Коректність крайових задач для багатовимірних гіперболічних систем
Методом характеристик исследованы корректные постановки локальных (задача Коши, смешанные задачи) и нелокальных (с неразделенными и интегральными условиями) задач для некоторых многомерных почти линейных гиперболических систем первого порядка. На основании сведения этих задач к системам интегро-опер...
Saved in:
| Published in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164483 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Коректність крайових задач для багатовимірних гіперболічних систем / І.Я. Кміть, Б.Й. Пташник // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 2. — С. 192–203. — Бібліогр.: 23 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164483 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Кміть, І.Я. Пташник, Б.Й. 2020-02-09T16:14:59Z 2020-02-09T16:14:59Z 2008 Коректність крайових задач для багатовимірних гіперболічних систем / І.Я. Кміть, Б.Й. Пташник // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 2. — С. 192–203. — Бібліогр.: 23 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164483 517.95 Методом характеристик исследованы корректные постановки локальных (задача Коши, смешанные задачи) и нелокальных (с неразделенными и интегральными условиями) задач для некоторых многомерных почти линейных гиперболических систем первого порядка. На основании сведения этих задач к системам интегро-операторных уравнений доказаны теоремы существования и единственности классических решений. By the method of characteristics, we investigate the well-posedness of local (the Cauchy problem, mixed problems) and nonlocal (with nonseparable and integral boundary conditions) problems for some multidimensional almost linear first-order hyperbolic systems. Reducing these problems to the systems of integral operator equations, we prove the existence and uniqueness of classical solutions. Частково підтримано Державної фондом фундаментальних досліджень України (проект #A14.1 / 017). uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Коректність крайових задач для багатовимірних гіперболічних систем Well-posedness of boundary-value problems for multidimensional hyperbolic systems Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Коректність крайових задач для багатовимірних гіперболічних систем |
| spellingShingle |
Коректність крайових задач для багатовимірних гіперболічних систем Кміть, І.Я. Пташник, Б.Й. Статті |
| title_short |
Коректність крайових задач для багатовимірних гіперболічних систем |
| title_full |
Коректність крайових задач для багатовимірних гіперболічних систем |
| title_fullStr |
Коректність крайових задач для багатовимірних гіперболічних систем |
| title_full_unstemmed |
Коректність крайових задач для багатовимірних гіперболічних систем |
| title_sort |
коректність крайових задач для багатовимірних гіперболічних систем |
| author |
Кміть, І.Я. Пташник, Б.Й. |
| author_facet |
Кміть, І.Я. Пташник, Б.Й. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2008 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Well-posedness of boundary-value problems for multidimensional hyperbolic systems |
| description |
Методом характеристик исследованы корректные постановки локальных (задача Коши, смешанные задачи) и нелокальных (с неразделенными и интегральными условиями) задач для некоторых многомерных почти линейных гиперболических систем первого порядка. На основании сведения этих задач к системам интегро-операторных уравнений доказаны теоремы существования и единственности классических решений.
By the method of characteristics, we investigate the well-posedness of local (the Cauchy problem, mixed
problems) and nonlocal (with nonseparable and integral boundary conditions) problems for some
multidimensional almost linear first-order hyperbolic systems. Reducing these problems to the systems
of integral operator equations, we prove the existence and uniqueness of classical solutions.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164483 |
| citation_txt |
Коректність крайових задач для багатовимірних гіперболічних систем / І.Я. Кміть, Б.Й. Пташник // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 2. — С. 192–203. — Бібліогр.: 23 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT kmítʹíâ korektnístʹkraiovihzadačdlâbagatovimírnihgíperbolíčnihsistem AT ptašnikbi korektnístʹkraiovihzadačdlâbagatovimírnihgíperbolíčnihsistem AT kmítʹíâ wellposednessofboundaryvalueproblemsformultidimensionalhyperbolicsystems AT ptašnikbi wellposednessofboundaryvalueproblemsformultidimensionalhyperbolicsystems |
| first_indexed |
2025-11-26T11:54:55Z |
| last_indexed |
2025-11-26T11:54:55Z |
| _version_ |
1850622864922771456 |
| fulltext |
UDK 517.95
I. Q. Kmit\, B. J. Ptaßnyk
(In-t prykl. probl. mexaniky i matematyky NAN Ukra]ny, L\viv)
KOREKTNIST| KRAJOVYX ZADAÇ
DLQ BAHATOVYMIRNYX HIPERBOLIÇNYX SYSTEM *
By the method of characteristics, we investigate the well-posedness of local (the Cauchy problem, mixed
problems) and nonlocal (with nonseparable and integral boundary conditions) problems for some
multidimensional almost linear first-order hyperbolic systems. Reducing these problems to the systems
of integral operator equations, we prove the existence and uniqueness of classical solutions.
Metodom xarakterystyk yssledovan¥ korrektn¥e postanovky lokal\n¥x (zadaça Koßy, sme-
ßann¥e zadaçy) y nelokal\n¥x (s nerazdelenn¥my y yntehral\n¥my uslovyqmy) zadaç dlq
nekotor¥x mnohomern¥x poçty lynejn¥x hyperbolyçeskyx system pervoho porqdka. Na osnova-
nyy svedenyq πtyx zadaç k systemam yntehro-operatorn¥x uravnenyj dokazan¥ teorem¥ suwest-
vovanyq y edynstvennosty klassyçeskyx reßenyj.
1. Vstup. Klasyçnyj metod xarakterystyk, poçatkovo rozroblenyj dlq dos-
lidΩennq zadaçi Koßi dlq linijnyx (majΩe linijnyx) odnovymirnyx hiperboliç-
nyx system perßoho porqdku (dyv., napryklad, [1]), vyqvyvsq potuΩnym zasobom
i dlq vyvçennq korektnosti mißanyx zadaç [2, 3]. Podal\ßi zastosuvannq cej
metod znajßov pry vyvçenni klasyçnyx i neklasyçnyx (z nerozdilenymy ta
intehral\nymy umovamy qk za prostorovog, tak i çasovog zminnymy) zadaç dlq
kvazilinijnyx hiperboliçnyx system na plowyni [4 – 9]. U danij roboti my
vykorystovu[mo metod xarakterystyk dlq korektno] postanovky krajovyx zadaç
dlq hiperboliçnyx system z tr\oma nezaleΩnymy zminnymy. Zaznaçymo, wo
pytannqm korektnosti zadaç u vypadku bahat\ox nezaleΩnyx zminnyx
prysvqçeno roboty [10 – 20], v qkyx vykorystano inßu metodyku doslidΩennq,
zokrema „enerhetyçnyj metod”, peretvorennq Laplasa ta Fur’[.
Pry sprobi pobuduvaty analoh klasyçnoho metodu xarakterystyk u bahatovy-
mirnomu vypadku vynykagt\ pevni trudnowi ta osoblyvosti. VaΩlyvog peredu-
movog zastosovnosti metodu xarakterystyk dlq odnovymirnyx majΩe linijnyx
( )n n× -hiperboliçnyx system [ toj fakt, wo vony dopuskagt\ diahonal\nu for-
mu zapysu [21], u qkij holovna çastyna predstavlq[ rivno n tak zvanyx xarakte-
rystyçnyx naprqmkiv (koΩne rivnqnnq vyznaça[ rivno odyn naprqmok, pryçomu
cej naprqmok pov'qzanyj lyße z odni[g nevidomog funkci[g systemy). Dlq m-
vymirnyx ( )n n× -hiperboliçnyx system diahonal\na forma zapysu [ moΩlyvog
lyße v duΩe çastkovyx vypadkax. Ce pov’qzano z tym, wo v zahal\nomu vypadku
(navit\ pry m = 2) my ma[mo n rivnqn\ z n nevidomymy funkciqmy i ci rivnqnnq
predstavlqgt\ n2
riznyx naprqmkiv. U svog çerhu ce zumovlg[ skladnist\ vy-
znaçennq vxidnyx i vyxidnyx xvyl\ hiperboliçno] systemy, wo [ neobxidnym dlq
postanovky krajovyx umov. Vidtak zvedennq krajovyx zadaç dlq bahatovymirnyx
hiperboliçnyx system do system intehral\nyx rivnqn\ [ netryvial\nym zavdan-
nqm.
Rezul\taty, otrymani v danij roboti, stosugt\sq klasu dvovymirnyx majΩe
linijnyx (ne obov’qzkovo symetryçnyx) hiperboliçnyx system, qki porodΩugt\
lyße n naprqmkiv, ale pry c\omu ne zvodqt\sq do vywezhadanoho diahonal\-
noho vyhlqdu. U poperednix doslidΩennqx u danomu naprqmku rozhlqdalysq
perevaΩno symetryçni abo linijni hiperboliçni systemy, pryçomu ci vlastyvos-
ti vykorystovuvalysq dlq dovedennq teorem pro korektnu postanovku mißanyx
zadaç. Naß analiz, xoça j oxoplg[ lyße deqkyj klas bahatovymirnyx hiperbo-
liçnyx system, da[ moΩlyvist\, podibno do odnovymirnoho vypadku, korektno
*
Çastkovo pidtrymano DerΩavnym fondom fundamental\nyx doslidΩen\ Ukra]ny (proekt
#A14.1 / 017).
© I. Q. KMIT|, B. J. PTAÍNYK, 2008
192 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
KOREKTNIST| KRAJOVYX ZADAÇ DLQ BAHATOVYMIRNYX HIPERBOLIÇNYX … 193
stavyty klasyçni krajovi zadaçi, vykorystovugçy intehral\nu formu zapysu os-
tannix. Ce, u svog çerhu, dozvolq[ doslidΩuvaty takoΩ nelokal\ni zadaçi z ne-
rozdilenymy (zokrema, periodyçnymy) ta intehral\nymy umovamy, a takoΩ zadaçi
z nelinijnymy umovamy.
2. Zadaça Koßi. Dlq systemy dyferencial\nyx rivnqn\
a u x t u y t uij jt i j x i j y
j
n
– ( , ) – ( , )λ λ1 2
1
( )
=
∑ = f x y t ui( , , , ) , i n≤ , (1)
rozhlqnemo zadaçu z poçatkovymy umovamy
u x yi( , , )0 = ϕi x y( , ), i n≤ , (2)
de aij — deqki dijsni konstanty, u = ( u1, … , un
) .
Nexaj s1, … , sn — deqka perestanovka çysel 1, … , n. Prypustymo, wo dlq
vsix x, y, t ∈ R vykonugt\sq nerivnosti
λ11( , )x t ≤ min ( , )
–2 1
1≤ ≤i n
i x tλ , max ( , )
–2 1
1
≤ ≤i n
i x tλ ≤ λn x t1( , ) , (3)
λs y t
12( , ) ≤ min ( , )
–2 1
2≤ ≤i n
si
y tλ , max ( , )
–2 1
2
≤ ≤i n
si
y tλ ≤ λs n
y t2( , ) . (4)
Nexaj matrycq A = aij i j
n{ } =, 1
[ nevyrodΩenog:
det A ≠ 0 ; (5)
pry c\omu systema (1) ne zvodyt\sq do diahonal\noho vyhlqdu, koly holovna
çastyna koΩnoho z rivnqn\ [ poxidnog lyße odni[] nevidomo] funkci] vzdovΩ
deqkoho naprqmku. Prypustymo takoΩ, wo vsi funkci] λij neperervni za oboma
arhumentamy, a za perßym arhumentom neperervno dyferencijovni ta zadovol\-
nqgt\ hlobal\nu umovu Lipßycq. Vidomo [22], wo todi koΩna iz zadaç Koßi
d
d
ξ
τ
= – ( ),λ ξ τ τi1( ), ξ( )t x= , ( , )x t ∈R
2
,
d
d
σ
τ
= – ( ),λ σ τ τi2( ), σ( )t y= , ( , )y t ∈R
2
,
de i ∈ 1, ,…{ }n , ma[ [dynyj klasyçnyj rozv’qzok, qkyj moΩna prodovΩyty do
peretynu z prqmog τ ={ }0 . Ci rozv’qzky poznaçymo çerez ξ = ω τi x t1( ; , ) ta
σ = ω τi y t2( ; , ) vidpovidno. Takym çynom, dlq koΩnoho i ∈ 1, ,…{ }n koΩne z
rivnqn\ ξ = ω τi x t1( ; , ) ta σ = ω τi y t2( ; , ) vyznaça[ rivnqnnq poverxni ( u prosto-
ri R
3
zminnyx ξ, σ, τ ) , qka proxodyt\ çerez toçku ( , , )x y t ∈ R
3
i prodovΩu-
[t\sq do peretynu z plowynog τ ={ }0 .
Pov’qΩemo z koΩnog toçkog ( , , )x y t ∈ R
3
„xarakterystyçnyj konus” ta-
kym çynom: ( , , )x y t — verßyna konusa, a poverxni ξ = ω τ11( ; , )x t , ξ =
= ω τn x t1( ; , ), σ = ω τs y t
12( ; , ) ta σ = ω τs n
y t2( ; , ) utvorggt\ biçnu poverxng
konusa, qka v peretyni z plowynog τ ={ }0 vyznaça[ meΩu osnovy konusa.
Nexaj D — deqka obmeΩena oblast\ u plowyni τ ={ }0 . Poznaçymo çerez Ω �
� R
3
oblast\, qka sklada[t\sq z mnoΩyny toçok ( , , )x y t takyx, wo osnovy
xarakterystyçnyx konusiv iz verßynamy v cyx toçkax povnistg naleΩat\ D.
Oblast\ Ω nazyvagt\ oblastg vplyvu poçatkovyx danyx (2), zadanyx na D, a
oblast\ D — oblastg zaleΩnosti rozv’qzkiv systemy (1) v Ω. Oblasti Ω i D ,
na pidstavi prypuwen\ (3) i (4), oznaçeni korektno.
Oçevydno, wo dlq koΩnoho i ∈ 1, ,…{ }n liva çastyna i-ho rivnqnnq syste-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
194 I. Q. KMIT|, B. J. PTAÍNYK
myA(1) [ poxidnog vzdovΩ vidpovidnoho naprqmku, qkyj nazyva[t\sq xarakterys-
tyçnym i zada[t\sq xarakterystyçnog kryvog ξ = ω τi x t1( ; , ), σ = ω τi y t2( ; , ).
Nexaj funkci] ϕi ta fi dostatn\o hladki. Intehrugçy koΩne rivnqnnq syste-
my (1) uzdovΩ vidpovidnoho jomu xarakterystyçnoho naprqmku ta vraxovugçy
(5), otrymu[mo, wo zadaça (1), (2) [ ekvivalentnog do systemy intehral\nyx riv-
nqn\
u x y ti( , , ) = 1 0 0
1
1 2
1det
( ; , ), ( ; , )
A
A a x t y tji
ad
j
n
js s j j
s
n
= =
∑ ∑ ( )
ϕ ω ω +
+ f x t y t u dj j j
t
ω τ ω τ τ τ1 2
0
( ; , ), ( ; , ), ,( )
∫ , i n≤ , (6)
de Aji
ad
i j
n{ } =, 1
— pry[dnana matrycq do A.
Teorema 1. Nexaj vykonano umovy (3) – (5) ta prypuwennq wodo hladkosti
funkcij λij , funkci] fi neperervni za vsima arhumentamy, neperervno dyfe-
rencijovni po x, y, u ta zadovol\nqgt\ hlobal\nu umovu Lipßycq po u n∈R
rivnomirno po ( x, y, t ) ∈ M dlq koΩnoho kompaktu M ∈R
3
, a funkci] ϕi ne-
perervno dyferencijovni. Todi zadaça (1), (2) v oblasti R
3
ma[ [dynyj kla-
syçnyj rozv’qzok.
Dovedennq. Pobudu[mo poslidovnist\ oblastej Ω j
+
ta Ω j
–
, j ≥ 1, ob’[d-
nannq qkyx vyçerpu[ ves\ prostir R
3
, de
Ω j
+ = ( , , ) ( ; – , ) ( ; , ), ( ; – , )x y t t j j x t j j t j jn s∈{ < <R
3
11 1 21
ω ω ω <
< y t j j t jsn
< < < }ω 2 0( ; , ), ,
Ω j
– = ( , , ) ( ; – , – ) ( ; , – ), ( ; – , – )x y t t j j x t j j t j jn sn
∈{ < <R
3
1 11 2ω ω ω <
< y t j j j ts< − < < }ω
1 2 0( ; , – ), .
Dovedennq teoremy dosyt\ provesty dlq oblastej Ω j
+
ta Ω j
–
pry dovil\nomu
fiksovanomu j ∈N . Zafiksu[mo dovil\ne j ∈N . Oçevydno, wo oblastg za-
leΩnosti rozv’qzkiv zadaçi v Ω j
+
[ oblast\ Ω j
+ ∩ t ={ }0 . Oskil\ky (6) [ syste-
mog intehral\nyx rivnqn\ Vol\terry 2-ho rodu, to, vykorystovugçy pryncyp
styskugçyx vidobraΩen\ ta metod prodovΩennq (abo iteruvannq) po t lokal\-
noho rezul\tatu, otrymu[mo, wo isnu[ [dynyj neperervnyj rozv’qzok u sys-
temyA(6). Detal\niße, nexaj L — spil\na konstanta v umovax Lipßycq dlq vsix
funkcij fi po u n∈R , de ( , , )x y t ∈ Ω j
+
. Poznaçymo Ω( )θ = Ω j
+ ∩ t <{ }θ . Na
perßomu kroci dovedemo isnuvannq [dynoho neperervnoho rozv’qzku v Ω( )t0 dlq
deqkoho t0 0> . Dlq c\oho vykorysta[mo pryncyp styskugçyx vidobraΩen\.
Zastosu[mo operator P, wo zada[t\sq pravymy çastynamy (6), do neperervnyx
vektor-funkcij u1
i u2
i rozhlqnemo ]xng riznycg v Ω( )t0 . Oçevydnog [ ocin-
ka
max –
( )Ω t
Pu Pu
0
1 2 ≤ t Q u u
t
0
1 2
0
max –
( )Ω
, (7)
de
Q = Ln A A
i j
ij
admax det
,
−1
, (8)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
KOREKTNIST| KRAJOVYX ZADAÇ DLQ BAHATOVYMIRNYX HIPERBOLIÇNYX … 195
a çerez ⋅ poznaçeno evklidovu normu v prostori R
n
. Vyberemo t0 = ( )2 1Q −
,
pry c\omu v (7) konstanta t0Q = 1 2 . Todi v Ω( )t0 isnu[ [dynyj neperervnyj
rozv’qzok systemy (6). Oskil\ky konstanta L (a vidtak, i konstanta t0) zale-
Ωyt\ vid usi[] oblasti Ω j
+
, to, iterugçy otrymanyj lokal\nyj rezul\tat v ob-
lastqx Ω Ω( ) ( )it j0 ∩( ) \ Ω ( )i t−( )1 0 , de 2 ≤ i ≤ j t0 , za wonajbil\ße j t0
krokiv dovodymo isnuvannq [dynoho neperervnoho rozv’qzku u systemy (6). Cej
rozv’qzok moΩna znajty metodom poslidovnyx nablyΩen\.
Wob dovesty, wo rozv’qzok u [ neperervno dyferencijovnym po x (analo-
hiçno po y), zdyferencig[mo (1) i (2) formal\no za zminnog x i vraxu[mo, woAAu
[ vidomog neperervnog vektor-funkci[g. Otrymana zadaça ekvivalentna takij
systemi intehral\nyx rivnqn\ Vol\terry 2-ho rodu vidnosno funkcij
∂x iu x y t( , , ) :
∂x iu x y t( , , ) = 1
1 1det
( , , )
A
A a R u x y tji
ad
j
n
js j s
s
n
= =
∑ ∑ ′( )
+
+
∇ ⋅ +∫
0
t
u j jf u u f u( , , , ) ( , , ) ( , , , )ξ σ τ ∂ ξ σ τ ∂ ξ σ τξ ξ +
+ a u djs j
s
n
s
x t y tj j
∂ λ ξ τ ∂ ξ σ τ τξ ξ
ξ ω τ σ ω τ
1
1
1 2
( , ) ( , , )
( ; , ), ( ; , )= = =
∑
, i n≤ , (9)
de
′( )R u x y tj s ( , , ) = ∂ ϕ ξ ωξ ξ ωs j x t
y t
j
, ( ; , )
( ; , )2 0
0
1
( ) =
,
a çerez ” ”⋅ poznaçeno skalqrnyj dobutok u prostori R
n
. Isnuvannq, [dynist\
ta neperervnist\ rozv’qzku systemy (9) dovodymo analohiçno do dovedennq po-
dibnoho rezul\tatu dlq systemy (6). Tak samo dovodymo neperervnu dyferen-
cijovnist\ rozv’qzku u za zminnog y. Todi neperervnist\ funkcij ∂t iu x y t( , , )
vyplyva[ z systemy (1) ta umovy (5). Ce dovodyt\ teoremu dlq oblasti Ω j
+
. Do-
vedennq dlq koΩno] okremo] oblasti Ω j
–
provodyt\sq analohiçno. Oskil\ky j
— dovil\ne natural\ne çyslo, to dovedennq teoremy zaverßeno.
3. Mißani zadaçi z lokal\nymy krajovymy umovamy. Mißani zadaçi z lo-
kal\nymy krajovymy umovamy, na protyvahu do zadaçi Koßi, magt\ tu specyfi-
ku, wo vony porodΩugt\ taki xvyli, qki isnugt\ lyße skinçennyj promiΩok ça-
su, wo obmeΩenyj zverxu momentom çasu vyxodu cyx xvyl\ na meΩu oblasti.
OtΩe, mißani zadaçi vyznaçagt\ qk xvyli, wo vxodqt\ v oblast\, tak i xvyli, wo
vyxodqt\ z ne]. U bahatovymirnomu vypadku heometriq cyx xvyl\ [ dosyt\ sklad-
nog. My sperßu vyvça[mo vypadok, koly oblast\ [ ßarom, pislq çoho rozhlq-
da[mo texniçno vaΩçyj vypadok oktantu, osoblyvistg qkoho [ poqva obmeΩug-
çoho oblast\ biçnoho rebra.
Çerez R+ budemo poznaçaty mnoΩynu dijsnyx nevid’[mnyx çysel.
3.1. Zadaça v ßari. Rozhlqnemo mißanu zadaçu dlq systemy (1) v oblasti
Π = ( , , )x y t x∈ <{ <R
3 0 1, – ,∞ < }< ∞ < < ∞y t0 . Nexaj dlq deqkoho k ∈ {1, …
… , n }
λ λ λ11 21 1, , ,… k < 0 ; λ λ λk k n+ + …1 1 2 1 1, ,, , , > 0, ( , ) ,x t ∈[ ]0 1 × R+ . (10)
Prypustymo, wo matrycq A ma[ diahonal\no-bloçnu strukturu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
196 I. Q. KMIT|, B. J. PTAÍNYK
A =
A
A
1
2
0
0
, (11)
de A1 i A2 — ( )k k× - ta ( – )n k × ( – )n k -matryci vidpovidno, a çerez 0 pozna-
çeno nul\ovi matryci vidpovidnyx rozmiriv. Zaznaçymo, wo bud\-qka matrycq A
Ωordanovoho vyhlqdu ma[ strukturu (11).
Dlq systemy (1) rozhlqnemo zadaçu z poçatkovymy umovamy (2) ta krajovymy
umovamy
ui x = 0 = µi y t( , ), i k≤ ,
(12)
ui x =1 = µi y t( , ), k i n+ ≤ ≤1 ,
de ( , )y t ∈ R × R+ . Nexaj vsi funkci] λij neperervni za oboma arhumentamy ta
neperervno dyferencijovni za perßym arhumentom, a funkci] λi y t2( , ) , krim to-
ho, zadovol\nqgt\ umovu Lipßycq po y ∈R rivnomirno po t ∈ 0, T[ ] dlq koΩ-
noho T > 0. Todi çerez toçku ( , , )x y t ∈ Π proxodyt\ n xarakterystyk syste-
myA(1), koΩnu z qkyx moΩna prodovΩyty u naprqmku spadannq çasovo] zminno]
do peretynu z ∂Π .
Poznaçymo çerez t x ti( , ) najmenße znaçennq τ, pry qkomu poverxnq ξ =
= ω τi x t1( ; , ) peretyna[ meΩu oblasti Π; Πµi , Πϕi — mnoΩyny toçok ( , , )x y t ∈
∈ Π , dlq qkyx t x ti( , ) > 0, t x ti( , ) = 0 vidpovidno; I1 = 1, ,…{ }k , I2 =
= k n+ …{ }1, , . Todi zadaça (1), (2), (12) pry dostatn\o hladkyx vyxidnyx danyx [
ekvivalentnog do systemy intehral\nyx rivnqn\
u x y ti( , , ) = 1
det
( , , )
A
A a R u x y t
m
ji
m ad
js
s Ij I
j s
mm
( )
( )
∈∈
∑∑ +
+ f x t y t u di
t x t
t
j j
j ( , )
( ; , ), ( ; , ), ,∫ ( )
ω τ ω τ τ τ1 2 , i Im∈ , (13)
de Aij
m ad
i j Im
( ){ } ∈,
— pry[dnana matrycq do Am, m = 1, 2,
R u x y ti j( )( , , ) =
µ ω
ϕ ω ω
µ
ϕ
j i i i i
j i i i
t x t y t t x t x y t
x t y t x y t
2
1 20 0
( , ); , , ( , ) ( , , )
( ; , ), ( ; , ) ( , , ) .
,( )( ) ∈
( ) ∈
Π
Π
Taka forma zapysu vyxidno] zadaçi [ moΩlyvog zavdqky tomu, wo umovy (2) i
(12) iz uraxuvannqm (11) vyznaçagt\ lyße vxidni xvyli i ne vplyvagt\ na pove-
dinku vyxidnyx xvyl\. Inßymy slovamy, qkwo systema (1) mistyt\ poxidnu fun-
kci] uj za i-m xarakterystyçnym naprqmkom, a kryva, wo zada[ cej naprqmok,
peretyna[ ∂Π u dvox toçkax, to znaçennq nevidomo] funkci] uj zada[t\sq ly-
ße v odnij iz cyx toçok, a same v tij, wo vidpovida[ menßomu çasovi.
Dlq vstanovlennq klasyçno] rozv’qznosti zadaçi (1), (2), (12) neobxidnym [
vykonannq umov pohodΩennq nul\ovoho ta perßoho porqdkiv miΩ (2) i (12):
µi y( , )0 = ϕi y( , )0 , i k≤ ,
(14)
µi y( , )0 = ϕi y( , )1 , k + 1 ≤ i ≤ n,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
KOREKTNIST| KRAJOVYX ZADAÇ DLQ BAHATOVYMIRNYX HIPERBOLIÇNYX … 197
ta
∂ ϕy i y( , )0 = ∂ µy i y( , )0 , i k≤ ,
∂ ϕy i y( , )1 = ∂ µy i y( , )0 , k + 1 ≤ i ≤ n, (15)
a y y y yij t j i x j i y j
j
k
∂ µ λ ∂ ϕ λ ∂ ϕ( , ) – ( ) ( , ) – ( ) ( , ), ,0 0 0 0 0 01 2
1
( )
=
∑ =
= f y yi 0 0 0, , , ( , )ϕ( ), i k≤ ,
a y y y yij t j i x j i y j
j k
k
∂ ν λ ∂ ϕ λ ∂ ϕ( , ) – ( ) ( , ) – ( ) ( , ), ,0 1 0 1 0 11 2
1
( )
= +
∑ =
= f y yi 1 0 1, , , ( , )ϕ( ), k + 1 ≤ i ≤ n,
de ϕ = ( , , )ϕ ϕ1 … n .
Teorema 2. Nexaj vykonano umovy (4), (5), (10), (11), (14), (15) ta prypuwen-
nq wodo hladkosti funkcij λij , funkci] fi neperervni za vsima arhumentamy,
neperervno dyferencijovni po x, y, u ta zadovol\nqgt\ hlobal\nu umovu Lip-
ßycq po u n∈R rivnomirno po ( , , )x y t ∈ M dlq koΩnoho kompaktu M ∈Π ,
a funkci] ϕi ta µi neperervno dyferencijovni. Todi zadaça (1), (2), (12) v
oblasti Π ma[ [dynyj klasyçnyj rozv’qzok.
Dovedennq. Dovedennq isnuvannq ta [dynosti neperervnoho rozv’qzku pro-
vedemo za takog sxemog. Budu[mo poslidovnist\ obmeΩenyx oblastej Π j � Π,
j ≥ 1, qka povnistg vyçerpu[ Π, de
Π j = ( , , ) ( ; – , ) ( ; , ),x y t t j j y t j j t js sn
∈ < < < <{ }Π ω ω
12 2 0 . (16)
Z umov na funkci] λi2 vyplyva[, wo oblastg zaleΩnosti rozv’qzkiv zadaçi (1),
(2), (12) v Π j [ ∂Π ∩ Π j . Teoremu dosyt\ dovesty dlq koΩno] okremo] oblasti
Π j . Pry c\omu dovedennq isnuvannq [dynoho neperervnoho rozv’qzku provo-
dyt\sq za sxemog, vykorystanog v dovedenni teoremyA1.
Dovedemo teper, wo rozv’qzok u neperervno dyferencijovnyj po x. Pozna-
çymo
S yrp( , )τ = ∂ µ τ λ τ ∂ µ ττ p r y py y y( , ) – ( , ) ( , )2 .
Todi na pidstavi (1), (2), (12) ta rivnostej, otrymanyx z (1), (2), (12) dyferencig-
vannqm, dlq znaxodΩennq funkcij ∂x iu x y t( , , ) , i n≤ , otrymu[mo systemu inte-
hral\nyx rivnqn\ vyhlqdu (9), de
′( )R u x y tj s ( , , ) = 1
0 011 1λ τ λ τ( , ) ( , )… k
×
× 1 0
1
1
11det
( , , , ) – ( , )
( , )
A
A f y u a S yrs
ad
r rp rp
p
k
r
k
t x tj
( )
== =
∑∑ τ τ
τ
,
qkwo t x tj ( , ) > 0, j k≤ ,
′( )R u x y tj s ( , , ) = 1
1 111 1λ τ λ τk n+ …, ( , ) ( , )
×
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
198 I. Q. KMIT|, B. J. PTAÍNYK
× 1 1
2
2
11det
( , , , ) – ( , )
( , )
A
A f y u a S yrs
ad
r rp rp
p k
n
r k
k
t x tj
( )
= += + =
∑∑ τ τ
τ
,
qkwo t x tj ( , ) > 0, k + 1 ≤ j ≤ n, ta
′( )R u x y tj s ( , , ) = ∂ ϕ ξ ωξ ξ ωs j x t
y t
j
, ( ; , )
( ; , )2 0
0
1
( ) =
,
qkwo t x tj ( , ) = 0, j n≤ . Dali dovedennq provodyt\sq u koΩnij okremij oblasti
Π j . VvaΩagçy u vidomog neperervnog funkci[g, zastosu[mo do otrymano]
systemy intehral\nyx rivnqn\ pryncyp styskugçyx vidobraΩen\ ta metod pro-
dovΩennq po t. V rezul\tati otryma[mo neperervnu dyferencijovnist\ po x
rozv’qzku u. Podibno dovodyt\sq neperervna dyferencijovnist\ po y. Nepe-
rervna dyferencijovnist\ u po t pislq c\oho vyplyva[ z (1).
Teoremu dovedeno.
3.2. Zadaça v oktanti. Rozhlqnemo teper mißanu zadaçu dlq systemy (1) v
oblasti K = ( , , )x y t x∈ < < ∞{ R
3 0 , 0 < < ∞y , 0 < < ∞}t . Nexaj funkci] λi1
zadovol\nqgt\ umovy (10) dlq vsix ( , )x t ∈ +R
2
i dlq deqko] perestanovky s1, …
… , sn çysel 1, … , n ta dlq deqkoho l ∈ 1, ,…{ }n vykonugt\sq nerivnosti
λ λ λs s sl1 22 2 2, , ,… < 0, λ λ λs s sl l n+ +
…
1 22 2 2, , , > 0, ( , )y t ∈ +R
2
. (17)
Budemo vymahaty takoΩ, wob
max ( , ) ( , )
–k i n
i nx t x t
+ ≤ ≤
≤
1 1
1 1λ λ , ( , )x t ∈ +R
2
,
(18)
max ( , ) ( , )
–l i n
s si n
y t y t
+ ≤ ≤
≤
1 1
2 2λ λ , ( , )y t ∈ +R
2 .
Poznaçymo I1 = 1, ,…{ }k ∩ s sl1, ,…{ } , I2 = 1, ,…{ }k \ I1, I3 = k n+ …{ }1, , ∩
∩ s sl1, ,…{ } , I4 = k n+ …{ }1, , \ I3. Prypustymo, wo A ma[ diahonal\no-bloç-
nyj vyhlqd
A =
A
A
A
A
1
2
3
4
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
, (19)
de A1 = aij i j I{ } ∈, 1
, A2 = aij i j I{ } ∈, 2
, A3 = aij i j I{ } ∈, 3
, A4 = aij i j I{ } ∈, 4
. Dlq syste-
myA(1) rozhlqnemo zadaçu z poçatkovymy umovamy (2) ta krajovymy umovamy
ui x = 0 = µi y t( , ), i k≤ ,
(20)
ui y = 0 = νi x t( , ), i s sl∈ …{ }1, , .
Zaznaçymo, wo nerivnosti (18) dagt\ moΩlyvist\ korektno vyznaçyty oblast\
vplyvu ta oblast\ zaleΩnosti, wo sutt[vo vykorystovu[t\sq pry dovedenni isnu-
vannq klasyçnoho rozv’qzku zadaçi (1), (2), (20).
Nexaj usi funkci] λij neperervni za oboma arhumentamy, krim toho,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
KOREKTNIST| KRAJOVYX ZADAÇ DLQ BAHATOVYMIRNYX HIPERBOLIÇNYX … 199
λk +11, , … , λn1 zadovol\nqgt\ umovu Lipßycq za zminnog x ∈ +R , a λs l +12, …
… , λsn 2 — za zminnog y ∈ +R . Poznaçymo çerez t x y ti( , , ) najmenße znaçennq
τ, pry qkomu kryva ξ = ω τi x t1( ; , ), σ = ω τi y t2( ; , ) peretyna[ meΩu oblasti K;
K iϕ , K iµ ta K iν — mnoΩyny toçok ( , , )x y t ∈ K , dlq qkyx t x y ti( , , ) = 0,
ωi it x y t x t1 ( , , ); ,( ) = 0 ta ωi it x y t y t2 ( , , ); ,( ) = 0 vidpovidno. Todi za dostatn\o
hladkyx vyxidnyx danyx zadaça (1), (2), (20) zvodyt\sq do systemy intehral\nyx
rivnqn\ vyhlqdu (13), de 1 ≤ m ≤ 4,
R u x y ti j( )( , , ) =
µ ω
ν ω
ϕ ω ω
µ
ν
j i i i i
j i i i i
j i i
t x y t y t t x y t x y t K
t x y t y t t x y t x y t K
x t y t x y
2
1
1 20 0
( )
( )
( ) ∈
( ) ∈
( )
( , , ); , , ( , , ) , ( , , ) ,
( , , ); , , ( , , ) , ( , , ) ,
( ; , ), ( ; , ) , ( , ,, ) .t K i∈
ϕ
(21)
Oznaçennq 1. Neperervnym rozv’qzkom zadaçi (1), (2), (20) budemo nazyvaty
neperervnyj rozv’qzok systemy (13), de R u x y ti j( )( , , ) vyznaçagt\sq formula-
my (21).
Dlq isnuvannq neperervnoho rozv’qzku zadaçi (1), (2), (20) neobxidnym [ vyko-
nannq umov pohodΩennq nul\ovoho porqdku
µi t( , )0 = νi t( , )0 , i I∈ 1,
µi y( , )0 = ϕi y( , )0 , i k≤ , (22)
νi y( , )0 = ϕi x( , )0 , i s sl∈ …{ }1, , .
Dlq vstanovlennq klasyçno] rozv’qznosti zadaçi neobxidnym [ vykonannq umov
pohodΩennq 1-ho porqdku, qki (u vypadku isnuvannq neperervnoho rozv’qzku za-
daçi (1), (2), (20)) magt\ vyhlqd
∂ ϕy i y( , )0 = ∂ µy i y( , )0 , i k≤ ,
∂ ϕx i x( , )0 = ∂ νx i x( , )0 , i s sl∈ …{ }1, , ,
(23)
a y y y yij t j i x j i y j
j
k
∂ µ λ ∂ ϕ λ ∂ ϕ( , ) – ( , ) ( , ) – ( , ) ( , )0 0 0 0 0 01 2
1
( )
=
∑ =
= f y yi 0 0 0, , , ( , )ϕ( ), i k≤ ,
a t t t t tij t j i x j i y j
j I
n
∂ ν λ ∂ ν λ ∂ µ( , ) – ( , ) ( , ) – ( , ) ( , )0 0 0 0 01 2
1
( )
∈
∑ =
= f t u ti 0 0 0 0, , , ( , , )( ), i I∈ 1.
Spravedlyvymy [ nastupni tverdΩennq.
Teorema 3. Nexaj vykonano umovy (10), (17) – (19), (22) ta prypuwennq wodo
hladkosti funkcij λij , funkci] fi neperervni za vsima arhumentamy ta zado-
vol\nqgt\ hlobal\nu umovu Lipßycq po u n∈R rivnomirno po ( , , )x y t ∈ M
dlq koΩnoho kompaktu M K∈ , a funkci] ϕi , µi ta νi neperervni za vsima
arhumentamy. Todi zadaça (1), (2), (20) v oblasti K ma[ [dynyj neperervnyj
rozv’qzok.
Teorema 4. Nexaj vykonano umovy teoremyA3 i spravdΩugt\sq spivvidno-
ßennq (23) dlq vsix x , y , t ∈ R+ . Krim c\oho, nexaj funkci] fi neperervno
dyferencijovni za arhumentamy x, y, u, a funkci] ϕi ta µi neperervno dy-
ferencijovni. Todi zadaça (1), (2), (20) v oblasti K ma[ [dynyj klasyçnyj
rozv’qzok.
Dovedennq teoremA3 i 4 dosyt\ provesty poslidovno u koΩnij iz oblastej
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
200 I. Q. KMIT|, B. J. PTAÍNYK
K j � K, j ≥ 1, de
K j = ( , , ) ( ; , ), ( ; , ), ,x y t K x t j j y t j j t j K Kn s j
j
n
∈ < < < < < <{ } =
=
∞
0 0 01 2
1
ω ω ∪ .
Oskil\ky K j ∩ ∂K [ oblastg zaleΩnosti rozv’qzkiv zadaçi (1), (2), (20) v K j ,
to dlq dovedennq moΩna skorystatysq tymy Ω mirkuvannqmy, wo j pry dove-
denni teoremA1 i 2.
ZauvaΩennq 1. V usix rozhlqnutyx zadaçax, analohiçno do odnovymirnoho
vypadku, kil\kist\ krajovyx umov, qki zadagt\sq na meΩi oblasti, vyznaça[t\sq
kil\kistg xarakterystyk systemyA(1), qki vyxodqt\ na cg meΩu. Prote vidmin-
nist\ vid odnovymirnoho vypadku polqha[ v tomu, wo koΩnij xarakterystyci, qk
pravylo, vidpovida[ bil\ße, niΩ odna nevidoma funkciq. Inßymy slovamy, u ba-
hatovymirnomu vypadku diahonalizaciq systemy stosovno xarakterystyçnyx na-
prqmkiv [ nemoΩlyvog. Cej fakt zumovlg[ osnovnu trudnist\ pry zadanni kla-
syçnyx krajovyx umov: usi xvyli, qki vyznaçagt\sq systemogA(1), ne povynni za-
znavaty vplyvu krajovyx umov na vyxodi, a lyße na vxodi. Dlq podolannq cyx
trudnowiv my zaproponuvaly deqkyj analoh diahonalizaci] v odnomirnomu vypad-
ku, a same „bloçnu diahonalizacig” systemyA(1), qka polqha[ u vybori diahonal\-
no-bloçnoho vyhlqdu matryci A. Ce oznaça[, wo u holovnij çastyni systemy dy-
ferencial\nyx rivnqn\ (1) zv’qzanymy miΩ sobog [ lyße funkci] ui , zaindekso-
vani tymy i, dlq qkyx koefici[nty aii naleΩat\ do odnoho j toho Ω nenul\o-
voho bloku matryci A.
4. Mißana zadaça z nelokal\nymy krajovymy umovamy. Metodyka ko-
rektno] postanovky mißanyx zadaç dlq systemyA(1) dozvolq[ doslidΩuvaty ta-
koΩ deqki neklasyçni zadaçi, zokrema, z nelokal\nymy umovamy, a takoΩ zadaçi
z nelinijnymy umovamy. Dlq prykladu v oblasti Π rozhlqnemo systemuA(1) z
poçatkovymy umovamy (2) ta nelokal\nymy krajovymy umovamy
b y t uij j x
j
n
( , ) =
=
∑ 0
1
+ c y t uij j x
j
n
( , ) =
=
∑ 1
1
+ h x y t u dxij j
j
n
( , , )
0
1
1
∫∑
=
= H y ti( , ), i n≤ .
(24)
Poznaçymo
B y t( , ) =
b b c c
b b c c
b b c c
k k n
k k n
n nk n k nn
11 1 1 1 1
21 2 2 1 2
1 1
… …
… …
� � � � � �
… …
,
,
,
+
+
+
.
Prypustymo, wo
det ( , )B y t ≠ 0 , ( , )y t ∈ × +R R . (25)
Todi (24) moΩna zapysaty u vyhlqdi
µi y t( , ) = 1
1 1
0det
( , ) – ( , )
B
B H y t b y t uji
ad
j
n
j js
s k
n
s x
= = +
=∑ ∑
–
– c y t u h x y t u dxjs
s
n
s x js s
s
n
( , ) – ( , , )
=
=
=
∑ ∫∑
1
1
0
1
1
, i n≤ , (26)
de µi y t( , ) = u y ti( , , )0 , i ≤ k; µi y t( , ) = u y ti( , , )1 , k + 1 ≤ i ≤ n ; Bi j
ad
i j
n{ } =, 1
—
pry[dnana matrycq do B.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
KOREKTNIST| KRAJOVYX ZADAÇ DLQ BAHATOVYMIRNYX HIPERBOLIÇNYX … 201
Zadaça (1), (2), (24) ekvivalentna systemi intehro-operatornyx rivnqn\
u x y ti( , , ) = 1
1det
( )( , , )
A
A a R u x y t
m
ji
m ad
j I
js j s
s
k
m
( )
∈ =
∑ ∑ +
+ f x t y t u dj j j
t x t
t
j
ω τ ω τ τ τ1 2( ; , ), ( ; , ), ,
( , )
( )
∫ , i Im∈ , (27)
de Ai j
m ad
i j Im
( ){ } ∈,
— pry[dnana matrycq do Am, 1 ≤ m ≤ 4,
( )( , , )R u x y ti j =
µ ω
ϕ ω ω
µ
ϕ
j i i i i
j i i i
t x t y t t x t x y t
x t y t x y t
2
1 20 0
( ( , ); , ), ( , ) , ( , , ) ,
( ; , ), ( ; , ) , ( , , ) ,
( ) ∈
( ) ∈
Π
Π
(28)
funkci] µi , i n≤ , vyznaçagt\sq formulamy (26).
Oznaçennq 2. Neperervnym rozv’qzkom zadaçi (1), (2), (24) budemo nazyvaty
neperervnyj rozv’qzok systemy intehro-operatornyx rivnqn\ (27), v qkij
( )( , , )R u x y ti j vyznaçagt\sq formulamy (28).
Teorema 5. Nexaj vykonano umovy (3) – (5), (10), (11), (25), usi funkci] λi j
neperervni, λi1 zadovol\nqgt\ umovu Lipßycq za zminnog x ∈ 0 1,[ ], a λi2 —
za zminnog y ∈R rivnomirno po t ∈ 0, T[ ] dlq koΩnoho T > 0, funkci] fi
neperervni za vsima arhumentamy ta zadovol\nqgt\ hlobal\nu umovu Lipßycq
po u n∈R rivnomirno po ( , , )x y t ∈ M dlq koΩnoho kompaktu M ∈Π , a
funkci] ϕi , bi j , ci j , hi j t a Hi neperervni za vsima arhumentamy. Qkwo
vykonugt\sq umovy pohodΩennq nul\ovoho porqdku
b y y c y yi j j i j j
j
n
j
n
( , ) ( , ) ( , ) ( , )0 0 0 1
11
ϕ ϕ+
==
∑∑ +
+
0
1
1
0∫∑
=
h x y x y dxi j j
j
n
( , , ) ( , )ϕ = H yi( , )0 , i n≤ ,
to zadaça (1), (2), (24) v oblasti Π ma[ [dynyj neperervnyj rozv’qzok.
Dovedennq. Teoremu dosyt\ dovesty dlq dovil\no] fiksovano] pidoblasti
Π j � Π, j ≥ 1, de Π j vyznaçeno formulamy (16). Zafiksu[mo j ∈N . Nexaj
Ω — oblast\ vplyvu poçatkovyx umov (2), zadanyx na Π j ∩ t ={ }0 , qka vyzna-
ça[t\sq konstruktyvno zavdqky prypuwennqm (3), (4) i (10). Oçevydno, wo zvu-
Ωennq zadaçi (1), (2), (24) na oblast\ Ω [ zadaçeg Koßi (1), (2) v Ω, isnuvannq
ta [dynist\ neperervnoho rozv’qzku qko] vyplyva[ z teoremyA1.
Nexaj t0 — dovil\ne dodatne çyslo, qke spravdΩu[ umovu
ω τ ω τ11 10 1( ; , ) ( ; , )t tn< dlq vsix τ ∈[ ]0, j i dlq vsix t t∈ +[ ]τ τ, 0 .
Qkwo t t∈[ ]0 0, , to vykonugt\sq rivnosti
h u dxi j j
0
1
∫ = h u dxi j j
t
0
0 011ω ( ; , )
∫ + h u dxi j j
t
tn
ω
ω
11
1
0 0
1 0
( ; , )
( ; , )
∫ + h u dxi j j
tnω 1 1 0
1
( ; , )
∫ , i, j n≤ ,
de druhyj dodanok u pravij çastyni koΩno] rivnosti [ vidomog funkci[g ( uj ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
202 I. Q. KMIT|, B. J. PTAÍNYK
wo vxodqt\ do c\oho dodanka, [ rozv’qzkamy zhadano] vywe zadaçi Koßi); krim
toho, funkci] us x = 0, k + 1 ≤ s ≤ n, ta us x =1, s ≤ k, vyznaçagt\sq z syste-
myA(27), u qkij ( )R ui j A( , , )x y t = ϕ ωj i x t1 0( ; , )( , ωi y t2 0( ; , )) . Poznaçymo Π( )t0 =
= Π j ∩ t t<{ }0 . V oblasti Π( )t0 zadaça (1), (2), (24) ekvivalentna do systemy
intehral\nyx rivnqn\ Vol\terry 2-ho rodu (i pravi çastyny systemy zadagt\
operator P ), dlq qko] spravedlyvog [ lokal\na teorema isnuvannq ta [dynosti
neperervnoho rozv’qzku. Spravdi, nexaj u1
ta u2
— dovil\ni neperervni roz-
v’qzky vkazano] systemy rivnqn\. Vraxovugçy ocinky
ω11 0 0( ; , )t ≤ t
j
max
, ,0 1 0
11[ ]×[ ]
λ , 1 0 01– ( ; , )ωn t ≤ t
j
nmax
, ,0 1 0
1[ ]×[ ]
λ ,
otrymu[mo
max –
( )Π t
Pu Pu
0
1 2 ≤ t R u u
t
0
1 2
0
max –
( )Π
,
de
R =
Q n B B
i s x
is
ad
xj j
1
0 0
1
+
={ } ={ }
−
max max det
, ,Π Π∩ ∩
×
× QSn n h
j
n
i s
is
j
+ { }
[ ]×[ ]
2
0 1 0
11 1max , max
, , , ,
λ λ
Π
,
pryçomu konstantu Q vyznaçeno formulog (8), a S [ najbil\ßym maksymal\-
nym znaçennqm funkcij bis i cpr v Π j ∩ x ={ }0 po s k≤ , k + 1 ≤ r ≤ n ta
i, p ≤ n. Pokladagçy t0 = ( )2 1R −
, na osnovi pryncypu styskugçyx vidobraΩen\
vstanovlg[mo isnuvannq [dynoho neperervnoho rozv’qzku dano] zadaçi v oblasti
Π( )t0 (lokal\nyj rezul\tat).
Wob dovesty teoremu dlq vsi[] oblasti Π j (hlobal\nyj rezul\tat), prodov-
Ωymo po t otrymanyj lokal\nyj rezul\tat dlq oblasti Π( )t0 na oblast\ Π j .
Take prodovΩennq potrebu[ skinçenno] kil\kosti (ne bil\ße, niΩ j t0 ) itera-
cijnyx krokiv.
Oskil\ky j — dovil\ne natural\ne çyslo, to dovedennq teoremy zaverßeno.
ZauvaΩennq 2. Rezul\taty roboty moΩna poßyryty na systemy hiperboliç-
nyx rivnqn\ vyhlqdu (1) z dovil\nym çyslom prostorovyx zminnyx.
ZauvaΩennq 3. Umova hlobal\no] lipßycevosti funkcij fi za zminnog u
obmeΩu[ rist fi po u pry u → ∞, ne dozvolqgçy bil\ß, niΩ linijne ]x zros-
tannq. Cg umovu moΩna poslabyty do nastupno]: dlq koΩnoho kompaktu M v
oblasti rozhlqdu zadaçi isnu[ konstanta C > 0 taka, wo dlq vsix i ≤ n ta dlq
bud\-qkyx u1
, u n2 ∈R vykonugt\sq nerivnosti
f x y t u f x y t ui i( , , , ) – ( , , , )1 2 ≤ C F x y t u ulog log , , , –1 2( ) , (29)
de F x y t( , , , )v — deqkyj polinom po v iz koefici[ntamy z prostoru C M( ) .
Pry c\omu dlq dovedennq teorem 1 – 5, v qkyx fi spravdΩugt\ umovu (29),
moΩna vykorystaty metodyku roboty [23].
1. Petrovskyj Y. H. Lekcyy ob uravnenyqx s çastn¥my proyzvodn¥my. – M.: Fyzmathyz, 1961.
– 400 s.
2. Abolynq V. ∏., M¥ßkys A. D. O smeßannoj zadaçe dlq lynejnoj hyperbolyçeskoj system¥
na ploskosty // Uç. zap. Latv. un-ta. – 1958. – 20, # 3. – S. 87 – 104.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
KOREKTNIST| KRAJOVYX ZADAÇ DLQ BAHATOVYMIRNYX HIPERBOLIÇNYX … 203
3. Abolynq V. ∏., M¥ßkys A. D. Smeßannaq zadaça dlq poçty lynejnoj hyperbolyçeskoj sys-
tem¥ na ploskosty // Mat. sb. – 1960. – 50, # 4. – S. 423 – 442.
4. Andrusqk R. V., Kyrylyç V. M., M¥ßkys A. D. Lokal\naq y hlobal\naq razreßymost\ kvazy-
lynejnoj hyperbolyçeskoj zadaçy Stefana na prqmoj // Dyferenc. uravnenyq. – 2006. – 42,
# 4. – S. 489 – 503.
5. Kmit\ I. Q. Nelokal\na zadaça dlq kvazilinijno] hiperboliçno] systemy perßoho porqdku z
dvoma nezaleΩnymy zminnymy // Ukr. mat. Ωurn. – 1993. – 45, # 9. – S. 1307 – 1311.
6. M¥ßkys A. D., Fylymonov A. M. Neprer¥vn¥e reßenyq hyperbolyçeskyx system kvazyly-
nejn¥x uravnenyj s dvumq nezavysym¥my peremenn¥my // Nelynejn¥j analyz y nelynejn¥e
dyfferencyal\n¥e uravnenyq. – 2003. – S. 337 – 351.
7. M¥ßkys A. D., Fylymonov A. M. Neprer¥vn¥e reßenyq kvazylynejn¥x hyperbolyçeskyx
system s dvumq nezavysym¥my peremenn¥my // Dyferenc. uravnenyq. – 1981. – 17 , # 3. –
S.A488 – 500.
8. Ptaßnyk B. J., Il\kiv V. S., Kmit\ I. Q., Poliwuk V. M. Nelokal\ni krajovi zadaçi dlq riv-
nqn\ iz çastynnym poxidnymy. – Ky]v: Nauk. dumka, 2002. – 415 s.
9. Fylymonov A. M. Dostatoçn¥e uslovyq hlobal\noj razreßymosty smeßannoj zadaçy dlq
kvazylynejn¥x hyperbolyçeskyx system s dvumq nezavysym¥my peremenn¥my. – M., 1980. –
17 s. – Dep. v VYNYTY, # 6 - 81.
10. Friedrichs K. O. Symmetric positive linear differential equations // Communs Pure and Appl.
Math. – 1958. – 11. – P. 333 – 418.
11. Hersh R. Mixed problems in several variables // J. Math. and Mech. – 1963. – 12. – P. 317 – 334.
12. Higdon Robert L. Initial-boundary value problems for linear hyperbolic systems // SIAM Rev. –
1986. – 28. – P. 177 – 217.
13. Kreiss H. O. Initial boundary value problems for hyperbolic systems // Communs Pure and Appl.
Math. – 1970. – 23. – P. 277 – 289.
14. Lax P., Phillips R. S. Local boundary conditions for dissipative symmetric linear differential opera-
tors // Ibid. – 1960. – 13. – P. 427 – 455.
15. Majda A., Osher S. Initial-boundary value problem for hyperbolic equations with uniformly cha-
racteristic boundary // Ibid. – 1975. – 28. – P. 607 – 675.
16. Metivier G. The block structure condition for symmetric hyperbolic systems // Bull. London Math.
Soc. – 2000. – 32, # 6. – P. 689 – 702.
17. Rauch J. Symmetric positive systems with boundary characteristic of constant multiplicity // Trans.
Amer. Math. Soc. – 1985. – 291. – P. 167 – 187.
18. Secchi P. The initial-boundary value problem for linear symmetric hyperbolic systems with cha-
racteristic boundary of constant multiplicity // Different. and Integr. Equat. – 1996. – 9. – P. 671 –
700.
19. Secchi P. Well-posedness of characteristic symmetric hyperbolic systems // Arch. Ration. Mech.
and Anal. – 1996. – 134, # 2. – P. 155 – 197.
20. Secchi P. Full regularity of solutions to a nonuniformly characteristic boundary value problem for
symmetric hyperbolic systems // Adv. Math. Appl. – 2000. – 10, # 1. – P. 39 – 55.
21. Kurant R. Uravnenyq s çastn¥my proyzvodn¥my. – M.: Myr, 1964. – 830 s.
22. Petrovskyj Y. H. Lekcyy po teoryy ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj. – M.:
Nauka, 1970. – 279 s.
23. Kmit I. Generalized solutions to singular initial-boundary hyperbolic problems with non-Lipschitz
nonlinearities // Bull. Acad. serbe sci. et arts. Classe sci. math. et natur., sci. math. – 2006. – 133,
# 31. – P. 87 – 99.
OderΩano 18.06.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 2
|