yzuçenyem nestacyonarn¥x system y processov predstavlqet ynte-
res yssledovanye uravnenyq (1) s nestacyonarn¥my operatoramy A t( ), B t( ) .
Dlq yssledovanyq v¥roΩdennoho uravnenyq (1) v stat\e predloΩeno v¥polnyt\
specyal\n¥e razloΩenyq prostranstv X, Y (p. 2) y sootvetstvugwee πtym raz-
loΩenyqm razbyenye uravnenyq na systemu dvux uravnenyj (17), (18). ∏tot
metod dopuskaet rasprostranenye na sluçaj nestacyonarn¥x operatorov A t( ),
B t( ) [15].
1. Samojlenko A. M., StryΩak T. H. O dvyΩenyy oscyllqtora pod dejstvyem mhnovennoj sy-
l¥8// Tr. sem. po mat. fyzyke y nelynejn¥m kolebanyqm. – Kyev, 1968. – V¥p. 4. – S. 213 –
218.
2. Samojlenko A. M., Perestgk N. A. Dyfferencyal\n¥e uravnenyq s ympul\sn¥m vozdejst-
vyem. – Kyev: Vywa ßk., 1987. – 288 s.
3. Mytropol\skyj G. A., Molçanov A. A. Maßynn¥j analyz nelynejn¥x rezonansn¥x ce-
pej.8– Kyev: Nauk. dumka, 1981. – 240 s.
4. Sobolev S. L. Zadaça Koßy dlq çastnoho sluçaq system, ne prynadleΩawyx typu Kova-
levskoj // Dokl. AN SSSR. – 1952. – 82, # 2. – S. 205 – 208.
5. Fattorini H. O. Second order linear differential equations in Banach spaces // North-Holland Math.
Stud. Notas Mat. – 1985. – 99. – 313 p.
6. Rutkas A., Vlasenko L. Implicit operator differential equations and applications to electrodyna-
mics // Math. Meth. Appl. Sci. – 2000. – 23, # 1. – P. 1 – 15.
7. Vlasenko L. A. ∏volgcyonn¥e modely s neqvn¥my y v¥roΩdenn¥my dyfferencyal\n¥my
uravnenyqmy. – Dnepropetrovsk: System. texnolohyy, 2006. – 273 s.
8. M¥ßkys A. D., Samojlenko A. M. System¥ s tolçkamy v zadann¥e moment¥ vremeny // Mat.
sb. – 1967. – 74, # 2. – S. 202 – 208.
9. Rutkas A. H. Zadaça Koßy dlq uravnenyq Ax t′( ) + Bx t( ) = f t( ) // Dyfferenc. uravne-
nyq.8– 1975. – 11, # 11. – S. 1996 – 2010.
10. Lyons Û.-L., MadΩenes ∏. Neodnorodn¥e hranyçn¥e zadaçy y yx pryloΩenyq. – M.: Myr,
1971. – 372 s.
11. Haevskyj X., Hreher K., Zaxaryas K. Nelynejn¥e operatorn¥e uravnenyq y operatorn¥e
dyfferencyal\n¥e uravnenyq. – M.: Myr, 1978. – 336 s.
12. Samojlenko A. M., Ylolov M. Neodnorodn¥e πvolgcyonn¥e uravnenyq s ympul\sn¥my voz-
dejstvyqmy // Ukr. mat. Ωurn. – 1992. – 44, # 1. – S. 93 – 100.
13. Rutkas A. G., Vlasenko L. A. Existence, uniqueness and continuous dependence for implicit semili-
near functional differential equations // Nonlinear Anal. TMA. – 2003. – 55, # 1-2. – P. 125 – 139.
14. Samojlenko A. M., Íkil\ M. I., Qkovec\ V. P. Linijni systemy dyferencial\nyx rivnqn\ z
vyrodΩennqm. – Ky]v: Vywa ßk., 2000. – 296 s.
15. Vlasenko L. A. Degenerate time-dependent neutral functional differential equations in Banach spa-
ces // Funct. Different. Equat. – 2007. – 14, # 2 – 4. – P. 423 – 438.
Poluçeno 11.09.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
|